Модели и алгоритмы концентрации масс

Наведено моделі викиду і концентрації мас та їх скінченнорізницеві схеми. Розглянуто два алгоритми концентрації густини речовини. Алгоритми реалізують методом палеток і методом статистичної регуляризації, що включає мінімізацію регуляризувального функціонала в умовах компакт-дисків, що стискаються,...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Гласко, Ю.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2013
Назва видання:	Геофизический журнал
Теми:	Научные сообщения
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100097
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Модели и алгоритмы концентрации масс / Ю.В. Гласко // Геофизический журнал. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 174-181. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-100097
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1000972016-05-16T03:03:00Z Модели и алгоритмы концентрации масс Гласко, Ю.В. Научные сообщения Наведено моделі викиду і концентрації мас та їх скінченнорізницеві схеми. Розглянуто два алгоритми концентрації густини речовини. Алгоритми реалізують методом палеток і методом статистичної регуляризації, що включає мінімізацію регуляризувального функціонала в умовах компакт-дисків, що стискаються, і метод Монте-Карло для формування значень шуканої густини речовини. Models of sweeping-out and concentration of masses and their finite-difference schemes have been presented. Two algorithms of densities concentration have been considered. Algorithms are realized by the palettes method and the method of statistical regulation, which includes minimization of regularizing functional under conditions of compressible compacts and Monte Carlo method for formation of values of required densities. В статье предложены модели выметания и концентрации масс и их конечно-разностные схемы. Рассмотрены два алгоритма концентрации плотностей. Алгоритмы реализуются методом палеток и методом статистической регуляризации, включающей минимизацию регуляризирующего функционала в условиях сжимающихся компактов и метод Монте-Карло для формирования значений искомых плотностей. 2013 Article Модели и алгоритмы концентрации масс / Ю.В. Гласко // Геофизический журнал. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 174-181. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0203-3100 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100097 550.831; 536.758 ru Геофизический журнал Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научные сообщения Научные сообщения
spellingShingle	Научные сообщения Научные сообщения Гласко, Ю.В. Модели и алгоритмы концентрации масс Геофизический журнал
description	Наведено моделі викиду і концентрації мас та їх скінченнорізницеві схеми. Розглянуто два алгоритми концентрації густини речовини. Алгоритми реалізують методом палеток і методом статистичної регуляризації, що включає мінімізацію регуляризувального функціонала в умовах компакт-дисків, що стискаються, і метод Монте-Карло для формування значень шуканої густини речовини.
format	Article
author	Гласко, Ю.В.
author_facet	Гласко, Ю.В.
author_sort	Гласко, Ю.В.
title	Модели и алгоритмы концентрации масс
title_short	Модели и алгоритмы концентрации масс
title_full	Модели и алгоритмы концентрации масс
title_fullStr	Модели и алгоритмы концентрации масс
title_full_unstemmed	Модели и алгоритмы концентрации масс
title_sort	модели и алгоритмы концентрации масс
publisher	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Научные сообщения
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100097
citation_txt	Модели и алгоритмы концентрации масс / Ю.В. Гласко // Геофизический журнал. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 174-181. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Геофизический журнал
work_keys_str_mv	AT glaskoûv modeliialgoritmykoncentraciimass
first_indexed	2025-07-07T08:19:54Z
last_indexed	2025-07-07T08:19:54Z
_version_	1836975542185754624
fulltext	Ю. В. ГЛАСКО 174 Геофизический журнал № 6, Т. 35, 2013 Введение. В работах по прямым поискам нефти и газа уделяется пристальное внима- ние физико-геологическому обоснованию, где следует отметить такие достижения, как обнаружение вторичного магнетита и других минералов, изменение состава и окраски при- поверхностных пород, а также состава воздуш- ного слоя за счет миграции углеводородов. Эти открытия позволили широко (в основном за рубежом) использовать спутниковые, аэромаг- ниторазведочные, аэрогеохимические методы, которые образуют с наземной (а теперь уже и аэро-) гравиразведкой единый комплекс. В сейсморазведке наметилось совместное при- менение продольных и поперечных волн, трех- мерной сейсморазведки, используются новые разработки в электроразведке. Таким образом, в проведении геофизиче- ских работ вырисовываются два основных этапа: предварительный (с применением дис- танционных и геохимических методов), вы- являющий участки с возможными залежами нефти и газа, и окончательный (с применением сейсморазведки, включая трехмерную), выяв- ляющий ловушки и залежи. Первый этап связан с решением задачи ин- терпретации геофизических данных [Интер- претация..., 1992], основанной на той или иной физико-геологической модели месторождений нефти и газа. В состав методов интерпретации геофизического поля входит методика выме- тания и концентрации масс, определяющая НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ УДК 550.831; 536.758 Модели и алгоритмы концентрации масс © Ю. В. Гласко, 2013 Научно-исследовательский Вычислительный центр Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия Поступила 16 апреля 2013 г. Представлено членом редколлегии В. И. Старостенко Наведено моделі викиду і концентрації мас та їх скінченнорізницеві схеми. Розглянуто два алгоритми концентрації густини речовини. Алгоритми реалізують методом палеток і ме- тодом статистичної регуляризації, що включає мінімізацію регуляризувального функціонала в умовах компакт-дисків, що стискаються, і метод Монте-Карло для формування значень шуканої густини речовини. Models of sweeping-out and concentration of masses and their finite-difference schemes have been presented. Two algorithms of densities concentration have been considered. Algorithms are realized by the palettes method and the method of statistical regulation, which includes minimiza- tion of regularizing functional under conditions of compressible compacts and Monte Carlo method for formation of values of required densities. плотностные и геометрические характеристи- ки залежи. Выметание, согласно А. Пуанкаре, является конструктивным использованием эк- вивалентных перераспределений и предпола- гает участие человека-интерпретатора. Задача концентрации, обратная выметанию, — инстру- мент, заменяющий человека-интерпретатора на этапе выметания масс. Этой методике по- священы интереснейшие работы. Первые успешные шаги в области решения обратных задач интерпретации на основе эквивалентных (или даже ε-эквивалентных) перераспределе- ний источников поля были сделаны в работах В. И. Аронова [Аронов, 1967], А. В. Цирульского [Цирульский, 1975] и других выдающихся уче- ных. Подчеркнем модели выметания и концен- трации В. Н. Страхова [Страхов, 1977а, б] на основе задачи Стефана, разработку тематики В. Г. Филатовым [Филатов, 1988] и Д. Зидаро- вым [Зидаров, 1984], работы И. Э. Степановой [Степанова, 1998, 2003]. Априорная информация о плотности и типы коллекторов. Обратная задача концен- трации на основе выметания Д. Зидарова тре- бует априорной информации. В целом плотностная характеристика изу- чаемой породы зависит от трех параметров: температуры, давления и влажности. Под воз- действием высоких давлений и температур вну- три Земли породы уплотняются. Этот процесс необратим, и поднятые на поверхность образцы керна мало изменяют свой объем и объем по- МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ КОНЦЕНТРАЦИИ МАСС Геофизический журнал № 6, Т. 35, 2013 175 рового пространства. Поправки, вводимые в измеренные значения плотности за различие термодинамических условий в естественном залегании и в лаборатории, не превышают 0,002—0,004 г/см3. Отличаясь большим разнообразием, коллек- торы подразделяются на две большие группы: песчано-алевритную (терригенную) и карбо- натную (трещинную). В России наиболее рас- пространены песчано-алевритные коллекторы, к которым приурочены основные месторож- дения нефти и газа. Средние значения их по- ристости составляют 15—20 %. Карбонатные коллекторы имеют меньшую пористость — в среднем 10—15 %. Количество остаточной воды в порах колеблется от 5 до 65 %. Значения коэф- фициентов нефтегазонасыщенности достигают 0,5—0,7 и более. Физические свойства нефти и газа заметно отличаются от соответствующих свойств за- контурной воды, вследствие чего и возникают различия в плотностных и других свойствах об- ласти залежи и законтурной части коллектора. Нефть и газ приводят к уменьшению плотности в области коллектора. Плотность нефти при атмосферном давле- нии и температуре 20 °C колеблется в пределах 0,76—0,96 г/см3. Обобщая экспериментальные данные, можно отметить, что плотность нефти в зависимости от ее состава колеблется от 0,6 до 1 г/см3 [Филатов и др., 2011а]. Важно под- черкнуть, что жидкости с ростом давления практически не изменяют своей плотности. Однако плотность нефти несколько уменьша- ется с глубиной под воздействием повышения температуры. В пластовых условиях значение плотности может составлять 0,5 г/см3 и даже меньше в зависимости от количества раство- ренного газа и температуры. Плотность газа в атмосферных условиях обычно равна 0,00128 г/см3. В общем случае она изменяется от 0,0008 до 0,01 г/см3 [Фила- тов и др., 2011а], но так как под давлением газы сжимаются, необходимо вводить поправку за давление, под которым они находятся. Поэто- му в пластовых условиях плотность газа может достигать 0,4—0,5 г/см3, т. е. приближаться к плотности нефти. Таким образом, мы имеем априорную ин- формацию о сегменте значений, которые мо- жет принимать характеристика ( ) — плот- ность залежи, ; для нефти [0,4; 1 г/см3], для газа [0,0008; 0,5 г/см3]. Эти интервалы могут быть еще сужены, если для конкретного случая помимо характеристик коллектора существует априорная информация о глубине залегания углеводородов. 2D модель выметания, ее конечно-разност- ная аппроксимация и априорная информация о плотности. Математическая двумерная мо- дель выметания описывается смешанной крае- вой задачей для уравнения диффузии [Мегеря и др., 2012]: ( , , ) ( , , )tu x z t u x z t , (1) ( , ,0), ( , ) ( , ,0) 0, ( , ) x z x z u x z x z S (2) ( , , )( , , )u u x z tx z t t n , 0 ( , , ) ( , , )u x z t dt u x z T n . (3) Здесь S/Ω обозначает область S без области. В физическом отношении залежь может рассматриваться как изолированное аномаль- ное тело Ω по отношению к водоносной закон- турной части коллектора, в котором она нахо- дится. Для прямой задачи выметания следует определить u(x, z, t) — распределение плотности в момент времени t. Начальное условие (2) определяет тот факт, что в момент времени t = 0 массы с плотностью δ(σ, 0), σ = (x, y) распределены лишь в залежи Ω. Нелинейные условия (3) обозначают, что масса, сосредоточенная в заданной области S, содержащей Ω, с течением времени диффун- дирует через границу ∂S области и сосре- дотачивается на границе в конечный момент процесса T в форме простого слоя. Рассмотрим конечно-разностный аналог уравнений (1)—(3). Введем в области определения u(x, z, t) пря- моугольную сетку S×[0, T] следующим образом: tk = kτ, τ = T/m, k = 0,1,…,m; xsp — точки области S, где s = 0, 1, …, M+1; p = 0, 1, …, N+1; h1 и h2 — шаги по x и z двумерной сетки. Для простоты можно рассматривать равномерную сетку: h1 = h2 = h (M = N = 2 при h = 1/3 и гранях длины 1). Заменим каждую из вторых производных 2 2 u x , 2 2 u z разностными выражениями [Самар- ский, 1983]: 2 1, , 1, 12 2 1 2 ~ s p s p s pu u uu u x h , 2 , 1 , , 1 22 2 2 2 ~ s p s p s pu u uu u z h . Разностная схема порядка точности O(τ+h2) Ю. В. ГЛАСКО 176 Геофизический журнал № 6, Т. 35, 2013 на этой сетке имеет вид [Самарский, Гулин, 1989] k sp sp sp u u u , где 1 2spu u u , 1,...,s M ; 1,...,p N . (4) Краевые условия представляются в виде 3 h k sp spu u u , 3 ( , , )~ u x z tu n , (5) 4 ( , , ) hs pu u x z T , 4 0 ( , , )m k k u x z t u n . (6) Не ограничивая общности, в качестве S рассмотрим квадрат [x1, x2]×[z1, z2]. При этом есть объединение граней 4, 2, 1, 3 (ось OZ направлена в нижнее полупространство). В со- ответствии с рисунком, 4 — сторона S, соот- ветствующая x = x1, z₂(z1, z2), 2 — x = x2, z₂(z1, z2), 1 — x ₂[x1, x2], z = z1, 3 — x ₂[x1, x2], z = z2. Тогда 4 2 1 3 ( , , ) , ( , ) , ( , , ) , ( , ) , ( , , ) ( , ) , , ( , , ) , ( , ) , u x z t x u x z t u x z t x u tn z u x z t z 1, , 4 1 , 1, 2 1 3 , 1 , 1 2 , , 1 3 2 , ( , ) , , ( , ) , , ( , ) , , ( , ) . s p s p s p s p s p s p s p s p u u h u u h u u u h u u h + + (7) Данная краевая задача для уравнения диф- фузии с граничными и начальными условиями (1)—(3) является устойчивой при выполнении условия τ/h2≤1/4, т. е. условно-корректной по В. Н. Страхову. При τ = h2/4 имеем схему вы- метания, предполагающую разметание каждой массы, при τ/h2>1/4 часть массы в точке оста- ется. 3D модель выметания и ее конечно-раз- ностная схема. Рассмотрим математическую модель 3D выметания, описываемую смешан- ной краевой задачей для уравнения диффузии (σ = (x, y, z), где (x, y, z) — точки 3D области V): ( , , , ) ( , , , )tu x y z t u x y z t , (8) ( , , ,0) ( , , ) , ( , , ,0) 0 ( , , ) , x y z x y z u x y z x y z V ( , , , )( , , , )u u x y z tx y z t t n , 0 ( , , , ) ( , , , )u x y z t dt u x y z T n . Введем в области определения u(x, y, z, t) V×[0, T] прямоугольную сетку следующим об- разом: tk = kτ, τ = T/m, k = 0, 1, …, m, xspl — точки области V, где s = 0, 1, …, M+1; p = 0, 1, …, N+1; l = 0, 1, …, P+1 (M = N = P = 2 при h = 1/3 и гранях длины 1); Δx, Δy, Δz — шаги по x, y и z трехмер- ной сетки. Для простоты можно рассматривать равномерную сетку с шагом h. Сеточные аппроксимации уравнений ана- логичны (4)—(7) с той лишь разницей, что они выписываются для 3D случая. Заменим каждую из вторых производных 2 2 u x , 2 2 u y , 2 2 u z разностными выражениями [Самарский, Гулин, 1989]: 2 1, , , , 1, , 12 2 2 ~ s p l s p l s p lu u uu u x h , 2 , 1, , , , 1, 22 2 2 ~ s p l s p l s p lu u uu u y h , Распределение δГ на . Безразмерные величины. МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ КОНЦЕНТРАЦИИ МАСС Геофизический журнал № 6, Т. 35, 2013 177 2 , , 1 , , 1 , , 1 32 2 2 ~ s p l s p l s p lu u uu u z h + + + . Разностная схема порядка точности O(τ+h2) на этой сетке имеет вид k spl spl spl u u u , где 1 2 3splu u u u , 1,...,s M ; 1,...,p N ; 1,...,l P . Краевые условия представляются в виде 4 h k spl splu u u , 4 ( , , )~ u x z tu n , 5 ( , , , ) hs p lu u x y z T , 5 0 ( , , )m k k u x z t u n . Не ограничивая общности, в качестве V рас- смотрим куб. Соответственно ∂V = = 1(x, z)∪ ∪ N(x, z)∪ 1(x, z)∪ M(x, z)∪ 1(x, z)∪ P(x, z) (ось OZ направлена в нижнее полупространство). Рас- смотрим сеточный аналог куба и соответствен- но сеточную границу: , 1, , , 1 , , , 1, 1, , , , 1 4 , , 1, , , , 1 , , 1 , , , , 1 , ( , ), , ( , ), , ( , ), , ( , ), , ( , ), , ( , ). s p l s p l h h s p l s p l h h N s p l s p l h h s p l s p l h h M s p l s p l h h s p l s p l h h P u u y u u y u u xu u u x u u z u u z + + + Конечно-разностная схема имеет порядок точности O(τ+h2) и решается методом прогонки для трехмерной матрицы. Задача концентрации обратна выметанию и является некорректной (как отметил В. Н. Страхов [Страхов, 1977б]), поэтому здесь применяем регуляризацию [Ти- хонов, Арсенин, 1979]. Метод конечных элементов. Пожалуй, са- мым широко используемым сеточным методом является метод конечных элементов (МКЭ). Он основан на разбиении исходной области на множество ячеек (конечных элементов) [Деклу, 1976]. В каждом элементе вводится ап- проксимирующая функция, выраженная зна- чениями искомой функции в узлах элемента с помощью функций формы. Обычно в каче- стве таких функций выступают полиномы. На основе какого-либо общего закона (обычно в виде вариационного принципа) формируется разрешающая СЛАУ (система линейных алгеб- раических уравнений) относительно значений функции в узлах конечно-элементной сетки. Разбиение области на конечные элементы по- зволяет эффективно применять метод для задач с высокой нелинейностью и неоднородностью свойств, поскольку можно рассматривать мате- риал как однородный в пределах каждого эле- мента. К недостаткам метода можно отнести высокую размерность разрешающих СЛАУ (по сравнению, например, с методом граничных элементов). Обусловленность разрешающих систем для МКЭ ухудшается с увеличением числа конечных элементов (уменьшением раз- мера элемента), что может привести к большой погрешности в решении при малых погреш- ностях исходных данных. Отметим, что именно МКЭ наиболее часто используется в задачах геофизики и является одним из элементов «геофизического диалекта вычислительной математики» (терминология В. Н. Страхова). Именно такой подход к решению обратной задачи интерпретации посредством S-аппро- ксимации геопотенциальных полей в рамках подхода «решения обратных задач без реше- ния прямых» и реализован в работах академика В. Н. Страхова и И. Э. Степановой [Степано- ва, 2003]. Обратную задачу на этапе вымета- ния предлагается решать подбором в заданном множестве морфологии залежи. Выметание методом конечных элементов. Результаты. Автором настоящей статьи про- веден большой массив математических экспе- риментов выметания посредством четырехто- чечной (для 2D случая) и шеститочечной (для 3D варианта) схем. Время выметания менее 1 с (на компьютере Pentium 3) для рассмотренных морфологий залежи. Точность выметания прак- тически абсолютная — выбрано ε~10–100. Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы. 1. Сеточный оператор выметания (sweeping) обладает свойством линейности: 1 1 1 1 ( ) ( ) M N M N h h sweep sp sweep sp s p s p f f , ( ) ( )h h sweep sweepf a af , a Это свойство объясняется линейностью опи- Ю. В. ГЛАСКО 178 Геофизический журнал № 6, Т. 35, 2013 сывающего процесс параболического уравне- ния (1). Для трехмерного случая — краевая задача для уравнения (8) — имеем 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) M N P M N P h h sweep spl sweep spl s p l s p l f f , ( ) ( )h h sweep sweepf a af , a 2. Сетка, аппроксимирующая V либо S чет- ным числом узлов, более информативна для определения геометрии, чем нечетная сетка. Характеристика сетки важна для одно- связной области. Так, если мы имеем нечет- ное число узлов, аппроксимирующих куб V, содержащий Ω (для 2D случая — квадрат S), то максимумы выметенной на ∂V (∂S) плотности определяют лишь центр тяжести односвязно- го аномалиеобразующего тела — одну точку, в то время как сетка, которая аппроксимирует V (S) четным числом узлов, более информативна. Она позволяет определить сразу четыре точки объекта для 2D случая и шесть для 3D случая. В случае многосвязной области можно вве- сти несколько кубов (в 2D — квадратов), охва- тывающих лишь односвязную область, и ис- пользовать сетку с четным числом узлов. 3. Полученные 2D поверхности выметенной плотности можно использовать в рамках метода палеток для трактовки геометрии залежи. 4. Обратная к выметанию задача концентра- ции выметенных на масс может быть решена несколькими способами. А. Локализация источников гравитационной аномалии на основе анализа поверхности зна- чений выметенной на массы. Будем аппроксимировать форму ловушки телами простой геометрической формы. Мно- жество моделей источников гравитационной аномалии назовем множеством глубинной морфологии источника и обозначим обкт. Ис- пользуем такие объекты из обкт, как отрезок, риманова поверхность, прямоугольник, много- угольник, круг, квадрат, шар, многоугольная призма, цилиндр, куб. При указанном подходе важна классифика- ция возможных вариантов поверхности с целью их трактовки. Эта структура рассматривается в обкт для односвязных либо многосвязных областей. На основе накопленного вычислительного материала относительно классов кривых (2D случай) строятся карты. Карты кривых выме- тенных масс применяются на основе принципа палеток, в частности на полулогарифмических бланках. Б. Локализация источников поточечно — с использованием свойства линейности функ- ции выметания. Соответственно концентрация проводится в итерационном цикле, пока выме- тенная масса не станет равной нулю. Данный подход представляется более универсальным. Следует также отметить, что задача опреде- ления геометрии залежи может быть решена в первом приближении для априори заданной на основе разведки легкими методами плотности. Для более сложной постановки плотность ищется на основе метода Монте-Карло в сег- менте [0,4; 1] либо более узком в зависимости от априорной информации о конкретной залежи нефти. Следует учесть и физико-геологические свойства нефти. Концентрация масс. Модель концентрации для 2D имеет вид ( , , ) ( , , )tu x z t u x z t , 0 ( , ) , ( , , ) ( , , ) ( , ) , x z S S u x z T x z T x z S ( , , )( , , )u u x z tx z t t n , 0 ( , , ) ( , ,0) \|u x z t dt u x z n . Модель концентрации для 3D случая: ( , , , ) ( , , , )tu x y z t u x y z t , 0 , ( , , , ) ( , ), , V V u x y z T T V ( , , , )( , , , )u u x y z tx y z t t n , 0 ( , , , ) ( , , ,0) \|u x y z t dt u x y z n . Впрочем, концентрация может моделиро- ваться и посредством многократного решения задачи выметания, т. е. как задача, связанная с обращением причинно-следственной связи [Тихонов и др., 1990]. При этом модель выме- тания дополняется целевым условием: 0, ( , ) , ( , , ) ( , , ), ( , ) , x z S S u x z T x z T x z S * ( , ) ( ,0)T d d для 2D случая либо 0, , ( , , , ) ( , ), , V V u x y z T T V МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ КОНЦЕНТРАЦИИ МАСС Геофизический журнал № 6, Т. 35, 2013 179 ( , ) ( ,0)T d d для 3D случая. Возможны следующие постановки задачи концентрации [Филатов и др., 2011б]: – при заданной плотности δΩ определить область Ω; – при заданной геометрии Ω из обкт опреде- лить δΩ; – частично заданы параметры Ω и δΩ, следует определить остальные характеристики. Предложенный в данной работе метод кон- центрации плотностей гравитирующих масс, имея в основе МКЭ, предполагает введение ап- проксимирующей функции на основе метода Монте-Карло. Метод концентрации опробован на ряде моделей, состоящих из 2—10 источников гра- витационных полей на 2—3 глубинах, и на практических материалах. Определение гео- метрии залежи при известной вынесенной на границу Г массе проводится при постоянной плотности, равной 1 г/см3. Усложняя постанов- ку, плотности источников моделируем методом Монте-Карло на сегменте [0,4; 1]. В некоторых математических экспериментах опробованы [0,5; 1] и [0,6; 1]. Следует учесть физико-геологические ха- рактеристики нефти. Поскольку на данном месторождении имеем дело с нефтью одного состава, то можно считать ее плотность по- стоянной (может быть плавно изменяющей- ся с глубиной). По крайней мере, ни о каком скачкообразном изменении плотности речи быть не может. Более того, поскольку плот- ность породы определяется не данной глуби- ной, а максимальной глубиной, достигнутой породой в процессе геологического развития, то можно не учитывать и качество горизонтов залежи, а считать плотность нефти постоян- ной для всей односвязной области залежи на данной глубине. Впрочем, данная гипотеза имеет ограничения относительно протяжен- ных объектов (месторождений-гигантов). Сейчас месторождения-гиганты выработаны и наиболее перспективными являются место- рождения небольшого горизонтального про- стирания. Таким образом, определив плотность нефти методом Монте-Карло на [0,4; 1] в одной точке односвязной области, аппроксимирующей за- лежь, ее можно задать как постоянную плот- ность и во всех остальных точках этой области. Другими словами, для определения геометрии залежи метод Монте-Карло уже не требуется. Модельный пример концентрации с ис- пользованием метода Монте-Карло и тихо- новского функционала. Рассмотрим задачу концентрации для следующего распределения граничной плотности δГ, представленного на рисунке. Выметание осуществляем четырехточечной схемой. Используем алгоритм поиска распределений плотностей δΩ в области Ω на основе статисти- ческой регуляризации посредством метода Монте-Карло и невязку на компакте: 2 22 *( ( ), ( )) ( ) ( ) L A s A s , где δ — распределение плотности на границе Г. Проведем моделирование внутренних плот- ностей без информации о допустимом сегменте плотности и минимальной информации о гео- метрии залежи по δГ . Число опытов методом Монте-Карло N = 300, точность εMК = 10–4. По- лучим (по четырем экспериментам) средние значения погрешности локализации в основ- ных точках: δ(1/3; 1) ~ 3,1 %, δ(2/3; 2/3) ~ 5,05 %, средняя суммарная погрешность, определяю- щая геометрию Ω, δΩ ~ 1 %. Время расчета tсч~ ~6 мин. Если конкретизировать сегмент допусти- мых плотностей (для нефти плотность не более 1 г/ см3), то δ(1/3; 1) ~ 3,6 %, δ(2/3; 2/3) ~ 3,5 %, δΩ~ ~ 1,4 %. При этом время расчета tсч уменьшится в 6—7 раз — менее 1 мин. Увеличение числа опытов метода Монте-Карло увеличивает tсч без увеличения точности по основным точкам. Использование стабилизатора [ ( )] 2 2( ) ( )trg L , где trg(ω) — опорное значение искомой плотности, и соответственно тихонов- ского функционала [Тихонов, Арсенин, 1979] вместо невязки [ ] ( )2, ( ),M A [ ]( ) хотя и улучшает результат (при α = 3, εМК = 10–3): δ(1/3; 1)~2,2 %, δ(2/3; 2/3)~2,7 %, δΩ~0,67 %, но значительно (в 20 раз — 21 мин) увеличивает tсч. Введем погрешность в δΩ по основным точ- кам при решении задачи выметания (прямой задачи). Задача концентрации без априорной информации о геометрии и плотности имеет значительные ошибки. При погрешности в δΩ,sweep в прямой задаче Δ = 5 % средние (по четырем расчетам и N = 300) погрешности результата: δ(1/3; 1)~11 %, δ(2/3; 2/3)~1,3 %, δΩ~8,5 %; при Δ = 10 % — δ(1/3; 1)~2,7 %, δ(2/3; 2/3)~3,9 %, δΩ~12 %; при Δ = 15 % — δ(1/3;1)~5,7 %, δ(2/3; 2/3)~2,45 %, δΩ~10 %; при Δ = 20 % — δ(1/3; 1)~2,1 %, δ(2/3; 2/3)~1,8 %, δΩ~14,25 %. Время рас- Ю. В. ГЛАСКО 180 Геофизический журнал № 6, Т. 35, 2013 чета менее 1 мин (~10 с). Если при точно задан- ном δГ конкретизируем сегмент плотностей и геометрию (εМК = 10–5), то δ(1/3; 1)~1,6 %, δ(2/3; 2/3)~1,24 %, δΩ~1,2 %. Если при этом проводит- ся стабилизация, то (средние по пяти расче- там, N = 300, εМК = 10–3, α = 100) получим δ(1/3; 1)~0,59 %, δ(2/3; 2/3)~0,69 %, δΩ~0,68 %. Пример- но такой же результат при N = 300, εМК = 10–5, α = 1. Время расчета 10 с—2 мин. Если конкретизирован сегмент плотностей и проводится регуляризация с использованием тихоновского функционала, то для Δ = 5 % (α = 2, εМК = 10–3) погрешность (средняя по пяти расче- там, N = 300) в основных точках δ(1/3; 1)~2,05 %, δ(2/3; 2/3)~2,4 %, δΩ~1 % (время расчета ~25 мин). Для Δ = 10 %: δ(1/3; 1)~1,47 %, δ(2/3; 2/3)~1,97 %, δΩ~0,33 %. Если задать помимо сегмента плотно- стей геометрию и провести регуляризацию, то (εМК = 10–2, α = 100) для Δ = 5 %: средние значения погрешностей — δ(1/3; 1)~1,65 %, δ(2/3; 2/3)~1,5 %, δΩ~1,6 %. Для Δ = 10 %: δ(1/3; 1)~1,65 %, δ(2/3; 2/3)~1,8 %, δΩ~1,5 %. Для Δ = 15 %: δ(1/3; 1)~1,5 %, δ(2/3; 2/3)~1,4 %, δΩ~1,4 %. Для Δ = 20 %: δ(1/3; 1)~1,23 %, δ(2/3; 2/3)~1,5 %, δΩ~1,25 %. Время расчета менее 10 с. Из расчетов следует, что параметр регуля- ризации и точность метода Монте-Карло взаи- мозависимы и их согласование определяет как точность всего алгоритма концентрации, так и tсч. Оптимальными считаются 300 опытов мето- да Монте-Карло. Априорной информации о сег- ментах плотностей нефти вполне достаточно, чтобы в рамках регуляризации получить при- емлемые результаты даже при большой (~20 %) погрешности во входных данных. Априорная информация о геометрии снижает требования по точности к методу Монте-Карло и увели- чивает эффективность регуляризации при по- грешностях, значительно снижая время счета. Выводы. Построены модели и конечно- разностные схемы выметания и концентрации. Предложены несколько алгоритмов концентра- ции. Первый из них для 2D случая предполага- ет метод палеток для определения геометрии и плотности залежи углеводородов. Второй алгоритм базируется на процессе статисти- ческой регуляризации. Этот алгоритм может применяться в рамках априорной информации о плотности, геометрии и поточечно. Использо- вание регуляризации на основе тихоновского функционала дает устойчивые результаты при погрешностях во входных данных. Список литературы Аронов В. И. К вопросу о решении задачи Неймана в гравиметрии // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. — 1967. — № 2. — C. 54—59. Деклу Ж. Метод конечных элементов. — Москва: Мир, 1976. – 95 c. Зидаров Д. Обратна гравиметрична задача в геопро- учването и геодезията. — София: Изд. Болгар. АН, 1984. — 278 с. Интерпретация гравитационных и магнитных полей: Cб. науч. тр. / Отв. ред. В. Н. Страхов, В. И. Старостенко. — Киев: Наук. думка, 1992. — 248 с. Мегеря В. М., Филатов В. Г., Старостенко В. И., Корчагин И. Н., Лобанов А. М., Гласко Ю. В., Волоцков М. Ю., Скачков С. А. Возможности и перспективы применения несейсмических ме- тодов для поисков скоплений углеводородов и геосолитонная концепция их образования // Гео- физ. журн. — 2012. — 34, № 3. — C. 4—21. Самарский А. А. Теория разностных схем. — Москва: Наука, 1983. — 616 с. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — Москва: Наука, 1989. — 429 с. Cтепанова И. Э. О восстановлении источника грави- тационных масс в задачах типа рудных // Физика Земли. — 1998. — № 11. — С. 86—89. Степанова И. Э. S-аппроксимации в методе линей- ных интегральных представлений при решении задач геофизики: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Москва: ИФЗ РАН, 2003. — 316 c. Страхов В. Н. О выметании масс по Пуанкаре и его использовании при решении прямых и обратных задач гравиметрии // Докл. АН СССР. — 1977б. — 236, № 1. — С. 54—57. Страхов В. Н. О подходе к решению обратных задач гравиметрии, основанном на теории эквивалент- ных перераспределений масс // Докл. АН СССР. — 1977а. — 236, № 3. — С. 571—574. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некор- ректных задач. — Москва: Наука, 1979. — 284 с. Тихонов А. Н., Кальнер В. Д., Гласко В. Б. Математиче- ское моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. — Москва: Машиностроение, 1990. — 263 c. Филатов В. Г. Устойчивые способы обработки и интерпретации потенциальных полей на осно- МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ КОНЦЕНТРАЦИИ МАСС Геофизический журнал № 6, Т. 35, 2013 181 ве регуляризации и концентрации источников: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Киев: ИГФ АН УССР, 1988. — 49 c. Филатов В. Г., Старостенко В. И., Мегеря В. М., Зи- новкин С. В., Михайлов И. Н., Гласко Ю. В. Опре- деление плотности горных пород по образцам и каротажу / Определение плотностей горных пород и геологических объектов в нефтегазо- разведке: Уч. пособие. — Москва: Изд. РГГРУ, 2011а. — С. 12—55. Филатов В. Г., Старостенко В. И., Мегеря В. М., Зи- новкин С. В., Михайлов И. Н., Гласко Ю. В. Опре- деление плотности по наземным и скважинным гравиметрическим измерениям / Определение плотностей горных пород и геологических объек- тов в нефтегазоразведке: Уч. пособие. — Москва: Изд. РГГРУ, 2011б. — С. 56—146. Цирульский А. В. О редукции потенциальных геофи- зических полей на внешнюю плоскость // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1975. — № 7. — С. 43—47.

Модели и алгоритмы концентрации масс

Репозитарії

Схожі ресурси