Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах

Получены условия сопряжения вектора напряженности статического поля на поверхности раздела двух однородных сред. Обосновано положение о том, что в неоднородных средах статические векторные поля являются квазипотенциальными, а функция потенциала поля не удовлетворяет уравнению Лапласа. Результаты спр...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Вдовина, Е.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України 2011
Schriftenreihe:	Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики
Schlagworte:	Математична обробка геофізичної інформації
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100189
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах / Е.П. Вдовина // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2011. — Вип. 8. — С. 192-200. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-100189
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1001892016-05-18T03:02:44Z Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах Вдовина, Е.П. Математична обробка геофізичної інформації Получены условия сопряжения вектора напряженности статического поля на поверхности раздела двух однородных сред. Обосновано положение о том, что в неоднородных средах статические векторные поля являются квазипотенциальными, а функция потенциала поля не удовлетворяет уравнению Лапласа. Результаты справедливы для гравитационного, электростатического, магнитного полей. Отримано граничні умови для вектора напруженості статичного поля на поверхні розмежування двох однорідних середовищ. Обґрунтовано твердження, що в неоднорідних середовищах статичні векторні поля є квазіпотенціальними, а функція потенціалу поля не задовільняє рівнянню Лапласа. Результати є придатними для гравітаційного, електростатичного, магнітного полів. The conditions of conjugation of the intensity vector of the static field at the interface between two homogeneous mediums is obtained. The substantiation of the fact that in heterogeneous mediums the static vector fields are quasipotential and the function of the potential field does not satisfy the Laplace equation is adduced. The results are valid for the gravitational, lectrostatic, magnetic fields. 2011 Article Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах / Е.П. Вдовина // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2011. — Вип. 8. — С. 192-200. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 2409-9430 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100189 550.83 ru Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математична обробка геофізичної інформації Математична обробка геофізичної інформації
spellingShingle	Математична обробка геофізичної інформації Математична обробка геофізичної інформації Вдовина, Е.П. Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики
description	Получены условия сопряжения вектора напряженности статического поля на поверхности раздела двух однородных сред. Обосновано положение о том, что в неоднородных средах статические векторные поля являются квазипотенциальными, а функция потенциала поля не удовлетворяет уравнению Лапласа. Результаты справедливы для гравитационного, электростатического, магнитного полей.
format	Article
author	Вдовина, Е.П.
author_facet	Вдовина, Е.П.
author_sort	Вдовина, Е.П.
title	Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах
title_short	Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах
title_full	Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах
title_fullStr	Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах
title_full_unstemmed	Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах
title_sort	анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах
publisher	Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Математична обробка геофізичної інформації
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100189
citation_txt	Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах / Е.П. Вдовина // Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. пр. — 2011. — Вип. 8. — С. 192-200. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики
work_keys_str_mv	AT vdovinaep analizsistemyuravnenijstatičeskogopolâvneodnorodnyhsredah
first_indexed	2025-07-07T08:30:56Z
last_indexed	2025-07-07T08:30:56Z
_version_	1836976237535297536
fulltext	192 Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2011 УДК 550.83 © Е.П. Вдовина, 2011 Научно-исследовательский институт гидрогеологии, инженерной геологии и экогеологии, г. Ивано-Франковск АНАЛИЗ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ Получены условия сопряжения вектора напряженности статического поля на поверхности раздела двух однородных сред. Обосновано положение о том, что в неоднородных средах статические векторные поля являются квазипотенциальны- ми, а функция потенциала поля не удовлетворяет уравнению Лапласа. Результа- ты справедливы для гравитационного, электростатического, магнитного полей. Ключевые слова: сопряжение, вектор напряженности, потенциал, уравнение Лапласа. В теории и практике интерпретации данных геопотенциальных по- лей отмечается существенная разноплановость математических под- ходов к решению прямых и обратных задач. Это обусловлено отсут- ствием универсальной технологии интерпретации данных. Одним из путей поиска оптимальной схемы интерпретации может служить ис- пользование в качестве теоретического базиса системы уравнений статического векторного поля в неоднородной среде, приведенной в работе [1]. Система в равной мере пригодна для гравитационного поля в неоднородной геоплотностной среде и для электростатического поля как в проводниках, так и в диэлектриках. Эти уравнения также воз- можно использовать для расчетов в смешанных средах, состоящих для электрического поля из системы неподвижных электрических за- рядов, которые произвольно расположены в неоднородном диэлектри- ке. Для магнитного поля возможно задание среды, неоднородной по магнитным свойствам и содержащей произвольное распределение магнитных масс различной плотности. Для изложения некоторых результатов анализа системы дифферен- циальных уравнений представляется целесообразным кратко изложить основные положения [1]. Универсальность системы достигается введе- нием в рассмотрение функции C(x, y, z), характеризующей физические свойства среды. Для гравитационного поля – это функция разности плот- 193 Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2011 ности источника (массы, занимающей элементарный объем dV) σист и плотности вещества: ист( , , ) γ(σ σ( , , )) ,C x y z x y z dV= − где γ – гравитационная постоянная; σ(x, y, z) – плотность среды. Для электростатического поля одного источника элементарного объе- ма с плотностью заряда эл истδ характеристика среды с диэлектрической проницаемостью ε(x, y, z) и неподвижными электрическими зарядами с плотностью δэл(x, y, z) определяется формулой эл эл ист(δ -δ ( , , ))( , , ) ε( , , ) x y z dVC x y z x y z = . Для магнитного поля, создаваемого магнитной массой элементар- ного объема плотностью м истδ , характеристика среды с магнитной про- ницаемостью µ(x, y, z) и неподвижными магнитными массами, распре- деленными в пространстве, с плотностью δм(x, y, z) описывается форму- лой м м ист(δ -δ ( , , ))( , , ) μ( , , ) x y z dVC x y z x y z = . Приведем систему дифференциальных уравнений, позволяющих оп- ределить напряженность поля одного источника в неоднородной среде: срdiv 0 C     =     E . (1) срrot 0 C     =     E . (2) Система (1), (2) является основной для определения статического поля в неоднородной среде. Аналогично можно получить уравнение для нахождения потенциала поля в неоднородной среде: ср 0 U C   ∆ =    . (3) Уравнения (1), (2) записаны для точек поля, в которых отсутствуют скачки характеристики среды, т. е. функция С непрерывна и существу- 194 Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2011 ют как минимум ее первые производные. Распишем эти уравнения в подробной форме: ср ср ср 1 1div div grad 0 C C C     = + =     E E E , ср ср ср 1 1rot rot grad 0 C C C      = + × =      E E E , где • • – скалярное произведение векторов; [ ]•×• – векторное произ- ведение векторов. Отсюда следует, что в неоднородных средах ни дивергенция, ни ро- тор вектора напряженности статического векторного поля не равны нулю: ср ср 1div grad C C = −E E , ср ср 1rot gradC C  = − ×   E E . Однако на поверхности раздела слоев с постоянной плотностью при скачкообразном изменении характеристики среды gradC достигает очень больших значений, и уравнения (1), (2) теряют смысл. Посколь- ку такая простейшая модель играет важную роль для практики, необ- ходимо определить граничные условия, т. е. условия сопряжения век- торов напряженности поля в двух бесконечно близких точках, находя- щихся по разные стороны от поверхности раздела двух сред с различ- ными плотностями. Граничные условия. Сформулируем граничные условия для мо- дели, когда плоская поверхность разделяет две среды, в каждой из кото- рых характеристики сред постоянны: С1 = const и С2 = const. Для определения первого граничного условия воспользуемся уравнени- ем (2), которое запишем в виде равенства нулю поверхностного ротора [2]: ср ср ср 2 1 rot 0 C C C            = × − =             E E En , где n – вектор нормали к поверхности раздела. 195 Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2011 Из последнего выражения следует, что тангенциальные компоненты вектора ср τ C         E всегда непрерывны при переходе через поверхность раз- дела сред с различными характеристиками. Поскольку вдоль поверхно- сти раздела сред характеристика С остается неизменной, то и тангенци- альные компоненты вектора Eср τ также остаются непрерывными: 21сp τ сp τ=E E . (4) Для записи второго граничного условия, определяющего разрыв нор- мальных компонент вектора Eср, запишем (1) как равенство нулю поверх- ностной дивергенции [2]: ср ср ср 2 1 div 0 C C C          = − =           E E En , откуда следует равенство нормальных компонент ср ср 1 2 C C        =          n n E E . В первой среде 1 ср ср 1 1 C C     =     n n EE . Тогда нормальная компонента вектора напряженности поля может быть определена из равенства ср 1 ср 2 1 2C C =n nE E . (5) Отсюда второе граничное условие определяется выражением 1 2 ср 2 ср 1 C C =n nE E . (5') 196 Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2011 Таким образом, тангенциальные компоненты вектора Eср остаются непрерывными, а нормальные составляющие напряженности поля ис- пытывают разрыв, меняясь пропорционально отношению физических характеристик сред. Аналогии граничных условий для гравитационного и элект- ростатического полей. Аналогии с электростатическим полем в диэ- лектриках для гравитационного поля вытекают из одинакового формаль- ного наполнения понятий безразмерного коэффициента ослабления на- пряженности (потенциала) ист ср ист σ − σ σ и диэлектрической проницаемости ε в однородных средах: - для электростатического поля: “влияние однородной среды выража- ется только в уменьшении напряженности поля в ε раз по сравнению с полем в вакууме” [3]; - для гравитационного поля: влияние однородной среды выражается только в уменьшении напряженности поля в ист ср ист σ − σ σ раз по срав- нению с полем в вакууме. Однако существует смысловое физическое различие при проведе- нии подобного рода аналогий. Оно основано на том, что “…в отношении электрических свойств все тела делятся на две категории – проводники и диэлектрики, причем первые отличаются от вторых тем, что всякое электрическое поле вызывает в них движение зарядов – электрический ток” [4]. По отношению же к гравитационному полю среды могут со- стоять только из масс, т. е. только из источников идентичного поля, ко- торые, исходя из сходства фундаментальных законов, аналогичны заря- дам. Поэтому с точки зрения физической природы полей более уместны аналогии между электростатическим полем в проводниках и гравитацион- ным полем в сплошных плотностных средах. Рассмотрим электростатическое поле однородного проводника и гравитационное поле однородной массы. Под однородностью понимается постоянство объемной плотности электрических зарядов δэл и объем- ной плотности вещества σ. Предположим, что внешние по отношению к проводнику и массе поля (электрическое и гравитационное соответствен- но) отсутствуют. 197 Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2011 “Из основного свойства проводников, прежде всего, следует, что в электростатическом случае напряженность электрического поля внутри них должна быть равна нулю. Действительно, отличная от нуля напря- женность E привела бы к возникновению тока; между тем распростра- нение тока в проводнике связано с диссипацией энергии и поэтому не может само по себе (без внешних источников энергии) поддерживаться в стационарном состоянии. Отсюда, в свою очередь, следует, что все заряды в проводнике дол- жны быть распределены по его поверхности: наличие зарядов в объеме проводника непременно привело бы к возникновению электрического поля в нем; распределение же зарядов по поверхности может быть осуще- ствлено таким образом, чтобы создаваемые ими внутри проводника поля взаимно компенсировались” [4]. При анализе задачи о поле однородного проводника и однородной массы получаем результат, совпадающий с первым положением цитаты из работы [4], приведенной выше: напряженность поля внутри однород- ного тела должна быть равна нулю. Однако из предлагаемой постановки задачи вытекает иное объяснение этого факта: распределение масс (за- рядов) необязательно должно иметь место только по поверхности тела (проводника), поскольку при однородности тел в отношении как плотности вещества, так и плотности электрических зарядов поля от соседних эле- ментов среды взаимно компенсируют друг друга, что приводит к сум- марному нулевому эффекту внутри тела. Исходя из граничных условий (4) и (5), гравитационное поле должно быть нормальным к поверхности однородного изолированного тела в каждой точке данной поверхности. Это следует из условия непрерывнос- ти тангенциальных компонент напряженности по поверхности: посколь- ку внутри тела напряженность поля, создаваемая каждой отдельной эле- ментарной массой dm = σdV, равна нулю, то касательные компоненты поля на поверхности также равны нулю. Нормальная компонента поля определяется из второго граничного условия (5) с учетом того обстоятельства , что внутри тела ист ср ист вср σ σ σ − =E E для гравитационного поля и ср в εэл эл= ⋅E E для электро- статического поля: 198 Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2011 ср в=n nE E ; эл ср эл в=n nE E . Нормальная компонента статического поля одного источника с внут- ренней стороны поверхности однородного тела равна нулю, при перехо- де через поверхность терпит разрыв и становится равной нормальной компоненте напряженности поля этого источника в вакууме. Таким образом, суммарное статическое поле должно быть нормаль- ным к поверхности однородного изолированного тела в каждой ее точ- ке. Поскольку Eср = –gradUср, то это значит, что потенциал поля должен быть постоянным вдоль поверхности тела. Иными словами, поверхность однородного изолированного от внешних воздействий тела представля- ет собой эквипотенциальную поверхность гравитационного (электроста- тического, магнитного) поля. Этот результат полностью совпадает с теорией электростатичес- кого поля в проводниках [4]. Единственное различие заключается в нахождении нормальной компоненты поля при переходе через поверх- ность однородного тела: в электростатике проводников нормальная ком- понента =4π σnE , т. е. определяется поверхностной плотностью заря- дов σ [4], а в данной работе предложено полагать нормальную компо- ненту для любого из полей равной нормальной составляющей поля в вакууме. Потенциал в неоднородных средах. Распишем уравнение (3) в подробном виде: ср ср ср 1 1 12 grad grad Δ 0U U U C C C ∆ + + = . (6) Для однородных и кусочно-однородных сред приходим к известно- му результату, что в точках, свободных от источников [3], ср 0U∆ = . Для неоднородных сред при выполнении условия непрерывности функ- ции С и существования ее вторых производных лапласиан Uср, как это видно из (6), не равен нулю: срΔ 0U ≠ . 199 Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2011 В неоднородных средах гармонической является функция срU C       , а не потенциал поля. Это означает, что функция Uср может достигать мини- мального и/или максимального значения не только на границах, но и внутри области поля. Таким образом, благодаря предлагаемой постановке за- дачи снимаются ограничения [5] на поиски решения только в классе гар- монических функций. Предлагаемые в данной работе результаты анализа системы урав- нений для геопотенциальных полей могут рассматриваться как основа для дальнейших теоретических разработок в направлении, например, создания унифицированной или комплексной системы обработки данных гравиметрии, электрометрии, магнитометрии с учетом неоднородности разнородных физических свойств геологических сред. При этом возмож- на интеграция методических приемов, разработанных для различных геофизических методов. 1. Вдовина Е.П. О влиянии среды на гравитационное поле массы // Вісн. Київ. нац. ун- ту ім. Т. Шевченка. Геологія. – 2010. – № 51. – С. 29–35. 2. Булах Е.Г., Шуман В.Н. Основы векторного анализа и теории поля / Киев: Наук. думка, 1998. – 360 с. 3. Овчинников И.К. Теория поля / Изд. 2-е, перераб. – М.: Недра, 1979. – 352 с. 4. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Теоретическая физи- ка. Т. 8. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. – 620 с. 5. Кобрунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложнопостроенных сред / Киев: УМК ВО, 1989. – 100 с. Аналіз системи рівнянь статичного поля в неоднорідних середовищах О.П. Вдовіна РЕЗЮМЕ. Отримано граничні умови для вектора напруженості статичного поля на поверхні розмежування двох однорідних середовищ. Обґрунтовано тверджен- ня, що в неоднорідних середовищах статичні векторні поля є квазіпотенціальними, а функція потенціалу поля не задовільняє рівнянню Лапласа. Результати є при- датними для гравітаційного, електростатичного, магнітного полів. Ключові слова: граничні умови, вектор напруженості, потенціал, рівняння Лап- ласа. 200 Зб. наук. праць “Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики”, 2011 The Analysis of the System of Equations of the Static Fields in Inhomogeneous Environments E.P. Vdovina SUMMARY. The conditions of conjugation of the intensity vector of the static field at the interface between two homogeneous mediums is obtained. The substantiation of the fact that in heterogeneous mediums the static vector fields are quasipotential and the function of the potential field does not satisfy the Laplace equation is adduced. The results are valid for the gravitational, electrostatic, magnetic fields. Keywords: conjugation, intensity vector, potential, Laplace equation.

Анализ системы уравнений статического поля в неоднородных средах

Institution

Ähnliche Einträge