О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей
Досліджено практичну стійкість руху робота, що взаємодіє із середовищем. Встановлено достатні умови практичної стійкості руху робота навколо заданої траєкторії при силі взаємодії між роботом та середовищем, що підкоряється заданому закону....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100583 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей / А.А. Мартынюк, А.С. Хорошун, А.Н. Черниенко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 115-123. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-100583 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1005832016-05-25T03:02:22Z О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. Черниенко, А.Н. Досліджено практичну стійкість руху робота, що взаємодіє із середовищем. Встановлено достатні умови практичної стійкості руху робота навколо заданої траєкторії при силі взаємодії між роботом та середовищем, що підкоряється заданому закону. A practical stability of motion of the robot that interacts with an environment is studied. The sufficient conditions of practical stability of the motion around a programmed trajectory are established for the force of interaction between robot and environment which obeys the given law. 2014 Article О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей / А.А. Мартынюк, А.С. Хорошун, А.Н. Черниенко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 115-123. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100583 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Досліджено практичну стійкість руху робота, що взаємодіє із середовищем. Встановлено достатні умови практичної стійкості руху робота навколо заданої траєкторії при силі взаємодії між роботом та середовищем, що підкоряється заданому закону. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. Черниенко, А.Н. |
| spellingShingle |
Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. Черниенко, А.Н. О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей Прикладная механика |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. Черниенко, А.Н. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей |
| title_short |
О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей |
| title_full |
О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей |
| title_fullStr |
О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей |
| title_full_unstemmed |
О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей |
| title_sort |
о практической устойчивости движения робота относительно заданных областей |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100583 |
| citation_txt |
О практической устойчивости движения робота относительно заданных областей / А.А. Мартынюк, А.С. Хорошун, А.Н. Черниенко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 115-123. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa opraktičeskojustojčivostidviženiârobotaotnositelʹnozadannyhoblastej AT horošunas opraktičeskojustojčivostidviženiârobotaotnositelʹnozadannyhoblastej AT černienkoan opraktičeskojustojčivostidviženiârobotaotnositelʹnozadannyhoblastej |
| first_indexed |
2025-07-07T09:02:25Z |
| last_indexed |
2025-07-07T09:02:25Z |
| _version_ |
1836978219455086592 |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 1
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, №1 115
А .А .Ма р ты ню к , А . С .Х о р ош у н , А .Н .Ч е р н и е н к о
О ПРАКТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ РОБОТА
ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАДАННЫХ ОБЛАСТЕЙ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail:center@inmech.kiev.ua
Abstract. A practical stability of motion of the robot that interacts with an environment
is studied. The sufficient conditions of practical stability of the motion around a pro-
grammed trajectory are established for the force of interaction between robot and environ-
ment which obeys the given law.
Key words: robot interacting with an environment, programmed motion, practical sta-
bility, Lyapunov function.
Введение.
Широкое применение роботов в различных производствах стимулирует совер-
шенствование как математических моделей их поведения, так и средств качест-
венного анализа движений. Одной из центральных проблем в этом направлении явля-
ется анализ практической устойчивости робота, взаимодействующего со средой.
В данной статье получены достаточные условия движения робота относительно на-
перед заданных областей в фазовом пространстве, которые характеризуют начальное
состояние и область допустимых движений, при условии, что сила взаимодействия ро-
бота со средой асимптотически стремится к наперед заданной. Статья является про-
должением работы [12] и в ней сохранены принятые там обозначения.
1. Постановка задачи.
Движение робота описываем следующей системой дифференциальных уравнений
[3, 14]:
( ) ( , ) = ( ) ,TH q q h q q J q F
где , , nq q q R – векторы обобщенных координат, скоростей и ускорений робота;
( )H q – положительно определенная матрица моментов инерции манипуляторов;
( , )h q q – n -мерная нелинейная вектор-функция, которая вводит в рассмотрение мо-
менты центробежных, кориолисовых и гравитационных сил; = ( )t – n -мерный век-
тор управления; ( )TJ q – n m -мерная матрица Якоби, которая описывает взаимосвязь
между скоростями рабочих органов робота и его обобщенными скоростями; = ( )F F t –
n -мерный вектор обобщенных сил или обобщенных сил и моментов сил, действующих
на исполнительные органы робота со стороны динамической среды.
Если среда не обладает смещениями, которые независимы от движений исполни-
тельных органов робота, то ее математическая модель описывается нелинейным век-
торным уравнением следующего вида, [3]:
( ) ( , ) = , = ( ),M s s L s s F s q
116
где s – вектор смещений среды; ( )q – векторная функция, связывающая коор-
динаты s и .q При некоторых предположениях [3] это уравнение можно предста-
вить в виде
( ) ( , ) = ( ) ,TM q q L q q S q F
где ( )M q – невырожденная матрица размерности ;n n ( , )L q q – нелинейная
n -мерная векторная функция; ( )TS q – n -мерная матрица ранга .n
Таким образом, совокупность систем уравнений, которые описывают движение
робота и поведение среды, представляют собой математическую модель робота,
взаимодействующего со средой. Согласно работам [3, 10, 14], указанную совокуп-
ность систем дифференциальных уравнений можно привести к векторному диффе-
ренциальному уравнению
0 0= ( ) ( , ) ( , ) ( ), ( ) = ,
dx
A t x t x t x t x t x
dt
(1)
где 2( ) nx t R – вектор состояния робота в момент ;t R ( )A t – матрица и
( , ) = ( )t x o x при 0x ; ( , ) ( )t x t – вектор-функции соответствующей размер-
ности. Вопрос об устойчивости движения робота, взаимодействующего со средой,
решаем путем рассмотрения решений системы уравнений, состоящей из уравне-
ния (1) и уравнения
= ( ), ( ) = ( ) ( ),p
d
Q t F t F t
dt
(2)
где функция ( )Q t характеризует качество переходного процесса при соответствую-
щих предположениях о функциях, описывающих воздействие среды на робот. Отме-
тим, что поскольку силу взаимодействия между средой и роботом ( )F t предполагаем
асимптотически стремящейся к наперед заданной ( ),pF t то решение уравнения (2)
( ) = 0t предполагаем также асимптотически устойчивым.
Уравнение движения робота, взаимодействующего со средой, представим в виде
0
= ( ) ( , ) ( , ) ( ( )) ,
t
t
dx
A t x t x t x Q s ds
dt
(3)
принимая во внимание, что вектор-функция ( )t имеет представление
0
( ) = ( ( )) .
t
t
t Q s ds (4)
Пусть ( )S t обозначает открытую связную область в 2 ,nR ( )S t – замыкание
( )S t и ( )S t – граница области ( ).S t Предположим, что область ( )S t ограничена
при всех t R и *
*
( ) = ( )lim
t t
S t S t
существует при любом * .t R Обозначим
2
0 0 0 0( ) \ ( ) = { : ( ), ( )}.nS t S t x R x S t x S t
Определение 1. Движение ( )x t исполнительного органа робота практически ус-
тойчиво относительно 0 0 0( ( ), ( ), , ),S t S t t если при 0 0 0( )x S t решение 0 0( , , )x t t x
уравнения (3) удовлетворяет условию 0 0( , , ) ( )x t t x S t при всех 0 0 ,t t t .
117
Если условия этого определения выполняются при любом 0 ,t R тогда движение
( )x t равномерно по 0t практически устойчиво относительно областей 0 ( ), ( ).S t S t
Если в Определении 1 величина < , то речь идет о практической устойчиво-
сти относительно 0 0 0( ( ), ( ), , )S t S t t на конечном интервале времени .
Заметим, что из непрерывности функции ( , )t x и устойчивости решения
( ) = 0t уравнения (4) следует существование интегрируемой функции ( )w t и посто-
янной > 0M таких, что
( , ) ( ) ( )t x t Mw t (5)
при всех ( , ) ( ),t x R S t где ( )t удовлетворяет соотношению (4).
Кроме того, так как ( , ) = ( )t x o x при 0,x то существует интегрируемая
функция ( )c t и постоянная > 1k такие, что
( , ) ( )
k
t x c t x (6)
при всех ( , ) ( ).t x R S t
Вектор-функции ( , )t x и ( , ) ( )t x t в уравнении (1) рассматриваем как воз-
мущения системы
0 0= ( ) , ( ) = .
dx
A t x x t x
dt
(7)
Целью этой статьи является получение условий 0 0 0( ( ), ( ), , )S t S t t практической
устойчивости движения исполнительного органа робота при условии, что сила взаи-
модействия робота со средой асимптотически стремится к наперед заданной.
2. Основной результат.
Так как система (7) – линейная, то качественный анализ движения, которое
описывается уравнением (3), можно провести при помощи вспомогательной
функции вида
2( ) = ,T nV x x x x R (8)
и ее полной производной вдоль решений этой системы.
Заметим, что ( ) = 0V x при = 0x и ( ) > 0V x при 2 \{0}.nx R Нетрудно пока-
зать, что
(7)2 ( ) | 2 ( )m M
dV
t t
dt
, (9)
где ( )m t и ( )M t – минимальные и максимальные собственные значения матрицы
1( ) = 0,5( ( ) ( )).TC t A t A t
Для полной производной функции (8) имеем равенство
(3) (7)| = | ( , ) ( ( , )) ( ( , ) ( )) ( , ) ( ).T T T TdV dV
x t x t x x t x t x x t x t
dt dt
(10)
Учитывая оценки (5), (6), получаем:
1)
1
( , ) ( ( , )) 2 ( , ) 2 ( )
kT Tx t x t x x t x x c t x (11)
при всех ( , ) ( );t x R S t
2) ( ( , ) ( )) ( , ) ( ) 2 ( , ) ( ) 2 ( )T Tt x t x x t x t t x t x Mw t x (12)
при всех ( , ) ( ).t x R S t
118
Принимая во внимание оценки (11), (12), соотношение (10) приведем к виду
(3)| 2 ( ) ( , )M
dV
t t x
dt
(13)
при ( , ) ( ),t x R S t где 1
( , ) = 2 ( ) ( )
k
t x c t x Mw t x , > 1.k
Таким образом, при выполнении условий (5), (6) для полной производной функ-
ции (8) вдоль решений системы (3) верна оценка (13). Предположим, что
0 0( ) ( )S t S t и 0 0( ) ( ) =S t S t при всех 0.t t
Имеет место следующее утверждение о практической устойчивости движения ис-
полнительного органа робота относительно областей 0 0( ), ( ).S t S t
Теорема 1. Пусть слагаемые правой части системы уравнений (1) удовлетворя-
ют условиям (5), (6) и выполняется неравенство
0
0 0 00
[2 ( ) ( , ( ))] ( ( )) ( ( ))supinf
( ) ( )
M
xt x
t
s s x s ds V x t V x t
S t S t
(14)
при всех ,t R 0 0 ,t t t . Тогда движение робота, взаимодействующего
со средой, практически устойчиво относительно 0 0 0( ( ), ( ), , ).S t S t t
Доказательство. Пусть 0 0( ; , )x t t x – решение уравнения (1) с начальным услови-
ем 0 0 0( )x S t . Предположим, что существует момент 1 0 0( , )t t t такой, что
1 0 0 1( ; , ) ( )x t t x S t и 0 0( ; , ) ( )x t t x int S t при 0 1( , ).t t t При выполнении условий (5),
(6) для функции (8) имеем
1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0(3)
0
1 1
0 0 (7)
0 0
( ( ; , )) = ( ( ; , )) ( ( ; , )) = ( ( ; , ))
( ( ; , )) | ( ( ) ( , ( )) ( ( , ( ))) ( ) ( ( , ( )) ( )) ( )
( ) ( , ( )) ( )) ,
t
T T T
t t
T
t
V x t t x V x t t x V x s t x ds V x t t x
t t
V x s t x ds x s s x s s x s x s s x s s x s
x s s x s s ds
откуда получаем оценку
1
1 0 0 0 0 0
00 00
( ( ; , )) < ( ( )) [2 ( ) ( , ( ; , ))] ,sup
( )
M
tx
t
V x t t x V x t s s x s t x ds
S t
которая при выполнении неравенства (14) приводит к противоречию
1 0 0 0 1 0
10 0 0 00 0
( ( ; , )) < ( ( )) ( ( )) ( ( ))sup supinf
( )( ) ( )xx x
V x t t x V x t V x t V x t
S tS t S t
или
1 0 0 1
1
( ( ; , )) < ( ( )).inf
( )x
V x t t x V x t
S t
119
Из этого неравенства следует, что 1 0 0 1( ; , ) ( )x t t x S t и, следовательно, противо-
речит принятому предположению о достижении решением 0 0( ; , )x t t x границы об-
ласти ( )S t в момент 1= .t t Следовательно, не существует 1 0 0( , ),t t t при кото-
ром движение робота покинет область ( )S t при условии, что оно начинается в
области 0 0( ).S t
Теорема 2. Пусть слагаемые правой части системы уравнений (1) удовлетворя-
ют условиям (5), (6) и выполняется неравенство
2
2 1
21 0 1
[2 ( ) ( , ( ))] ( ( )) ( ( ))supinf
( ) ( )
M
xt x
t
s s x s ds V x t V x t
S t S t
(15)
при всех 1 2, ,t t R 0 1 2 0< ,t t t t . Тогда движение робота, взаимо-
действующего со средой, равномерно практически устойчиво относительно об-
ластей 0 ( ), ( ).S t S t
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству Теоремы 1.
Замечание 1. Области ( ),S t 0 ( ),S t указанные в Теоремах, могут быть определены так:
2( ) = { : < ( )},nS t x R x M t где
0
( ) = exp[ ( ) ]M
t
t
M t A s ds и 2
0 ( ) = { : < ( )},nS t x R x m t
где
0
( ) = exp[ ( ) ],M
t
t
m t s ds 0 < < .A
Замечание 2. Во многих практически важных случаях [1] области ( ),S t 0 ( )S t оп-
ределяются так:
2 2
0= { : < }; = { : < } 0 < < .n nS x R x A S x R x A
При этом, величины и A заранее задаются, исходя из допустимых начальных
движений робота и качества переходного процесса.
Пусть области ( ),S t 0 ( )S t такие, как определены в Замечании 2. Принимая во
внимание, что для функции (8) в этом случае верны соотношения
2 2 2 2
= =
( ) ( ) = = ,sup supinf inf
x A x Ax x
V x V x x x A
Теорема 1 и Теорема 2 примут следующий вид.
Следствие 1. Пусть слагаемые правой части системы уравнений (1) удовлетворя-
ют условиям (5), (6), области ( ),S t 0 ( )S t определяются как в Замечании 2 и при всех
,t R 0t t , выполняется неравенство
2 2
0
[2 ( ) ( , ( ))] .M
t
t
s s x s ds A (16)
Тогда движение робота, взаимодействующего со средой 0( , , )A t , практически устойчиво.
Если соотношение (16) выполняется для всех 0 0 ,t t t то говорят о
0( , , , )A t практической устойчивости, т. е. о практической устойчивости на конеч-
ном интервале времени .
120
Следствие 2. Пусть слагаемые правой части системы уравнений (1) удовлетворя-
ют условиям (5), (6), области ( ),S t 0 ( )S t определяются как в Замечании 2 и при всех
1, , 2 ,t t R 0 1 2<t t t , выполняется неравенство
2
2 2
1
[2 ( ) ( , ( ))] .M
t
t
s s x s ds A
Тогда движение робота, взаимодействующего со средой ( , )A , равномерно прак-
тически устойчиво.
3. Пример.
В качестве примера рассмотрим взаимодействие робота со средой, динамика ко-
торой описывается нелинейной моделью вида
3
1 2= ,e eF m y b y k y k y (17)
где em – параметр, представляющий массу среды; eb – параметр, представляющий
демпфирование среды; 1 2,k k – коэффициенты жесткости среды. Заменой переменных
= ,py y где py – желаемая траектория движения робота, уравнение (17) приво-
дим к виду
2
2 1 23 22
3 3 1
= ,p pe
e e e e e
k y k k yb k
m m m m m
(18)
где ( ) = ( ) ( ),pt F t F t 1 2( ) = ,p
p
t
y t c e c
0( ) = (1 ),p
p
t
F t F e
> 0.p
Введя новые переменные 1 = ,x 2 = ,x 1 2= ( , )Tx x x , уравнение (18) приведем к виду
= ( ) ( , ) ( ) ( , ),x A t x t x t t x (19)
где приняты обозначения
2
1 2 2 2 32
1 1
0 1 00
3 31
( ) = ; ( , ) = ; ( , ) = .p pe
e e e e e
k k y k yb k
A t t x t x x x
m m m m m
Получим оценки, аналогичные (5), (6):
1
( , ) ( ) ,p
e
t
t x t e
m
где выбрано, что ( ) ( ) ;p
p
t
F t F t e
2 32 23
( , ) | | ,p
e e
k k
t x y x x
m m
где учтено,
что
22 2 2
1 1 2 =x x x x и
3 3
33 2 2 22 2
1 1 1 2| | = ( ) ( ) = .x x x x x
Вычисляя 1
1
( ) = ( ( ) ( ))
2
TC t A t A t , получаем, что
121
222
1 2
2
3
2 ( ) = 1 .pe e
M
e ee
k k yb b
t
m mm
Исходя из оценок для ( , ) ( )t x t и ( , )t x , получим равенство
3 42 23 1
( , ) = 2 | | .p
p
e e e
tk k
t x y x x e x
m m m
Области S и 0S выберем следующим образом:
2 2
0= { | }, = { | }, 0 < < .S x R x A S x R x A
Тогда, для практической устойчивости движения робота относительно областей
0( , )S S достаточно выполнения условия
2 2
0
[2 ( ) ( , ( ))] .
t
M s s x s ds A (20)
Оценим интеграл в левой части неравенства (20), принимая во внимание, что
x A и 0 < 1pt
e
для всех .t R Тогда имеем
22 2
1 2 1 2
2
0 0
3 (| | | |)
[2 ( ) ( , ( ))] < 1
t t
e e
M
e ee
b b k k c c
s s x s ds
m mm
3 42 2
1 2
3
2 (| | | |) =p p
e e e
s sk k A
c e c A A e ds
m m m
22 2
3 41 2 1 2 2 2
22
0
3 (| | | |) 6 2
= 1 | |
t
e e
e e e ee
b b k k c c k k
A c A
m m m mm
3 32 2
1 1
6 62 2 1
| | < | |p
e e e e p
sk kA A
A c e ds A c
m m m m
22 2
3 41 2 1 2 2 2
22
3 (| | | |) 6 2
1 | |e e
e e e ee
b b k k c c k k
A c A t
m m m mm
. (21)
Исходя из оценки (21), соотношение (20) будет выполняться для всех [0, ],t T где
2 2 32
1
22 2
3 41 2 1 2 2 2
22
6 2 1
| |
= ,
3 (| | | |) 6 2
1 | |
e e p
e e
e e e ee
k A
A A c
m m
T
b b k k c c k k
A c A
m m m mm
(22)
122
если только
2 22
1
6 2 1
| | < .
e e p
k
A c A
m m
Заметим, что соотношение (20) можно использовать как для оценки граничного
времени ,T при котором исходная система практически устойчива, так и для выбора
подходящих параметров исходной системы, при которых она будет практически ус-
тойчивой на предварительно заданном интервале.
Рассмотрим данный пример при конкретных числовых значениях параметров.
Выберем = 3,A = 2, 0 = 10F Н, 1 = 1000k Н/м, 2 = 3,05k Н/м = 20,p = 1000em кг,
= 0,5eb Нс/м. Тогда по формуле (22) определим величину = 10T с такую, что движе-
ние робота, которое описывается системой (3), при заданных числовых значениях
параметров будет практически устойчиво относительно величин (2, 3, 0, 10).
Решим обратную задачу. Пусть требуется выбрать параметры 1k и 2k системы
(17) таким образом, чтобы движение робота, которое описывается системой (3),
было практически устойчиво относительно величин (2, 3, 0, 10). Для этого рас-
смотрим функцию
2210 2
1 2
1 2 2
0
3
( , ) = 1 pe e
e ee
k k yb b
H k k
m mm
3 4 2 22 23 1
2 | | ( ).p
p
e e e
tk k
y x x e x ds A
m m m
Значения *
1k и *
2 ,k при которых * *
1 2( , ) < 0H k k и будут искомыми. На рис. 1 пред-
ставлено пересечение поверхности 1 2= ( , )z H k k плоскостью = 0,z ниже которой
функция 1 2= ( , )z H k k принимает отрицательные значения. Множество значений *
1k и
*
2k указано на рис. 2.
Рис. 1
Рис. 2
123
Заключение.
Понятие практической устойчивости является важным для прикладных задач [2,
5, 6, 13], где одним из приоритетов является изучение движения при заданных оцен-
ках областей начальных и последующих отклонений в течение фиксированного про-
межутка времени (конечного или неограниченного).
В данной статье исследована задача о практической устойчивости движения ро-
бота, взаимодействующего со средой. Получены достаточные условия такой устойчи-
вости в виде интегрального неравенства. Полученное неравенство может интерпрети-
роваться двояко: для оценки интервала времени, для которого имеет место практиче-
ская устойчивость системы (практическая устойчивость на конечном интервале); для
определения параметров системы, при которых практическая устойчивость будет
иметь место на заданном интервале времени. В качестве иллюстрации рассмотрен
конкретный числовой пример.
Заметим, что в большинстве прикладных задач, подобных той, что рассмотрены в
статьях [4, 8, 9], уравнения содержат некоторые неопределенные параметры. Это свя-
зано с неточностью измерительных приборов, изменением параметров среды функ-
ционирования системы и.т.д. Поэтому существенный интерес представляет рассмотре-
ние данной задачи с учетом неопределенных параметров, входящих в состав исходной
системы, в контексте задачи о параметрической устойчивости [7, 11].
Р Е ЗЮМ Е . Досліджено практичну стійкість руху робота, що взаємодіє із середовищем. Вста-
новлено достатні умови практичної стійкості руху робота навколо заданої траєкторії при силі
взаємодії між роботом та середовищем, що підкоряється заданому закону.
1. Мартынюк А.А. Практическая устойчивость движения. – К.: Наук. думка, 1983. – 248 с.
2. Colgate J., Hogan N. Robust Control of Dynamically Interacting Systems // Int. J. of Control. – 1988. –
48. – P. 65 – 88.
3. De Luca A., Manes C. Hybrid Force/Position Control for Robots in Contact with Dynamic Environment
// Proc. of Robot Control SYROCO '91. – P. 377 – 382.
4. Denisenko V.S., Slyn’ko V.I. Fuzzy Impulsive Stabilization of the Upper Equilibrium Position of a Pendu-
lum on a Moving Foundation // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 5. – P. 576 – 588.
5. De Shutter J., Van Brassel H. Compliant Robot Motion II: A control Approach Based on Extermal Con-
trol Loops // Int. J. of Robotic Research. – 1988. – 7, N 4. – P. 17 – 25.
6. Eppinger S., Seering W. Introduction to Dynamic Models for Robot Force Control // Int. Appl. Mech. –
2009. – 45, N 6. – P. 680 – 692. // IEEE Control Systems Magazine. – 1987. – 7, N 2. – P. 48 – 52.
7. Khoroshun A.S. Global Parametric Quadratic Stabilizability of Nonlinear Systems with Uncertainty // Int.
Appl. Mech. – 2008. – 44, N 6. – P. 703 – 710.
8. Larin V.B., Tunik A.A. On Inertial-Navigation System without Angular-Rate Sensors // Int. Appl. Mech. –
2013. – 49, N 4. – P. 482 – 488.
9. Lila D.M., Martynyuk A.A. Development of Instability in a Rotating Elastoplastic Annular Disk // Int.
Appl. Mech. – 2012. – 48, N 2. – P. 224 – 234.
10. Martynyuk A.A., Chernienko A.N. On the Theory of Motion Stability of a Robot Interacting with a Dy-
namic Environment // Engineering Simulation. – 2000. – 17. – Р. 605 – 620.
11. Martynyuk A.A., Khoroshun A.S. On Parametric Asymptotic Stability of Large Scale Systems // Int.
Appl. Mech. – 2009. – 45, N 5. – P. 565 – 575.
12. Martynyuk A.A., Khoroshun A.S., Chernienko A.N. The Theory of Robot Stability in Dinamic Environ-
ment Revisited // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 9. – P. 1056 – 1061.
13. Stoki c D. Constrained Motion Control of Manipulation Robots – A Contribution // Robotica. – 1991. –
N 9. – P. 157 – 163.
14. Vukobratovi c M. The role of environmental dynamics in the contact force control of manipulation
robots // J. of Dynamic Systems, Measurement and Control. – 1996. – 119, N 1. – Р. 86 – 89.
Поступила 16.12.2010 Утверждена в печать 26.06.2013
|