Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами
Досліджено поперечні осесиметричні коливання пружної багатосхідчастої циліндричної оболонки і прийнято наявність стійких тріщин у вхідних кутах сходин. Вплив тріщин на коливання оболонки оцінено з урахуванням локальної гнучкості та функції піддатливостi, що пов’язана з коєфіцієнтом інтенсивності нап...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100605 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами / Я. Леллеп, Л. Роотс // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 60-74. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-100605 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1006052016-05-25T03:02:34Z Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами Леллеп, Я. Роотс, Л. Досліджено поперечні осесиметричні коливання пружної багатосхідчастої циліндричної оболонки і прийнято наявність стійких тріщин у вхідних кутах сходин. Вплив тріщин на коливання оболонки оцінено з урахуванням локальної гнучкості та функції піддатливостi, що пов’язана з коєфіцієнтом інтенсивності напружень лінійної механіки руйнування. Отримано розв’язок у матричнiй формi з урахуванням довільного числа тріщин. Чисельно оцінено вплив розташування та довжин тріщин на поперечні осесиметричні коливання пружних одно- тa двосхідчастих циліндричних оболонок. The transverse axisymmetric vibrations of an elastic multi-step cylindrical shell are considered, when the stable cracks exist at the re-entrants of steps. An effect of cracks on vibrations of shell is studied by means of allowance for local flexibility and compliance function. The solution is found in the matrix form with taking into account the arbitrary number of cracks. An effect of locations and lengths of cracks on the transverse axisymmetric vibrations of elastic one- and two-step cylindrical shells is estimated numerically. 2014 Article Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами / Я. Леллеп, Л. Роотс // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 60-74. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100605 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Досліджено поперечні осесиметричні коливання пружної багатосхідчастої циліндричної оболонки і прийнято наявність стійких тріщин у вхідних кутах сходин. Вплив тріщин на коливання оболонки оцінено з урахуванням локальної гнучкості та функції піддатливостi, що пов’язана з коєфіцієнтом інтенсивності напружень лінійної механіки руйнування. Отримано розв’язок у матричнiй формi з урахуванням довільного числа тріщин. Чисельно оцінено вплив розташування та довжин тріщин на поперечні осесиметричні коливання пружних одно- тa двосхідчастих циліндричних оболонок. |
| format |
Article |
| author |
Леллеп, Я. Роотс, Л. |
| spellingShingle |
Леллеп, Я. Роотс, Л. Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами Прикладная механика |
| author_facet |
Леллеп, Я. Роотс, Л. |
| author_sort |
Леллеп, Я. |
| title |
Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами |
| title_short |
Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами |
| title_full |
Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами |
| title_fullStr |
Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами |
| title_full_unstemmed |
Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами |
| title_sort |
поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100605 |
| citation_txt |
Поперечные колебания упругой многоступенчатой цилиндрической оболочки с трещинами / Я. Леллеп, Л. Роотс // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 60-74. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT lellepâ poperečnyekolebaniâuprugojmnogostupenčatojcilindričeskojoboločkistreŝinami AT rootsl poperečnyekolebaniâuprugojmnogostupenčatojcilindričeskojoboločkistreŝinami |
| first_indexed |
2025-07-07T09:04:07Z |
| last_indexed |
2025-07-07T09:04:07Z |
| _version_ |
1836978325220753408 |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 2
60 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, №2
Я . Л е л л е п 1 , Л . Р о о т с 2
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ
МНОГОСТУПЕНЧАТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ТРЕЩИНАМИ
Институт математики Тартуского университета,
J. Liivi 2, 50409, Tartu, EESTI; Тарту, Эстония;
e-mail: 1jaan.lellep@ut.ee; 2a42119@ut.ee
Abstract. The transverse axisymmetric vibrations of an elastic multi-step cylindrical
shell are considered, when the stable cracks exist at the re-entrants of steps. An effect of
cracks on vibrations of shell is studied by means of allowance for local flexibility and com-
pliance function. The solution is found in the matrix form with taking into account the arbi-
trary number of cracks. An effect of locations and lengths of cracks on the transverse axi-
symmetric vibrations of elastic one- and two-step cylindrical shells is estimated numerically.
Key words: cylindrical shell, crack, transverse axisymmetric vibrations.
Введение.
Тонкостенные пластины и оболочки являются важными элементами конструкций
не только в авиации, но и в кораблестроении, в строительной механикe, при проекти-
ровании сосудов давления и в других отраслях инженерной деятельности.
Однако существование трещин в оболочках может привести к их разрушению в
том числе и при свободных и вынужденных колебаниях [2, 3, 4, 7, 11]. Поэтому суще-
ственно изучать влияние трещин на частоту и другие характеристики колебаний обо-
лочек. Очевидно, проблемы исследования поперечных осесимметричных колебаний
цилиндрических оболочек являются аналогичными, но не совпадающими, c теми же
проблемами в случае упругих прямых балок.
Известно много работ, где исследуется зависимость спектра частоты свободных
колебаний балок от размеров дефектов и их расположения [5, 6, 9, 19 и др.]. С другой
стороны, владение этой информацией позволяет построить различные алгоритмы об-
наружения трещин в конструкциях и решать задачи идентификации. Решения задач
такого типа представлены в работах [13, 16, 17, 18].
Жестко защемленные балки круглого поперечного сечения изучены в работе [10],
а консольные балки с трещинами – в работе [14]; в [6] исследовано влияние трещин
на колебания балок с кусочно-переменной высотой поперечного сечения. Задачи оп-
ределения спектра частот свободных колебаний цилиндрических оболочек изучены
многими авторами. Отметим здесь лишь статью [1], где рассмотрены осесимметрич-
ные колебания полого цилиндра при различных видах закрепления концов оболочки,
и работу [8], посвященную исследованию неосесимметричных колебаний.
В данной работе исследована чувствительность основной частоты колебаний ци-
линдрической оболочки от глубины трещины. Предполагается, что оболочка имеет
кусочно-постоянную толщину и трещина расположена в поперечном сечении, где
толщина претерпевает разрыв.
61
§1. Постановка задачи.
Рассмотрим шарнирно закрепленную на кромках круговую ступенчатую цилинд-
рическую оболочку длины 2l и радиуса R. Примем, что оболочка совершает свобод-
ные колебания от начального возмущения, распределенного симметрично относи-
тельно оси цилиндрической оболочки. Материал оболочки линейно-упругий.
Из-за симметрии рассмотрим лишь правую половину оболочки и расположим на-
чало декартовой системы координат в центре поперечного сечения (рис. 1). Обозна-
чим различные толщины ступенчатых частей – hj при 1( )j jx a ,a , где j = 0,…, n.
Предполагаем, что цилиндрическая оболочка имеет достаточную длину для того, что-
бы краевые условия не были близки к критическим (эксперименты показывают, что
для этого должно выполняться условие 2l >1,5R) и в тоже время достаточно коротка
(2l < 30R), чтобы можно было не рассматривать ее как длинный трубчатый стержень.
Рис. 1
В поперечных сечениях x = aj имеются односторонние трещины глубиной cj, на-
чинающиеся во внешних углах соответствующих ступеней оболочки. Пусть толщина
оболочки (рис. 1) h = hj, j = 0, …, n для 1( )j jx a ,a . Здесь a0 = 0 и an = l, а парамет-
ры aj и hj – заданы.
Целью данной работы является определение зависимости частоты свободных ко-
лебаний оболочки от глубин распространения трещин в поперечных сечениях и от
местонахождения ступеней с трещинами по длине оболочки.
§2. Уравнение движения.
Используя гипотезы Кирхгофа – Лява [2], перемещения в каждой точке оболочки,
а отсюда и деформации, а также напряжения, определяем через перемещение кон-
кретной поверхности. Результатом является сведение трехмерной задачи к двумерной.
Кроме того, рассмотрим случай, когда реакция оболочки – тоже осесимметричная.
Это обстоятельство позволяет свести задачу к одномерной.
Поскольку рассматриваем свободные поперечные осесимметричные колебания
цилиндрической оболочки, и, по соображениям симметрии, перемещение вдоль оси х
w = w(х) не зависит от координаты y, то уравнение движения такой оболочки прини-
мает следующий вид [2]:
4
4 2
j
j j
Ehw
D w h w
x R
; 1( ),j jx a ,a (2.1)
62
где jD – цилиндрическая жесткость оболочки 3 2/12(1 )j jD Eh v и ρ – плотность
материала.
Следовательно, при 1( )j jx a ,a имеем уравнение
4 2
4 2 2
12(1 )
,j
jj
hw v
w w
Dx R h
решение которого ищем в промежутке [aj,aj+1] в виде ( ) ( )jw X x T t , используя метод
разделения переменных.
Функция Т=Т(t) удовлетворяет уравнению 2 0,
..
T T а функция Xj= Xj(x) –
уравнению
4
4
4
0j
j j
X
r X
x
(2.2)
2
4 2
2 2
12(1 )
,j
j
j j
h v
r
D R h
(2.3)
где ω – частота свободных колебаний оболочки.
Введем обозначение .j jr k / h Тогда, согласно выражению (2.3), имеем
4 2
2
1
1.
12(1 )
E k Rω
R v
Таким образом, частота свободных колебаний оболочки зависит от характеристи-
ческого числа k.
Общее решение уравнения (2.2) представим при 1( )j jx a ,a в виде
sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( )j j j j j j j j jX (x) A r x B r x C r x D r x . (2.4)
§3. Локальная гибкость, обусловленная наличием трещины (условие трещины).
Предположим, что рассматриваемая оболочка имеет на кромках ступеней при
x=aj (j = 0, …, n) поперечные трещины глубиной cj.
Для описания локальной гибкости конструкции в зоне трещины используются
различные модели. Следуя работам [13, 14, 16, 17], выбираем приближенную модель,
в которой локальная гибкость описывается посредством пружины с заданной жестко-
стью KTj
, размещенной в том же самом поперечном сечении, где и трещина. Предпо-
лагаем, что жесткость пружины – обратная величина податливости оболочки в этом
сечении [5, 6, 12]
1/Tj jK C . (3.1)
Скорость высвобождения энергии, связанной с ростом трещины, определяется со-
гласно [20] в виде
21
2
j
j j
j
dC
G P
dA
, (3.2)
где Pj – обобщенная сила (в частном случае она также может быть изгибающим мо-
ментом); Aj – длина трещины. В данном случае Aj = hjsj
, где sj=cj / hj
. В свою очередь,
скорость высвобождения энергии Gj и коэффициент интенсивности напряжений Kj
для трещин I рода связаны соотношением [20]
63
2
j jG K / E , (3.3)
где 2/ (1 )E E v в случае плоской деформации (как в данном случае).
Из справочников по коэффициентам интенсивности напряжений [15, 20] можно
подобрать наиболее подходящий для данного случая коэффициент интенсивности
напряжений К и поправочную функцию для его расчета.
При чистом изгибе для полосы конечной длины с поперечной краевой трещиной
коэффициент интенсивности напряжений К определим [20] как
2
6 j j
j j
jj
M c
K c F
hh
, (3.4)
где сj – длина трещины первого рода; Mj – изгибающий момент; поправочная функция
F определяется так:
2 3 41,93 3,07 14,53 25,11 25,8 .j j j j jF(s ) s s s s
Cогласно (3.2) и (3.3) с учетом (3.4) получим равенство
2
2
72
( ).j
j j
j j
dC π
s F s
ds E h
(3.5)
Интегрирование (3.5) приводит к следующей формуле:
2
2
( )j j
j
7 π
C f s
E h
2 3 4 5 6( ( ) 1,862 3,95 16,375 37,226 76,81j j j j j jf s s s s s s
7 8 9 10126,9 172,5 143,97 66,56 ).j j j js s s s
Таким образом, для трещины безразмерной длины sj, расположенной в x=aj, вы-
ражение для KTj (3.1) примет вид
,
6
j
Tj
j j
D
K
h f
(3.6)
где j = 0, ..., n и 1( ) ( 0)jj j jf f s ; D D a , причем, hj является наименьшей из
толщин, т.е. 1min ( 0) ( 0)j j- j j jh h a ,h a .
Таким образом, поперечные сечения x=aj с трещинами имеют дополнительные
вращения при поперечном изгибе. Углы вращения можно определить из отношений
[12 – 17]
( ) ( )Tj j jK w a M a , (3.7)
где согласно [2] для изгибающего момента в точке x = aj имеем
2 2
1
12 2
0 0
j j-
j j j
j j
X X
M(a ) D D
x x
x a x a
. (3.8)
С учетом (3.8) условие (3.7) примет вид
2
1
2
0
j
Tj j
j j
XX
K D
x xx a x a
(j = 0, .., n),
64
где квадратные скобки обозначают конечные скачки соответствующих величин. На-
пример,
0 0j j j
X X X
x x xa a a
.
§4. Граничные условия, условия симметрии и непрерывности.
Для каждого конца оболочки можно указать два граничных условия. Выбираем
шарнирно-опертые граничные условия для обоих концов оболочки. В этом случае
равны нулю прогиб w=XT и изгибающий момент
___
M D X T . Следовательно, гра-
ничные условия для X таковы:
2
2
l
0.n
n x l
x
X
X
x
(4.1)
Поскольку поведение оболочки симметрично относительно плоскости x = 0 ,то
возможно рассматривать одну из симметричных частей и условия симметрии в дан-
ном случае будут
3
0 0
3
0 0
0
x x
X X
x x
. (4.2)
Если сюда добавить условия непрерывности для функций Х, М и M / x в точ-
ках перепада толщины стенок оболочки и условие скачка при трещине, получим за-
дачу, которая полностью определенна – количество искомых неизвестных констант
равно числу уравнений для их определения.
Условия непрерывности и трещины в точках перепада толщин стенки оболочки
запишем в такой форме:
1( 0) ( 0);j j j jX a X a 1( 0) ( 0) ( 0);j j j j j j jX a X a p X a
1
1( 0) ( 0);j
j j j j
j
D
X a X a
D
(4.3)
1
1( 0) ( 0)
j
j j j j
j
D
X a X a ,
D
где j Tj jD / K p , причем 1jX определяется на отрезке [aj-1, aj] и Xj – на отрезке
[aj, aj+1]. Примем также, что .j 1 j jD / D a
§5. Определение характеристического числа k.
Пусть iY
(i = 0,..,n) обозначает вектор-столбец из констант в выражении (2.4)
i
i
i
i
i
A
B
Y
C
D
. (5.1)
65
Из условий симметрии в точке х=0 с помощью (2.4) и (4.2) определяем две кон-
станты: A0=0, C0=0 .
Следовательно, вектор-столбец iY
при i=0 примет вид
0
0
0
0
B
Y
0
D
.
Запишем систему (4.3) в развернутом виде.
Подставляя (2.4) в (4.3), получаем при j = 1, ..., n уравнения:
jsin cos sinh coshj j j j j j j j j j jA r a B r a C r a D r a
1 1 1 1 1 1 1 1sin cos sinh cosh ;j j j j j j j j j j j jA r a B r a C r a D r a
os sin cosh sinhj j j j j j j j j j j jA c r a B r a C r a D r a
2 1 1 1 1 1 1 1 1( cos sin cosh sinh )j j j j j j j j j j j j jA r a B r a C r a D r a
3 1 1 1 1 1 1 1 1( sin cos sinh cosh );j j j j j j j j j j j j jA r a B r a C r a D r a (5.2)
sin cos sinh coshj j j j j j j j j j j jA r a B r a C r a D r a
1 1 1 1 1 1 1 1 1( sin cos sinh cosh );j j j j j j j j j j j j jA r a B r a C r a D r a
cos sin cosh sinhj j j j j j j j j j j jA r a B r a C r a D r a
4 1 1 1 1 1 1 1 1( cos sin cosh sinh )j j j j j j j j j j j j jA r a B r a C r a D r a
1
1 2
1 1
; ;j j j
j j
j j j
h hD
h hD
3
1
;
j
j
T jj
hD
k
K h
1
4
1 1
.j j j
j
j j j
h hD
h hD
Eсли стенка оболочки состоит из единого материала, то имеем формулы
2
1
1 22
1
; ;j j
j j
jj
h h
hh
1 1
3 1 46 ( ) ; j j
j j j j
j j
h h
f s h k .
h h
Введем матрицы:
66
j
sin cos sinh cosh
cos sin cosh sinh
N
sin cos sinh cosh
cos sin cosh sinh
j j j j j j j j
j j j j j j j j
j j j j j j j j
j j j j j j j j
r a r a r a r a
r a r a r a r a
r a r a r a r a
r a r a r a r a
(j = 0, ..., n);
1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
j 1 3 1 3 1 3 1 3 1
1 1 1 1 1 1 1
sin cos sinh cosh
cos sin cosh sinh
M sin cos sinh cosh
sin cos sinh co
j j j j j j j j
j j j j j j j j j j j j
j j j j j j j j j j j j
j j j j j j j j j j
r a r a r a r a
r a r a r a r a
r a r a r a r a
r a r a r a
1
4 1 4 1 4 1 4 1
sh
cos sin cosh sinh
j j
j j j j j j j j j j j j
r a
r a r a r a r a
(j=1, ..., n).
Эти обозначения вместе с (5.1) позволяют записать систему алгебраических урав-
нений (5.2) в виде
j j j 1 j 1N Y M Y
, j=1,...,n.
Отсюда определим
1
j j j 1 j 1Y N M Y
Если ввести обозначение
1
j j j 1S N M
,
то получим равенство
j j j 1Y S Y .
(5.3)
Таким образом, константы, определяющие jY
, можно выразить через константы
j 1Y
. В этом случае, имеет место равенство
j j j j
j j 111 12 13 14
j j j j
j j 121 22 23 24
j j j j
j j 131 32 33 34
j j j j
j j 141 42 43 44
A As s s s
B Bs s s s
C Cs s s s
D Ds s s s
,
где через j
iks обозначены элементы матрицы jS
.
Из формулы (5.3) следуют соотношения
1 1 0
2 2 1
n n n 1
Y S Y ,
Y S Y ,
Y S Y .
Таким образом, имеем уравнение
n n n 1 1 0Y S S ... S Y
.
Если обозначить
67
n n 1 1P S S ... S ,
тогда получим равенство
n 0Y P Y
. (5.4)
Из граничных условий в точке x=l согласно (2.4) и (4.1) имеем два уравнения
sin cos 0; sinh cosh 0,n n n n n n n nA r l B r l C r l D r l
которые в матричном виде принимают такую форму:
sin cos 0 0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0 0 sinh cosh
n n n
n
n
n n n
r l r l A
B
C
r l r l D
.
Последнее равенство означает, что
nC Y 0;
(5.5)
sin cos 0 0
0 0 0 0
C .
0 0 0 0
0 0 sinh cosh
n n
n n
r l r l
r l r l
Здесь lnr k / h и hl – толщина оболочки в последней секции вблизи края x=l.
С учетом выражения (5.4) уравнение (5.5) примет вид
0C P Y 0
или
11 12 13 14
21 22 23 24 0
31 32 33 34
41 42 43 44 0
sin cos 0 0 0
0 0 0 0
0.
0 0 0 0 0
0 0 sinh cosh
n n
n n
r l r l p p p p
p p p p B
p p p p
r l r l p p p p D
После несложных выкладок из последнего равенства получим систему уравнений
12 22 0 14 24 0( sin cos ) ( sin cos ) 0;n n n np r l p r l B p r l p r l D
32 42 0 34 44 0( sinh cosh ) ( sinh cosh ) 0.n n n np r l p r l B p r l p r l D
Это однородная линейная алгебраическая система. Для того, чтобы она имела не-
тривиальное решение, ее определитель должен равняться нулю, т.е. должно выпол-
няться уравнение
12 34 14 32 22 34 24 32
12 44 14 42 22 44 24 42
sinh ( )sin ( )cos
+cosh ( )sin ( )cos 0,
n n n
n n n
r l p p p p r l p p p p r l
r l p p p p r l p p p p r l
(5.6)
где pij – компоненты матрицы Р.
Это есть окончательное уравнение для определения характеристического числа k,
которое связано с ri соотношением i ir k / h .
68
Рассмотрим далее случай, когда половина оболочки состоит из двух частей с
толщинами h0 и hl , соответственно, а перепад толщин находится в сечении x=а. В
данном случае n = 1 и элементы матрицы 1 ijP S (s ) имеют вид
11 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )sin( )sin( ) ( )cos( )cos( ) sin( )cos( );s k kl kl kl kl kl kl
12 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )cos( )sin( ) ( )sin( )cos( ) cos( )cos( )s k kl kl kl kl kl kl ;
13 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )sinh( )sin( ) ( )cosh( )cos( ) sinh( )cos( );s k kl kl kl kl kl kl
14 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )cosh( )sin( ) ( )sinh( )cos( ) cosh( )cos( )s k kl kl kl kl kl kl ;
21 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )sin( )cos( ) ( )cos( )sin( ) sin( )sin( )s k kl kl kl kl kl kl ;
22 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )cos( )cos( ) ( )sin( )sin( ) cos( )sin( )s k kl kl kl kl kl kl ;
23 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )sinh( )cos( ) ( )cosh( )sin( ) sinh( )sin( )s k kl kl kl kl kl kl ;
24 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )cosh( )cos( ) ( )sinh( )sin( ) cosh( )sin( );s k kl kl kl kl kl kl
31 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )sin( )sinh( ) ( )cos( )cosh( ) sin( )cosh( )s k kl kl kl kl kl kl ;
32 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )cos( )sinh( ) ( )sin( )cosh( ) cos( )cosh( )s k kl kl kl kl kl kl ;
33 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )sinh( )sinh( ) ( )cosh( )cosh( ) sinh( )cosh( )s k kl kl kl kl kl kl ;
34 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )cosh( )sinh( ) ( )sinh( )cosh( ) cosh( )cosh( )s k kl kl kl kl kl kl ;
41 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )sin( )cosh( ) ( )cos( )sinh( ) sin( )sinh( )s k kl kl kl kl kl kl ;
42 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )cos( )cosh( ) ( )sin( )sinh( ) cos( )sinh( )s k kl kl kl kl kl kl ;
43 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )sinh( )cosh( ) ( )cosh( )sinh( ) sinh( )sinh( )s k kl kl kl kl kl kl ;
44 1 1 2 2 4 1 2 3 1 2( ) (1 )cosh( )cosh( ) ( )sinh( )sinh( ) cosh( )sinh( )s k kl kl kl kl kl kl ,
( 1 0 2 1; ;l a / h l a / h 2 1/2
1 0 1 2 1 0( ) ; ( ) ;h / h h / h
3 1 1 4 1 26 ( ) ; ;f s h k
h0 и h1 – толщины оболочки до и после поперечного сечения x = а.
Уравнение для определения характеристического числа k имеет (с учетом
3 1l l / h ) такой вид:
69
3 12 34 14 32 3 22 34 24 32 3sinh ( ( ) ( ) ( ) ( ))sin ( ( ) ( ) ( ) ( ))coskl s k s k s k s k kl s k s k s k s k kl
+ 3 12 44 14 42 3 22 44 24 42 3cosh ( ( ) ( ) ( ) ( ))sin ( ( ) ( ) ( ) ( ))cos 0kl s k s k s k s k kl s k s k s k s k kl
или с учетом 4 1( )l a l / h
1 1 4 2 4 1 3 1 4((1 )cos cosh (( )sin cos )sinh );kl kl kl kl kl
1 1 4 2 4 1 3 1 4((1 )cosh cos (( )sinh cosh )sin )kl kl kl kl kl
1 1 4 2 4 1 3 1 4((1 )cos cos (( )sin cos )sin );kl kl kl kl kl
1 1 4 2 4 1 3 1 4((1 )cosh cosh (( )sinh cosh )sinh ) 0.kl kl kl kl kl
§6. Численные результаты.
Для численных расчетов выбрано два образца: одноступенчатая и двухступенча-
тая оболочки. Расчеты произведены с помощью пакета Mathcad.
При рассмотрении одноступенчатой оболочки получено, что при приближении
точки перепада толщины оболочки к концу l влияние глубины трещины на характери-
стическое число k исчезает. Подобный анализ показывает, что в предельном случае
уравнение (5.6) принимает вид
1cos( ) 0.kl
При приближении точки перепада толщины оболочки к ее центру (к точке сим-
метрии) влияние трещины на характеристическое число k существенно увеличивается
и уравнение (5.6) принимает вид
3 2 2 2 3 2 1 2sinh cos cosh sin 2 cos 0.kl kl kl kl kl
Для удобства введем обозначения:
a=βl и ai=βil, γ=h1/ho и γi=hi/ho (i=1,2).
Рис. 2
70
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
71
Рис. 6
Рис. 7
Для одноступенчатой половины оболочки выбраны следующие размеры: l=0,6 и
h1 =0,006. На рис. 2 – 4 представлены зависимости характеристического числа k от
глубины трещины при некоторых значениях величины γ. Рис.2 соответствует случаю,
когда β=0, а рис. 3 и 4 случаям, когда β = 0,2 и β = 0,7, соответственно. Таким обра-
зом, на рис. 2 изображена ситуация, где трещина находится в центральном попереч-
ном сечении и оболочка имеет постоянную толщину. На рис.3 и 4 трещина находится
в сечениях х = 0,2l и х = 0,7l, соответственно.
Как видно из рис. 2 – 4 характеристическое число k и соответственно собственная
частота ω мало чувствительны по отношению длины трещины, если с < h/2. Характе-
ристическое число k монотонно уменьшается при увеличении длины трещины.
Зависимость характеристического числа k от глубины трещины при γ = 0,1;
0,3и 0,8 представлена на рис. 5 – 7. Различные кривые здесь соответствуют различно-
72
му положению трещины. Из анализа рис. 5 – 7 следует, что наибольшее значение ха-
рактеристического числа k достигается при β = 0, т.е. тогда, когда трещина находится
в середине пролета и толщина оболочки постоянна.
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10
73
Расчеты в случае двухступенчатой оболочки изображены на рис. 8 – 10. Принято,
что глубины трещин обоих ступеней были одинаковыми при различных других пара-
метрах. Основные размеры оставались теми же, что и у одноступенчатой оболочки,
т.е. l=0,6 и h1=0,006. Варьировалось только место расположений ступеней с трещина-
ми. Кривые 1 на рис. 8 – 10 соответствует значениям β1= 0; β2=0,3; в случае серии 2 –
β1=0,1; β2=0,4; в случае серии 3 – β1=0,3; β2=0,7 и в случае серии 4 – β1=0,7; β2=0,8,
кроме рис. 10, где в случае серии 4 имеем β1=0,8; β2=0,9. На рис. 8 принято: γ1= γ2=1,
на рис. 9 – γ1=0,5; γ2=0,2 и на рис. 10 – γ1=0,2; γ2=0,5.
Результаты расчетов показывают, что как при одноступенчатой оболочки, так и в
этом случае характеристическое число k с ростом глубин трещин уменьшается.
Особый интерес в случае двухступенчатой оболочки вызывает оболочка без тре-
щин, у которой длина среднего пролета между ступенями стремится к нулю и толщи-
на этого пролета меньше других. Конфигурацию такой оболочки можно принять од-
ноступенчатой оболочкой с круговым разрезом в ступени.
В табл. 1 и 2 дано сравнение двух моделей расчета характеристического числа k.
Первая модель состоит из одноступенчатой оболочки, в которой локальная гибкость
описывается посредством пружины с заданной жесткостью KT, размещенной в том же
самом поперечном сечении, где и трещина. В случае второй модели рассмотрена
двухступенчатая оболочка, где трещина представляет собой серединный пролет меж-
ду ступенями. В обоих случаях l=0,6 и h1 = 0,006. Для модели 2 выбираем Δ=0,0001
(длина среднего пролета).
Для трех примеров модели 1 были приняты соответствующие примеры модели 2,
при этом модели 1 соответствует 1 модели 2, β модели 1 соответствует 1 модели
2 и различные значения 2 модели 2 соответствуют определенным значениям глуби-
ны трещины s модели 1. В табл. 1 представлены значения k при различных значениях
глубины трещины и координаты 1a
модели 1. Табл. 2 соответствует случаям модели 2
, когда β=0, β=0,4 и β=0,7. Из табл. 1 и 2 видно, что значения характеристического
числа k при разных моделях, имитирующих одинаковые глубины трещины, совпада-
ют с достаточной точностью. Результаты являются особенно близкими при малых
значениях глубины трещины. Если, например, глубина трещины 0,3 ,с h то макси-
мальное расхождение результатов Δk=0,003 (при c = 0,5h имеем Δk = 0,006).
Tаблица 2
1 1,0 0,5 0,1
s
1β 0,0 0,4 0,7
0,0 0,203 0,161 0,080
0,1 0,203 0,161 0,080
0,2 0,203 0,161 0,080
0,3 0,203 0,160 0,080
0,4 0,202 0,160 0,079
0,5 0,202 0,159 0,078
0,6 0,200 0,158 0,077
0,7 0,197 0,154 0,073
0,8 0,186 0,141 0,064
0,9 0,140 0,102 0,044
1,0 – – –
Tаблица 1
1,0 0,5 0,1
s
β 0,0 0,4 0,7
0,0 0,203 0,161 0,081
0,1 0,202 0,161 0,081
0,2 0,202 0,160 0,080
0,3 0,200 0,159 0,080
0,4 0,198 0,158 0,080
0,5 0,194 0,155 0,079
0,6 0,188 0,151 0,078
0,7 0,178 0,143 0,075
0,8 0,161 0,131 0,070
0,9 0,139 0,114 0,063
1,0 0,116 0,095 0,054
74
Заключение.
Представлен метод определения осесимметричных колебаний упругих круговых
цилиндрических оболочек с трещинами. Принято, что толщина оболочки является ку-
сочно-постоянной и в углах ступеней расположены трещины. Разработанный метод
позволяет установить влияние параметров трещин на собственную частоту колебаний
ступенчатых оболочек. Результаты численных расчетов представлены в случаях одно- и
двухступенчатых оболочек с шарнирно-закрепленными торцами. Расчетами обнаруже-
но, что характеристическое число монотонно уменьшается при увеличении глубины
трещины, если другие геометрические параметры остаются постоянными. Расчеты по-
казали, что максимальное значение характеристического числа достигается, если тре-
щина находится в середине пролета при всех значениях глубины трещины.
Работа выполнена в Институте математики Тартуского университета в Эс-
тонии. Авторы выражают благодарность Эстонскому Научному Фонду за час-
тичное поддерживание данного исследования грантом ETF9110 «Оптимизация
структурных элементов» и целевым финансированием SF0180081s08 „Модели при-
кладной математики и механики”.
Р Е ЗЮМ Е . Досліджено поперечні осесиметричні коливання пружної багатосхідчастої
циліндричної оболонки і прийнято наявність стійких тріщин у вхідних кутах сходин. Вплив тріщин
на коливання оболонки оцінено з урахуванням локальної гнучкості та функції піддатливостi, що
пов’язана з коєфіцієнтом інтенсивності напружень лінійної механіки руйнування. Отримано
розв’язок у матричнiй формi з урахуванням довільного числа тріщин. Чисельно оцінено вплив роз-
ташування та довжин тріщин на поперечні осесиметричні коливання пружних одно- тa двосхідчастих
циліндричних оболонок.
1. Влайков Г. Г., Григоренко А. Я. Свободные осесимметричные колебания полого цилиндра при раз-
личных видах закрепления торцов // Прикл. механика. – 1990. – 26, №5. – С. 109 – 111.
2. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов Вал.Н., Чехов Вик.Н., Шнеренко К.И. Цилиндрические оболоч-
ки, ослабленные отверстиями. – К.: Наук. думка, 1974. – 272с.
3. Панасюк В.В. Механика разрушения и прочность материалов. Т. 1. Основы механики разрушения
материалов. – К.: Наук.думка, 1988. – 300с.
4. Bashchuk E.Yu, BoichukV.Yu. Influence of the Inhomogeneity of the Principal Stress State on the Critical Loads
of a Plate with a Crack // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N3. – P. 328-336.
5. Chondros T.G.,Dimarogonas A.D. Identification of cracks in welded joints of complex structures //J.
Sound Vibr. – 1980. – 69, N4. – C. 531 – 538.
6. Dimarogonas A.D. Vibration of cracked structures: a state of the art review // Eng. Fracture Mech. – 1996.
– 55. – P. 831 – 857.
7. Dovzhik M.V., Nazarenko V.M. Fracture of a Material Compressed along a Periodic Set of Closely Spaced
Cracks // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N6. – P. 710-718.
8. Grigorenko, Ya. M., Grigorenko A. Ya., Zakhariichenko L. I. Stress-Strain Analysis of Orthotropic Closed
and Open Noncircular Cylindrical Shells // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N7. – P. 778 – 785.
9. Gudmundson P. Eigenfrequency changes of structures due to cracks, notches or other geometrical changes
// J.Mech. Phys. Solids. – 1982. – 30, N 5. – C. 339 – 353.
10. Kikidis M.L., Papadopoulos C.A. Slenderness ratio effect on cracked beam // J. Sound Vibr. – 1992. –
155, N 1. – C. 1 – 11.
11. Kostandov Yu.A., Makarov P.V., Eremin M.O., Smolin I.Yu., Shipovskii I.E. Fracture of Compressed
Brittle Bodies with a Crack // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N1. – P. 95-101.
12. Lellep J., Sakkov E. Buckling of stepped composite columns // Mech. Comp. Mater. – 2006. – 42, N 1. –
P. 63 – 72.
13. Liang R.Y., Choy F.K., Hu J. Detection of cracks in beam structures using measurements of natural fre-
quencies // J. Franklin Inst. – 1991. – 328, N 4. – P. 505 – 518.
14. Liang R.Y., Hu J., Choy F. Theoretical study of crack-induced eigenfrequency changes on beam struc-
tures // J. Eng. Mech. – 1992. – 118, N 2. – P. 384 – 395.
15. Murakami Y. Stress Intensity Factor Handbook. . – Oxford: Pergamon Press, 1992.
16. Nandwana B.P., Maiti S.K. Detection of the location and size of a crack in stepped cantilever beams
based on measurements of natural frequencies // J.Sound Vibr. – 1997. – 203, N 3. – P. 435 – 446.
17. Narkis Y., Elmanah E. Crack identification in a cantilever beam under uncertain end conditions // Int. J.
Mech. Sci. – 1996. – 38, N 5. – P. 499 – 507.
18. Rizos P.F., Aspragathos N., Dimarogonas A.D. Identification of crack location and magnitude in a canti-
lever beam from the vibration modes // J. Sound Vibr. – 1990. – 138, N 3. – P. 381 – 388.
19. Shen M.-H., Pierre C. Natural modes of Bernoulli – Euler beams with symmetric cracks // J. Sound Vibr.
– 1990. – 138, N 1. – P. 115 – 134.
20. Tada H., Paris P.C., Irwin G.R. Stress Analysis of Cracks Handbook // ASME, N.Y. – 2000.
Поступила 23.11.2013 Утверждена в печать 26.06.2013
|