Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем
На основі використання багатокомпонентних функцій Ляпунова проведено аналіз абсолютної параметричної стійкості сингулярно збурених механічних систем. Розглянуто випадок, коли висхідна система не дозволяє розділення на “швидку” та “повільну” підсистеми. Отримано достатні умови та області абсолютної п...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100610 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем / А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 115-133. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-100610 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1006102016-05-25T03:02:37Z Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем Хорошун, А.С. На основі використання багатокомпонентних функцій Ляпунова проведено аналіз абсолютної параметричної стійкості сингулярно збурених механічних систем. Розглянуто випадок, коли висхідна система не дозволяє розділення на “швидку” та “повільну” підсистеми. Отримано достатні умови та області абсолютної параметричної стійкості таких систем. An absolute parametric stability of nonlinear out-of-true singularly disturbed systems is analysed by use of multi-component Lyapunov functions. The case is considered when the initial system does not separate on the “fast” and “slow” subsystems. The suffi 2014 Article Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем / А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 115-133. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100610 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
На основі використання багатокомпонентних функцій Ляпунова проведено аналіз абсолютної параметричної стійкості сингулярно збурених механічних систем. Розглянуто випадок, коли висхідна система не дозволяє розділення на “швидку” та “повільну” підсистеми. Отримано достатні умови та області абсолютної параметричної стійкості таких систем. |
| format |
Article |
| author |
Хорошун, А.С. |
| spellingShingle |
Хорошун, А.С. Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем Прикладная механика |
| author_facet |
Хорошун, А.С. |
| author_sort |
Хорошун, А.С. |
| title |
Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем |
| title_short |
Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем |
| title_full |
Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем |
| title_fullStr |
Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем |
| title_full_unstemmed |
Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем |
| title_sort |
об использовании многокомпонентных функций ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100610 |
| citation_txt |
Об использовании многокомпонентных функций Ляпунова для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточных сингулярно возмущенных механических систем / А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 115-133. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT horošunas obispolʹzovaniimnogokomponentnyhfunkcijlâpunovadlâanalizaabsolûtnojparametričeskojustojčivostinetočnyhsingulârnovozmuŝennyhmehaničeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-07T09:04:28Z |
| last_indexed |
2025-07-07T09:04:28Z |
| _version_ |
1836978348642795520 |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 2
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 2 115
А .С .Х о р ош у н
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
ДЛЯ АНАЛИЗА АБСОЛЮТНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
НЕТОЧНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail:center@inmech.kiev.ua
Abstract. An absolute parametric stability of nonlinear out-of-true singularly disturbed
systems is analysed by use of multi-component Lyapunov functions. The case is considered
when the initial system does not separate on the “fast” and “slow” subsystems. The suffi-
cient conditions and domains of absolute parametric stability of system in hand are obtained.
Key words: nonlinear out-of-true singularly disturbed system, multi-component Lya-
punov function, vector Lyapunov function, matrix-valued Lyapunov function, absolute pa-
rametric stability.
Введение.
Роль многокомпонентных функций Ляпунова, векторных [2, 10] и матричнознач-
ных [6, 19], при анализе разных типов устойчивости различных классов систем чрезвычай-
но важна. Их использование позволяет более точно учитывать внутреннюю структуру ис-
следуемых систем и ее влияние на поведение решений [11, 20]. Отметим, что условия ус-
тойчивости, полученные с помощью многокомпонентных функций Ляпунова, часто оказы-
ваются менее строгими, чем аналогичные условия, полученные с помощью, например, ска-
лярных функций Ляпунова. Также, в некоторых случаях они позволяют получить условия
устойчивости, когда получение таких условий с помощью скалярных функций невозможно.
Исследование свойств устойчивости сингулярно возмущенных систем является ак-
туальной задачей [7, 8, 9, 15 – 18, 21, 22]. В работе [14] с помощью векторной функции
Ляпунова проведен анализ абсолютной параметрической устойчивости неточных син-
гулярно возмущенных систем в случае, когда система допускает разделение на “быст-
рую” и “медленную” подсистемы. Однако, такое разделение не всегда возможно.
В данной работе предложена методика исследования свойств устойчивости неточ-
ных сингулярно возмущенных систем в случае, когда выделить “быструю” и “медлен-
ную” подсистемы не удается. Используются векторные и матричнозначные вспомога-
тельные функции Ляпунова.
1. Постановка задачи.
Рассмотрим нелинейную неточную сингулярно-возмущенную систему дифферен-
циальных уравнений типа Лурье следующего вида:
11 12 1 1 1= ( ) ( ) ( ) ( );x A p x A p y q p f
21 22 2 2 2= ( ) ( ) ( ) ( ),y A p x A p y q p f (1)
где 1 11 12 1= ( ) ( ) ;c p x c p y r 2 21 22 2= ( ) ( ) ;c p x c p y r ( ) ;nx t R ( ) my t R – пе-
ременные, определяющие состояние системы в момент времени t R ; 1
1 ,
k
r R
2
2
k
r R – корректирующие векторы, (0,1] – малый параметр. Матрицы
116
11( ) ,n nA p R 12 ( ) ,n mA p R 1
1( ) ,
n k
q p R
21( ) ,m nA p R 22 ( ) ,m mA p R 2
2 ( ) ,
m k
q p R
1
11( ) ,
k n
c p R
1
12 ( ) ,
k m
c p R
2
21( ) ,
k n
c p R
2
22 ( )
k m
c p R
имеют элементы, не-
прерывно зависящие от векторного параметра .lp R
Нелинейные функции 1 1
1 : ,
k k
f R R 2 2
2 :
k k
f R R – непрерывно дифференци-
руемы на 1kR и 2 ,
k
R соответственно, и таковы, что 1(0) = 0,f 2 (0) = 0,f
1 1 1 1
11
( )
| = ,=0
kf k
I
2 2 2 2
22
( )
| = ,=0
kf k
I
где 1 1k k
I
и 2 2k k
I
– единичные матрицы
соответствующих размерностей. Заметим, что в общем случае матрицы 1 1k k
I
и 2 2k k
I
могут быть произвольными постоянными матрицами, отличными от нулевой. Здесь же, для
простоты изложения, они выбраны в виде единичных матриц. Предполагаем, что для систе-
мы (1) справедлива теорема о существовании и единственности решения начальной задачи.
Относительно системы (1) сделаем следующие предположения.
Предположение 1. a) Существует значение параметра * lp R такое, что матрицы
1 1
1 11 1 11
1
1
( )
( ) = ( ) ( ) ( ),
=0
f
c p A p q p c p
2 2
2 22 2 22
2
2
( )
( ) = ( ) ( ) ( )
=0
f
c p A p q p c p
– устойчивы, а матрица 1 1
3 11 1 11 12
1
1
( )
( ) = ( ) ( ) ( ) ( )
=0
f
c p A p q p c p A p
1
2 2
22 2 22 21
2
2
( )
( ) ( ) ( ) ( )
=0
f
A p q p c p A p
– невырождена в точке *= .p p
б) Существует значение параметра * lp R такое, что матрицы 2 ( )c p и 3 ( )c p
невырождены в точке *= .p p
Отметим, что подход, используемый в работе [14] для исследования параметриче-
ской устойчивости сингулярно возмущенных систем, применить для исследования
параметрической устойчивости системы (1) не представляется возможным. Как легко
заметить, выразить переменную y через переменную x в явном виде из уравнения
21 22 2 2 20 = ( ) ( ) ( ) ( ),A p x A p y q p f
т.е. выделить из системы (1) “медленную” и “быструю” подсистемы, не удастся. Этим
и объясняется невозможность применения подхода, о котором упоминалось выше.
Целью данной работы является применение многокомпонентных функций Ляпу-
нова для исследования параметрической устойчивости системы (1). Ниже предложен
способ построения векторной и матричнозначной функций Ляпунова и на их основа-
нии получены достаточные условия абсолютной параметрической устойчивости сис-
темы (1). Также указан подход для оценки области в пространстве параметров, для
которой такая устойчивость имеет место.
2. Вспомогательные результаты.
Рассмотрим нелинейную систему уравнений следующего вида:
( ) ( ) ( ( ) ) = 0,A p x B p r C p x (2)
где ( ) nx t R – переменная; ,lp R mr R – векторные параметры, матрицы
( ), ( ), ( )A p B p C p имеют соответствующие размерности и элементы, непрерывно зави-
сящие от параметра ;p : m mR R – нелинейная непрерывная функция. Относи-
тельно системы (2) сделаем следующее предположение.
117
Предположение 2.
(1) функция 1( ) = ( ( ), , ( ))T
mu u u определена и непрерывна на некотором от-
крытом множестве mR вместе с частными производными , , = 1, , ;i
j
i j m
u
(2) точка = 0u принадлежит множеству , причем (0) = 0 и
=0
( )
0;
u
u
u
(3) существует значение параметра * lp R такое, что матрица
=0
( )
( ) = ( ) ( ) ( )
u
u
K p A p B p C p
u
– невырождена в точке *= .p p
Определим область *= ( , , ) : , : , :x p rx p r x a p p b r c такую,
что для всех ( , )p r из p r существует ( , )ex p r – единственное состояние равно-
весия системы (2), которое принадлежит .x Для этого уравнение (2) представим в
виде * 1 * 1 *= ( ( )) ( ) [ ( ) ( ) ( ( ) )] ( ( )) ( ( ) ( ))x K p K p x A p x B p r C p x K p K p K p x и
рассмотрим итерационный процесс
* 1
1 = ( ( )) ( ) [ ( ) ( ) ( ( ) )]n n n nx K p K p x A p x B p r C p x
* 1 *( ( )) ( ( ) ( )) .nK p K p K p x (3)
Применим к нему теорему о неподвижной точке в случае метрического простран-
ства с числовым множителем в качестве оператора [3]. Согласно указанной теореме,
при выполнение условий
=0
( ) ( )
( ( ) ( ) )max max
p u u up u
u u
B p C p
u u
*
* 1
1
( ) ( )max
2 ( ( ) )p p
K p K p
K p
(4)
для всех ,uu где = m
u u R u d и
* 1
( )
2 ( ( )) ( )max
p p
a
r
K p B p
(5)
для всех ,rr итерационный процесс (3) имеет единственную неподвижную точку,
суть соответствующее ему уравнение имеет точно одно решение. Так как
= ( ) ,u r C p x то с помощью неравенства
( )max
p p
C p a c d
(6)
и оценки (5) можем оценить границу области . Отметим, что в данной работе здесь
и далее используется спектральная норма для матриц и евклидова норма для векторов.
Пусть для функции ( )u выполняется условие
*
* 1
=0
1
( ) ( )max
2 ( ( ))( ) ( )
( ) ( )max
p p
u u
p p
K p K p
K pu u
u u B p C p
(7)
для всех ,mu R где область p такова, что выполняется условие
118
*
* 1
1
( ) ( ) .max
2 ( ( ))p p
K p K p
K p
(8)
Покажем, что в этом случае для всех ( , ) ,p rp r где = ,m
r r R r c
c – произвольное, как угодно большое наперед заданное положительное число, суще-
ствует единственное состояние равновесия ( , )ex p r системы (2).
Пусть c – произвольное, как угодно большое наперед заданное положительное
число, а p определяется так, как указано выше. Выберем
*
* 1
* 1
1
( ) ( )max
2 ( ( ))
= 2 ( ( )) ( ) 1 .max
( ) ( )max
p p
p p
p p
K p K p
K p
a K p B p c
B p C p
Так как при выполнении условия (7) неравенство (4) справедливо для всех
,mu R то =d и для выбранных a и c неравенство (6) выполняется. Поскольку
= =
( ) ( )
( ) = (0)
u r u r
u u
r r c
u u
= =0 =0
( ) ( ) ( )
u r u u
u u u
c
u u u
*
* 1
* 1
1
( ) ( )max
2 ( ( ))
1 = ,
( ) ( )max 2 ( ( )) ( )max
p p
p pp p
K p K p
K p a
c
B p C p K p B p
то неравенство (5) выполняется для всех .rr
Суммируя все вышеизложенное, при выполнении условия (7) для всех ( , )p r
,p r где p выбирается с учетом неравенства (8), а = { | },m
r r R r c су-
ществует единственное состояние равновесия ( , )ex p r системы (2).
3. Анализ существования состояния равновесия нелинейной неточной
сингулярно возмущенной системы.
Состояние равновесия нелинейной неточной сингулярно возмущенной системы
вида (1) имеет вид 1 2 1 2(( ( , , )) , ( ( , , )) ) ,e T e T Tx p r r y p r r где 1 2( , , )ex p r r и 1 2( , , )ey p r r яв-
ляются решениями системы уравнений
11 12 1 1 11 12 10 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) );A p x A p y q p f c p x c p y r
21 22 2 2 21 22 20 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ).A p x A p y q p f c p x c p y r (9)
Заметим, что систему (9) можно представить в виде
( ) ( ) ( ( ) ) = 0,A p z q p f C p z r (10)
где
= ( , ) ,T T Tz x y 1 2= ( , ) ,T T Tr r r 1 2 1 2: ,
k kk k
f R R
1 2: ( , ) ,T T Tf f f
11 12
21 22
( ) ( )
( ) = ( ) ( ) ,
A p A p
A p A p A p
119
1
2
( ) 0
( ) = 0 ( ) ,
q p
q p q p
11 12
21 22
( ) ( )
( ) = ( ) ( ) .
c p c p
C p c p c p
Тогда, очевидно, решение системы урав-
нений (9) существует, если существует решение системы уравнений (10) и
1 2 1 2( ( , , ) , ( ( , , )) ) = ( , ),e T e T T ex p r r y p r r z p r где ( , )ez p r – решение системы уравнений (10).
Отметим, что при сделанных предположениях относительно функций 1f и 2f для
функции f выполняются условия (1) и (2) Предположения 2. Также, учитывая усло-
вия Предположения 1, a, b и используя формулу определителя блочной матрицы (см.
[5]), получим, что условие 3 Предположения 2 также выполняется. Таким образом,
все условия Предположения 2 для системы уравнений (10) выполнены как в случае a,
так и в случае b. Поэтому, для исследования вопроса о существовании решений сис-
темы уравнений (10), можно использовать результаты п. 2. Тогда единственное реше-
ние системы (10), суть единственное состояние равновесия системы (1), существует
для всех ( , ) ,p rp r где p такова, что выполняется условие
*
* 1
1
( ) ( ) ,max
2 ( ( ))p p
K p K p
K p
(11)
где
=0
( )
( ) = ( ) ( ) ( ),
u
f u
K p A p q p C p
u
( 1 2 1 2
=0
( ) ) ( )
=
k
u
f u k k k
I
u
– единичная матри-
ца размерности 1 2 1 2( ) ( ),k k k k а 1 2= ,
k
r
k
r R r c
где c – произвольное по-
ложительное как угодно большое наперед заданное число, если для всех 1 2k k
u R
верно
*
* 1
=0
1
( ) ( )max
2 ( ( ))( ) ( )
= .
( ) ( )max
p p
u u
p p
K p K p
K pf u f u
u u q p C p
(12)
Поскольку матрица
=0
( ) ( )
u u
f u f u
u u
блочно-диагональная, то
=0
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( )
=
( ) ( ) ( ) ( )
= max , .
=0 =0
u u
f u f u
u u
f f f f
Таким образом, окончательно, если для системы дифференциальных уравнений
(1) выполняются условия 1 1 1 1
1 1
1 1
( ) ( )
=0
f f
для всех 1
1 ,
k
R
2 2 2 2
2 2
2 2
( ) ( )
=0
f f
для всех 2
2 ,
k
R то для всех 1 2( , , )p r r
1 2
,p r r где p определяется из условия (11), а 1
1 1 11
=
k
r r R r c ,
2
2 2 12
=
k
r r R r c , 1c – произвольное положительное как угодно большое на-
перед заданное число, существует единственное состояние равновесия этой системы.
Замечание. Было использовано, что 2 22
1 1 21 21
2 2 2= =1k kk
r r r r r r r
120
1 2 .r r Тогда, условие r c выполняется, если выполняются условия
1 1=
2
c
r c и 2 1= ,
2
c
r c т. е.
1 2
.r r r
4. Использование векторной функции Ляпунова для исследования абсолют-
ной параметрической устойчивости нелинейной неточной сингулярно возму-
щенной системы в случае устойчивых подсистем исходной системы.
Пусть для системы (1) выполняются условия Предположения 1, a). Рассмотрим
векторную функцию 1 2( , ) = ( ( ), ( )) ,T T TV x y v x v y где *
1 1( ) = ( ) ( ),e T ev x x x P x x
*
2 2( ) = ( ) ( ),e T ev y y y P y y 1 2 1 2(( ( , , )) , ( ( , , )) )e T e T Tx p r r y p r r – состояние равновесия
системы (1), соответствующее некоторым значениям 1 2, , ,p r r *
1 ,n nP R *
2
m mP R –
симметричные положительно определенные матрицы, являющиеся решениями алгеб-
раических уравнений Ляпунова * * * * * * * *
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2( ) ( ) = , ( ) ( ) =T Tc p P P c p Q c p P P c p Q ,
соответственно, 1 ,n nQ R 2
m mQ R – симметричные положительно определенные
матрицы. Отметим, что согласно условиям Предположения 1, a), матрицы *
1P и *
2P
существуют. Оценим производные компонент функции ( , )V x y в силу системы (1).
Для первой компоненты имеем
*1
11 12 1 1 1 1
(1)
( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T edv x
A p x A p y q p f P x x
dt
*
1 11 12 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =e Tx x P A p x A p y q p f
*1 1
11 1 11 1
1
1
( )
= ( ) ( ) ( ) ( )
T
e T f
x x A p q p c p P
* 1 1
1 11 1 11
1
1
( )
( ) ( ) ( ) ( )ef
P A p q p c p x x
*1 1
12 1 12 1
1
1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T
e T ef
y y A p q p c p P x x
* 1 1
1 12 1 12
1
1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),e T ef
x x P A p q p c p y y
(13)
где 1
1
k
R – некоторая точка. Здесь использовано, что 11( ) eA p x 12 ( ) eA p y
1 1 11 12 1( ) ( ) ( ) = 0e eq p f c p x c p y r и формула конечных приращений Лагранжа
[4]. Из (13) получим
1
(1)
* * * * * * * *
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( )
= ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e
T T e
dv x
x x
dt
c p P P c p c p c p P P c p c p x x
*1 1 1 1
1 11 1
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=0
T
e T ef f
x x q p c p P x x
121
* 1 1 1 1
1 1 11
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=0
e T ef f
x x P q p c p x x
*1 1 1 11 1
12 1 12 1 12 1
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=0
T
ke T ef fk
y y A p q p I c p q p c p P x x
* 1 1 1 11 1
1 12 1 12 1 12
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=0
ke T ef fk
x x P A p q p I c p q p c p y y
2* * 1 1 1 1
min 1 max 1 1 1 11
1
1
( )
( ) ( ( , )) 2 ( ) ( )
k ef k
Q M p p P q p c p I x x
* 1 11 1 1 1
1 12 1 12 1 12
1
1
( )
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k kfk k
P A p q p I c p q p c p I
,e ex x y y (14)
где * * * * *
1 1 1 1 1 1 1( , ) = ( ( ) ( )) ( ( ) ( )).TM p p c p c p P P c p c p
Пусть функция 1 1( )f такова, что 1 1 1 1
1
1
1
( ) kf k
I
для всех 1
1
k
R , 1 > 0 .
Продолжим оценку (14), учитывая, что
2 2* *
min 1 1 max 1( ) ( ) ( ) ;e eP x x v x P x x
2 2* *
min 2 2 max 2( ) ( ) ( ) ;e eP y y v y P y y
* *1 1
min 1 max 1 1 1 11 1 *
(1) min 1
( ) ( )
( ) ( , ) 2 ( ) ( )
( )
dv x v x
Q M p p P q p c p
dt P
1 1
2 2
* 1 21 1
1 12 1 12 1 12 1 1 1* *2 2
min 1 min 2
( ( )) ( ( ))
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
( ( )) ( ( ))
k v x v yk
P A p q p I c p q p c p
P P
1 1
2 2
1 1 2
1 1* 1 1* *2 2min 1 min 1 min 2
( ) ( ( )) ( ( ))
= ,
( ) ( ( )) ( ( ))
v x v x v y
P P P
(15)
где обозначено: * *
1 min 1 max 1 1 1 11 1= ( ) ( ( , )) 2 ( ) ( ) ,Q M p p P q p c p *
1 1= 2 P
1 1
12 1 12 1 12 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
k k
A p q p I c p q p c p
Для второй компоненты имеем
*2
21 22 2 2 2 2
(1)
( ) 1= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T edv y
A p x A p y q p f P y y
dt
*
2 21 22 2 2 2
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =e Ty y P A p x A p y q p f
*2 2
22 2 22 2
2
2
( )1
= ( ) ( ) ( ) ( )
T
e T f
y y A p q p c p P
122
* 2 2
2 22 2 22
2
2
( )
( ) ( ) ( ) ( )ef
P A p q p c p y y
*2 2
21 2 21 2
2
2
( )1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T
e T ef
x x A p q p c p P y y
* 2 2
2 21 2 21
2
2
( )1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),e T ef
y y P A p q p c p x x
(16)
где 2
2
k
R – некоторая точка. Здесь, как и в оценке 1
(1)
( )
,
dv x
dt
использовано, что
21 22 2 2 21 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0e e e eA p x A p y q p f c p x c p y r и формула конечных при-
ращений Лагранжа. Из (16) получим
* * * * * * * *2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1)
( ) 1
= ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))e T Tdv y
y y c p P P c p c p c p P P c p c p
dt
*2 2 2 2
2 22 2
2 2
2 2
( ) ( )1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=0
T
e e T ef f
y y y y q p c p P y y
* 2 2 2 2
2 2 22
2 2
2 2
( ) ( )1
( ) ( ) ( ) ( )
=0
e T ef f
y y P q p c p y y
2 2 2 22 2
21 1 21 2 21
2 2
2 2
( ) ( )1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=0
T
ke T f fk
x x A p q p I c p q p c p
* *
2 2
1( ) ( )e e TP y y y y P
2 2 2 22 2
21 2 21 2 21
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=0
k ef fk
A p q p I c p q p c p x x
2* * 2 2 2 2
min 2 max 2 2 2 22
2
2
( )1
( ) ( ( , )) 2 ( ) ( )
k ef k
Q M p p P q p c p I y y
* 2 22 2 2 2
2 21 2 21 2 22
2
2
( )2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
k k e efk k
P A p q p I c p q p c p I x x y y
(17)
где * * * * *
2 2 2 2 2 2 2( , ) = ( ) ( ) ( ) ( ) .
T
M p p c p c p P P c p c p
Пусть функция 2 2( )f такова, что 2 2 2 2
2
2
2
( ) kf k
I
для всех 2
2
k
R ,
2 > 0 . Продолжим оценку (17), учитывая, что
2*
min 1 1( ) ( )eP x x v x
2*
max 1( ) ,eP x x
2 2* *
min 2 2 max 2( ) ( ) ( )e eP y y v y P y y .
123
* *2 2
min 2 max 2 2 2 22 2 *
(1) min 2
( ) ( )1
( ) ( ( , )) 2 ( ) ( )
( )
dv y v y
Q M p p P q p c p
dt P
1 1
2 2
* 1 22 2
2 21 2 21 2 22 2 1 1* *2 2
min 1 min 2
( ( )) ( ( ))2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
( ( )) ( ( ))
k v x v yk
P A p q p I c p q p c p
P P
1 1
2 2
2 1 2
2 2* 1 1* *2 2min 2 min 1 min 2
( ) ( ( )) ( ( ))1 1
= ,
( ) ( ( )) ( ( ))
v y v x v y
P P P
(18)
где обозначено: ,)()(2)),(()(= 2222
*
2
*
2max2min2 pcpqPppMQ
* 2 2
2 2 21 2 21 2 22 2= 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
k k
P A p q p I c p q p c p
Таким образом, исходя
из оценок (15), (18), для производной векторной функции ( , )V x y в силу системы (1)
имеет место оценка относительно конуса 2R , т.е.
1 1
1 1 2 2
1 1 2* 1 1
min 1 * *2 2
min 1 min 2
1 1(1) 2 2 2 2
2 1 2* 1 1* *2 2min 2 min 1 min 2
( ) ( ( )) ( ( ))
( )
( , ) ( ( )) ( ( )) .
1 1
( ) ( ( )) ( ( )
( ) ( ( )) ( ( ))
v x v x v y
P
dV x y P P
dt
v y v x v y
P P P
(19)
Воспользовавшись неравенством
2
2 2 ,
2 2
a b
az bz z
a
продолжим оценку (19):
2
1 1
1 1 2* *
min 1 1 min 2
2
(1) 2 2
2 1 2* *
min 2 2 min 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( , ) 1
= ( , )
2 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v x v x v y
P PdV x y
AV x y
dt
v y v x v y
P P
2
1 1
* *
min 1 1 min 2
2
2 2
* *
2 min 1 min 2
( ) ( ) ( )1
= .
2 1 1
( ) ( ) ( )
P P
A
P P
(20)
Используя полученные оценки, сформулируем и докажем теорему, которая опре-
деляет достаточные условия абсолютной параметрической устойчивости нелинейной
неточной сингулярно возмущенной системы относительно некоторой области в про-
странстве параметров.
Теорема 1. Пусть функции 1 1( )f и 2 2( ),f входящие в систему (1), таковы, что
*
min 1 max 1
1
1 1 1 1
1 *
1 1 1 1 111 1 1
( ) ( ( ( , )))max
( ) ( )
< min , ,
2 ( ) ( )max=0
p p
p p
Q M p p
f f
P q p c p
(21)
где область *
11 = l
p p R p p b такова, что выполняется условие
124
*
max 1 min 1
1
( ( ( , ))) < ( ),max
p p
M p p Q
(22)
*
min 2 max 2
2
2 2 2 2
2 *
2 2 2 2 222 2 2
( ) ( ( ( , )))max
( ) ( )
< min , ,
2 ( ( ) ( ) )max=0
p p
p p
Q M p p
f f
P q p c p
(23)
где область *
22 = l
p p R p p b такова, что выполняется условие
*
max 2 min 2
2
( ( , )) < ( ),max
p p
M p p Q
(24)
определяется из условия (12), а область *= l
p p R p p b определяется
из условия (11) и для всех ( 1 2)p p pp P выполняется условие
1 2 1 2< , (25)
где 1, 2 , 1, 2 обозначены выше, то система (1) абсолютно параметрически
устойчива относительно области
1 2
,r rP где 1
1 1 1 11
= , > 0 ,
k
r r R r c c
2
2 2 2 22
= , > 0 ,
k
r r R r c c для всех (0,1].
Доказательство. Согласно условиям (21), (23) – 1 < и 2 < . Значит, как
было показано в п. 3, для всех 1 2 1 1
( , , ) ,p r rp r r где p определяется из ус-
ловия (11), а
1r
и
2r
такие, как в условии теоремы, существует единственное со-
стояние равновесия системы (1). Очевидно, что оно существует и для всех
1 2
( , ) .r rp r P Покажем, что для всех значений параметра из этой области ука-
занное состояние равновесия будет глобально асимптотически устойчиво. Пусть
1 2( , , )p r r – произвольные значения параметров из области
1 2r rP и
1 2 1 2(( ( , , )) , ( ( , , )) )e T e T Tx p r r y p r r – соответствующее им состояние равновесия систе-
мы (1). Рассмотрим векторную функцию, предложенную выше. Ее производная, в
силу системы (1), удовлетворяет неравенство
(1)
( , ) ( , ),dV x y dt AV x y где A опре-
делена равенством (20). Отметим, что поскольку выполняются условия (21), (23), то
для всех ( 1 2)p p pp P 1 < 0 и 2 < 0.
Рассмотрим систему уравнений
= ,du dt Au (26)
где матрица A задана в (20), а 2
1 2= ( , ) .Tu u u R Так как 1 < 0 и 2 < 0, то функция
( ) =f u Au – квазимонотонна относительно конуса 2 ,R т. е. система (26) является
системой сравнения для системы (1). При выполнении условия (25) матрица A ус-
тойчива, значит состояние равновесия 1 2 1 2(( ( , , )) , ( ( , , )) )e T e T Tx p r r y p r r системы (1)
для выбранных значений параметров 1 2( , , )p r r является глобально асимптотически
устойчивым. Поскольку 1 2( , , )p r r – произвольная точка области
1 2
,r rP то сис-
тема (1) абсолютно параметрически устойчива относительно этой области.
Поскольку все вышеизложенное имеет место для всех (0,1], то свойство абсо-
лютной устойчивости системы (1) также сохраняется при всех (0,1]. Теорема пол-
ностью доказана.
125
5. Использование матричнозначной функции для анализа абсолютной устой-
чивости нелинейной неточной сингулярно возмущенной системы.
Пусть для системы (1) выполняются условия Предположения 1, в). Рассмотрим
матричнозначную функцию следующего вида [12, 13]:
11 12
21 22
( ) ( , , )
( , , ) = ,
( , , ) ( , )
v x v x y
V x y
v x y v y
(27)
где 11 1( ) = ( ) ( ),e T ev x x x P x x 22 2( ) = ( ) ( ),e T ev y y y P y y 21 12( , , ) = ( , , ) =v x y v x y
3= ( ) ( );e T ex x P y y (( ) , ( ) )e T e T Tx y – состояние равновесия системы (1), соответ-
ствующее некоторым значениям ,p 1r и 2;r 1 ,n nP R 2
m mP R – симметрические
положительно определенные матрицы, 3
n mP R – некоторая постоянная матрица.
Рассмотрим также скалярную функцию [12,13]
( , , ) = ( , , ) , = (1,1).T Tv x y V x y (28)
Учитывая, что для элементов матричнозначной функции (27) имеют место оценки
2
11 min 1( ) ( ) ev x P x x для всех nx R ;
2
22 min 2( , ) ( ) ev y P y y для всех , (0,1]my R ;
1
2
12 max 3 3( , , ) ( ( ))T e ev x y P P x x y y для всех , , (0,1]n mx R y R ,
где min ( ), max ( ), – минимальное и максимальное значения соответствующей мат-
рицы, для скалярной функции (28) имеет место следующая оценка:
( , , ) ( ) ,T Tv x y u H A Hu для всех ( , , ) (0,1]n mx y R R ,
где = ( , ),T e eu x x y y
1 0
= ,
0 1
H
1
2
min 1 max 3 3
1
2
max 3 3 min 2
( ) ( ( ))
( ) = .
( ( )) ( )
T
T
P P P
A
P P P
(29)
Определим производную функции (28) по времени в силу системы (1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1) 1
1( , , ) = 2 ( ) ( )) ( ) (
Te e ev x y f f f fa
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
12 ( ) ( )) ( ) ( ( , ) ,
Te e e Tf f f f z B p za
(30)
где 1 11 12 1= ( ) ( ) ,e e ec p x c p y r 2 21 22 2= ( ) ( ) ,e e ec p x c p y r > 0ia 1,2i –
некоторые числа, 1 1 1 1 2 2 2 2= ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )
T TT e T e T e ez x x y y f f f f
,
126
( , )B p – блочная матрица размера 4 4 с элементами 11 1 11 11 1= ( ) ( )TB P A p A p P
3 21 21 3( ) ( ) ,T TP A p A p P 21 3 11 2 21 22 3 12 1 12= ( ) ( ) ( ) ( ) = ,T T T T TB P A p P A p A p P A p P B
22 3 12 2 22 12 3 22 2= ( ) ( ) ( ) ( ) ,T T TB P A p P A p A p P A p P 13 31 1 1 11= = ( ) ( ),T TB B P q p c p
14 41 3 2 21= = ( ),T TB B P q c p 23 32 3 1 12= = ( ) ( ),T T TB B P q p c p 24 42 2 2 22= = ( ) ( ),T TB B P q p c p
1 1
33
1
2
= ,
k k
B I
a
1 2
34 43= = 0 ,
kT k
B B
2 2
44
2
2
= .
k k
B I
a
Введем следующие обозначения:
( )
=
2=0
i i i
i
i
i
f a
M
1 2
2 2
min
( ) ( ) ( ) ( )1
2 4 ;
2 2=0 =0 =0 =0
T
i i i i i i i i i
i
i i i i
i i i i
f f a f f
a
13 1411 12
23 2421 22
= , = ;
B BB B
A C
B BB B
1 1 1 1 1 2
1 2
33
1 2
2 1 22 1 2 2
44
00 2= =
0 0
2
k k
k
a
k k k
a k kk IB
I a k ak kB I
и сформулируем теорему.
Теорема 2. Пусть для сингулярно возмущенной системы (1) выполняются условия
Предположения 1, б), построена матричная функция (27) и для функций 1 1( )f и
2 2( )f , входящих в состав системы (1), для всех 1
1 ,
k
R 2
2 ,
k
R соответствен-
но, выполняются условия
( ) ( )
< min{ , },
=0
i i i i
i
i i
i i
f f
M
(31)
2
min
( )
2 | =0
> , = 1, 2;
( ) ( )
=0 =0
i i
ii
i T
i i i i
i i
i i
f
a i
f f
,pP область p определяется из (11), а – из (12), * min 1 min 2
max 3 3
( ) ( )
=
( )T
P P
P P
и для
всех p P и *0 < , матрица
1 2
= 1T
a
A C
B
C I a
устойчива, тогда система (1)
127
абсолютно параметрически устойчива относительно области
1 2
,r rP где
1
1 1 1 11
= | , > 0 ,
k
r r R r c c 2
2 2 2 22
= | , > 0 ,
k
r r R r c c для всех (0, ].
Замечание. Точка *p из Предположения 1, б) должна принадлежать области .P
Доказательство. Поскольку для всех 1
1 ,
k
R 2
2
k
R выполняется условие
(31), где определяется из (12), то, согласно результатам п. 3, для всех 1 2( , , )p r r
1 2
,p r r где p определяется из условия (11), а
1r
и
2r
такие, как указа-
но в условиях теоремы, существует единственное состояние равновесия системы (1).
Очевидно, что оно существует и для всех 1 2 1 2
( , , ) .r rp r r P Покажем, что для
всех значений параметров из этой области указанное состояние равновесия будет гло-
бально асимптотически устойчиво. Пусть 1 2( , , )p r r произвольные значения парамет-
ров из области
1 2r rP и 1 2 1 2(( ( , , )) , ( ( , , )) )e T e T Tx p r r y p r r – соответствующее им
состояние равновесия системы (1). Рассмотрим скалярную функцию (28), построен-
ную с помощью матричнозначной функции (27). При всех *< матрица (29) поло-
жительно определена, т. е. скалярная функция ( , , ) > 0v x y для всех ( , , )x y
(0, ].n mR R Для производной функции (28) по времени в силу системы (1) вы-
полняется оценка (30). При = 1, 2i рассмотрим величину
1
( ( ) ( ) ( ) ( ) =
Te e e
i i i i i i i i i i
i
f f f f
a
( ) ( )1
= ( ) ( ) =
T
ke T ei i i ii i
i i i i
i i i
i i
f fk
I
a
( ) ( ) ( ) ( )1 1
= ( ) ( ) =
2
T T
e T ei i i i i i i i
i i i i
i i i i i
i i i i
f f f f
a
( ) ( ) ( ) ( )1 1
= ( ) ( )
2 2=0 =0
T T
e T ei i i i i i i i
i i i i
i i i i
i i i i
f f f f
( ) ( ) ( ) ( )1 1
( ) ( ) =
2 =0 =0
T T
e T ei i i i i i i i
i i i i
i i i i i
i i i i
f f f f
a
= ( ) ( ),e T e
i i i i iH (32)
где i – некоторая точка.
Согласно теоремы Вейля (см. [5]), учитывая что min max( ) = ( )A A
( ) ,A A где ( )A – спектральный радиус ,A получим следующую оценку:
128
min min
( ) ( )1
( )
2 =0 =0
T
i i i i
i
i i
i i
f f
H
2
min
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
2=0 =0 =0
T
i i i i i i i i i i
i i i i i i
i i i i i
f f f f f
a
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
.
=0 =0 =0
i i i i i i i i i i
i i i i i i
i i i i i
f f f f f
a
(33)
Видно, что если
2
min
( ) ( ) ( )
> 2
=0 =0 =0
T
i i i i i i
i
i i i
i i i
f f f
a
и
( ) ( )
<
=0
i i i i
i
i i
i i
f f
M
(см. обозначения перед Теоремой 2) при всех ,i то
последняя величина в оценке (33) строго положительна. Значит min ( ) > 0iH и из (32)
имеем, что
1
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) > 0,e e T e
i i i i i i i i i i
i
f f f f
a
= 1,2,i при всех
1
1 ,
k
R 2
2 ,
k
R соответственно. Согласно введенным обозначениям перед Тео-
ремой 2, матрицу B из выражения (30) можно записать в виде блочной матрицы
1 2
= .1T
a
A C
B
C I a
Устойчивость матрицы ,B для всех *0 < < , обеспечивает
отрицательность величины ( )Tz B z в оценке (30) для всех 7 .z R
Таким образом, при выполнении условий Теоремы 2, согласно выражению (30),
производная функции ( , , )v x y в силу системы (1) отрицательна для всех ,nx R
,my R *0 < < . Значит функция ( , , )v x y является функцией Ляпунова, по-
зволяющей в силу теоремы 12.1 (см. [1]) установить глобальную асимптотическую
устойчивость состояния равновесия 1 2 1 2( , , ) , ( , , ) .
TT Te ex p r r x p r r
Так как
1 2( , , )p r r – произвольная точка области
1 2
,r rP то система (1) абсолютно пара-
метрически устойчива относительно этой области. Теорема полностью доказана.
6. Примеры.
I. В качестве первого примера рассмотрим систему вида (1), где 2, ,x y R 1,p R
1
1 ,r R 2
2 ,r R 11
1
( ) = ,
1 2
p
A p
12
1
( ) = ,
0 1
p
A p
1( ) = ,
0,1
p
q p
11( ) = 0,01 ,c p p 12 ( ) = 0,01 ,c p p 21
0,001 0
( ) = ,
0,001
A p
p
22
4 1
( ) = ,
1 4
p
A p
129
0,1 0
( ) = ,
0 0,1q
p
q p
21
0,001 0
( ) = ,
0 0,001
p
c p
22
0,01 0
( ) = .
0,01
c p
p
Нелиней-
ные функции 1 1
1 : ,f R R 2 2
2 :f R R непрерывно дифференцируемы на 1R и 2 ,R
соответственно, и таковы, что 1(0) = 0,f 2 (0) = 0,f 1 1
1
1
( )
= 1,
=0
f
2 2
2
2
1 0( )
= .
0 1=0
f
Выберем значение параметра *p равным 0. Определим матрицы 1( ),c p 2 ( ),c p
3 ( )c p и убедимся, что рассматриваемая система удовлетворяет условиям Предполо-
жения 1, a. Воспользовавшись подходом, предложенным в п. 3, определим область
1= < 0,1p p R p из (11) и величину = 0,976 из (12). Значит, если функции
1 1( )f и 2 2( )f таковы, что 1 1 1 1
1 1
1 1
( ) ( )
0,976,
=0
f f
для всех 1
1 ,R и
2 2 2 2
2 2
2 2
( ) ( )
0,976,
=0
f f
для всех 2
2 ,R то для всех 1 2( , , )p r r
1 2
,p r r где 1
1 11
= | | ,r r R r c 2
2 22
= ,r r R r c > 0,c существует
единственное состояние равновесия исследуемой системы.
Выбрав матрицы 1 2
1 0
= = ,
0 1
Q Q
определим матрицы *
1
1,5 0,5
= ,
0,5 0,5
P
*
2
0,133 0,033
=
0,033 0,133
P
. Используя соотношения (21), (22), (23), (24), вычислим
11 = | | 0,1 ,p p R p 1 = 0,9 и 12 = | | 0,1 ,p p R p 2 = 0,9. Условие (25)
выполняется для всех 1= | | 0,1 = 1 2p p pp P p R p . Значит иссле-
дуемая система, согласно Теореме 1, абсолютно параметрически устойчива относи-
тельно области
1 2r rP при всех (0,1], если для функций 1 1( )f и 2 2( )f
выполняются условия 1 1 1 1
1 1
1 1
( ) ( )
0,9
=0
f f
для всех 1
1 R и
2 2 2 2
2 2
2 2
( ) ( )
0,9
=0
f f
– для всех 2
2 .R
Выбрав 1 1 1 1( ) = 0,45sin 0,55f и
2 21 1
2 2
2 22 2
0,225sin 2 1, 45
( ) =
0, 225sin 2 1, 45
f
,
2 2 21 2
= ( ),T убедимся, что эти функции удовлетворяют полученным секторным
условиям. На рис. 1, 2 представлены графики, иллюстрирующие поведение перемен-
ных 1 2= ( , ),Tx x x 1 2= ( , )Ty y y рассмотренной выше системы при = 0,05,p
= 0,25, 1 = 20,r 2 = (10 20),Tr 0 = (25 25),Tx 0 = (15 20).Ty Состояния равнове-
130
сия, соответствующие значениям параметров приведенных выше, равны:
= (0,811 0,863) ,e Tx = (0,375; 0,804)e Ty .
Рис. 1 Рис. 2
II. В качестве второго примера рассмотрим систему вида (1), где 2, ,x y R
1,p R 1
1 ,r R 2
2 ,r R
3
11
2 0
( ) = ,
0 1
p
A p
12
20 0
( ) = ,
20
A p
p
1
sin
( ) = ,
0,1
p p
q p
11( ) = 0,01 ,c p p 22 ( ) = 0,01 ,c p p 21
1 tan
( ) = ,
0 1
p
A p
5
22 2
4 sin 0
( ) = ,
4
p p
A p
p
0,01 0
( ) = ,
0 0,01q
p
q p
21
0,01cos 0
( ) = ,
0,01
p
c p
p
22
0,01
( ) = .
0 0,01cos
p
c p
p
Нелинейные функции 1 1
1 : ,f R R 2 2
2 :f R R непре-
рывно дифференцируемы на 1R и 2 ,R соответственно, и таковы, что 1(0) = 0,f
2 (0) = 0,f 1 1
1
1
( )
= 1,
=0
f
2 2
2
2
1 0( )
= .
0 1=0
f
Выберем значение параметра *p равным 0. Определим матрицы 1( ),c p
2 ( ),c p 3 ( )c p и убедимся, что рассматриваемая система удовлетворяет условиям
Предположения 1, b. Заметим, что матрица *
1( )c p – неустойчива и использовать
векторную функцию Ляпунова, как в примере I, не удастся. С помощью подхода,
предложенного в п. 3, определим область 1= | | 0,1p p R p из (11) и вели-
чину = 5,503 из (12). Таким образом, если функции 1 1( )f и 2 2( )f таковы, что
1 1 1 1 1 1
1 1
( ( )) ( ( )) 5,503=0f f для всех 1
1 ,R и
2 2 2 2 2 2
2 2
( ( )) ( ( )) 5,503=0f f для всех 2
2 ,R то для всех
131
1 2 1 2
( , , ) ,p r rp r r где 1
1 11
= | | ,r r R r c
2
=r 2
2 2= ,r R r c
> 0,c существует единственное состояние равновесия исследуемой системы.
Выберем матрицы 1
0,3 0
= ,
0 0,3
P
2
2 0
= ,
0 2
P
3
1 0
=
0 1
P
и сконструируем
матричнозначную функцию вида (27). Выберем 1 = 2,a 2 = 3a ( 1 > 1,a 2 > 1,a где 1 –
нижняя оценка для ,ia определяемая в условии Теоремы 2, и вычислим 1 = 0,236M ,
2 = 0,372M . Тогда, согласно условию (31) получим, что функции 1 1( )f и 2 2( )f долж-
ны удовлетворять следующим оценкам: 1 1 1 1 1 1
1 1
( ( )) ( ( )) 0,23=0f f для
всех 1
1 ,R и 2 2 2 2
( ( )) |f 2 2 2
2
( ( )) | 0,37=0f для всех 2
2 R .
Определим * = 0,6 и убедимся, что матрица B устойчива для всех p P
1 | | 0,1 ,p R p 0 < 0,37. Следовательно, если функции 1 1( )f и 2 2( )f
удовлетворяют оценкам, приведенным выше, то исследуемая система, согласно Тео-
реме 2, абсолютно параметрически устойчива относительно области
1 2
,r rP
где 1
1 11
= { | | | },r r R r c 2
2 22
= { | },r r R r c > 0,c при всех (0, 0,37].
Выбрав 1 1 1 1( ) = 0,0575sin 2 1,115f и
2 21 1
2 2
2 22 2
0,185sin 1,185
( ) = ,
0,185sin 1,185
f
2 2 21 2
= ( , ),T убедимся, что эти функции удовлетворяют полученным секторным
условиям. На рис. 3 представлен график, который иллюстрирует поведение перемен-
ных 1 2= ( ),Tx x x 1 2= ( )Ty y y рассмотренной выше системы при = 0,07,p = 0,3,
1 = 250,r 2 = (10 20),Tr 0 = (25 25),Tx 0 = (15 20).Ty Состояния равновесия, соот-
ветствующие выбранным значениям параметров, равны: = ( 13,726, 7,306) ,e Tx
= ( 3,329, 1,744)e Ty .
Рис. 3
132
6. Заключение.
В данной статье для анализа абсолютной параметрической устойчивости не-
точных сингулярно возмущенных систем использованы многокомпонентные
функции Ляпунова, в частности, векторная и матричная. В отличие от работы
[14], где для анализа абсолютной параметрической устойчивости неточной син-
гулярно возмущенной системы также использована векторная функция Ляпуно-
ва, в данной работе рассмотрен случай, когда система вида (1) не допускает раз-
деление на “медленную” и “быструю” подсистемы. В этом случае, если система
(1) допускает выделение устойчивых при некотором значении параметра подсис-
тем, возможно построить векторную функцию Ляпунова в явном виде и с ее по-
мощью получить достаточные условия абсолютной параметрической устойчиво-
сти исходной системы, а также указать область такой устойчивости в пространст-
ве параметров. В случае, если выделение устойчивых подсистем исходной сис-
темы по каким-либо причинам не представляется возможным, для анализа абсо-
лютной параметрической устойчивости использована матричнозначная функция
Ляпунова. С ее помощью также получены достаточные условия указанного типа
устойчивости системы (1) и определена область такой устойчивости в простран-
стве параметров. В качестве примера применения матричнозначной функции
Ляпунова приведена система, одна из подсистем которой неустойчива при неко-
тором значении параметра, однако исходная система – абсолютно параметриче-
ски устойчива относистельно области, содержащей это значение параметра.
Р Е ЗЮМ Е . На основі використання багатокомпонентних функцій Ляпунова проведено аналіз
абсолютної параметричної стійкості сингулярно збурених механічних систем. Розглянуто випадок,
коли висхідна система не дозволяє розділення на “швидку” та “повільну” підсистеми. Отримано
достатні умови та області абсолютної параметричної стійкості таких систем.
1. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости – М.: Наука, 1967. – 223 с.
2. Воронов А.А., Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. – М.:
Наука. Гл. ред. физ.-матем. лит., 1987. – 312 с.
3. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика – М.: Мир, 1969. – 447 с.
4. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-
матем. лит., 1988. – 816 с.
5. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 655 с.
6. Barnett S., Storey C. Matrix Methods in Stability Theory. – London, Nelson, 1970. – 170 p.
7. Hoppensteadt F. Asymptotic Stability in Singular Perturbation Problems // J. Diff. Eq. – 1968. – N 4. –
P. 350 – 358.
8. Hoppensteadt F. Singular Perturbations on the Infinite Interval // Trans. Amer. Math. Soc. – 1966. – N
123. – P. 521 – 535.
9. Kokotovic P.V. O’Malley Jr., Sannuti P. Singular Perturbation and Order Reduction in Control Theory
// Automatica. – 1976. – 12. – P. 123 – 132.
10. Lakshmikantham V., Matrosov V.M., Sivasundaram S. Vector Lyapunov Function and Stability
Analysis of Nonlinear Systems. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. – 188 p.
11. Larin V.B., Tunik A.A. On Inertial Navigation System Error Correction // Int. Appl. Mech. – 2012. –
48, N 2. – P. 213 – 224.
12. Martynyuk A.A. Stability by Lyapunov's matrix function method with applications. – New York: Mar-
cel Dekker, 1998. – 276 p.
133
13. Martynyuk A.A. Uniform asymptotic stability of a singularly perturbed system via the Lyapunov ma-
trix-function // Nonlin. Analysis. – 1987. – N 11. – P. 1 – 4.
14. Martynyuk A.A., Khoroshun A.S. Parametric Stability of Singularly Perturbed Nonlinear Uncertain
Systems // Int. Appl. Mech. – 2011. – 46, N 10. – P. 1177 – 1189.
15. Porter B. Singular Perturbation Methods in the Design of Stabilizing Feedback Controllers for Multi-
variable Linear Systems // Int. J. Control. – 1974. – N 20. – P. 689 – 692.
16. Porter B. Design of Stabilizing Feedback Controllers for a Class of Multivariable Linear Systems
with Slow ana Fast Modes // Int. J. Control. – 1976. – 23. – P. 49 – 54.
17. Porter B. Singular Perturbation Methods in the Design of Stabilizing State Feedback Controllers for
Multivariable Linear Systems // Int. J. Control. – 1977. – 26. – P. 583 – 587.
18. Siljak D.D. Singular Perturbation of Absolute Stability // IEEE Trans. – 1972. – AC-17. – 720 p.
19. Sun J.F., Wang X.L. Connected Stability Analysis of Delay Systems via the Matrix-Valued
Lyuapunov Function // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 5. – P. 623 – 629.
20. Vasil’ev T.A., Shaldyrvan V.A. Local Stress Singularities in Mixed Axisymmetric Problems of the
Bending of Circular Cylinders // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 2. – P. 176 – 188.
21. Wilde R.R., Kokotovic P. Stability of Singularly Perturbed Systems and Networks with Parasitics //
IEEE Trans. – 1972. – AC-17. – P. 245 – 246.
22. Zien L. An Upper Bound for the Singular Parameter in a Stable Singularly Perturbed System // J.
Franklin Inst. – 1973. – 295. – P. 373 – 381.
Поступила 31.05.2010 Утверждена в печать 26.06.2013
|