Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями

Розвинуто чисельний метод аналізу нестаціонарних коливань п’єзокерамічних радіально поляризованих тіл сферичної форми з врахуванням впливу акустичного середовища. Проведено дослідження коливань п’єзокерамічних сфер з імпедансними граничними умовами при електричному збудженні; встановлено залежність...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Шульга, Н.А., Григорьева, Л.О., Кириченко, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2014
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100616
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями / Н.А. Шульга, Л.О. Григорьева, А.А. Кириченко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 54-60. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-100616
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1006162016-05-25T03:02:23Z Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями Шульга, Н.А. Григорьева, Л.О. Кириченко, А.А. Розвинуто чисельний метод аналізу нестаціонарних коливань п’єзокерамічних радіально поляризованих тіл сферичної форми з врахуванням впливу акустичного середовища. Проведено дослідження коливань п’єзокерамічних сфер з імпедансними граничними умовами при електричному збудженні; встановлено залежність коливань від відношення товщини до радіусу сфери; проведено порівняння коливань сфери з вільними зовнішніми поверхнями з коливаннями сфери, зануреної у воду. A numerical method for analysis of the non-stationary vibrations of piezoceramic radially polarized bodies with allowance for effect of acoustic medium. The piezoelectric vibrations of spheres are analyzed for the case of impedance boundary conditions under electric excitation. A dependence of vibrations on the ratio of the sphere thickness to its radius is established. The vibrations of sphere with the free external surface are compared with ones of the sphere immersed in water. 2014 Article Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями / Н.А. Шульга, Л.О. Григорьева, А.А. Кириченко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 54-60. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100616 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Розвинуто чисельний метод аналізу нестаціонарних коливань п’єзокерамічних радіально поляризованих тіл сферичної форми з врахуванням впливу акустичного середовища. Проведено дослідження коливань п’єзокерамічних сфер з імпедансними граничними умовами при електричному збудженні; встановлено залежність коливань від відношення товщини до радіусу сфери; проведено порівняння коливань сфери з вільними зовнішніми поверхнями з коливаннями сфери, зануреної у воду.
format	Article
author	Шульга, Н.А. Григорьева, Л.О. Кириченко, А.А.
spellingShingle	Шульга, Н.А. Григорьева, Л.О. Кириченко, А.А. Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями Прикладная механика
author_facet	Шульга, Н.А. Григорьева, Л.О. Кириченко, А.А.
author_sort	Шульга, Н.А.
title	Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями
title_short	Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями
title_full	Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями
title_fullStr	Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями
title_full_unstemmed	Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями
title_sort	нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100616
citation_txt	Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями / Н.А. Шульга, Л.О. Григорьева, А.А. Кириченко // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 54-60. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT šulʹgana nestacionarnyeuprugoélektričeskiekolebaniâpologošarasimpedansnymigraničnymiusloviâmi AT grigorʹevalo nestacionarnyeuprugoélektričeskiekolebaniâpologošarasimpedansnymigraničnymiusloviâmi AT kiričenkoaa nestacionarnyeuprugoélektričeskiekolebaniâpologošarasimpedansnymigraničnymiusloviâmi
first_indexed	2025-07-07T09:04:58Z
last_indexed	2025-07-07T09:04:58Z
_version_	1836978381959200768
fulltext	2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 3 54 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 3 Н .А .Шу л ь г а 1 , Л .О . Г р и г о р ь е в а 2 , А .А .К и р и ч е н к о 2 НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УПРУГОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГО ШАРА С ИМПЕДАНСНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ 1Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. П. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; 2Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Воздухофлотский пр-т, 31, 03037, Киев, Украина e-mail: l_grigoryeva@ukr.net Abstract. A numerical method for analysis of the non-stationary vibrations of piezoce- ramic radially polarized bodies with allowance for effect of acoustic medium. The piezo- electric vibrations of spheres are analyzed for the case of impedance boundary conditions under electric excitation. A dependence of vibrations on the ratio of the sphere thickness to its radius is established. The vibrations of sphere with the free external surface are compared with ones of the sphere immersed in water. Key words: piezo-ceramic sphere, radial polarization, electric excitation, electro-elastic vibrations, impedance boundary conditions, numerical method. Введение. Пьезокерамические элементы конструкций сферической формы являются типич- ными активными компонентами многих устройств и широко применяются в различ- ных областях техники (приборостроении, гидроакустике, электроакустике, ультразву- ковой технологи) [1, 2, 10 и др.]. Для обеспечения надежности и выбора оптимальных условий функционирования электромеханических излучателей необходимо изучение динамического электромеханического состояния тел с учетом влияния внешней среды [1, 2, 10 и др.]. В [4, 5, 13] выполнено определение собственных частот и форм коле- баний для электроупругих полых цилиндров и сфер. Задачи о распространении волн в электроупругих телах рассмотрены в [8, 11]. Нестационарные колебания двухслойной пьезокерамической сферической оболочки проанализированы в [9]. Исследования упругоэлектрических центральносимметрических и осесиметрических нестационар- ных колебаний пьезокерамических сфер и цилиндров в рамках пространственной тео- рии упругости проведены в статьях [3, 6, 7, 12 – 14]. Данная работа посвящена построению численного метода решения и анализу влияния импедансного контакта с акустической средой на нестационарные колебания полого пьезокерамического поляризованного по толщине шара при электрических динамических возмущениях. 1. Постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим полый поляризованный по толщине пьезокерамический шар с радиу- сом срединной поверхности R и толщиной стенки 2h . Колебания шара описываем уравнением движения и квазистатическим уравнением для электрической индукции [1, 2] 55 2 2 2 rr rru r rt          ; 2 0r rD D r r     (1) при материальных соотношениях 33 13 332E E rr u u c c e r r r         ; 13 11 21 13( )E E Eu u c c c e r r r          ; 33 13 332 S r u u D e e r r r        . (2) Начальные условия накладываются только на перемещения и их скорости 0 ( ,0) ( )u r u r ; 1 ( , 0) ( ) u r t u r t     . (3) Механические граничные условия при 0r R h  и 1r R h  примем в виде им- педансных соотношений ( , ) ( , ) 0rr i i i u r t z r t t      ( 0, 1i  ), (4) где iz – удельные акустические сопротивления внешней среды. Условия (4) позволяют приближенно учесть влияние акустической среды, что важно для задач гидроакустики [10]. Колебания шара возбуждаются электрическим потенциалом ( , ) ( )R h t V t    , подводимым к электродированным внешним поверхностям шара r R h  . Начально-краевую задачу (1) – (4) сводим к безразмерному виду с помощью обо- значений: r R x  ; x x h  ; h t t t  ; u u h  ; 00 ij ij c    ; 00 2 00c h    ; (5) 00 00 i i D D c   ; 00 00 ij ij e e c   ; 00    ; 00 E ij ij c c c  ; 00 S ii ii     ; 00 00 i i z z c   , где 00  , 00 33 Ec c , 00 33 S  , 00 00ht h c , /h R  – нормирующие величины (в дальнейшем знаки безразмерности опускаем). Введение параметра кривизны  позволяет в частном случае (при 0  ) рас- сматривать колебания плоского пьезокерамического слоя. Ранее колебания плоского пьезокерамического слоя без учета влияния внешней среды исследованы в [12, 13]. Систему уравнений электроупругости (1), (2) представим в безразмерном виде: 2 2 2 ( ) 1 rr rr u x xt             ; 2 0 1 r r D D x x        ; (6) 33 13 33 2 1r u D e e u x x x            ; 33 13 33 2 1rr u c c u e x x x            ; 13 11 21 13( ) 1 u c c c u e x x x             . (7) 2. Численный метод решения задачи. Для решения начально-краевой задачи (6), (7) с учетом (3), (4) построена численная схема на основе сеточных аппроксимаций и разностных схем. В интервале интегрирования [ 1, 1]x  введено разбиение  таким образом, что крайние точки разбиения находятся на расстоянии / 2x от концов ин- тервала, т.е. { ( 0,5) 1;ix i x      0, 1, ..., 1; 2 / ( 1)}i n x n     . 56 Механические перемещения и электрический потенциал определим в узлах раз- биения, а механические напряжения и электрическую индукцию – в центрах ячеек разбиения. Разностную форму уравнений электроупругости (6) записываем для внут- ренних точек разбиения; она принимает вид 2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.52 1 ( ) ( ) 1 rr rr rr rri i i i i i i i u x xt                         ; 0.5 0.5 0.5 0.5 1 ( ) ( ) 0 1 r r r r i i i i i D D D D x x           . (8) Материальные соотношения (7) представим в центрах участков разбиения: 33 33 33 0.5 13 1 13 1 0.5 0.5 ( ) 1 1 rr i i i i i i i c c e c u c u x x x x x                               ; 13 13 1311 21 11 21 0.5 1 11 1 0.5 0.5 ( ) ( ) ( ); 2(1 ) 2(1 )i i i i i i i c c ec c c c u c u x x x x x                                  (9) 33 33 33 0.5 13 1 13 1 0.5 0.5 ( ) 1 1 r i i i i i i i e e D e u e u x x x x x                               . Значения перемещений и электрического потенциала в законтурных точках ис- ключаем из уравнений с помощью разностной формы граничных условий. Для интегрирования по времени вводим разбиение t интервала времени [0, ]t T с шагом t . Решение получим с использованием явной разностной схемы 1 1 1 2 2k k k k u u u u t         (10) или методом Ньюмарка 1 1 1k k k ku u u u t              ; 1 1 1k k k ku u u u t             , (11) где  – параметр схемы. Для определения перемещений и электрического потенциала в законтурных точ- ках используем разностную форму граничных условий. Из электрических граничных условий получаем следующие выражения: 0 1 02 ( )V t    ; 1 02 ( )n n V t     . Механические граничные условия (4) преобразуем к виду , 0 0.5 1 0( ) 2 rr k k kz u u     ; , 1 0.5 1( ) 2 rr k k k n n n z u u      . (12) Подставляя (9) и (11) в (12), выражаем значения перемещений в законтурных точ- ках на ( 1)k  -м временном слое через перемещения и электрический потенциал внут- ри области на этом же временном слое, а перемещения и скорости перемещений – на предыдущем слое: 1 1 133 0 33 0.5 0 13 1 1 1 0 0 0.5 1 (2 ( ) 2 ) 1 2 k k k k k k c z e u u c u V t z z u x t x t                                  57 1 33 0 13 ; 1 2 c z c x t              (13) 1 1 133 33 0.51 1 13 1 1 1 0.5 1 (2 ( ) 2 ) 1 2 k k k k kn n n k i n c e uz u c u V t z z u x t x t                                     1 33 1 13 1 2 c z c x t              . При применении неявной схемы (11) на каждом шаге по времени перемещения и электрический потенциал определяем одновременно из системы алгебраических урав- нений 1 1k kM U F   , полученной путем подстановки (9), (11), (13) в (8). Здесь 1kF  включает в себя внешнюю нагрузку и перемещения, скорости и ускорения из преды- дущего временного слоя. Задача также усложняется зависимостью перемещений в законтурных точках от перемещений и их скоростей на предыдущем слое. При ис- пользовании явной схемы (10) на ( 1)k  -м временном слое механические перемещения 1k iu  во внутренних точках области получим через значения параметров электромехани- ческого состояния на предыдущих временных слоях, тогда как электрический потенци- ал определим из системы алгебраических уравнений, которую получаем из разностной формы квазистатического уравнения для электрической индукции. Перемещения в за- контурных точках определяем по (13) с учетом предыдущего временного слоя. Вычисления методом Ньюмарка проведены при значении параметра 0,5  . Ре- шения обоими методами совпали с точностью 99% на сетках 61n  , 0,01t  для явной схемы и 51n  , 0,02t  – для метода Ньюмарка. При сгущении сетки совпа- дение результатов улучшается. 3. Численный пример. Рассмотрим задачу о вынужденных нестационарных колебаниях шара из керами- ки PZT-4 [1] ( 10 2 11 13,9 10 Н/мEc   ; 10 2 12 7,78 10 Н/мEc   ; 10 2 13 7,43 10 Н/мEc   ; 10 2 33 11,5 10 Н/мEc   ; 2 31 5, 2 Кл/мe   ; 2 33 15,1 Кл/мe  ; 11 33 562 10 Ф/мS   ; 37500 кг/м  ) с радиусом срединной поверхности 4R см и толщиной стенки 2 2 смh  , что со- ответствует параметру кривизны 0,25  , при нулевых начальных условиях. Влияние внешней среды на колебания пьезоэлемента зависит от значения удель- ного акустического сопротивления среды. Следует отметить, что малое удельное аку- стическое сопротивление газов ограничивает применение магнитострикционных или пьезоэлектрических преобразователей для излучения в газообразную среду. Хотя при работе магнитострикционного излучателя в воздухе можно получить относительно большие амплитуды колебаний поверхности (порядка нескольких микрон), однако такой вибратор не может отдать сколько-нибудь значительную акустическую мощ- ность [2]. Рассмотрим случай, когда полый пьезокерамический шар опущен в воду, удельное акустическое сопротивление которой 4 1 150 10 Па×с /мz   (для воздуха примем 0 0z  ). При переходе к безразмерным величинам имеем 33 4 10 150 10 0,05 11,5 10 7500 i i E z z c        . 58 Исследуем реакцию шара на при- ложение к электродированным внеш- ним поверхностям разности электриче- ского потенциала 02 ( ) 2 ( )V t V H t , где ( )H t  функция Хевисайда. Представ- ленные результаты получены при 0 1V  . При переходе к размерной зада- че полученные результаты умножаются на безразмерное значение 0V , а потом используются выражения (5). На рисун- ках приведены результаты в безразмер- ном виде. На рис. 1 для сравнения представ- лена динамика изменения радиальных перемещений ru внешних поверхностей сферы с учетом акустической среды ( 1 0,05z  ) и без него ( 1 0z  ). Видно, что колебания сферы, опущенной в воду, заметно угасают, тогда как в воздухе такого эффекта не наблюдается. На рассмотренном интервале времени, соответствующем 2100 2,55 10 cht   , амплитуда колебаний внешней поверхности сферы уменьшилась почти в два раза. Значения максимальных перемещений на внутренней поверхности шара больше, чем в два раза превышают перемещения внешней поверхности. Из граничных условий следует, что радиальные напряжения максимальны около срединной поверхности. Рис. 2 иллюстрирует изменение радиальных напряжений при 0x  для (а) – шара в акустической среде ( 1 0,05z  ) и (б) – без ее учета ( 1 0z  ). Ме- ханические напряжения возникают в сечении мгновенно согласно распределению электрического потенциала в момент приложения нагрузки, и достигают значения max 1,3rr  . На рассматриваемом интервале напряжения в шаре в акустической среде практически угасают, тогда как на рис.2, б амплитуда колебаний не уменьшается. На поверхности 1x  для сферы (а) радиальные напряжения не превышают 5% от значе- ний напряжений на срединной поверхности. а б Рис. 2 Окружные напряжения на внешних поверхностях шара приведены на рис. 3. Так- же в шаре с учетом акустической среды наблюдается уменьшение амплитуды колеба- ний напряжений и существенное сглаживание кривых. Окружные напряжения замет- но превышают радиальные напряжения. Максимальные окружные напряжения возни- кают на внутренней поверхности шара и на рассматриваемом интервале уменьшаются практически в два раза. Рис. 1 59 Рис. 4 иллюстрирует перемещения внешней излучающей поверхности 1x  сфер с разным параметром /h R  в акустической среде. Здесь для подробного анализа полученных результатов необходим переход к размерной задаче, так как обезразме- ривание для линейных величин проводится относительно половины толщины стенки шара. Принимая внешний радиус 5R h см  для всех сфер одинаковым, при 0,1  получаем 0, 45смh  и max 03,6 (cм)u V ; при 0, 2  0,83смh  и max 03, 2 (cм)u V ; при 0,3  имеем 1, 25смh  , max 02,5 (cм)u V . Таким образом, с возрастанием тол- щины стенки шара перемещения внешней поверхности уменьшаются. Колебательные движения стенок рассмотренных тел соответствуют времени пробега электроупругой волны толщины стенки шара. Ранее установлено, что макси- мальные напряжения возникают в окружном направлении при 1x   . На рис. 5 приведены окружные на- пряжения на внутренней поверхно- сти сферических тел с разными па- раметрами /h R  . Здесь макси- мальные значения зависят только от материала, т.е. можно проводить не- посредственное сравнение по макси- мальным значениям. Видно, что с увеличением толщины стенки (уменьшением внутреннего радиуса) напряжения возрастают практически прямопропорционально изменению толщины. Заключение. Построенная в работе численная схема дает возможность эффективно решать ди- намические задачи электроупругости для пьезокерамического полого шара с импе- дансными граничными условиями. Проведен анализ закономерностей распростране- ния электроупругих нестационарных колебаний при электрическом возмущении. Изложенные результаты свидетельствуют о том, что закономерности распростра- нения колебаний в электроупругих телах с учетом влияния акустической среды суще- ственно отличаются от аналогичных закономерностей, полученных без учета внешней среды. Наблюдается значительное уменьшение амплитуды колебаний и существенное сглаживание полученных кривых динамического электромеханического состояния. Причиной этого является взаимодействие полей разной физической природы, что проявляется и в математическом описании электроупругих задач, и в приведенных результатах. Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 60 Р Е ЗЮМ Е . Розвинуто чисельний метод аналізу нестаціонарних коливань п’єзокерамічних ра- діально поляризованих тіл сферичної форми з врахуванням впливу акустичного середовища. Проведено дослідження коливань п’єзокерамічних сфер з імпедансними граничними умовами при електричному збудженні; встановлено залежність коливань від відношення товщини до радіусу сфери; проведено порівняння коливань сфери з вільними зовнішніми поверхнями з коливаннями сфери, зануреної у воду. 1. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел.– К: Наук. думка, 1990. – 228 с. 2. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонансні електромеханічні коливання п’єзоелектричних пластин.— К.: Наук. думка, 2008. –270 с. 3. Шульга М.О., Григор’єв С.А. Радіальні пружноелектричні нестаціонарні коливання п’єзокерамічної порожнистої кулі // Опір матеріалів і теорія споруд.  2007. – № 81.  С. 159 – 166. 4. Berg M., Hagedorn P., Gutschmidt S. On the dynamics of piezoelectric cylindrical shells // J. of Sound and Vibration. – 2004. – 274, N 1 – 2. – P. 91 – 109. 5. Chiroiu V.L., Munteanu L. On the free vibrations of a piezoceramic hollow sphere // Mechanics Research Communications. ‒ 2007. – 34, N 2. ‒ P. 123 – 129. 6. Ding H.J., Wang H.M., Chen W.Q. Dynamic response of a pyroelectric hollow sphere under radial defor- mation // Eur. J. Mech.-A/Solids. – 2003. – 22, N 4. – P. 617 – 631. 7. Ding H.J., Wang H.M., Chen W.Q. Analytical solution for the electroelastic dynamics of a nonhomogeneous spherically isotropic piezoelectric hollow sphere // Arch. of Appl. Mech. – 2003. – 73, N 6 – 7. – P. 49 – 62. 8. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Nonaxisymmetric Waves in Layered Hollow Cylinders with Radially Polarized Piezoceramic Layers // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 641 – 649. 9. Kubenko V.D., Yanchevskii I.V. Vibrations of a Nonclosed Two-Layer Spherical Electroelastic Shell under Impulsive Electromechanical Loading // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 3. – P. 303 – 314. 10. Mazon W.P. Piezoelectricity, its history and applications // J. Acoust. Soc. Am. –1981. – 70, N 6. – P. 1561 – 1566. 11. Storozhev V.I. Propagation of Electroelastic Waves in Multilayer Piezoelectric Cylinders with a Sector Notch // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 194 – 202. 12. Shulga M.O., Grigoryeva L.O. Electromechanical unstationary thickness vibrations of piezoceramic transformers at electric excitation / In: Mechanical Vibrations: Types, Testing and Analysis. − Nova Science Publishers (New York). − 2011. − P. 179 – 204. 13. Shul’ga N.A., Grigor’eva L.O. Comparative Analysis of the Electroelastic Thickness Vibrations of Lay- ers with Curved Boundaries // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 2. – P. 177 – 185. 14. Wang H.M., Ding H.J. Transient responses of a magneto-electro-elastic hollow sphere for fully coupled spheri- cally symmetric problem // Eur. J. of Mechanics – A/Solids. ‒ 2006. – 25, N 6. ‒ P. 965 – 980. Утверждена в печать 08.02.2010 Поступила 03.12.2013

Нестационарные упругоэлектрические колебания полого шара с импедансными граничными условиями

Репозитарії

Схожі ресурси