Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели
Метод подвоєння інтервалу і метод Шура, які використовуються для отримання розв’язків алгебраїчного рівняння Ріккаті, узагальнено на випадок одностороннього квадратного матричного рівняння. На прикладах показанo ефективність запропонованих алгоритмів розв’язання одностороннього квадратного матричног...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100622 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели / В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 107-123. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-100622 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1006222016-05-25T03:02:43Z Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели Ларин, В.Б. Метод подвоєння інтервалу і метод Шура, які використовуються для отримання розв’язків алгебраїчного рівняння Ріккаті, узагальнено на випадок одностороннього квадратного матричного рівняння. На прикладах показанo ефективність запропонованих алгоритмів розв’язання одностороннього квадратного матричного рівняння. Проведено порівняння цих алгоритмів з відомими. Показано, що розв’язки одностороннього квадратного матричного рівняння можуть бути використані в задачі уточнення параметрів моделі. The Schur method and the method of doubling transformations, which are used to obtain the solution of algebraic Riccati equation, are generalized on the case of unilateral quadratic matrix equation. On the examples, an efficiency of the offered algorithms of solving the unilateral quadratic matrix equation is shown. These algorithms are compared with the known ones. it is shown that the solutions of unilateral quadratic matrix equation can be used in the problem of refining the model parameters. 2014 Article Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели / В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 107-123. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100622 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Метод подвоєння інтервалу і метод Шура, які використовуються для отримання розв’язків алгебраїчного рівняння Ріккаті, узагальнено на випадок одностороннього квадратного матричного рівняння. На прикладах показанo ефективність запропонованих алгоритмів розв’язання одностороннього квадратного матричного рівняння. Проведено порівняння цих алгоритмів з відомими. Показано, що розв’язки одностороннього квадратного матричного рівняння можуть бути використані в задачі уточнення параметрів моделі. |
| format |
Article |
| author |
Ларин, В.Б. |
| spellingShingle |
Ларин, В.Б. Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели Прикладная механика |
| author_facet |
Ларин, В.Б. |
| author_sort |
Ларин, В.Б. |
| title |
Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели |
| title_short |
Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели |
| title_full |
Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели |
| title_fullStr |
Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели |
| title_full_unstemmed |
Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели |
| title_sort |
алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100622 |
| citation_txt |
Алгоритмы решения одностороннего квадратного матричного уравнения и задача уточнения параметров модели / В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 107-123. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT larinvb algoritmyrešeniâodnostoronnegokvadratnogomatričnogouravneniâizadačautočneniâparametrovmodeli |
| first_indexed |
2025-07-07T09:05:31Z |
| last_indexed |
2025-07-07T09:05:31Z |
| _version_ |
1836978413002293248 |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 3
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, №3 107
В . Б . Л а р и н
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ОДНОСТОРОННЕГО
КВАДРАТНОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ
И ЗАДАЧА УТОЧНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e–mail: model@inmech.kiev.ua
Abstract. The Schur method and the method of doubling transformations, which are
used to obtain the solution of algebraic Riccati equation, are generalized on the case of uni-
lateral quadratic matrix equation. On the examples, an efficiency of the offered algorithms
of solving the unilateral quadratic matrix equation is shown. These algorithms are compared
with the known ones. it is shown that the solutions of unilateral quadratic matrix equation
can be used in the problem of refining the model parameters.
Key words: unilateral quadratic matrix equation, linear matrix inequality, model updating.
§1. Введение.
Вопросы теории колебаний продолжают занимать важное место в различных ин-
женерных задачах [9, 12, 16, 17]. Cледует отметить теорию сильно демпфированных
систем [2], в которой центральное место занимают вопросы определения корней мат-
ричного (или операторного [2]) уравнения
2
2 1 0 0A X A X A . (1.1)
В [10] матричное уравнение (1.1) называется односторонним квадратным матричным
уравнением (ОКМУ). Здесь же отмечается широкий круг задач управления, в которых
необходимо получить решение (корень [2]) ОКМУ.
Как отмечено в [2], одной из мотиваций определения корней (1.1) могут быть сле-
дующие соображения. В скалярном случае уравнение (1.1) можно рассматривать как
характеристическое уравнение для дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами 2 1 0 0A q A q A q .
Общее решение этого уравнения, как известно, можно записать в виде
1 2
1 2
x t x t
q c e c e , где 1 2,x x – корни характеристического уравнения. В этой связи воз-
никает вопрос о возможности построения аналогичных соотношений в матричном
случае, что, в свою очередь, потребует определения корней (1.1).
Отметим, что решения уравнения (1.1), как показано в §§4, 5, могут быть исполь-
зованы в задаче уточнения параметров модели [14, 24]. Также ниже показано, что в
ряде случаев для построения решения (1.1) можно использовать метод удвоения ин-
тервала [6, 21, 22], который, в отличие от алгоритма [10], не требует обратимости
матрицы 1A в (1.1). В случае обратимости матрицы 2A , показано, что для решения
(1.1) можно использовать соответствующим образом модифицированный метод Шура
[7, 8, 23].
108
§2. Метод удвоения интервала [6, 21, 22].
Ряд алгоритмов определения корней (матриц X размера n n ) матричных урав-
нений сводятся к построению решения следующей системы (подробности см., напри-
мер [22]):
I I
M F S
X X
; (2.1)
здесь и далее I – единичная матрица. В (2.1) матрицы ,M F (размера 2 2n n ) опре-
деляются коэффициентами этих матричных уравнений. Спектр матрицы S (размера
n n ) определяется тем или иным набором n из 2n собственных значений матрич-
ного пучка
M F , (2.2)
т.е. предполагаем, как и в [10], что инвариантное подпространство пучка (2.2), соответст-
вующее собственным значениям матрицы S , определяется столбцами матрицы
I
X
.
Если собственные значения ( )i матричного пучка (2.2) упорядочены в порядке
возрастания модуля и 1 1, 1n n , то можно отметить 2 решения (2.1) (см. [22],
где есть дальнейшие ссылки). Так, если спектральный радиус матрицы S меньше
единицы (ее собственные значения совпадают с 1, , n ), то соответствующее ре-
шение (2.1) называется стабилизирующим решением. Как и в [6, 21, 22], это решение
обозначим X , а соответствующую матрицу S обозначим S . В случае, если собст-
венные значения матрицы S совпадают с 1 2, ,n n , то такое решение (если оно
существует) называется антистабилизирующим решением. В этом случае решение
обозначим X , а соответствующую матрицу S – S . Таким образом, можно, следуя
[6, 21, 22], записать два уравнения, которые определяют X и X :
I I
M F S
X X
; (2.3)
1; ( ) .
I I
M S F S S
X X
(2.4)
Отметим, что в соответствии с принятым предположением, собственные значе-
ния матрицы S лежат внутри окружности единичного радиуса. Следуя [6, 21, 22],
кратко изложим суть метода удвоения интервала применительно к задаче определе-
ния решений (2.3), (2.4).
Итак, умножив (2.3) справа на S получим
2I I
M S F S
X X
. (2.5)
Выберем матрицы ,L G , удовлетворяющие соотношению
.LM GF (2.6)
Умножив слева (2.3), (2.5) на G и L , соответственно, получим уравнение
2
1 1
I I
M F S
X X
( 1M GM ; 1F LF ). (2.7)
109
Аналогично, из соотношения (2.4), следует равенство
2
1 1
I I
M S F
X X
. (2.8)
Выполняя аналогичные операции с (2.7), (2.8), получаем равенства
22
2 2
I I
M F S
X X
;
22
2 2
I I
M S F
X X
( 2 1 1M G M ; 2 1 1F L F ; 1 1 1 1L M G F ).
Продолжая этот процесс, на p -м шаге получаем формулы
2 p
p p
I I
M F S
X X
; 2 p
p p
I I
M S F
X X
(2.9)
( 1 1p p pM G M ; 1 1p p pF L F ; 1 1 1 1p p p pL M G F ).
Выше отмечено, что собственные значения матриц S , S лежат внутри окружности
единичного радиуса, поэтому 2lim 0
P
p
S
; 2lim 0
P
p
S
.
Следовательно, при достаточно большом p , как следует из (2.9), можно принять
0p
I
M
X
; 0p
I
F
X
. (2.10)
Соотношения (2.10) определяют стабилизирующее ( )X и (если существует) анти-
стабилизирующее ( )X решения. Другими словами, последовательности матриц
,p pZ Z , определяемых соотношениями
0p
p
I
M
Z
; 0p
p
I
F
Z
,
сходятся при p к решениям X и X , соответственно. Таким образом, задача
определения X , X сводится к задаче построения матриц pM , pF , т.е., согласно
(2.9), к нахождению матриц 1 1,p pL G . Этот вопрос достаточно рассмотреть приме-
нительно к (2.6).
Отметим, что для определения матриц ,L G в (2.6) можно использовать как ана-
литические выражения, так и численные алгоритмы. Соотношение (2.6) соответствует
выражению [18, (22)]. В [18] приведены различные аналитические выражения для
матриц ,L G . В частности, выражение [18 (24)] имеет вид
1( )T TL I M F M M M ; 1( )TG M F M M . (2.11)
Здесь и далее верхний индекс " "T означает транспонирование.
Можно указать и численные алгоритмы нахождения матриц L и G . Отметим,
что согласно (2.6), матрица TL G является ядром матрицы
T
M
F
и, следователь-
но, для определения матриц ,L G можно использовать процедуру null.m пакета
110
MATLAB. В [13] матрицы ,L G предлагается определять, используя QR-разложение
(процедура qr.m).
Таким образом, используя соотношение (2.11) или указанные численные алгорит-
мы, можно получить матрицы ,L G , определяемые (2.6). Аналогичным образом мож-
но вычислить и матрицы 1 1,p pL G .
§3. Одностороннее квадратное матричное уравнение (1.1).
Представим уравнение (1.1) в виде, аналогичном (2.1), т. е.
0 12
00
0
II I I
X
A AA X X
. (3.1)
В (3.1) и далее, 0 – нулевая матрица соответствующего размера. Таким образом, в
обозначениях (2.1) имеем
0 1
0 I
M
A A
;
2
0
0
I
F
A
; S X . (3.2)
Пусть в (2.2) матрицы ,M F определяются (3.2), а собственные значения i пучка
(2.2), как уже упоминалось, упорядочены в порядке возрастания модуля и
11n n . (3.3)
Если при этом базис подпространства, соответствующего собственным значениям
1, , n , определяется столбцами матрицы
I
X
, то в этом случае для определения
корней (1.1) можно использовать описанный выше метод удвоения интервала (соот-
ношения (2.10)). В случае более общем, чем (3.3), т.е. когда собственные значения
пучка (2.2) упорядочены по возрастанию модуля и
1n n , (3.4)
можно также использовать метод удвоения интервала. Отметим, что такая ситуация
имеет место, например, в случае, так называемых, сильно демпфированных систем [2].
Очевидно, в этом случае (3.1) можно записать так:
I I
M F S
X X
;
1
S X
. (3.5)
В (3.5) матрицы ,M F определяются (3.2). При такой модификации (3.1) n собствен-
ных значений пучка
M F (3.6)
будет лежать внутри окружности единичного радиуса, остальные n будут лежать вне.
Отметим, что в [10, соотношение (8)] описан итерационный алгоритм построения
решения (1.1). В соответствии с этим алгоритмом, строится последовательность
матриц
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0 2 2 0
k k k k k k k kA A A K A A K A ( ( ) ( ) 1
1( )k kK A );
( 1) ( ) ( ) ( )
0 0 0
k k k kA A K A ; ( 1) ( ) ( ) ( )
2 2 2
k k k kA A K A ; (3.7)
( 1) ( ) ( ) ( )
2 0
k k k k kB B A K A ; (0)
i iA A ( 0,1,2i , (0)
1B A ).
В [8] показано, что в случае выполнения (3.3) последовательность матриц
111
( ) ( ) 1
0( )k kS B A (3.8)
сходится к решению (1.1), которое соответствует X в (2.3).
Отметим, что в отличие от алгоритма п. 2, реализация алгоритма (3.7), (3.8) тре-
бует обратимости матрицы 1A (см. ниже пример 2).
Случай, когда имеет место соотношение (3.4), простой нормировкой сводится
к случаю, когда имеет место соотношение (3.3). Действительно, если корни поли–
нома 2
2 1 0det ( )A A A удовлетворяют соотношению (3.4), то корни полинома
det 2
2 1 0( )A A ( 2
2 2A A ; 1 1A A ) удовлетворяют соотношению (3.3). При
этом решение S ОКМУ
2
2 1 0 0A S A S A (3.9)
и уравнение (1.1) связаны соотношением, аналогичным (3.5), т. е. /S S .
Отметим, что если матрица 2A обратима, то для решения (1.1) можно использо-
вать метод Шура [7, 8, 23]. В этом случае соотношение (3.1) можно записать так:
I I
X H
X X
;
1 1
2 0 2 1
0 I
H
A A A A
. (3.10)
Пусть ортогональная матрица U приводит матрицу H к верхней треугольной
форме (форме Шура), т.е.
TT U HU , (3.11)
где T – верхняя треугольная матрица. Для определения того или иного решения (1.1)
необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы T были упорядочены тем или
иным способом, например, по убыванию модуля (элемент (1,1)T матрицы T имеет
максимальный модуль). Разобьем матрицы ,U T на квадратные блоки
11 12
21 22
U U
U
U U
; 11 12
220
t t
T
t
.
В соответствии с (3.11), приняв во внимание, что TU U I , имеем
11 11
11
21 21
U U
H t
U U
,
или
1
11 11 111 1
21 11 21 11
I I
U t U H
U U U U
. (3.12)
Сравнивая (3.10) и (3.12), получаем два соотношения, позволяющие находить реше-
ния (1.1):
1
21 11X U U ; (3.13)
1
11 11 11X U t U . (3.14)
Отметим, что (3.13) соответствует известному соотношению, которое использует-
ся для определения решения алгебраического уравнения Риккати [23]. Для определе-
ния матриц, фигурирующих в (3.13), (3.14), можно использовать процедуры schur.m,
schord.m пакета MATLAB.
112
Продолжим рассматривать случай, когда матрица 2A – обратима. В этом случае
можно указать сравнительно простую процедуру уточнения решения (1.1), получен-
ного с помощью описанных выше алгоритмов. Итак, пусть известно, что 0X – неко-
торое приближенное значение корня уравнения (1.1). Решение (уточненное) уравне-
ния (1.1) будем искать в виде
0 1X X X , (3.15)
где 1X – малая поправка ( – малый параметр). Подставив (3.15) в (1.1) и пренебре-
гая членами порядка 2 , имеем
1 2 1 1
0 2 1 1 1 0 0 2 1 0 2 0( )X A A X X X X A A X A A . (3.16)
Соотношение (3.16) позволяет использовать для определения поправки 1X стан-
дартную процедуру lyap.m пакета MATLAB.
§4. Уточнение модели.
Рассмотрим возможность использования решений уравнений (1.1) в задаче уточ-
нения модели [14, 24]. Согласно [24], задача уточнения модели формулируется сле-
дующим образом. Пусть задана механическая система (модель), движение которой
описывается следующим уравнением Лагранжа:
0a a aM q B q K q . (4.1)
В этом уравнении q – n -мерный вектор обобщенных координат, матрицы 0T
a aM M ,
,a aB K заданы. При этом матрицу aM принимаем фиксированной, а матрицы ,a aB K
подлежат уточнению. Для уточнения значений этих матриц используем полученные
тем или иным образом, например, путем эксперимента, p n собственных векторов
ix и соответствующих собственных значений , 1, 2, ,i i p . Другими словами,
принимаем заданными матрицы 1diag , , p , 1, , pX x x
. Предполагаем,
что если матрицы , X имеют комплексные элементы, то они замкнуты относитель-
но операции сопряжения, т.е. 2 2 1j j C , 2 2 1
n
j jx x C при 1, ,j и
k R , n
kx R при 2 1, ,k p . Задача уточнения исходной модели состоит в
определении матриц ,B K , которые можно рассматривать как результат «уточнения»
значений матриц ,a aB K путем использования матриц , X .
Для изложения идеи использования решений уравнения (1.1) в рассматриваемой
задаче уточнения модели удобно рассмотреть случай p n . Полагаем, что матрицы
,B K должны удовлетворять соотношению
2 0aM X BX KX . (4.2)
Предполагая, что матрица X обратима, перепишем соотношение (4.2) в виде, анало-
гичном (1.1), т. е.
2 0aM X B X K ; 1X X X .
Итак, пусть в уравнении (1.1) 2 1 0, ,a a aA M A B A K . Пусть при этих исходных
данных, уравнение (1.1) имеет решения 1 2,X X такие, что объединение множеств соб-
ственных значений матриц 1 2,X X совпадает с множеством 2n корней характеристи-
ческого уравнения (4.1). Для простоты предположим, что экспериментально получен-
113
ные данные ( , )X определяют только «уточненное» значение ( 1X ) решения 1X
(спектр 1X близок к спектру ), т.е.
1
1X X X . (4.3)
Отметим, что в соответствии с условием задачи, нет оснований вносить какие–
либо изменения в решение 2X . Другими словами, полагаем, что матрицы ,B K удов-
летворяют следующей системе линейных уравнений:
2
1 1 0aM X B X K ;
2
2 2 0aM X B X K , (4.4)
которая определяет «уточненные» значения параметров модели, т.е. матрицы ,B K .
В случае p n , описанная выше процедура редукции задачи уточнения модели (оп-
ределение матриц ,B K ) к решению системы линейных уравнений (4.4), требуют внесе-
ния некоторых дополнительных процедур, связанных с формированием «уточненных»
значений матриц 1 2,X X . Проиллюстрируем это на примере формирования матрицы 1X .
Итак, пусть заданы матрицы 1, , n p
p pX x x C
, 1diag , , p p
p p C .
Решение 1X уравнения (1.1) представим в виде
1
1 0 0X X X . (4.5)
Пусть в (4.5) столбцы матрицы 0X и 1, , n – диагональные элементы матри-
цы упорядочены таким образом, что первые p элементов 1, , p мало отлича-
ются от значений 1, , p , соответственно. В этом случае, в качестве матриц , X ,
формирующих, согласно (4.3), матрицу 1X , можно принять следующие матрицы:
1 1diag , , , , ,p p n ; 1 1, , , , .p p nX x x x x
(4.6)
Сформировав, согласно (4.3) из матриц (4.6) матрицу 1X , далее можно из системы
(4.4) определить матрицы ,B K . В общем случае, если одна часть спектра матрицы
p близка к соответствующим собственным значениям матрицы 1X , а оставшаяся
часть близка к собственным значениям матрицы 2X , аналогичные процедуры позво-
ляют сформировать «уточненные» значения 1 2,X X , которые, в свою очередь, позво-
лят записать систему, определяющую ,B K , в виде
2
1 1 0aM X B X K ;
2
2 2 0aM X B X K . (4.7)
Отметим возможность в рамках рассматриваемого подхода других, аналогичных по-
становок задачи об уточнении модели. Так, например, можно принять фиксированной
матрицу aK , а матрицы ,a aM B рассматривать как матрицы, подлежащие уточнению
(см. пример 4).
Возможна и более «упрощенная» постановка задачи. А именно, фиксированными
считаются матрицы ,a aM K , а матрица B , на структуру которой не накладываются
ограничения, подлежит уточнению. В этом случае, аналогом (4.7) будет следующее
уравнение:
114
TAB D ; 1
2
T
T
X
A
X
;
2
1
2
2
( )
( )
T T T
a a
T T T
a a
X M K
D
X M K
.
Для определения матрицы B можно использовать, например, процедуру QR -
факторизации матрицы A , т.е.
0
R
A Q
. В этом случае, выражение для матрицы B
можно записать в виде 1( )TB R V , где матрица V является верхним квадратным
блоком матрицы TQ D .
Существенно, что полученные в результате решения систем (4.4) или (4.7) матрицы
,B K , в общем случае, не будут удовлетворять тем или иным дополнительным усло-
виям, например, TK K и т.п. В этой связи целесообразно разработать процедуру
получения таких значений матриц ,B K , которые удовлетворяли бы еще дополни-
тельным условиям. Представляется естественным использовать для этой цели проце-
дуры линейных матричных неравенств (ЛМН) [11].
§5. Использование ЛМН в задаче уточнения параметров модели.
Как отмечалось, пополнение системы (4.4) или (4.7) дополнительными условиями,
которым должны удовлетворять искомые матрицы, например,
0TK K , (5.1)
приводит к тому, что система, определяющая искомые матрицы, становится переоп-
ределенной. В этом случае, для определения матриц ,B K целесообразно использо-
вать процедуры ЛМН [11]. Конкретизируем этот подход на примере системы (4.7),
(5.1). Рассмотрим следующие ЛМН:
1
1
0
T
Z T
T I
;
2
2
0
T
Z T
T I
; TZ Z ; Z I ; (5.2)
2
1 1 1aT K BX M X ; 2
2 2 2aT K BX M X .
В (5.2) – скаляр. Как известно [11], ЛМН (5.2) эквивалентны следующими неравен-
ствам: 1 1 0TZ T T ; 2 2 0TZ T T , которые с учетом последнего неравенства в (5.2)
можно переписать так:
1 1
TI T T ; 2 2
TI T T . (5.3)
Очевидно, что при достаточно малой величине решения неравенств (5.3), т.е. мат-
рицы ,B K , могут служить достаточно хорошей аппроксимацией решений (4.7). По-
полнив неравенства (5.2) условием (5.1), можно сформулировать следующую задачу.
Заданы матрицы 1 2, ,aM X X ; необходимо путем выбора матриц ,B K минимизиро-
вать при выполнении ЛМН (5.2) и условия (5.1). Это стандартная задача ЛМН (за-
дача на собственные значения [11]). Для ее решения используется стандартная проце-
дура gevp.m пакета MATLAB [15]. В результате определяются матрицы ,B K и соот-
ветствующее значение скаляра .
Аналогичная процедура может быть использована и при других постановках за-
дачи. Так, например, если матрица aK фиксирована, а матрицы M и B подлежат
уточнению, то для решения задачи в такой постановке достаточно заменить (5.1) на
условие
,TM M (5.4)
115
а в ЛМН (5.2) в качестве матриц 1 2,T T принять следующие матрицы:
2
1 1 1aT K BX MX ; 2
2 2 2aT K BX MX . (5.5)
§6. Примеры.
Проиллюстрируем на примерах эффективность алгоритмов, определяемых соот-
ношениями (2.10), (2.11) и (3.7), (3.8).
Пример 1. Рассмотрим колебательную систему, показанную на рисунке, которая
состоит из n масс im , соединенных пружинами с жесткостью ic и вязкими демпфе-
рами с коэффициентами демпфирования , 1, ,i i n . Координаты масс im обозна-
чим iq . Если , , ,i i im m b c c 1, ,i n , то уравнение свободных колебаний
такой системы можно записать в виде
2 1 0 0A q A q A ; ( 1
T
nq q q ; 2A mI ; 1A bD ; 0A cD ). (6.1)
Здесь D – симметричная трехдиагональная матрица следующего вида:
1 1 0 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 2
0 0 0 1
1
0 0 1 2
D
.
116
В этом примере принято, что 1, 1000, 50m b c .Определив согласно (6.1) матри-
цы, фигурирующие в (1.1), для значений 20, 50, 110n получены решения (1.1).
Погрешность ( )er полученных решений определена отношением нормы невязки к
норме решения, т.е.
2
2 1 0A X A X A
er
X
. (6.2)
Отметим, что, если в (3.4) 1 , для получения решения (1.1) использованы соотно-
шения (3.5), (3.9). Результаты приведены в табл. 1.
Таблица 1
n er er 0er 01er n
20 113,2 10 107 10 119,4 10 133,14 10 3
50 116,4 10 91 10 103,4 10 136,7 10 3
110 117,4 10 93,4 10 65,6 10 133,2 10 3
В табл. 1 приняты следующие обозначения: n – число масс; er – погрешности,
полученные в результате использования алгоритма (2.10), (2.11), отвечающие реше-
ниям ,X X , соответственно; 0er – погрешность решения, полученная в результате
использования алгоритма (3.7), (3.8); 01er – погрешность уточненного решения, полу-
ченного путем использования итерационной процедуры (3.16); n – количество ите-
раций (3.16), необходимых для получения решения, которому соответствует погреш-
ность 01er .
Отметим, что, согласно результатам, приведенным в табл. 1, в данном примере
точность решения при использовании алгоритма (2.10), (2.11) несколько выше, чем
при использовании алгоритма, определяемого соотношениями (3.7), (3.8).
Существенно, что в этом примере при любом n – 2A I , а симметричные матри-
цы 1 0,A A положительно определены. Это дает возможность в рассматриваемом ко-
нечномерном случае оценить насколько точно удовлетворяют полученные решения
X соотношениям, приведенным в [2]. Согласно [2], условием того, что система
сильно демпфирована, является выполнение неравенства
2
1 04A A . (6.3)
Как показано в [2, теорема 17], в случае сильно демпфированной системы уравне-
ние (1.1) имеет один и только один корень 1X такой, что
1 1 0
TX X A , (6.4)
и один и только один корень 2X такой, что
2 2 0
TX X A . (6.5)
Эти корни называются сопутствующими. Имеют место равенства, которые можно
рассматривать как некоторый аналог теоремы Виета:
1 1 2( )TA X X ; 0 2 1
TA X X . (6.6)
Отметим, что в рассматриваемом примере решение X соответствует 1X , а X
соответствует 2X . Другими словами, корни X и X являются сопутствующими
117
корнями ОКМУ (1.1). Оценим, насколько точно в данном примере удовлетворяют
полученные решения соотношениям (6.3) – (6.6).
Точность выполнения равенств (6.6) и неравенств (6.3) – (6.5) будем характеризо-
вать следующими соотношениями:
2
1 1 0( 4 );d A A 2 0( );Td X X A
3 0( );Td A X X 4 1 ;Td A X X 5 0 .Td A X X
В этих соотношениях ( )X означает минимальное собственное значение матри-
цы X . Результаты вычисления этих величин при 20, 50,110n приведены в табл. 2.
Таблица 2
n 1d 2d 3d 4d 5d
20 33,26 33,6 0,29 94,6 10 102,3 10
50 0,74 0,79 0,046 99 10 104,5 10
110 44,2 10 32,3 10 31,9 10 81,68 10 108,4 10
Результаты вычислений (табл. 2) свидетельствуют о том, что при рассматривае-
мых значениях n система остается сильно демпфированной и неравенства (6.4), (6.5)
не нарушаются. Равенства (6.6) выполняются достаточно точно.
Пример 2. Пусть в системе, показанной на рис. 1, 12; 1n m ; 2 20; 0m .
В этом случае матрицы 2 1 0, ,A A A имеют следующую структуру:
2
1 0
0 0
A
; 1 1
1
1 1
A
; 1 1
0
1 1 2
.
c c
A
c c c
Отметим, что аналогичные системы рассмотрены в [1, 3, 4, 18]. Пусть 1 0,1;c
2 1c . При таких значениях 1 2,c c характеристическое уравнение системы может
иметь 3 действительные корня при подходящем выборе величины 1 . Принимаем,
что 1 0,6 . При таком выборе матриц 2 1 0, ,A A A матричный пучок (2.2), в котором
матрицы ,M F определяются (3.2), кроме собственного значения на бесконечности,
будет иметь 3 действительные собственные значения: 1 3, 1 2, 1 . Воспользовав-
шись соотношением (2.10), получим следующее выражение для X :
1 6
5 5
1 19
30 30
X
.
Собственные значения матрицы X равны 1 3, 1 2 . Они совпадают с соответст-
вующими собственными значениями матричного пучка (2.2). Определяемая, согласно
(6.2) погрешность этого решения равна: 161,8 10er . Таким образом, и в случае
сингулярной матрицы 1A алгоритм, описанный в §2, может обеспечить высокую точ-
ность решения (1.1). Отметим, что в случае сингулярной матрицы 1A использование
алгоритма, определяемого соотношениями (3.7), (3.8), становится проблематичным.
118
Пример 3 [24]. Матрицы, фигурирующие в (1.1), имеют вид
2
52 22 18 13 0 0 0
22 12 13 9 0 0 0
18 13 104 0 18 13 0
0,03 ;13 9 0 24 13 9 0
0 0 18 13 104 0 18
0 0 13 9 0 24 13
0 0 0 0 18 13 104
A
1
25,8258 31,9662 13,6308 26,6652 0,2790 0,2106 0
0 59,1804 25,3728 27,7020 0,2106 -0,1584 0
0 0 59,6436 0 12,4608 25,8048 0,2790
0 0 0 117,1368 25,8048 28,0224 0,2106
0 0 0 0 59,6436 0 12,4608
0 0 0 0 0 117,1368 25,8048
0 0 0 0 0 0
A
;
59,6436
0
2 3 2 3 0 0 0
3 6 3 3 0 0 0
2 3 4 0 2 3 0
600 3 3 0 12 3 3 0
0 0 2 3 4 0 2
0 0 3 3 0 12 3
0 0 0 0 2 3 4
A
.
При таких исходных данных, для определения решений (1.1) (матриц ,X X ) были
использованы соотношения (2.10). В результате получены матрицы ,X X , которым
соответствуют, определяемые (6.2), погрешности 81,28 10er
, 94,7 10er
. Ис-
пользование трех итераций, в соответствии с (3.16), позволило получить уточненные зна-
чения ,X X , которым соответствуют 131,46 10er
, 136,54 10er
.
Использование соотношений (3.13), (3.14) позволило получить матрицы ,X X ,
которым соответствуют 107,8 10er
, 105,2 10er
, 112,8 10er
, 103,9 10er
.
Собственные значения ,E E матриц ,X X приведены в табл. 3.
Таблица 3
i E 310 E
1 –40,7224 –1,2723
2 –10,5046+16,8844i –0,2544
3 –10,5046–16,8844i –0,0186+0,0373i
4 –0,269 –0,0186–0,0373i
5 –9,1423+6,8417i –0,0677+0,0529i
6 –9,1423–6,8417i –0,0677–0,0529i
7 –8,7209 –0,1017
119
Из анализа данных, приведенных в табл. 3, следует, что в данном примере ис-
пользование алгоритма, определяемого (2.10), (2.11), позволило получить решение
ОКМУ (1.1) в случае, когда матричный пучок (2.2) имеет комплексные корни.
Пример 4. Проиллюстрируем эффективность алгоритма изложенного в §§4, 5 на
примере [24]. Исходные данные модели, матрицы , ,a a aM B K в (4.1) совпадают с при-
веденными в Примере 3 матрицами 0 1 2, ,A A A 0 1 2( , , )a a aA K A B A M . Для уточ-
нения матриц ,a aB K используются следующие матрицы:
diag –71,087 55,495 , – 71,087 – 55,495 , –19,507 39,177 , –19,507 – 39,177 ;p i i i i
(6.8)
0,1749 0,3982 0,1714 – 0,3902 0,4628 0,2187 0,4628 – 0,2187
– 0,3863 – 0,3210 – 0,3786 0,3146 – 0,5110 0,0243 – 0,5110 0,0243
– 0,0064 – 0,1378 – 0,0063 0,1350 – 0,3022 – 0,2606 – 0,3022 0,2606
0,0872 0,5480 0,085p
i i i i
i i i i
i i i i
X i
5 – 0,5370 0,1293 – 0,0539 0,1293 0,0539
– 0,0670 – 0,0460 – 0,0657 0,0451 0,4070 0,1619 0,4070 0,1619
– 0,1906 – 0,4256 – 0,1868 0,4171 – 0,0065 0,0671 – 0,0065 – 0,0671
0,0753 – 0,0440 0,0738 – 0,0431 – 0,3158 – 0,0366
i i i
i i i i
i i i i
i i i
.
– 0,3158 0,0366i
В [24] приведены значения матриц ,B K , которые получены путем использования
данных (6.8) в алгоритме [24]:
24,9645 29,2042 –11,8939 26,5298 0,6375 – 0,1030 –1,2768
– 0,2766 57,5298 – 24,6924 27,3914 0,8943 0,2352 –1,0723
3,6829 5,7496 53,6978 – 2,2614 –14,4658 25,2931 6,0919
0,7080 – 6,1856 0,4262 111,2073 – 28,9776 27,3088 4,7845
– 6,
B ;
8713 – 2,7243 9,4676 9,0394 63,5510 0,2795 – 23,6035
– 0,9048 3,7768 0,4409 4,6630 2,1289 117,3943 – 29,3770
5,2816 1,7301 – 7,3327 – 7,2389 – 2,2031 0,3654 67,3701
1,2001 1,8000 –1,2003 1,8000 0,0005 0 – 0,0003
1,8000 3,5999 –1,7998 1,8000 – 0,0003 0 0,0002
–1,2003 –1,7998 2,4004 0 –1,2006 1,7999 0,0004
1,8000 1,8000 0 7,2002 –1,8001 1,7999 0,0001
0,0005 – 0,0003 –1,2006 2,4008 2,4008 0,0002 –1,2
K .
005
0 0 1,7999 1,7999 0,0002 7,2001 –1,8001
– 0,0003 0,0002 0,0004 0,0001 –1,2005 –1,8001 2,4003
Отличие этих матриц от значений ,a aB K характеризуется следующими величинами:
0,1926a
a
B B
B
; 42 10a
a
K K
K
. (6.9)
Применим алгоритм, описанный в §§4, 5, для решения этой же задачи. Как видно
из табл. 3, собственные значения матрицы p близки к соответствующим собствен-
120
ным значениям матрицы X . Поэтому в качестве матрицы принимается диаго-
нальная матрица, диагональные элементы которой приведены в табл. 4 (столбец 1E ).
Таблица 4
i 3
010 E
3
110 E
3
210 E
3
310 E
3
410 E
1 – 1,2723 – 1,2723 – 1,2724 – 1,2129 – 1,2718
2 – 0,2544 – 0,2544 – 0,2546 – 0,2527 – 0,2558
3 –0,0186 + 0,0373i –0,0195 + 0,0392i –0,0195 + 0,0391i –0,0195 + 0,0392i –0,0194 + 0,0393i
4 –0,0186 – 0,0373i –0,0195 – 0,0392i –0,0195 – 0,0391i –0,0195 – 0,0392i –0,0194 – 0,0393i
5 –0,0677 + 0,0529i –0,0711 + 0,0555i –0,0715 + 0,0556i –0,0711 + 0,0555i –0,0710 + 0,0560i
6 – 0,0677 – 0,0529i –0,0711 – 0,0555i –0,0715 – 0,0556i –0,0711 – 0,0555i –0,0711 – 0,0555i
7 – 0,1017 – 0,1017 – 0,1007 – 0,1002 – 0,0999
Таблица 5
i 1E 2E 3E 4E
1 – 40,7224 – 40,6212 – 38,8205 – 42,9074
2 – 10,5046 + 16,8844i – 10,5311 + 16,6786i – 9,9811 + 16,3870i – 10,4556 + 16,8874i
3 – 10,5046 – 16,8844i – 10,5311 – 16,6786i – 9,9811 – 16,3870i – 10,4556 – 16,8874i
4 – 0,3269 – 0,2467 – 0,3278 – 0,3549
5 – 9,1423 + 6,8417i – 9,3277 + 6,6526i – 9,3925 + 6,7109i – 9,0401 + 6,8574i
6 – 9,1423 – 6,8417i – 9,3277 – 6,6526i – 9,3925 – 6,7109i – 9,0401 – 6,8574i
7 – 8,7209 – 8,6440 – 8,4189 – 8,6174
В этой же таблице, в столбце 0E приведены собственные значения матрицы
X (эти же значения приведены во втором столбце табл. 3). Как описано в §4, анало-
гичным образом из собственных векторов матрицы X и столбцов матрицы pX со-
ставляется матрица X , которая вместе с матрицей , согласно (4.3), формирует мат-
рицу 1X . В качестве матрицы
2X
~ в (4.7) принимается полученная в Примере 3 матри-
ца X , собственные значения которой приведены в первых столбцах табл. 3, 5.
Используя процедуры, определяемые соотношениями (5.1), (5.2), получим матри-
цы ,B K , отличие которых от матриц ,a aB K характеризуют следующие величины:
0,0712;a
a
K K
K
0,0435.a
a
B B
B
(6.10)
Далее, если в (1.1) в качестве матриц 0 1 2, ,A A A принять матрицы , , aB K M , со-
ответственно, то корни уравнения (1.1) будут иметь собственные значения, приведен-
ные в табл. 4, 5 в столбцах 2 2,E E . В этих же таблицах столбцы 3 3,E E содержат
собственные значения решений (1.1) при условии, что в качестве матриц 0 1 2, ,A A A
приняты результаты [24], т.е. следующие матрицы: 0 1 2, , aA K A B A M .
121
Сравнивая результаты использования алгоритмов §§4, 5 и [24] в данном примере,
можно констатировать следующее. Согласно (6.9), при использования алгоритма [24],
матрица aK подвергалась значительно меньшей «коррекции», чем матрица aB . С другой
стороны, согласно (6.10), использование алгоритма §§4, 5 приводит к более «равно-
мерной коррекции» матриц ,a aB K . Относительно «деформации» спектров решений
(1.1), которые соответствуют рассматриваемым подходам, отметим, что они характе-
ризуются следующими величинами:
3 1
2 1
4,44;
E E
E E
3 1
2 1
50,6.
E E
E E
(6.11)
Другими словам, согласно (6.11), в данном примере подход [24] вызывает суще-
ственно большие изменения спектра решений (1.1), чем алгоритм, описанный в §§4, 5.
Таким образом, в данном примере, алгоритм §§4, 5 обеспечил более «равномер-
ную коррекцию» матриц ,a aB K (соотношение (6.9), (6.10)) и меньшую «деформа-
цию» спектра (соотношение (6.11)).
Рассмотрим вариант задачи, когда фиксированной является матрица aK , а матри-
цы aM и aB подлежат «уточнению». Используя соотношения (5.4), (5.5), получены
матрицы ,M B , отличие которых от матриц ,aM aB характеризуется следующими
величинами:
0,0614;
a
a
M M
M
0,047.
a
a
B B
B
Собственные значения решений уравнений (1.1), когда в качестве матриц
0 1 2, ,A A A приняты матрицы 0 1 2, ,aA K A B A M , приведены в столбцах 4 4,E E
табл. 4, 5. Им соответствуют значения:
4 1
2 1
4,4;
E E
E E
4 1
2 1
2,06.
E E
E E
Приняв во внимание, что согласно (6.9) матрица K мало отличается от матрицы
aK , в заключение этого примера рассмотрим «упрощенную» постановку задачи, ко-
гда фиксированными являются матрицы ,a aM K и требуется определить матрицу .B
Используя соотношение (4.8), определим значение матрицы ,B отличие которой от
матрицы aB характеризует следующая величина:
0,0462.a
a
B B
B
(6.12)
Сравнивая (6.12) и (6.9), можно констатировать, что матрица B в меньшей степе-
ни отличается от aB , чем приведенная в [24] матрица B . Продолжим рассмотрение
задачи в «упрощенной» постановке. Сравним отличие собственных значений решений
(1.1) в случае «упрощенной» постановки и в случае, когда в (1.1) матрицы 0 1 2, ,A A A
совпадают с матрицами , , aK B M . Итак, обозначим 5 5,X X корни уравнения (1.1),
если в качестве матриц 0 1 2, ,A A A приняты матрицы , ,a aK B M . Пусть 5E обозна-
чают векторы, компонентами которых являются собственные значения матриц 5X ,
соответственно. В этом случае, соотношение между векторами 1 3,E E и 5E (век-
торы 1E и 3E приведены в табл. 4, 5) характеризуется следующими величинами:
122
3 1
5 1
6;
E E
E E
3 1
5 1
2,87.
E E
E E
(6.13)
Из сравнения (6.13) и (6.11) следует, что даже при «упрощенной» постановке задачи,
«деформация» спектров решений (1.1) получается меньшей, чем при использовании
алгоритма [24].
§7. Заключение.
Обычно используемые для получения решений алгебраического уравнения Риккати
метод удвоения интервала и метод Шура обобщены на случай одностороннего квад-
ратного матричного уравнения. На примерах показана эффективность предложенных
алгоритмов решения указанных матричных уравнений. Проведено сравнение этих
алгоритмов с известным методом решения одностороннего квадратного матричного
уравнения. На примерах показано, что решения одностороннего квадратного матрич-
ного уравнения могут быть использованы в задаче уточнения параметров модели.
Р Е ЗЮМ Е . Метод подвоєння інтервалу і метод Шура, які використовуються для отримання
розв’язків алгебраїчного рівняння Ріккаті, узагальнено на випадок одностороннього квадратного
матричного рівняння. На прикладах показанo ефективність запропонованих алгоритмів розв’язання
одностороннього квадратного матричного рівняння. Проведено порівняння цих алгоритмів з
відомими. Показано, що розв’язки одностороннього квадратного матричного рівняння можуть бути
використані в задачі уточнення параметрів моделі.
1. Голубенцев О. М., Дроговоз О.М. Про критерії аперіодичної стійкості руху // Прикл. механіка. –
1962. – 8, № 4. – С. 17 – 23.
2. Крейн М.Г. Введение в геометрию индефинитных J -пространств и теорию операторов в этих про-
странствах // 2-ая летняя матем. школа. – К.: Наук. думка, 1965. – Вып. I. – C. 15 – 92.
3. Ларин В. Б. Выбор параметров оптимального демпфера // Тр. I Респ. конф. молодых математиков
Украины. – К.: Ин-т математики АН УССР, 1965. – С. 395 – 405.
4. Ларин В. Б. Статистические задачи виброзащиты. – К.: Наук. думка, 1974. – 127 с.
5. Ларин В.Б. Об обращении проблемы аналитического конструирования регуляторов // Проблемы
управления и информатики. – 2004. – № 2. – C. 17 – 25.
6. Ларин В.Б. Алгоритмы отыскания стабилизирующего и антистабилизирующего решений дискрет-
ного алгебраического уравнений Риккати // Проблемы управления и информатики – 2006. – № 6.
– С. 5 – 16.
7. Aliev F.A., Bordyug B.A., Larin V.B. Comments on A Stability–enhancing Scaling Procedure for Schur–
Riccati Solvers" // Systems & Control Letters. – 1990. – 14. – 453 p.
8. Aliev F.A., Larin V.B. Optimization of Linear Control Systems: Analytical Methods and Computational
Algorithms. – Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, 1998. – 261 p.
9. Bespalova E.I., Urusova G.P. Vibrations of Statically Loaded Shells of Revolution of Positive or Negative
Gaussian Curvature // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 3. – P. 279 – 286.
10. Bini D.A., Meini B., Poloni F. Transforming Algebraic Riccati Equations into Unilateral Quadratic Ma-
trix Equations // Numer. Math. – 2010. – 116. – P. 553 – 578.
11. Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory.
Philadelphia: SIAM, 1994. – 193 р.
12. Barsegyai V.P., Movsisyan L.A. Optimal Control of the Vibration of Elastic Systems Described by the
Wave Equation // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 2. – С. 234 – 240.
13. Chu TK-W, Fan H-Y, Lin W-W, Wang C.S. Structure–preserving algorithms for periodic discrete–time
algebraic Riccati equation // Int. J. Control. – 2004. – 77, N 8. – P. 767 – 788.
14. Datta B. N., Sokolov V. Quadratic Inverse Eigenvalue Problems, Active Vibration Control and Model
Updating // Appl. and Comp. Math. – 2009. – 8, N 2. – P. 170 – 191
15. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M. LMI Control Toolbox Users Guide. The MathWorks
Inc., 1995. – 321 р.
123
16. Gulyaev V.I., Lugovou P.Z. Zayets Yu.A. Shielding of Elastic Nonstationary Waves by Interfaces // Int.
Appl. Mech. – 2012. – 48, N 4. – С. 414 – 422.
17. Kirichok I.F. Forced Resonant Vibrations and Self-Heating of a Flexible Circular Plate with Piezoactua-
tors // Int. Appl. Mech – 2012. – 48, N 5. – С. 583 – 591.
18. Larin V.B. Optimization of Periodic Systems with Singular Weight Matrix which Defines the Quadratic
Form of Control Actions // J. Automat. Inform Sci. – 1999. – 31, N 6. – P. 27 – 38.
19. Larin V.B. LMI Approach to the Inverse Problem of Optimal Control // System Science. – 2001. – 26,
N 3. – P. 61 – 68.
20. Larin V.B. Some Optimization Problems for Vibriprotective Systems // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37,
N 4 .– P. 456 – 483.
21. Larin V.B. Determination both as stabilizing and antistabilizing solutions of the discrete–time algebraic
Riccati equation // Int. J. Appl. Math. and Mech.– 2007. – 3, N 1. – P. 42 – 60.
22. Larin V.B. Solution of Matrix Equations in Problems of the Mechanics and Control // Int. Appl. Mech. –
2009. – 45, N8. – P. 847 – 872.
23. Laub A.J. A Schur method for solving algebraic Riccati equations // IEEE Trans. Automat. Contr. –
1979. – 24. – P 913 – 921.
24. Yuan Y. An iterative updating method for damped gyroscopic systems // Int. J. Comput. and Math. Sci. –
2010.– 4:2. – P. 63 – 71.
Поступила 11.05.2011 Утверждена в печать 03.12.2013
|