Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине

Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине

Запропоновано метод побудови загального аналітичного розв'язку рівнянь статичної електропружності нетонких трансверсально-ізотропних пластин, граничні площини яких електродовано і до яких підведено електричні заряди. В основу покладено метод розвинення невідомих функцій в ряди Фур'є за пол...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2014
Автор: Хома, И.Ю.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2014
Назва видання:Прикладная механика
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100634
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине / И.Ю. Хома // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 87-101. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-100634
record_format dspace
spelling irk-123456789-1006342016-05-25T03:02:13Z Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине Хома, И.Ю. Запропоновано метод побудови загального аналітичного розв'язку рівнянь статичної електропружності нетонких трансверсально-ізотропних пластин, граничні площини яких електродовано і до яких підведено електричні заряди. В основу покладено метод розвинення невідомих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра координати товщини. Побудовано систему диференціальних рівнянь і отримано загальний розв’язок, необхідний для визначення напруженого стану електропружних поляризованих по товщині пластин. A method of constructing the general analytical solution of equations of statical electroelasticity of non-thin transversally isotropic plates is stated. The boundary planes of plates are covered by electric charges. The constructing is based on expanding the unknown functions by Fourier series in Legendre polynomials of the thickness coordinate. 2014 Article Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине / И.Ю. Хома // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 87-101. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100634 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Запропоновано метод побудови загального аналітичного розв'язку рівнянь статичної електропружності нетонких трансверсально-ізотропних пластин, граничні площини яких електродовано і до яких підведено електричні заряди. В основу покладено метод розвинення невідомих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра координати товщини. Побудовано систему диференціальних рівнянь і отримано загальний розв’язок, необхідний для визначення напруженого стану електропружних поляризованих по товщині пластин.
format Article
author Хома, И.Ю.
spellingShingle Хома, И.Ю.
Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине
Прикладная механика
author_facet Хома, И.Ю.
author_sort Хома, И.Ю.
title Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине
title_short Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине
title_full Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине
title_fullStr Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине
title_full_unstemmed Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине
title_sort об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate 2014
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100634
citation_txt Об аналитическом решении уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, поляризованных по толщине / И.Ю. Хома // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 87-101. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series Прикладная механика
work_keys_str_mv AT homaiû obanalitičeskomrešeniiuravnenijravnovesiânetonkihélektrouprugihtransversalʹnoizotropnyhplastinpolârizovannyhpotolŝine
first_indexed 2025-07-07T09:06:36Z
last_indexed 2025-07-07T09:06:36Z
_version_ 1836978481000349696
fulltext 2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 4 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 4 87 И .Ю .Х о м а ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ НЕТОНКИХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН, ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПО ТОЛЩИНЕ Институт механики им. С. П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: Reolog@imech Abstract. A method of constructing the general analytical solution of equations of stati- cal electroelasticity of non-thin transversally isotropic plates is stated. The boundary planes of plates are covered by electric charges. The constructing is based on expanding the un- known functions by Fourier series in Legendre polynomials of the thickness coordinate. Key words: transversally isotropic plate, statical electroelasticity, electric charge, gen- eral analytical solution, Fourier series in Legendre polynomials. Введение. Редукция трехмерных задач электроупругости к двумерным осуществляется раз- ными методами. Наиболее развитыми являются: метод гипотез [14 – 16], асимптоти- ческий [21]; разложения решения по толщине [10, 11, 17]; однородных решений [1, 2] и др. Методом асимптотического интегрирования уравнений пьезоэлектроупругости, описывающих анизотропную и слоистою среды, в [9, 19] получены решения задач о напряженном состоянии слоистых пластин. В работе [7] с использованием разложе- ний искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра построены уравнения равновесия нетонких анизотропных термопьезокерамических оболочек и соответст- вующие им граничные условия. Решения краевых задач о напряженном состоянии трансверсально-изотропных пьезокерамических пластин с неэлектродированными плоскими гранями изложены в [5, 6]. В [3] проведено исследование двумерного на- пряженно-деформированного состояния анизотропных пьезоэлектрических пластин с полостями и плоскими трещинами. Обзор имеющихся исследований по отдельным направлениям изложен в [8, 18, 22]. В данной работе на основе [7] изложен способ построения общего аналитического решения уравнений равновесия нетонких электроупругих трансверсально-изотропных пластин, лицевые граничные плоскости которых электродированы и к ним подведены электрические заряды. §1. Некоторые исходные соотношения теории электроупругости. Пусть анизотропная пластина из пьезоэлектрического монокристалла, занимаю- щая область [ , ]S h h    трехмерного пространства 3R , отнесена к декартовой сис- теме координат ix ( 1, 2, 3)i  . Принято, что 1x , 2x принадлежат срединной плоско- сти S , а координата 3x изменяется на отрезке [ , ]h h , где h – полутолщина пласти- ны. Граничные плоскости 3x h и 3x h  электродированы и к ним подведены электрические заряды интенсивности  и  (для простоты примем их постоянны- ми). Кроме того, на лицевых граничных плоскостях могут быть заданы нормальные поперечные напряжения 33  и 33  . 88 Для анизотропного пьезоэлектрического тела уравнения состояния имеют вид [4] ij ijlm lm lij lc e E   ; j jlm lm jl lD e E   , (1.1) где ij и ij – компоненты тензоров напряжений и деформаций; jD и jE – состав- ляющие векторов электрической индукции и напряженности электрического поля; ijlmc – модули упругости (при постоянных iE ); lije – пьезомодули; jl – диэлектриче- ские проницаемости (при постоянных ij ). Эти тензорные величины удовлетворяют следующим условиям симметрии: ijlm jilm ijml mlijc c c c   ; lij ljie e ; ij ji  (здесь и ниже по повторяющимся индексам подразумеваем суммирование, причем латинские буквы принимают значения 1, 2, 3, а греческие – 1, 2). Градиентные уравнения определяются формулами 2 ij i j j iu u     ; j jE    , (1.2) где /j jx    ; ju – компоненты вектора перемещений;  – диэлектрический по- тенциал. Представим [7] перемещения ju и потенциал  в виде конечного ряда Фу- рье по полиномам Лежандра ( )kP  ( ) 1 2 3 0 ( , , ) ( ) ( ) N k j j k k u x x x u x P     ;  ( ) 1 2 3 2 0 ( , , ) ( ) ( ) ( ) N k k k k x x x x P P        (1.3) 1 2 1 1 ( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 2 N N N NP P                      , где 1 2( , )x x x ; 1 3h x  ; ( ) ( )k ju x ; ( ) ( )k x – коэффициенты, определяемые равенст- вами    ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 1 ( ), ( ) ( , , ), ( , , ) ( ) 2 h k k j j k h u x x k u x x x x x x P h            ; N – натуральное число, которое примем четным; 2N n ( 0, 1, , )n   . Очевидно, на граничных плоскостях 3x h и 3x h  потенциал  принимает заданные значе- ния  и  . Принимая во внимание рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра, из (1.2) получим выражения для напряженностей электрического поля  ( ) ( 2) 0 ( ) N k k k k E P         ( 1, 2)  ; ( 1) 3 0 1 (2 1) ( ) N k k k E k P h       (1.4)  1 2 1 ( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 N N N NP P h                        . Для производных полиномов Лежандра 1NP  и 2NP  при 2N n имеем формулы 2 1 2 0 ( ) (4 1) ( ) n n s s P s P      ; 2 2 2 1 0 ( ) (4 3) ( ) n n s s P s P       . (1.5) 89 Аналогичным способом определяем компоненты деформаций ij , т.е. ( ) 0 ( ) ( ) N k ij ij k k x P      (1.6) ( ) ( )k k j ju      ( 1, 2)  ; ( ) 1 ( ) 3 k k j jh u   ( 1, 2, 3)j  ; (2 ) (2 1) 1 (4 1) n k s j j s k u k u        ; (2 1) (2 )(4 1) n k s j j s k u k u        . Согласно (1.4), (1.6) уравнения состояния (1.1) примут вид  ( ) ( ) ( 2) 1 ( 1) 3 0 (2 1) ( ) N s s s s ij ijlm lm ij ij s s c e s e h P                   3 1 2( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 ij N N N N e P P h                        ; (1.7)  ( ) ( ) ( 2) 1 ( 1) 3 0 (2 1) ( ) N s s s s j jlm lm j j s s D e s h P                    3 1 2( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 j N N N NP P h                         . Если умножить (1.7) на 1 ( ) 2 mm P      и провести интегрирование по 3x в преде- лах толщины пластины, то получим с учетом равенств (1.5) соотношения    (2 ) (2 ) (2 ) (2 2) 1 (2 1) 3 1 (4 1) 2 k k k k k ij ijlm lm ij ijh c e k e h                        ;    (2 ) (2 ) (2 ) (2 2) 1 (2 1) 3 1 (4 1) 2 k k k k k j jlm lm j jD h e k h                        (1.8) ( 0, 1, , )k n  при 2m k и    (2 1) (2 1) (2 1) (2 3) 1 (2 2) 3 1 (4 1) 2 k k k k k ij ijlm lm ij ijh c e k e h                          ;    (2 1) (2 1) (2 1) (2 3) 1 (2 2) 3 1 (4 1) 2 k k k k k j jlm lm j jD h e k h                           (1.9) ( 1, 2, , )k n  при 2 1m k  . Из равенств (1.7) находим сумму и разность электрической индукции 3D на лице- вых 3x h , 3x h  граничных плоскостях пластины, т.е. (2 ) (2 ) (2 2) 1 (2 1) 3 3 3 3 33 0 1 2 ( ) (4 1) ( ) 2 n k k k k lm lm k D D e k h                              ; 90 (2 1) (2 1) (2 1) 1 (2 ) 3 3 3 3 33 0 1 2 ( ) (4 3) ( ) 2 n k k k k lm lm k D D e k h                               .(1.10) Уравнения равновесия пластины имеют вид [7] [ ] ( ) 1 ( 2 1) 3 3 3 0 1 (2 1) [ ( 1) ] 0 2 K k k s k j j j j s k h k                       ( 1,2,3)j  ; [ ] ( ) 1 ( 2 1) 3 3 3 0 1 (2 1) [ ( 1) ] 0 2 K k k s k s D k h D k D D                     ( 0,1, , )k N  , (1.11) где ( 1) 2K k  ; символ [ ]K обозначает целую часть числа K ; 3 j  , 3 j  ( 1, 2, 3)j  и 3D , 3D – значения напряжений и электрической индукции на лицевых граничных плоскостях. Уравнения (1.11) совместно с (1.8), (1.9) составляют замкнутую систему для оп- ределения всех неизвестных функций. Для трансверсально-изотропного тела данные уравнения распадаются на две независимые группы уравнений, описывающие, соот- ветственно, симметричное и кососимметричное (по отношению к срединной плоско- сти S ) деформирования пластины. Ниже рассмотрим данные уравнения и изложим метод представления их общих аналитических решений. §2. Симметричное деформирование пластины. Вводя в рассмотрение комплексные переменные 1 2z x i x  , 1 2z x i x  и свя- занные с ними дифференциальные операторы z z    , z z    , запишем уравне- ния равновесия (1.11) в виде (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 1 (2 1) 11 22 12 11 22 1 ( 2 ) ( ) (4 1) 0 k k k k k k s z z s i k h                  ( 0,1, , )k n  ; 1 (2 1) (2 1) 1 (2 ) 33 33 33 0 1 (4 1) 2 ( ) 0 2 k k k s z z s k h k                            ; (2.1) 1 (2 1) (2 1) 1 (2 ) 3 3 3 0 1 (4 1) 2 ( ) 0 2 k k k s z z s D D k h D k D D                        ( 1, 2, , )k n  , а соотношения электроупругости (1.8), (1.9) представим таким образом: (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 11 22 12 662 4k k k k zi c h u       ; (2 ) (2 ) (2 ) 1 (2 1) 1 (2 1) 11 22 12 66 13 3 31 1 1 2 ( ) (4 1) (4 1) ( ) 2 n k k k s k s k h c c e k c h u k e h                            ; (2 ) (2 ) 1 (2 1) 1 (2 1) 33 13 33 3 33 1 1 (4 1) (4 1) ( ) 2 n k k s k s k h c e k c h u k e h                         ; (2 1) (2 1) 1 (2 ) (2 1) (2 3) 44 3 152 (4 1) 2 ( ) n k k s k k z z s k h c u k h u e                          ; (2.2) (2 1) (2 1) 1 (2 ) (2 1) (2 3) 15 3 112 (4 1) 2 ( ) n k k s k k z z s k D h e u k h u                          ; 91 (2 ) (2 ) 1 (2 1) 1 (2 1) 3 31 3 33 1 1 (4 1) (4 1) ( ) 2 n k k s k s k D h e e k h u k h                         ( ) ( ) ( ) 1 2 m m mu u i u   ; ( ) ( ) ( ) 13 23 m m mi     ; ( ) ( ) ( ) 1 2 m m mD D i D   ; ( ) ( ) ( )m m m z ze u u     . (2.3) Кроме того, в (2.2) использованы известные [4] двухиндексные обозначения для упругих постоянных: 11 1111c c ; 12 1122 2211c c c  ; 13 1133 3311c c c  ; 33 3333c c ; 44 1313 2323c c c  ; 66 1212 2121c c c  и пьезомодулей : 15 113 223e e e  ; 31 311 322e e e  ; 33 333e e . Подставляя выражения (2.2) в равенства (2.1) и учитывая (1.10), получаем систему уравнений (2 ) (2 ) 1 (2 1) 66 12 66 15 312( ) (4 1) 2( )k k k z zc u c c e k h e e              ( ) (2 1) 1 ( ) (2 ) 2 1 3 44 2 1 1 2 0 n n k s k s s z s s s u c h u              ( 0, 1, , )k n  ; (2.4) (2 1) 1 ( ) (2 ) 1 ( ) (2 1) 44 3 2 33 2 1 3 0 1 (4 1) n n k k s k s s s s s c u k h e c h u                1 (2 1) 1 1 33 33 332 2 1 (4 1)[ ( )] ( ) 0 n s s e h s                    ( 1,2, , )k n  ; (2.5) (2 1) 1 (2 ) 1 (2 1) 11 15 31 33 3(4 1) ( ) ( )(2 2 1) n n k s s s k s k k h e e e e h s k s k u                   1 (2 1) 1 33 2(4 1)[ ( )] 0 n s s k h s               ( 1,2, , )k n  , (2.6) в которой 4 z z    – оператор Лапласа; ( ) ( ) ( ) ( 2)15 3 3 44 ( )m m m me u u c     ; ( ) ( ) ( ) ( 2)15 3 11 ( )m m m me u       ; 44( ) 2 1 13 , 1 ; , ; k s c s k c k s n          13( ) 2 44 , 1 ; , ; k s c s k c k s n          ( ) 2 1 k s  и ( ) 2 k s – абсолютные константы вида ( ) 2 1 (2 1), 1 ; (2 1), ; k s s s s k k k k s n           ( ) 2 (2 1), 1 ; (2 1), . k s s s s k k k k s n          Заметим, что функции, заданные на лицевых граничных плоскостях пластины, со- ставляют правую часть рассматриваемой системы. Предположим, что механические напряжения 33 33 0    , а 0       0(  const). Тогда частное решение сис- темы (2.4) – (2.6) представим в виде (2 1) (2 1) 66 3 3 0 k kс u    ; (2 1) (2 1) 3 0 k k      ( 1,2, , )k n  ; (2 ) 0ku  ; (2 ) 0ke  ( 0,1, , )k n  , (2.7) где (2 1) 3 k  , (2 1) 3 k  – постоянные, определяемые из решения алгебраической системы 92 1 ( ) (2 1) (2 1)33 2 1 3 3 1 133 66 (4 1) (2 1) n k k s s s s s c s k k e c                 ( 0,1, , )k n  ; (2 1) (2 1)33 3 3 11 66 ( ) (2 2 1) (4 1) ( 1)(2 2 1) n n s s s k s k e s k s k s n k n k c                    . Не изменяя обозначений для искомых функций, изложим метод построения обще- го аналитического решения однородной системы (2.4) – (2.6). Применим к уравнени- ям (2.4) операцию z и в полученных равенствах рассмотрим вещественную часть. Учитывая при этом выражения (2.3), будем иметь формулы (0) 1 (2 1) 11 13 3 1 0 n s s с e c h u       ( 0)k  ; (2.8) (2 ) 1 (2 1) ( ) (2 1) 11 15 31 2 1 3 1 (4 1) ( ) n k k k s s s с e k h e e u               1 ( ) (2 ) 44 2 1 0 n k s s s с h e      ( 1, 2, , )k n  . (2.9) Из (2.8) следует, что (0) (2 1)13 3 111 1 11 2n s s c c e u u c h c c      , (2.10) где u – гармоническая функция; 2 13 11 331c c c c  ; 1 66 11c c c c  ; 2 13 13 11 33c c c c c c  . Согласно (2.10) уравнения (2.5) примут вид 1 (2 1) 1 ( ) (2 ) 1 (2 1) 44 3 2 33 1 1 (4 1) (4 1) n k k k s s s s s c u k h e e h s                  1 ( ) (2 1) 13 33 2 1 3 1 1 11 2(4 1) ( ) n k s s s k cc c h c u u c c h           ( 1,2, , )k n  (2.11) ( ) 2 1 ( 1) (2 1), 1 ; ( 1) (2 1), . k s s s s k k k k s n                 . Равенства (2.9), (2.11) совместно с (2.6) образуют систему уравнений 6n -го по- рядка относительно функций (2 1) 3 ku  , (2 1)k , (2 )ke ( 1, 2, , )k n  . Решение ее примем в виде (1) 66 3 1 1c u hu u   ; (2 1) 66 3 3 2 k kc u u  ( 2,3, , )k n  ; (2 1) 3 1 k ku   ; (2 ) 66 3 k kc he u ( 1,2, , )k n  , (2.12) где функции ku – общее решение однородной системы, которую представим так: 3 2 1 ( ) 0 n pk pk k k h u      ( 1,2, ,3 )p n  . (2.13) Здесь pk , pk – постоянные, их явные выражения нетрудно выписать; 1 13 66 1 11 332c c c c c  . Замечание 1. Можно, следуя [13], определить из (2.11) функции (2 )ke , т.е. (2 1) (2 1)(2 ) (2 1) (2 1) 3 3 33 33 32 144 1 1 4 1 4 1 4 3 n k kk k s s k h k e u u e c u k kc c h                           ; ( 1, 2, , 1)k n  ; 93 1 (1) (2 1)(2 ) (2 1)13 33 3 3* 2 144 44 1 3 4 1 n kn s s c eh e u u c nc c h                * ( ) *33 13 2 12 1 1 11 4444 3 ( ) n k s s c cc c cc u c c c hc h            , и внести их значения в (2.6) и (2.10). Тогда получим систему уравнений 6n -го поряд- ка относительно функций (2 1) 3 ku  и (2 1)k . Возвращаясь к системе уравнений (2.13), введем функцию V согласно формулам ( )k pku A V  , (2.14) в которых ( ) ( 1) ( )k p pk pkA M    , ( )pkM  – миноры; ( )pkA  – алгебраические до- полнения элементов 2( )pk pk pkL h     p -той строки операторной матрицы 3 3 ( )pk n n L   , и подставим выражения ku в p -е равенство системы (2.13). После неко- торых преобразований получаем уравнение 3 2 0 0 n s s s s a h V    с постоянными коэффи- циентами sa , причем 0 0a  . Раскрывая определители в формулах (2.14), находим функции 3 1 ( ) 2 0 n k s s k s s u G h V      . Рассмотрим характеристическое уравнение det 0pk pkk   и предположим, что оно имеет разные, не равные нулю корни mk ( 1, 2, ,3 )m n  . Тогда уравнение (2.13) может быть представлено в виде произведения операторов 3 2 1 ( ) 0 n m m k h V     , откуда следует, что 3 1 n m m V V    , (2.15) где mV – метагармонические функции, удовлетворяющие равенствам 2 0m m mV k h V   . (2.16) Учитывая (2.15), (2.16), запишем ku в виде 3 ( ) 1 n k k m m m u G V    , (2.17) где постоянные ( )k mG определяются алгебраическими дополнениями элементов какой-либо строки определителя 3 3pk m pk n n k    . Следовательно, имеем 3 1 ( ) ( ) 0 ( ) n k k s m pk m m m s G A k G k       . Примем гармоническую функцию u в виде вещественной части некоторой голо- морфной функции ( )z (штрих обозначает производную по z ), т.е. ( ) ( )u z z    , (2.18) и подставим выражения (2.17) и (2.18) в формулы (2.12). Вводя при этом обозначения (2 1) (3 2)k k m mc G  , (2 1) (3 1)k k m mc G  , (2 ) (3 )k k m mc G ( 1,2, , )k n  , имеем 3 (1) (1) 66 3 1 1 [ ( ) ( )] n m m m c u h z z c V         ; 3 (2 1) (2 1) 66 3 1 n k k m m m c u c V     ( 2, 3, , )k n  ; 94 3 (2 1) (2 1) 1 n k k m m m c V       ; 3 (2 ) (2 ) 66 1 n k k m m m c he c V    ( 1, 2, , )k n  . (2.19) Учитывая (2.19), из (2.10) определим 3 (0) 1 (0) 66 e 1 [ ( ) ( )] n m m m c e z z h c V          ( e 66 1 112c c c  ; (0) (2 1) 11 13 1 n s m m s c c c c      ). (2.20) Отсюда, принимая во внимание выражения (2.3), получаем равенства 3 (0) (0) (0) 66 e 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 ( ) n z z m z z m m c u u z z h a V              ; 3 (2 ) (2 ) (2 ) 66 1 ( ) 2 ( ) n k k k z z m z z m m c u u h a V         ( 1,2, , )k n  , из которых находим 3 (0) (0) 66 e 0 1 ( ) n m z m z m с u z h a V ih Y        ; 3 (2 ) (2 ) 66 2 1 n k k m z m z k m с u h a V i h Y      , (2.21) где (2 ) 1 (2 )2k k m m ma k c ; 2kY – произвольные достаточно гладкие вещественные функции. Их необходимо выбрать такими, чтобы выполнялись равенства (2.4). Следова- тельно, если внести в (2.4) выражения (2.19) – (2.21), то получим уравнения 3 (0) 1 0 0 1 4 ( ) n z m z m m Y c O V ih z       ; 3 ( ) (2 ) 13 4444 2 2 2 02 1 1 1 11 3366 4 (4 1)(4 1) ( ) n n k k z k s s m z m s m i k c ck c Y Y c O V z c c c hc h                   ( 1, 2, , )k n  ; (2.22) (2 ) (2 ) 1 (2 1) ( ) (2 1) ( ) 1 (2 ) 11 15 31 66 2 1 44 2 1 (4 1) ( ) ( ) n k k k k s k s m m m s m s m m s O c k c e e c c c c k c                  . Заметим, что аналогичная подстановка полученного решения в уравнения (2.8), (2.9) приводит к выполнению тождества 3 (2 ) 1 0 n k m m m O V    . Поскольку метагармониче- ские функции mV линейно независимые, то отсюда следует, что (2 ) 0k mO  [0, ]k n  . Учитывая вышеизложенное, из первого равенства (2.22) определим 1 0 [ ( ) ( ) ( ) ( )]Y ih z z z z z z         , (2.23) где ( )z – произвольная голоморфная функция, а второе равенство после интегри- рования по переменной z запишем таким образом: ( ) 13 44 2 2 22 1 1 11 3366 4 (4 1)(4 1) [ ( ) ( )] n k k s s s i k c ck Y Y z z c c c hc h           ( 1, 2, , )k n  . (2.24) Примем 2 2 1[ ( ) ( )]Y i h z z y      κ ; 2k kY y ( 2,3, , )k n  , (2.25) где функции ky – общее решение однородной системы (2.24), которую запишем в виде 95 2 1 ( ) 0 n kl kl l l q h y     ( 1, 2, , )k n  . (2.26) Здесь 2 13 66 1 11 334 3c c c c c  ; kl – символ Кронекера; ( ) 2 44 66(4 1) k kl lq k c c  . Предполагая, что характеристическое уравнение det 0kl klq   имеет n раз- ных корней 1 , 2 , , n , из (2.26) аналогичным выше способом получим (2 ) 1 n k k s s s y b     , (2.27) где s – метагармонические функции, удовлетворяющие равенствам 2 0s s sh     , а (2 )k sb – постоянные, определяемые алгебраическими дополнениями элементов какой- либо строки определителя kl s kl n n q     . Согласно равенствам (2.23), (2.27) выражения (2.21) примут вид 3 (0) (0) 66 1 ( ) ( ) ( ) n m z m m c u z z z z h a V           ; 3 (2) 2 (2) (2) 66 2 1 1 ( ) n n m z m s z s m s c u h z h a V ih b            ; (2.28) 3 (2 ) (2 ) (2 ) 66 1 1 n n k k k m z m s z s m s c u h a V ih b         , 2,3, , ;k n  ( ( ) ( )z z  ; е1    ). Таким образом, функции (2.7), (2.19), (2.20) и (2.28) составляют общее аналитиче- ское решение системы уравнений (2.4) – (2.6). §3. Кососимметричное деформирование пластины. При кососимметричном деформировании пластины уравнения равновесия (1.11) в комплексной форме имеют такой вид: 1 (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 1 (2 ) 11 22 12 11 22 0 ( 2 ) ( ) (4 1) 0 k k k k k k s z z s i k h                        ( 1, 2, , )k n  ;  (2 )(2 ) 1 (2 1) 33 33 33 1 1(4 1) 2 ( ) 0 2 kkk s z z s k h k                   ( 0,1, , )k n  ; (3.1)  (2 )(2 ) 1 (2 1) 3 3 3 1 1(4 1) 2 ( ) 0 2 kkk s z z s D D k h D k D D               ( 0,1, , )k n  , а для соотношений электроупругости (1.8), (1.9) имеем равенства (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 11 22 12 662 4k k k k zi c h u          ; (2 1) (2 1) (2 1) 1 (2 ) 1 (2 2) 11 22 12 66 3 31 1 2 ( ) (4 1) (4 1) ( ) 2 n k k k s k s k h c c e k h u k e h                            ; (2 1) (2 1) 1 (2 ) 1 2 2 33 13 33 3 33 1 (4 1) (4 1) ( ) 2 n k k s k s k h c e k c h u k e h                         ; (2 ) (2 ) 1 (2 1) (2 ) (2 2) 44 3 15 1 2 (4 1) 2 ( ) n k k s k k z z s k h c u k h u e                         ; (3.2) 96 (2 ) (2 ) 1 (2 1) (2 ) (2 2) 15 3 11 1 2 (4 1) 2 ( ) n k k s k k z z s k D h e u k h u                         ; (2 1) (2 1) 1 (2 ) 1 (2 2) 3 31 33 3 33 1 (4 1) (4 1) ( ) 2 n k k s k s k D h e e k e h u k h                        . После внесения выражений (3.2) в равенства (3.1), получаем систему уравнений (2 1) (2 1) 1 (2 2) 66 12 66 15 312( ) (4 1) 2( )k k k z zc u c c e k h e e               ( ) (2 ) 1 ( ) (2 1) 2 3 44 2 1 0 1 2 0 n n k s k s s z s s s u c h u              ( 1,2, , )k n  ; (3.3) (2 ) 1 ( ) (2 1) 1 ( ) (2 ) 44 3 2 1 33 2 3 1 1 (4 1) n n k k s k s s s s s c u k h e c h u               1 (2 2) 1 1 33 33 332 2 1 (4 1)[ ( )] ( ) 0 k s s e h s                    ( 0,1, , )k n  ; (3.4) (2 ) 1 (2 1) 1 (2 ) 11 15 31 33 3(4 1) ( ) ( )(2 2 1) n n k s s s k s k k h e e e e h s k s k u                  1 (2 ) 1 33 2(4 3)[ ( )] 0 n s s k h s              ( 0,1, , )k n  (3.5) 44( ) 2 13 , 0 ; , ; k s c s k c k s n          13( ) 2 1 44 , 1 ; , . k s c s k c k s n             . Поскольку 0    , то примем, что к лицевым граничным плоскостям пластины приложены механические напряжения 33  и 33  . Полагая 33 33 2 p    ( p  const), представим частное решение данной системы в виде (2 ) (2 ) 66 3 3 k kc u ph ; (2 ) 3 k ph    ( 0,1, , )k n  ; (2 1) 0ku    ; (2 1) 0ke   ( 0, 1, , )k n  , (3.6) где постоянные (2 ) 3 k и (2 ) 3 k определяются из равенств 1 ( ) (2 ) (2 )33 2 3 33 3 1 066 (4 3) 1 n k k s s s s s с e s с            ; (2 ) (2 )33 3 3 33 66 ( )(2 2 1) (4 3) 0 n n s s s k s k e s k s k s с              . Изложим метод представления общего аналитического решения однородной сис- темы уравнений (3.3) – (3.5). Запишем уравнения (3.4) и (3.5) при 0k  , тогда имеем (0) (0) 1 (2 1) 44 3 15 44 1 0 n s s c u e c h e        ; 97 (0) (0) 1 (2 1) 15 3 11 15 31 1 ( ) n s s e u e e h e          (3.7) 2 (2 ) 1 (2 ) 33 3 33 1 0 (2 1) (4 3) 0 n n s s s s e h s s u h s           . Определим из первого равенства выражение (0) (0) (2 1)15 3 144 1 n s s e u e c h         . (3.8) Тогда, согласно (3.8), второе равенство (3.7) примет вид (0) (2 ) (2 ) (2 1)33 33 31 5 32 2 2 1 1 111 11 11 (4 3) (2 1) 0 n n n s s s s s s e e e s s s u e h h h                   . (3.9) Продифференцируем уравнения (3.3) по переменной z и полученные равенства сложим с их сопряженными. Учитывая при этом формулу (2.3), имеем (2 1) 1 (0) (0) ( ) (2 ) 11 44 3 15 31 2 3 1 (4 1) ( ) n k k s s s c e k h c u e e u                1 ( ) (2 1) 44 2 1 1 0 n k s s s c h e        ( 0, 1, , )k n  . (3.10) Отсюда, исключая (0) 3u , получаем уравнения (1) (0) (2 )31 13 3 111 11 3 3 0 n s s e c e u c h c h        ( 1)k  ; (3.11) (2 1) (0) (2 2) ( ) (2 ) 15 15 31 2 3 111 4 1 ( ) n k k k s s s k e e e e u c h               ( ) (2 1)44 2 1 1 0 n k s s s c e h          ( 2, 3, , )k n  . (3.12) Из (3.11) следует равенство (1) (0) (2 )31 13 3 111 11 66 3 3 4n s s e c ch e u u c h c h c       , (3.13) где u – гармоническая функция; 1 33 13 33( )/c c e e c e d c    ; 13 31 11 331e с e c e  ; 2 33 33 331d e c   . Согласно (3.13) уравнение (3.9) преобразуется к виду (0) (0) (2 )3 33 33 5 2 2 111 11 3 (4 3) n s s e e s h h             (2 1) (2 )31 33 33 32 2 111 11 6611 4 [( 1)(2 3) 3 ] n n s s s s e e ce e s s e u u h ch               , (3.14) а уравнения (3.4) совместно с (3.5) принимают такой вид: 1 (2 ) (0) (2 ) ( ) (2 1)33 33 3 2 12 2 1 24444 44 31 1 (4 3) 4 1 k n k s k s s s s ee e u s e k c hc h c h                   98 ( ) (2 )33 13 2 32 1 44 6644 4 ( 3 ) n k s s s c cc c u u c cc h         ( 0, 1, , )k n  ; (3.15) (2 ) (2 ) (2 1)33 15 31 2 11111 1 (4 3) 4 1 n n k s s s k s k e e e s e k hh                (2 )33 32 111 ( )(2 2 1) 0 n s s k e s k s k u h        ( 0,1, , )k n  , (3.16) где 1 31 13 33 33e e с e c   ; 2 15 44 33 33e e с e c   ; 2 3 31 11 331e e с   ; 2 5 15 11 441e e c  ; ( ) 2 ( 1)(2 3), 1 ; ( 1)(2 3), . k s s s s k k k k s n             Равенства (3.14) – (3.16) вместе с (3.12) образуют систему уравнений 6n -го по- рядка относительно функций (2 ) 3 ku , (2 )k , (2 1)ke  . Решение представим в виде (0) 2 0 1h u u    ; (2) 2 66 3 2 2с u h u u   ; (2 ) 3 k ku  ( 0, 1, , )k n  ; (2 ) 66 3 3 1 k kс u u  ; (2 1) 66 3 2 k kc he u  ( 2,3, , )k n  , (3.17) где функции ku выражают общее решение однородной системы, которую в стандарт- ной форме представим таким образом: 3 2 1 ( ) 0 n pk pk k k a b h u     ( 1,2, ,3 )p n  ; (3.18) 0  , 2  – постоянные ( 0 1 33 664 3e d c    ; 33 2 13 1 33 13 333 4 (1 )c c e e d c    ). Замечание 2. Определим из (3.15) деформации (2 1)ke  : (4) (2 )(3) (0) (2)33 3344 3 3 32 2 13 13 13 3 31 9 (4 1) n c ee cc cch e u u u n cc c h c h             (2 2) (2 )33 33 32 2 2 2 6613 13 4 (4 1) [( 2)(2 5) (3 7)] n n s s s s e c cc s s s c c u u cc h c h                      ; (2 2)(2 1) (2 ) (2 2) (2 ) 3 3 33 33 32 44 1 1 4 1 4 3 4 1 n kk k k s s k h k e u u e c u k kc c h                        ( 3, 4, , )k n  и внесем их значения в остальные уравнения. Тогда получим систему уравнений от- носительно функций (2 ) 3 ku , (2 )k . Предполагая, что характеристическое уравнение det 0pk pka k b  имеет 3n раз- ных неравных нулю корней 1 2 3, , , nk k k , из (3.18) аналогичным §2 способом получим 3 ( ) 1 n k k m m m u D W    , (3.19) где mW – метагармонические функции, удовлетворяющие равенствам 2 0m m mW k h W   ; ( )k mD – постоянные, значения которых определяются алгебраическими дополнениями элементов какой-либо строки определителя 3 3pk m pk n n a k b   . 99 Если принять гармоническую функцию u как действительную часть некоторой голоморфной функции ( )z , т.е. ( ) ( )u z z    , (3.20) то решение (3.17) с учетом значений функций (3.19) примет вид 3 (2) 2 (2) 66 3 2 1 ( ) ( ) n m m m с u h z z c W           ; 3 (2 1) (2 ) 66 3 1 n k k m m m с u c W    ( 2, 3, , )k n  ; 3 (0) * 2 (0) 0 1 ( ) ( ) n m m m h z z c W             ; 3 (2 ) (2 ) 1 n k k m m m c W      ( 1, 2, , )k n  ; (3.21) 3 (2 1) (2 1) 66 1 n k k m m m с he c W     ( 2, 3, , )k n  ( (0) (1) m mc D ; (2 ) (3 )k k m mc D ; (2 ) (3 1)k k m mc D  ( 1, 2, , )k n  ; (2 ) (3 2)k k m mc D  ). По имеющемуся решению (3.21) определяем 3 (1) 1 (1) 66 1 4 ( ) ( ) n m m m c e h z z h c W            , (3.22) 3 (0) (0) 66 3 1 4 ( ) ( ) n m m m c u z z c W            (3.23) (0) (0) 1 (2 1)15 66 144 n s m m m m s e c c c e c c          ; (1) (0) (2 )31 66 13 111 11 3 3 n s m m m s e c c c c c c c        . Очевидно, что 3 (0) (0) 66 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n m m m c u z z z z z z c W           , (3.24) где ( )z – произвольная голоморфная функция. Равенства (3.22) и (3.21) можно записать таким образом: 3 (1) (1) (1) 66 1 ( ) 4 ( ) ( ) 2 n z z m z z m m с u u h z z h a W                 ; 3 (2 1) (2 1) (2 1) 66 1 ( ) 2 n k k k z z m z z m m с u u h a W            ( 2,3, , )k n  , из которых определяем 3 (1) (1) 66 1 1 4 ( ) n m z m z m c u h z h a W ih Y        ; 3 (2 1) (2 1) 66 2 1 1 n k k m z m z k m c u h a W ih Y         ( 2, 3, , )k n  , (3.25) где (2 1) 1 (2 1)2k k m m ma e c   ; 2 1kY  – произвольные достаточно гладкие вещественные функ- ции. Подставляя выражения (3.21) – (3.25) в уравнение (3.3), получим (после интегри- рования по переменной z ) следующую систему уравнений: 2 44 44 1 11 1 2 12 2 1 4466 66 3 3 8 [ ( ) ( )] 2[ ( ) ( ) ( ) ( )] 3 n s s c ic c c h Y Y z z z z z z z z cc h c h                           ; 100 ( )44 2 1 2 1 2 12 166 (4 1) n k k s s s k c Y Y c h          244 22 66 (4 1) 2 [ ( ) ( )] 2[ ( ) ( ) ( ) ( )] k ic h z z z z z z z z c h                   ( 2, 3, , )k n  , где 1 1 1 1 15 11 33( )c c e e e dc    . Решение ее представим в виде суммы частного 2 1 12 [ ( ) ( )] 2 [ ( ) ( ) ( ) ( )]Y i h z z i z z z z z z                ; 2 2 3 [ ( ) ( )]Y i h z z        ; 2 1 0kY    ( 2, 3, , )k n  , (3.26) и общего 2 1k kY y  ( 1,2, , )k n  решения однородной системы, которую представим в виде 2 1 ( ) 0 n kl kl l l p h y     ( 1, 2, , )k n  . (3.27) где kl – символ Кронекера; ( ) 2 1 44 66(4 1) k kl lp k c c   ; * 44 1 11 2 1 4 11 3315 4 (5 )c c c c e e d c    ; * 44 3 11 2 1 1 2 11 3315 8 ( ( ) )c c c e e e d c    ; 4 2 1 156 5e e e e   . Из (3.27) определим (2 1) 1 n k k s s s y b     , (3.28) где s – метагармонические функции, обеспечивающие выполнение равенств 2 0s s sh     , s ( 1, 2, , )s n  – корни соответствующего характеристического уравнения; (2 1)k sb  – постоянные, определяемые алгебраическими дополнениями эле- ментов любой строки определителя kl s kl n n p     . Согласно равенств (3.26), (3.28) для перемещений (3.25) (с учетом ( ) ( )z z  ) имеем формулы 3 (1) 2 (1) (1) 66 1 1 1 2 [ ( ) ( ) ( ) ( )] n n m z m s z s m s c u h z z z h z z h a W ih b                    ; 3 (3) 3 (3) (3) 66 3 1 1 ( ) n n m z m s z s m s c u h z h a W ih b            ; (3.29) 3 (2 1) (2 1) (2 1) 66 1 1 n n k k k m z m s z s m s c u h a W ih b            ( 3, 4, , )k n  . Таким образом, значения функций (3.6), (3.21) – (3.24) и (3.29) составляют общее аналитическое решение системы уравнений (3.3) – (3.5), согласно которому определя- ется напряженное состояние электроупругих трансверсально-изотропных пластин. Заключение. Методом разложений искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра получены уравнения равновесия электроупругих трансверсально-изотропных пла- стин, поляризованных по толщине. Изложен способ построения общего аналитиче- ского решения уравнений при симметричном и кососимметричном (относительно срединной плоскости) деформировании пластин. 101 Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано метод побудови загального аналітичного розв'язку рівнянь статичної електропружності нетонких трансверсально-ізотропних пластин, граничні площини яких електродовано і до яких підведено електричні заряди. В основу покладено метод розвинення невідомих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра координати товщини. Побудовано систему диференціальних рівнянь і отримано загальний розв’язок, необхідний для визначення напруженого стану електропружних поляризованих по товщині пластин. 1. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А., Ковалев Ю.Д. Растяжение пьезокерамического слоя, ослаб- ленного сквозными туннельными полостями // Докл. РАН. – 2004. – 385, №1. – С. 61 – 63. 2. Жиров В.Е. Электроупругое равновесие пьезокерамической плиты // Прикл. математика и механи- ка. – 1977. – 41, №6. – С. 1114 – 1121. 3. Калоеров С.А., Баева А.И., Глущенко Ю.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела с полостями и плоскими трещинами // Теорет. и прикл. механика. – 2001. – Вып. 32. – С. 64 – 79. 4. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. – М.: Мир, 1986. – 159 с. 5. Хома И.Ю. О напряженном состоянии нетонкой пьезокерамической пластины с круговым отвер- стием // Теорет. и прикл. механика. – 2004. – Вып. 39. – С. 45 – 58. 6. Хома И.Ю., Прощенко Т.М. Про напружений стан трансверсально-ізотропного шару з круговою циліндричною порожниною // Доп. НАН України. – 2005. – № 10. – С. 64 – 69. 7. Хома И.Ю. Об уравнениях теории термопьезокерамических нетонких оболочек // Прикл. механика. – 2005. – 41, № 2. – С. 18 – 22. 8. Bisegna P., Caruso G. Evaluation of Higher Order Theories of Piezoelectric Plates in Bending and Stretching // Int. J. Solids and Struct. – 2001. – 38, N 48 – 49. – P. 8805 – 8830. 9. Cheng Z.Q., Lim C.W., Kitipornchai S. Three-Dimensional Asymptotic Approach to Inhomogeneous and Laminated Piezoelectric Plates // Int. J. Solids and Struct. – 2000. – 37, N 33. – P. 3153 – 3175. 10. Cicala P. A Theory of Elastic Thin Shells and Edge Effects // Bul. Inst. Politech. Iasi. – 1962. – 8, N 1 – 2. – P. 373 – 378. 11. Dökmeci M.C. On the Higher Order Theories of Piezoelectric Crystal Surfaces // J. Math. Phys. – 1974. – 15, N 12. – P. 2248 – 2252. 12. Kapuria S., Duble G.P., Dumir P.C. First-Order Shear Deformation Theory Solution for a Circular Pie- zoelectric Composite Plate under Axisymmetric Load // Smart Mater. and Struct. – 2003. – 12, N 3. – P. 417 – 423. 13. Khoma I.Yu., Strygina O.A. Influence of Elastic Properties on the Stress State of a Nonthin Transversely Isotropic Plate with a Circular Hole // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 1. – P. 67 – 79. 14. Kirichok I.F. Forced Resonant Vibrations and Self-Heating of a Flexible Plate with Piesoactuators // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 5. – P. 583 – 591. 15. Kirichok I. F. Forced Monoharmonic Vibrations and Self-Heating of Flexible Plate with Piezoactuators // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 715 – 725. 16. Lee H.J., Saravanos D.A. A Mixed Multi-Field Finite Element Formulation for Thermopiezoelectric Composite Sells // Int. J. Solids and Struct. – 2000. – 37, N 36. – P. 4944 – 4967. 17. Mindlin R. D. Equations of High Frequency Vibrations of Thermopiezoelectric Plates Under Strong Electric Fields // Int. J. Solids and Struct. – 1974. – 10, N 6. – 625 – 637. 18. Nemish Yu. N., Khoma I. Yu. Stress-Strain State of Non-Thin Plates and Shells. Generalized Theory (Survey) // Int. Appl. Mech. – 1993. – 29, N 11. – P. 873 – 902. 19. Shodja H.M., Kamali M.T. Three-Dimensional Analysis of Piezocomposite Plates with Arbitrary Ge- ometry and Boundary Conditions // Int. J. Solids and Struct. – 2003. – 40, N 18. – P. 4837 – 4858. 20. Tzou H.S., Yang R. J. Nonlinear Piezo-Thermoelastic Shell Theory Applied to Control of Variable- Geometry Shell // J. Theor. and Appl. Mech. ( Poland ) – 2000. – 38, N 3. – P. 623 – 644. 21. Vel S.S., Barta R.C. Exact Solution for the Cylindrical Bending of Laminated Plates with Embedded Piezoelectric Fields // Smart Mater. and Struct. – 2001. – 10, N 2. – P. 240 – 251. 22. Yang J.S. Equations for the Extension and Flexure of Electroelastic Plates under Strong Electric Fields // Int. J. Solids and Struct. – 1999. – 36, N 21. – P. 3171 – 3192. Поступила 27.09.2011 Утверждена в печать 03.12.2013.

Схожі ресурси