Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров
Цель работы – рассмотреть в центральном ньютоновском поле сил оптимальные компланарные траектории космических аппаратов (КА), параметры которых в определенные моменты времени движения могут изменяться скачком. В качестве метода исследования используется принцип максимума Понтрягина Л. С., распростра...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2015
|
| Назва видання: | Техническая механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100772 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров / В.Г. Комаров // Техническая механика. — 2015. — № 3. — С. 46-53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-100772 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1007722016-05-27T03:02:31Z Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров Комаров, В.Г. Цель работы – рассмотреть в центральном ньютоновском поле сил оптимальные компланарные траектории космических аппаратов (КА), параметры которых в определенные моменты времени движения могут изменяться скачком. В качестве метода исследования используется принцип максимума Понтрягина Л. С., распространенный на случаи со скачкообразным изменением параметров и координат. Определены необходимые условия оптимальности управления КА, учитывающие особенности скачкообразности. Результаты могут быть использованы при проектировании траекторий полета многоступенчатых ракет в околоземном пространстве, а также траекторий полета к Луне и планетам. Мета роботи – розглянути у центральному ньютоновому полі сил оптимальні компланарні траєкторії космічних апаратів (КА), параметри яких у визначені моменти часу руху можуть змінюватися стрибком. В якості методу дослідження використовується принцип максимуму Понтрягіна Л. С., поширений на випадки зі стрибкоподібною зміною параметрів та координат. Визначено необхідні умови оптимальності управління КА, що враховують особливості стрибкоподібності. Результати можуть бути використані при проектуванні траєкторій польоту багатоступеневих ракет в навколоземному просторі, а також траєкторій польоту до Місяця та планет. Optimal coplanar trajectories of the spacecraft with parameters undergoing sudden changes within a certain time are considered for the central-force Newton field. Values of the absolute mass-flow rate, the specific evacuated thrust and the spacecraft mass are taken as such parameters. Known needed parameters of an optimal control are determined additionally by optimal conditions considering sudden changes in parameters. 2015 Article Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров / В.Г. Комаров // Техническая механика. — 2015. — № 3. — С. 46-53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100772 629.19.50 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Цель работы – рассмотреть в центральном ньютоновском поле сил оптимальные компланарные траектории космических аппаратов (КА), параметры которых в определенные моменты времени движения могут изменяться скачком. В качестве метода исследования используется принцип максимума Понтрягина Л. С., распространенный на случаи со скачкообразным изменением параметров и координат. Определены необходимые условия оптимальности управления КА, учитывающие особенности скачкообразности. Результаты могут быть использованы при проектировании траекторий полета многоступенчатых ракет в околоземном пространстве, а также траекторий полета к Луне и планетам. |
| format |
Article |
| author |
Комаров, В.Г. |
| spellingShingle |
Комаров, В.Г. Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров Техническая механика |
| author_facet |
Комаров, В.Г. |
| author_sort |
Комаров, В.Г. |
| title |
Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров |
| title_short |
Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров |
| title_full |
Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров |
| title_fullStr |
Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров |
| title_full_unstemmed |
Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров |
| title_sort |
оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100772 |
| citation_txt |
Оптимальные траектории космических аппаратов со скачкообразным изменением параметров / В.Г. Комаров // Техническая механика. — 2015. — № 3. — С. 46-53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Техническая механика |
| work_keys_str_mv |
AT komarovvg optimalʹnyetraektoriikosmičeskihapparatovsoskačkoobraznymizmeneniemparametrov |
| first_indexed |
2025-07-07T09:20:47Z |
| last_indexed |
2025-07-07T09:20:47Z |
| _version_ |
1836979375426240512 |
| fulltext |
46
УДК 629.19.50
В. Г. КОМАРОВ
ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ
СКАЧКООБРАЗНОМ ИЗМЕНЕНИИ ЕГО ПАРАМЕТРОВ
Цель работы – рассмотреть в центральном ньютоновском поле сил оптимальные компланарные тра-
ектории космических аппаратов (КА), параметры которых в определенные моменты времени движения
могут изменяться скачком. В качестве метода исследования используется принцип максимума
Понтрягина Л. С., распространенный на случаи со скачкообразным изменением параметров и координат.
Определены необходимые условия оптимальности управления КА, учитывающие особенности скачкооб-
разности.
Результаты могут быть использованы при проектировании траекторий полета многоступенчатых ра-
кет в околоземном пространстве, а также траекторий полета к Луне и планетам.
Мета роботи – розглянути у центральному ньютоновому полі сил оптимальні компланарні траєкто-
рії космічних апаратів (КА), параметри яких у визначені моменти часу руху можуть змінюватися стриб-
ком. В якості методу дослідження використовується принцип максимуму Понтрягіна Л. С., поширений на
випадки зі стрибкоподібною зміною параметрів та координат. Визначено необхідні умови оптимальності
управління КА, що враховують особливості стрибкоподібності.
Результати можуть бути використані при проектуванні траєкторій польоту багатоступеневих ракет в
навколоземному просторі, а також траєкторій польоту до Місяця та планет.
Optimal coplanar trajectories of the spacecraft with parameters undergoing sudden changes within a certain
time are considered for the central-force Newton field.
Values of the absolute mass-flow rate, the specific evacuated thrust and the spacecraft mass are taken as
such parameters. Known needed parameters of an optimal control are determined additionally by optimal condi-
tions considering sudden changes in parameters.
Ключевые слова: космический аппарат; скачкообразность; оптималь-
ность; управление; параметр; масса; время; движение; орбита; переход;
траектория; принцип максимума.
Из исследования задач оптимизации управления движением космиче-
ским аппаратом (КА) по минимуму расхода топлива в центральном ньюто-
новском поле сил, где за управление принимаются модуль вектора тяги и его
направление [1 – 4], следует, что оптимальное значение модуля вектора тяги
определяется кусочно-постоянной функцией времени, принимающей макси-
мальные или минимальные значения тяги из допустимых. Моменты времени
перехода от максимального значения тяги к минимальному и наоборот опре-
деляются функцией переключения [2 – 4], которая является непрерывной
функцией времени. Однако скачкообразное изменение параметров, опреде-
ляющих функцию переключения, может существенно изменить ее значение в
момент скачка, и в зависимости от этого может изменяться значение модуля
вектора тяги. Поэтому возникает необходимость в исследовании оптималь-
ного управления КА при скачкообразном изменении параметров.
Актуальность рассмотрения задач оптимизации со скачкообразным из-
менением параметров следует из того, что такие задачи имеют место при
проектировании полетов многоступенчатых ракет, предназначенных для вы-
ведения КА на высокие околоземные орбиты (например, стационарные), для
полетов на Луну, на планеты солнечной системы и далее. Для таких проек-
тов, как правило, характерно разбиение траектории на участки, переход на
которые связан с необходимостью изменения двигательных характеристик и
массы КА, т. е. со скачкообразным изменением параметров.
В. Г. Комаров, 2015
Техн. механика. – 2015. – № 3.
47
Будем рассматривать движение КА между заданными компланарными
орбитами в центральном ньютоновском поле сил, траектория которого опи-
сывается системой дифференциальных уравнений следующего вида [5]:
(1)
. ,
где Vn , Vr – трансверсальная и радиальная составляющие вектора скорости; r
– модуль радиуса-вектора с началом в центре притяжения; γ – центральный
угол между начальным и текущим радиусами-векторами; m – текущая масса;
φ – угол между вектором тяги и трансверсальной составляющей вектора ско-
рости; P = g0α Pу.п. – тяга двигателя (модуль вектора тяги); g0 – ускорение
земного притяжения на поверхности Земли; α – абсолютное значение массо-
вого секундного расхода; Pу.п. – пустотная удельная тяга; µ – гравитацион-
ный параметр Земли; u – параметр управления значением модуля вектора тя-
ги, удовлетворяющий ограничению:
0 ≤ u ≤ 1. (2)
Через t0 , T обозначим начальный и соответственно конечный моменты
времени движения.
Характеристиками КА, которые в процессе движения могут изменяться
скачком в некоторые моменты времени, являются параметры α, Pу.п. и коор-
дината m. Пусть q – число моментов времени ti (i=1,…,q), в которые могут
изменяться параметры α, Pу.п., m скачком, и t0< t1...<tq<T. Имеем 3q соот-
ношений:
( )
( )
. . . . . .
( )
( 0) ( 0) ,
( 0) ( 0) ,
( 0) ( 0) ,
i
i i
i
у п i у п i у п
i
i i
t t
P t P t P
m t m t m
(3)
где ( )i ,
( )
. .
i
у пP , ( )im – заданные значения скачков параметров α,
. .у пP и m
в момент времени ti (i=1,…,q). При этом случаи равенства нулю значений
скачков одного из параметров в (3) для каких-либо из моментов ti (i=1,…,q)
будут свидетельствовать о неодновременности изменения этих параметров.
Кроме этого, значения параметров α,
. .у пP и координаты m до и после
скачков в моменты ti (i=1,…,q) совместно с этими моментами могут в об-
щем случае быть зависимыми, т. е. подчиняться соотношениям:
. .( ( 0), ( 0), ( 0), ) 0, ( , 1,..., )j i у п i i if t P t m t t i j q . (4)
2
2
cos ,
sin ,
,
,
n r
n
n
r
r
n
V VP
V u
m r
VP
V u
m r r
r V
V
r
m u
48
Значения абсолютного массового секундного расхода, пустотной удель-
ной тяги в момент времени to+0 обозначим через 0
0 . ., у пP .
Не нарушая общности, будем предполагать, что начальный момент вре-
мени t0 и соответствующие ему значения начальных условий в (1) заданы, а
конечный момент времени T и центральный угол γ(T) не зафиксированы
(свободны). Что касается конечных значений параметров движения, то они
могут быть ограниченными. Например, если конечная орбита – эллипс с экс-
центриситетом e и параметром p, то должны выполняться соотношения:
2 2 22
( ) ( ) (1 )
( )
( ) ( ) .
n r
n
V T V T e
r T p
V T r T p
, (5)
Функционал, который требуется минимизировать и который определяет
количество израсходованного топлива в промежутке времени [t0, T], пред-
ставляется в виде:
0 TJ m m , (6)
где
0 0( )m m t , ( )Tm m Т .
Ставится следующая задача оптимизации. До начала движения опреде-
лить такие значения параметров α0 и моментов времени ti (i=1,...,q), а также
такие функции ( )u t , ( )t , чтобы функционал (6) принимал наименьшее зна-
чение при переходе КА между заданными компланарными орбитами в цен-
тральном ньютоновском поле сил при движении по траектории, определяе-
мой уравнениями (1), и при условиях (2), (3), (4), (5).
Необходимые условия оптимальности для поставленной задачи оптими-
зации определим, используя результаты работы [6], в которой приведены не-
обходимые условия оптимальности, исходя из принципа максимума для
обобщенной задачи оптимизации с параметрами, меняющимися скачком в
определенные моменты времени, и работы [7], в которой рассматриваются
задачи оптимизации с координатами, изменяющимися скачком.
Функция Гамильтона
1 5( , ,..., , ,..., , )n rH H V V m t для рассматривае-
мой задачи имеет вид:
2
1 2 3 42
n r n n
r
V V V V
H u V
r r r r
, (7)
где 1 2 5cos sin
P
m
– функция переключения;
1 ,
2 ,…,
5 – сопряженные переменные, соответствующие переменным
nV ,…, m .
Из необходимых условий оптимальности следует:
1. Сопряженные переменные удовлетворяют дифференциальным урав-
нениям:
49
1 1 2 4
2 1 3
2
3 1 2 42 2 3 2
4
5 1 22
1
2 ,
,
2 ,
0 ,
cos sin .
nr
n
n r n n
VV
r r r
V
r
V V V V
r r r r
P
u
m
(8)
2. Значения функции Н и сопряженной переменной
5 ( )t терпят разры-
вы первого рода в моменты ti (i=1,...,q)
0 0
0 ,
i it t
i
F
H H
t
(9)
5 5
0 0
( 0) ( 0) 0 ,
i i
i i
t t
F F
t t
m m
(10)
где
1
q
i i
i
F f
;
i – неопределенные постоянные множители Лагранжа.
Кроме этого
( ) 0,TH (11)
так как конечный момент времени Т свободен.
3. Сопряженные переменные
1 2 3( ), ( ), ( )t t t в моменты времени
ti (i=1,...,q) непрерывны. Из концевых условий (условий трансверсальности)
следует, что значения сопряженных переменных
1 5,... в момент времени Т
удовлетворяют соотношениям:
1 1 2( ) 2 ( ) ( ) ,rT V T r T
(12)
2 1( ) 2 ( ) ,rT V T
(13)
1
3 22
( ) 2 ( ) ,
( )
nT V T
r T
(14)
(15)
(16)
где
1 ,
2 – неопределенные постоянные множители Лагранжа.
4. Если значения параметров
0
0 . ., у пP не заданы, то должны выполняться
два соотношения [6]:
4 ( ) 0 ,T
5 ( ) 1 ,T
50
, (17)
, . (18)
5. Функции оптимального изменения угла ( )t и управления ( )u t опре-
деляются из требования максимума функции Гамильтона по переменным и
u . В рассматриваемом случае имеем ([2] и [3]):
, (19)
1,если 0
( ) .
0,если 0
Ф
u t
Ф
(20)
Таким образом, особенности скачкообразного изменения параметров в
рассматриваемой задаче оптимизации добавляют к известным необходимым
условиям (8), (11) – (16), (19), (20) для систем без скачков условия (9), (10),
(17), (18).
На основании полученных необходимых условий можно сделать заклю-
чение, что определение решения рассматриваемой задачи оптимизации сво-
дится к краевой с 8+2q неизвестными постоянными, для определения кото-
рых имеется 8+2q уравнений. Действительно, с учетом (16) и равенства
4 ( ) 0t (это следует из (8) и (15)) неизвестными постоянными являются:
0 ,
0
. .у пP ,
10 1 0( )t ,
20 2 0( )t ,
30 3 0( )t ,
1,..., ,qt t T ,
1,..., q ,
1 ,
2 –
всего 8+2q. И, соответственно, 8+2q уравнений: (4), (5), (9), (11),…, (14), (17), (18).
Вводя вместо дополнительных переменных
1 ,
2 ,
3 переменные
, и b по формулам [3]
(21)
,
(b ≥ 0)
получим, что оптимальный закон изменения угла ( )t будет определяться
дифференциальным уравнением второго порядка [3]
3
cos sin 2 2 2 tg
2
n nr
V VVP
mr r r r
(22)
и
, (23)
0
1
0
( 0) ( 0)
Tq
i i i t
F F H
dt
t t
0
1 . . . . . .
0
( 0) ( 0)
Tq
i у п i у п i у пt
F F H
dt
P t P t P
2 1
2 2 2 2
1 2 1 2
sin , cos
1
2
3
sin ,
cos ,
1
cos sin
cos
n nr
b
b
V VV
b
r r r
2 tgnr
VV
b b
r r
51
. (24)
Функции Н и Ф после замены переменных представляются в виде:
, (25)
0 . . 5у п
b
Ф g P
m
. (26)
Из выражения (25) определяем:
. (27)
Подставляя (27) в (17) и (18), получим:
, (28)
, (29)
где
1
0
0 . . . .
1 10
; ; ;
i
i
t
T i i
t j j
i i у п i у п
j jt
b
dt
mb
c dt c P P
m c
.
Полученные выражения (28) и (29) определяют оптимальные значения
секундного расхода и удельной тяги на участке траектории перехода 0 ,t T ,
которые также определяют последующие значения этих параметров на
участках 1,i it t
с учетом их скачкообразного изменения на заданные значе-
ния (3). Кроме этого, соотношения (28), (29) позволяют в полученной крае-
вой задаче сократить число начальных неизвестных параметров на два, т. е.
число их становится 6+2q.
В качестве примера рассмотрим задачу оптимизации для случая одной
точки переключения тяги с максимального значения на минимальное. Это
имеет место, например, когда можно использовать тягу рулевого двигателя
вместо основного на заключительном этапе выведения полезного груза на
высокую круговую орбиту. В этом случае выведения параметр управления
u = 1, так как Ф > 0. Пусть
. .,oc ос
у пP и
. .,p р
у пP – массовый секундный рас-
ход и пустотная удельная тяга основного и рулевого двигателей соответ-
ственно,
kr – радиус конечной круговой орбиты и
1t t – момент времени
переключения тяги двигателя с основного режима на рулевой. Так как q = 1,
то из (9) будем иметь только одно соотношение:
1 10 0
0
t t
H H
. (30)
Соотношение (30) является уравнением для определения момента време-
0 . . 5 0
. .
,у п
у п
H b H b
g P g
m P m
5 2
P
b
m
0
1 0 0 . . . .
1
0 0
q
i i
i у п i у п i
F F
c
g c P t P t
0
0
. . 5 . .
1 10 0
1
0 0
Tq q
у п у п i i
i ii i t
F F
P dt P c
g c t t
2 2
2
2
sin 2 sin
cos
n r n r
V V V V
H Фu b
r r r
52
ни
1t . Координаты ( ),..., ( )r t m t и переменные
5( ), ( ), ( ), ( )t t b t t в точке
1t t являются непрерывными функциями, поэтому после некоторых преоб-
разований соотношение (30) приводится к виду:
. . . .1
0 51
1
0
oc oc p p
у п у п
oc p
P Pb
g
m
, (31)
где
1 1 51, ,b m – значения, соответствующие моменту времени
1t t .
Рассмотрим функцию:
. . . .
0 5
oc oc p p
у п у п
oc p
P Pb
Ф g
m
. (32)
Функция (32) в момент времени
1t t обращается в нуль. Так как в рас-
сматриваемой задаче оптимизации имеется только одна точка, в которой
необходимо изменить значения удельной тяги и массового секундного рас-
хода с целью обеспечения оптимального режима работы двигателя, то функ-
цию (32) можно принять в качестве функции переключения, которая по
структуре отличается от принятой (26).
Для обеспечения выхода на заданную круговую орбиту радиуса
kr r
необходимо подобрать такие значения
0 0 0 0( ), ( )t t и определить
такие
1t и Т (момент времени выхода на круговую орбиту), чтобы выполня-
лись равенства:
(33)
.
При заданном
0t значение
0b определяется через значения
0 и
0 из ра-
венства
0
0
t
H и, следовательно, до начала движения неизвестными яв-
ляются значения параметров
0 ,
0 и моментов времени
1,t T . Таким обра-
зом, задача выведения максимального полезного груза на заданную круго-
вую орбиту сводится к определению решения краевой задачи, у которой
необходимо определить четыре неизвестных параметра
0 0 1, , ,t T , удовле-
творяющих четырем уравнениям (33).
Если в рассматриваемом примере oc p , то из (33) следует, что
. . . . 0oc p
у п у пP P и точка переключения в промежутке 0 ,t T отсутствует.
Так как наименьшее значение функционала (6) будет достигаться при
наибольшем значении
. .у пP (время перехода меньше), то точка переключения
совпадает с начальным временем движения
1 0t t , в которой принимается
0 0 1
0 0 1
0 0 1
. . . .1
0 5 1
1
( , , , ) 0,
( , , , ) ,
( , , , ) ,
( )
( ) 0
( )
r
n
k
k
oc oc p p
у п у п
oc p
t T
t T
r
r t T r
P Pb t
g t
m t
53
. . . . . .max , .oc p
у п у п у пP P P
Если oc p и
. . . .
oc p
у п у пP P , то имеем известную задачу оптимизации
[2] с непрерывной функцией переключения.
Решение задачи оптимального перехода КА между круговыми орбитами,
рассмотренное в [8], было получено в предположении, что массовый секунд-
ный расход и пустотная удельная тяга двигателя оставались неизменными
при сходе КА с начальной орбиты и выходе на конечную. Однако заключи-
тельный этап выведения КА на заданную орбиту осуществляется, как прави-
ло, разгонным блоком, тяга двигателя которого может иметь секундный рас-
ход и пустотную удельную тягу, отличные от этих характеристик на исход-
ной орбите. Имеем скачкообразное изменение параметров
. ., у пP .
В этом случае перехода при скачкообразном изменении параметров и
. .у пP из необходимых условий оптимальности, полученных выше, следует, что
на отрезке времени 0 ,t T функция Н равна нулю, так как конечный момент
времени Т не зафиксирован и момент времени скачкообразного изменения па-
раметров
. ., у пP расположен на интервале времени движения КА с выключен-
ным двигателем. Этот момент времени (момент скачкообразного изменения
параметров) на интервале отрицательного значения функции переключения
необходимо подобрать таким образом, чтобы суммарная затрата топлива на
исходной и конечной орбитах была наименьшей. При этом необходимое усло-
вие равенства нулю функции Н на отрезке 0 ,t T не будет нарушаться.
Таким образом, получены дополнительные необходимые условия опти-
мальности, учитывающие скачкообразность изменения параметров
. ., у пP и
m в определенные моменты времени в промежутке 0 ,t T для задач опти-
мального по минимуму расхода топлива перехода КА между орбитами в цен-
тральном ньютоновском поле. Эти условия определяются соотношениями
(9), (10), (17), (18), приложения которых проиллюстрированы примерами.
1. Исследование оптимальных режимов движения ракет : Сборник статей. – М. : Оборонгиз, 1959. – 293 с.
2. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета / Под редакцией Дж. Лейтма-
на. – М. : Наука, 1965. – 538 с.
3. Комаров В. Г. Об одном возможном подходе к исследованию оптимальных траекторий перехода между
компланарными орбитами / В. Г. Комаров // Космические исследования на Украине. – 1982. – Вып. 16.
– С. 70 – 73.
4. Григорьев К. Г. Оптимальное выведение космического аппарата с поверхности Луны на круговую ор-
биту ее спутника / К. Г. Григорьев, М. П. Заплетин, Д. А. Силаев // Космические исследования на Укра-
ине. – 1991. – Т. 29, Вып. 5. – С. 695 – 704.
5. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли / П. Е. Эльясберг. – М. :
«Наука», 1965. – 540 с.
6. Комаров В. Г. Принцип максимума в задачах оптимального управления, характеризуемых скачкообраз-
ным изменением параметров / В. Г. Комаров // Динамика и управление движением : сборник. – Киев :
Наукова думка, 1978. – С. 14 – 17.
7. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических систем / В. А. Троицкий. – Ленинград :
«Машиностроение», 1976. – 248 с.
8. Комаров В. Г. Решение в квадратурах некоторых задач оптимального управления космическим аппара-
том / В. Г. Комаров // Техническая механика. – 2012. – № 3. – С. 98 – 111.
Получено 04.08.2014,
Днепропетровск в окончательном варианте 29.08.2015
|