Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц

Целью настоящей статьи является изучение возможных топологических отличий неструктурированных расчетных сеток (РС) с целью классификации и анализа их свойств и особенностей использования. На основании этого необходимо сделать выбор наиболее рациональной РС для решения уравнения Больцмана МПЧ. Привед...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Смелая, Т.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2015
Назва видання:	Техническая механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100793
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц / Т.Г. Смелая // Техническая механика. — 2015. — № 4. — С. 155-168. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-100793
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1007932016-05-27T03:03:42Z Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц Смелая, Т.Г. Целью настоящей статьи является изучение возможных топологических отличий неструктурированных расчетных сеток (РС) с целью классификации и анализа их свойств и особенностей использования. На основании этого необходимо сделать выбор наиболее рациональной РС для решения уравнения Больцмана МПЧ. Приведены наиболее популярные критерии, используемые для контроля качества неструктурированной РС в процессе её генерации. Сделана классификация РС по форме используемых ячеек, степени совпадения узлов соседних ячеек, типу иерархической организации и равномерности геометрических параметров. Указаны преимущества и возможные области применения рассмотренных типов сеток. Сделан анализ разных типов сеток с точки зрения их применимости к задачам моделирования течений разреженного газа МПЧ. Сделан вывод, что для этих целей явным преимуществом обладают неструктурированные РС, поскольку они позволяют в соответствии с требованиями задачи легко варьировать размер ячеек в пределах расчетной области. Метою цієї статті є вивчення можливих топологічних відмінностей неструктурованих розрахункових сіток (РС) з метою класифікації й аналізу їх властивостей і особливостей використання. На підставі цього необхідно зробити вибір найбільш раціональної РС для розв'язання рівняння Больцмана МПЧ. Наведено найбільш популярні критерії, що використовуються для контролю якості неструктурованої РС у процесі її генерації. Зроблено класифікацію РС за формою чарунок, що використовуються, ступенєм збігу вузлів сусідніх чарунок, типом ієрархічної організації й рівномірності геометричних параметрів. Зазначено переваги й можливі області застосування розглянутих типів сіток. Зроблено аналіз різних типів сіток з погляду їх застосовності до задач моделювання течій розрідженого газу МПЧ. Зроблено висновок, що для розв'язання цих задач очевидні переваги мають неструктуровані РС, оскільки вони дозволяють відповідно до вимог задачі легко варіювати розмір чарунок у межах розрахункової області. The paper objective is to study possible topological variations in unstructured computational grids for the classification and analysis of their properties and special features of use. In order to solve the Bolzman equation using the test particles method, it is necessary to select the most rational computational grid. Most popular criteria for controlling the quality of the computational unstructured grid in the process of its generation are presented. Computational grids are classified in accordance with cells used, a level of coincidence of nodes of neighboring cells, the type of hierarchic organization and uniformity of geometric parameters. The advantages and possible applications of types of grids under consideration are reported. Various types of grids for their applications to problems of the TPM simulation of rarified gas flows are analyzed. It was found that computational unstructured grids are better for these purposes since they change easy grid sizes within the limits of the computational domain. 2015 Article Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц / Т.Г. Смелая // Техническая механика. — 2015. — № 4. — С. 155-168. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100793 519.172.1:.6/519.245/533.5 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Целью настоящей статьи является изучение возможных топологических отличий неструктурированных расчетных сеток (РС) с целью классификации и анализа их свойств и особенностей использования. На основании этого необходимо сделать выбор наиболее рациональной РС для решения уравнения Больцмана МПЧ. Приведены наиболее популярные критерии, используемые для контроля качества неструктурированной РС в процессе её генерации. Сделана классификация РС по форме используемых ячеек, степени совпадения узлов соседних ячеек, типу иерархической организации и равномерности геометрических параметров. Указаны преимущества и возможные области применения рассмотренных типов сеток. Сделан анализ разных типов сеток с точки зрения их применимости к задачам моделирования течений разреженного газа МПЧ. Сделан вывод, что для этих целей явным преимуществом обладают неструктурированные РС, поскольку они позволяют в соответствии с требованиями задачи легко варьировать размер ячеек в пределах расчетной области.
format	Article
author	Смелая, Т.Г.
spellingShingle	Смелая, Т.Г. Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц Техническая механика
author_facet	Смелая, Т.Г.
author_sort	Смелая, Т.Г.
title	Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц
title_short	Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц
title_full	Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц
title_fullStr	Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц
title_full_unstemmed	Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц
title_sort	неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100793
citation_txt	Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц / Т.Г. Смелая // Техническая механика. — 2015. — № 4. — С. 155-168. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT smelaâtg nestrukturirovannyesetkiiihprimeneniepričislennommodelirovaniimetodomprobnyhčastic
first_indexed	2025-07-07T09:22:31Z
last_indexed	2025-07-07T09:22:31Z
_version_	1836979482646282240
fulltext	155 УДК 519.172.1:.6/519.245/533.5 Т. Г. СМЕЛАЯ НЕСТРУКТУРИРОВАННЫЕ СЕТКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ МЕТОДОМ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ Одним из ключевых моментов при решении задач динамики разреженного газа является дискрети- зация расчетной области. Особенно остро проблема удачного выбора типа используемой сетки стоит для статистических методов, в частности для метода пробных частиц (МПЧ), поскольку их эффективность напрямую зависит от количества проведенных испытаний, а значит от затраченных ресурсов. Целью настоящей статьи является изучение возможных топологических отличий неструктурированных расчет- ных сеток (РС) с целью классификации и анализа их свойств и особенностей использования. На основа- нии этого необходимо сделать выбор наиболее рациональной РС для решения уравнения Больцмана МПЧ. Приведены наиболее популярные критерии, используемые для контроля качества неструктурированной РС в процессе её генерации. Сделана классификация РС по форме используемых ячеек, степени совпаде- ния узлов соседних ячеек, типу иерархической организации и равномерности геометрических параметров. Указаны преимущества и возможные области применения рассмотренных типов сеток. Сделан анализ разных типов сеток с точки зрения их применимости к задачам моделирования течений разреженного газа МПЧ. Сделан вывод, что для этих целей явным преимуществом обладают неструктурированные РС, по- скольку они позволяют в соответствии с требованиями задачи легко варьировать размер ячеек в пределах расчетной области. Оптимальными среди рассмотренных РС будут иерархически организованные струк- туры с минимальным уровнем вложения, структурированные и равномерные на каждом из уровней. Крат- ность разбиения корневых ячеек может быть переменной и зависеть от параметров локального режима течения. Такие РС удачно сочетают основные преимущества структурированных и неструктурированных сеток: высокоэффективный доступ ко всем элементам сетки, возможность локального сгущения и, кроме того, векторизации алгоритма для многомерных задач. Результаты работы будут использованы при по- строении рабочих алгоритмов моделирования траекторий движения молекул МПЧ, что позволит более эффективно осуществлять экспертизу и сопровождение отдельных проектов Национальной космической программы Украины. Одним із ключових моментів при розв'язанні задач динаміки розрідженого газу є дискретизація роз- рахункової області. Особливо гостро проблема вдалого вибору типу сітки, що використовується, постає для статистичних методів, зокрема для методу пробних часток (МПЧ), оскільки їх ефективність напряму залежить від кількості проведених випробувань, а отже від витрачених ресурсів. Метою цієї статті є ви- вчення можливих топологічних відмінностей неструктурованих розрахункових сіток (РС) з метою класи- фікації й аналізу їх властивостей і особливостей використання. На підставі цього необхідно зробити вибір найбільш раціональної РС для розв'язання рівняння Больцмана МПЧ. Наведено найбільш популярні кри- терії, що використовуються для контролю якості неструктурованої РС у процесі її генерації. Зроблено класифікацію РС за формою чарунок, що використовуються, ступенєм збігу вузлів сусідніх чарунок, ти- пом ієрархічної організації й рівномірності геометричних параметрів. Зазначено переваги й можливі обла- сті застосування розглянутих типів сіток. Зроблено аналіз різних типів сіток з погляду їх застосовності до задач моделювання течій розрідженого газу МПЧ. Зроблено висновок, що для розв'язання цих задач оче- видні переваги мають неструктуровані РС, оскільки вони дозволяють відповідно до вимог задачі легко варіювати розмір чарунок у межах розрахункової області. Оптимальними серед розглянутих РС будуть ієрархічно організовані структури з мінімальним рівнем вкладення, структуровані й рівномірні на кожно- му з рівнів. Кратність розбивки кореневих чарунок може бути змінною й залежати від параметрів локаль- ного режиму течії. Такі РС вдало поєднують основні переваги структурованих і неструктурованих сіток: високоефективний доступ до всіх елементів сітки, можливість локального згущення й, крім того, вектори- зації алгоритму для багатомірних задач. Результати роботи будуть використані при побудові робочих алгоритмів моделювання траєкторій руху молекул МПЧ, що дозволить більш ефективно здійснювати експертизу й супровід окремих проектів Національної космічної програми України. Discretization of the computational domain has an important impact on the solution of problems on the rari- fied gas dynamics. An appropriate selection of the type of the grid used is the pressing problem for statistical methods, in particular for the test particles method (TPM) because their effectiveness depends directly on the amount of tests conducted, namely, expended resources. The paper objective is to study possible topological vari- ations in unstructured computational grids for the classification and analysis of their properties and special fea- tures of use. In order to solve the Bolzman equation using the test particles method, it is necessary to select the most rational computational grid. Most popular criteria for controlling the quality of the computational unstruc- tured grid in the process of its generation are presented. Computational grids are classified in accordance with cells used, a level of coincidence of nodes of neighboring cells, the type of hierarchic organization and uniformity of geometric parameters. The advantages and possible applications of types of grids under consideration are re- ported. Various types of grids for their applications to problems of the TPM simulation of rarified gas flows are analyzed. It was found that computational unstructured grids are better for these purposes since they change easy grid sizes within the limits of the computational domain. Among computational grids used hierarchically orga-  Т. Г. Смелая, 2015 Техн. механика. – 2015. – № 4. 156 nized structures with a minimal level of embedding, which are structured and uniform at each level, are optimal. The multiplicity of partitioning the root cells can be variable and dependent on parameters of local flow condi- tions. Such computational grids represent the basic advantages of structured and unstructured grids: a high- efficiency access for all of the grid elements, the possibility of local crowding, and the algorithm vectorization for multidimensional problems. Results will be used to build operational algorithms of the TPM simulation of molec- ular motion trajectories resulting in a more efficient examination and support for projects of the National Space Program of Ukraine. Ключевые слова: метод пробных частиц, неструктурированная рас- четная сетка, иерархическая организация, кратность разбиения корневых ячеек. Необходимость использования расчетных сеток нередко возникает при решении широкого круга задач. При этом в процессе численного моделиро- вания переходят от непрерывной по набору аргументов функции к равно- значной или близкой ей дискретной. Такая замена позволяет значительно об- легчить и упростить решение многих практических задач, активно используя весь спектр существующих численных методов. Процесс построения сетки фактически является дискретизацией (триан- гуляцией) некоторого пространства аргументов функции. Чаще всего в каче- стве аргументов выступают геометрические координаты, и поэтому сетки строятся в двух- или трехмерном пространстве. Поскольку сетки являются геометрической структурой, им свойственны чисто геометрические характеристики, такие как размер, форма ячеек, сте- пень равномерности сеточной структуры в целом или её отдельных парамет- ров. Геометрические особенности применяемой дискретизации могут сущес- твенно влиять на качество ожидаемых результатов, поэтому подбор опти- мальной сеточной структуры, а также метода её построения является доста- точно ответственным этапом решения задачи. При этом предпочтение долж- но отдаваться сеткам, наиболее полно учитывающим особенности решаемой задачи и максимально удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к ожидаемым результатам. По типу организационной структуры сетки можно разбить на два боль- ших класса: структурированные и не структурированные. Каждый из них имеет определенные достоинства и недостатки, а также соответствующий спектр методов построения [1]. Для структурированных (или регулярных) сеток характерно наличие упорядоченной по определенным правилам структуры и возможность выде- ления сеточных направлений. Наиболее важными геометрическими характе- ристиками таких сеток являются форма и размер ячеек. Основной особенностью неструктурированных сеток, отличающих их от регулярных, является произвольное расположение узлов в физической обла- сти и, как следствие, невозможность выделить сеточные направления или упорядочить узлы сетки, привязав её к какой-либо системе координат (в том числе криволинейной). Топология неструктурированных сеток чаще всего формируется в про- цессе построения, поэтому она может сильно изменяться в пределах дискре- тизируемой области. Однородность или равномерность построенной сетки не может возникнуть случайно. Она достигается благодаря наложению неких ограничений на определенные геометрические характеристики сеточной структуры: площадь ячейки, максимальную (минимальную) её стороны, ми- нимальный угол и т. д. 157 1 Критерии выбора расчетной сетки. Разные задачи могут предъявлять различные требования к качеству генерируемой сетки. Введение, например, критерия равномерности площади достраиваемых треугольников для фрон- тальных алгоритмов обеспечивает устойчивость процедуры триангуляции за счет уменьшения степени неравномерности новых элементов по мере сокра- щения неразбитой области. Используемые критерии нередко являются локальными и чаще всего не накладывают ограничения на все характеристики. Использование мер каче- ства является необходимым этапом как в построении, так и в перестроении расчетной сетки. Как правило, меры качества сеток основываются на геометрических свойствах ее ячеек [2]. Аппроксимационные свойства сетки можно оценивать с помощью различных альтернативных количественных критериев. При этом для работы со смешанной сеткой применяются меры качества как для тре- угольной, так и для четырехугольной ячеек. Некоторые наиболее популярные критерии приведены в таблице 1 [3 – 5]. Таблица 1 Критерий Формула Интервал возможных значений Опти- мальное значение 1 2 3 4 1. Меры линейных характеристик Аспектные соотношения Отношение длин наибольше- го и наименьшего ребер min max L L   ,1 1,00 Отношение длины наиболь- шего ребра к радиусу впи- санной окружности iR Lmax  ,1 4,90 Отношение радиуса описан- ной окружности к длине наибольшего ребра maxL Rc  , 2 1 0,61 Отношение радиуса описан- ной сферы к радиусу вписан- ной i c R R   ,1 3,00 Меры гладкости Максимальное из отношений площади ячейки S к площадям всех m соседних ячеек jS i m ie S S q 1max   ,0  20 – 30 Отношение ориентированной площади треугольника к сумме квадратов сторон 222 5,0 cba cba Cq     1,  1,0 Отношение объема тетраэдра к наибольшему из произве- дений длин тройки ребер abc V   ,122 122 Отношение 4-й степени объ- ема тетраэдра к кубу суммы квадратов площадей граней 3 3 0 2 4 )(   i iS V k  1,0 4,57·10-4 158 Продолжение таблицы 1 1 2 3 4 Отношение куба среднего арифметического длин ребер L к объему тетраэдра V L3   ,1 8,49 Отношение куба среднего гео- метрического длин ребер L ~ к объему тетраэдра V L3~   ,1 8,49 2. Меры угловых характеристик Наибольший двугранный угол   ,)31arccos( )31arccos( 1 2 3 4 Минимальный телесный угол   2,0  2 Гарантированное обеспече- ние диапазона значений уг- лов ячеек ( min , max ) по- сле операций перестроения min )( min  s , min )( max  s – – Мера скошенности: максимум отклонений от идеального угла n ячейки (60 для треуголь- ных ячеек; 90 для четырех- угольных) в большую ( max ) и меньшую ( min ) стороны       ./)( ;/)( max min max nn nn  )2,0 (треуг.);  )3,0 (четы- рехуг.) 0,25 – 0,5 3. Мера качества узлов Валентность: число ребер, сходящихся во внутреннем узле (косвенно влияет на форму и размер ячеек) n  ,1 3, 4 Величина критерия для сетки в целом определяется как максимум (ми- нимум) из критериев для каждой её ячейки. Для качественного анализа сетки наибольшую важность имеют экстре- мальное и среднее значения аппроксимационных характеристик: первое участвует в оценках качества аппроксимации, второе свидетельствует об об- щем качестве сетки. 2 Классификация по форме ячеек. Классифицировать сетки, в том чис- ле и неструктурированные, можно по различным признакам. Самый очевид- ный способ классификации – по форме (типу) используемых в дискретизации ячеек, тем более что согласно [3] аппроксимационные свойства сеток сильно зависят от этой характеристики. В двумерном случае могут использоваться выпуклые многоугольники произвольной конфигурации (рис. 1, а), например сетки, получающиеся из ячеек Дирихле или получающиеся из регулярных сеток при их геометрической локальной адаптации к сложной границе. Если организовать узлы полученных сеток, объединив их в элементарные фигу- ры – симплексы, то получим многоугольники определенной формы. Чаще всего используют треугольные (рис. 1, б) и четырехугольные (рис, 1, в) [6 – 9] симплексы. Иногда применяют смешанные (гибридные) сетки, состоящие, например, из треугольных и четырехугольных элементов (рис. 1, г). 159 В качестве пространственных симплексов используют различные формы ячеек: четырехгранники (тетраэдры), пирамиды, трехгранные призмы, шести- гранники (гексаэдры), а также ячейки с 7 и 8 внешними гранями. Для трехмер- ного случая общим будет случай применения в качестве ячеек сетки много- гранников произвольной конфигурации. Используют также РС, состоящие только из гексаэдров, тетраэдров, а также из призм. Трехмерные смешанные сетки могут состоять из тетраэдров, пирамид, призм и параллелепипедов. Наиболее распространенными в трехмерном случае являются тетраэдральные и смешанные сетки. Сетки в виде многоугольников и многогранников произвольной конфи- гурации позволяют снять ряд трудностей при построении начальной сетки, которые присущи регулярным сеткам, намного упрощая способы построения начальных сеток с заданными свойствами в областях сложной формы. Для неструктурированных сеток применимы различные методики локальной пе- рестройки сетки, изменяющие не только количество узлов, но и число сосед- них узлов. Это расширяет возможности проведения расчётов с большими сдвиговыми деформациями вещества в лагранжевых переменных. Преимуществом использования в конечно-элементных расчётах сеток с четырехугольными и шестигранными ячейками является более высокая точ- ность и меньшая чувствительность к эффектам сдвигового и объёмного «за- пирания» [10, 11]. Основные сдерживающие факторы более широкого при- а б в в) г Рис. 1 160 менения такого вида ячеек связаны со слабым развитием автоматических ал- горитмов построения таких сеток для многосвязных областей и несовершен- ством программного обеспечения для их реализации. 3 Классификация по степени совпадения узлов соседних ячеек. Клас- сифицировать неструктурированные сетки можно также и по степени совпа- дения (сопряжения) узлов соседних ячеек. Полное совпадение узлов харак- терно для конформных сеток (рис. 2, а). Этот класс сеток позволяет достаточно эффективно дискретизировать области со сложной геометрией и в случае необходимости одновременно локально измельчать её отдельные участки. На рис. 2, б продемонстрирован пример другого класса сеток, когда мо- гут совпадать не все узлы соседних ячеек. Их можно получить, дополнитель- но разбив некоторые ячейки уже построенных сеток. Данная методика дает неплохие результаты при необходимости геометрической адаптации сетки к границам расчетной области или адаптации к физическим свойствам искомо- го решения на определенной подобласти. На рис. 2, в приведен пример третьего класса сеток, характеризуемых произвольным сопряжением соседних ячеек вдоль некоторой границы. В этом случае узлы граничных ячеек могут не совпадать вовсе. Такие сетки бы- вают удобны в случае, когда вдоль такой линии проходит граница между двумя областями, имеющими разные физические свойства, что влечет за со- бой разрыв расчетного параметра, или, иначе говоря, нарушение непрерыв- ности его свойств. Сетки такого рода могут быть единственным верным ре- шением при расчетах для некоторых нестационарных физических процессов, когда отдельные подобласти подвижны относительно границы своего сопри- косновения. Также структуры такого рода могут быть достаточно эффектив- ны в случае областей со сложной геометрией, когда возникает необходи- мость разбиения расчетной области на подобласти, на границе которых топо- логия сетки будет терпеть разрыв какого-либо параметра. 4 Классификация по степени иерархической организации. Всё мно- жество сеток можно также разделять на группы по количеству вложенных уровней организации структуры. Каждый новый подуровень создается на со- ответсвующем этапе построения за счет дополнительного разбиения отдель- ных ячеек предыдущего. Если рассортировать все виды сеток по возрастанию степени вложеннос- ти их ячеек, то к первой группе можно отнести сетки с нулевым показателем Рис. 2 а б в 161 иерархического подчинения. Они имеют самую простую организацию, когда все ячейки составляют однородную структуру. Примером могут служить сет- ки, приведенные на рис. 2, а и в. Следующая группа включает сетки, имеющие только один уровень вло- жения, иначе говоря, два иерархических уровня (рис. 2, б). Такая организация имеет неоспоримые преимущества, поскольку од- новременно позволяет рассматривать раздроблен- ные корневые ячейки как отдельные блочные структуры, создаваемые в тех же границах. Это снимает какие-либо ограничения на способы дроб- ления корневых ячеек. Возможно использование любых разновидностей сеток как по структуриро- ванности, по типам используемых симплексов, так и по степени сопряженности между ячейками и по равномерности дискретизации. Для дробления мо- гут использоваться всевозможные известные шаб- лоны или задаваться новые, причем не обязательно использовать одинаковые шаблоны для дробления всех корневых ячеек расчетной области. Например, для дробления корневых ячеек из- начально конформной сетки, приведенной на рис. 2, а, используются структурированные согла- сованные равномерные сетки с переменной крат- ностью дробления. При этом новая структура глобально теряет свойство конформности, но этот недостаток компенсируется компактностью хранения геометрических и физических данных задачи, простотой и высокой скоростью постро- ения сеток такого вида, а также быстрой рабо- той алгоритмов на их основе. На рис. 3 приведены примеры шаблонов раз- биения, сохраняющих тип ячейки; на рис. 4, а – г – изменяющих тип исполь- зуемого симплекса, а на рис. 4, д, е – позволяющих перейти к смешанным сеткам. Эти шаблоны значительно проигрывают типу дискретизации, приве- денному на рис. 2, б, по простоте создания и эффек- тивности применения ориентированных на них алго- ритмов. Главным их достоинством является возмож- ность сохранения после дробления качества сетки, например конформности, выпуклости ячеек, ограни- чения максимальных и минимальных величин углов элементов сетки. Сохранение качества треугольных сеток обеспе- чивается двумя основными шаблонами: бисекцией (по большой стороне или новому узлу) и регулярным разбиением (на четыре треугольника) [12 – 15]. В от- ношении четырехугольных сеток известны разные схемы дробления. Большинство из них ориентирова- ны на структурированные сетки, когда узлы и ячейки сетки строго упорядочены, размер и форма четырех- Рис. 4 в) а б в г д е Рис. 3 а б в г д и з ж е 162 угольников близки к идеальным показателям. Среди способов дробления неструктурированной четырехугольной сет- ки, сохраняющих основные критерии качества, можно отметить наборы шаб- лонов для дробления на четыре (рис. 3, а – г) и девять ячеек (рис. 3, д – и), предложенные соответственно Гаримелла [16] и Шнейдером [17]. Главную сложность при этом представляет не собственно дробление, а сохранение при этом основных показателей качества новой сеточной структурой, в частности её конформности. Для этого дробление осуществляется фактически в два этапа: на первом осуществляется измельчение выбранных ячеек (рис. 3, а и д), а на втором – согласующее дробление приграничных ячеек при помощи вспомогательных шаблонов (рис. 3, б – г и е – и), которые призваны решать непростую задачу сохранения качества полученной сетки. Третья группа сеток, согласно выбранной классификации, содержит все многоуровневые сетки. Как правило, такие сетки имеют древовидные структу- ры, а степень детализации определяется количеством уровней вложения с при- влечением для упрощения алгоритма рекурсии. Эта особенность методики по- строения существенно ограничивает возможность разнообразить используемые для разбиения шаблоны. Для древовидной организации сеток стараются выби- рать шаблоны, имеющие структурированную организацию ячеек на каждом уровне детализации. Обычно предпочтение отдается самому примитивному способу дробления бисекции – по одному или нескольким геометрическим па- раметрам сетки. Яркимпредставителем этого класса сеток являются так назы- ваемые квадро- и октодеревья (рис. 5, а и б соответственно) [18 – 26], образующиеся при делении пополам каждой линейной характе- ристики ячейки. На рис. 5, в и г приведены примеры сочетания бисекции по линейным и угловым параметрам ячеек для двухмерного и трехмерного случаев. Для многократного дробления корневых ячеек существуют также более сложные шаблоны, позволяющие сохранять необхо- димое качество сеток (в частности, их кон- формность). На рис. 6 приведен пример че- тырехуровневой детализации в окрестности окружности на основе шаблонов Шнейдера и Гаримелла. Верхняя половина рисунка – исходная равномерная сетка, слева внизу – дробление по шабло- нам Шнейдера, справа внизу – по шаблонам Гаримелла. а б Рис. 5 в г Рис. 6 163 5 Классификация по критерию равномерности геометрических па- раметров. Еще одной достаточно важной характеристикой РС несомненно является её равномерность. Равномерность даже по одной из геометрических характеристик РС может быть неоспоримым преимуществом. В частности, она может позволить не только существенно сократить количество расчет- ных данных, но и оптимизировать численные расчеты на этой сетке. Иногда наряду с этим упрощается и ускоряется процесс построения РС. Кроме того, таким сеточным структурам присуща простота описания расчетных областей. Следует отметить, что РС могут быть равномерными не только по ли- нейным, но и по угловым характеристикам. В первом случае задается степень пространственной равномерности при дискретизации области, а во втором – качество получаемой сетки, что является необходимым условием применения многих численных методов. В то же время, использование равномерных сеток имеет некоторые огра- ничения. Во-первых, такие сетки предпочтительно применять к задачам с равномерным пространственным распределением входных данных. Во- вторых, геометрически сложные расчетные области, в т. ч. имеющие криво- линейные границы, а также содержащие локальные участки с большими гра- диентами физических параметров, проще и экономнее описывать другими сеточными моделями. Степень неравномерности параметров сетки может быть разной. На рис. 7 приведено несколько примеров неравномерных по линейному пара- метру РС: а – обычная неравномерная (нерегулярная), б и в – сетки, имеющие нерегулярность первого и второго порядка соответственно. Для равномерных сеток варьирование выбранного параметра или крите- рия на его основе может осуществляться на некотором промежутке. Если промежуток достаточно мал (например, соизмерим с точностью определения параметра), то контролируемый параметр можно считать постоянной вели- чиной, а сетку – глобально равномерной (рис. 8, а). Если параметр изменяет- ся дискретно (скачкообразно), сетка – локально равномерная (рис. 8, б). Па- а б в Рис. 7 б а д в Рис. 8 г 164 раметр может также изменяться непрерывно в соответствии с некоторой за- кономерностью. Такой пример, когда размер треугольников задается с по- мощью скалярной функции, отображен на рис. 8, в [27]. В этом случае долж- но существовать отображение, при котором образ исходной сетки будет рав- номерным по заданному параметру. Одним из частных случаев такого подхода являются анизотропные РС (рисунок 8, г). Они широко применяются для проведения расчетов в средах, обладающих анизотропными свойствами. Например, анизотропия сплошной среды описывается тензорными величинами, которые в общем случае зависят от геометрических координат. Непрерывно изменяемый параметр можно получить и без использования функции контроля в процессе построения. Например, можно монотонно по- вышать качество некоторой первоначальной сетки посредством последова- тельных локальных модификаций. Таким образом строят так называемые - квазиравномерные сетки (рис. 8, д) [28]. Различные виды краевых условий также могут существенно влиять на равномерность дискретизации. РС, изображенные на рис. 9, а и б [27], по- строены при автоматическом выборе шага триангуляции. Для обоих рисун- ков параметр, задающий скорость увеличения критерия, совпадает и равен 1,25, а вот шаг граничной дискретизации для первого рисунка равен констан- те, а для второго – плавно меняется. На рис. 9, в приведен другой, не менее яркий пример большого влияния граничных условий – так называемая квази- равномерная сетка [29]. Точное условие в этом случае ставится на бесконеч- ной границе и определяет вид функции, задающей сеточное разбиение. По- лученная РС сильно неравномерна, поскольку покрывает конечным числом узлов бесконечную область. При этом на небольшом участке расчетной обла- сти локально присутствует равномерная сетка. 6 Выбор оптимальной расчетной сетки для численного моделирова- ния течений разреженного газа методом пробных частиц. Численные ме- тодики для расчёта двумерных течений жидких и газообразных сред в основ- ном используют регулярные четырёхугольные сетки, а для трёхмерных тече- ний – регулярные шестигранные сетки. Более широкое использование регу- лярных сеток связано с достаточно высокой экономичностью и простотой алгоритмов счёта. Одними из наиболее востребованных в динамике разреженных газов яв- ляются методы статистического моделирования. При их реализации время и точность расчетов неразрывно связаны с количеством проведенных испыта- ний, следовательно, достижение высокой точности результатов требует уве- личения временных затрат. Это обстоятельство оказывает решающее влияние при выборе наилучшего типа дискретизации расчетной области. Исходя из а б в Рис. 9 165 этого, предпочтение отдаётся равномерным и регулярным структурам. Сетки, имеющие постоянный шаг хотя бы по одному из аргументов, обладают таким важным преимуществом, как возможность быстрого определения границ ячеек по этому направлению с помощью использования интерполяционных формул и позволяют отказаться от хранения лишних данных на физических носителях. Наряду с экономией машинного времени вторым важным требованием является возможность регулировать степень измельчения ячеек в областях с большими градиентами расчетных параметров. Структурированные равно- мерные прямоугольные РС не позволяют использовать в расчетной области ячейки разного размера, и поэтому уменьшение размера хотя бы одной ячей- ки неизбежно приводит к уменьшению размера всех остальных. При реше- нии некоторых задач это приводит к острому дефициту машинной памяти и влияет на качество результатов. Таким образом, проблема поиска более эф- фективной РС, позволяющей локально измельчать ячейки, стоит достаточно остро. Переход от расчетов на равномерных регулярных РС к легко адапти- руемым, мобильным по структуре сеткам является одним из приоритетных путей повышения производительности статистических методов и открывает перспективу дальнейшего совершенствования метода пробных частиц (МПЧ). Сравним отличающиеся способом организации, а также доступом к своим элементам типы РС с точки зрения применимости для МПЧ [1]: одноуровневые – равномерные прямоугольные и криволинейные структурированные; неструк- турированные [30] (см. рис. 1, 2, 7 – 9), а также их разновидность – иерархиче- ские РС (см. рис. 5, 6), в т. ч. организованные с помощью блоков (см. рис. 2, б). Благодаря специфике организации ячеек и возможности ввода системы индексов, соответствующих сеточным направлениям, регулярные сетки поз- воляют минимизировать время нахождения адреса соседней ячейки в задан- ном направлении. Кроме того, такие сетки дают возможность использовать любые одномерные алгоритмы вдоль каждой из координатных осей незави- симо друг от друга, то есть в случае необходимости допускают распаралле- ливание по сеточным направлениям. Регулярные РС строятся преимущественно при помощи шаблонов с по- следующим применением при необходимости методов отображения [31, 32]. Сгенерированные при помощи шаблонов сетки являются равномерными, по- скольку состоят из одинаковых ячеек. Их локальное измельчение невозмож- но. Применение методов отображения приводит в общем случае к криволи- нейным РС, позволяющим одновременно решить сразу две основные про- блемы: хорошую адаптацию сетки к внешней и внутренней границам обла- сти, а также её локальное сгущение. В то же время, криволинейные сетки значительно усложняют алгоритм вычисления параметров траектории ча- стиц, а также увеличивают временные затраты и погрешности счета при пре- образованиях систем координат, что может свести к нулю (или даже к обрат- ному результату) экономию машинных ресурсов, достигаемую благодаря структурированности. Кроме того, возможно также искажение сеток и воз- никновение особенностей, вплоть до появления вырожденных ячеек при отображении. Главным преимуществом неструктурированных сеток в нашем случае является гибкость их структуры, высокая степень адаптивности и благодаря 166 этому возможность существенного сокращения общего числа расчетных яче- ек, в также хорошей аппроксимации границы области любой степени слож- ности. Однако особенности организации геометрической информации о каж- дой ячейке замедляют доступ к ней и приводят к существенному усложне- нию и торможению работы алгоритма [33]. Отдельная разновидность нерегулярных РС – структуры с иерархической организацией (см. рис. 5, 6), в том числе состоящие частично или полностью из блоков [34]. Такие сетки позволяют использовать существенные для дан- ной задачи достоинства регулярной организации, не сохраняя структуриро- ванность на глобальном уровне. Выбрав для каждого из уровней организации РС регулярные структуры, можно одновременно получать ячейки разного размера в пределах расчетной области и сохранять при этом высокоэффек- тивный доступ к данным, а также их быструю обработку [1]. Такой подход позволяет дополнительно сократить расчетное время, используя наиболее эффективные с точки зрения вычислений РС (например, построенные по прямоугольным шаблонам). Иерархические РС по сравнению с регулярными имеют определенный недостаток – многоуровневая организация РС вынуждает усложнять и тем самым замедлять расчетный алгоритм. Максимально снизить влияние этого фактора удается для иерархических структур с минимальным числом вложе- ний. Размеры расчетных ячеек для таких РС регулируют кратностью разбиения корневых (см. рис. 2, б). Необходимость сохранения регулярной организации на всех уровнях РС ставит перед нами ту же задачу адаптации РС к внешним и внутренним гра- ницам расчетной области, что и для регулярных равномерных сеток. Решает- ся она погружением внутренних или внешних преград, рассматриваемых в задаче, в расчетную область. При этом структура сетки полностью сохраня- ется, а часть ячеек становятся нерабочими, поскольку попадают за границы преграды. Обеспечить отражение движущихся частиц газа от поверхности преграды можно, введя условие её непроницаемости [1]. Такой подход предоставляет полную свободу при выборе формы и раз- мера расчетной области. Форма должна обеспечивать максимальные удоб- ство при расчетах и упрощение построения сетки, а размер должен быть до- статочен для того, чтобы полностью включить преграду и зоны возмущения расчетных параметров задачи. С помощью подходящего шаблона сначала строится начальная регулярная сетка, степень последующего разбиения базо- вых ячеек которой определяется в соответствии с местными длинами свобод- ного пробега. Таким образом, анализ основных преимуществ и недостатков рассмот- ренных основных типов РС позволяет сделать вывод, что для решения задач газовой динамики статистическим МПЧ наиболее перспективным как с точки зрения простоты алгоритма, так и по затратам машинных ресурсов является использование сеток, сочетающих высокоэффективный доступ к рабочим ячейкам структурированных РС с гибкостью и адаптивностью неструктури- рованных. Соединить наиболее ценные для МПЧ свойства дискретизации расчетной области могут иерархические сетки, использующие на каждом из уровней регулярные равномерные структуры, поскольку одновременно гло- бально такие сетки всё равно остаются нерегулярными. При этом количество уровней организации РС желательно максимально сократить. 167 1. Смелая Т. Г. Выбор расчетной сетки при моделировании течений разреженного газа методом пробных частиц / Т. Г. Смелая // Техническая механика. – 2013. – № 1. – С. 45 – 60. 2. Knupp P. Algebraimesh quality metris / P. Knupp // SIAM J. Si. Comput. – 2001. – Vol. 23, N 1. – P. 193 – 218. 3. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов / В. В. Шайдуров. – М. : Наука, 1989. – 288 с. 4. Parthasarathy V. N. Comparison of Tetrahedron Quality Measures / V. N. Parthasarathy, C. M.Graichen, A. F. Hathaway // Finite Elements in Analysis and Design. – Elsevier, 1993. – N. 15. – P. 255 – 261. 5. Lopez E. Simultaneous untangling and smoothing of moving and fixed grids / E. Lopez, N. Nigro, M. Storti // Int. J. Numer : Meth. Engrg. – 2000. – N 10. – P. 1 – 6. 6. Thopmson J. F. Boundary-fitted coordinate systems for numerical solution of partial differential equations – a review / J. F. Thopmson, Z. U. A. Warsi, C. W. Mastin // J. Comput. Phys. – 1982. – Vol. 47. – P. 1 – 108. 7. Jones M. E. Electromagnetic PIC codes with body-fitted coordinates / M. E. Jones // Proc. 12th Int. Conf. on the Numerical Simulation of Plasmas. – 1984. – P. 27 – 28. 8. Westermann T. Numerical modelling of the stationary Maxwell–Lorentz system in technical devices / T. Westermann // International Journal of Numerical Modelling : Electronic Network, Devices and Fields. – 1994. – Vol. 7. – P. 43 – 67. 9. Halter E. A concept for numerical solution of the Maxwell–Vlasov system / E. Halter, M. Krauss, C.-D. Munz // Forschungszentrum karlsruhe - umwelt und technik umwelt und technik. – 1995. – 87 p. 10. Prathap G. Finite elements as computation / G. Prathap. – Bangalore : CMMMACS, 2001. – 116 p. 11. Олейников А. И. Влияние типа конечно-элементного представления при моделировании формообразо- вания панелей из упругопластического материала / А. И. Олейников, С. Н. Коробейников, К. С. Бормотин // Вычисл. мех. сплош. сред. – 2008. – Т. 1, № 2. – С. 63 – 73. 12. Kopysov S. P. Domain decomposition for parallel adaptive unite element algorithm / S. P. Kopysov, A. K. Novikov // Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki. – 2010. – N 3. – P. 141 – 154. 13. Kopysov S. P. Parallel algorithms of adaptive refinement and partitioning of unstructured grids / S. P. Kopysov, A. K. Novikov // Matematiheskoe Modelirovanie. – 2002. – Vol. 14, N. 9. – P. 91 – 96. 14. Копысов С. П. Анализ способов перестроения треугольных конечно-элементных сеток / С. П. Копысов, А. К. Новиков // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. – Казань : Изд-во Казан. мат. об-ва, 2003. – Т. 20. – С. 170 – 180. 15. Караваев А. С. Перестроение неструктурированных четырехугольных и смешанных сеток / А. С. Кара- ваев, С. П. Копысов // Вестник Удмурдского университета. Математика, механика, компьютерные науки. – 2013. – Вып. 4. – С. 62 – 78. 16. Garimella R. Conformal refinement of unstructured quadrilateral meshes / R. Garimella // 18th International Meshing Roundtable. – Springer-Verlag, 2009. – P. 31 – 44. 17. Shneiders R. Rening quadrilateral and hexahedral element meshes / R. Shneiders // 5th International Confer- ence on Grid Generation in Computational Field Simulations. – 1996. – P. 679 – 688. 18. Benek J. A. Extended chimera grid embedding scheme with application to viscous – flows / J. A. Benek, T. L. Donegan // Computational Fluid Dynamics : 8th AIAA Conference : materials (9-11 June, 1987, Honolu- lu). – New York : AIAA, 1987. – P. 272 – 282. 19. Samet H. Implementing Ray Tracing with Octrees and Neighbor Finding / H. Samet // Computer and Graphics. – 1989. – Vol. 13, N 4. – P. 445 – 460. 20. Samet H. The Quadtree and Related Hierarhical Data Structures / H. Samet // ACM Comput. Surveys. – 1984. – Vol. 16, N 2. – P. 187 – 260. 21. Samet H. Computing Geometric Properties of Images Represented by Linear Quadtrees / H. Samet, M. Tamminen // IEEE Transaction on Patter Analysis and Machine Intelligenc. – 1985. – Vol. 7, N 2. – P. 229 – 240. 22. Samet H. Neighbor Finding Techniques for Images Represented Quadtrees / H. Samet // Computer Graphics and Image processing. – 1982. – Vol. 17, N 1. – P. 37 – 57. 23. Burroughs P. A. Principles of Geographical Information Systems for Land Resources Assessment / P. A. Burroughs. – Oxford : Clarendon Press, 1994. – 193 p. 24. Samet H. The Design and Analysis of Spatial Data Structures / H. Samet. – 1990. – 499 p. 25. Математика – Октодерево. – 2011. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа к документу : http://49l.ru/a/oktoderevo. 26. Carlbom I. A Hierarchical Data Structure for Representing the Spatial Decomposition of 3D Objects / I. Carlbom, I. Chakravarty and D. Vanderschel // Frontiers in Computer Graphics. – New York : Springer- Verlag, 1985. – P. 2 – 12. 27. Данилов А. А. Технология построения неструктурированных сеток и монотонная дискретизация урав- нения диффузии : дис. … канд. физ.-мат. наук : 05.13.18. / Данилов Александр Анатольевич. – М., 2002. – 215 с. 28. Автоматизированные технологии построения неструктурированных расчетных сеток / Ю. В. Василевс- кий, А. А. Данилов, К. Н. Липников, В. Н. Чугунов. – М : Физматлит, 2013. – 133 с. 29. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А Повещенко, В. Ф. Тишкин , А. П. Фаворский. – Минск, 1996. – 276 с. 30. Печерица Л. Л. Построение оптимальных алгоритмов реализации метода пробных частиц в динамике разреженных газов / Л. Л. Печерица, Т. Г. Смелая, Н. В. Петрушенко // Современные проблемы динами- http://loi.sscc.ru/gis/QuadTree/QuadTree.html#references http://loi.sscc.ru/gis/QuadTree/QuadTree.html#references http://loi.sscc.ru/gis/QuadTree/QuadTree.html#references 168 ки разреженных газов : IV-ая Всероссийская конференция : материалы (26 – 29 июля 2013 г.). – Новоси- бирск, 2013. – С. 164 – 166. 31. Галанин М. П. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространст- венных областей : прямые методы / М. П. Галанин, И. А. Щеглов. – М., 2006. – 32 с. (Препринт / ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, № 10) 32. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей : в 2 т. / К. Флетчер. – М. : «Мир», 1991. – 1056 с. 33. Галанин М. П. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных простран- ственных областей : итерационные методы / М. П. Галанин, И. А. Щеглов. – М., 2006. – 32 с. (Препринт / ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, № 9) 34. Rubbert P. Patched coordinate systems / P. E. Rubbert, K. D. Lee // Numerical Grid Generation / ed. by J.F. Thompson. – 1982. – P. 235 – 252. Институт технической механики Национальной Получено 19.10.2015, академии наук Украины и Государственного в окончательном варианте 28.10.2015 космического агентства Украины, Днепропетровск

Неструктурированные сетки и их применение при численном моделировании методом пробных частиц

Репозитарії

Схожі ресурси