Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова
Изложена методика оценки устойчивости линейной динамической системы по результатам анализа характеристического полинома в частотной области. Сформулирован аналитический критерий устойчивости. Приведены результаты имитационного моделирования....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Электронное моделирование |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100835 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова / В.П. Долгин // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 2. — С. 15-23. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-100835 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1008352016-05-28T03:01:54Z Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова Долгин, В.П. Математические методы и модели Изложена методика оценки устойчивости линейной динамической системы по результатам анализа характеристического полинома в частотной области. Сформулирован аналитический критерий устойчивости. Приведены результаты имитационного моделирования. Викладено методику оцінки стійкості лінійної динамічної системи за наслідками аналізу характеристичного полінома в частотній області. Сформульовано аналітичний критерій стійкості. Наведено результати імітаційного моделювання. The method of stability estimation for the linear dynamic system from results of analysis of the characteristic polynomial in the frequency region has been expounded. The analytical stability criterion has been formulated. The results of simulation design are presented. 2013 Article Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова / В.П. Долгин // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 2. — С. 15-23. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100835 519.25 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математические методы и модели Математические методы и модели |
| spellingShingle |
Математические методы и модели Математические методы и модели Долгин, В.П. Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова Электронное моделирование |
| description |
Изложена методика оценки устойчивости линейной динамической системы по результатам анализа характеристического полинома в частотной области. Сформулирован аналитический критерий устойчивости. Приведены результаты имитационного моделирования. |
| format |
Article |
| author |
Долгин, В.П. |
| author_facet |
Долгин, В.П. |
| author_sort |
Долгин, В.П. |
| title |
Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова |
| title_short |
Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова |
| title_full |
Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова |
| title_fullStr |
Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова |
| title_full_unstemmed |
Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова |
| title_sort |
методика оценки устойчивости динамической системы по критерию михайлова |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100835 |
| citation_txt |
Методика оценки устойчивости динамической системы по критерию Михайлова / В.П. Долгин // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 2. — С. 15-23. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT dolginvp metodikaocenkiustojčivostidinamičeskojsistemypokriteriûmihajlova |
| first_indexed |
2025-07-07T09:24:06Z |
| last_indexed |
2025-07-07T09:24:06Z |
| _version_ |
1836979581704208384 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.25
Â.Ï. Äîëãèí, êàíä. òåõí. íàóê
Ñåâàñòîïîëüñêèé íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 99053, Ñåâàñòîïîëü, óë. Óíèâåðñèòåòñêàÿ, 33,
òåë. (0692) 543570, e–mail: autosev@ukr.net)
Ìåòîäèêà îöåíêè óñòîé÷èâîñòè
äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïî êðèòåðèþ Ìèõàéëîâà
Èçëîæåíà ìåòîäèêà îöåíêè óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïî ðåçóëü-
òàòàì àíàëèçà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà â ÷àñòîòíîé îáëàñòè. Ñôîðìóëèðîâàí àíàëè-
òè÷åñêèé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
Âèêëàäåíî ìåòîäèêó îö³íêè ñò³éêîñò³ ë³í³éíî¿ äèíàì³÷íî¿ ñèñòåìè çà íàñë³äêàìè àíàë³çó
õàðàêòåðèñòè÷íîãî ïîë³íîìà â ÷àñòîòí³é îáëàñò³. Ñôîðìóëüîâàíî àíàë³òè÷íèé êðèòåð³é
ñò³éêîñò³. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ³ì³òàö³éíîãî ìîäåëþâàííÿ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: êðèòåðèé, ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ, óñòîé÷èâîñòü, ïîëèíîì, âåêòîð.
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè, ïðîåêòèðîâàíèè è àíàëèçå ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåì øèðîêî èñïîëüçóþò ÷àñòîòíûå êðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè [1, 2], èç
êîòîðûõ íàèáîëåå ïðîñòûì ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèé Ìèõàéëîâà, îñíîâàííûé íà
àíàëèçå ãîäîãðàôà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåìîãî â ðå-
çóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ îïåðàòîðíîé äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ïåðåäàòî÷-
íîé ôóíêöèè èññëåäóåìîé ñèñòåìû, è ñâåäåíèè åãî ê ïîëèíîìèàëüíîé
ôîðìå. Îäíàêî âñëåäñòâèå ìàëîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè òàêîé ãîäî-
ãðàô ðåäêî ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
âûñîêîãî ïîðÿäêà. Ñ âîçðàñòàíèåì ÷àñòîòû íà÷àëüíàÿ ÷àñòü ãîäîãðàôà ïðè
ïîðÿäêå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà n � 5 ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåðàç-
ëè÷èìîé è òðåáóåòñÿ ïðîâîäèòü äîïîëíèòåëüíûé àíàëèç ãîäîãðàôà. Îäíàêî
êðèòåðèé Ìèõàéëîâà íå ïîçâîëÿåò àíàëèòè÷åñêè îöåíèòü óñòîé÷èâîñòü.
Àíàëèç ïðîáëåìû. Îïåðàòîðíóþ äðîáíî-ðàöèîíàëüíóþ ïåðåäàòî÷-
íóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû ìîæíî ñâåñòè ê âèäó
W p
k b p
a p
i
i
i
m
j
j
j
n
( ) � �
�
�
�
0
0
, (1)
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 15
� Â.Ï. Äîëãèí, 2013
ãäå m — ïîðÿäîê ÷èñëèòåëÿ; n — ïîðÿäîê çíàìåíàòåëÿ; bi , a j — êîýô-
ôèöèåíòû; k — êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è (óñèëåíèÿ); p — îïåðàòîð Ëàïëàñà.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñ÷èòàåòñÿ ïîëèíîì
Q p a pj
j
j
n
( ) �
�
�
0
,
(2)
ÿâëÿþùèéñÿ çíàìåíàòåëåì ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (1), êîòîðûé â ñòàí-
äàðòíîé îïåðàòîðíîé ôîðìå èìååò âèä
Q p a p a p a p an n
n n( ) ...� � � � ��
�0 1
1
1 .
Ðàçëîæèâ ýòîò ïîëèíîì íà ìíîæèòåëè, Q p a p p p p( ) ( )( ) ...� � �0 1 2 ( )p pn� ,
ãäå p p pn1 2, ,..., — êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû Q p( ) �0,
çàïèøåì
a p a p a p an n
n n0 1
1
1 0� � � � ��
�... . (3)
Çàäà÷à ñîñòîèò â ïðîâåðêå óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ âñå êîðíè õàðàê-
òåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (3) ëåæàò ñëåâà îò ìíèìîé îñè êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè. Âûðàæåíèå äëÿ ïîëèíîìà Q p( ) îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì ïðè
ëþáûõ çíà÷åíèÿõ òåêóùåé êîîðäèíàòû p è, â ÷àñòíîñòè, ïðè p j� � :
Q j a j p j p j pn( ) ( )( ) ...( )� � � �� � � �0 1 2 .
Êàæäûé èç ñîìíîæèòåëåé q j j pi i( ) ( )� �� � , i n� [ , ]1 , ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ýëåìåíòàðíûé âåêòîð, âûõîäÿùèé èç íà÷àëà êîîðäèíàò.
 ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå âûðàæåíèå ýëåìåíòàðíîãî âåêòîðà q ji ( )� ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå q j q ei i
j i( ) ( ) ( )� � �� , ãäå qi ( )� — ìîäóëü i-ãî ýëåìåí-
òàðíîãî âåêòîðà q pi i( )� �� �2 2; �i ( ) — åãî ôàçà, � �i ip( ) ( / )� �arctg .
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Q j( )� ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòàðíûõ âåê-
òîðîâ q ji ( )� , òî è ñàìà ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì:
Q j q j q j q jn( ) ( ) ( ) ... ( )� � � �� 1 2 ,
èëè, â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå, —
Q j Q e j( ) ( ) ( )� � �� ,
ãäå Q ( )� — àìïëèòóäà Q q q qn( ) ( ), ( ) ... ( )� � � �� 1 2 ; �( ) — ôàçà âåêòîðà
Q j( )� , � � �( ) ( ) ( ) ...� � �1 2 � �n ( ) .
Ïðè èçìåíåíèè � îò �
äî �
ôàçà ëþáîãî i-ãî ýëåìåíòàðíîãî âåêòî-
ðà èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíó � �i i i� �
�
�( ) ( ) , òàê êàê
�
i
ip
( )�
� �
�
�
�
�
�
� �arctg
2
,
�
i
ip
( )
� �
�
�
�
�
� � �arctg
2
.
Â.Ï. Äîëãèí
16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 2
Ñëåäîâàòåëüíî, ôàçà êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî âåêòîðà, îòîáðàæàþùåãî
îäèí êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ëåæàùèé ñëåâà îò ìíèìîé
îñè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, èçìåíèòñÿ ðîâíî íà óãîë +� ïðè èçìåíåíèè
çíà÷åíèÿ � îò –
äî +
. Ôàçà êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî âåêòîðà, îòîáðà-
æàþùåãî îäèí êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ëåæàùåãî ñïðàâà
îò ìíèìîé îñè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, èçìåíèòñÿ ðîâíî íà óãîë –� ïðè
èçìåíåíèè � îò –
äî +
.
Åñëè âñå n êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû íàõîäÿòñÿ
â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâîé ñèñòåìå, òî ôàçà
âåêòîðà Q j( )� ïðè èçìåíåíèè � îò –
äî +
èçìåíèòñÿ íà n�, ò.å. âåêòîð
Q j( )� ïîâåðíåòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà óãîë n�. Åñëè õîòÿ áû îäèí
êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû îêàæåòñÿ â ïðàâîé ïîëó-
ïëîñêîñòè, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò íåóñòîé÷èâîé ñèñòåìå, òî âåêòîð Q j( )� ïî-
âåðíåòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà óãîë, ìåíüøèé, ÷åì n�� ïðè èçìåíå-
íèè � îò –
äî +
. Åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ðàñïî-
ëîæåíû â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé âåêòîð Q j( )� ïðè
èçìåíåíèè � îò íóëÿ äî +
ïîâåðíåòñÿ íà óãîë n (� / 2).
Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ óñòîé÷èâà, åñëè
ãîäîãðàô õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî âåêòîðà Q j( )� ïðè èçìåíåíèè � îò íóëÿ äî
+
ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîéäåò n êâàäðàíòîâ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, íà÷è-
íàÿ îò ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé îñè, ãäå n — ïîðÿäîê õàðàêòåðèñ-
òè÷åñêîãî ïîëèíîìà ñèñòåìû.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ñîñòàâëÿþùèå õàðàê-
òåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà (2) ìîæíî ïîëó÷èòü â âèäå
Re ( ) cos� �
��
�
�
� �
�
�
�
� a
i
j
i
i
n
20
è Im ( ) sin� �
��
�
�
� �
�
�
�
� a
i
j
i
i
n
20
,
ïîëîæèâ p j� � . Àìïëèòóäà âåêòîðà Q ( ) Re ( ) Im ( )� � �� �2 2 èçìåíÿåòñÿ ñ
èçìåíåíèåì çíà÷åíèÿ � îò Q a( )0 0� (Re ( )0 0� a èIm ( )0 0� ) äî ïðåäåëüíîãî
çíà÷åíèÿ Q am n m
n( ) /� �� 2, ò.å. áîëåå ÷åì â a an m
n� / /2
0 ðàç, ãäå �m — ìàêñè-
ìàëüíàÿ ÷àñòîòà äèàïàçîíà. Ïîýòîìó ïðè çíà÷åíèÿõ ñòåïåíè õàðàêòåðèñ-
òè÷åñêîãî ïîëèíîìà n � 5 íà÷àëüíûé ó÷àñòîê ãîäîãðàôà òðóäíî ðàçëè÷èì,
÷òî îñëîæíÿåò àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû.  ýòîé ñâÿçè àêòóàëüíûì
ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ âîçìîæíîñòåé ïðîöåäóðû îöåíêè
óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.
Ðåøåíèå çàäà÷è. Ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñ-
êîé ñèñòåìû öåëåñîîáðàçíî èçîáðàçèòü òðàññó ãîäîãðàôà, ôèêñèðóÿ êâàäðàí-
òû, ÷åðåç êîòîðûå îí ïðîõîäèò â äèàïàçîíå èññëåäóåìûõ ÷àñòîò � �� [ ... ]0 m .
Ìåòîäèêà îöåíêè óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïî êðèòåðèþ Ìèõàéëîâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 17
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü çíàêè âåùåñòâåííîé signum (Re ( ))� è ìíè-
ìîé signum (Im ( ))� ñîñòàâëÿþùèõ â ñåðåäèíå èíòåðâàëîâ, íà êîòîðûå
ôóíêöèè Re ( )� è Im ( )� ðàçáèâàþò îñü ÷àñòîò �, ãäå signum ( ) /| |x x x� ,
signum ( )0 0� .
Íàéäÿ êîðíè ôóíêöèé Re ( )� èIm ( )� , ïîëó÷èì ìíîæåñòâî òî÷åê íà îñè
÷àñòîò �, îáðàçóþùèõ òðåáóåìûå èíòåðâàëû. Ñóììà ÷èñåë äåéñòâèòåëü-
íûõ êîðíåé îáåèõ ôóíêöèé óñòîé÷èâîé ñèñòåìû äîëæíà áûòü ðàâíà ïî-
ðÿäêó õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà. Ðàçìåñòèâ òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè
[signum (Re ( ))� , signum (Im ( ))]� íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ïîëó÷èì òðàñ-
ñó ãîäîãðàôà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà. Åñëè ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ
êâàäðàíòîâ, ÷åðåç êîòîðûå ïðîõîäèò ãîäîãðàô, íå íàðóøàåòñÿ, òî ñèñòåìà
óñòîé÷èâà.
Àëãîðèòì ðåàëèçàöèè. Ðàññìîòðèì ïðèìåð îöåíêè óñòîé÷èâîñòè
ñèñòåìû ñ îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
W p
k T p
T p
r
m
m
r
n
( )
( )
( )
�
�
�
1
1
,
îõâà÷åííîé çâåíîì îáðàòíîé ñâÿçè ñ îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
W p
T p
s
s
s
( )
( )
�
�
1
1
.
Îïåðàòîðíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû ñ îòðèöàòåëü-
íîé îáðàòíîé ñâÿçüþ W p W p W p W pz r r s( ) ( ) / ( ( ) ( ))� �1 ïîñëå ïðåîáðàçîâà-
íèé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
W p
k T p T
T p T p k T p
z
m
m
s
s
r
n
s
s
m
m
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
�
� �
� � � �
1 1
1 1 1
. (4)
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïîëèíîìîì èññëåäóåìîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ çíàìå-
íàòåëü ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (4):
Q p T p T p k T pr
n
s
s
m
m( ) ( ) ( ) ( )� � � � �1 1 1 .
Ïåðåéäåì ê àíàëèçó àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïî-
ëèíîìà Q j jJ( ) Re ( ) ( )� � �� � , ãäå R Q j( ) Re ( ( ))� �� è J Q j( ) Im ( ( ))� �� —
âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòîòíûå ñîñòàâëÿþùèå, è ïîëó÷èì àíàëèòè-
÷åñêèå âûðàæåíèÿ ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ. Çàòåì âû÷èñëèì êîðíè � � �1 2, ,..., q
óðàâíåíèé R ( )� �0 è J ( )� �0, ãäå q — îáùåå ÷èñëî êîðíåé ÷àñòîòíûõ
ñîñòàâëÿþùèõ R ( )� è J ( )� õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà.
Íà ðèñ. 1 èçîáðàæåí íà÷àëüíûé ó÷àñòîê õàðàêòåðèñòèê ÷àñòîòíûõ ñîñ-
òàâëÿþùèõ R ( )� è J ( )� ñ íàíåñåííûìè çíà÷åíèÿìè ÷àñòîò � � �1 2, ,..., q . Ïî
Â.Ï. Äîëãèí
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 2
íàéäåííûì ÷àñòîòíûì ñîñòàâëÿþùèì R ( )� è J ( )� äëÿ ñðàâíåíèÿ ïîñòðîåí
ãîäîãðàô õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà (ãîäîãðàô Ìèõàéëîâà) (ðèñ. 2).
Äëÿ àíàëèçà òðàññû ãîäîãðàôà íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü çíàêè ÷àñòîò-
íûõ ñîñòàâëÿþùèõ R ( )� è J ( )� â ñåðåäèíå ÷àñòîòíûõ èíòåðâàëîâ
�� � � � � �1 2 2 3, ],[ , ],...,[ , ]q m , ãäå � �m q� 1 1, — ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà, âçÿòàÿ çà
ïðåäåëàìè äèàïàçîíà. Â ñåðåäèíå i-ãî èíòåðâàëà u i i� � �( ) /� � 1 2, i q�1... ,
íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü çíàêè signum ( ( ))R u è signum ( ( ))J u è ñðàâíèòü èõ
ñî çíàêàìè i-ãî êâàäðàíòà. Åñëè çíàêè ñîâïàäàþò, òî èíäèêàòîðíîé ôóíê-
öèè ïðèñâàèâàåì çíà÷åíèå íîìåðà êâàäðàíòà U ii � , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
ïðèíèìàåì U i �0:
U
i R u i J u
i �
� � �, ( ( )) ( ) ( / ) & ( ( )åñëè signum floor signum1 2 ) ( ) ( / ),
,
� � ��
�
�
1 2
0
ceil
åñëè èíà å,
i
(5)
Ìåòîäèêà îöåíêè óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïî êðèòåðèþ Ìèõàéëîâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 19
R J,
5
0
�5
�10
k = 1
�1
R ( )�
J ( )�
�2 �3
�4 �5 �6
�7
1 2 3 4 5 6
a á
k = 1,5
�1
R ( )�
J ( )�
�2 �3
�4
�5
�� ðàä/ñ
1 2 3 4 5 6
Ðèñ. 1. Ïîëîæåíèå âåùåñòâåííûõ êîðíåé ÷àñòîòíûõ ñîñòàâëÿþùèõ, ðàçáèâàþùèõ îñü �
íà èíòåðâàëû ïðè óñòîé÷èâîì (à) è íåóñòîé÷èâîì (á) ñîñòîÿíèÿõ ñèñòåìû
k = 1
R ( )�
J ( )�J ( )�
a á
k = 1,5
R ( )�
R ( )�
2,5e+26
2e+26
1,5e+26
1e+26
5e+25
5e+26 1e+27 1,5e+27
0
� � �15 10 5
6
2
�2
�6
�10
J ( )�
5e+26 1e+27 1,5e+27
0
� � �15 10 5
6
2
�2
�6
�10
Ðèñ. 2. Ãîäîãðàôû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà äëÿ óñòîé÷èâîãî (à) è íåóñòîé÷èâîãî
(á) ñîñòîÿíèé ñèñòåìû (ñ íà÷àëüíûìè ó÷àñòêàìè â êðóïíîì ìàñøòàáå, êîòîðûå òðóäíî
ðàçëè÷èìû íà ïîëíîì ãîäîãðàôå Ìèõàéëîâà)
÷
ãäå floor ( )� è ceil ( )� — ôóíêöèè öåëî÷èñëåííîãî îêðóãëåíèÿ äî áëèæàéøå-
ãî ìåíüøåãî è áîëüøåãî.
Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêå íàëè÷èÿ óêëîíåíèé, ñîîò-
âåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿì U i( ) �0. Åñëè óêëîíåíèÿ îòñóòñòâóþò, ñèñòåìà
óñòîé÷èâà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — íåóñòîé÷èâà. Èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ
(5) ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé. Äëÿ óäîáñòâà àíàëèçà ïðèìåíåíà ïðîöåäóðà ëè-
íåéíîé ñïëàéí-èíòåðïîëÿöèè, ñîåäèíÿþùàÿ äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ èíäè-
êàòîðíîé ôóíêöèè (ðèñ. 3).
Ñèãíóì-èäåíòèôèêàöèÿ êâàäðàíòîâ äëÿ îòîáðàæåíèÿ òðàññû ãîäîãðà-
ôà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîöåäóðó âû÷èñëåíèÿ êîîðäèíàò òî÷åê â ñåðå-
äèíàõ èíòåðâàëîâ, íà êîòîðûå ðàçáèòà îñü ÷àñòîò � çíà÷åíèÿìè êîðíåé
âåùåñòâåííîé R ( )� è ìíèìîé J ( )� ñîñòàâëÿþùèõ. ×èñëî ðåïåðíûõ òî÷åê,
÷åðåç êîòîðûå ïðîõîäèò òðàññà ãîäîãðàôà, ðàâíî ïîðÿäêó õàðàêòåðèñòè-
÷åñêîãî ïîëèíîìà q. Êîîðäèíàòîé êàæäîé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ íîìåð êâàäðàíòà
i ñî çíàêàìè ñîñòàâëÿþùèõ R u( ) è J u( ) â ñåðåäèíå i-ãî èíòåðâàëà
u i i� � �( ) /� � 1 2, i q�1... .  ýòîì ñëó÷àå îïèñàíèå êîîðäèíàò i-é òî÷êè
èìååò âèä
M R u i J u ii � [ ( ( )) , ( ( )) ]signum signum , i q�1... . (6)
Êîîðäèíàòû íà÷àëüíîé òî÷êè ñîãëàñíî (6) ñîñòàâëÿþò M [ , ]1 0 , òàê êàê
signum ( ( ))R 0 1� ïðè R k( )0 � , k �0, è signum ( ( ))J 0 0� ïðè J ( )0 0� .
Òðàññà ãîäîãðàôà ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåí-
íûõ ðåïåðíûõ òî÷åê, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòèëèçîâàííóþ ñïèðàëü è ÿâ-
ëÿåòñÿ äèñêðåòíûì îáðàçîì ãîäîãðàôà, ïîêàçûâàÿ ïîðÿäîê ïðîõîæäåíèÿ
êâàäðàíòîâ ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû. Íàðóøåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðî-
õîæäåíèÿ êâàäðàíòîâ èçìåíÿåò ôîðìó ñïèðàëè.
Âûõîäÿ èç íà÷àëüíîé òî÷êè (��0), ãîäîãðàô óñòîé÷èâîé ñèñòåìû (ðèñ.
4, à) ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåñåêàåò êâàäðàíòû, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî. Ãîäîãðàô
Â.Ï. Äîëãèí
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 2
k = 1
a á
k = 1,5
5 10 15 200
U i( )
U
20
15
10
5
5 10 15 200
U i( )
i
Ðèñ. 3. Ãðàôèêè èíäèêàòîðíîé ôóíêöèè óñòîé÷èâîãî (à) è íåóñòîé÷èâîãî (á) ñîñòîÿíèé
ñèñòåìû
íåóñòîé÷èâîé ñèñòåìû (ðèñ. 4, á) èç íà÷àëüíîé òî÷êè (��0) âõîäèò â ïåðâûé
êâàäðàíò, à çàòåì — â ÷åòâåðòûé. Íàðóøåíèå ïîðÿäêà ñëåäîâàíèÿ êâàäðàíòîâ
ÿâëÿåòñÿ ïðèçíàêîì íåóñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû.
Íà ðèñ. 5 ïîêàçàíû ïåðåõîäíûå õàðàêòåðèñòèêè óñòîé÷èâîãî è íåóñòîé-
÷èâîãî ðåæèìîâ ðàáîòû ñèñòåìû. Ìîäåëèðîâàíèå ñîñòîÿíèé âûïîëíåíî äëÿ
ñèñòåìû ñî ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè:
ïîðÿäîê ñîáñòâåííîãî îïåðàòîðà n = 15;
ïîðÿäîê îïåðàòîðà âîçäåéñòâèÿ m = 5;
ïîðÿäîê çâåíà îáðàòíîé ñâÿçè s = 6;
ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè ñîáñòâåííîãî îïåðàòîðà Tn = 0,1 ñ;
ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè îïåðàòîðà âîçäåéñòâèÿ Tm = 0,05;
ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè çâåíà îáðàòíîé ñâÿçè Ts = 0,02 ñ.
Ïðè èçìåíåíèè êîýôôèöèåíòà ïåðåäà÷è (óñèëåíèÿ) k èçìåíÿåòñÿ ñîñ-
òîÿíèå ñèñòåìû è îíà ìîæåò ïåðåéòè â íåóñòîé÷èâûé ðåæèì.
Ìåòîäèêà îöåíêè óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïî êðèòåðèþ Ìèõàéëîâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 21
k = 1
R ( )�
J ( )� J ( )�
� � �
a á
k = 1,5
�10 10 20
20
10
10
20
�
�
� � �� � �15 10 5 5 10 15
15
10
5
5
10
15
�
�
�
Ðèñ. 4. Òðàññû ãîäîãðàôà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà óñòîé÷èâîé (à) è íåóñòîé÷èâîé
(á) ñèñòåì
k = 1
a á
5 10 15 20 25 t, c0
Y
Y t( )
Yu
0,8
0,6
0,4
0,2
k = 1,5
5 10 15 20 25 t, c
0
Y
Y t( )
600
400
200
200
400
�
�
Ðèñ. 5. Ïåðåõîäíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû óñòîé÷èâîãî (à) è íåóñòîé÷èâîãî (á) ðåæè-
ìîâ ðàáîòû ñèñòåìû
Ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè ìîæåò áûòü ïðèìåíåí è
äëÿ èññëåäîâàíèÿ èððàöèîíàëüíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé, åñëè íàéòè
ïðèåìëåìûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé ÷àñòîòíûõ ñîñòàâ-
ëÿþùèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ïðè ââåäåíèè èððàöèîíàëüíîãî
çâåíà â ñîñòàâ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ÷èñëî êîðíåé îáåèõ ñîñòàâëÿþùèõ
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ñðåäè êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ è äåéñòâèòåëü-
íûå, ñóùåñòâåííî âîçðàñòàåò, ÷òî ïðèâîäèò ê óñëîæíåíèþ ïðîöåäóðû
àíàëèçà, ñâÿçàííîìó ñ èõ ëîêàëèçàöèåé.
Âûâîäû
Óñòðàíåíû îãðàíè÷åíèÿ íà ïîðÿäîê õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà. Â
ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ïîðÿäîê õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà ñîñòàâèë
q n s� � �21 è ìîæåò áûòü óâåëè÷åí â òðè ðàçà áåç óùåðáà äëÿ ðàçðåøàþ-
ùåé ñïîñîáíîñòè.
 ðåçóëüòàòå ââåäåíèÿ èíäèêàòîðíîé ôóíêöèè U i ïîÿâèëàñü âîçìîæ-
íîñòü àíàëèòè÷åñêè ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè (6).
Âîçìîæíî àëüòåðíàòèâíîå ðåøåíèå çàäà÷è îöåíêè óñòîé÷èâîñòè. Ñèñ-
òåìà óñòîé÷èâà ïðè îäíîâðåìåííîì âûïîëíåíèè òðåõ óñëîâèé:
1) äåéñòâèòåëüíûå êîðíè ÷àñòîòíîé ñîñòàâëÿþùåé ãîäîãðàôà Re ( ( ))Q j�
ñëåäóþò çà äåéñòâèòåëüíûìè êîðíÿìè ÷àñòîòíîé ñîñòàâëÿþùåé Im ( ( ))Q j�
(ñì. ðèñ. 1, à);
2) ðàâåíñòâî ñóììû ÷èñëà äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé îáåèõ ñîñòàâëÿþ-
ùèõ ãîäîãðàôà ïîðÿäêó õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà;
3) îòñóòñòâèå ìíèìûõ êîðíåé ÷àñòîòíûõ ñîñòàâëÿþùèõ Re ( ( ))Q j� è
Im ( ( ))Q j� ãîäîãðàôà, ò.å. çíà÷åíèÿ âñåõ êîðíåé äîëæíû áûòü äåéñòâè-
òåëüíûìè.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå óêàçàííûõ óñëîâèé, êîòîðîå ìîæíî âûïîë-
íèòü ïî ïðèâåäåííûì ñîîòíîøåíèÿì, ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì êðèòåðèåì
óñòîé÷èâîñòè. Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ïî ðàññìîòðåííîìó àëãîðèòìó —
îáúåêòèâíûé è íå òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ èññëåäîâàíèé.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò íàéòè ïðèìåíåíèå ïðè ìîäåëèðîâàíèè,
ïðîåêòèðîâàíèè è àíàëèçå òåõíè÷åñêèõ, òåõíîëîãè÷åñêèõ, àâòîòðàíñïîðò-
íûõ [1, 2] è äðóãèõ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ.
The method of stability estimation for the linear dynamic system from results of analysis of the
characteristic polynomial in the frequency region has been expounded. The analytical stability
criterion has been formulated. The results of simulation design are presented.
Â.Ï. Äîëãèí
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 2
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Òîï÷ååâ Þ.È. Àòëàñ äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. —
Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1989. — 752 ñ.
2. Äîëãèí Â.Ï. Àâòîìàòè÷åñêîå óïðàâëåíèå òåõíè÷åñêèìè è òåõíîëîãè÷åñêèìè ñèñòå-
ìàìè è îáúåêòàìè. Ìåòîäû àíàëèçà ñèñòåì è îáúåêòîâ. — Ñåâàñòîïîëü : Èçä-âî
ÑåâÍÒÓ, 2003. — 404 ñ.
Ïîñòóïèëà 21.09.12
ÄÎËÃÈÍ Âëàäèìèð Ïðîõîðîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû àâòîìîáèëüíîãî òðàíñ-
ïîðòà Ñåâàñòîïîëüñêîãî íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà.  1958 ã. îêîí÷èë
Âîåííî-ìîðñêîå èíæåíåðíîå ó÷èëèùå èì. Ô.Ý. Äçåðæèíñêîãî (Ëåíèíãðàä), â 1965 ã. — Ñå-
âàñòîïîëüñêèé ïðèáîðîñòðîèòåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — àäàïòèâíûå
ìîäåëè â ñèñòåìàõ óïðàâëåíèÿ òåõíîëîãè÷åñêèìè îáúåêòàìè.
Ìåòîäèêà îöåíêè óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïî êðèòåðèþ Ìèõàéëîâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 23
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000640065002000410064006f0062006500200061006400650063007500610064006f00730020007000610072006100200069006d0070007200650073006900f3006e0020007000720065002d0065006400690074006f007200690061006c00200064006500200061006c00740061002000630061006c0069006400610064002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <FEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d002000e400720020006c00e4006d0070006c0069006700610020006600f60072002000700072006500700072006500730073002d007500740073006b00720069006600740020006d006500640020006800f600670020006b00760061006c0069007400650074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002e>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|