Фазочастотный критерий устойчивости
Рассмотрен метод оценки устойчивости динамических систем по результатам анализа характеристического полинома ее передаточной функции. Предложен фазочастотный критерий оценки устойчивости непрерывных линейных и нелинейных систем, содержащих линейные, иррациональные, трансцендентные, неминимально-фазо...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100844 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Фазочастотный критерий устойчивости / В.П. Долгин // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 3. — С. 23-34. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-100844 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1008442016-05-28T03:02:09Z Фазочастотный критерий устойчивости Долгин, В.П. Математические методы и модели Рассмотрен метод оценки устойчивости динамических систем по результатам анализа характеристического полинома ее передаточной функции. Предложен фазочастотный критерий оценки устойчивости непрерывных линейных и нелинейных систем, содержащих линейные, иррациональные, трансцендентные, неминимально-фазовые звенья и звенья запаздывания. Изложена методика анализа устойчивости систем. Розглянуто метод оцінки стійкості динамічних систем за наслідками аналізу характеристичного полінома її передавальної функції. Запропоновано фазочастотний критерій оцінки стійкості безперервних лінійних і нелінійних систем, які містять лінійні, ірраціональні, трансцендентні, немінімально-фазові ланки та ланки запізнювання. Викладено методику аналізу стійкості систем. The method of stability estimation of the dynamic systems according to analysis results of characteristic polynomial of its transfer function has been considered. The phase-frequency criterion of stability estimation of the continuous linear and nonlinear systems containing linear, irrational, transcendent, nonminimum phase links and links of delay is proposed. The method of stability analysis of the systems is expounded. 2013 Article Фазочастотный критерий устойчивости / В.П. Долгин // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 3. — С. 23-34. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100844 519.25 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математические методы и модели Математические методы и модели |
| spellingShingle |
Математические методы и модели Математические методы и модели Долгин, В.П. Фазочастотный критерий устойчивости Электронное моделирование |
| description |
Рассмотрен метод оценки устойчивости динамических систем по результатам анализа характеристического полинома ее передаточной функции. Предложен фазочастотный критерий оценки устойчивости непрерывных линейных и нелинейных систем, содержащих линейные, иррациональные, трансцендентные, неминимально-фазовые звенья и звенья запаздывания. Изложена методика анализа устойчивости систем. |
| format |
Article |
| author |
Долгин, В.П. |
| author_facet |
Долгин, В.П. |
| author_sort |
Долгин, В.П. |
| title |
Фазочастотный критерий устойчивости |
| title_short |
Фазочастотный критерий устойчивости |
| title_full |
Фазочастотный критерий устойчивости |
| title_fullStr |
Фазочастотный критерий устойчивости |
| title_full_unstemmed |
Фазочастотный критерий устойчивости |
| title_sort |
фазочастотный критерий устойчивости |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100844 |
| citation_txt |
Фазочастотный критерий устойчивости / В.П. Долгин // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 3. — С. 23-34. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT dolginvp fazočastotnyjkriterijustojčivosti |
| first_indexed |
2025-07-07T09:24:49Z |
| last_indexed |
2025-07-07T09:24:49Z |
| _version_ |
1836979627411636224 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.25
Â.Ï. Äîëãèí, êàíä. òåõí. íàóê
Ñåâàñòîïîëüñêèé íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 99053, Ñåâàñòîïîëü, óë. Óíèâåðñèòåòñêàÿ, 33,
òåë. (0692) 543570, e–mail: autosev@ukr.net)
Ôàçî÷àñòîòíûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
Ðàññìîòðåí ìåòîä îöåíêè óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïî ðåçóëüòàòàì àíàëèçà
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà åå ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè. Ïðåäëîæåí ôàçî÷àñòîòíûé
êðèòåðèé îöåíêè óñòîé÷èâîñòè íåïðåðûâíûõ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ñèñòåì, ñîäåð-
æàùèõ ëèíåéíûå, èððàöèîíàëüíûå, òðàíñöåíäåíòíûå, íåìèíèìàëüíî-ôàçîâûå çâåíüÿ è
çâåíüÿ çàïàçäûâàíèÿ. Èçëîæåíà ìåòîäèêà àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè ñèñòåì.
Ðîçãëÿíóòî ìåòîä îö³íêè ñò³éêîñò³ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì çà íàñë³äêàìè àíàë³çó õàðàêòåðèñ-
òè÷íîãî ïîë³íîìà ¿¿ ïåðåäàâàëüíî¿ ôóíêö³¿. Çàïðîïîíîâàíî ôàçî÷àñòîòíèé êðèòåð³é îö³í-
êè ñò³éêîñò³ áåçïåðåðâíèõ ë³í³éíèõ ³ íåë³í³éíèõ ñèñòåì, ÿê³ ì³ñòÿòü ë³í³éí³, ³ððàö³îíàëüí³,
òðàíñöåíäåíòí³, íåì³í³ìàëüíî-ôàçîâ³ ëàíêè òà ëàíêè çàï³çíþâàííÿ. Âèêëàäåíî ìåòîäèêó
àíàë³çó ñò³éêîñò³ ñèñòåì.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: êðèòåðèé, óñòîé÷èâîñòü, ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ, õàðàêòåðèñòè-
÷åñêèé ïîëèíîì, ôàçà, âåêòîð.
Îñíîâíûì ñâîéñòâîì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ åå óñòîé÷èâîñòü,
äëÿ èññëåäîâàíèÿ êîòîðîé ïðèìåíÿþò àëãåáðàè÷åñêèå è ÷àñòîòíûå êðèòå-
ðèè [1, 2]. ×àñòîòíûå êðèòåðèè óíèâåðñàëüíû è ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòü
êàê ëèíåéíûå, òàê è íåëèíåéíûå ñèñòåìû. Îäíàêî îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ
àëãåáðàè÷åñêèõ è ÷àñòîòíûõ êðèòåðèåâ îãðàíè÷åíû, òàê êàê çàâèñÿò îò
òèïà îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè. Íàèáîëåå øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ
êðèòåðèè, îñíîâàííûå íà àíàëèçå ÷àñòîòíîé ôîðìû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
ïîëèíîìà îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ñèñòåìû. Ðàçíîîáðàçèå
êðèòåðèåâ âûçûâàåò çàòðóäíåíèÿ ïðè âûáîðå ìåòîäà àíàëèçà óñòîé÷è-
âîñòè ñèñòåìû. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíîé åäèíàÿ ïðîöåäóðà àíàëèçà
óñòîé÷èâîñòè äåòåðìèíèðîâàííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ïðîèçâîëüíûì
ñî÷åòàíèåì ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ çâåíüåâ.
Ðàññìîòðèì èçìåíåíèå ôàçû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà.  îáùåì
ñëó÷àå àëãåáðàè÷åñêóþ ôîðìó õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà Q j( )� ìîæ-
íî ïðåäñòàâèòü â âèäå
Q j R jJ( ) ( ) ( )� � �� � ,
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 23
� Â.Ï. Äîëãèí, 2013
ãäå R Q j( ) Re ( ( ))� �� — âåùåñòâåííàÿ, à J Q j( ) Im ( ( ))� �� — ìíèìàÿ
÷àñòîòíûå ñîñòàâëÿþùèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà Q j( )� .
Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû [1, 2]
ÿâëÿåòñÿ èçìåíåíèå ôàçû � �( ) âåêòîðà Q j( )� íà óãîë n
�
2
, ãäå n — ïîðÿäîê
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà, ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû � â èíòåðâàëå
�� �[ , ]0 . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôàçû � �( ) ñëåäóåò ïðåäñòàâèòü îïèñàíèå õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå:
Q j Q e j( ) ( ) ( )� � � �� ,
ãäå Q R J( ) ( ) ( )� � �� �2 2 — àìïëèòóäà; � � �
�
�
�( )
( )
( )
� �
��
�
��k
J
R
arctg — ôàçà
âåêòîðà Q j( )� , k� � � �0 1 2, , , .... Äëÿ ãëàâíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè arctg ( )� ,
ëåæàùèõ â èíòåðâàëå � ��
��
�
��
� �
2 2
, , k� �0. Çà ïðåäåëàìè ýòîãî èíòåðâàëà íåîá-
õîäèìà êîððåêöèÿ âåëè÷èíû êîýôôèöèåíòà k�.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ôóíêöèÿ � �( ) â ïðåäñòàâëåííîì âèäå òåðïèò
ðàçðûâû âòîðîãî ðîäà è áåç ïðèíÿòèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ìåð íå ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàíà äëÿ àíàëèçà. Îäíîé èç îñíîâíûõ ñëåäóåò ñ÷èòàòü çàäà÷ó ñèí-
òåçà ãëàäêîé ôóíêöèè � �( ). Ïðè èññëåäîâàíèè íåëèíåéíûõ ñèñòåì âîçíè-
êàåò ïðîáëåìà îïðåäåëåíèÿ ïîðÿäêà ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ñèñòåìû. È
íàêîíåö, âîçíèêàåò âîïðîñ îöåíêè çíà÷åíèÿ âåðõíåé ãðàíèöû ÷àñòîòíîãî
èíòåðâàëà, òàê êàê çíà÷åíèå ôóíêöèè � �( ) èçìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèè
÷àñòîòû.  îáëàñòè íèçøèõ ÷àñòîò íå âîçíèêàåò ïðèíöèïèàëüíûõ çàòðóä-
íåíèé ïðè âûáîðå íèæíåé ãðàíèöû, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü çàäàíà ïðîèçâîëüíî
(ïðèíÿòà ðàâíîé íóëþ èëè áîëüøå). Âåðõíÿÿ ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà äîëæíà áûòü
îãðàíè÷åíà â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè ðåøàåìîé çàäà÷è.
Ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè ìîæíî âûäåëèòü ñëåäóþùèå çàäà÷è:
1) èñêëþ÷åíèå ðàçðûâîâ ôóíêöèè � �( );
2) îïðåäåëåíèå ïîðÿäêà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà;
3) îöåíêà çíà÷åíèÿ âåðõíåé ãðàíè÷íîé ÷àñòîòû;
4) ñèíòåç êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè;
5) îöåíêà ãðàíèöû (èëè îáëàñòè) óñòîé÷èâîñòè.
Èñêëþ÷åíèå ðàçðûâîâ ôóíêöèè � ( )� . Âû÷èñëèòü ôóíêöèþ � �( )
ìîæíî ðåêóððåíòíî ïî ñõåìå [2]:
� � � �( ) ( ( ) / ( ))i i iJ R�arctg ,
k i i� � � � � ��� � �ceil (( ( ) ( )) /1 , (1)
� � � � ��( ) ( )i i k� � ,
Â.Ï. Äîëãèí
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3
ãäå�i è� �( )i — òåêóùèå çíà÷åíèÿ ÷àñòîòû è ôàçû;� � �i i h� ��1 ;�i�1— ïðå-
äûäóùåå çíà÷åíèå ÷àñòîòû; h� — âåëè÷èíà øàãà;ceil ( )� — ôóíêöèÿ öåëî÷èñ-
ëåííîãî îêðóãëåíèÿ äî áëèæàéøåãî áîëüøåãî. Ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ ôàçû â
ýòîì ñëó÷àå áóäåò äîñòîâåðíûì, åñëè ïðèðàùåíèå �� i � � �� � � �( ) ( )i i 1 íå
âûõîäèò çà ïðåäåëû ãëàâíûõ çíà÷åíèé � � ��� � � �� �� i , ÷òî è îïðå-
äåëÿåò óñëîâèå âûáîðà øàãà h� . Àëãîðèòì (1) èñêëþ÷àåò íàêîïëåíèå
ïîãðåøíîñòè, òàê êàê èçìåíåíèå âåëè÷èíû øàãà h� , ïðè ñîáëþäåíèè
óñëîâèÿ âûáîðà øàãà, íå âëèÿåò íà ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà âû÷èñëåíèÿ
çíà÷åíèé � �( )i .
Ïîëó÷åííàÿ ôàçî÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà � �( ) â ýòîì ñëó÷àå áóäåò
äèñêðåòíîé. Ñâåäåíèå åå ê íåïðåðûâíîé âîçìîæíî ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóð
èíòåðïîëÿöèè. Ïðèìåíåíèå èíòåðïîëÿöèè âåäåò ê ïîÿâëåíèþ ïîãðåø-
íîñòè â ïðîìåæóòêå ìåæäó óçëàìè èíòåðïîëÿöèè, êîòîðàÿ óìåíüøàåòñÿ
ïðè óìåíüøåíèè øàãà h� . Òàêèì îáðàçîì, ïðè äèñêðåòíîì ïðåäñòàâëåíèè
ôàçî÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè âûáîð âåëè÷èíû øàãà h� íå êðèòè÷åí è
ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí ïðè óñëîâèè �� �� �i � äëÿ âñåãî ìíîæåñòâà
i N� [ , ]1 òî÷åê N äèàïàçîíà âû÷èñëåíèé.
Ðàññìîòðèì äðóãîé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ôàçû � �( ) áåç íåîáõîäè-
ìîñòè êîððåêöèè êîýôôèöèåíòà k�. Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ âûðàæåíèå ôà-
çî÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè � �( )
d
d
J d
R
d
R d
J
d
R J
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
�
�
�2 2
è ïåðåéäÿ ê ïðèðàùåíèÿì, ïîëó÷èì
�
� �
�
� �� � ��
�
i
i i i i
i
J R R J
A
�
�( ) ) ( ) )
( )2
,
ãäå A J Ri i i
2 2 2( ) ( ) ( );� � �� � �R R Ri i i�� �� ��) ) )� � �1 ; �J Ji i�� ��) )� �
� �J i�� 1 ). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôàçû íà ÷àñòîòå �j íåîáõîäèìî ñëîæèòü ïðè-
ðàùåíèÿ �� i , i j� [ , ]1 :
� � �( )j
i
j
i� �
��
� .
(2)
Çàìåíà ïðîèçâîäíîé ïðèðàùåíèåì ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ïîãðåø-
íîñòè äèñêðåòíîñòè, âåëè÷èíà êîòîðîé óìåíüøàåòñÿ ñ óìåíüøåíèåì ïðè-
Ôàçî÷àñòîòíûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 25
ðàùåíèÿ � � i , îáóñëîâëåííîãî ðàçìåðîì øàãà h� . Äëÿ èñêëþ÷åíèÿ ïî-
ãðåøíîñòè äèñêðåòíîñòè, ïðèìåíèâ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, ïîëó÷èì
� � � �( ) ( )z d
z
� !
0
, (3)
ãäå z — ÷àñòîòà, îïðåäåëÿþùàÿ âåëè÷èíó ôàçû;
�
��
�
��� �
�
�
�
( )
( )
( )
d
d
J
R
arctg .
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì, ñâîáîäíûì îò ìåòîäè÷åñêîé
ïîãðåøíîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôàçî÷àñòîòíîé
õàðàêòåðèñòèêè â äèñêðåòíîé (1), (2) è íåïðåðûâíîé (3) ôîðìàõ, èñêëþ-
÷àþùèå ïîÿâëåíèÿ ðàçðûâîâ, ïîðîæäàåìûõ âûõîäîì àðãóìåíòà ôóíêöèè
arctg ( )� çà ïðåäåëû ãëàâíûõ çíà÷åíèé.
Îïðåäåëåíèå ïîðÿäêà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà. Íàéäåì íà-
êëîí ëîãàðèôìè÷åñêîé àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè:
S
Q Q Q
i
i i
i i
i( )
lg ( ( )) lg ( ))
lg ( ) lg ( )
lg ( (
�
� ��
� �
�
�
�
�
��
�
1
1
) / ))
lg ( / )
Q i
i i
��
� �
�
�
1
1
.
Ïîëîæèâ � �i i/ � �1 10 , óïðîñòèì ýòî âûðàæåíèå:
S
Q
Q
( ) lg
( )
( / )
�
�
�
�
��
�
��10
.
(4)
Ïîêàæåì, ÷òî ïðè �" � áóäåò lim ( )S v�
�"�
�
�
� � , ãäå v — ïîðÿäîê õàðàê-
òåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà.  îáùåì ñëó÷àå âûðàæåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñ-
êîãî ïîëèíîìà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â îïåðàòîðíîé ôîðìå:
Q p Q pi
i
m
( ) ( )�
�
#
0
,
ãäå Q p T pi i
vi( ) ( )� �1 . Ïðåäñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì â ÷àñòîò-
íîé ôîðìå, ïðèìåíèâ ïîäñòàíîâêó p j� � :
Q j Q ji
i
m
( ) ( )� ��
�
#
1
,
Â.Ï. Äîëãèí
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3
ãäå Q j j Ti i
vi( ) ( )� �� �1 .  ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëè-
íîì èìååò âèä Q j Q e j( ) ( ) ( )� � � �� , ãäå
Q Qi
i
m
( ) ( )� ��
�
#
1
, Q Ti i
vi( ) ( ( ) )� �� �1 2 .
Ïðè Ti�$$�, i m� [ , ],1 ïîëó÷èì Q T v( )� �� , ãäå T T
i
v
i
m
i�
�
#
1
, v v
i
m
�
�
# 1
1
. Ïîäñòà-
âèâ â (4) ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå Q ( )� , ïîñëå óïðîùåíèé [3] íàéäåì âûðà-
æåíèå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîðÿäêà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà:
v S�
� �
�
"�
lim ( )�
�
, (5)
÷òî è òðåáîâàëîñü îïðåäåëèòü.
Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ âåðõíåé ãðàíè÷íîé ÷àñòîòû. Äëÿ ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê íåîáõîäèìî çàäàòü ÷àñòîòíûé äèàïàçîí.
Çíà÷åíèå íèæíåé ãðàíèöû ÷àñòîòíîãî äèàïàçîíà ìîæåò áûòü âûáðàíî
ïðîèçâîëüíî: �n % 0. Ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû èçìåíÿåòñÿ íàêëîí àìïëèòóä-
íî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè, ñòðåìÿñü ê ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ v. Âåðõ-
íÿÿ ãðàíèöà ÷àñòîòíîãî äèàïàçîíà îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì íàêëîíîì
àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè (5). Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå âåðõ-
íåé ãðàíèöû ÷àñòîòíîãî äèàïàçîíà �g ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî íà îñíî-
âàíèè óñëîâèÿ S vg( )� � èëè, ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (4), â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ
lg
( )
( / )
Q
Q
vE
g
g
�
� 10
�
�
�
�
� � , (6)
ãäå E�1, òàê êàê ïðè E "1çíà÷åíèå âåðõíåé ãðàíè÷íîé ÷àñòîòû �g ñòðå-
ìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.
Ñèíòåç êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè. Ïîðÿäîê õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïî-
ëèíîìà v îïðåäåëèì ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû (5). Çàäàâ æåëàåìûé óðîâåíü E
ïðèáëèæåíèÿ ê àñèìïòîòå íàêëîíà S ( )� , â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
(6) ïîëó÷èì çíà÷åíèå âåðõíåé ãðàíèöû ÷àñòîòíîãî äèàïàçîíà �g . Ïðè
çàäàííîì çíà÷åíèè E ñ ó÷åòîì (3), ïîëîæèâ z g�� , ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü
òðåáîâàíèå
v E
g� &
2� �
�
( )
,
(7)
âûïîëíåíèå êîòîðîãî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû.
Ôàçî÷àñòîòíûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 27
Çàìå÷àíèå 1. Âûðàæåíèå (7) ìîæíî óïðîñòèòü, ïðèíÿâ z k z g� � , ãäå
k z $1, ñâåäÿ åãî ê ñòðîãîìó íåðàâåíñòâó
v E
g� �
2� �
�
( )
,
(8)
÷òî ïîâûøàåò íàäåæíîñòü ðåçóëüòàòà âû÷èñëåíèÿ êðèòåðèÿ.
Äëÿ ëèíåéíûõ çâåíüåâ, îïèñûâàåìûõ äðîáíî-ðàöèîíàëüíûìè ïåðåäà-
òî÷íûìè ôóíêöèÿìè, ïðîöåäóðà âû÷èñëåíèÿ ïîðÿäêà v õàðàêòåðèñòè÷åñ-
êîãî ïîëèíîìà (5) ìîæåò áûòü óïðîùåíà.
Îöåíêà ãðàíèöû (îáëàñòè) óñòîé÷èâîñòè. Ïðè îäíîâðåìåííîì ðà-
âåíñòâå íóëþ âåùåñòâåííîé R ( )� è ìíèìîé J ( )� ñîñòàâëÿþùèõ õàðàê-
òåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà íàðóøàåòñÿ ïîðÿäîê ïðîõîæäåíèÿ êâàäðàíòîâ ãî-
äîãðàôîì, òàê êàê àìïëèòóäà Q R J( ) ( ) ( )� � �� �2 2 âåêòîðà Q j( )� ñòàíî-
âèòñÿ ðàâíîé íóëþ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòà
ïåðåäà÷è k è ÷àñòîòû � íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
Re ( ( ))Q j� �0 ,
Im ( ( ))Q j� �0
(9)
îòíîñèòåëüíî óêàçàííûõ ïåðåìåííûõ.  ðåçóëüòàòå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî
ìíîæåñòâî ïàð, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìó (9), èç êîòîðîãî íåîáõîäèìî
âûáðàòü îäíó ïàðó ñ ìèíèìàëüíûìè çíà÷åíèÿìè k è �.
Äëÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (9) äëÿ îïðå-
äåëåíèÿ çíà÷åíèé k è � âûçûâàåò çàòðóäíåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî
îïðåäåëèòü îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè â çàäàííîì äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ ïàðà-
ìåòðà k. Çàäàâ ãðàíèöû è øàã h èçìåíåíèÿ çíà÷åíèÿ k, ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ
(8) îöåíèâàåì åãî ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå ñ òî÷íîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé âåëè-
÷èíîé øàãà h. Îáîçíà÷èâ óñòîé÷èâîå ñîñòîÿíèå ñèìâîëîì 0, à íåóñòîé-
÷èâîå — 1, ìîæíî ïîñòðîèòü äèàãðàììó óñòîé÷èâîñòè â ôóíêöèè èçìåíå-
íèÿ ïàðàìåòðà k. Ãðàíèöó óñòîé÷èâîñòè ïðè íåîáõîäèìîñòè îöåíèâàåì ñ
ïîìîùüþ òåîðåìû Ëàãðàíæà î ñðåäíåì çíà÷åíèè, çíàÿ ïðåäåëüíîå çíà÷å-
íèå ïàðàìåòðà k, ïðè êîòîðîì ñèñòåìà óñòîé÷èâà, è âåëè÷èíó øàãà h.
Ðåàëèçàöèþ ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé ðàññìîòðèì íà òåñòîâûõ ïðè-
ìåðàõ èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, â ñîñòàâ îïåðàòîðíûõ ïåðåäà-
òî÷íûõ ôóíêöèé êîòîðûõ âõîäÿò ëèíåéíûå çâåíüÿ, ðàçëè÷íûå òèïû íå-
ëèíåéíûõ è èõ ñî÷åòàíèÿ. Äëÿ àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû ñâåäåì åå
ñòðóêòóðó ê îáîáùåííîé áëîê-ñõåìå (ðèñ. 1), ãäåWn èWs — ïåðåäàòî÷íûå
ôóíêöèè äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà è çâåíà îòðèöàòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçè;
W — ýêâèâàëåíòíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.
Â.Ï. Äîëãèí
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü âå-
ùåñòâåííóþ R Q j( ) Re ( ( ))� �� è ìíèìóþ J Q j( ) Im ( ( ))� �� ÷àñòîòíûå ñîñ-
òàâëÿþùèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà Q j( )� , ôàçó� �
�
�
( )
( )
( )
�
�
�
�arctg
J
R
è àìïëèòóäó Q R J( ) ( ) ( )� � �� �2 2 , à òàêæå ââåñòè ôóíêöèþ íàêëîíà
àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè S ( )� . Îáîçíà÷èâ A Q� 2( )� , Fi �
�
��
�
��arctg
J
R
( )
( )
�
�
, S S� ( )� , R R� ( )� è J J� ( )� , ââåäåì Maple — îïèñàíèå
ïåðå÷èñëåííûõ ñîñòàâëÿþùèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà:
R : = evalc ( Re ( subs (p = I*w ,Q) ) ) ;
J : = evalc ( Im ( subs (p = I*w ,Q) ) ) ;
A : = R
'
2 + J
'
2 :
Fi : = arctan (J/R) ;
S : = simpIify (log10 (A/subs (w = w/10 ,A) )/2) : # ôîðìóëà (4)
v : = limit (S ,w = infinity) ; # ôîðìóëà (5)
E : = . 9995:
Wg : = fsolve ( S = v*E , w, 0 . . infinity) ; # ôîðìóëà (6)
Ïðåäñòàâèì âåðñèþ àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ ôàçî÷àñòîòíîé ôóíêöèè
ïî ôîðìóëå (3) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ k â âèäå
Df : = simplify (evalf (diff (Fi,w) ) ) : # ïðîèçâîäíàÿ
F : = simplify (int (Df, w=0. . z) ) : # ôàçî÷àñòîòíàÿ ôóíêöèÿ,
(11)
ãäå F �� �( ).
Àëãîðèòì ðåàëèçàöèè âû÷èñëåíèÿ êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè ïî ôîðìóëå
(8) ïðåäñòàâèì ïðîöåäóðîé UST ñ ïàðàìåòðîì x äëÿ êîýôôèöèåíòà ïå-
ðåäà÷è k:
# Ïðîöåäóðà âû÷èñëåíèÿ êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè
UST : = proc (x) global E, k, Crit:
k : = x:
Ôàçî÷àñòîòíûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 29
X Y
W
Wn
Ws
Ðèñ. 1. Áëîê-ñõåìà ñèñòåìû
(10)
E : = abs (v-evalf (subs (z = Wg, F) *2/Pi) ) :
if E >1 then Crit : = 1; ñèñòåìà íåóñòîé÷èâà
else Crit : = 0; ñèñòåìà óñòîé÷èâà fi;
end:
# Îöåíêà óñòîé÷èâîñòè
UST (k1) ; Crit := Crit ;
UST (k2) ; Crit := Crit ;
Ââåäåì îïèñàíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (9):
# Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (9)
k : = ' k' :
Sys : = {J, R} :
Var : = {k, w} :
Sol : = solve (Sys, Var);
q : = nops ( [Sol] ) :
Çàìå÷àíèå 2. Äëÿ ýêñïðåññ-àíàëèçà ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû äî-
ñòàòî÷íî ïîëó÷èòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9) è â ðåçóëüòàòå åãî àíàëèçà
îïðåäåëèòü êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå èññëåäóåìîãî ïàðàìåòðà ñèñòåìû.
Çàìå÷àíèå 3. Ïðîöåäóðó àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû ìîæíî óï-
ðîñòèòü ïðè ìîíîòîííîì èçìåíåíèè ôàçî÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè. Â
ñëó÷àå íàðóøåíèÿ ïîðÿäêà ïðîõîæäåíèÿ êâàäðàíòîâ ãîäîãðàôîì õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà èçìåíèòñÿ çíàê ïðîèçâîäíîé ôàçî÷àñòîòíîé õà-
ðàêòåðèñòèêè.
Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû
ñ îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé, ñîäåðæàùåé èððàöèîíàëüíûå
çâåíüÿ è íåìèíèìàëüíî-ôàçîâîå çâåíî â öåïè îòðèöàòåëüíîé îáðàòíîé
ñâÿçè (ñì. ðèñ. 1),
W p k
pT
pT
n
m
m
n
n
( )
( )
( )
�
�
�
1
1
,W p
pT
pT
s
s
s
s
( )
( )
( )
,�
�
�
1
1
ñ Maple-îïèñàíèåì (EXAMPLE-3) ïàðàìåòðîâ:
n := 5.2 : # Ïîðÿäîê ñîáñòâåííîãî îïåðàòîðà
Tn : = .1 : # Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè ñîáñòâåííîãî îïåðàòîðà
m : = 4.3 : # Ïîðÿäîê îïåðàòîðà âîçäåéñòâèÿ
s : = 3.4 : # Ïîðÿäîê çâåíà îáðàòíîé ñâÿçè
Òm : = .02 : # Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè îïåðàòîðà âîçäåéñòâèÿ
Òs : = .05 : # Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè çâåíà îáðàòíîé ñâÿçè
k1 : = 1. : # Êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è óñòîé÷èâîé ñèñòåìû
k2 : = 2. : # Êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è íåóñòîé÷èâîé ñèñòåìû
Å : = . 995 : # Ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ àñèìïòîòû íàêëîíà ËÀ×Õ
Â.Ï. Äîëãèí
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3
(12)
(13)
Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé è ïîäñòàíîâêè ïàðàìåòðîâ ìîäåëèðóåìîé ñèñ-
òåìû ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ W è õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì Q çàìê-
íóòîé ñèñòåìû ïðèâåäåì ê ñòàíäàðòíîé ôîðìå:
W
k T T p
T p T p k T k
m
m
s
s
n
n
s
s
m
m
:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
� �
� �
� � � � � �
1 1
1 1 1 1�T T pm
m
s)
,
Q T p T p k T k T T pn
n
s
s
m
m
m
m
s: ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �1 1 1 1 .
 ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ àëãîðèòìà (10) ïîëó÷èì
v : , ,�8600000002
Wg : ,�9612684592
è ïîñòðîèì ãðàôèêè ôóíêöèé íàêëîíà ëîãàðèôìè÷åñêèõ àìïëèòóäíî-
÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê (ðèñ. 2).
Ãðàôèêè ôàçî÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê (ðèñ. 3) ïîñòðîåíû â ðåçóëü-
òàòå ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà (11).
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíà èíòåðïðåòàöèÿ îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû,
ïîëó÷åííàÿ ïî êðèòåðèþ óñòîé÷èâîñòè (8). Îïðåäåëèâ ãðàíèöó óñòîé÷è-
âîñòè ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà î ñðåäíåì, ïîëó÷èì kg �1 55, ïðè øàãå h �01, .
Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåíû íà÷àëüíûå ó÷àñòêè ãîäîãðàôà Ìèõàéëîâà ïðè
k �1 1 55 2; , ; , à íà ðèñ. 6 — ãðàôèêè èçìåíåíèÿ çíàêà ïðîèçâîäíûõ ôàçî÷àñ-
òîòíûõ ôóíêöèé, ò.å. èíòåðïðåòàöèÿ çàìå÷àíèÿ 3.
Èçëîæåííàÿ ìåòîäèêà àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü
ñîñòîÿíèå èððàöèîíàëüíûõ ñèñòåì.
Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû ñ
îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé, â ñîñòàâ êîòîðîé âõîäèò çâåíî çà-
äåðæêè, ðåøåííóþ ìåòîäîì Ïîïîâà [1]:
W
k T p e
T p T p
n
p
�
�
� �
�( )
( )( )
1
1 1
1
2 3
, Ws �1,
ãäåT1 0 33� , ;T2 0 66� , ;T3 0 5� , . Ïîëó÷èì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ çàìêíóòîé
ñèñòåìû (ñì. ðèñ. 1),
W p
k T p e
k T e T T p T T p ke
p
p p
( )
( )
( )
�
�
� � � � �
�
� �
1
1
1
1 2 3 2 3
2
,
è õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì Q p k T e T T p T T pp( ) ( )� � � � � ��1 1 2 3 2 3
2
� �ke p . Ïðèìåì äëÿ óñòîé÷èâîãî è íåóñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèé ñèñòåìû ñîîò-
Ôàçî÷àñòîòíûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 31
Â.Ï. Äîëãèí
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1 1,2 1,4 1,6 1,8 k
Crit
Îáëàñòü
óñòîé÷èâîñòè
R (��
J (��
� � (� � (� � (
3 0 1� �� � �
2
1
1�
G2 G3
G1
Ðèñ. 4. Äèàãðàììà óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû
Ðèñ. 5. Ãîäîãðàôû Ìèõàéëîâà äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû: G1 — óñòîé÷èâîå
(k k� 1); G2 — íåóñòîé÷èâîå (k k� 2); G3 — íà ãðàíè óñòîé÷èâîñòè (k kg� )
S
v
S1( )�
S2 ( )�
lg ( )�
8
6
4
2
0
0,5 1 1,5 2 2,5
Ðèñ. 2. Ãðàôèêè ôóíêöèé íàêëîíà ëîãàðèôìè÷åñêèõ àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñ-
òèê óñòîé÷èâîãî S1 ( )� è íåóñòîé÷èâîãî S 2 ( )� ñîñòîÿíèé ñèñòåìû
�, ðàä
v���
v���
ry
rx
� �1( )
� �1( )
� �2( ) � �2( )
lg ( )�
12
10
8
6
4
2
1 1 2 3 4� 0
1,5 0 1 2� ��
3
2
1
1�
áà
Ðèñ. 3. Ãðàôèêè ôàçî÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê â äåêàðòîâîé (à) è ïîëÿðíîé (á) ñèñòåìàõ
êîîðäèíàò
âåòñòâåííî k1 1� è k2 2� [1]. Â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ ïðîöåäóðû (10)
ïîëó÷èì
v : , ,� 2000000000
wg : ,� 6635443166
è ïîñòðîèì ãðàôèêè ôóíêöèé íàêëîíà ëîãàðèôìè÷åñêèõ àìïëèòóäíî-÷àñ-
òîòíûõ õàðàêòåðèñòèê (ðèñ. 7). Ïîñëå âûïîëíåíèÿ ïðîöåäóðû (11) ïîëó-
÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ ôàçî÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê. Ïîëó÷åííûå ôàçî÷àñ-
òîòíûå õàðàêòåðèñòèêè óñòîé÷èâîãî � �1( ) è íåóñòîé÷èâîãî � �2( ) ñîñòîÿ-
íèé ñèñòåìû ïðèâåäåíû íà ðèñ. 8.
 ðåçóëüòàòå êðèòåðèàëüíîé îöåíêè (ïðîöåäóðà (12)) ïîëó÷àåì çíà÷å-
íèÿ êðèòåðèåâ äëÿ óñòîé÷èâîãî (k k� 1) è íåóñòîé÷èâîãî (k k� 2) ñîñòîÿíèé
Ôàçî÷àñòîòíûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 33
� ����
� ����
� ����
lg ( )�0 1 2��
6
4
2
�) �
S ����
S ����
lg ( )�1 2
3
S
v
2
�1
1
0
Ðèñ. 6. Ãðàôèêè èçìåíåíèÿ çíàêà ïðîèçâîäíûõ ôàçî÷àñòîòíûõ ôóíêöèé
Ðèñ. 7. Ãðàôèêè ôóíêöèé íàêëîíà ëîãàðèôìè÷åñêèõ àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñ-
òèê äëÿ óñòîé÷èâîãî S1 ( )� è íåóñòîé÷èâîãî S 2 ( )� ñîñòîÿíèé ñèñòåìû
� ����
� ����
�1 0 1 2 3
3
2
1
1�
�
�
�
2
3
4
�) ðàä
v�/2
� ����
� ����
� � � � �2,5 2 1,5 1 0,5
0,6
0,4
0,2
0
0,2�
v�/2
ry
rx
áà
Ðèñ. 8. Ëîãàðèôìè÷åñêèå ôàçî÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè â äåêàòîâîé (à) è ïîëÿðíîé (á)
ñèñòåìàõ êîîðäèíàò
ñèñòåìû: Crit :� 0 è Crit :� 1. Ïî êðèòåðèþ óñòîé÷èâîñòè (8) ìîæíî ïîñò-
ðîèòü äèàãðàììó óñòîé÷èâîñòè, àíàëîãè÷íóþ èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 4, ñ
ãðàíèöåé óñòîé÷èâîñòè kg � 195, .
Âûâîäû
Ïðåäëîæåííûé ìåòîä îöåíêè óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû óíèâåðñàëåí, òàê êàê
ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ñîñòîÿíèå íåïðåðûâíûõ ñèñòåì øèðîêîãî êëàññà.
The method of stability estimation of the dynamic systems according to analysis results of charac-
teristic polynomial of its transfer function has been considered. The phase-frequency criterion of
stability estimation of the continuous linear and nonlinear systems containing linear, irrational,
transcendent, nonminimum phase links and links of delay is proposed. The method of stability
analysis of the systems is expounded.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Òîï÷ååâ Þ.È. Àòëàñ äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ.—
Ì. : Ìàøèíîñòðîåíèå, 1989. — 752 ñ.
2. Äîëãèí Â.Ï. Àâòîìàòè÷åñêîå óïðàâëåíèå òåõíè÷åñêèìè è òåõíîëîãè÷åñêèìè ñèñòå-
ìàìè è îáúåêòàìè. Ìåòîäû àíàëèçà ñèñòåì è îáúåêòîâ. — Ñåâàñòîïîëü : Èçä-âî
ÑåâÍÒÓ, 2003. — 404 ñ.
3. Äîëãèí Â.Ï., Äîëãèí È.Â. Ìåòîä àïïðîêñèìàöèè àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñ-
òèêè // Îïòèìèçàöèÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ ïðîöåññîâ. Âûï. 11: Ñá. íàó÷. òð. — Ñåâàñ-
òîïîëü: Èçä-âî ÑåâÍÒÓ, 2009. — Ñ. 190—193.
4. http://www.exponenta.ru/educat/systemat/danilov/4.asp
Ïîñòóïèëà 26.11.12;
ïîñëå äîðàáîòêè 22.04.13
ÄÎËÃÈÍ Âëàäèìèð Ïðîõîðîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû àâòîìîáèëüíîãî òðàíñ-
ïîðòà Ñåâàñòîïîëüñêîãî íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà.  1958 ã. îêîí÷èë
Âîåííî-ìîðñêîå èíæåíåðíîå ó÷èëèùå èì. Ô.Ý. Äçåðæèíñêîãî (Ëåíèíãðàä), â 1965 ã. — Ñå-
âàñòîïîëüñêèé ïðèáîðîñòðîèòåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — àäàïòèâíûå
ìîäåëè â ñèñòåìàõ óïðàâëåíèÿ òåõíîëîãè÷åñêèìè îáúåêòàìè.
Â.Ï. Äîëãèí
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3
|