Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень
Розв'язані плоскі задачі дифракції пружних гармонічних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин або жорстких включень. За допомогою побудованих інтегральних зображень амплітуд переміщень відбитого хвильового поля крайові задачі зведені до систем сингулярних інтегральних рівнянь, які...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1009 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень / О.М. Ложкін, О.М. Назаренко // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 35-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1009 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-10092008-10-20T18:28:29Z Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень Ложкін, О.М. Назаренко, О.М. Розв'язані плоскі задачі дифракції пружних гармонічних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин або жорстких включень. За допомогою побудованих інтегральних зображень амплітуд переміщень відбитого хвильового поля крайові задачі зведені до систем сингулярних інтегральних рівнянь, які розв'язуються чисельно. Проаналізовано напружено-деформований стан середовища поблизу границі циліндрів у залежності від механічних, динамічних та геометричних характеристик. Решены плоские задачи дифракции упругих гармонических волн на периодических системах цилиндрических полостей или жестких включений. С помощью построенных интегральных представлений амплитуд перемещений отраженного волнового поля краевые задачи сведены к системе сингулярных интегральных уравнений, которые решаются численно. Проанализировано напряженно-деформированное состояние среды вблизи границы цилиндров в зависимости от механических, динамических и геометрических характеристик. The paper deals with solving of the plane problems of diffraction of elastic harmonic waves on periodic systems of cavities or rigid inclusions. By means of developed integral representations for displacement amplitudes of the reflected field, the boundary problems are reduced to the systems of singular integral equations that are solved numerically. The stress-strain state of the medium near the boundary of the cylinders is analyzed depending on the mechanical, dynamic and geometrical characteristics. 2006 Article Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень / О.М. Ложкін, О.М. Назаренко // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 35-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1009 539.3 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розв'язані плоскі задачі дифракції пружних гармонічних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин або жорстких включень. За допомогою побудованих інтегральних зображень амплітуд переміщень відбитого хвильового поля крайові задачі зведені до систем сингулярних інтегральних рівнянь, які розв'язуються чисельно. Проаналізовано напружено-деформований стан середовища поблизу границі циліндрів у залежності від механічних, динамічних та геометричних характеристик. |
| format |
Article |
| author |
Ложкін, О.М. Назаренко, О.М. |
| spellingShingle |
Ложкін, О.М. Назаренко, О.М. Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень |
| author_facet |
Ложкін, О.М. Назаренко, О.М. |
| author_sort |
Ложкін, О.М. |
| title |
Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень |
| title_short |
Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень |
| title_full |
Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень |
| title_fullStr |
Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень |
| title_full_unstemmed |
Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень |
| title_sort |
дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1009 |
| citation_txt |
Дифракція пружних хвиль на періодичних системах циліндричних порожнин та жорстких включень / О.М. Ложкін, О.М. Назаренко // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 35-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT ložkínom difrakcíâpružnihhvilʹnaperíodičnihsistemahcilíndričnihporožnintažorstkihvklûčenʹ AT nazarenkoom difrakcíâpružnihhvilʹnaperíodičnihsistemahcilíndričnihporožnintažorstkihvklûčenʹ |
| first_indexed |
2025-07-02T04:33:48Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:33:48Z |
| _version_ |
1836508332822626304 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 35 – 42
УДК 539.3
ДИФРАКЦIЯ ПРУЖНИХ ХВИЛЬ
НА ПЕРIОДИЧНИХ СИСТЕМАХ ЦИЛIНДРИЧНИХ
ПОРОЖНИН ТА ЖОРСТКИХ ВКЛЮЧЕНЬ
О. М. Л О Ж К IН, О. М. Н А ЗА Р ЕН К О
Сумський державний унiверситет
Одержано 28.09.2006
Розв’язанi плоскi задачi дифракцiї пружних гармонiчних хвиль на перiодичних системах цилiндричних порожнин
або жорстких включень. За допомогою побудованих iнтегральних зображень амплiтуд перемiщень вiдбитого хвильо-
вого поля крайовi задачi зведенi до систем сингулярних iнтегральних рiвнянь, якi розв’язуються чисельно. Проаналi-
зовано напружено-деформований стан середовища поблизу межi цилiндрiв у залежностi вiд механiчних, динамiчних
та геометричних характеристик.
Решены плоские задачи дифракции упругих гармонических волн на периодических системах цилиндрических по-
лостей или жестких включений. С помощью построенных интегральных представлений амплитуд перемещений
отраженного волнового поля краевые задачи сведены к системе сингулярных интегральных уравнений, которые
решаются численно. Проанализировано напряженно-деформированное состояние среды вблизи границы цилиндров
в зависимости от механических, динамических и геометрических характеристик.
The paper deals with solving of the plane problems of diffraction of elastic harmonic waves on periodic systems of cavities
or rigid inclusions. By means of developed integral representations for displacement amplitudes of the reflected field, the
boundary problems are reduced to the systems of singular integral equations that are solved numerically. The stress-strain
state of the medium near the boundary of the cylinders is analyzed depending on the mechanical, dynamic and geometrical
characteristics.
ВСТУП
Елементи конструкцiй, що використовуються в
технiцi або будiвництвi, як правило, працюють в
умовах динамiчних навантажень i часто мiстять
велику кiлькiсть неоднорiдностей, розташованих
вздовж однiєї лiнiї на однаковiй вiдстанi одна вiд
одної. Таку скiнченну систему включень з вели-
ким ступенем точностi можна апроксимувати не-
скiнченною, а саме, перiодичною системою. Тодi
для дослiдження напружено-деформованого ста-
ну об’єкта прийнятно обмежитись вивченням вiд-
повiдної перiодичної задачi динамiчної теорiї пру-
жностi. При оцiнюваннi ресурсу конструкцiї, яка
знаходиться пiд дiєю циклiчних навантажень, ви-
кликає iнтерес аналiз взаємодiї хвиль перемiщень
та напружень у пружному середовищi з отвора-
ми або включеннями. Тому вивчення дифракцiї
пружних хвиль на перiодичних системах неоднорi-
дностей у необмеженому середовищi слiд вважати
актуальним.
Першi дослiдження задач дифракцiї пружних
хвиль на неоднорiдностях типу порожнин та вклю-
чень зазвичай грунтувалися на методах розвинен-
ня у ряд за власними функцiями. Цей аналiти-
чний пiдхiд особливо ефективний при розв’язан-
нi плоских та антиплоских задач взаємодiї пруж-
них гармонiчних хвиль в iзотропному середовищi
з одиночними круговими порожнинами, недефор-
мiвними й пружними включеннями [1 – 3] та си-
стемами таких неоднорiдностей (зокрема, перiоди-
чних [2, 4]). За допомогою конформних вiдобра-
жень метод розвинення у ряд за власними фун-
кцiями був узагальнений на випадок некругових
цилiндричних розсiювачiв (з квадратним, трику-
тним, елiптичним перерiзами) [2, 5, 6]. Детальний
огляд лiтератури про взаємодiю пружних хвиль
з неоднорiдностями канонiчної форми мiститься у
роботах [1, 2].
У роботi [7] методом суперпозицiї [8] дослiдже-
но енергетичний резонанс у випадку вимушених
гармонiчних коливань пружного шару з цилiн-
дричним круговим отвором (одна поверхня шару
жорстко защемлена, а iнша – вiльна вiд напру-
жень).
При розв’язаннi динамiчних задач у випадку не-
однорiдностей складної геометрiї ефективно вико-
ристовується апарат методу R-функцiй [9,10], про-
меневi методики [11], пiдходи, що грунтуються на
побудовi граничних iнтегральних рiвнянь [12 –17],
та iн.
При дослiдженнi хвильових полiв у середньо-
частотному дiапазонi одним з найбiльш пошире-
них i ефективних є метод iнтегральних рiвнянь,
яким у статтi [12] дослiджено задачу дифракцiї
пружних плоских хвиль на порожнинах, включен-
нях та трiщинах. На базi побудованих iнтеграль-
них зображень хвильових потенцiалiв (окремо для
c© О. М. Ложкiн, О. М. Назаренко, 2006 35
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 35 – 42
НАБIГАЮЧА ПЛОСКА ХВИЛЯ
O
2d
L
x2
Рис. 1. Взаємодiя плоских гармонiчних хвиль
з перiодичною системою неоднорiдностей
кожного типу розсiювача) крайовi задачi зведе-
но до системи сингулярних iнтегральних рiвнянь.
На вiдмiну вiд [12], у [13] використано бiльш унi-
версальний пiдхiд, згiдно з яким будуються за-
гальнi iнтегральнi зображення для амплiтуд пе-
ремiщень хвильового поля, якi дають змогу отри-
мати систему сингулярних iнтегральних рiвнянь
для кожного типу розсiювачiв (порожнин, жорс-
тких та пружних включень). У роботi [14] на осно-
вi методу граничних елементiв та iтерацiйних ме-
тодiв розв’язано задачу дифракцiї плоских хвиль
на цилiндричному круговому включеннi з мiшани-
ми граничними умовами у пружному середовищi-
матрицi. Враховано можливiсть проковзування з
сухим тертям деяких невiдомих iнтервалiв межi
цилiндра вiдносно матрицi.
Метод iнтегральних рiвнянь також широко ви-
користовується для розв’язання перiодичних за-
дач дифракцiї. На основi чисельного розв’язан-
ня iнтегральних рiвнянь [15] i застосування одно-
модової апроксимацiї [16] розглянуто плоску за-
дачу проходження хвильового поля крiзь перiо-
дичну систему прямокутних цилiндричних поро-
жнин при довжинах хвиль, бiльших за перiод ре-
шiтки. З використанням одномодової апроксимацiї
у роботi [16] отриманi аналiтичнi вирази для кое-
фiцiєнтiв проходження та вiдбиття хвильового по-
ля. Порiвняння з результатом, отриманим чисель-
ним розв’язанням iнтегральної системи рiвнянь,
показало, що одномодова апроксимацiя може бу-
ти ефективно застосована у випадку низькочас-
тотних хвильових полiв.
Пiдхiд, запропонований у [13], був розвинутий
стосовно до перiодичної системи нерухомих вклю-
чень довiльного поперечного перерiзу. У статтi [17]
одержано розподiли напружень на контурах елi-
птичних неоднорiдностей при рiзних параметрах
набiгаючої хвилi, пружних характеристиках сере-
довища та геометрiї включень.
У даному дослiдженнi аналiзуються та порiв-
нюються напружено-деформованi стани середо-
вищ, якi мiстять перiодичнi системи цилiндричних
жорстких включень або порожнин довiльного по-
перечного перерiзу в умовах плоскої деформацiї.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглянемо необмежене пружне iзотропне сере-
довище зi щiльнiстю ρ та коефiцiєнтами Ламе λ i
µ, яке мiстить 2d-перiодичну вздовж осi Ox1 сис-
тему цилiндричних порожнин або жорстких вклю-
чень (рис. 1). Поперечнi перерiзи цилiндрiв площи-
ною x3 =0 обмеженi замкнутими контурами типу
Ляпунова. Нехай на перiодичну структуру з не-
скiнченностi набiгає гармонiчна хвиля розширен-
ня – стиску (P-випадок)
U
(0)
1 = 0, U
(0)
2 = τ1e
−iγ1x2 , γ1 =
ω
c1
(1)
або зсуву (SV-випадок)
U
(0)
1 = τ2e
−iγ2x2 , U
(0)
2 = 0, γ2 =
ω
c2
. (2)
Тут c1 i c2 – швидкостi подовжньої i поперечної
хвиль вiдповiдно; ω – кругова частота коливань;
ν – коефiцiєнт Пуассона; i – комплексна одиниця
(часовий множник e−iωt тут i надалi опущено).
Взаємодiючи з включенням, набiгаюча хвиля
породжує вiдбитi подовжнi та поперечнi хвилi.
Вiдбите хвильове поле перемiщень повинно задо-
вольняти умовам випромiнювання на нескiнченно-
стi та рiвнянням руху Ламе. Крiм того, повиннi
виконуватися вiдповiднi умови на границях цилiн-
дрiв.
На контурi L порожнини необхiдно забезпечити
рiвнiсть нулю амплiтуд компонентiв S1 i S2 голов-
ного вектора напружень:
S1 |L = 0, S2 |L = 0. (3)
У випадку жорсткого включення граничнi умо-
ви мають вигляд
U1|L = B1 − ω0η,
U2|L = B2 + ω0ξ,
P (ξ, η) ∈ L.
(4)
Тут U1 i U2 – амплiтуди компонентiв головного ве-
ктора перемiщень; B1 , B2 i ω0 – амплiтуди посту-
пального руху та жорсткого повороту включення.
36 О. М. Ложкiн, О. М. Назаренко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 35 – 42
Враховуючи спiввiдношення (4) та використову-
ючи другий закон Ньютона, отримуємо рiвняння,
якi описують поступальний рух жорсткого вклю-
чення:
∫
L
Smds = −ω2
0ρ0S0Bm, m = 1, 2. (5)
Рiвняння, що описує обертальний рух включення,
має вигляд
∫
L
(S1(η − y) − S2(ξ − x))ds = −ω2JAω0, (6)
де S0 – площа, обмежена контуром L; ρ0 – густина
матерiалу включення; JA – момент iнерцiї вклю-
чення вiдносно довiльної точки A(x, y). Величини
S1 i S2 виражаються через компоненти тензора ам-
плiтуд напружень τ11, τ22 i τ12 за формулами
2i(S1 + iS2) = (τ11 + τ22)e
iϕ0+
+(τ22 − τ11 − 2iτ12)e
−iϕ0 ,
−2i(S1 − iS2) = (τ11 + τ22)e
−iϕ0+
+(τ22 − τ11 + 2iτ12)e
iϕ0 ,
(7)
де ϕ0 – кут мiж вiссю Ox1 та дотичною до L у
точцi ζ0 =ξ0+iη0∈L.
На межi цилiндрiв нас буде цiкавити розподiл
амплiтуд напружень
τn = S1 sin ϕ0 − S2 cos ϕ0,
τns = S1 cosϕ0 + S2 sin ϕ0,
τs = (τ11 + τ22) − τn.
(8)
2. МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ
Запропонований пiдхiд грунтується на побудовi
iнтегральних зображень амплiтуд компонентiв пе-
ремiщень вiдбитого хвильового поля U
(1)
1 i U
(1)
2 у
такому виглядi, щоб вони автоматично задоволь-
няли рiвнянням руху та умовам випромiнюван-
ня на нескiнченностi. Слiдуючи [13], подамо U
(1)
1
i U
(1)
2 у виглядi потенцiалiв типу простого шару
(пiдсумовування проводимо по n=1, 2):
U
(1)
k (M) =
∫
L
V (k)
n (M, P )pn(s)ds, k = 1, 2. (9)
Тут pn(s) – невiдомi функцiї; V
(k)
n – компонен-
ти матрицi Грiна. Останнi являють собою амплi-
туди перемiщень у точцi M при дiї перiодичної
системи гармонiчних сил, зосереджених у точках
ζj =ξ+2jd+iη∈Lj (j = 0,±1,±2, . . .) i направле-
них вздовж осi Ox1 (k=1) або Ox2 (k=2).
Амплiтуди перемiщень V
(k)
n знаходимо зi спiв-
вiдношень
V
(2)
1 = V
(1)
2 = −(λ + µ)
∂2G
∂x1∂x2
,
V
(1)
1 = µ
∂2G
∂x2
1
+ (λ + 2µ)
∂2G
∂x2
2
+ ρω2,
V
(2)
2 = µ
∂2G
∂x2
2
+ (λ + 2µ)
∂2G
∂x2
1
+ ρω2,
(∆ + γ2
1 )(∆ + γ2
2 )G = cF,
c = −
1
µ(λ + 2µ)
,
F =
∞
∑
j=−∞
δ(x1 − ξ + 2jd, x2 − η),
(10)
де ∆ – оператор Лапласа; δ(x1, x2) – дельта-
функцiя Дiрака.
Фундаментальний розв’язок рiвняння (10) має
вигляд
G(M, P ) = −
c
2d(γ2
2 − γ2
1)
×
×
∞
∑
j=0
(
e−β1|x2−η|
β1
−
e−β2|x2−η|
β2
)
×
×
cosαj(x1 − ξ)
1 + δj0
,
(11)
де
αj =
πj
d
; βm =
√
α2
j − γ2
m, αj > γm,
−i
√
γ2
m − α2
j , αj < γm;
δjk – символ Кронекера.
Аналiз рядiв у розкладi (11) показує, що функ-
цiя G характеризується розкладом
G =
1
8π
r2 ln r + . . . , r = |z − ζ|,
z = x1 + ix2, ζ = ξ + iη ∈ L.
Якщо вона вiдома, то компоненти матрицi Грi-
на можуть бути знайденi за допомогою спiввiд-
ношень (10). Вiдзначимо, що компоненти V
(2)
1 i
О. М. Ложкiн, О. М. Назаренко 37
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 35 – 42
V
(1)
2 неперервнi у точцi прикладання зосередже-
ної сили, а V
(1)
1 i V
(2)
2 мають логарифмiчну осо-
бливiсть. З метою побудови ефективного чисель-
ного алгоритму вона видiлялася у явному виглядi.
Для цього розв’язок (11) представлявся у виглядi
G=G0+(G−G0), де G0 – перiодичний фундамен-
тальний розв’язок бiгармонiчного рiвняння
∆2G0 = cF,
яке вiдповiдає статичнiй задачi.
Вiдзначимо також, що за рахунок вибору ви-
разу для βm у формулi (11) виконуються умови
випромiнювання на нескiнченностi, тобто вiдбите
хвильове поле має характер хвиль, якi розходя-
ться [18]. Залишається виконати граничнi умови
на границi цилiндра.
Для спрощення аналiзу граничних iнтегральних
рiвнянь, якi виникають при цьому, зручно ввести
новi невiдомi щiльностi за допомогою спiввiдно-
шень
f1(s) = p1(s) + ip2(s),
f2(s) = p1(s) − ip2(s).
Тодi, виконуючи граничнi умови (3) на контурi по-
рожнини, приходимо до системи сингулярних iнте-
гральних рiвнянь другого роду:
−
1
2
fm(s0) +
∫
L
Emn(s0, s)fn(s)ds = Nm(s0). (12)
Тут m = 1, 2; пiдсумовування проводиться по n =
1, 2;
Emn = (−1)m+1 λ + µ
4di(λ + 2µ)
(
Dmn +
∞
∑
j=0
Fmn
1 + δj0
)
;
2D11 = κa2e
−iϕ0 − a1e
iϕ0 ;
D22 = D̄11;
Dmn = (−1)mian sin ϕ0 + bn, m 6= n;
Fnn = [knh2
n + (e1 + e2)q1−
−(−1)nh0i(d1 + d2)q2 − wn]hn;
Fmn = [knh2
m(v2 + e1 − e2)q1−
−(−1)mh0i(v1 + 3(d1 − d2))q2 + rm]hn, m 6= n;
κ = 3 − 4ν ;
a1 = ctg
π(ζ0 − ζ)
2d
; a2 = ā1;
b1 =
π(η0 − η)eiϕ0
2id sin2 π(ζ0 − ζ)
2d
; b2 = b̄1;
dn =
γ2
n
γ2
2 − γ2
1
e−βn|η0−η|; en =
αj
βn
dn;
kn = −
(
αj
β1
q1 + (−1)nh0iq2
)
e−β1|η0−η|;
q1 = sin αj(ξ0 − ξ); q2 = cosαj(ξ0 − ξ);
h0 = sign(η0 − η); h1 = eiϕ0 ; h2 = h̄1;
w1 = w̄2 = h0i
(
κe−h0iαj(ζ̄0−ζ̄) + eh0iαj(ζ0−ζ)h2
1
)
;
r1 = r̄2 = h0ie
−h0iαj(ζ̄0−ζ̄)
(
2αj|η0 − η| + h2
1 − 1
)
;
v1 =
4
γ2
2 − γ2
1
(
β2
1e−β1|η0−η| − β2
2e−β2|η0−η|
)
;
v2 =
4αj
γ2
2 − γ2
1
(
β1e
−β1|η0−η| − β2e
−β2|η0−η|
)
;
Nm =
µγ1τ1
0.5− ν
e−iγ1η0 [(−1)m+1×
×(1−ν) cos ϕ0+ iν sin ϕ0] для P-хвилi,
iγ2µτ2e
−iγ1η0e(−1)miϕ0 для SV-хвилi.
Виконання умов (4) на контурi жорсткого вклю-
чення зводить граничну задачу до системи iнте-
гральних рiвнянь з логарифмiчними ядрами. З ме-
тою отримання сингулярних iнтегральних рiвнянь
використовувалися модифiкованi граничнi умови,
отриманi зi спiввiдношень (4) диференцiюванням
по дуговiй координатi s0:
d(U1 ± iU2)
ds0
∣
∣
∣
∣
L
= ±iω0e
±iϕ0 ,
dW
ds0
=
(
∂W
∂z
eiϕ0 +
∂W
∂z̄
e−iϕ0
)
∣
∣
∣
∣
z→ζ0
.
(13)
У результатi на контурi жорсткого включення
одержуємо сингулярне iнтегральне рiвняння пер-
шого роду (m, n=1, 2):
∫
L
Bmn(s0, s)fn(s)ds = Mm(s0)ω0 + Km(s0), (14)
38 О. М. Ложкiн, О. М. Назаренко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 35 – 42
де
Bmn = −
λ + µ
4d
[
Amn +
∞
∑
j=0
Cmn
1 + δj0
]
;
Ann =
κ
2
Re {a1e
iϕ0};
2Amn = (−1)mian sin ϕ0 + bn, m 6= n;
Cnn = (e1 + e2)q1 cosϕ0+
+h0(d1 + d2)q2 sinϕ0 − t0;
Cmn =
(
v2
2
hn + (e1 − e2
)
cosϕ0)q1−
−(−1)mh0i
(
v1
2
hn + (d1 − d2)×
×(hn + cos ϕ0)
)
q2 + tn, m 6= n;
t0 = κe−αj|η0−η| sin (αj(ξ0 − ξ) + h0ϕ0) ;
t1 = t̄2 =
(
iαj(η0 − η)e−iϕ0 − h0 sin ϕ0
)
×
×e−h0iαj(ζ̄0−ζ̄);
M1 = M2 = iω0e
iϕ0 ;
K2 =
−K1 = γ1τ1e
−iγ1η0 sin ϕ0 для P-хвилi,
K1 = iγ2τ2e
−iγ2η0 sin ϕ0 для SV-хвилi.
Необхiднi для розв’язання системи рiвнянь (14)
три додатковi умови випливають iз поступально-
го (5) та обертального (6) законiв руху абсолютно
жорсткого тiла.
3. РЕЗУЛЬТАТИ ЧИСЕЛЬНИХ ДОСЛIД-
ЖЕНЬ ТА ЇХ АНАЛIЗ
При чисельнiй реалiзацiї алгоритму використо-
вувався метод механiчних квадратур [19]. Як при-
клад розглядалося середовище, яке мiстить перiо-
дичну систему цилiндрiв елiптичного поперечного
перерiзу:
ξ = a sinβ, η = −b cosβ, 0 ≤ β ≤ 2π. (15)
На контурi L проводилось обчислення безрозмiр-
них амплiтуд напружень
σn =
|τn|
P
, σs =
|τs|
P
, σns =
|τns|
P
, (16)
де P – максимальне напруження у падаючiй хвилi,
яке дорiвнює γ1τ1(λ+2µ) у P-випадку (1) i γ2τ2µ у
SV-випадку (2).
Отриманi результати порiвнювалися з даними,
наведеними в [2,4] для перiодичної системи цилiн-
дричних включень кругового поперечного перерi-
зу. Крiм того, здiйснювався граничний перехiд до
одиночної неоднорiдностi (d →∞). Цi результати
порiвнювались з наведеними в роботах [1, 2]. Iден-
тичнiсть графiкiв напружень для обох випадкiв
свiдчить про ефективнiсть i достовiрнiсть побудо-
ваного алгоритму.
Вiдзначимо, що при дифракцiї плоских хвиль
на порожнинi напруження σn та σns завжди
дорiвнюють нулю, а при дiї хвилi (1) або (2)
на жорстке елiптичне включення завжди вiрно
σs =νσn/(1−ν)<σn, оскiльки поворот включен-
ня вiдсутнiй (ω0 = 0). Тому напруження σs на
контурi порожнини можна якiсно порiвнювати з
напруженням σn на контурi жорсткого включен-
ня. Надалi, якщо не зазначено iнше, будемо вва-
жати, що коли мова йде про напруження σs, це
стосується межi порожнини, а коли про σn та σns –
межi жорсткого включення.
На рис. 2 – 4 наведенi розподiли напружень на
контурi (15) жорсткого включення або порожнини
при a/d=0.4, ν =0.3. У випадку жорсткого вклю-
чення ρ0/ρ=3.0 (ρ – густина матрицi). Кривi 1 – 4
вiдповiдають b/a = 0.25, 0.5, 2.0 i 8.0. Рис. 2, а i 3
iлюструють набiгання P-хвилi (1) при 2d/λ1 =0.5,
а рис. 2, б i рис. 4 – набiгання SV-хвилi (2) при
2d/λ2 =0.5. Тут λ1 i λ2 – довжини поздовжньої та
поперечної хвиль вiдповiдно.
Аналiз показує, що для обох типiв цилiндрiв
iснує принципова вiдмiннiсть у розподiлах контур-
них напружень при набiганнi хвиль розширення –
стиску та зсуву. Так, у P-випадку при b/a≤ 1 по-
близу точки зiсковзування (β = 90◦) спостерiгає-
ться максимум напружень σs i σns та локальний
мiнiмум напруження σn. Максимум σn знаходи-
ться в освiтленiй областi (90◦ <β <180◦). У тiньо-
вiй (β = 0◦) та лобовiй (β = 180◦) точках завжди
виконується σns = 0. При b/a > 1 максимуми на-
пружень σs i σn змiщуються у тiньову та лобову
точки, а максимум σns – в освiтлену область. За-
уважимо, що у випадку жорстких включень варi-
ювання вiдношення b/a практично не впливає на
значення напруження σn поблизу лобової точки.
Крiм того, у випадках сплюснутих та витягнутих
елiпсiв напруження на межi порожнини значно пе-
ревищує напруження на межi жорсткого включен-
ня.
У SV-випадку при b/a ≤ 1 у точцi зiсковзуван-
ня спостерiгається локальний мiнiмум напружень
О. М. Ложкiн, О. М. Назаренко 39
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 35 – 42
0 60 120 180
0
4
8
12
0 60 120 180
0
2
4
6
8
β β
sσ sσ
1
1 1
2
2
2
3 3
3
3
4
4
4
4
4
4
3
1
а б
Рис. 2. Розподiл напружень на контурi елiптичної порожнини:
а – випадок набiгання P-хвилi, б – випадок набiгання SV-хвилi
0 60 120 180
0
0.6
1.2
1.8
2.4
0 60 120 180
0
1
2
3
1
2
1
1
2
3
3
3
4
4
4
4
nsσnσ
β β
2
2
а б
Рис. 3. Розподiл напружень на контурi елiптичного жорсткого включення у P-випадку
σs i σn та локальний максимум σns. У лобовiй i
тiньовiй точках σs = σn ≡ 0. При b/a > 1 макси-
муми напружень σs i σn змiщуються у тiньову та
освiтлену областi, а максимуми σns вiдповiдають
лобовiй та тiньовiй точкам. При цьому у випад-
ку жорстких включень, на вiдмiну вiд порожнин,
максимум найбiльш виражений саме в освiтленiй
областi (крива 4 на рис. 4).
На рис. 5 i 6 для рiзних типiв включень наве-
денi залежностi максимальних контурних напру-
жень вiд вiдношення перiоду решiтки до довжи-
ни набiгаючої хвилi 2d/λ1 у P-випадку (a/d =
0.5, b/a = 0.5, ρ0/ρ = 2.0). Кривi 1 – 3 вiдпо-
вiдають значенням ν = 0.1, 0.25 i 0.4. Обчис-
40 О. М. Ложкiн, О. М. Назаренко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 35 – 42
0 60 120 180
0
1
2
3
4
5
0 60 120 180
0
2
4
6
8
10
1
1 2
2
2
3 3
4 4
4
1
3
nsσnσ
β β
3
4
1
3
4
а б
Рис. 4. Розподiл напружень на контурi елiптичного жорсткого включення у SV-випадку
0 0.5 1 1.5
0
0.8
1.6
2.4
0 0.5 1 1.5
1
1.5
2
2.5
1
1
1
2
2
2
1
1
2
1
2
3
33
3
3
3
xam
nσ xam
nsσ
1
2
λ
d
1
2
λ
d
3
2
1
3
а б
Рис. 5. Розподiл максимальних контурних напружень у випадку жорсткого включення
лення показують, що при дифракцiї плоскої гар-
монiчної хвилi на перiодичнiй системi порожнин
або жорстких цилiндричних включень спостерi-
гається рiзке зростання максимальних контур-
них напружень бiля так званих точок ковзан-
ня [2], що вiдповiдають значенням 2d/λ1 = k i
2d/λ2 = k (k = 1, 2, . . .). У низькочастотнiй обла-
стi зi збiльшенням коефiцiєнта Пуассона ν для
цилiндрiв обох типiв спостерiгається зменшення
максимальних напружень. Окрiм того, для дов-
гих хвиль зi збiльшенням 2d/λ1 максимальнi кон-
турнi напруження зростають у випадку решiтки
з жорстких включень i зменшуються для решi-
тки з порожнин. Зазначимо, що при однакових
значеннях заданих параметрiв максимальнi на-
пруження на порожнинах значно перевищують
О. М. Ложкiн, О. М. Назаренко 41
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 35 – 42
0 0.5 1 1.5
0
4
8
12
1
1
2
2
2
1
2
λ
d
1
xam
sσ
3
3
3
3
1
Рис. 6. Розподiл максимальних контурних
напружень у випадку порожнин
максимальнi напруження на жорстких включен-
нях.
ВИСНОВОК
На основi методу iнтегральних рiвнянь запро-
поновано єдиний пiдхiд до розв’язання плоских
задач дифракцiї пружних гармонiчних хвиль на
перiодичних системах цилiндричних порожнин
або жорстких включень. Порiвняльний аналiз
напружено-деформованого стану iзотропного се-
редовища поблизу вказаних неоднорiдностей по-
казав, що iснує принципова вiдмiннiсть у розпо-
дiлi напружень на межi цилiндрiв у залежностi
вiд їхнього типу та характеру набiгаючої хвилi.
Отриманi результати пiдтверджують той факт,
що довжина перiоду решiтки суттєво впливає на
напружено-деформований стан середовища. У ви-
падках, коли довжини вiдбитих хвиль кратнi цьо-
му перiоду, спостерiгається рiзке збiльшення на-
пружень поблизу цилiндрiв.
1. Pao Y. H., Mow C. C. The diffraction of elastic waves
and dynamic stress concentration.– New York: Crane
Rassak Co, 1973.– 689 p.
2. Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Черевко М. А. Дифра-
кция упругих волн.– К.: Наук. думка, 1978.– 307 с.
3. Liu Y., Wu R. S., Ying C. F. Scattering of
elastic waves by an elastic or viscoelastic
cylinder // Geophys. J. Int.– 2000.– 142,
N 27-28.– P. 439–460.
4. Головчан В. Т. Дифракция волны сдвига на беско-
нечном ряде цилиндрических полостей // Прикл.
мех.– 1971.– 7, N 3.– С. 41–46.
5. Шульга Н. А., Колодий В. И. Дифракция волн
сдвига на упругом включении некруговой ци-
линдрической формы // Мех. композит. матер.–
1981.– N 1.– С. 153–156.
6. Datta S. K. Diffraction of SH-waves by an alliptic
cylinder // Int. J. Solid Struct.– 1974.– 10, N 1.–
P. 123–133.
7. Гомилко А. М., Городецкая Н. С., Гринченко В. Т.,
Украинский Л. Е. Осесимметричная смешанная
задача стационарной динамической теории упру-
гости для слоя с цилиндрическим отверстием //
Прикл. мех.– 1998.– 34, N 1.– С. 39–46.
8. Гринченко В. Т. Равновесие и установившиеся ко-
лебания упругих тел конечных размеров.– К.: На-
ук. думка, 1978.– 264 с.
9. Рвачев В. Л. Теория R-функций.– К.: Наук. думка,
1982.– 556 с.
10. Гуляев. Ю В., Кравченко В. Ф., Рвачев В. Л.,
Сизова Н. Д. Исследование дифракции упругих
волн на пластинах, ослабленных двумя отверсти-
ями произвольной формы // Докл. РАН. Матема-
тическая физика.– 1996.– 349, N 2.– С. 175–179.
11. Подильчук Ю. Н., Рубцов Ю. К. Применение луче-
вых методов в задачах распространения и рассея-
ния волн (обзор) // Прикл. мех.– 1996.– 32, N 12.–
С. 3–27.
12. Фильштинский Л. А. Дифракция упругих волн на
трещинах, отверстиях, включениях в изотропной
среде // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.–
1991.– N 4.– С. 119–127.
13. Назаренко А. М. Дифракция гармонических волн
на цилиндрическом упругом включении в усло-
виях плоской деформации // Дин. сист.– 2005.–
N 19.– С. 54–60.
14. Feng Y. D., Wang Y. S., Zhang Z. M. Time domain
BEM analysis of cylinder embedded in soil with fricti-
onal slip at the interface // Soil Dyn. Earthq. Engng.–
2003.– 23, N 4.– P. 303–311.
15. Scarpetta E., Sumbatyan M. A. In-plane wave
propagation through elastic solids with a periodic
array of rectangular defects // Trans. ASME, J. Appl.
Mech.– 2001.– 69, N 2.– P. 179–188.
16. Scarpetta E., Sumbatyan M. A. The single-mode
approximation in the problem of the propagation of
a plane longitudinal wave in an elastic medium with
a periodic system of rectangular defects // J. Appl.
Math. Mech.– 2003.– 67, N 4.– P. 601–610.
17. Назаренко А. М., Ложкин А. М. Взаимодействие
плоских гармонических волн с периодической си-
стемой неподвижных цилиндрических включений
в условиях плоской деформации // Вiсн. НТУ
“ХПI”. Тем. вип.: Динам. i мiцн. машин.– 2005.–
N 20.– С. 129–134.
18. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук.
думка, 1981.– 284 с.
19. Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук З. Т. Ме-
тод сингулярных интегральных уравнений в дву-
мерных задачах дифракции.– К.: Наук. думка,
1984.– 344 с.
42 О. М. Ложкiн, О. М. Назаренко
|