Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями

С использованием обобщенных функций получено уравнение теплопроводности с разрывными и сингулярными коэффициентами для изотропной многослойной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, которая содержит инородное сквозное тепловыделяющее включение. С использованием кусочно-линейной аппро...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
1. Verfasser:	Гаврыш, В.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Электронное моделирование
Schlagworte:	Применение методов и средств моделирования
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100901
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 63-74. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-100901
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1009012016-05-29T03:03:00Z Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями Гаврыш, В.И. Применение методов и средств моделирования С использованием обобщенных функций получено уравнение теплопроводности с разрывными и сингулярными коэффициентами для изотропной многослойной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, которая содержит инородное сквозное тепловыделяющее включение. С использованием кусочно-линейной аппроксимации температуры на граничных поверхностях включения и интегрального преобразования Фурье построено численно-аналитическое решение задачи теплопроводности с граничными условиями второго рода. Выполнен численный анализ для однослойной бесконечной пластины со сквозным тепловыделяющим включением. За узагальненими функціями отримано рівняння теплопровідності з розривними та сингулярними коефіцієнтами для ізотропної безмежної багатошарової пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями, яка містить чужорідне наскрізне теплоактивне включення.Після кусково-лінійної апроксимації температури на межових поверхнях включення та інтегрального перетворення Фур’є знайдено аналітично-числовий розв’язок задачі теплопровідності з крайовими умовами другого роду. Виконано числовий аналіз для одношарової безмежної пластини з наскрізним включенням, що виділяє тепло. A heat equation with discontinuous and singular coefficients for an isotropic multi-layer plate with thermally insulated surfaces which contains a heat-generating foreign through inclusion has been deduced with the use of generalized functions. A numerical-analytical solution for the heat equation with boundary conditions of the second kind has been constructed using a piecewise linear approximation of the temperature on the boundary surfaces of the inclusion and Fourier integral transform. The numerical analysis of a single-layer infinite plate with a through heat-generating inclusion has been made. 2013 Article Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 63-74. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100901 536.24 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования
spellingShingle	Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Гаврыш, В.И. Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями Электронное моделирование
description	С использованием обобщенных функций получено уравнение теплопроводности с разрывными и сингулярными коэффициентами для изотропной многослойной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, которая содержит инородное сквозное тепловыделяющее включение. С использованием кусочно-линейной аппроксимации температуры на граничных поверхностях включения и интегрального преобразования Фурье построено численно-аналитическое решение задачи теплопроводности с граничными условиями второго рода. Выполнен численный анализ для однослойной бесконечной пластины со сквозным тепловыделяющим включением.
format	Article
author	Гаврыш, В.И.
author_facet	Гаврыш, В.И.
author_sort	Гаврыш, В.И.
title	Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
title_short	Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
title_full	Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
title_fullStr	Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
title_full_unstemmed	Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
title_sort	моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Применение методов и средств моделирования
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100901
citation_txt	Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 63-74. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT gavryšvi modelirovanietemperaturnyhrežimovvkusočnoodnorodnyhélementahélektronnyhustrojstvsoskvoznymiteplovydelâûŝimiinorodnymivklûčeniâmi
first_indexed	2025-07-07T09:31:34Z
last_indexed	2025-07-07T09:31:34Z
_version_	1836980051706380288
fulltext	ÓÄÊ 536.24 Â.È. Ãàâðûø, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Íàöèîíàëüíèé óíèâåðñèòåò «Ëüâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà», (Óêðàèíà, 79013, Ëüâîâ, óë. Ñ. Áàíäåðû, 12, òåë. (032) 2582578, e-mail: ikni.pz@gmail.com) Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ ñî ñêâîçíûìè òåïëîâûäåëÿþùèìè èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè Ñ èñïîëüçîâàíèåì îáîáùåííûõ ôóíêöèé ïîëó÷åíî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ðàçðûâ- íûìè è ñèíãóëÿðíûìè êîýôôèöèåíòàìè äëÿ èçîòðîïíîé ìíîãîñëîéíîé ïëàñòèíû ñ òåïëî- èçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè, êîòîðàÿ ñîäåðæèò èíîðîäíîå ñêâîçíîå òåïëî- âûäåëÿþùåå âêëþ÷åíèå. Ñ èñïîëüçîâàíèåì êóñî÷íî-ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè òåìïåðàòóðû íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ âêëþ÷åíèÿ è èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîñòðîåíî ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âòî- ðîãî ðîäà. Âûïîëíåí ÷èñëåííûé àíàëèç äëÿ îäíîñëîéíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû ñî ñêâîçíûì òåïëîâûäåëÿþùèì âêëþ÷åíèåì. Çà óçàãàëüíåíèìè ôóíêö³ÿìè îòðèìàíî ð³âíÿííÿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ ç ðîçðèâíèìè òà ñèíãó- ëÿðíèìè êîåô³ö³ºíòàìè äëÿ ³çîòðîïíî¿ áåçìåæíî¿ áàãàòîøàðîâî¿ ïëàñòèíè ç òåïëî³çîëüî- âàíèìè ëèöåâèìè ïîâåðõíÿìè, ÿêà ì³ñòèòü ÷óæîð³äíå íàñêð³çíå òåïëîàêòèâíå âêëþ÷åííÿ. Ï³ñëÿ êóñêîâî-ë³í³éíî¿ àïðîêñèìàö³¿ òåìïåðàòóðè íà ìåæîâèõ ïîâåðõíÿõ âêëþ÷åííÿ òà ³íòåãðàëüíîãî ïåðåòâîðåííÿ Ôóð’º çíàéäåíî àíàë³òè÷íî-÷èñëîâèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ òåïëîïðî- â³äíîñò³ ç êðàéîâèìè óìîâàìè äðóãîãî ðîäó. Âèêîíàíî ÷èñëîâèé àíàë³ç äëÿ îäíîøàðîâî¿ áåçìåæíî¿ ïëàñòèíè ç íàñêð³çíèì âêëþ÷åííÿì, ùî âèä³ëÿº òåïëî. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: òåìïåðàòóðà, òåïëîïðîâîäíîñòü, ñòàöèîíàðíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à, èçîòðîïíàÿ ïëàñòèíà, èíîðîäíîå âêëþ÷åíèå, èäåàëüíûé òåïëîâîé êîíòàêò. Âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ ïðîèçâîäñòâà ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ èìåþò êîìïîçèòíûå ìàòåðèàëû, ñðåäè êîòîðûõ îñîáîå ìåñòî çàíèìàþò êóñî÷íî- îäíîðîäíûå ñòðóêòóðû (ñëîèñòûå, îäíîðîäíûå è ñëîèñòûå ñ èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè), êîòîðûå øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â èíòåãðàëüíûõ ñåíñîðàõ äëÿ ìîíèòîðèíãà òåìïåðàòóðû è âëàæíîñòè, ñâåòîèçëó÷àþùèõ ýëåìåíòàõ äëÿ äèíàìè÷åñêèõ ñâåòîäèîäíûõ ïîäñâåòîê, òåìïåðàòóðíûõ ïðåîáðàçîâà- òåëÿõ è äð. Ïîñêîëüêó óêàçàííûå ñòðóêòóðû è â ïðîöåññå ïðîèçâîäñòâà, è ïðè ýêñïëóàòàöèè ïîäâåðãàþòñÿ òåìïåðàòóðíîìó âîçäåéñòâèþ â øèðîêîì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 63 � Â.È. Ãàâðûø, 2013 äèàïàçîíå, ÷òî ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ ñòðóêòóðíûõ äåôåêòîâ, ïðè ïðîãíî- çèðîâàíèè íàäåæíîñòè óñòðîéñòâ âàæíîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðíûõ ïîëåé è èõ ãðàäèåíòîâ. Â ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêëà íåîáõî- äèìîñòü ïîñòðîåíèÿ íîâûõ ëèíåéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïðîöåññà òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ñëîèñòûõ òåë ñ èíîðîäíûìè ñêâîçíûìè òåïëîâûäå- ëÿþùèìè âêëþ÷åíèÿìè è ðàçðàáîòêè ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ âîçíè- êàþùèõ ïðè ýòîì ëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè. Â ðàáîòàõ [1, 2] ïðèâåäåíû íåêîòîðûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ îäíîðîäíûõ òåë. Â ðàáîòå [3] ñôîðìóëèðîâàíà çàäà÷à ñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ñëîèñòûõ ïëàñòèí ïîñòîÿííîé è ïåðåìåííîé òîëùèíû â ïðîñòðàíñòâåííîé ïîñòà- íîâêå. Ìåòîäîì íà÷àëüíûõ ôóíêöèé òðåõìåðíàÿ çàäà÷à ñâåäåíà ê äâóìåð- íîé. Äëÿ ïëàñòèíû ñî ñëîÿìè ïåðåìåííîé òîëùèíû ïîëó÷åíà ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðîàíàëèçèðîâàíû ïîëó÷åí- íûå äâóìåðíûå êðàåâûå çàäà÷è. Äëÿ ïëàñòèí ñ îäíîðîäíûìè ñëîÿìè ïî- ñòîÿííîé òîëùèíû ïîñòðîåíî ðåøåíèå â àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòî ðåøåíèå ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì, ïîëó÷åííûì ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Â ðàáîòå [4] ïîñòðîåíî âíåøíåå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøå- íèÿ çàäà÷è íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ñëîèñòûõ àíèçîòðîï- íûõ íåîäíîðîäíûõ ïëàñòèí ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âòîðîãî ðîäà íà ëèöåâûõ ïîâåðõíîñòÿõ. Ïðîàíàëèçèðîâàíû ïîëó÷åííûå äâóìåðíûå ðå- øàþùèå óðàâíåíèÿ è èññëåäîâàíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ðåøåíèé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè. Ïîëó÷åíû îöåíêè òî÷íîñòè, ñ êîòîðîé òåìïå- ðàòóðà â ïëàñòèíå çà ïðåäåëüíûì ñëîåì ñ÷èòàåòñÿ êóñî÷íî-ëèíåéíîé èëè êóñî÷íî-êâàäðàòè÷íîé, ðàñïðåäåëåííîé ïî òîëùèíå ñëîèñòîé êîíñòðóê- öèè. Ïðèâåäåíî ôèçè÷åñêîå îáîñíîâàíèå íåêîòîðûõ îñîáåííîñòåé àñèìï- òîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ òåìïåðàòóðû. Ðàáîòû [5—10] ïîñâÿùåíû ðàçâèòèþ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ëèíåéíûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ òåïëîîòäà÷åé äëÿ êîíñòðóêöèé äâó- ìåðíîé êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû. Â ðàáîòàõ [11,12] ïðèâåäåíû îá- ùèå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ òåë. Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ñòàöèîíàðíîãî ïðî- öåññà òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ, ïðåäñòàâëåííûõ â âèäå èçîòðîïíîé ìíîãîñëîéíîé ïëàñòèíû ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè, èìåþùåé ñêâîçíîå èíî- ðîäíîå òåïëîâûäåëÿþùåå âêëþ÷åíèå, èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó ðåøåíèÿ çàäà- ÷è òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âòîðîãî ðîäà. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Èçîòðîïíàÿ (îòíîñèòåëüíî òåïëîôèçè÷åñêèõ ïà- ðàìåòðîâ) ìíîãîñëîéíàÿ áåñêîíå÷íàÿ ïëàñòèíà, îòíåñåííàÿ ê ïðÿìî- Â.È. Ãàâðûø 64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6 óãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Îxyz ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè \| \|z ��, èìååò èíîðîäíîå ñêâîçíîå âêëþ÷åíèå, â îáëàñòè �0 0� � � � �{( , , ) :\| \| , , \| \| }x y z x h y y zn � êîòîðîãî äåéñòâóþò ðàâíîìåðíî ðàñ- ïðåäåëåííûå âíóòðåííèå èñòî÷íèêè òåïëà ìîùíîñòüþ q0 �const. Íà ãðàíè÷- íûõ ïîâåðõíîñòÿõ K x z x z0 0� � � �{( , , ) :\| \| , \| \| }� , K x y z xn n� � �{( , , ) :\| \| , \| \| }z � � ïëàñòèíû çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ âòîðîãî ðîäà, à íà ïîâåðõíîñòÿõ ñîïðÿæåíèÿ K x y z x h zj j� �{( , , ) : \| , \| \| }� ( , )j n� 1 1 ðàçíîðîäíûõ ñëîåâ ïëàñòèíû, ãäå y j — òîëùèíà j-ãî ñëîÿ, è ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ K h y z y y zn� � � � � �{( , , ) : , \| \| }0 � âêëþ÷åíèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ èäåàëüíûé òåïëîâîé êîíòàêò (ðèñ. 1). Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è. Còàöèîíàðíîå òåìïåðàòóðíîå ïîëå t x y( , ) â ïðèâåäåííîé ñèñòåìå íàõîäèì â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè [11, 12] div grad[ ( , ) ] ( )� x y q S h x� 0 (1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè x �� 0, � � � � � �x y yx y y yn �� 0 0, (2) ãäå� ( , )x y — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìíîãîñëîéíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû, � � � �( , ) [ ( ) ( )] ( , )x y S h x N y y j n j j j� � � � 1 0 1 ; (3) � j è � 0 — êîýôôèöèåíòû òåïëîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëîâ ñîîòâåòñòâåííî j-ãî ñëîÿ ïëàñòèíû è âêëþ÷åíèÿ; � t tc — èçáûòî÷íàÿ òåìïåðàòóðà; tc — Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 65 Ðèñ.1. Ñå÷åíèå èçîòðîïíîé ìíîãîñëîéíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû ñ èíîðîäíûì ñêâîçíûì òåïëîâûäåëÿþùèì âêëþ÷åíèåì ïëîñêîñòüþ z � 0: 1, 2 — ñëîè ïëàñòèíû òåìïåðàòóðà âíåøíåé ñðåäû; N y y S y y S yj j j( , ) ( ) ( ) � � � 1 1 1 ; y0 0� ; S �( )� — àñèììåòðè÷åñêèå åäèíè÷íûå ôóíêöèè [13], S � � � � � � � �� ( ) , , , , , , , . � � � � 1 0 0 5 0 5 0 0 0 � Ââåäåì ôóíêöèþ T x y�� ( , ) (4) è ïðîäèôôåðåíöèðóåì åå ïî ïåðåìåííûì x è y c ó÷åòîì (3). Â ðåçóëüòà- òå ïîëó÷èì � � � � � � � �( , ) ( ) ( ) ( , )x y x T x x h N y y x h j n j j� � � � � � 1 0 1 , � � � � � � � �( , ) ( ) ( )x y y T y y y j n j j y y j j � � � � �� 1 1 1 . (5) Çäåñü � � � � � ��( ) ( )dS d — àñèììåòðè÷åñêèå äåëüòà-ôóíêöèè Äèðàêà [13]. Ïîäñòàâèâ (5) â ñîîòíîøåíèå (1), ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâ- íåíèþ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ðàçðûâíûìè è ñèíãóëÿðíûìè êîýôôè- öèåíòàìè � � � �T x h N y y x h j n j j� � � � � �( ) ( ) ( , ) 1 0 1 � � � � � � � j n j j y y j j y y q S h x 1 1 1 0( ) ( ) ( )� � � , (6) ãäå � — îïåðàòîð Ëàïëàñà â äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäè- íàò, � � � � � � � 2 2 2 2x y . Ðåøåíèå ãðàíè÷íîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè. Àïïðîêñèìèðóåì ôóíêöèþ ( , )�h y â âèäå ( , ) ( ) (( ) ( ) ( ) (� � � � � � � � �h y S y yjh k m k jh k jh k1 1 1 1 j )* ) , (7) Â.È. Ãàâðûø 66 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6 ãäå y y y k j j j ( )* ] , [� 1 ; y y yj j m j 1 2 1 ( ) ( ) ( )* * * ...� � � ; m — ÷èñëî ðàçáèåíèé èíòåð- âàëà ] , [y yj j 1 ; k jh( )� (k m�1, , j n�1, ) — íåèçâåñòíûå àïïðîêñèìèðóþùèå çíà÷åíèÿ. Ïîäñòàâèâ (7) â óðàâíåíèå (6), ïîëó÷èì � � � � � � �T y y j n j j y y j j n j j � � � � � � � � �� 1 1 1 1 0( ) ( ) ( )[ ( )( ( , )( )x h N y yjh j � 1 1 � � � � � � k m k jh k jh k j jN y y y x h 1 1 1 ( ) ( , , )) ( )(( ) ( ) ( )* � 1 1 ( ) ( , ) �jh jN y y � � � � k m k jh k jh k j jN y y y q S h 1 1 1 0( ) ( , , ))] (( ) ( ) ( )* x ), (8) ãäå N y y y S y y S y y k j j k j j ( , , ) ( ) ( )( ) ( )* * � � . Ïðèìåíèâ èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî êîîðäèíàòå x ê óðàâ- íåíèþ (8) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2) ñ ó÷åòîì (4), ïðèõîäèì ê îáûêíîâåííî- ìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè d T dy T y y j n j j y y j j 2 2 1 1 1 � � � � � �� ( ) ( ) � � � � � �1 2 1 0 1 1 � � � � �i e N y y j n j i h jh j( )[ ( ( , )( ) � � � � k m k jh k jh k j j i hN y y y e 1 1 1 1 ( ) ( , , )) (( ) ( ) ( ) (* � �jh jN y y) ( , )1 � � � � � k m k jh k jh k j jN y y y q 1 1 1 02 ( ) ( , , ))] si( ) ( ) ( )* � n�h � � � (9) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì dT dy dT dyy y yn� � � � 0 0 , (10) ãäå T — òðàíñôîðìàíòà ôóíêöèè T, T e Tdxi x� � � 1 2� � ; � — ïàðàìåòð èíòå- Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 67 ãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå; i � 1— ìíèìàÿ åäèíèöà. Ðåøèâ óðàâ- íåíèå (9), ïîëó÷èì T C ch y C sh y y ch y y S j n j j j j� � � � � ��1 2 1 1 1� � � � !� " �( ) , ( ) ( )y y j � � � � � � ��1 2 1 0 1� � � � ��i e ch y y S y y j n j i h jh j j( )[ ( ( ( ) (( ) ) � � � ch y y S y y N y yj j j� ( ) ( ) ( , ))1 1 1 � � � �� k m k jh k jh j jch y y S y y ch y 1 1 1 ( )( ( ) ( ) (( ) ( ) � � y S y y k j k j( ) ( )* * ) ( ) � � �N y y y e ch y y S y y k j j i h jh j j( , , ))) ( ( ( ) ( )( ) ( )* � � 1 � � � ch y y S y y N y yj j j� ( ) ( ) ( , ))1 1 1 � � � �� k m k jh k jh j jch y y S y y ch 1 1 1 ( )( ( ) ( ) (( ) ( ) � � y y S y y k j k j � ( ) ( )* * ) ( ) � � � � � N y y y q h k j j( , , )))] sin( )* 2 0 2� � , (11) ãäå C1, C 2 — ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Âåëè÷èíû �( , )y j ( j n� 1 1, ) îïðåäåëÿåì, ðåøèâ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé � � � � � � !� "s s s s j n j j jy C ch y C sh y y c( , ) ( ) ,� � � � ��1 2 1 1 1 h y ys j� ( ) # # � � � � � � �S y y i e ch ys j j n j i h jh s( ) ( )[ ( ( (( )1 2 1 0 1� � � � �� y S y yj s j) ( ) � � � ch y y S y y N y ys j s j s j�( ) ( ) ( , ))1 1 1 � � � �� k m k jh k jh s j s jch y y S y y 1 1 1 ( )( ( ) ( )( ) ( ) � � ch y y S y y N y y ys k j s k j s k j j� ( ) ( ) ( , , )))( ) ( ) ( )* * * � �e ch y y S y y ch y y Si h jh s j s j s j � � �( ( ( ) ( ) ( ) (( ) 1 1 y ys j � 1 ) � � � � �N y y ch y ys j k m k jh k jh s j( , )) ( )( ( )( ) ( ) 1 1 1 1 � S y ys j� ( ) Â.È. Ãàâðûø 68 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6 � � ch y y S y y N y y y q s k j s k j s k j j� ( ) ( ) ( , , )))]( ) ( ) ( )* * * 2 0 2� �sin h � � � â âèäå � � �( , ) ( ) ( )y c F c Fs s c s s� � �1 2 � � � � � � � � �1 2 1 0 1 1 1 � � � � $ ��i e j n j i h jh s j k m ( )[ ( ( ) (( ) ( ) % � k jh k jh sk j � 1 ( ) ( ) ( )) ( )) � � � �e i h jh s j k m k jh k jh� $ � %( ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 sk j s q( ) ( ))] (� � �"� � � � 2 0 2 & , s n� 1 1, , (12) ãäå F ch yc 1 1 1 ( )� � � � ; F ch y ch y y Fr c r r r r c( ) ( ) ( ) (� � � � � � � ' ' ' ' '� � ( ) * � ��1 1 1 1 ) + , - ; F sh ys 1 1 1 ( )� � � � ; F sh y sh y y Fr s r r r r s( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � ' ' ' ' '� � ( ) � ��1 1 1 1* + , - ; $ � � �1 1 1 1( ) ( )j ch y � ; $ � � � �r j r r j r jch y y ch y y( ) ( ) [ ( ) ( )� � 1 1 1 � � �� ' ' ' ' '� � � $ � 1 1 1 r r jch y y( ) ( ) ( )]( ) ; % � � � �1 1 1 1 k j j k jch y y ch y y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * � ; % � � � � rk j r r j r k jch y y ch y y( ) ( )( ) [ ( ) ( ) * � � 1 � � �� ' ' ' ' '� � � % � 1 1 1 r r k jch y y( ) ( ) ( )]( ) ; & � �1 1 1 ( ) � ; & � � � � � � ' ' ' ' 'r r r rch y y( ) ( ) ( ) ( )� � ��1 1 1 1 & , r n� 2 1, . Èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (10) íàõîäèì ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ: C1 1� � �/ * , C 2 0� . (13) Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 69 Çäåñü � � � � � �* ( ) ( ) ( )� � � ��sh y F sh y yn j n j j j c n j 1 1 1 ; � �1 1 1 2 � � � * , ãäå �1 1 0 1 * ( )( ){ [ ( ( ) (� � �i e sh y y sh y y j n j i h jh n j n j� � � �� 1 ) � � � � � �� l n l l l j n l k m k sh y y 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )) (( ) (� � $ � � jh k jh nsh y) ( ) )( ( � � � ��y sh y y sh yj n k j l n l l lk j) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )* � � � % � � 1 1 1 n ly ))] � e sh y y sh y yi h jh n j n j � � �[ ( ( ) ( )( ) 1 1 � � � �� l n l l l j n lsh y y 1 1 1( ) ( ) ( ))( )� � $ � � � � � � k m k jh k jh n j n k jsh y y sh y y 1 1 1 ( )( ( ) (( ) ( ) ( � � )* ) (� � �� l n l 1 1 1� � % � � � � �l lk j n l j n j j j sh y y q ) ( ) ( ))]} ( )( ) � � �� 2 0 2 1 1 1 & ( ) ( )� �sh y yn j . Ïðèìåíèâ ê âûðàæåíèþ (11) îáðàòíîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ñ ó÷åòîì (12), (13) ïîëó÷èì T x h ch y y j n j jh j� � � � � � �1 1 0 1 0 1� � � � � �( )[sin ( )( ( (( ) ) ( )S y y j� � � � ch y y S y y N y yj j j� ( ) ( ) ( , )1 1 1 � � � �� l n l l l j l lch y y S y y ch y 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (( ) * � � $ � � � � sh y yn j� ( ) � � ��sh y y sh y yn j l n l l l j n l� � � $ � �( ) ( ) ( ) ( )))( ) 1 1 1 1 � � � � �� k m k jh k jh j jch y y S y y ch y 1 1 1 ( )( ( ) ( ) (( ) ( ) � � y S y y k j k j( ) ( )* * ) ( )� � Â.È. Ãàâðûø 70 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6 � � � ��N y y y ch y y k j j l n l l lk j( , , ) ( ) ( ) (( ) ( )* 1 1 1 1� � � �. l lS y y) ( )� � ch y sh y y sh y yn j n k j� � � �* ( )( ( ) ( ) * � � �� l n l l lk j n lsh y y 1 1 1( ) ( ) ( ))))( )� � � �. � � �sin ( )( ( ( ) ( ) ( )( )� � �x h ch y y S y y ch y y Sjh j j j1 1 ( )y y j � 1 � � � � ��N y y ch y y S y yj l n l l l j l( , ) ( ) ( ) ( ) (( ) 1 1 1 1� � $ � � l ) � ch y sh y y sh y yn j n j � � � �* ( ( ) ( )1 � � � �� l n l l l j n lsh y y 1 1 1( ) ( ) ( )))( )� � $ � � � � � �� k m k jh k jh j jch y y S y y ch 1 1 1 ( )( ( ) ( ) (( ) ( ) � � y y S y y k j k j �� ( ) ( )* * ) ( ) � � � ��N y y y ch y y k j j l n l l lk j( , , ) ( ) ( ) (( ) ( )* 1 1 1 1� � � �. l lS y y) ( )� � ch y sh y y sh y yn j n k j� � � �* ( )( ( ) ( ) * � � � �� l n l l lk j n lsh y y 1 1 1( ) ( ) ( ))))]( )� � � �. � � ( ) * � �� 2 10 2 1 1 1 q h x ch y y j n j j j j � � � � � � �sin cos ( ) ( ) (& ) ( )S y y j� + , - � � �� ch y sh y y d j n j j j n j � � � � � � � & * ( ) ( ) ( ) 1 1 1 . (14) Íåèçâåñòíûå àïïðîêñèìèðóþùèå çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû k jh( )� (k m�1, ; j n�1, ) íàõîäèì, ðåøèâ ñèñòåìó 2 n m ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå- íèé, ïîëó÷åííóþ èç âûðàæåíèÿ (14). Èòàê, èñêîìîå òåìïåðàòóðíîå ïîëå â ìíîãîñëîéíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñ- òèíå ñî ñêâîçíûì òåïëîâûäåëÿþùèì âêëþ÷åíèåì îïèñûâàåò ôîðìóëà Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 71 (14), èç êîòîðîé ïîëó÷àåì çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïëàñòèíû (â åå ðàçíîðîäíûõ ñëîÿõ, â îáëàñòè âêëþ÷åíèÿ è íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ ðàçíîðîäíûõ ñëîåâ). Ïðèìåð è àíàëèç ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ. Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íóþ ïëàñòèíó ñî ñêâîçíûì èíîðîäíûì âêëþ÷åíèåì, äëÿ êîòîðîé âûïîëíåí ÷èñëåííûé àíàëèç áåçðàçìåðíîé èçáûòî÷íîé òåìïåðàòóðû T T q h* / ( )� 0 2 ïðè òàêèõ èñõîäíûõ äàííûõ: ìàòåðèàë ïëàñòèíû — êåðàìèêà ÂÊ94-I, !�1 13 4� #, / ( )W m K ; ìàòåðèàë âêëþ÷åíèÿ — ñåðåáðî !� 0 419� #W m K/ ( ); n � 10 — ÷èñëî ðàçáèåíèé èíòåðâàëà ] , [0 1Y ; Y y h1 1 1� �/ . Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû T* îò áåçðàçìåðíûõ X x h� / è Y y h� / êîîðäèíàò. Êàê âèäèì, òåìïåðàòóðà äîñòèãàåò ìàêñè- ìóìà â îáëàñòè äåéñòâèÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ â èíîðîäíîì âêëþ- ÷åíèè âíóòðåííèõ èñòî÷íèêîâ òåïëà. Â.È. Ãàâðûø 72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6 Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T* îò áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàò X è Y T * 4 3 2 1 0 1 0 Y X = 0 2 Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T* îò áåçðàçìåðíîé êîîðäèíàòû Y Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíî èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû T* â çàâèñèìîñòè îò êîîð- äèíàòû Y ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ X. Êàê âèäíî èç ðèñ. 3, òåìïåðàòóðà èçìåíÿåòñÿ ëèíåéíî è ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííà äëÿ óêàçàííûõ çíà÷åíèé X. Ïðè ýòîì ðàçëè÷èå ìåæäó åå çíà÷åíèåì â îáëàñòè âêëþ÷åíèÿ (X �0) è â ïëàñòèíå âíå åãî (X �2) íåñóùåñòâåííîå, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïðåäëîæåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. Âûâîäû Ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ÷èñëåííî- àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå (14) ãðàíè÷íîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè (1), (2) ïîçâîëÿåò â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ðàññìàòðèâàåìîé ñòðóêòóðû âû÷èñëÿòü çíà- ÷åíèÿ òåìïåðàòóðû íà îñíîâå ðàçðàáîòàííîãî àëãîðèòìà è ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ, ïðîãíîçèðîâàòü ðåæèìû ðàáîòû îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ è èäåíòèôèöèðîâàòü íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû, ÷òî ñïîñîáñòâóåò ïîâûøåíèþ òåðìîïðî÷íîñòè è óâåëè÷èâàåò ñðîê èõ ýêñïëóàòàöèè. A heat equation with discontinuous and singular coefficients for an isotropic multi-layer plate with thermally insulated surfaces which contains a heat-generating foreign through inclusion has been deduced with the use of generalized functions. A numerical-analytical solution for the heat equation with boundary conditions of the second kind has been constructed using a piecewise lin- ear approximation of the temperature on the boundary surfaces of the inclusion and Fourier inte- gral transform. The numerical analysis of a single-layer infinite plate with a through heat-genera- ting inclusion has been made. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Áåëÿåâ Í.Â., Ðÿäíî À.À. Ìåòîäû òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè. ×. I. — Ì. : Âûñø. øê., 1982. — 327 ñ. 2. Íåìèðîâñêèé Þ. Â., ßíêîâñêèé À.Ï. Ðåøåíèå ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè ñëîèñòûõ àíèçîòðîïíûõ íåîäíîðîäíûõ ïëàñòèí ìåòîäîì íà÷àëüíûõ ôóíêöèé //Ìàò. ìåòîäè òà ô³ç.-ìåõ. ïîëÿ. — 2008. — 51, ¹ 2. — Ñ. 222—238. 3. Íåìèðîâñêèé Þ.Â., ßíêîâñêèé À.Ï. Àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç çàäà÷è íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè ñëîèñòûõ àíèçîòðîïíûõ íåîäíîðîäíûõ ïëàñòèí ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ ïåðâîãî è òðåòüåãî ðîäà íà ëèöåâûõ ïîâåðõíîñòÿõ // Òàì æå. — 2007. — 50, ¹ 2. — Ñ. 160—175. 4. Havrysh V.I., Kosach A.I. Boundary-value problem of heat conduction for a piecewise ho- mogeneous with foreign inclusion // Materials Science. — 2012. — 47, ¹ 6. — P. 773— 782. 5. Havrysh V.I., Fedasyuk D.V., Kosach A.I. Boundary-value problem of heat conduction for a layer with foreign cylindrical inclusion // Ibid. — 2011. — 46, ¹ 5. — P. 702—708. 6. Gavrysh V.I. Thermal state modelling in thermosensitive elements of microelectronic de- vices with reach-through foreign inclusions // Semiconductor Physics, Quantum Electronics & Optoelectronics. — 2012. — 15, ¹ 3. — P. 247—251. 7. Gavrysh V. Modelling the temperature conditions in the three-dimensional piecewise homo- geneous elements of microelectronic devices // Ibid. — 2011. — 14, ¹ 4. — P. 478—482. Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 73 8. Ãàâðûø Â.È. Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâàõ ñî ñêâîçíûìè èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè//Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2012. — 34, ¹ 4.— Ñ. 99—107. 9. Ãàâðûø Â.È.,Êîñà÷ À.È. Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíèõ ðåæèìîâ â ýëåìåíòàõ ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ // Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïà- ðàòóðå. — 2011. — ¹ 1—2 (90). — C. 27—30. 10. Fedasyuk D., Gavrysh V. Modelling of temperature conditions in electrical devices of inhomogeneous structure // Computational Problems of Electrical Engineering. — 2012. — 2, ¹ 1. — P. 25—28. 11. Ïîäñòðèãà÷ ß.Ñ., Ëîìàêèí Â.À., Êîëÿíî Þ.Ì. Òåðìîóïðóãîñòü òåë íåîäíîðîäíîé ñòðóêòóðû. — Ì. : Íàóêà, 1984. — 368 ñ. 12. Êîëÿíî Þ.Ì. Ìåòîäû òåïëîïðîâîäíîñòè è òåðìîóïðóãîñòè íåîäíîðîäíîãî òåëà. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1992. — 280 ñ. 13. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ. — Ì. : Íàóêà, 1977. — 720 ñ. Ïîñòóïèëà 14.10.13 ÃÀÂÐÛØ Âàñèëèé Èâàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà «Ëüâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà». Â 1982 ã. îêîí÷èë Ëüâîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò èì. È. Ôðàíêî. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïðîâîäíîñòè â òåëàõ êóñî÷íî- îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû, ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ëèíåéíèõ è íåëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè. Â.È. Ãàâðûø 74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6

Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями

Institution

Ähnliche Einträge