Квадрант-критерий устойчивости динамических систем
Изложен метод критериальной оценки устойчивости динамических систем по результатам анализа трассы годографа характеристического уравнения операторной передаточной функции. Рассмотрен пример оценки устойчивости линейной замкнутой системы, содержащей иррациональные звенья и звено задержки. Представлен...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101065 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Квадрант-критерий устойчивости динамических систем / В.П. Долгин, И.В. Долгин // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 107-114. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-101065 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1010652016-05-31T03:02:50Z Квадрант-критерий устойчивости динамических систем Долгин, В.П. Долгин, И.В. Применение методов и средств моделирования Изложен метод критериальной оценки устойчивости динамических систем по результатам анализа трассы годографа характеристического уравнения операторной передаточной функции. Рассмотрен пример оценки устойчивости линейной замкнутой системы, содержащей иррациональные звенья и звено задержки. Представлены результаты численного моделирования системы в устойчивом и неустойчивом состояниях и на грани устойчивости. Викладено метод критеріальної оцінки стійкості динамічних систем за наслідками аналізу траси годографа характеристичного рівняння операторної передавальної функції. Розглянуто приклад оцінки стійкості лінійної замкнутої системи, що містить ірраціональні ланки і ланку затримки. Представлено результати чисельного моделювання системи в стійкому, нестійкому станах і на межі стійкості. The method of criterion estimation of stability of the dynamic systems by analysis results of the route of characteristic equalization hodograph of operator transfer function is expounded. The example of estimation of stability of the linear closed system containing irrational links and a link of delay is considered. The results of numeral design of the system in steady and unsteady states, and on verge of stability are presented. 2014 Article Квадрант-критерий устойчивости динамических систем / В.П. Долгин, И.В. Долгин // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 107-114. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101065 519.25 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования |
| spellingShingle |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Долгин, В.П. Долгин, И.В. Квадрант-критерий устойчивости динамических систем Электронное моделирование |
| description |
Изложен метод критериальной оценки устойчивости динамических систем по результатам анализа трассы годографа характеристического уравнения операторной передаточной функции. Рассмотрен пример оценки устойчивости линейной замкнутой системы, содержащей иррациональные звенья и звено задержки. Представлены результаты численного моделирования системы в устойчивом и неустойчивом состояниях и на грани устойчивости. |
| format |
Article |
| author |
Долгин, В.П. Долгин, И.В. |
| author_facet |
Долгин, В.П. Долгин, И.В. |
| author_sort |
Долгин, В.П. |
| title |
Квадрант-критерий устойчивости динамических систем |
| title_short |
Квадрант-критерий устойчивости динамических систем |
| title_full |
Квадрант-критерий устойчивости динамических систем |
| title_fullStr |
Квадрант-критерий устойчивости динамических систем |
| title_full_unstemmed |
Квадрант-критерий устойчивости динамических систем |
| title_sort |
квадрант-критерий устойчивости динамических систем |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Применение методов и средств моделирования |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101065 |
| citation_txt |
Квадрант-критерий устойчивости динамических систем / В.П. Долгин, И.В. Долгин // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 107-114. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT dolginvp kvadrantkriterijustojčivostidinamičeskihsistem AT dolginiv kvadrantkriterijustojčivostidinamičeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-07T10:23:14Z |
| last_indexed |
2025-07-07T10:23:14Z |
| _version_ |
1836983302760693760 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.25
Â.Ï. Äîëãèí, êàíä. òåõí. íàóê, È.Â. Äîëãèí
Ñåâàñòîïîëüñêèé íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò,
(Óêðàèíà, 99053,Ñåâàñòîïîëü, óë. Óíèâåðñèòåòñêàÿ, 33,
å-mail: autosev@ukr.net)
Êâàäðàíò-êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
Èçëîæåí ìåòîä êðèòåðèàëüíîé îöåíêè óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïî ðåçóëü-
òàòàì àíàëèçà òðàññû ãîäîãðàôà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ îïåðàòîðíîé ïåðåäà-
òî÷íîé ôóíêöèè. Ðàññìîòðåí ïðèìåð îöåíêè óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîé çàìêíóòîé ñèñòåìû,
ñîäåðæàùåé èððàöèîíàëüíûå çâåíüÿ è çâåíî çàäåðæêè. Ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû
÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñòåìû â óñòîé÷èâîì è íåóñòîé÷èâîì ñîñòîÿíèÿõ è íà ãðàíè
óñòîé÷èâîñòè.
Âèêëàäåíî ìåòîä êðèòåð³àëüíî¿ îö³íêè ñò³éêîñò³ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì çà íàñë³äêàìè àíàë³çó
òðàñè ãîäîãðàôà õàðàêòåðèñòè÷íîãî ð³âíÿííÿ îïåðàòîðíî¿ ïåðåäàâàëüíî¿ ôóíêö³¿. Ðîç-
ãëÿíóòî ïðèêëàä îö³íêè ñò³éêîñò³ ë³í³éíî¿ çàìêíóòî¿ ñèñòåìè, ùî ì³ñòèòü ³ððàö³îíàëüí³
ëàíêè ³ ëàíêó çàòðèìêè. Ïðåäñòàâëåíî ðåçóëüòàòè ÷èñåëüíîãî ìîäåëþâàííÿ ñèñòåìè â
ñò³éêîìó, íåñò³éêîìó ñòàíàõ ³ íà ìåæ³ ñò³éêîñò³.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, êðèòåðèé
óñòîé÷èâîñòè, äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü.
Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû âêëþ÷àåò èññëåäîâàíèå åå óñòîé-
÷èâîñòè. Îöåíêà óñòîé÷èâîñòè ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà íà îñíîâå ïåðåõîä-
íîé õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ëèáî ñ ïîìîùüþ êðèòåðèåâ [1—5]. Ðàçëè-
÷àþò êðèòåðèè àëãåáðàè÷åñêèå è ÷àñòîòíûå. Àëãåáðàè÷åñêèå êðèòåðèè
ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü óñòîé÷èâîñòü ëèíåéíûõ ñèñòåì îãðàíè÷åííîãî ïî-
ðÿäêà è íåïðèìåíèìû äëÿ äðóãèõ êëàññîâ ñèñòåì.
×àñòîòíûå êðèòåðèè áîëåå óíèâåðñàëüíû è óäîáíû. Èç ÷àñòîòíûõ êðè-
òåðèåâ íàèáîëåå øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ êðèòåðèè Ìèõàéëîâà, Íàéêâèñòà è èõ
ïðîèçâîäíûå. Íàèáîëåå ïðîñòóþ ñòðóêòóðó èìååò êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
Ìèõàéëîâà, îñíîâàííûé íà àíàëèçå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà èññëå-
äóåìîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû è ïîçâîëÿþùèé îïðåäåëÿòü óñòîé÷èâîñòü
ñèñòåìû ïî ãîäîãðàôó õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà. Ñèñòåìà ñ÷èòàåòñÿ
óñòîé÷èâîé, åñëè ãîäîãðàô ïðîõîäèò ïîñëåäîâàòåëüíî â ïîëîæèòåëüíîì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 107
� Â.Ï. Äîëãèí, È.Â. Äîëãèí, 2014
íàïðàâëåíèè (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) ÷èñëî êâàäðàíòîâ, ðàâíîå ïîðÿäêó
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà. Íàðóøåíèå ïîðÿäêà ïðîõîæäåíèÿ êâàä-
ðàíòîâ ëèáî èçìåíåíèå èõ ÷èñëà ñâèäåòåëüñòâóåò î íåóñòîé÷èâîì ðåæèìå
ðàáîòû ñèñòåìû. Íåäîñòàòêîì êðèòåðèÿ ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå ïîðÿäêà
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà. Åñëè ïîëèíîì áîëåå ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà,
òî ñíèæàåòñÿ ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ìåòîäà, ÷òî çàòðóäíÿåò àíàëèç
ïîâåäåíèÿ ãîäîãðàôà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Çàäà÷ó àíàëèçà ïîâåäåíèÿ ãîäîãðàôà ìîæíî ìî-
äèôèöèðîâàòü, çàìåíèâ ïðîöåäóðó àíàëèçà ãîäîãðàôà Ìèõàéëîâà ïðîöåäó-
ðîé àíàëèçà òðàññû ïðîõîæäåíèÿ ãîäîãðàôîì êâàäðàíòîâ. Äëÿ ñèñòåìû ñî
ñòàíäàðòíîé îïåðàòîðíîé ôîðìîé ïðåäñòàâëåíèÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
W p k
F p
Q p
( )
( )
( )
� , (1)
ãäå F p( ) — îïåðàòîðíàÿ ôîðìà ÷èñëèòåëÿ, k — êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è,
Q p( )— îïåðàòîðíàÿ ôîðìà çíàìåíàòåëÿ, õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïîëèíîìîì
ÿâëÿåòñÿ çíàìåíàòåëü îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè. Ïðåäñòàâèì
õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (1) â ÷àñòîòíîé
ôîðìå:
Q j Q j
i
m
i( ) ( )� ��
�
�
1
,
ãäå Q j j Ti i
vi( ) ( )� �� �1 . Ãîäîãðàô õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà (ãîäî-
ãðàô Ìèõàéëîâà), ïîñòðîåííûé â êîîðäèíàòàõ R Q j( ) Re ( ( ))� �� , J ( )� �
� Im ( ( ))Q j� , ãäå R ( )� è J ( )� — âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ñîñòàâëÿþùèå
àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà Q j R( ) ( )� �� �
� jJ ( )� , ïîçâîëÿåò îöåíèòü óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû.
 ñëó÷àå èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû � â ðàáî÷åì äèàïàçîíå � �� �� 0... g , ãäå
�g — âåðõíÿÿ ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà (ðàä/ñ), ÷àñòîòíûå ñîñòàâëÿþùèå ãî-
äîãðàôà R ( )� è J ( )� èçìåíÿþòñÿ ïî ñòåïåííîé çàâèñèìîñòè, ïîýòîìó
íà÷àëüíûé ó÷àñòîê ãîäîãðàôà íåðàçëè÷èì ïðè ïîðÿäêå õàðàêòåðèñòè÷åñ-
êîãî ïîëèíîìà q 5. Äëÿ ïðåîäîëåíèÿ óêàçàííîãî íåäîñòàòêà íåîáõîäèìî
ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó êàê îöåíêó ÷èñëà êâàäðàíòîâ, ïåðåñåêàåìûõ ãîäîãðà-
ôîì Ìèõàéëîâà â äèàïàçîíå ðàáî÷èõ ÷àñòîò, ÷òî òðåáóåò îïðåäåëåíèÿ ïîðÿä-
êà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà q è âåðõíåé ãðàíè÷íîé ÷àñòîòû �g .
Ïîðÿäîê õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà ìîæíî îïðåäåëèòü ïî
íàêëîíó S q ( )� ëîãàðèôìè÷åñêîé àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè
A R Jq ( ) ( ) ( )� � �� �2 2 . Ïî îïðåäåëåíèþ [1] äëÿ ïðîèçâîëüíîé ÷àñòîòû �i
íàêëîí ëîãàðèôìè÷åñêîé àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè ìîæåò
Â.Ï. Äîëãèí, È.Â. Äîëãèí
108 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
áûòü âûðàæåí îòíîøåíèåì ëîãàðèôìîâ åå ïðèðàùåíèÿ ê ïðèðàùåíèþ
÷àñòîòû:
S
A A
q i
q i q i
i i
( )
lg ( ( )) lg ( ( ))
lg ( ) lg ( )
�
� �
� �
�
1
1
,
ãäå �i è � i
1 — òåêóùåå è ïðåäûäóùåå çíà÷åíèÿ ÷àñòîòû. Ïðèíÿâ
� �i i/
�1 10, ïîñëå óïðîùåíèé ïîëó÷èì
S
A
A
q i
q i
q i
( ) lg
( )
( / )
�
�
�
�
�
�
�
�
��10
. (2)
Ïðè áåñêîíå÷íîì óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå (2) íàêëîíà
àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè S q ( )� õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëè-
íîìà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
S qq ( )� ��� � , (3)
ãäå q — ïîðÿäîê õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà.
Ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà ìîæåò áûòü îöåíåíà â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ îòíî-
ñèòåëüíî ÷àñòîòû � íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
1
�
q
S q ( )�
�, (4)
ãäå � — äîïóñòèìàÿ ïîãðåøíîñòü.
Îïðåäåëèâ ðàáî÷èé ÷àñòîòíûé äèàïàçîí (4) è ïîðÿäîê õàðàêòåðèñ-
òè÷åñêîãî ïîëèíîìà (3), ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ ïîñòðîåíèÿ òðàñ-
ñû ïðîõîæäåíèÿ êâàäðàíòîâ ãîäîãðàôîì Ìèõàéëîâà. Äëÿ ýòîãî ãîäîãðàô
Ìèõàéëîâà íåîáõîäèìî ïðåäñòàâèòü ñîâîêóïíîñòüþ òî÷åê íà ìíèìîé
ïëîñêîñòè ñ ó÷åòîì çíàêà âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ñîñòàâëÿþùèõ õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû �. Ïðè ýòîì êîîð-
äèíàòû òî÷åê — åäèíè÷íûå ôóíêöèè ñ ìåíÿþùèìñÿ çíàêîì:
R Q j( ) [Re ( ( ))]� ��sing ,
J Q j( ) [Im ( ( ))]� ��sing ,
� �� �� 0... g , (5)
ãäå R ( )� è J ( )� — âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ñîñòàâëÿþùèå ãîäîãðàôà, ïðè-
íèìàþùèå çíà÷åíèÿ �1â çàâèñèìîñòè îò çíàêà âåùåñòâåííîé Re ( ( ))Q j� è
ìíèìîé Im ( ( ))Q j� ôóíêöèé.
Êâàäðàíò-êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 109
Ïðèìåð. Íà ðèñ. 1 èçîáðàæåíà áëîê-ñõåìà ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñ-
òåìû, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ áëîêîâ, îõâà÷åííûõ
îòðèöàòåëüíîé åäèíè÷íîé îáðàòíîé ñâÿçüþ, ñ îïåðàòîðíûìè ïåðåäàòî÷íû-
ìè ôóíêöèÿìè
W p k T p1 1( ) exp( )�
,W p T p m
2 21( ) ( )� � ,W p T p n
3 31( ) ( )� �
,
ãäå m è n ìîãóò áûòü äðîáíûìè.
Íà ðèñ. 2, à ïðåäñòàâëåí ïîñòðîåííûé ñ ïîìîùüþ Maple-ïðîöåäóðû
Quadrant Criterion ãîäîãðàô Ìèõàéëîâà Q j( )� è åãî íà÷àëüíûé ó÷àñòîê äëÿ
çàìêíóòîé ñèñòåìû ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
W p
W p
W p
r
r
( )
( )
( )
�
�1
,
ãäå
W p W p W p W p k
T p T p
T p
r
m
n
( ) ( ) ( ) ( )
exp( ) ( )
( )
� �
�
�
1 2 3
1 2
3
1
1
,
Â.Ï. Äîëãèí, È.Â. Äîëãèí
110 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
x y
W1 W2 W3
Ðèñ. 1. Áëîê-ñõåìà ñèñòåìû
Ðèñ. 2. Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû: à — íà÷àëüíûå ó÷àñòêè ãîäîãðàôîâ â óñòîé÷èâîì (1) íà
ãðàíè óñòîé÷èâîñòè (2) è íåóñòîé÷èâîì (3) ñîñòîÿíèÿõ, 4 — ñåìåéñòâî ãîäîãðàôîâ â òåõ æå
ñîñòîÿíèÿõ â ðàáî÷åì ÷àñòîòíîì äèàïàçîíå; á — ãðàôèêè ôóíêöèé íàêëîíà àìïëèòóäíî-
÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè S q ( )� , ðàññ÷èòàííîé ïî ôîðìóëå (2), õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
ïîëèíîìàQ j( )� â óñòîé÷èâîì (1), íà ãðàíè óñòîé÷èâîñòè (2) è íåóñòîé÷èâîì (3) ðåæèìàõ;
q — ïîðÿäîê õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà
è õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïîëèíîìîì
Q p T p k T p T pn m( ) ( ) exp( ) ( )� � �
�1 13 1 2 ,
ãäå T T1 2 15� / , ñ; T2 01� , ñ; T T3 22� ñ; m � 7 7, ; n �101, . Èç-çà íèçêîé ðàçðå-
øàþùåé ñïîñîáíîñòè ìåòîäà Ìèõàéëîâà ñåìåéñòâî ãîäîãðàôîâ 4 íåðàç-
ëè÷èìî, ãîäîãðàôû ñëèâàþòñÿ â îäèí äëÿ óêàçàííûõ ñîñòîÿíèé ðàáîòû
ñèñòåìû. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòîé ñåìåéñòâà
ïðåäñòàâëåííûõ ôóíêöèé íàêëîíà.
Ïðåäåëüíûé êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãîäîãðàôîâ
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà â ðàññìàòðèâàåìûõ ðåæèìàõ íåîáõîäèìî
íàéòè ïðåäåëüíûé êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è, ïðè êîòîðîì ñèñòåìà íàõîäèò-
ñÿ íà ãðàíè óñòîé÷èâîñòè. Îïðåäåëèì åãî ïî êðèòåðèþ Íàéêâèñòà [1 — 5],
ðåøèâ ñèñòåìó óðàâíåíèé
Re ( ( ))W jr � �
1,
Im ( ( ))W jr � �0
îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ � è k. Ïðåäåëüíûé êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è, ïðè
êîòîðîì ñèñòåìà íàõîäèòñÿ íà ãðàíè óñòîé÷èâîñòè, ñîñòàâèë âåëè÷èíó
k k� �1 2 76, (ñì ðèñ. 2, á, êðèâàÿ 2). ×àñòîòà, ïðè êîòîðîé ïîëó÷åíî ðåøå-
íèå äëÿ êðèòè÷åñêîé òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè Re ( ( ))W jr � �
1, Im ( ( ))W jr � �0,
ñîñòàâèëà ��269, ðàä/ñ. Êðèâûå 1 è 3 ïîñòðîåíû äëÿ íà÷àëüíûõ ó÷àñòêîâ
ãîäîãðàôîâ Ìèõàéëîâà ïðè k k� 1 2/ äëÿ óñòîé÷èâîé ñèñòåìû è k k�2 1 äëÿ
íåóñòîé÷èâîé ñèñòåìû â èíòåðâàëå R( ) [ ,..., ]� �
2 8 è äèàïàçîíå ÷àñòîòû
�� [ , ..., ]0 5 ðàä/ñ. Ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ k ïîñòðîåíî ñåìåéñòâî 4 ãîäîãðà-
ôîâ Ìèõàéëîâà â äèàïàçîíå ÷àñòîòû �� [ , ..., ]0 41 ðàä/ñ .
Ãðàôèêè õàðàêòåðèñòèê íàêëîíà ëîãàðèôìè÷åñêîé àìïëèòóäíî-÷àñ-
òîòíîé õàðàêòåðèñòèêè (2) ïîñòðîåíû â èíòåðâàëå ÷àñòîò � �� [ ... ]0 g , ãäå
âåðõíÿÿ ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà �g �662 ðàä/ñ îïðåäåëåíà ïî ôîðìóëå (4) ïðè
íàéäåííîì â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ (3) çíà÷åíèè ïîðÿäêà õàðàêòåðèñòè÷åñ-
êîãî ïîëèíîìà q �10 1, è çàäàííîé ïîãðåøíîñòè � �
10 5.
Ïðåäëàãàåìûå ðåêîìåíäàöèè ïîçâîëÿþò ïîñòðîèòü íåïðåðûâíóþ
òðàññó ãîäîãðàôà â ðàáî÷åì äèàïàçîíå ÷àñòîò � �� [ ... ]0 g ñ ïðèåìëåìîé
ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ
R R Bg ( ) ( ( )) ( )� � ��sing ,
J J Bg ( ) ( ( )) ( )� � ��sing , (6)
ãäå B ( )� — ôóíêöèÿ B ( ) ( )� � �� �1 ; � �1— ïàðàìåòð ôîðìû. Äëÿ ýòîãî â
âûðàæåíèå (5) ââåäåì ïàðàìåòð ôîðìû, ïîçâîëÿþùèé ïîñðåäñòâîì âû-
áîðà çíà÷åíèÿ èñêëþ÷èòü íàëîæåíèå âåòâåé òðàññû ãîäîãðàôà ïðè ïîðÿä-
êå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà q � 4. Íà ðèñ. 3, à, â, ä, èçîáðàæåíû
Êâàäðàíò-êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 111
òðàññû ãîäîãðàôîâ, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷àñòîòíûõ
ñîñòàâëÿþùèõ (5) ïðè � ��005.
Ðåãóëÿðèçàöèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ òðàññû ãîäîãðàôà. Äëÿ ñèñòåì âûñî-
êîãî ïîðÿäêà íåïðåðûâíàÿ ôîðìà (6) ïðåäñòàâëåíèÿ òðàññû ãîäîãðàôà (ñì.
ðèñ. 3, à, â, ä) ìîæåò îêàçàòüñÿ íåóäîáíîé âñëåäñòâèå íåðàâíîìåðíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ åãî âåòâåé.  ýòîì ñëó÷àå âîçìîæåí ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ
òðàññû ãîäîãðàôà ñ ðåãóëÿðíûì ðàñïîëîæåíèåì âåòâåé. Òîãäà íåîáõîäèìî
íàíîñèòü íà ìíèìóþ ïëîñêîñòü òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå êâàäðàíòó ðàñïî-
ëîæåíèÿ âåòâè ãîäîãðàôà, â ìîìåíò ïåðåñå÷åíèÿ ãîäîãðàôîì åå îñåé.
Â.Ï. Äîëãèí, È.Â. Äîëãèí
112 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ðèñ. 3. Òðàññû ãîäîãðàôà óñòîé÷èâîé ñèñòåìû (à, á), ñèñòåìû íà ãðàíè óñòîé÷èâîñòè (â,
ã), íåóñòîé÷èâîé ñèñòåìû (ä, å)
Ïî ìåðå èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû ãîäîãðàô ïåðåõîäèò èç êâàäðàíòà â êâàä-
ðàíò, ïåðåñåêàÿ îñè êîîðäèíàò R ( )� è J ( )� . Ìîìåíò ïåðåñå÷åíèÿ îñåé
îïðåäåëÿåòñÿ ïî çíàêó ïðîèçâåäåíèÿ îäíîé èç ÷àñòîòíûõ ñîñòàâëÿþùèõ,
R Ri i( ) ( )� �
1 èëè J Ji i( ) ( )� �
1 , ÷òî ñîïðîâîæäàåòñÿ ïåðåõîäîì ãîäîãðà-
ôà â äðóãîé êâàäðàíò. Ôèêñèðóÿ ýòè òî÷êè, ñòðîèì òðàññó ãîäîãðàôà, ðàñ-
ñòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè çàäàåì ïðîèçâîëüíî ïî ëþáîìó çàêîíó. Ïðè íåîá-
õîäèìîñòè ìîæíî çàäàòü ðàâíîìåðíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ òî÷åê, âûáðàâ
ìåæäó íèìè ðàâíûå ðàññòîÿíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå i-ÿ òî÷êà ãîäîãðàôà ìîæåò
áûòü íàíåñåíà íà ïëîñêîñòü ñ êîîðäèíàòàìè [sing ( ( )) ,R ii� sing ( ( )) ]J ii� .
Íà ðèñ. 3, á, ã, å, ïðèâåäåíû òðàññû ãîäîãðàôîâ ïðè ðàâíîìåðíîì ðàñïðå-
äåëåíèè âåòâåé äëÿ ðàññìîòðåííûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû. Êàê âèäèì, íà-
ãëÿäíîñòü è óäîáñòâî àíàëèçà ïðè ýòîì íàìíîãî ëó÷øå.
Âûâîä
Ââåäåíèå êâàäðàíòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òðàññû ãîäîãðàôà õàðàêòåðèñòè-
÷åñêîãî ïîëèíîìà ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ðàñøèðÿåò ôóíêöèîíàëüíûå
âîçìîæíîñòè ìåòîäà àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Òîï÷ååâ Þ.È. Àòëàñ äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. — Ì. :
Ìàøèíîñòðîåíèå, 1989. — 752 ñ.
2. Áåñåêåðñêèé Â.À., Ïîïîâ Å.Ï. Òåîðèÿ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ. Èçä. 4-å
ïåðåðàá. è äîï. — ÑÏá : Èçä-âî «Ïðîôåññèÿ», 2003. — 752 ñ.
3. Áðþõàíîâ Â.Í., Êîñîå Ì.Ã., Ïðîòîïîïîâ Ñ.Ï. è äð. Òåîðèÿ àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâ-
ëåíèÿ: Ó÷åá. äëÿ ìàøèíîñòðîèò. ñïåö. âóçîâ. Ïîä ðåä. Þ.Ì. Ñîëîìåíöåâà.— 3-å èçä.,
ñòåð. — Ì. : Âûñø. øê., 2000. — 268 ñ.
4. Ñïðàâî÷íèê ïî òåîðèè àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ. / Ïîä ðåä. À.À. Êðàñîâñêîãî. — Ì. :
Íàóêà, ãë. ðåä. Ôèç.-ìàò. ëèò., 1987. — 712 ñ.
5. Ìèðîøíèê È.Â. Òåîðèÿ àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ. — ÑÏá.: Ïèòåð, 2005. — 336 ñ.
V.P. Dolgin, I.V. Dolgin
QUADRANT-CRITERION OF STABILITY OF DYNAMIC SYSTEMS
The method of criterion estimation of stability of the dynamic systems by analysis results of the
route of characteristic equalization hodograph of operator transfer function is expounded. The
example of estimation of stability of the linear closed system containing irrational links and a link
of delay is considered. The results of numeral design of the system in steady and unsteady states,
and on verge of stability are presented.
K e y w o r d s: transfer function, characteristic equation, stability criterion, dynamic system,
complex plane.
Êâàäðàíò-êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 113
REFERENCES
1. Topcheyev Yu.I. Atlas for Design of Automatic-Control Systems. — Ìoscow: Mashino-
strienie, 1989. — 752 p. (in Russian).
2. Besekersky V.A., Popov E.P. Theory of Automatic-Control Systems. — 4th ed. revised and
suppl. — St.-Peterbourg: Professiya Publ., 2003. — 752 p. (in Russian).
3. Bryukhanov V.N., Kosoye M.G., Protopopov S.P., et al. Theory of Automatic-Control: Man-
ual for Machine Build. Special. for Higher Ed. Inst / Ed by Yu.M.Solomentsev. — 3rd stereotype
ed. — Ìoscow: Vysshaya shkola, 2000. — 268 p. (in Russian).
4. Reference Book în the Theory of Automatic-Control / Ed by À.À. Krasovsky. — Ìoscow:
Nauka, Main Edit. Board Phys.-Math. Lit., 1987. — 712 p. (In Russian).
5. Miroshnik I.V. Theory of Automatic-Control. — St.-Peterbourg: Peter, 2005. — 336 p. (in
Russian).
Ïîñòóïèëà 28.04.14;
ïîñëå äîðàáîòêè 05.06.14
ÄÎËÃÈÍ Âëàäèìèð Ïðîõîðîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû àâòîìîáèëüíîãî òðàíñ-
ïîðòà Ñåâàñòîïîëüñêîãî íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà.  1985 ã. îêîí÷èë
Âîåííî-ìîðñêîå èíæåíåðíîå ó÷èëèùå èì. Ô.Ý. Äçåðæèíñêîãî (ã. Ëåíèíãðàä), à â 1965 ã. —
Ñåâàñòîïîëüñêèé ïðèáîðîñòðîèòåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — àäàïòèâíûå
ìîäåëè â ñèñòåìàõ óïðàâëåíèÿ òåõíè÷åñêèìè è òåõíîëîãè÷åñêèìè îáúåêòàìè.
ÄÎËÃÈÍ Èãîðü Âëàäèìèðîâè÷, ìàãèñòðàíò, òîïìåíåäæåð OOO RM TEREX.  1987 ã. îêîí÷èë
Âîåííî-ìîðñêîå èíæåíåðíîå ó÷èëèùå (ã. Êàëèíèíãðàä), à â 2012 ã. — Ñåâàñòîïîëüñêèé íà-
öèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — îïòèìèçàöèÿ óïðàâ-
ëåíèÿ äèíàìè÷åñêèìè ïðîöåññàìè.
Â.Ï. Äîëãèí, È.Â. Äîëãèí
114 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
|