Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание)

Предложен интегро-алгоритмический метод аппроксимации и итерационной коррекции для вычисления с высокой точностью логарифмов матрицы. Метод основан на применении линейных многошаговых формул численного интегрирования разностного типа, а также разностно-дифференциальных формул Обрешкова с учетом высш...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
1. Verfasser:	Аристов, В.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2014
Schriftenreihe:	Электронное моделирование
Schlagworte:	Математическое моделирование и вычислительные методы
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101067
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание) / В.В. Аристов // Электронное моделирование. — 2014. — Т. 36, № 6. — С. 3-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-101067
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1010672016-05-31T03:02:38Z Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание) Аристов, В.В. Математическое моделирование и вычислительные методы Предложен интегро-алгоритмический метод аппроксимации и итерационной коррекции для вычисления с высокой точностью логарифмов матрицы. Метод основан на применении линейных многошаговых формул численного интегрирования разностного типа, а также разностно-дифференциальных формул Обрешкова с учетом высших производных. В нем обобщены известные алгоритмы логарифмирования на основе формул Паде. В результате итерационных коррекций повышается их порядок и точность. Предложенные соотношения и программные решения позволяют определять необходимые параметры для организации процессов вычисления логарифмов матрицы с произвольно заданной высокой точностью. Запропоновано інтегро-алгоритмічний метод апроксимації та ітераційної корекції для обчислення з високою точністю логарифмів матриці. Метод базований на застосуванні лінійних багатокрокових формул чисельного інтегрування різницевого типу, а також різницево-диференціальних формул Обрешкова з урахуванням вищих похідних. В ньому узагальнено відомі алгоритми логарифмування на основі формул Паде. В результаті використання ітераційної корекції підвищується їх порядок і точність. Запропоновані співвідношення і програмні рішення дозволяють визначати необхідні параметри для організації процесів обчислення логарифмів матриці з довільно заданою високою точністю. The integro-algorithmic method of approximation and iteration correction for high-accuracy computation ofmatrix logarithms is proposed. Themethod is based on the use of linearmultistep formulas of numerical integration of the difference type as well as the Obreshkov difference-differential formulas with allowance for higher derivatives. Due to iterations in this case there is not a necessity to choose a high-fidelity primary approximating formula and a basic criterion is a receipt of high-rate of convergence. A method also summarizes the well-known algorithms of taking the logarithm based on the Pade formulas and increases their order and accuracy due to the additional use of iterative correction. The proposed relations and program solutions permit determining necessary parameters for organizing the processes of matrix logarithms computation with arbitrary preset high accuracy. 2014 Article Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание) / В.В. Аристов // Электронное моделирование. — 2014. — Т. 36, № 6. — С. 3-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101067 051.3 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование и вычислительные методы Математическое моделирование и вычислительные методы
spellingShingle	Математическое моделирование и вычислительные методы Математическое моделирование и вычислительные методы Аристов, В.В. Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание) Электронное моделирование
description	Предложен интегро-алгоритмический метод аппроксимации и итерационной коррекции для вычисления с высокой точностью логарифмов матрицы. Метод основан на применении линейных многошаговых формул численного интегрирования разностного типа, а также разностно-дифференциальных формул Обрешкова с учетом высших производных. В нем обобщены известные алгоритмы логарифмирования на основе формул Паде. В результате итерационных коррекций повышается их порядок и точность. Предложенные соотношения и программные решения позволяют определять необходимые параметры для организации процессов вычисления логарифмов матрицы с произвольно заданной высокой точностью.
format	Article
author	Аристов, В.В.
author_facet	Аристов, В.В.
author_sort	Аристов, В.В.
title	Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание)
title_short	Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание)
title_full	Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание)
title_fullStr	Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание)
title_full_unstemmed	Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание)
title_sort	интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (окончание)
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математическое моделирование и вычислительные методы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101067
citation_txt	Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание) / В.В. Аристов // Электронное моделирование. — 2014. — Т. 36, № 6. — С. 3-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT aristovvv integroalgoritmičeskijmetodvyčisleniâlogarifmamatricysproizvolʹnojtočnostʹûokončanie
first_indexed	2025-07-07T10:23:22Z
last_indexed	2025-07-07T10:23:22Z
_version_	1836983311206973440
fulltext	ÓÄÊ 051.3 Â.Â. Àðèñòîâ, êàíä. òåõí. íàóê Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû (Óêðàèíà, 03164, Êèåâ-164, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15, òåë. (044) 4243251, å-mail: vasily@aristov.com) Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþ* Ïðåäëîæåí èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä àïïðîêñèìàöèè è èòåðàöèîííîé êîððåêöèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ ëîãàðèôìîâ ìàòðèöû. Ìåòîä îñíîâàí íà ïðèìåíåíèè ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ôîðìóë ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ðàçíîñòíîãî òèïà, à òàêæå ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë Îáðåøêîâà ñ ó÷åòîì âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ. Â íåì îáîáùåíû èçâåñòíûå àëãîðèòìû ëîãàðèôìèðîâàíèÿ íà îñíîâå ôîðìóë Ïàäå. Â ðåçóëüòàòå èòåðàöèîííûõ êîððåêöèé ïîâûøàåòñÿ èõ ïîðÿäîê è òî÷íîñòü. Ïðåäëîæåííûå ñîîòíîøåíèÿ è ïðîãðàììíûå ðåøåíèÿ ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü íåîáõîäèìûå ïàðàìåòðû äëÿ îðãàíèçàöèè ïðîöåññîâ âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìîâ ìàòðèöû ñ ïðîèçâîëüíî çàäàííîé âûñîêîé òî÷íîñòüþ. Çàïðîïîíîâàíî ³íòåãðî-àëãîðèòì³÷íèé ìåòîä àïðîêñèìàö³¿ òà ³òåðàö³éíî¿ êîðåêö³¿ äëÿ îá÷èñëåííÿ ç âèñîêîþ òî÷í³ñòþ ëîãàðèôì³â ìàòðèö³. Ìåòîä áàçîâàíèé íà çàñòîñóâàíí³ ë³í³éíèõ áàãàòîêðîêîâèõ ôîðìóë ÷èñåëüíîãî ³íòåãðóâàííÿ ð³çíèöåâîãî òèïó, à òàêîæ ð³çíèöåâî-äèôåðåíö³àëüíèõ ôîðìóë Îáðåøêîâà ç óðàõóâàííÿì âèùèõ ïîõ³äíèõ. Â íüîìó óçàãàëüíåíî â³äîì³ àëãîðèòìè ëîãàðèôìóâàííÿ íà îñíîâ³ ôîðìóë Ïàäå. Â ðåçóëüòàò³ âèêî- ðèñòàííÿ ³òåðàö³éíî¿ êîðåêö³¿ ï³äâèùóºòüñÿ ¿õ ïîðÿäîê ³ òî÷í³ñòü. Çàïðîïîíîâàí³ ñï³ââ³ä- íîøåííÿ ³ ïðîãðàìí³ ð³øåííÿ äîçâîëÿþòü âèçíà÷àòè íåîáõ³äí³ ïàðàìåòðè äëÿ îðãàí³çàö³¿ ïðîöåñ³â îá÷èñëåííÿ ëîãàðèôì³â ìàòðèö³ ç äîâ³ëüíî çàäàíîþ âèñîêîþ òî÷í³ñòþ. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ëîãàðèôì ìàòðèöû, ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå, èíòåãðî-àëãîðèò- ìè÷åñêèé ìåòîä, ìíîãîøàãîâûå ôîðìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ, ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè, ýêâè- âàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Èòåðàöèîííî-àïïðîêñèìàöèîííîå ìàòðè÷íîå ëîãàðèôìèðîâàíèå íà îñíîâå ðàçíîñòíûõ Ô×È. Ïðè èñïîëüçîâàíèè âàðèàíòà 1 èç ôîðìóëû (17) ñ ó÷åòîì A = (C – E) ïîëó÷àåì A C C� � � � �� a c v n n v v v n n v v b p b p 0 1 , (20) ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 3 �� Â.Â. Àðèñòîâ, 2014 * Îêîí÷àíèå. Íà÷àëî ñòàòüè ñì. â ¹ 5, 14. ãäå av è c v0 — êîýôôèöèåíòû ìíîãîøàãîâîé Ô×È y a y c H fi v n n v i v v n n v i v b p b p � �� 1 0 . Â ôîðìóëå (20) ñòåïåíü v ìàòðèöû C v ñîîòâåòñòâóåò v n nb p �{ ,..., }. Íî ïîñêîëüêó ìàòðèöà C äîëæíà áûòü íåîñîáåííîé, òî âû÷èñëåíèÿ ìîäè- ôèöèðîâàííîé ìàòðèöû A óäîáíåå âûïîëíÿòü ïî ôîðìóëå A C C� � � � �� a c v n n v v n v n n v v n b p b b p b 0 � �1 f N ( )C , (21) íå èìåþùåé îòðèöàòåëüíûõ ñòåïåíåé äëÿ C, ãäå èíäåêñ N ñîîòâåòñòâóåò ïîðÿäêó àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè (21). Â îòëè÷èå îò àïïðîêñèìàöèè ëîãàðèôìîâ ìåòîäîì [m/n] Ïàäå rm n, ( )C E� ôóíêöèÿ f N ( )C , âî-ïåðâûõ, íå îáÿçàòåëüíî äîëæíà èìåòü ñóììàðíûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ( )m n� è, âî-âòîðûõ, íå èìååò ñìåùåíèÿ íà åäè- íè÷íóþ ìàòðèöó C (èëè íà åäèíèöó â ñëó÷àå ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà). Ïðè ñîâïàäåíèè ïîðÿäêîâ àïïðîêñèìàöèè ïîãðåøíîñòè â îáîèõ ñëó÷àÿõ áóäóò îäèíàêîâûìè. Â ðàáîòàõ [3—6] ôîðìóëû [m/m] Ïàäå èñïîëüçîâàíû äëÿ âû÷èñëåíèÿ îêîí÷àòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ñ çàäàííîé òî÷- íîñòüþ, ïîýòîìó ðàçìåð ðàäèóñà ñïåêòðà ìàòðèöû C, èëè åå íîðìà, ñîãëà- ñîâàíû ñ âåëè÷èíîé m, ÷òîáû îáåñïå÷èòü òðåáóåìóþ òî÷íîñòü. Èçìåíåíèå ðàäèóñà ñïåêòðà äîñòèãàåòñÿ ìàñøòàáèðîâàíèåì èñõîäíîé ìàòðèöû C ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ èç k îïåðàöèé èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ ñ èñ- ïîëüçîâàíèåì, íàïðèìåð, ïðÿìîãî îöåíî÷íîãî âûðàæåíèÿ äëÿ íîðìû ìàò- ðèöû ïîãðåøíîñòåé \|\| ( ) log ( ) \|\| \| (\|\| \|) log ( \|\| \|) \|, ,r r \| \|m m m mX E X X X� � � � �1 , ãäå X E C� � 1 2/ k . Â ðàññìàòðèâàåìîì èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêîì ìåòîäå ðåçóëüòàò àï- ïðîêñèìàöèè ëîãàðèôìà ïî ôîðìóëå (21) ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòî÷íûì è íà ýòîì ýòàïå íå îáÿçàòåëüíî äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü òðåáîâàíèÿì ïîëó÷åíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè. Äëÿ äîñòèæåíèÿ ëþáîé òðåáóåìîé òî÷íîñòè àïïðîêñè- ìàöèè, ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé ìèíèìèçàöèè ïîãðåøíîñòåé îêðóãëåíèÿ, ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû êîððåêòèðóþùèå óòî÷íåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (15). Åñëè èñõîäíàÿ ìàòðèöà C ïëîõî îáóñëîâëåíà, ò.å. cond ( )C � � � ��\|\| \|\| \|\| \|\|C C 1 1, òî, êàê è â ñëó÷àå àïïðîêñèìàöèè Ïàäå, íåîáõîäèìî âûïîëíèòü åå ìàñøòàáèðîâàíèå, íàïðèìåð k-êðàòíûì èçâëå÷åíèåì êâàä- ðàòíîãî êîðíÿ (êîðíåâîå ìàñøòàáèðîâàíèå): Z C� 1 2/ k . (22) Â.Â. Àðèñòîâ 4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6 Îöåíî÷íîå ñîîòíîøåíèå äëÿ íîðìû ìàòðèöû ïîãðåøíîñòåé â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä \|\| ( ) log ( ) \|\| \| ( \|\| \|) log ( \|\| \|)\|f f \| \|N NZ Z E Z E Z� � � � � � �1 1 . Ïðè èñïîëüçîâàíèè k-êðàòíîãî ìàñøòàáèðîâàíèÿ (22) âìåñòî ìàòðèöû A (21) îïðåäåëÿåòñÿ åå ïðîìàñøòàáèðîâàííûé àíàëîã, A Z Z� � � � �� a c v n n v v n v n n v v n b p b b p b 0 � �1 f N ( )Z , (23) ñîîòâåòñòâóþùèé ïðè H = 1, äëÿ ñèñòåìû ÎÄÓ � � �Y C E Y( )/1 2k , Y Y( )t0 0� âìåñòî Ô×È (14), ñëåäóþùåé ôîðìóëå èíòåãðèðîâàíèÿ: Y Y A Yi v n n v i v s m v n n sv s i v b p b p a c� �� 1 0 1( ) . Äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ìàñøòàáà íåîáõîäèìî ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ B= � ln ln ( )/ Z C= k1 2 óìíîæèòü íà 2k . Ïîýòîìó çàïèøåì ln C B= k2 , ãäå B A Z� � � � � � � � r r r r r N rf 0 1 0 1� � ( ( )) . Ñãðóïïèðóåì áåñêîíå÷íûé ðÿä êîýôôèöèåíòîâ� � � �r �{ , ,..., }0 1 ñèñ- òåìíîé ÊÏÔ (3) èëè (15) ñëåäóþùèì îáðàçîì: � � � �r N {[ ], [ ,..., ],0 1 [ ,..., ],� �N N K� �1 [ ,..., ]}� �N K� � �1 . Äëÿ êîððåêòíî ñèíòåçèðîâàííûõ Ô×È âñåãäà � 0 1� . Åñëè ýêâèâàëåíòíûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè Ô×È ðàâåí N, òî � � �1 2 0� � � �... N . Êðîìå òîãî, ìíîãèå Ô×È (1) íå èìåþò ôàçîâîé ïîãðåøíîñòè [8,10,11], ïîýòîìó âñå íå÷åòíûå êîýôôèöèåíòû � r s� �2 1 òîæ- äåñòâåííî ðàâíû íóëþ, ò.å. � 2 1 0s� � . Òîãäà äëÿ Ô×È ñ ôàçîâîé ïîãðåø- íîñòüþ lnZ + + r r r r N N K r r r N K r r� � � � � � � � � � � � � � � B A A A A 0 1 1 1 1 � � � 1, à äëÿ Ô×È áåç ôàçîâîé ïîãðåøíîñòè, èìåþùèõ âñåãäà ÷åòíîå çíà÷åíèå ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè N, ln / / / Z + + r r r r N N K r r r N � � � � � � � � � � � � B A A A 0 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 � � K r r � � � 1 2 2 1� A . (24) Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 5 Âûðàæåíèå (24) — òî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà. Åãî ïåðâîå ïðèáëèæåíèå ln ( )Z A Z� � f N âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êîýôôè- öèåíòîâ Ô×È ïî ôîðìóëå (23). Â çàâèñèìîñòè îò ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè N èñïîëüçóåìîé Ô×È, âåëè÷èí êðàéíèõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë èñõîäíîé ìàòðèöû C, ÷èñëà ýòàïîâ k ìàñøòàáèðîâàíèÿ èçâëå÷åíèåì êâàäðàòíîãî êîðíÿ è òðåáóåìîé ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ëîãàðèôìà ýòî çíà÷åíèå ìîæåò íå ñîîòâåòñòâîâàòü êîíå÷íîìó ðåçóëüòàòó ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ. Êàê è â óêàçàííûõ âûøå âàðèàíòàõ èñïîëüçîâàíèÿ Ïàäå àïïðîêñèìàöèè [4, 5], áîëåå âûñîêàÿ òî÷íîñòü ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà â ðåçóëüòàòå óâåëè- ÷åíèÿ çíà÷åíèÿ k íà ýòàïå ìàñøòàáèðîâàíèÿ èëè â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ Ô×È ñ áîëüøèì ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè. Â äàííîì èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêîì ìåòîäå ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçî- âàòü âàðèàíò, íå òðåáóþùèé «ñáðàñûâàòü» ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùèõ âû- ÷èñëåíèé, à ïðîäîëæàòü âû÷èñëåíèÿ íà îñíîâå ñóììèðîâàíèÿ êîððåê- òèðóþùèõ äîáàâîê. Äàëåå áóäåì èñïîëüçîâàòü â îñíîâíîì âàðèàíò âû÷èñ- ëåíèé (24) äëÿ Ô×È áåç ôàçîâîé ïîãðåøíîñòè. Çàïèøåì ln ( ) ( ) / / Z Z Z� � � � � � f fN r N N K r N r 2 1 2 2 2 1� . (25) Ïðè ýòîì ìàòðèöà ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè � ( )Z îïðåäåëÿåòñÿ ðÿäîì � ( ) ( ) ( ) / ( )Z Z Z� � � � � � � � � � � r N K r N r N K N N Kf f 2 1 2 2 1 2 1 2 3� � . (26) Äëÿ îïòèìèçàöèè âû÷èñëåíèé ôîðìóëó (25) ìîæíî çàïèñàòü ïî ñõåìå Ãîðíåðà, ïîäñòàâèâ A Z� f N ( ), ln ( ( ( ... ( ))))Z + + +N N N N N K� � �� A A A A A 3 2 2 4 2 6 2 2� � � � , èëè â âèäå èòåðàöèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ K êîððåêöèé: W W Q Q Q Wi i i i N i i� � � �� 1 1 2, � , i K�1,..., , W ZK � ln , (27) ãäå Q Z0 � f N ( ), Q Q� 0 2, W Q0 0 1� �N . Êàæäàÿ êîððåêöèÿ ïîâûøàåò ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè íà äâà ñ âû÷èñëèòåëüíûìè çàòðàòàìè, ïîñëå ïðåäâàðè- òåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ Q0, Q è W0, â âèäå îäíîãî ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ è îïåðàöèè ìàòðè÷íîãî ñóììèðîâàíèÿ ñ âåñîâûì êîýôôèöèåíòîì � N i�2 . Íå êàæäàÿ ìíîãîøàãîâàÿ Ô×È ïîäõîäèò äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðè âû- ÷èñëåíèÿõ ìàòðè÷íûõ ëîãàðèôìîâ, äàæå åñëè îíà èìååò äîñòàòî÷íî âû- ñîêèé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè. Âñëåäñòâèå ìàëîãî óìåíüøåíèÿ êîýôôè- öèåíòà � r â çàâèñèìîñòè îò èíäåêñà r èòåðàöèîííàÿ êîððåêöèÿ (25) äëÿ Â.Â. Àðèñòîâ 6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6 ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ìîæåò áûòü ñëèøêîì ìåäëåííîé, ÷òî ïîòðåáóåò óâå- ëè÷åíèÿ çíà÷åíèÿ N, ëèáî îêàæåòñÿ íåîáõîäèìûì ïåðåìàñøòàáèðîâàíèå ìàòðèöû Z ñ áîëüøèì çíà÷åíèåì k äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ñõîäèìîñòè. Íà ðèñ. 2, à, ïðèâåäåíû ãðàôèêè çíà÷åíèé äëÿ íåñêîëüêèõ øåñòèøà- ãîâûõ Ô×È. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîöåäóðû SintERDF() êîýôôèöèåíòû íåÿâ- íîé ôîðìóëû òèïà Ìèëíà ôîðìèðóþòñÿ ñëåäóþùåé ïðîãðàììîé: m:=0: nb:=5: np:=1: W0:=[ eC[-1,-5], eC[-1,-4], eC[-1,-3], eC[-1,-2], eC[-1,-1], eC[-1,1], eC[-1,j] - 1, eC[-1,1], NULL]: SintERDF(W0); Ðåçóëüòàòîì âûïîëíåíèÿ ïðîãðàììû ïðè j = –5 ÿâëÿåòñÿ ìàññèâ êîýô- ôèöèåíòîâ eC i( )� � � � � 5 1 0 0 0 0 0 0 41 140 54 35 27 140 68 35 27 140 54 35 41 140� � � � � , ñîîòâåòñòâóþùèé Ô×È Y Y H f f f fi i i i i i� � � � � �� 1 5 5 4 3 2 41 140 54 35 27 140 68 35� � � � � � � � � 27 140 54 35 41 140 1 1f f fi i i , è ãðàôèê åå êîýôôèöèåíòîâ � r ñ ïåðâûì íåíóëåâûì ÷ëåíîì �8 = 3/2800 (ðèñ. 2, a, i – 5). Îñòàëüíûå ãðàôèêè � r ñîîòâåòñòâóþò i v� , ãäå � = 0, ..., 4. Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 7 Ðèñ. 2. Ìàêñèìàëüíî òî÷íûå íåÿâíûå øåñòèøàãîâûå Ô×È ñ îäèíî÷íûìè îïîðíûìè çíà÷åíèÿìèYi�� : a — ãðàôèêè ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ � r â ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå; á — ãðàôèêè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ óòî÷íåíèé ëîãàðèôìà ìàòðèöû Ãèëüáåðòà Âñå îíè èìåþò ìåíüøóþ òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè, òàê êàê ïåðâûì íå- íóëåâûì ÷ëåíîì ÿâëÿåòñÿ �7, îäíàêî ñõîäèìîñòü ðÿäà (15) äëÿ íåêîòîðûõ Ô×È âûøå, ÷åì äëÿ i – 5. Åñëè ñïèñîê W0 â ïðåäûäóùåé ïðîãðàììå ñèíòåçà äîïîëíèòü óñëîâèåì eC[0,�5] – 3/10, ñîîòâåòñòâóþùèì çàäàíèþ c0 5 3 10, /� � , òî áóäåò ïîëó÷åíà ìåíåå òî÷íàÿ Ô×È (�6 = 1/840) Y Y H f f f fi i i i i i� � � � � �� 1 5 5 4 3 2 3 10 3 2 3 10 9 5 � � � � � � � 3 10 3 2 3 10 1 1f f fi i i , (28) îäíàêî ñî çíà÷èòåëüíî áîëåå áûñòðîé ñõîäèìîñòüþ ðÿäà (15), — êðèâàÿ i�5* íà ðèñ. 2, a. Åñëè çàäàòü íóëåâîé ñïèñîê îãðàíè÷åíèé W0â óêàçàííîé âûøå ïðîãðàììå, òî áóäåò ñèíòåçèðîâàíà áîëåå ñëîæíàÿ, íî çíà÷èòåëüíî áîëåå òî÷íàÿ (�12 = 1/11099088) øåñòèøàãîâàÿ ôîðìóëà ñ ìàññèâîì êîýô- ôèöèåíòîâ eC ( , )6 6 1 132 7 375 7 0 375 7 132 7 0 10 49 360 49 2250 49 4000 49 � � � 2250 49 360 49 10 49 � � � � � � � � � � , (29) èìåþùàÿ â äàííîì ñëó÷àå ìàêñèìàëüíóþ ñõîäèìîñòü — ãðàôèê [6,6] íà ðèñ. 2, a. Íà ðèñ. 2, á, ïðèâåäåíû ãðàôèêè óìåíüøåíèÿ (â çàâèñèìîñòè îò èòå- ðàöèé) íîðìû ìàòðèöû ïîãðåøíîñòåé âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû Ãèëüáåðòà 12-ãî ïîðÿäêà ñ åå ïðåäâàðèòåëüíûì ñåìèêðàòíûì êîðíåâûì ìàñøòàáèðîâàíèåì. Èç ýòèõ ãðàôèêîâ âèäíî, ÷òî äëÿ äîñòèæåíèÿ îäèíà- êîâîé ïðîèçâîëüíî âûñîêîé òî÷íîñòè ÷èñëî èòåðàöèé â ñëó÷àå îòíîñè- òåëüíî íåòî÷íîé Ô×È (28) áóäåò ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì äëÿ èíûõ øåñòèøàãîâûõ Ô×È ñ îäíîé îïîðíîé òî÷êîé, è ëèøü íåçíà÷èòåëüíî áîëü- øå, ÷åì äëÿ áîëåå òî÷íîé Ô×È ñ êîýôôèöèåíòàìè (29), ýêâèâàëåíòíîé ïî êîýôôèöèåíòàì �r àïïðîêñèìàöèè [6/6] Ïàäå. Âñå âîçìîæíûå ðàçíîñòíûå Ô×È ìîãóò áûòü ñèíòåçèðîâàíû ïðîöå- äóðîé SintERDF() ïðè m:=0, ò.å. áåç âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ. Ïî ïðîãðàììå m:=0: nb:= j: np:=1: W0:=[ eC[-1,1], NULL]: SintERDF(W0); ïðè öåëî÷èñëåííîì çíà- ÷åíèè j ñèíòåçèðóþòñÿ ðàçíîñòíûå (j + 1)-øàãîâûå Ô×È ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè è ìèíèìàëüíûì îñòàòî÷íûì ÷ëå- íîì. Òàêèå ôîðìóëû ïîäïàäàþò ïîä îïðåäåëåíèå àïïðîêñèìàöèè Ïàäå, íî Â.Â. Àðèñòîâ 8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6 â êîíêðåòíîì ñëó÷àå îòëè÷àþòñÿ îò èçâåñòíûõ [3—7] òåì, ÷òî àïïðîê- ñèìèðóþò íå log(1 ± x), à log(x). Ïîýòîìó äëÿ ôîðìàëüíîãî ïîëó÷åíèÿ, íàïðèìåð, èç êîýôôèöèåíòîâ ìàòðèöû (29) êîýôôèöèåíòîâ [6/6] Ïàäå àïïðîêñèìàöèè íåîáõîäèìî àïïðîêñèìèðóåìûé àðãóìåíò x â àïïðîêñè- ìèðóþùåé ôóíêöèè F x x x x x x x x ( ) � � � � � � � � � � � 7 10 7 132 375 375 132 7 1 36 225 2 4 5 6 2 400 225 363 4 5 6x x x x� � � óâåëè÷èòü íà åäèíèöó (èëè åäèíè÷íóþ ìàòðèöó äëÿ ìàòðè÷íîãî ëîãàðèô- ìà). Òîãäà äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ [6/6] Ïàäå ôóíêöèþ: P x x x x x x x ( ) � � � � � � � � 7 10 1320 3300 2960 1140 174 7 924 2 2 3 4 5 6 772 3150 1680 420 422 3 4 5 6x x x x x x� � � � � . Äëÿ ëþáîé [m/n] Ïàäå àïïðîêñèìàöèè log (1 ± x) ïðîöåäóðîé SintERDF() ìîæíî ñèíòåçèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ Ô×È äëÿ àïïðîêñèìàöèè ñêàëÿð- íîãî èëè ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà log (x). Îðãàíèçàöèÿ èòåðàöèîííûõ óòî÷- íåíèé, àíàëîãè÷íûõ (26), ìîæåò áûòü âûïîëíåíà íå òîëüêî â ñëó÷àå ïðèìå- íåíèÿ Ô×È, íî è ïðè èñïîëüçîâàíèè àïïðîêñèìàöèè Ïàäå. Êîýôôèöèåíòû �r ñèñòåìíîé ÊÏÔ (15) âû÷èñëÿþòñÿ ëèáî, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (7), ïðè ðàçëîæåíèè åå â ñòåïåííîé ðÿä, ëèáî ñ ïîìîùüþ ïîëèíîìèàëüíûõ êîýô- ôèöèåíòîâ ÷èñëèòåëÿ b� è çíàìåíàòåëÿ d� ôîðìóëû Ïàäå R p p d e b e v m v p v v m v p v 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � . Ïðîöåäóðà âû÷èñëåíèÿ òàêèõ êîýôôèöèåíòîâ íà ÿçûêå Maple ïî èñõîäíîé ìàòðèöå ôîðìóëû Ïàäå ñëåäóþùàÿ: CPFPade:= proc(C0::array, R0m::integer, dd::integer) local pp, m1,i,n1,p,Af, Zz, Aa,Tt, rr; pp:=sign(dd): Zz:=array(1..R0m,[]): Af := array(1..R0m,[]): m1:=2: n1:= ColumnDimension(convert(C0,Matrix)): n1:=n1-1: psum(P[2,i1]( pp(exp(p)-1))^(i1-1),i1=1..n1+1)/ sum(P[1,i1]( pp(exp(p)-1))^(i1-1),i1=1..n1+1); Aa:=series(%,p,R0m+2): Tt:=powpoly(convert(Aa, polynom),p): for m1 to R0m do Af[m1]:=Tt(m1): Zz[m1]:=Tt(m1) end do: for m1 from 1 to R0m-1 do for rr from R0m by -1 to m1+1 do Zz[rr] := evala(Zz[rr] + sum(Zz[rr - i]Af[i], i = 1..rr - m1)) Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 9 end do end do; return Zz end proc: Äëÿ ïðèâåäåííîé âûøå àïïðîêñèìàöèè [6/6] Ïàäå ôîðìèðóþòñÿ ñëå- äóþùàÿ ïðîãðàììà è åå ðåçóëüòàò: C0:=array(1..2,1..7,[[ 0,9240,23100,20720,7980,1218,49], [9240,27720, 31500, 16800, 4200, 420, 10]]); print(CPFPade(C0,18,1)); 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11099088 0 1 40249440 0 227 60213162240 0 27 � � 1883 652916111823360 � �� . Êàê ïîêàçàëè ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ, òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè ôîð- ìóëîé [m/m] Ïàäå ñ N êîððåêöèÿìè ïðèáëèçèòåëüíî ñîîòâåòñòâóåò òî÷- íîñòè àïïðîêñèìàöèè ôîðìóëîé [(m + N)/(m + N)] Ïàäå áåç êîððåêöèè (ðèñ. 3). Äëÿ êàæäîé êðèâîé ïåðâàÿ êîððåêöèÿ íà÷èíàåòñÿ ñî çíà÷åíèÿ rm = = m + 2 è ïðàêòè÷åñêè îáåñïå÷èâàåò òî÷íîñòü ñëåäóþùåé àïïðîêñèìèðóþ- ùåé ôîðìóëû áåç êîððåêöèè. Äàëüíåéøàÿ ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ òî÷íîñòè ïðè èòåðàöèÿõ çàâèñèò îò çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìíîé ÊÏÔ. Íå- ñìîòðÿ íà òî ÷òî èñõîäíàÿ òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè ôîðìóëîé 1kObr1 ìàò- ðè÷íîãî ëîãàðèôìà íå âûñîêà, áûñòðîå óáûâàíèå åå �r (ñì. ðèñ. 1) îáåñïå- ÷èâàåò íàèáîëüøóþ ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ òî÷íîñòè äëÿ âàðèàíòîâ Ô×È, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 3. Èòåðàöèîííî-àïïðîêñèìàöèîííîå ìàòðè÷íîå ëîãàðèôìèðîâà- íèå íà îñíîâå ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ Ô×È. Ïðè âû÷èñëåíèè ìàòðè÷íûõ ëîãàðèôìîâ ñ ïîìîùüþ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ Ô×È ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè , Y Y A Yi v n n v i v s m v n n sv s i v b p b p a c� �� 1 0 1( ) , m�0 , ñîîòíîøåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîäèôèöèðîâàííîé ìàòðèöû A ïðè m = 1 (âàðèàíò 2) ïðåîáðàçóåòñÿ â êâàäðàòíîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (18), à ïðè m = 2 (âàðèàíò 3) — â êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå (19). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè m= 1 èç (18) ñ ó÷åòîì A = (C – E) ïîëó÷àåì äâà êîðíÿ, A C C 1 2 0 0 2 1 2 4 , � � � � � � � � � � �� c c v n n v v v n n v v vb p b p �� n n v v v n n v v b p b p c a1 C C � � � � � � � � � � � � � �� c v n n v v b p 1 1 C , (30) Â.Â. Àðèñòîâ 10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6 à ïðè m = 2 — òðè êîðíÿ, íàõîæäåíèå êîòîðûõ â îáùåì ñëó÷àå òðåáóåò ñó- ùåñòâåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò. Äëÿ M A M A M A M3 3 2 2 1 0 0� � � � , îáîçíà÷èâ W M M M M M M� � � �(36 108 81 2 3 0 3 2 2 3 � � � � �12 3 4 18 27 41 3 3 1 2 2 2 0 1 2 3 0 2 3 2 0 2 3 3 1 3 M M M M M M M M M M M M M ) / , ïîëó÷àåì A W M M M W M )M1 2 2 1 3 1 2 3 14 3 2 6= +( ( ) /� �� è äâà êîìïëåêñíûõ êîðíÿ: A W M M M W M )2 3 2 2 1 3 1 2 4 3 4, [ ( ( )� � � � ��+ � � � � �i 3 4 3 122 2 1 3 1 3 1( ( ) )] / ,W M M M W M Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 11 Ðèñ. 3. Íîðìû ïîãðåøíîñòåé èòåðàöèîííîãî âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû Ãèëüáåðòà (n = 12) ñ ïîìîùüþ [m,m] Ô×È ïðè ýòàïàõ êîðíåâîãî ìàñøòàáèðîâàíèÿ k = 7 (à) è k = 5 (á): 1kObr1 — ìîäèôèöèðîâàííûé âàðèàíò îäíîøàãîâîé Ô×È Îáðåøêîâà ñ îäíîé ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé ãäå M C 0 � �� a v n n v v b p , M C 1 0� �� c v n n v v b p , M C 2 1� �� c v n n v v b p , M C 3 2� �� c v n n v v b p . Äëÿ óïðîùåíèÿ îòîáðàæåíèÿ ôîðìóë ïåðåéäåì ê ñêàëÿðíûì ïåðåìåí- íûì, îïðåäåëÿþùèì êàê èçìåíåíèå ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè, òàê è ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè èòåðàöèé ïðè âû÷èñëåíèè ìàòðè÷íûõ ëîãàðèôìîâ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåîñîáåííàÿ ìàòðèöà C äèàãîíàëèçèðóåìà, ò.å. ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå C VC V� � d 1, ãäå C Ed � � — äèàãîíàëüíàÿ ìàò- ðèöà èç ñîáñòâåííûõ ÷èñåë � j . Òîãäà àïïðîêñèìàöèîííàÿ ìàòðè÷íàÿ ôóíê- öèÿ F ( )C ïðèíèìàåò âèä F F F fd d( ) ( ) ( ) ( ( )C VC V V C V V V� � �� 1 1 1� , ãäå f (� — àïïðîêñèìàöèÿ âåêòîðà íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë � j . Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì âìåñòî ìàòðè÷íîé F (C) áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñêà- ëÿðíóþ ôóíêöèþ f (x), â êîòîðîé àðãóìåíò x ó÷èòûâàåò îñíîâíûå ïàðà- ìåòðû ñîâîêóïíîñòè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë � j . Â ýòîì ñëó÷àå âìåñòî (30) äëÿ âàðèàíòà 2 çàïèøåì f x c x c x v n n v v v n n v v b p b p ( ) ,1 2 0 0 2 1 2 4 � � � � � �� c x a x v n n v v v n n v v b p b p 1 � � �� c x v n n v v b p 1 . (31) Äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ àïïðîêñèìèðóþùèõ ôóíêöèé ñîãëàñíî âàðèàíòàì 2 è 3 äëÿ ìàòðè÷íîãî èëè ñêàëÿðíîãî ëîãàðèôìîâ íåîáõîäèìî ñèíòåçèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûå Ô×È, íàïðèìåð ñ ïîìîùüþ ïðèâåäåííîé âûøå ïðîöåäóðû SintERDF(). Çàäàâàÿ öåëî÷èñëåííîå çíà÷åíèå j, ïðîãðàììîé m:= m0: nb := j: np:=1: W0:=[ eC[-1,1], NULL]: SintERDF(W0); ñèíòåçèðóåì ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ( )j �1 -øàãîâûõ Ô×È ïðè m0 = 1 è ïðè m0 = 2 ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè è ìèíèìàëüíûì îñòà- òî÷íûì ÷ëåíîì. Ïóñòü m0 = 1 è j = 0. Â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ ïðîãðàììû ïîëó÷àåì êîýôôèöèåíòû eC1 1 1 1 1 2 1 2 1 12 1 12 Obr � � � � � � � � � � � � � / / / / îäíîøàãîâîé Ô×È Îáðåøêîâà (8) ñ ïåðâîé âûñøåé ïðîèçâîäíîé, îáîçíà- ÷åííîé 1Obr1. Êîýôôèöèåíòû �r åå ñèñòåìíîé ÊÏÔ îïðåäåëÿþòñÿ ïî Â.Â. Àðèñòîâ 12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6 ôîðìóëå (9), ïðè ýòîì âñå íå÷åòíûå � 2 1r� è � 2 ðàâíû íóëþ. Ïåðâûå íåíó- ëåâûå � 2r èìåþò âèä � �4 2 1 720 1 12096 0 1 2737152 1 38817792 ... ... , , , , , ...r � � �� . Ïîäñòàâëÿÿ êîýôôèöèåíòû Ô×È â ôîðìóëó (31), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ àïïðîêñèìèðóþùóþ ôóíêöèþ: f x x x x x 1 1 23 3 42 3 3 1 Obr ( ) � � � � � � . Äâóõøàãîâîé Ô×È Îáðåøêîâà (2Obr1 ïðè j = 1) ñîîòâåòñòâóþò ìàò- ðèöà êîýôôèöèåíòîâ eC 2 1 1 2 1 3 8 0 3 8 1 24 1 3 1 24 Obr � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , ðÿä � �6 2 1 75600 0 1 71280000 1 1263600000 1 466 ... ... , , , ,r � � � � 56000000 , ...� �� è ôóíêöèÿ f x x x x x x x 2 1 2 2 2 3 2 3 3 1 3 930 15 15 8 1 Obr ( ) � � � � � � � � � . ×åòûðåõøàãîâîé Ô×È 4Obr1 ïðè j = 3 ñîîòâåòñòâóþò ìàòðèöà eC 4 1 1 256 13 486 13 256 13 1 15 52 96 13 0 96 13 15 52 3 1 Obr � � � � � � � 30 96 65 324 65 96 65 3 130 � � � � � � � � � � � � � � � � , ðÿä � �12 2 1 2427925500 1 19722225600 163 184402809 ... ... , ,r � 36000 ,...� �� è ôóíêöèÿ f x x x x x p x x x 4 1 4 3 4 3 5 12 15 384 384 15 1 5 64 21 Obr ( ) ( ) � � � � � � � � 6 64 12x x� � , Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 13 ãäå p x x x x x x( ) � � � � � �615 233010 5292405 31464420 52924056 5 4 3 2 � � �233010 615x . Øåñòèøàãîâîé Ô×È 6Obr1 ïðè j = 5 ñîîòâåòñòâóþò ìàòðèöà eC 6 1Obr � � � � �1 205632 2507 1603125 2507 2800000 2507 1603125 2507 205632 2507 1 630 2507 71280 2507 506250 2507 0 506250 2507 � � � � 71280 2507 630 2507 300 17549 64800 17549 1012500 17549 24 � � 00000 17549 1012500 17549 64800 17549 300 17549 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , ðÿä � �18 2... ...r � � � � �1 66552040691136 1 187146339988608 17027 87809062 , , 72265487360 ,...� �� è ôóíêöèÿ f x x x x x x 6 1 6 5 4 2 7 60 63 7128 50625 50625 7128 63 Obr ( ) � � � � � � � � � � � � � � � 1 7 216 3375 8000 3375 216 16 5 4 3 2 x p x x x x x x x ( ) ïðè p x x x x( ) � � � � �16107 18719610 17367591155 504476481610 9 8 0 7x � � � � �416418101190 1110670479828 4164181011906 5 4x x x � � � �50447648160 1736759115 18719610 161073 2x x x . Â êà÷åñòâå ïðèìåðà äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî âàðèàíòó 3 âîçüìåì îäíî- øàãîâóþ Ô×È Îáðåøêîâà (1Obr2) ñ äâóìÿ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè (m = 2). Â ýòîì ñëó÷àå èìååì ìàòðèöó eC1 2 1 1 1 2 1 2 1 10 1 10 1 120 1 120 Obr � � � � � � � � � � � � � � � � � / / / / / / , Â.Â. Àðèñòîâ 14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6 ðÿä � �6 2 1 100800 1 2592000 1 190080000 1 673920000 ... ... , , ,r � 0 ,...� �� è ôóíêöèþ f x x x x p x p x x p 1 2 2 2 1 5 1 18 20 1 100 1 Obr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � x) ïðè p x x x x x x x x x( ) ( ) / � � � � � � � � � � 2 20 63 63 1 5 1 16 1566 16 2 3 3 2 4 3 2 1 1 3 � � � � � / . Ïðàêòè÷åñêè ëþáàÿ Ô×È ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ñèíòåçà àï- ïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè è ïîëó÷åíèÿ ïðîèçâîëüíî âûñîêîé òî÷íîñòè ëîãàðèôìèðîâàíèÿ â ðåçóëüòàòå ïðåäâàðèòåëüíîãî êîðíåâîãî ìàñøòàáè- ðîâàíèÿ è îðãàíèçàöèè êîððåêòèðóþùèõ èòåðàöèé. Îäíàêî äëÿ îïòèìèçà- öèè âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ðÿä ôàêòîðîâ, ñðåäè êîòîðûõ — ñëîæíîñòü è òî÷íîñòü àïïðîêñèìèðóþùåé ôîðìóëû (ñîñòàâ, ÷èñëî è ñëîæíîñòü îïåðàöèé), ñëîæíîñòü ìàñøòàáèðîâàíèÿ, ñêîðîñòü ñõîäè- ìîñòè èòåðàöèé, ñëîæíîñòü ôîðìèðîâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ �r, çàòðàòû íà äîïîëíèòåëüíûå ïîäãîòîâèòåëüíûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ îðãàíèçàöèè è îöåí- êè èòåðàöèé. Êðîìå òîãî, çàòðàòû íà ìàòðè÷íûå âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ñîêðà- òèòü, ïðèìåíèâ îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ òðåóãîëü- íûõ ìàòðèö, íàïðèìåð ñ ïîìîùüþ äåêîìïîçèöèè Øóðà. Â ðàáîòàõ [3, 4, 6, 12] ðàññìîòðåíû âîïðîñû îïòèìèçàöèè ïîäîáíûõ âû÷èñëåíèé ìàòðè÷íûõ ëîãàðèôìîâ. Ïîëó÷åííûå âûøå ôîðìóëû ñèíòåçèðîâàíû èç óñëîâèÿ ìèíèìàëüíîé ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ëîãàðèôìà. Äàëüíåéøåå ïîâûøåíèå òî÷- íîñòè ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî â ðåçóëüòàòå óòî÷íÿþùèõ èòåðàöèé (27). Ïðè ýòîì ïðåäïî÷òèòåëüíî èìåòü ðÿä êîýôôèöèåíòîâ �r ñ âûñîêîé ñõîäèìîñòüþ ê íóëþ. Íî óâåëè÷åíèå ñõîäèìîñòè îáû÷íî ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ íà÷àëüíîé ïîãðåøíîñòè, êîòîðàÿ ïðè èòåðàöèÿõ ìîæåò áûòü áûñòðåå ñêîìïåíñèðîâàíà. Â èòîãå îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è ñèíòåçà ÿâëÿåòñÿ êîìïðîìèññíûì. Ðàññìîòðèì âàðèàíò ñèíòåçà îäíîøàãîâîé Ô×È ïðè m = 1, îòëè÷íûé îò 1Obr1. Îáîçíà÷èâ íîâóþ Ô×È 1kObr1, ïðåäñòàâèì ìàòðèöó êîýôôè- öèåíòîâ â âèäå eC w w 1 1 1 1 1 2 1 2kObr � � � � � � � � � � � � � / / . Â ýòîì ñëó÷àå f x x x x w wx wx w x 1 1 2 21 4 1 1 2 16 32 16 1 kObr ( ) ( ) � � � � � � � � � � Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 15 è ðÿä êîýôôèöèåíòîâ �r èìååò âèä � �2 2... ...r � � � � � � � � � � � 1 12 1 80 4 1 448 16 2 1 2304 64 3 16 52 2 3 2 w w w w w w w w , , , w w 3 4 6 � � � � � � �, ... . Óïðîñòèâ ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå f x1 1kObr ( ) âûáîðîì w = 1/16, ïîëó÷èì f x x x x 1 1 4 1 2 1 kObr ( ) � � � � , (32) è � �2 2 1 48 1 1280 1 28672 1 589824 1 11534336 ... ... , , , , , ...r � � �� , ïðè ýòîì � 2 42 2 1r r r� �� / ( ). (33) Ô×È ñ ìàòðèöåé eC1 1kObr ïðè w = 1/16 áóäåì íàçûâàòü îäíîøàãîâîé ôîðìóëîé êâàçè-Îáðåøêîâà ñ ïåðâîé âûñøåé ïðîèçâîäíîé. Äîñòîèíñò- âàìè ôîðìóëû (32) ÿâëÿþòñÿ åå ïðîñòîòà, áîëåå áûñòðîå óáûâàíèå çíà÷åíèé �2r ïî ñðàâíåíèþ ñ 1Obr1 è ôîðìóëàìè Ïàäå ëþáîãî ïîðÿäêà (ñì. ðèñ. 1) è ñâÿçàííàÿ ñ ýòèì áîëåå áûñòðàÿ ñõîäèìîñòü èòåðàöèé (ñì. ðèñ. 3), à òàêæå ïðîñòàÿ ôîðìóëüíàÿ çàâèñèìîñòü (33) äëÿ îïðåäåëåíèÿ �2r . Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû ñðàâíèòåëüíûå ãðàôèêè ìîäóëåé ïîãðåøíîñòåé ! � �ln ( ) ( )x f x íåêîòîðûõ ïîëó÷åííûõ âàðèàíòîâ àïïðîêñèìèðóþùèõ ôîðìóë. Ãðàôèêè ñ îáîçíà÷åíèåì [m,m] ñîîòâåòñòâóþò ðàçíîñòíûì ñîîòíî- øåíèÿì òèïà (20) ñ îäèíàêîâûìè ïîðÿäêàìè ïîëèíîìîâ â ÷èñëèòåëå è çíà- ìåíàòåëå, àíàëîãè÷íûõ àïïðîêñèìàöèè [m/m] Ïàäå. Ãðàôèêè ñ îáîçíà÷åíèåì 1kObr1 + K, ãäå K = 1, 2, ..., 9, ñîîòâåòñòâóþò ôîðìóëå êâàçè-Îáðåøêîâà (32) ñ K êîððåêòèðóþùèìè èòåðàöèÿìè. Ãðàôèêè îòîáðàæàþò ïîãðåøíîñòü ïðè âû÷èñëåíèè ëîãàðèôìà îò ñêàëÿðíîé ïåðåìåííîé x, à òàêæå ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà îò j-ãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà äèàãîíàëèçèðóåìîé ìàòðèöû C. Ïî- ñêîëüêó â ñëó÷àå ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà êîëè÷åñòâî ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïðå- äåëÿåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ C, åãî îáùàÿ ïîãðåøíîñòü çàâèñèò îò êîìïîçèöèè äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû ïîãðåøíîñòåé ïî êàæäîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó ñ ïðÿìîé è èíâåðñíîé ìàòðèöåé ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ V. Íà ðèñ. 5 ïðèâåäåíû îòíîñèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïåðâûõ íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ �r0 ñ óêàçàíèåì ãðàäèåíòíûõ âåêòîðîâ äëÿ ðÿäà õàðàê- òåðíûõ ðàçíîñòíûõ è ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ Ô×È ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè. Îïðåäåëèì ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè N äëÿ j-øàãîâîé Ô×È ñ m âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè. Îáùåå ÷èñëî êîýôôèöèåíòîâ a� è cs� ôîð- ìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ (14) ñîñòàâëÿåò ( ) ( )j m� �1 2 , ãäå j n np b� � �1. Äâà îãðàíè÷åíèÿ íàêëàäûâàþòñÿ íà êîýôôèöèåíòû a� : a1 0� è a v n n v b p �� 1. Åùå Â.Â. Àðèñòîâ 16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6 Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 17 Ðèñ. 4. Ñðàâíèòåëüíûå ãðàôèêè ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè ëîãàðèôìà: 1 — 1kObr1; 2 — 1Obr1; 3 — 1kObr1+1; 4 — [3,3]; 5 — 1kObr1+2; 6 — 2 1 1 2Obr Obr, ; 7 — [4,4]; 8 — 1kObr1+3; 9 — [5,5]; 10 — 1kObr1+4; 11 — [6,6]; 12 — 1kObr1+5; 13 — 4Obr1; 14 — [7,7]; 15 — [8,8]; 16 — [9,9]; 17 — 1kObr1+8; 18 — [10,10]; 19 — 6Obr1; 20 — 1kObr1+9 Ðèñ. 5. Íà÷àëüíûå êîýôôèöèåíòû �r0 èòåðàöèîííîé àïïðîêñèìàöèè ñ ãðàäèåíòàìè óáûâà- íèÿ êîýôôèöèåíòîâ �r äâà îãðàíè÷åíèÿ íàêëàäûâàþòñÿ íà êîýôôèöèåíòû cs� : îäíî äëÿ îáíóëåíèÿ ôàçîâîé ïîãðåøíîñòè (íåîáõîäèìî, ÷òîáû âñå íå÷åòíûå êîýôôèöèåíòû � 2 1r� áûëè ðàâíû íóëþ), äðóãîå — äëÿ çàäàíèÿ åäèíè÷íîãî êîýôôèöèåíòà ïåðåäà÷è ðåçóëüòàòà èíòåãðèðîâàíèÿ. Òîãäà ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè Ô×È N j m j m� � � � � � � �( )( ) ( mod ( ) mod ( ))1 2 4 1 12 2 � � � � � �( ) ( ) mod ( ) mod ( )j m j m1 2 3 12 2 , ãäå â ñëàãàåìîì ( mod ( )1 12� � "j " mod ( ))2 m ó÷òåí íóëåâîé íå÷åòíûé êîýôôèöèåíò � r0�# ñèñòåìíîé ÊÏÔ. Íà ðèñ. 5 èíäåêñû ïåðâûõ íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ � r0 ðàâíû N +1. Èç àíàëèçà ãðàôèêîâ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 4 è 5, ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû. • Òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè ln (x) êàæäîé ôîðìóëîé ñóùåñòâåííî âîçðàñ- òàåò â îáëàñòè x �1. • Ô×È êâàçè-Îáðåøêîâà 1kObr1 èìååò íàèáîëüøóþ ïîãðåøíîñòü, îäíàêî íà êàæäîé èòåðàöèè ïîãðåøíîñòü óìåíüøàåòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî íà 7 äåñÿòè÷íûõ ïîðÿäêîâ. Ïðè âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàòàõ â âèäå óìíîæåíèÿ äâóõ ìàòðèö, óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà ñêàëÿð è ñóììèðîâàíèÿ äâóõ ìàòðèö ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè íà êàæäîé èòåðàöèè óâåëè÷èâàåòñÿ íà äâà. • Ïðèìåíåíèå äâóõ èòåðàöèé ê Ô×È êâàçè-Îáðåøêîâà 1kObr1 ïîçâî- ëÿåò ïîëó÷èòü ðåçóëüòàò â 103 ðàç òî÷íåå, ÷åì äëÿ Ô×È [3,3] (òèïà [3/3] Ïàäå), à ïðèìåíåíèå äåâÿòè èòåðàöèé — â 104 ðàç òî÷íåå, ÷åì äëÿ Ô×È [10,10] (òèïà [10/10] Ïàäå). • Äâóõøàãîâàÿ Ô×È ñ ïåðâîé âûñøåé ïðîèçâîäíîé èìååò òàêóþ æå òî÷íîñòü, êàê îäíîøàãîâàÿ Ô×È ñ äâóìÿ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè. • Íå îáíàðóæåíî êàêèõ-ëèáî ïðåèìóùåñòâ ïî òî÷íîñòè è ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿ Ô×È ñ íåñêîëüêèìè âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè, îäíàêî ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèé âîçðàñòàåò. Ïðè k-êðàòíîì êîðíåâîì ìàñøòàáèðîâàíèè (22) ìàòðèöà ïîãðåøíîñ- òåé âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû C, ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ (26), îöåíè- âàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì � ( ) ( ) / ( )C Z� � � � � � � � � � � 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 3k r N K r N r k N K N N Kf f� � ( )Z è âûáîðîì ÷èñëà êîððåêöèé K ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà äîñòàòî÷íî áëèçêî ê íóëåâîé äëÿ äîñòèæåíèÿ âûñîêîé òî÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ ìàòðè÷íîãî ëîãà- ðèôìà. Åñòåñòâåííî, âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäèìî âûïîëíÿòü ñ òàêîé ðàçðÿä- íîñòüþ, ÷òîáû ñóììàðíûé ýôôåêò îò ïîãðåøíîñòåé îêðóãëåíèé íå ïðåâûñèë ìåòîäè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòèðóþùåé àïïðîêñèìàöèè. Äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ k, K è Ô×È ìîæíî äîïîëíèòåëüíî èñïîëüçîâàòü ñèììåòðèðîâàíèå ñïåêòðà ìàòðèöû. Èç ðèñ. 4 âèäíî, ÷òî äëÿ çíà÷åíèé ñîáñòâåííûõ ÷èñåë x â äèàïàçîíå [0,9 $ 1,1] Â.Â. Àðèñòîâ 18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6 íàáëþäàåòñÿ íàèáîëüøåå óìåíüøåíèå ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè. Ïî- ýòîìó ïðèìåíÿåòñÿ êîðíåâîå ìàñøòàáèðîâàíèå (22), ïîçâîëÿþùåå ïðèá- ëèçèòü ñïåêòð Z ê ýòîìó äèàïàçîíó. Ñ ïîìîùüþ êîðíåâîãî ìàñøòàáè- ðîâàíèÿ ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû Z ïåðåìåùàþòñÿ áëèæå ê åäèíèöå, êàê â åäèíè÷íîé äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå E [3—6]. Îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèÿ k îäèíàêîâà ñëåâà è ñïðàâà îò åäèíèöû. Ïîýòîìó ïðè èñõîäíîé àñèììåòðèè ñïåêòðîâ C è C –1 ñïåêòð ìàòðèöû Z îêàæåòñÿ ñìåùåííûì îòíîñèòåëüíî åäèíèöû, ÷òî íå ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì äëÿ ïîëó÷åíèÿ íàèáîëüøåé òî÷íîñòè. Äëÿ ñèììåòðèðîâàíèÿ ââåäåì ìíîæèòåëü S òàêîé, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå � �max min/ /S S� , ò.å. S � � �max min , ãäå � min è � max — ìèíèìàëü- íîå è ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû C. Â ýòîì ñëó÷àå îïðå- äåëÿåòñÿ ëîãàðèôì ìàòðèöû C/S â ñîîòâåòñòâèè ñ êàêèì-ëèáî îïèñàííûì âûøå âàðèàíòîì è ê ïîëó÷åííîìó ðåçóëüòàòó äîáàâëÿåòñÿ (ln )S E. Íà ðèñ. 6 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû Ãèëüáåðòà 12-ãî ïîðÿäêà òðåìÿ ìåòîäàìè: äâóõøàãîâîé Ô×È Îáðåøêîâà 2Obr1, îäíîøàãîâîé 1kObr1 è Ô×È [6,6] òèïà Ïàäå. Çäåñü ñèììåòðèðî- âàíèå ýêâèâàëåíòíî ïî òî÷íîñòè óâåëè÷åíèþ çíà÷åíèÿ k íà åäèíèöó. Äëÿ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèÿ S íåîáõîäèìî çíàòü ñîáñòâåííûå ÷èñëà, îïðåäåëåíèå êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ íåïðîñòîé çàäà÷åé. Äàæå åñëè ýòè ÷èñëà èçâåñòíû, òî èñïîëüçîâàòü èòåðàöèîííî-àïïðîêñèìàöèîííûå àëãîðèòìû Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 19 Ðèñ. 6. Íîðìà ìàòðèöû ïîãðåøíîñòè èòåðàöèîííîé àïïðîêñèìàöèè ëîãàðèôìà ìàòðèöû Ãèëüáåðòà 12-ãî ïîðÿäêà ïðè k � 8: – – – áåç ñèììåòðèðîâàíèÿ ñïåêòðà (S = 1); —— ñ ñèì- ìåòðèðîâàíèåì ñïåêòðà (S � � � �� 1 12 74 37641 10, ) íåöåëåñîîáðàçíî. Îäíàêî ñèììåòðèðóþùèé ìíîæèòåëü ìîæåò áûòü îïðå- äåëåí âåñüìà ïðèáëèæåííî, ÷òî íåñóùåñòâåííî âëèÿåò íà èçìåíåíèå òî÷- íîñòè ëîãàðèôìèðîâàíèÿ ìàòðèöû. Íà ðèñ. 7 ïðèâåäåíû ãðàôèêè íîðìû ïîãðåøíîñòè ëîãàðèôìèðîâàíèÿ ìàòðèö Ãèëüáåðòà ïîðÿäêà nG {10, 12, 14, 16} â çàâèñèìîñòè îò S. Îïòè- ìàëüíûå çíà÷åíèÿ S ñîîòâåòñòâóþò òî÷êàì èçëîìîâ êðèâûõ è ñîñòàâëÿþò â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ nG: 4,37610�7; 1,42710�8; 4,25210�10; 1,30810�11. Âûáîð îöåíî÷íûõ çíà÷åíèé, íàïðèìåð 110�7, 110�8, 110�10 è 110�11, íåçíà÷èòåëüíî ñíèæàåò òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé, òàê êàê îíè íàõîäÿòñÿ â îáëàñòè ìèíèìàëü- íûõ ïîãðåøíîñòåé. Ïðèáëèæåííûå âåëè÷èíû S ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, èñõîäÿ èç èçâåñòíûõ ñâîéñòâ ïðèìåíÿåìîé ìàòðèöû èëè ïî îöåíêàì ñïåêòðà, èñïîëüçóÿ íîðìû C M M1/ max�� è C M M� � � 1/ min� äëÿ öåëîãî M >> 1. Âûâîäû Ïðåäëîæåííûé èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä àïïðîêñèìàöèè è èòåðà- öèîííîé êîððåêöèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ ëîãàðèôìîâ ìàòðèöû îñíîâàí íà ïðèìåíåíèè ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ôîðìóë ÷èñ- ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ðàçíîñòíîãî òèïà, à òàêæå ðàçíîñòíî-äèôôåðåí- öèàëüíûõ ôîðìóë Îáðåøêîâà ñ ó÷åòîì âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ. Ìåòîä òàê- æå îáîáùàåò èçâåñòíûå àëãîðèòìû ëîãàðèôìèðîâàíèÿ íà îñíîâå ôîðìóë Â.Â. Àðèñòîâ 20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6 Ðèñ. 7. Çàâèñèìîñòè íîðìû ìàòðèöû ïîãðåøíîñòåé èòåðàöèîííîé àïïðîêñèìàöèè ëîãà- ðèôìà ìàòðèö Ãèëüáåðòà ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà nG â çàâèñèìîñòè îò ñèììåòðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ S â ñîîòâåòñòâèè ñ îäíîøàãîâîé àïïðîêñèìàöèîííîé ôîðìóëîé êâàçè-Îá- ðåøêîâà 1kObr1 ïðè k = 8: – – – K = 8; —— K = 23 Ïàäå è ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü èõ ïîðÿäîê è òî÷íîñòü ïîñðåäñòâîì èòåðà- öèîííîé êîððåêöèè. Ïðåäëîæåííûå ñîîòíîøåíèÿ è ïðîãðàììíûå ðåøå- íèÿ ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü íåîáõîäèìûå ïàðàìåòðû äëÿ îðãàíèçàöèè ïðî- öåññîâ âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìîâ ìàòðèöû ñ ïðîèçâîëüíî çàäàííîé âûñîêîé òî÷íîñòüþ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì. : Íàóêà, 1988. — 552 ñ. 2. Culver W. J. On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix // Proc. of the American Mathematical Society. — 1966. — Vol. 17, No 5. — Ð. 1146 — 1151. 3. Al-Mohy A., Higham N. Improved inverse scaling and squaring algorithms for the matrix logarithm // SIAM J. Sci. Comput. — 2012. — Vol. 34, No 4. — Ð. C.153 — C.169. 4. Cheng S. H., Higham N. J., Kenney C. S., Laub A. J. Approximating the logarithm of a matrix to specified accuracy // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2001. — Vol. 22. — Ð. 1112—1125. 5. Kenney C., Laub A. Condition estimates for matrix functions // Ibid. — 1989. — Vol. 10. — P. 707 —730. 6. Kenney C., Laub A. A Schur-Frechet algorithm for computing the logarithm and exponential of a matrix // Ibid.—1998. — Vol. 19, No 3. — P. 640 — 663. 7. Higham, Nicholas J. Functions of matrices. Theory and computation// Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2008. — 425 p. — ISBN: 978-0- 89871-646-7 MR2396439 (2009b:15001) MR2396439. 8. Àðèñòîâ Â.Â. Ôóíêöèîíàëüíûå ìàêðîîïåðàöèè: Îñíîâû èòåðàöèîííûõ àëãîðèòìîâ. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1992. — 280 ñ. 9. Àðèñòîâ Â.Â. Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðè- ðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ ó÷àñòêà ðàçãîíà // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2013. — 35, No 6. — Ñ. 3—26. 10. Àðèñòîâ Â.Â. Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1980. — 192 ñ. 11. Àðèñòîâ Â.Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè èòåðàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé îáîáùåííûõ CORDIC-àëãîðèòìîâ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2011. — 33, No 1. — Ñ. 3—29. 12. Higham N.J. Evaluating Pade approximants of the matrix logarithm // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2001. — Vol. 22, No 4. — P. 1126 —1135. V.V. Aristov INTEGRO-ALGORITHMIC METHOD FOR COMPUTATION THE MATRIX LOGARITHM WITH ARBITRARY ACCURACY The integro-algorithmic method of approximation and iteration correction for high-accuracy compu- tation of matrix logarithms is proposed. The method is based on the use of linear multistep formulas of numerical integration of the difference type as well as the Obreshkov difference-differential formulas with allowance for higher derivatives. Due to iterations in this case there is not a necessity to choose a high-fidelity primary approximating formula and a basic criterion is a receipt of high-rate of conver- gence. A method also summarizes the well-known algorithms of taking the logarithm based on the Pade formulas and increases their order and accuracy due to the additional use of iterative correction. The proposed relations and program solutions permit determining necessary parameters for orga- nizing the processes of matrix logarithms computation with arbitrary preset high accuracy. K e y w o r d s: matrix logarithms, numerical integration, integro-algorithmic method, multistep formulas of integration, transfer function, equivalent transformations. Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 21 REFERENCES 1. Gantmacher F.R. The Theory of Matrices. — Moscow: Nauka, 1988. — 552 p. (in Russian). 2. Culver W.J. On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix // Proc. of the American Mathematical Society. — 1966. — Vol. 17, No 5. — P. 1146—1151. 3. Al-Mohy A., Higham N. Improved inverse scaling and squaring algorithms for the matrix logarithm // SIAM J. Sci. Comput. — 2012. — Vol. 34, No 4. — P. C.153—C.169. 4. Cheng S.H., Higham N.J., Kenney C.S., Laub A.J. Approximating the logarithm of a matrix to specified accuracy // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2001. — Vol. 22. — P. 1112—1125. 5. Kenney C., Laub A. Condition estimates for matrix functions // Ibid. — 1989. — Vol. 10. — P. 707—730. 6. Kenney C., Laub A. A Schur-Frechet algorithm for computing the logarithm and exponential of a matrix // Ibid. — 1998. — Vol. 19, No 3. — P. 640—663. 7. Higham N.J. Functions of matrices. Theory and computation // Society for Industrial and Ap- plied Mathematics. SIAM-2008. Philadelphia, 2008. — 425 p. 8. Aristov V.V. Functional macrooperation: basics of iterative algorithms. — Kiev: Nauk. Dumka, 1992. — 280 p. (in Russian). 9. Aristov V.V. Model multistep difference-differential methods integration with regard to the influence of the starting section // Electronic Modeling. — 2013. — Vol. 35, No 6. — P. 3— 26 (in Russian). 10. Aristov V.V. Integro-algorithmic computations. — Kiev: Nauk. Dumka, 1980. — 192 p. (in Russian). 11. Aristov V.V. Mathematical models of iterative relations generalized CORDIC-algorithms // Electronic Modeling. — 2011. — Vol. 33, No 1. — P. 3—29 (in Russian). 12. Higham N.J. Evaluating Pade approximants of the matrix logarithm // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — Vol. 22, No 4. — P. 1126—1135. Ïîñòóïèëà 18.06.14 ÀÐÈÑÒÎÂ Âàñèëèé Âàñèëüåâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëè- ðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõ- íè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ è ðåàëèçàöèÿ èòåðàöèîííûõ àëãîðèòìîâ ìàêðîîïåðàöèé, ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñõåìîòåõíèêà è àðõè- òåêòóðà ñïåöèàëèçèðîâàííûõ óñòðîéñòâ, ãåîèíôîðìàöèîííûå ñèñòåìû, ðàäèîòåõíèêà. Â.Â. Àðèñòîâ 22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6

Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью. (Окончание)

Institution

Ähnliche Einträge