Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею
Математическое моделирование в рамках гидродинамической модели предельно-анизотропного пласта (случай kx = k , kz = ∞) проведено на основе численного решения нестационарной задачи с подвижными границами. Рассмотрен процесс вытеснения нефти несмешивающейся с ней водой в конечном горизонтальном пласте...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2015
|
| Series: | Электронное моделирование |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101135 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею / Р.А. Мустафаев // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 3. — С. 97-110. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-101135 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1011352016-06-01T03:02:20Z Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею Мустафаев, Р.А. Применение методов и средств моделирования Математическое моделирование в рамках гидродинамической модели предельно-анизотропного пласта (случай kx = k , kz = ∞) проведено на основе численного решения нестационарной задачи с подвижными границами. Рассмотрен процесс вытеснения нефти несмешивающейся с ней водой в конечном горизонтальном пласте постоянной мощности при различных вязкостях и плотностях в случае прямолинейно-параллельного движения. Для численного решения создана итерационно-разностная схема решения на основе сочетания метода выпрямления фронтов с методом конечных разностей. Приведены результаты численного эксперимента. Математичне моделювання в рамках гідродинамічної моделі гранично-анізотропного шару (випадок kx = k , kz = ∞) проведено на основі чисельного розв’язку нестаціонарної задачі з рухомими границями. Розглянуто процес витискання нафти незмішуваною з нею водою в кінцевому горизонтальному шарі постійної потужності при різних в’язкостях та щільностях у випадку прямолінійно-паралельного руху. Для чисельного розв’язування створено ітераційно-різницеву схему розв’язку на основі поєднання методу випрямляння фронтів з методом кінцевих різниць. Наведено результати чисельного експерименту. Application of limited-anisotropic stratum hydrodynamic model (case kx = k , kz = ∞) for mathematical modeling the unsteady problem with mobile boundaries is examined. The process of oil expelling with immiscible water in the finite horizontal stratum of constant thickness at various liquid viscosities and densities in case of rectilinear parallel motion is considered. Iterative difference scheme with combination of fronts straightening method with finite difference method is composed for numerical solution. Results of numerical experiment are presented. 2015 Article Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею / Р.А. Мустафаев // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 3. — С. 97-110. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101135 19.63:532.546 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования |
| spellingShingle |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Мустафаев, Р.А. Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею Электронное моделирование |
| description |
Математическое моделирование в рамках гидродинамической модели предельно-анизотропного пласта (случай kx = k , kz = ∞) проведено на основе численного решения нестационарной задачи с подвижными границами. Рассмотрен процесс вытеснения нефти несмешивающейся с ней водой в конечном горизонтальном пласте постоянной мощности при различных вязкостях и плотностях в случае прямолинейно-параллельного движения. Для численного решения создана итерационно-разностная схема решения на основе сочетания метода выпрямления фронтов с методом конечных разностей. Приведены результаты численного эксперимента. |
| format |
Article |
| author |
Мустафаев, Р.А. |
| author_facet |
Мустафаев, Р.А. |
| author_sort |
Мустафаев, Р.А. |
| title |
Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею |
| title_short |
Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею |
| title_full |
Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею |
| title_fullStr |
Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею |
| title_sort |
математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Применение методов и средств моделирования |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101135 |
| citation_txt |
Математическое моделирование нестационарного движения двух несмешивающихся жидкостей с учетом схемы предельной анизотропии проницаемости пористой среды при закачке в галерею / Р.А. Мустафаев // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 3. — С. 97-110. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT mustafaevra matematičeskoemodelirovanienestacionarnogodviženiâdvuhnesmešivaûŝihsâžidkostejsučetomshemypredelʹnojanizotropiipronicaemostiporistojsredyprizakačkevgalereû |
| first_indexed |
2025-07-07T10:28:25Z |
| last_indexed |
2025-07-07T10:28:25Z |
| _version_ |
1836983628224004096 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.63:532.546
Ð.À. Ìóñòàôàåâ, ä-ð ôèëîñîôèè ïî ìàòåìàòèêå
Èí-ò ñèñòåì óïðàâëåíèÿ Íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè íàóê Àçåðáàéäæàíà
(Àçåðáàéäæàí, Az 1141, Áàêó, óë. Á. Âàãàáçàäå, 9,
òåë. (+99412) 5392275, e-mail: aradmu@rambler.ru)
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíîãî
äâèæåíèÿ äâóõ íåñìåøèâàþùèõñÿ æèäêîñòåé
ñ ó÷åòîì ñõåìû ïðåäåëüíîé àíèçîòðîïèè
ïðîíèöàåìîñòè ïîðèñòîé ñðåäû ïðè çàêà÷êå â ãàëåðåþ
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå â ðàìêàõ ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ìîäåëè ïðåäåëüíî-àíèçîò-
ðîïíîãî ïëàñòà (ñëó÷àé k kx � , k z ��) ïðîâåäåíî íà îñíîâå ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ íåñòà-
öèîíàðíîé çàäà÷è ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè. Ðàññìîòðåí ïðîöåññ âûòåñíåíèÿ íåôòè
íåñìåøèâàþùåéñÿ ñ íåé âîäîé â êîíå÷íîì ãîðèçîíòàëüíîì ïëàñòå ïîñòîÿííîé ìîùíîñòè
ïðè ðàçëè÷íûõ âÿçêîñòÿõ è ïëîòíîñòÿõ â ñëó÷àå ïðÿìîëèíåéíî-ïàðàëëåëüíîãî äâèæåíèÿ.
Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñîçäàíà èòåðàöèîííî-ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ íà îñíîâå ñî÷å-
òàíèÿ ìåòîäà âûïðÿìëåíèÿ ôðîíòîâ ñ ìåòîäîì êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòà-
òû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà.
Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ â ðàìêàõ ã³äðîäèíàì³÷íî¿ ìîäåë³ ãðàíè÷íî-àí³çîòðîïíîãî øà-
ðó (âèïàäîê k kx � , k z ��) ïðîâåäåíî íà îñíîâ³ ÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçêó íåñòàö³îíàðíî¿ çàäà÷³ ç
ðóõîìèìè ãðàíèöÿìè. Ðîçãëÿíóòî ïðîöåñ âèòèñêàííÿ íàôòè íåçì³øóâàíîþ ç íåþ âîäîþ â
ê³íöåâîìó ãîðèçîíòàëüíîìó øàð³ ïîñò³éíî¿ ïîòóæíîñò³ ïðè ð³çíèõ â’ÿçêîñòÿõ òà ù³ëü-
íîñòÿõ ó âèïàäêó ïðÿìîë³í³éíî-ïàðàëåëüíîãî ðóõó. Äëÿ ÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñòâî-
ðåíî ³òåðàö³éíî-ð³çíèöåâó ñõåìó ðîçâ’ÿçêó íà îñíîâ³ ïîºäíàííÿ ìåòîäó âèïðÿìëÿííÿ
ôðîíò³â ç ìåòîäîì ê³íöåâèõ ð³çíèöü. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ÷èñåëüíîãî åêñïåðèìåíòó.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íåñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè, ìîäåëü
ïðåäåëüíî-àíèçîòðîïíîãî ïëàñòà, èòåðàöèîííî-ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, ìåòîä âûïðÿìëåíèÿ
ôðîíòîâ, ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé.
Çàäà÷è ìíîãîôàçíîé ôèëüòðàöèè, èíòåíñèôèêàöèè íåôòåãàçîäîáû÷è ïî-
ñðåäñòâîì ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ âîçäåéñòâèÿ íà ïðîäóêòèâíûå ïëàñòû, îáðàçî-
âàíèÿ êîíóñîâ îáâîäíåíèÿ è èõ óñòîé÷èâîñòè ñâÿçàíû ñ èññëåäîâàíèÿìè
ïàðàìåòðîâ ïëàñòà, ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê âîäîíåôòÿíûõ èëè
ãàçîæèäêîñòíûõ ñèñòåì, ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ, âëèÿþùèõ íà ýôôåêòèâíîñòü
ïðîöåññà âûòåñíåíèÿ. Îñîáîå çíà÷åíèå èìååò ó÷åò àíèçîòðîïèè ïëàñòà,
÷òî ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà âûáîð ìåòîäèêè èññëåäîâàíèÿ è ïîçâîëÿåò
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 97
� Ð.À. Ìóñòàôàåâ, 2015
ðàññìîòðåòü ïðîáëåìó ñ áîëåå ðåàëüíûõ ïîçèöèé. Òàê, èññëåäîâàíèå
ïåðåìåùåíèÿ âîäîíåôòÿíîãî êîíòàêòà íà îñíîâå ìîäåëè ïðåäåëüíî-àíè-
çîòðîïíûõ ïëàñòîâ [1, 2] ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ãðàíèöû, ìåæäó êîòîðûìè
ïðîèñõîäèò èñòèííîå äâèæåíèå, â òîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà ïðè êîýô-
ôèöèåíòå ïðîíèöàåìîñòè â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïëàñòîâà-
íèþ (k z ��), ïîëó÷àåìûå ðåçóëüòàòû áëèçêè ê ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàí-
íûì [3]. Íà îñíîâå ìîäåëè, îïèñàííîé â ðàáîòå [1], àâòîìîäåëüíîå
ðåøåíèå çàäà÷è äâèæåíèÿ âîäîíåôòÿíîãî êîíòàêòà â ñëó÷àå æåñòêîãî
ðåæèìà ôèëüòðàöèè äëÿ ïðÿìîëèíåéíîãî è ðàäèàëüíîãî ñëó÷àåâ ðàññìîò-
ðåíî â [2], à ÷èñëåííîå ðåøåíèå ïîëó÷åííûõ ïðè ýòîì íåëèíåéíûõ ïàðàáî-
ëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðèâåäåíî â [2, 4]. Ñõåìà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è â
ñëó÷àå íåîäíîðîäíîãî ïëàñòà ïðè k z �� äëÿ àâòîìîäåëüíîãî äâèæåíèÿ
âîäîíåôòÿíîãî êîíòàêòà ïðåäëîæåíà â [5]. Àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à âîçíèêàåò è â
ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé îõðàíû îêðóæàþùåé ñðåäû, êîãäà â ñâÿçè ñ íåîáõî-
äèìîñòüþ óìåíüøåíèÿ ñáðîñîâ ïðîìûøëåííûõ îòõîäîâ â ðåêè è âîäîåìû
ïðîâîäÿò èõ íàãíåòàíèå â ñêâàæèíû, âñêðûâàþùèå ãëóáîêîçàëåãàþùèå âîäî-
èëè ãàçîñîäåðæàùèå ïëàñòû [6—8].
Ââèäó ñëîæíîñòè çàäà÷è ðåøåíèå åå âîçìîæíî òîëüêî ïðè ðàçëè÷íûõ
äîïóùåíèÿõ. Òàê, â ðàáîòàõ [2, 4, 5] ðàññìîòðåíî äâèæåíèå æèäêîñòåé â
ñëó÷àå æåñòêîãî ðåæèìà ôèëüòðàöèè. Ñâÿçàííûå ñ ýòîé îáëàñòüþ òå÷åíèÿ
íàãíåòàåìîé æèäêîñòè ïåðåä ãðàíèöåé ðàçäåëà è âûòåñíÿåìîé æèäêîñòè
çà ãðàíèöåé ðàçäåëà íå ðàññìàòðèâàëèñü è ïîëå äàâëåíèé íå îïðåäåëÿëîñü.
 ðàáîòàõ [6—8] ðàññìîòðåíî àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è, ñôîðìóëè-
ðîâàííîé â âèäå çàäà÷è ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè, äëÿ ñëó÷àÿ çàêà÷êè
æèäêîñòè â ãàëåðåþ èëè ðÿä ñêâàæèí áîëüøîé äëèíû. Ïîëó÷åííûå ïðè
ýòîì àâòîìîäåëüíûå ðåøåíèÿ ñëîæíû äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ è
âû÷èñëåíèÿ ïî íèì íå ïðîâîäèëèñü. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî ïðîâåäåíèå
èññëåäîâàíèé óêàçàííîãî êëàññà çàäà÷ íà îñíîâå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ.  [9]
ðàññìîòðåíî ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà
äâèæåíèÿ äâóõ íåñìåøèâàþùèõñÿ æèäêîñòåé â ðàìêàõ ãèäðîäèíàìè÷åñ-
êîé ìîäåëè ïðåäåëüíî-àíèçîòðîïíîãî ïëàñòà (ñëó÷àé k z ��) íà îñíîâå
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíîé çàäà÷è ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè
ïðè ïëîñêî-ðàäèàëüíîì âûòåñíåíèè.
 çàäà÷àõ íàãíåòàíèÿ â ãàëåðåþ, ïðè ïðåíåáðåæåíèè ñèëîé òÿæåñòè è
ó÷åòå ëèøü ñèëû äàâëåíèÿ è ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ, ãðàíèöà ðàçäåëà
ìåæäó ðàçëè÷íûìè æèäêîñòÿìè ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòüþ, à ïðè
íàãíåòàíèè â ñêâàæèíó îíà èìååò ôîðìó êðóãîâîãî öèëèíäðà. Åñëè ó÷åñòü
âëèÿíèå ñèëû òÿæåñòè, òî ïîäâèæíàÿ ãðàíèöà ðàçäåëà áóäåò íåêîòîðîé
êðèâîëèíåéíîé ïîâåðõíîñòüþ. Ïðè ýòîì, åñëè íàãíåòàåìàÿ æèäêîñòü òÿ-
æåëåå ïëàñòîâîé, òî îíà ïîãðóæàåòñÿ â íèæíþþ ÷àñòü ïëàñòà, à çàòåì ïî
Ð.À. Ìóñòàôàåâ
98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
åãî ïîäîøâå ïðîäâèãàåòñÿ âïåðåä áûñòðåå, ÷åì ïî êðîâëå. Åñëè íàãíå-
òàåìàÿ æèäêîñòü ëåã÷å ïëàñòîâîé, òî îíà ñîñðåäîòà÷èâàåòñÿ â âåðõíåé
÷àñòè ïëàñòà è ïðîäâèãàåòñÿ âäîëü åãî êðîâëè áûñòðåå, ÷åì âäîëü ïîäîø-
âû.  ïðîöåññå ôèëüòðàöèè äâóõ æèäêîñòåé ñ ðàçëè÷íûìè ôèçè÷åñêèìè
ñâîéñòâàìè (ïëîòíîñòü, âÿçêîñòü) îáðàçóþòñÿ òðè îáëàñòè. Ïåðâàÿ îáëàñòü
çàíÿòà òîëüêî íàãíåòàåìîé æèäêîñòüþ, âòîðàÿ — íàãíåòàåìîé è âûòåñíÿå-
ìîé, à òðåòüÿ íàñûùåíà òîëüêî âûòåñíÿåìîé æèäêîñòüþ.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷èñëåííîå ðåøåíèå íåñòàöèîíàðíîé çàäà÷è ñ
ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè íà îñíîâå ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ìîäåëè ïðåäåëüíî-
àíèçîòðîïíîãî ïëàñòà [1, 2] â ñëó÷àå k kx � , k z �� äëÿ ïðîöåññà ïðÿìîëè-
íåéíî-ïàðàëëåëüíîãî âûòåñíåíèè íåôòè íåñìåøèâàþùåéñÿ ñ íåé âîäîé â
êîíå÷íîì ãîðèçîíòàëüíîì ïëàñòå. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñîñòàâëåíà
èòåðàöèîííî-ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, ñî÷åòàþùàÿ ìåòîä âûïðÿìëåíèÿ ôðîíòîâ
[10] ñ ìåòîäîì êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé [9, 11].
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì íåñòàöèîíàðíóþ çàäà÷ó ñ ïîäâèæ-
íûìè ãðàíèöàìè ïðè ïðÿìîëèíåéíî-ïàðàëëåëüíîì âûòåñíåíèè íåôòè
íåñìåøèâàþùåéñÿ ñ íåé âîäîé â ãîðèçîíòàëüíîì ïëàñòå ïîñòîÿííîé
ìîùíîñòè h ïðè ðàçëè÷íûõ âÿçêîñòÿõ � i è ïëîòíîñòÿõ � i , i �1 2, . Ïîðîäà
ïëàñòà ïðåäåëüíî-àíèçîòðîïíàÿ (k kx � , k z ��) [1, 2]. Æèäêîñòè ñ÷èòàþòñÿ
óïðóãèìè, à äâèæåíèå — ïðîèñõîäÿùèì â óïðóãîé ïîðèñòîé ñðåäå [2].
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáúåìíûé âåñ çàêà÷èâàåìîé æèäêîñòè �1 áîëüøå,
÷åì ïëàñòîâîé � 2 : � �1 2 0� .
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Îïðåäåëèòü äàâëåíèÿ p x t1( , ),
p x t21( , ), p x t22( , ), p x t3( , )â êàæäîé îáëàñòè, ïîëîæåíèå ïîäâèæíûõ ãðàíèö
l t1( ), l t2( ) è ïîëîæåíèå âîäîíåôòÿíîãî êîíòàêòà z x t( , ) óäîâëåòâîðÿþùèå
óðàâíåíèÿì è óñëîâèÿì
�
�
�
�
1
2
1
2
1p
x
p
t
� â D x l t t T1 10 0:{ ( ), }� � � � ; (1)
�
�
�
�
�
�
�
�
21
21 21
1 21
x
z
p
x
z
p
t
p
z
t
�
�
�
�
�
� � � ( ) (2)
â D l t x l t t T21 1 2 0:{ ( ) ( ), }� � � � , h z 0;
�
�
�
�
�
�
� �
�
22
22 22
2 22
x
h z
p
x
h z
p
t
p
h z
( ) ( ) ( )
)
��
��
�
��
� � �
�
t
(3)
â D l t x l t t T22 1 2 0:{ ( ) ( ), }� � � � , 0� � �h z h;
�
�
�
�
3
2
3
2
3p
x
p
t
� â D l t x L t T3 2 0:{ ( ) , }� � � � ; (4)
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 99
p x t p x t z x t h21 22 2( , ) ( , ) ( , )� � ��� � , �� � �� � 1 2 0; (5)
l li i( ) ,0 0� , p x x1 10( , ) ( )�� , 0 01� �x l ( ), p x xi i2 20( , ) ( )�� , i �1 2, ,
l x l1 20 0( ) ( )� � , p x x3 30( , ) ( )�� , l x L2 0( ) � � ; (6)
A
p x t
x
Bp x t f t
x
�
�
1
1
0
( , )
( , ) ( )��
��
�
��
�
�
, 0� �t T; (7)
Cp x t D
p x t
x
t
x L
3
3( , )
( , )
( )��
��
�
��
�
�
�
�
� , 0� �t T; (8)
p x t p x t hx l t x l t1 22 11 1
( , )| ( , )|( ) ( )� �� � � , 0� �t T; (9)
kh p x t
x
kh p x t
xx l t x l t�
�
� �
�
�1
1
1
21
1 1
( , ) ( , )
( ) ( )� �
� , 0� �t T; (10)
p x t p x tx l t x l t21 32 2
( , )| ( , )|( ) ( )� �� , 0� �t T; (11)
kh p x t
x
kh p x t
xx l t x l t�
�
� �
�
�2
22
2
3
2 2
( , ) ( , )
( ) ( )� �
� , 0� �t T; (12)
dl t
dt
p x t
x
i
i
i
x l ti
( ) ( , )
( )
� �
�
�
�
�
3
23 , i �1 2, , 0� �t T, (13)
ãäå èíäåêñ 1 îòíîñèòñÿ ê âîäå, à èíäåêñ 2 — ê âûòåñíÿåìîé íåôòè;
�
1 21
1
1
� �
k K
m
;
�
22 3
2
� �
k K
m
;
i i i ip K p p( ) ( )2 2 0� � � ,
�
3
3
�
�
� �i
i
k
m
, i �1 2, ;
k — êîýôôèöèåíò ïðîíèöàåìîñòè; m — ïîðèñòîñòü ïëàñòà; K i , i �1 2, , —
ñîâìåñòíûé ìîäóëü óïðóãîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé æèäêîñòè è ïîðèñòîé
ñðåäû; p1, p21, p3 — äàâëåíèå íà ïîäîøâå; p22 — äàâëåíèå íà êðîâëå
ïëàñòà. Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ A, B, C, D è ôóíêöèé f t( ) è � ( )t
îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿìè (7) è (8), çàïèñàííûìè â îáùåì âèäå äëÿ âñåõ
êîìáèíàöèé óñëîâèé 1-ãî è 2-ãî ðîäà, çàäàâàåìûõ íà íàãíåòàòåëüíîé
ãàëåðåå è íà âíåøíåé ãðàíèöå. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ
Ð.À. Ìóñòàôàåâ
100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
ñîïðÿæåíèÿ è ïîäâèæíûå ãðàíèöû l t1( ) è l t2( ) íå ñîâïàäàþò ñ êîíöàìè
îòðåçêà [ , ]0 L è ìåæäó ñîáîé:
f ( ) ( )0 01�� , � �( ) ( )0 3� L , � �1 1 2 10 0( ( )) ( ( ))l l� , � �2 2 3 20 0( ( )) ( ( ))l l� ,
l1 0 0( ) ! , l l1 20 0( ) ( )! , l L3 0( ) ! .
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)—(13) ïåðåé-
äåì ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì:
x
L
x
0
� ,
t
T
t
0
� ,
p x t
P
p x t
( , )
( , )
0
� ,
z
H
z
0
� ,
ãäå L0, T0, P0, H 0 — èçâåñòíûå ðàçìåðíûå êîíñòàíòû (äàëåå ÷åðòî÷êè
îïóùåíû), è ïðèìåíèì ìåòîä âûïðÿìëåíèÿ ôðîíòîâ [10] ïîñðåäñòâîì
çàìåíû ïåðåìåííûõ:
s x l t l t l t ii i i i� � � � �� �
�[ ( )][ ( ) ( )] ( )1 1
1 1 , t t� , i �1 2 3, , ,
ïðè l t0 0( ) � , l t L3( ) � . Çäåñü äëÿ îáëàñòè D1 i = 1, äëÿ îáëàñòåé D21 è D22 i =
= 2, à äëÿ îáëàñòè D3 i = 3. Â ðåçóëüòàòå èñõîäíûå îáëàñòè D1, D k2 , k �1 2, , è
D3 ïðåîáðàçóþòñÿ â ïðÿìîóãîëüíèêè, D s t T1 10 1 0* { , }� � � � � , D sk2 21* {� � �
� � �2 0, }t T , k �1 2, , D s t T3 32 3 0* { , }� � � � � , à âíóòðåííÿÿ ãðàíèöà, ïîâåðõ-
íîñòè ðàçäåëà l t1( ) è l t2( ) è âíåøíÿÿ ãðàíèöà «âûïðÿìëÿþòñÿ» è îïðåäå-
ëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè s ii� � �1 1, i �1 4, . Òîãäà èñõîäíàÿ çàäà÷à (1)—(13) ïðè-
íèìàåò âèä
LP
P
t
s l t l t l t
P
s
a l t1
1
1 1 1 0
1 1
1
1
2
1" � � � ���
�
�
�
� ( )[ ( ) ( )] [ ( ) l t
P
s
0
2
2
1
1
2
0( )]� �
�
�
(14)
â D s t T1 10 1 0* :{ , }� � � � ;
LP z
P
t
s l t l t l t z
P
s
n n
n
n n
n
2
2
2 2 1
1 2
2
2" � � � ��
�
�
�
( )� ( ) [ ( ) ( )] � ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
� #
n
n nz
t
z
s
ds
dt
2
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�a l t l t
s
z
P
s
n n
n
2
2
2 1
2
2
2
2
0[ ( ) ( )]
�
�
�
�
(15)
â D s t Tn2 21 2 0* :{ , }� � � � , n �1 2, , z
z n
z n
n �
�
� �
$
%
&
, ,
, ;
ïðè
ïðè
1
1 2
LP
P
t
s l t l t l t
P
s
a l3
3
3 2 3 2
1 3
3
3
2
33" � � � ���
�
�
�
( ) � ( )[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]t l t
P
s
� ��
2
2 3
3
2
0
�
�
#
(16)
â D s t T3 32 3 0* :{ , }� � � � ;
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 101
l lk k( ) ,0 0� , P s s1 1
0
1 1
00( , ) ( )�� , 0 11
0� �s , P s sk k2 2
0
2 2
00( , ) ( )�� , 1 22
0� �s ,
k �1 2, , P s s3 3
0
3 3
00( , ) ( )�� , 2 33
0� �s ; (17)
A l t l t
P
s
B P f t
s
* * *( ( ) ( )) ( )1 0
1 1
1
0
� ��
�
�
�
�
� ��
�
�
� ' '
, 0� �t T,
C P D l t l t
P
s
t
s
* * *( ( ) ( )) ( )3 3 2
1 3
3 33
� ��
�
�
�
�
� ��
�
�
�
� , 0� �t T;
(18)
P s t P s t Hs s1 1 1 22 1 11 1
( , )| ( , )|� �� � � , 0� �t T; (19)
P s t P s ts s3 2 2 21 2 22 2
( , )| ( , )|� �� , 0� �t T; (20)
�
�
' '
1 1 0
1 1
1
1 2 1( ( ) ( )) ( ( ) ( ))l t l t
P
s
l t l t
s
��
�
�
�
�
� � ��
�
�1 21
2 12
�
�
P
s s
�
�
�
�
�
�
�
, 0� �t T; (21)
�
�
2 2 1
1 22
2 2
2 3 2
2
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))l t l t
P
s
l t l t
s
��
�
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3
3 23
�
�
P
s s
, 0� �t T; (22)
dl t
dt
a l t l t
P
s
i
ni i i
i
i s i
( )
( ( ) ( ))� ��
�
�
�
�
��
� �
�
1
1 3�
�
, i �1 2, , 0� �t T; (23)
P s t P s t z s t H21 2 22 2 2 2( , ) ( , ) ( , )� � ��� � , {1 22� �s , 0� �t T}, (24)
ãäå A AP L* � �
0 0
1; B BP* � 0; C CP* � 0; D DP L* � �
0 0
1;
a
kKT
m L
1
2 0
1 0
2
�
�
; a
kKT
m L
n
n
2
2 0
0
2
�
�
; a
kKT
m L
3
2 0
2 0
2
�
�
; H
h
H
�
0
;
a T P Lni i� � 3 0 0 0
2 , i �1 2, ;
�i ikh� �1; � � �0 2 1
1� � ,
si
0 �[ ( )][ ( ) ( )] ( )x l l l ii i i� � � �� �
�
1 1
10 0 0 1 , i �1 3, .
Èòåðàöèîííî-ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ. Ñîñòàâëÿåì íåÿâíóþ äâóõ-
ñëîéíóþ èòåðàöèîííî-ðàçíîñòíóþ ñõåìó. Äëÿ ýòîãî ââîäèì íåðàâíîìåð-
íóþ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ ñåòêó óçëîâ [11]:
(ij i j N N N Ns t s s s s s� � � � � � � � � � �� �{( , ) : ... ...0 1 20 1 11 1 1 2
sN N1 2 1� � � ...
...� �� �sN N N1 2 3
3; s si i i� �� �)1 1, i N N N� � � �0 11 2 3, ,
0 0 1� � � �t t TM... , t t tj j j� � �1 � , j M� �0 1, }.
Ð.À. Ìóñòàôàåâ
102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
Òîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ âåëè÷èí íà ( )j �1 -ì âðåìåííîì ñëîå ïî-
ëó÷àåì ñëåäóþùóþ èòåðàöèîííî-ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó:
� �
�
k
n
k i k i k
n
k i j
nc c P
k k k
( )
, ,
( )
, ,
( )( )� �
�
� �� � �1 1
1
1 1
1
� �� � � � �� � �
�
k
n
k i k
n
k i k i j
nc c P
k k k
( )
,
( )
, , ,
( )( )1 1 1
1 1
� � �� �
�
� �[ ( ) ]( )
, ,
( )
, , ,
�
k
n
k i k i k
n
k i k i j
c c c P
k k k k
1 1
1
1 1
1 � � �
1
( )
, ,
n
k i j
P
k
,
k �1 3, , i N1 11 1� �, , i N N N N N3 1 2 1 2 31 1� � � � � �, ,
j M� �0 1, , n �1 2 3, , , ... ; (25)
� �
� *
k
n
i i k
n l
k
n
k i
c c P
k k k
( )
, ,
( ) ( )
, ,
( ) ( )2 1 2 1
1
1
1 1� �
�
�� � � �
j
n
� �
1
( )
� � � � � � �� �[ ( ( ) ) ( )( )
,
( ) ( )
,
(
� * +
k
n
i k
n l
k
n
i k
c c
k k2 1 2 11 1 1 n
k i j
nP
k
�
� �1
1
)
, ,
( )]
� � � � �� �
�[ ( ) ( ) ]( )
, ,
( ) ( )
,
� *
k
n
i i k
n l
k
n
ic c c
k k k2 1 2 1
1
21 1 � � � � � �� �1 1 1 3 1 1
P P
k i j
n
k
n
k i j
n
k k, ,
( ) ( )
, ,
( )�
� � � ��
� � �[ ]( )( ) ( )
, , ,
( ) ( )
,� + �
k
n
k
n
i k i j
n
k
nc P c
k k
1
2 1 3 1 21 i k i jk k
P� � � � �1 3 1 1, ,
� � ��
�
�+ +
k
n
k i j k
n
k i j
P P
k
( )
, ,
( )
, ,
( )1
3
11 ,
k �21 22, , i N N Nk � � � �1 1 21 1, , j M� �0 1, , n �1 2 3, , ,..., l �1 2, ; (26)
l lk k( ) ,0 0� , k �21 22, ; (27)
P
k i k ik k, , ,0
�, , k �1 3, , i N1 10� , , i N N N N N3 1 2 1 2 3� � � �, ,
P
k i k i, , ,0
�, , k �21 22, , i N N N� �1 1 2, ;
(28)
P P H z
i j
n
i j
n
i j
n
21 1 22 1 1 2, ,
( )
, ,
( )
,
( )( )� � �� � �� � � , i N N N� �1 1 2, , j M� �0 1, ; (29)
A P A B l l P
j
n
j
n
j
n
j
*
, ,
( ) * *
,
( )
,
( )
, ,
[ ( )]
1 1 1 1 1 1 0 1 1 0� � �� � ) � � � � �� ) �
1 1 1 1 1 0 1
( ) *
,
( )
,
( )( )n
j j
n
j
nf l l ,
j M� �0 1, ; (30)
� �C l l D PN N N j
n
j
n
N N N j
*
,
( )
,
( ) *
, ,
( )) � �� � � � � � �1 2 3 1 2 33 1 2 1 3 1
( ) *
, ,
( )n
N N N j
nD P� �� � � �3 1 11 2 3
� ) �� � � � �� j N N N j
n
j
nl l1 3 1 2 11 2 3
*
,
( )
,
( )( ), j M� �0 1, ; (31)
P P H
N j
n
N j
n
1 1 22 1 1
1 1, ,
( )
, ,
( )
� �� � � , j M� �0 1, ; (32)
P c P c P
N j
n n
N j
n n
N21 1 1 0 21 1 0 11 1 1
1
, ,
( ) ( )
, ,
( ) ( )
,
( )� � � �� � �
1 1
0
,
( )
j
n
� � , j M� �0 1, ; (33)
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 103
P P
N N j
n
N N j
n
3 1 21 11 2 1 2, ,
( )
, ,
( )
� � � �� , j M� �0 1, ; (34)
c P c P Pn
N N j
n n
N N j
n�
� � �
�
� �� � �( )
, ,
( ) ( )
, ,
( )( )
3 1 1 21 11 2 1 2
1
21 1 11 2
0
, ,
( )
N N j
n
� � � � ,
j M� �0 1, ; (35)
l l l l
j
n
j j j
n
j
n
N1 1 1 1 1 2 1
1
1 1
1
,
( )
,
*
,
( )
,
( )[( )� � �
�
�
�� � ) � )
1 1 1
1
1
22 1 1
1
22 1
1
�
�
� �
�
�
��] [ ]
, ,
( )
, ,
( )P P
N j
n
N j
n ,
j M� �0 1, ; n �1 2 3, , ,... ; (36)
l l l l
j
n
j j j
n
j
n
N2 1 2 2 1 2 1
1
1 1
1
,
( )
,
*
,
( )
,
( )[( )� � �
�
�
�� � ) � )
1 2 1 2 1 2
1
21 1
1
21 1 1
1
�
�
� �
�
� � �
��N N N j
n
N N j
nP P] [ ]
, ,
( )
, ,
( ) ,
j M� �0 1, ; n �1 2 3, , ,... , (37)
ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ:
k
n
k j m j
n
m j
n
ia l l
k k
( )
,
( )
,
( )[( ) ]� ) � )� � � � �
�2 2
1 1 1 1 1
2, k �1 21 22 3, , , ;
m1 1� , m m21 22 2� � , m3 3� ;
�
k
n
k i r j
n
r j i m j
nt s l l l l
k k k
( )
,
( )
, ,
( )( )( )[ (� � � � ) �� �1 2 1 1 m j
n
k� �
�
1 1
1
,
( ) )] ;
k �1 3, , m r t1 1 1 1� � � , m3 3� , r3 2� , t3 4� ;
� � +
k
n n
k
n
k
ne( ) ( ) ( ) ( )( )� �� �1 1 , � �
k
n n
k
ne( ) ( ) ( )� �1 , k �21 22, ;
� ( )
,
( )
, ,
( )
, ,
[( ) ( ) (n
j
n
j i j
n
j j
l l s l l l� � � � � �� �2 11 2 2 1 2 1
2 � � � �
�� ) �
1 1 1 2 1 1 1
12( )
, ,
( )
,
( ))][ ( )]n
j i j
n
j
nl l l ;
*
k
n
k j i j
n
j
n
i
a l l P( )
,
( )
,
( )
,
[ ( )] [(� ) ) �� � � �
�2
1 1 2 1 1 1
2
21
4 � �
�
� �
�� �
1 1
1
22 1 1
1
,
( )
, ,
( ) )
j
n
i j
nP
� � � �� �
�
�
�
�( ) ( ) (, , ,
( )
, ,
( )
,1 2 1 21 1
1
22 1
1
2 1c P P ci i j
n
i j
n
i P P
i j
n
i j
n
21 1 1 22 1 1
1
, ,
( )
, ,
( ) )]� � � �
�� , k �1 2, ;
e K P P
k
n
k k i j
n( )
, ,
( )( )� �
�
�� � �1
0
1
1
1 1 ; + �
k
n k
i j
n
i j
nP P H( )
, ,
( )
, ,
( )( ) (� �
�
�
�
�
�� � � �1 1
21 1
1
22 1
1
31 k );
c l l l ln
j
n
j
n
j
n
j
n
0 2 1 1 1 1 1 0 1
1( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )( ) ( )� � �� � � �
� ; c l l l ln
j
n
j
n
j
n
j
n
0 2 1 1 1 3 1 2 1
1( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )( ) ( )� � �� � � �
� ;
a T Lk k
2
0 0
2� �
, k �1 21 22 3, , , ; a T P Ll l
* � � �
� 3 0 0 0
2, l �1 2, .
Èç (30), (25) ïðè k = 1, èç (33), (32), (26) ïðè k = 21 è 22 ñ ó÷åòîì (29),
(34), (32), (25) ïðè k = 3 è (31) ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé âèäà
a P b P D
j
n
j
n
j
n
j
n
1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
,� � � �� � ,
a P b P c
i j
n
i j
n
i j
n
i j
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
� � � � �� �
, ,
( )
, ,
( )
,i j
n
i j
n
iP D� � � �
1 1 1 1 1 , i N� �1 11, ,
a P b P
i j
n
i j
n
i j
n
i j
n
21 1 1 1 1 21 1 1 1, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
� � � � �� �c P
i j
n
i j
n
21 1 1 1 1, ,
( )
, ,
( )
� � � �
Ð.À. Ìóñòàôàåâ
104 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
� �� � � � �d P e P
i j
n
i j
n
i j
n
i j
n
21 1 2 1 1 21 1 2 1, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
, ,
( ) � �� � �f P D
i j
n
i j
n
i21 1 1 1 1 21, ,
( )
, ,
( )
, ,
a P b P
i j
n
i j
n
i j
n
i j
n
22 1 1 1 1 22 1 1 1, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
� � � � �� �c P
i j
n
i j
n
22 1 1 1 1, ,
( )
, ,
( )
� � � �
� �� � � � �d P e P
i j
n
i j
n
i j
n
i j
n
22 1 2 1 1 22 1 2 1, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
, ,
( ) � �� � �f P D
i j
n
i j
n
i22 1 2 1 1 22, ,
( )
, ,
( )
, , i N N N� �1 1 2, ,
a P b P c
i j
n
i j
n
i j
n
i j
n
3 1 3 1 1 3 1 3 1 3, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
, ,
( )
� � � � �� �
, ,
( )
, ,
( )
,i j
n
i j
n
iP D� � � �
1 3 1 1 3 , (38)
i N N N N N� � � � � �1 2 1 2 31 1, ,
� �� � � � � �b P
N N N j
n
N N N j
n
3 1 3 11 2 3 1 2 3, ,
( )
, ,
( )
� �� � � � � � � �c P D
N N N j
n
N N N
n
N N N3 1 3 1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,
( )
,
( )
, .
Ïîñêîëüêó çàäà÷à (25)—(37) íåëèíåéíà, äëÿ åå ðåøåíèÿ ïðèìåíåí
ìåòîä èòåðàöèé, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïðèíèìàÿ â êà÷åñòâå
íóëåâûõ ïðèáëèæåíèé l
j1 1
0
,
( )
� , l
j2 1
0
,
( )
� è P
i j,
( )
�1
0 çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå ýêñòðàïî-
ëÿöèåé çíà÷åíèé èç äâóõ ïðåäûäóùèõ âðåìåííûõ ñëîåâ, èç (36) è (37)
íàõîäèì l
j1 1
1
,
( )
� è l
j2 1
1
,
( )
� . Çàòåì, ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (38), îïðåäåëÿåì
âñå çíà÷åíèÿ P
i j,
( )
�1
1 . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ è âñå ïîñëåäóþùèå ïðèáëè-
æåíèÿ. Íà êàæäîé èòåðàöèè äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé (38) ïðèìåíåí ìåòîä ïðîãîíêè [9], ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé
ñî÷åòàíèå ìåòîäîâ îáû÷íîé è ìàòðè÷íîé ïðîãîíîê.
Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ çàâåðøàëñÿ ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè n = K + 1
è âûïîëíåíèè óñëîâèé max | |
,
,
( )
,
( )
i j
i j
K
i j
KP P
� �
�
�� �
1
1
1
1 1+ , max | |
,
( )
,
( )
j
k j
K
k j
Kl l
� �
�
�� �
1
1
1
1 2+ ,
+ m � const 0, m�1 2, , k �1 2, , i N N N� � �1 1 2 3, , ãäå+ m — çàäàííàÿ òî÷íîñòü
âû÷èñëåíèé.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà. ×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò äëÿ
çàäà÷è (25)—(37) âûïîëíåí ïðè a a1
2
21
2 29600� � cì2/c, a a22
2
3
2 9466 7� � , cì2/c,
k k k k1 21 22 3 1� � � � äàðñè, �0 3 6 9 12� , , , , �� �100êÃ/ì3, �� �200êÃ/ì3; P0 =
= 50 àòì, L0 = 100 ì, h = 10; 20; 100 ì; f (t) = 1,5; 3;�( ) ,t �0 8 , T0 1� ãîä.
 òàáë. 1 è 2 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ïîäâèæíûõ ãðàíèö l t1( ) è l t2( ),
äàâëåíèé P l t ti21( ( ), ) è P l t ti22( ( ), ), i �1 2, , íà ýòèõ ãðàíèöàõ è ãðàíèöû âîäî-
íåôòÿíîãî êîíòàêòà z s t( , )2 äëÿ òî÷êè s2 = 1,5 â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðå-
ìåíè ïðè � � �100 êÃ/ì3 , A D� �0, B C� �1äëÿ ÷åòûðåõ ñëó÷àåâ:
1) �0 3� , f t( ) ,�15, h �10 ì; 2) �0 3� , f t( ) �3, h �10 ì;
3) �0 3� , f t( ) ,�15, h �100 ì; 4) �0 9� , f t( ) ,�15, h �10 ì.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ïîçâîëÿþò ñäåëàòü ñëåäóþùèå
âûâîäû:
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 105
1. Äàâëåíèå íà ãðàíèöàõ l t1( ) è l t2( ) â íà÷àëüíûé ïåðèîä ïðîöåññà
âûòåñíåíèÿ â òå÷åíèå íåáîëüøîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè âîçðàñòàåò, äîñòè-
ãàåò íåêîòîðîãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ (ñèíõðîííî íà ýòèõ ãðàíèöàõ), à
çàòåì íà÷èíàåò ïîíèæàòüñÿ.
2. Ãðàíèöà l t1( ), ò.å. òî÷êà êîíòàêòà íà êðîâëå ïëàñòà, â íà÷àëüíûé
ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïðàêòè÷åñêè íå äâèæåòñÿ, çàòåì íà÷èíàåò ïåðåìå-
ùàòüñÿ â îòðèöàòåëüíóþ îáëàñòü, äîñòèãàåò íåêîòîðîãî ìàêñèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ �l1 max , ïîñëå ÷åãî íà÷èíàåò ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ñ î÷åíü
ìàëîé ñêîðîñòüþ. Àíàëîãè÷íûé ýôôåêò îïèñàí â ðàáîòàõ [2, 5, 7]. Ãðàíèöà
l t2( ), ò.å. òî÷êà êîíòàêòà íà ïîäîøâå ïëàñòà, ñðàçó íà÷èíàåò äâèæåíèå è
äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ãðàíèöû l t1( ) äîñòàòî÷íî áûñòðî. Ñëåäóåò çàìåòèòü,
÷òî èçìåíåíèå ãðàíèö l t1( ) è l t2( ) ïðîèñõîäèò ïðàêòè÷åñêè ëèíåéíî.
Ð.À. Ìóñòàôàåâ
106 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
t � 10
5
l t1
310( ) - l t2
310( ) - z s t( , )2 10- P l t t21 1( ( ), ) P l t t21 2( ( ), ) P l t t22 1( ( ), ) P l t t22 2( ( ), )
0 1 10 4, - � 0,1003
0,1015
0,2026
0,2100
4,935
4,768
1,488
2,950
1,466
2,861
1,468
2,930
1,448
2,843
0 3 10 4, - � 0,1007
0,1031
0,2066
0,2255
4,815
4,375
1,491
2,963
1,475
2,887
1,476
2,943
1,468
2,869
0 15 10 3, - � 0,1017
0,1086
0,2207
0,2785
4,442
3,477
1,496
2,981
1,486
2,925
1,476
2,961
1,468
2,907
0 63 10 3, - � 0,1027
0,1187
0,2493
0,3847
3,898
2,730
1,498
2,989
1,491
2,942
1,478
2,969
1,473
2,924
2 55 10 3, - � 0,1019
0,1373
0,3081
0,5986
3,380
2,295
1,499
2,994
1,494
2,951
1,479
2,974
1,476
2,933
1 023 10 2, - � 0,0930
0,1709
0,4279
1,0321
3,114
2,086
1,500
2,996
1,495
2,955
1,480
2,976
1,477
2,937
4 095 10 2, - � 0,0653
0,2332
0,6697
1,8958
3,054
1,993
1,500
2,997
1,496
2,958
1,480
2,977
1,478
2,940
1 64 10 1, - � 0,0015
0,3514
1,1541
3,6084
3,066
1,954
1,500
2,998
1,496
2,959
1,480
2,978
1,478
2,941
6 55 10 1, - � �0,1309
0,5855
2,1300
7,0466
3,082
1,936
1,500
2,998
1,496
2,961
1,480
2,978
1,478
2,943
26 2 10 1, - � �0,4039
1,0309
4,0596
13,760
3,101
1,933
1,500
2,999
1,496
2,961
1,480
2,979
1,478
2,943
10,49
�0,8698
2,0203
8,5810
28,089
2,999
1,923
1,500
2,998
1,495
2,954
1,480
2,978
1,477
2,936
41,94
�1,0522
5,838
23,198
72,627
2,624
1,861
1,500
2,996
1,488
2,888
1,480
2,976
1,470
2,870
Ïðèìå÷àíèå: íàä ÷åðòîé óêàçàíû çíà÷åíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ 1, ïîä ÷åðòîé — äëÿ ñëó÷àÿ 2.
Òàáëèöà 1
3. Ãðàíèöà âîäîíåôòÿíîãî êîíòàêòà z s t( , ) ñ óâåëè÷åíèåì âðåìåíè
ïðîöåññà âûòåñíåíèÿ, ñîõðàíÿÿ ôîðìó ïàðàáîëû, ñòðåìèòñÿ ê âåðòèêàëü-
íîé ëèíèè.
4. Óâåëè÷åíèå ìîùíîñòè ïðîäóêòèâíîãî ïëàñòà, ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ
óñëîâèÿõ, ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ïðîòÿæåííîñòè îáëàñòè ãðàíèöû ðàç-
äåëà, ïðè ýòîì ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè êîíòàêòà íà ïîäîøâå ïëàñòà
ðåçêî âîçðàñòàåò, à òî÷êà êîíòàêòà íà êðîâëå ïëàñòà íà÷èíàåò äâèæåíèå
ïðàêòè÷åñêè ñðàçó ïîñëå íà÷àëà ïðîöåññà âûòåñíåíèÿ, è ïåðåìåùåíèå
ïðîèñõîäèò â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Äîñòèãíóâ íåêîòîðîãî ìàêñèìàëü-
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 107
t� 10–5 l t1
310( )- l t2
310( )- z s t( , )2 10- P l t t21 1( ( ), ) P l t t21 2( ( ), ) P l t t22 1( ( ), ) P l t t22 2( ( ), )
0 1 10 4, - � 0,1000
0,1001
0,2036
0,2029
4,891
4,883
1,488
1,495
1,461
1,482
1,288
1,475
1,281
1,464
0 3 10 4, - � 0,0996
0,1001
0,2094
0,2081
4,708
4,644
1,491
1,496
1,469
1,483
1,291
1,476
1,289
1,465
0 15 10 3, - � 0,0963
0,1002
0,2307
0,2294
4,224
3,728
1,496
1,498
1,479
1,487
1,296
1,478
1,299
1,469
0 63 10 3, - � 0,0827
0,1001
0,2776
0,2744
3,845
2,320
1,498
1,499
1,484
1,490
1,298
1,479
1,304
1,472
2 55 10 3, - � 0,0432
0,0986
0,3790
0,3665
3,732
1,274
1,500
1,499
1,486
1,491
1,300
1,479
1,306
1,473
1 023 10 2, - � �0,0462
0,0914
0,5902
0,5532
3,725
0,882
1,500
1,500
1,487
1,492
1,300
1,480
1,307
1,474
4 095 10 2, - � �0,2311
0,0668
1,0191
0,9283
3,730
0,754
1,500
1,500
1,488
1,492
1,300
1,480
1,308
1,474
1 64 10 1, - � �0,6052
0,0066
1,8797
1,6747
3,734
0,711
1,501
1,500
1,488
1,493
1,301
1,480
1,308
1,475
6 55 10 1, - � �1,3550
�0,1211
3,6056
3,1682
3,735
0,696
1,501
1,500
1,488
1,492
1,301
1,480
1,308
1,474
26 2 10 1, - � �2,8607
�0,3811
7,0387
6,1256
3,738
0,691
1,501
1,500
1,488
1,493
1,301
1,480
1,308
1,475
10,49
�5,7866
�0,9042
14,509
12,057
3,685
0,690
1,501
1,500
1,486
1,492
1,301
1,480
1,306
1,474
41,94
�10,830
�1,9027
34,362
27,412
3,475
0,654
1,502
1,500
1,476
1,487
1,302
1,480
1,296
1,469
Ïðèìå÷àíèå: íàä ÷åðòîé óêàçàíû çíà÷åíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ 3, ïîä ÷åðòîé — äëÿ ñëó÷àÿ 4.
Òàáëèöà 2
íîãî çíà÷åíèÿ �l1 max , ãðàíèöà l t1( ) íà÷èíàåò ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå. Ïðè
ýòîì âðåìÿ íàõîæäåíèÿ è ñòåïåíü óäàëåíèÿ ãðàíèöû l t1( ) â îòðèöàòåëüíóþ
îáëàñòü ñ óâåëè÷åíèåì ìîùíîñòè ïëàñòà ñóùåñòâåííî âîçðàñòàåò.
5. Ïðè óâåëè÷åíèè äàâëåíèÿ íàãíåòàíèÿ ïðîòÿæåííîñòü îáëàñòè
ãðàíèöû ðàçäåëà ñóùåñòâåííî âîçðàñòàåò, ìîìåíò äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëü-
íîãî çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ íà ïîäâèæíîé ãðàíèöå l t2( ) íàñòóïàåò ïîçæå,
÷åì íà ãðàíèöå l t1( ). Ïðè ýòîì ïðîìåæóòîê âðåìåíè ñîõðàíåíèÿ ìàêñè-
ìàëüíîãî çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ íà ãðàíèöå l t2( ) ñóùåñòâåííî ñîêðàùàåòñÿ.
Ýôôåêò ïåðåìåùåíèÿ ãðàíèöû l t1( )â îòðèöàòåëüíóþ îáëàñòü ïðîÿâëÿåòñÿ
êàê ïðè âåëè÷èíàõ äàâëåíèÿ íàãíåòàíèÿ, ñîèçìåðèìûõ ñ íà÷àëüíûì
ïëàñòîâûì äàâëåíèåì íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ�0, òàê è ïðè âûñîêèõ äàâ-
ëåíèÿõ íàãíåòàíèÿ è áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ �0. Ïðè âûñîêîì äàâëåíèè
íàãíåòàíèÿ è ìàëûõ çíà÷åíèÿõ �0 óêàçàííûé ýôôåêò îòñóòñòâóåò è ãðà-
íèöà l t1( ) äâèæåòñÿ òîëüêî ïîñòóïàòåëüíî.
6. Ïðè âûñîêîì òåìïå íàãíåòàíèÿ ðàçíîñòü ïëîòíîñòåé íå îêàçûâàåò
ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà õàðàêòåð ïðîöåññà âûòåñíåíèÿ. Óâåëè÷åíèå
ðàçíîñòè ïëîòíîñòåé â îñíîâíîì îêàçûâàåò âëèÿíèå íà âåëè÷èíó ãðà-
íèöû l t1( ).
7. Ñ óâåëè÷åíèåì çíà÷åíèÿ �0 ïðîòÿæåííîñòü îáëàñòè ãðàíèöû ðàç-
äåëà âîçðàñòàåò, äîñòèæåíèå ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ íà ãðà-
íèöàõ l t1( ) è l t2( )íåñêîëüêî óñêîðÿåòñÿ, à ïðîäîëæèòåëüíîñòü ñîõðàíåíèÿ
ýòîãî çíà÷åíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ, âðåìÿ ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè êîíòàêòà íà
êðîâëå ïëàñòà â îòðèöàòåëüíîé îáëàñòè ðåçêî âîçðàñòàåò. Ñòðåìëåíèå
ãðàíèöû âîäîíåôòÿíîãî êîíòàêòà z s t( , ) ê âåðòèêàëüíîé ëèíèè çíà÷è-
òåëüíî óñèëèâàåòñÿ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî âåëè÷èíà �0 îêàçûâàåò íàèáî-
ëåå ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà õàðàêòåð ïðîöåññà.
8. Âëèÿíèå âòîðîãî ÷ëåíà â âûðàæåíèè
i ip( ) ïðîÿâëÿåòñÿ ÷åðåç
çíà÷èòåëüíûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïîñëå íà÷àëà ïðîöåññà âûòåñíåíèÿ.
9. Ñèëà òÿæåñòè êà÷åñòâåííî èçìåíÿåò êàðòèíó ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà è
îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà õàðàêòåð âû÷èñëèòåëüíîãî ïðîöåññà.
Âûâîäû
Ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññà ïðÿìîëèíåéíî-ïàðàëëåëü-
íîãî âûòåñíåíèÿ íåôòè íåñìåøèâàþùåéñÿ ñ íåé âîäîé íà îñíîâå ÷èñëåí-
íîãî ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíîé çàäà÷è ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè è ïðèìå-
íåíèÿ ìîäåëè ïðåäåëüíî-àíèçîòðîïíîãî ïëàñòà (ñëó÷àé k kx � , k z ��)
óñòàíîâëåíî, ÷òî îñíîâíîå âëèÿíèå íà ïðîöåññ âûòåñíåíèÿ îêàçûâàåò
îòíîøåíèå âÿçêîñòåé. Ðàçíîñòü ïëîòíîñòåé è ìîùíîñòü ïëàñòà ñóùåñò-
âåííîãî âëèÿíèÿ íà ïðîöåññ íå îêàçûâàþò.
Ð.À. Ìóñòàôàåâ
108 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ðàçâèòèå èññëåäîâàíèé ïî òåîðèè ôèëüòðàöèè â ÑÑÑÐ. — Ì. : Íàóêà, 1969. — 545 ñ.
2. ×àðíûé È.À. Ïîäçåìíàÿ ãèäðîãàçîäèíàìèêà. — Ì .: Ãîñòîïòåõèçäàò, 1963. — 396 ñ.
3. Çèãàíãàðååâ Ì.À., Òåïëîâ Þ.À. Ðàñ÷åòû ïåðåìåùåíèÿ âîäî-íåôòÿíîãî êîíòàêòà â
íàêëîííîì ïëàñòå è ñðàâíåíèå èõ ñ äàííûìè ìîäåëèðîâàíèÿ // Òð. ÂÍÈÈ
íåôòåãàç. — 1966. — Âûï. 47. — Ñ. 142—150.
4. Àëèõàøêèí ß.È. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ àâòîìîäåëüíîãî äâèæåíèÿ
ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ æèäêîñòåé â ïîðèñòîé ñðåäå // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. ÎÒÍ. Ìåõ. è
ìàøèíîñòð. — 1961. — ¹ 5. — Ñ. 159—162.
5. Òåïëîâ Þ.À. Î ïåðåìåùåíèè âîäî-íåôòÿíîãî êîíòàêòà â íåîäíîðîäíîì ïëàñòå //
Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. ÌÆÃ. — 1967. — ¹ 5 . — Ñ. 160—164.
6. Âåðèãèí Í.Í., Ñàðêèñÿí Â.Ñ., Øèáàíîâ À.Â. Îá îïðåäåëåíèè ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ
íåñìåøèâàþùèõñÿ æèäêîñòåé â ïîðèñòîé ñðåäå // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ . ÌÆÃ. — 1973. —
¹ 6. — Ñ. 155—163.
7. Âåðèãèí Í.Í., Ñàðêèñÿí Â.Ñ. Î ôèëüòðàöèè äâóõ æèäêîñòåé ñ ðàçíîé ïëîòíîñòüþ è
âÿçêîñòüþ ïðè çàêà÷êå â ãàëåðåþ ñ ïîñòîÿííûì ðàñõîäîì // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1974. —
218, ¹ 3. — Ñ. 536—539.
8. Âåðèãèí Í.Í., Ñàðêèñÿí Â.Ñ. Î ôèëüòðàöèè äâóõ íåîäíîðîäíûõ æèäêîñòåé ïðè
óïðóãîì ðåæèìå // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1975. — 221, ¹ 2. — Ñ. 305— 308.
9. Ìóñòàôàåâ Ð.À. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà äâèæå-
íèÿ äâóõ íåñìåøèâàþùèõñÿ æèäêîñòåé â ïîðèñòîé ñðåäå ñ ó÷åòîì àíèçîòðîïèè
ïðîíèöàåìîñòè ïëàñòà // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2014. — 36, ¹ 6. — Ñ. 83—98.
10. Áóäàê Á.Ì., Ãîëüäìàí Í.Ë., Óñïåíñêèé À.Á. Ðàçíîñòíûå ñõåìû ñ âûïðÿìëåíèåì
ôðîíòîâ äëÿ ðåøåíèÿ ìíîãîôðîíòîâûõ çàäà÷ òèïà Ñòåôàíà // Âû÷èñëèò. ìåòîäû è
ïðîãðàììû. Ñá. ðàáîò ÂÖ ÌÃÓ. — 1967. — Âûï. VI. — Ñ. 206—216.
11. Ìóñòàôàåâ Ð.À. Ìîíîòîííàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è
òèïà Âåðèãèíà // Èçâ. ÍÀÍ Àçåðá. Ñåð. ôèç.-òåõí. è ìàòåì. íàóê. — 2001. — XXI,
¹ 2. — Ñ. 165—169.
R.A. Mustafaev
MATHEMATICAL MODELING THE UNSTEADY MOTION
OF TWO IMMISCIBLE LIQUIDS WITH ALLOWANCE FOR
THE SCHEME OF LIMITED ANISOTROPY OF PERMEABILITY
OF POROUS MEDIUM UNDER PUMPING IN GALLERY
Application of limited-anisotropic stratum hydrodynamic model (case k kx � , k z ��) for mathe-
matical modeling the unsteady problem with mobile boundaries is examined. The process of oil
expelling with immiscible water in the finite horizontal stratum of constant thickness at various
liquid viscosities and densities in case of rectilinear parallel motion is considered. Iterative differ-
ence scheme with combination of fronts straightening method with finite difference method is
composed for numerical solution. Results of numerical experiment are presented.
K e y w o r d s: unsteady moving-boundaries problem, limited-anisotropic stratum model, itera-
tive difference scheme, method of straightening of fronts, method of finite differences.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 109
REFERENCES
1. Razvitie issledovaniy po teorii filtrachii v SSSR [Development of research in the theory of fil-
tration in the USSR] (1969), Nauka, Moscow, Russia.
2. Charnyi, I.A. (1963), Podzemnaja gidrogazodinamika [Underground gas hydrodynamics]
Gostoptekhizdat, Moscow, Russia.
3. Zigangareev, M.A. and Teplov, Yu.A. (1966), “ Calculations of shift of water-oil boundary
in slope stratum and their comparison with data of modeling”, Trudy VNII neftegaz, Vol.
47, pp. 142-150.
4. Alikhashkin, Ya.I. (1961), “Numerical integration of equation of automodel motion of in-
terface of two liquids in porous medium”, Izvestiya Akademii Nauk SSSR, OTN, Mekhanika
i mashinostroenie, no. 5, pp. 159-162.
5. Teplov, Yu.A. (1967), “On change of water-oil boundary in heterogeneous stratum” Izves-
tiya Akademii Nauk SSSR, MZhG, no. 5, pp. 160-164.
6. Verigin, N.N., Sarkisyan, V.S. and Shibanov, A.V. (1973), “On determining interface of two
immiscible liquids in porous medium”, Izvestiya Akademii Nauk SSSR, MZhG, no. 6, pp.
155-163.
7. Verigin, N.N. and Sarkisyan, V.S. (1974), “On filtration of two liquids with different den-
sities and viscosities under pumping in the gallery with fixed discharge” DAN SSSR, Vol.
218, no. 3, pp. 536-539.
8. Verigin, N.N. and Sarkisyan, V.S. (1975), “On filtration of two heterogeneous liquids un-
der pressure conditions”, DAN SSSR, Vol. 221, no. 2, pp. 305-308.
9. Mustafaev, R.A. (2014), “Mathematical modeling the unsteady process of motion of two
immiscible liquids in porous medium with allowance for anisotropy of stratum permeabili-
ty”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 36, no. 6, pp. 83-98.
10. Budak, B.M., Goldman, N.L. and Uspenskiy, A.B. (1967), “Difference schemes with
straightening of fronts for solution of multifront problems of the Stefan type”, Vychislitelnye
metody i programmy. Sbornik rabot vychislit. tsentr MGU, Vol. 6, pp. 206-216.
11. Mustafaev, R.A. (2001), “Monotonous difference scheme for numerical solution of the
Verigin type problem”, Izvestiya NAN of Azerbaijan, Ser. fizikotekhnicheskie i matemati-
cheskie nauki, Vol. 21, no. 2, pp. 165-169.
Ïîñòóïèëà 27.01.15
ÌÓÑÒÀÔÀÅÂ Ðàìèç Àãà Äæàôàð îãëû, ä-ð ôèëîñîôèè ïî ìàòåìàòèêå, ñò. íàó÷. ñîòð.,
äîöåíò Èí-òà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ Íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè íàóê Àçåðáàéäæàíà. Â 1962 ã.
îêîí÷èë Àçåðáàéäæàíñêèé ãîñóíèâåðñèòåò èì. Ñ.Ì.Êèðîâà (ã. Áàêó). Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëå-
äîâàíèé — ðàçðàáîòêà ÷èñëåííûõ ñõåì è ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî è
êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ, îïèñûâàåìûõ íåñòàöèîíàðíûìè çàäà÷àìè ñ ïîä-
âèæíûìè ãðàíèöàìè.
Ð.À. Ìóñòàôàåâ
110 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
|