Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями
При помощи принципа максимума и априорных оценок изучаются первая краевая задача, задача с косой производной и односторонняя краевая задача с интегральным нелокальным условием по временной переменной для параболических уравнений со степенными особенностями в коэффициентах по временной и пространстве...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/10115 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями / И.Д. Пукальский // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 87-100. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-10115 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-101152017-10-01T17:08:49Z Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями Пукальский, И.Д. При помощи принципа максимума и априорных оценок изучаются первая краевая задача, задача с косой производной и односторонняя краевая задача с интегральным нелокальным условием по временной переменной для параболических уравнений со степенными особенностями в коэффициентах по временной и пространственным переменным. В гельдеровых пространствах со степенным весом установлено существование и единственность решений поставленных задач. 2007 Article Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями / И.Д. Пукальский // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 87-100. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0236-0497 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/10115 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
При помощи принципа максимума и априорных оценок изучаются первая краевая задача, задача с косой производной и односторонняя краевая задача с интегральным нелокальным условием по временной переменной для параболических уравнений со степенными особенностями в коэффициентах по временной и пространственным переменным. В гельдеровых пространствах со степенным весом установлено существование и единственность решений поставленных задач. |
| format |
Article |
| author |
Пукальский, И.Д. |
| spellingShingle |
Пукальский, И.Д. Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями |
| author_facet |
Пукальский, И.Д. |
| author_sort |
Пукальский, И.Д. |
| title |
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями |
| title_short |
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями |
| title_full |
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями |
| title_fullStr |
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями |
| title_full_unstemmed |
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями |
| title_sort |
краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/10115 |
| citation_txt |
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями / И.Д. Пукальский // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 87-100. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pukalʹskijid kraevyezadačidlâparaboličeskihuravnenijsvyroždeniâmi |
| first_indexed |
2025-07-02T12:00:13Z |
| last_indexed |
2025-07-02T12:00:13Z |
| _version_ |
1836536418480947200 |
| fulltext |
Нелинейные граничные задачи 17, 87-100 (2007) 87
c©2007. И.Д. Пукальский
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЯМИ
При помощи принципа максимума и априорных оценок изучаются пер-
вая краевая задача, задача с косой производной и односторонняя краевая за-
дача с интегральным нелокальным условием по временной переменной для
параболических уравнений со степенными особенностями в коэффициентах
по временной и пространственным переменным. В гельдеровых простран-
ствах со степенным весом установлено существование и единственность ре-
шений поставленных задач.
Ключевые слова: принцип максимума, краевая задача, априорная оцен-
ка, функция Грина, нелокальное условие
MSC (2000): 35K35
Постановка задачи и основной результат. Пусть t0, T -
фиксированные положительные числа, t0 < T , D - ограниченная
область в Rn с границей ∂D. В области Q = (0, T ]×D рассмотрим
задачу нахождения функций (u, p), на которых функционал
I(p) =
T∫
0
dt
∫
D
F(t, x, u, p)dx (1)
достигает минимального значения в классе функций p ∈ V =
{p | p ∈ Cα(Q), ψ1 ≤ p ≤ ψ2}, где u(t, x, p) удовлетворяет при
t > 0, t 6= t0 уравнению
Lu ≡
[
∂t −
n∑
ij=1
Aij(t, x)∂xi
∂xj
−
−
n∑
i=1
Ai(t, x)∂xi
−A0(t, x)
]
u(t, x, p) = f(t, x, p)
(2)
и нелокальному условию
u(0, x, p) +
T∫
0
q(τ, x)u(τ, x, p)dτ = ϕ(x), (3)
88 И.Д. Пукальский
а на боковой поверхности Γ = (0, T ] × ∂D краевому условию
[u(t, x, p) − ψ(t, x)] |Γ = 0; (4)
Пусть l1, l2 - произвольные действительные числа, ρ(x, ∂D)
расстояние от точки x ∈ D до границы ∂D. Характер особен-
ности коэффициентов дифференциального выражения L будут
характеризовать функции: s1(l1, t) = |t − t0|
l1 при |t − t0| ≤ 1,
s1(l1, t) = 1, если |t−t0| ≥ 1; s2(l2, x) = ρl2(x, ∂D) при ρ(x, ∂D) ≤ 1,
s2(l2, x) = 1, если ρ(x, ∂D) ≥ 1; s(l;P ) = s1(l1, t)s2(l2, x).
Обозначим через r, β
(ν)
k , γ(ν), µ
(ν)
i , α – вещественные числа,
ν ∈ {1, 2}, β
(ν)
k ∈ (−∞,∞), µ
(ν)
i ≥ 0, i ∈ {0, . . . , n}, γ(ν) ≥ 0,
α ∈ (0, 1), [r] – целая часть r, Q(0) = Q\{(t, x) ∈ Q
∣∣ t = t0, x ∈ D}.
Определим функциональные пространства, в которых иссле-
дуется задача (1)-(4).
Cr(γ, β; l;Q) – пространство функций u, (t, x) ∈ Q, имеющих
частные производные в Q(0) вида ∂j
t ∂
k
xu, 2j + |k| ≤ [r] и конечное
значение нормы ‖u; γ, β; l;Q‖r, где, например,
‖u; γ, β; 0;Q‖0 = sup
P∈Q
|u(P )| = ‖u;Q‖0,
‖u; γ, β; l;Q‖2 = sup
P∈Q
[s(l;P )|u(P )|]+
n∑
i=1
sup
P∈Q
[s(l+γ−βi;P )||∂xi
u(P )|+
+
n∑
ij=1
sup
P∈Q
[s(l+2γ−βi−βj;P )|∂xi
∂xj
u(P )]+sup
P∈Q
[s(l+2γ;P )|∂tu(P )|].
Cr(µj ;Q) - множество функций uj, (t, x) ∈ Q, имеющих част-
ные производные в Q(0) вида ∂λ
xuj, |λ| ≤ [r], для которых конечна
норма ‖uj;µj;Q‖r, где, например,
‖uj;µj;Q‖[r] =
∑
|k|≤[r]
sup
P∈Q
[s(µj + |k|;P )|∂k
xuj(P )|].
Относительно задачи (1) – (4) предполагаем выполнение усло-
вий:
а) коэффициенты Aij ∈ Cα(βi + βj, Q), Ai ∈ Cα(µi, Q), i ∈
{0, . . . , n},A0 < 0, и для произвольного вектора ξ = (ξ1,.., ξn)
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями 89
выполняется неравенство
π1|ξ|
2 ≤
n∑
kj=1
s(βi + βj ;P )Aij(P )ξiξj ≤ π2|ξ|
2,
где π1, π2 – положительные константы;
б) функции ϕ ∈ C2+α(γ̃, β̃; 0;D), ψ ∈ C2+α(γ, β; 0;Q),
γ(ν) = max
(
max
(
1+β
(ν)
i
)
; max(µ
(ν)
i −β
(ν)
i );
µ
(ν)
0
2
)
, ν ∈ {1, 2},
i ∈ {1, . . . , n}, γ̃ = (0, γ(2)), β̃ = (β(1), β(2)), β(ν) = (β
(ν)
1 , ·, β
(ν)
n ),
∂D ∈ C2+α, q(t, x) ∈ C2+α(Q), sup
D
T∫
0
|q(τ, x)|dτ ≤ λ0 < 1,
[
ψ(0, x) +
T∫
0
|q(τ, x)ψ(τ, x)|dτ − ϕ(x)
]
∂D
= 0.
в) функции ψν ∈ Cα(Q), f(t, x, p(t, x)) ≡ Φ(t, x) ∈ Cα(γ, β; 0;Q),
f(t, x, p), F(t, x, u, p) определены соответственно в областях
M1 = Q × [ψ1, ψ2], M2 = Q × Rn × [ψ1, ψ2], имеют гель-
деровские производные второго порядка по переменным u,
p,которые как функции (t, x) принадлежат Cα(Q).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть для задачи (2) – (4) выполнены условия а)–
в). Тогда существует единственное решение задачи (2) – (4) в
пространстве C2+α(γ, β; 0;Q) и для него справедлива оценка
‖u; γ, β; 0;Q‖2+α ≤ C
(
‖Φ; γ, β; 0;Q‖α+
+‖ϕ; γ̃, β̃; 0;D‖2+α + ‖ϕ; γ, β; 0;D‖2+α
)
.
(5)
Теорема 1 доказывается по схеме теоремы 1 из [2].
Для исследования задачи (1)-(4) построим последователь-
ность решений краевых задач с гладкими коэффициентами, пре-
дельные значения которых будут решениями задачи (1)-(4).
Пусть Qm = Q \ {(t, x) ∈ Q
∣∣ s1(1, t) ≥ m−1
1 , s2(1, x) ≥ m−1
2 } –
последовательность областей, сходящаяся к области Q при m1 →
90 И.Д. Пукальский
∞, m2 → ∞, m = (m1, m2), m1, m2 - натуральные числа, m1 > 1,
m2 > 1.
Рассмотрим в области Q задачу нахождения решения урав-
нения
(L1um) =
[
∂t −
n∑
ij=1
aij(t, x)∂xi
∂xj
−
n∑
i=1
ai(t, x)∂xi
− a0(t, x)
]
um(t, x) = fm(t, x),
(6)
um(0, x) +
T∫
0
q(τ, x)um(τ, x)dτ = ϕm(x), (7)
[um(t, x) − ψm(t, x)] |Γ = 0; (8)
Коэффициенты aij, ai, a0, функции fm, ϕm, ψm есть непре-
рывное продолжение коэффициентов Aij, Ai, A0, функций Φ, ψm,
ϕ из области Qm в область Q \Qm [8]. Например, коэффициенты
ai = min
(
Ait, x, Ai(m
−1
1 , x)
)
при t0 ≤ m−1
1
и
ai = min
(
Ait, x,
m1(t0−t)+1
2
Ai(t0 −m-1
1
, x) +
m1(t0−t)+1
2
Ai(t0 +m-1
1
, x)
)
при t0 ≥ m−1
1 , (t, x) ∈ (0;T ]×{x ∈ D| s2(1, x) ≥ m−1
2 }, i = {0, 1, ·, n}.
Для (t, x) ∈ Q \ {(t, x) ∈ Q| t ∈ (0, T ], s2(1, x) ≥ m−1
2 } коэффици-
енты ai(t, x) являются решениями внешней задачи
∂tωi = ∆ωi, , ωi(0, x) = 0, ωi|Γm = ai|Γm,
Γm = (0;T ] × {x ∈ D| s2(1, x) = m−1
2 .
Теорема 2. Если um(t, x) решение задачи (6)-(8) в области Q и
выполнены условия а), б), fm(t, x) ∈ C(Q), то для um(t, x) спра-
ведлива оценка
|um| ≤
≤max
{
‖fma
−1
0 ;Q‖0, ‖ψm;Q‖0,
∥∥∥∥∥ϕ
(
1−
T∫
0
|q(τ, x)|dτ
)-1
;D
∥∥∥∥∥
0
}
.
(9)
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями 91
Доказательство оценки (9) проводится по схеме доказатель-
ства теоремы 2.1 из [3, c.22]. Отличие только в случае, когда
0 < max
Q
um = max
D
um(0, x) = um(0, x(1)). Тогда, используя нело-
кальное условие (7), находим
um(0, x(1)) ≤ max
D
ϕm(x)
1 −
T∫
0
|q(τ, x)|e−λτdτ
−1
.
Аналогично получаем оценку в случае
0 ≥ min
Q
um(t, x) = min
D
um(0, x).
В задаче (6)-(8) сделаем замену
um(t, x) = vm(t, x) + ϕm(t, x). (10)
Тогда vm(t, x) будет решением краевой задачи
(L1vm)(t, x) = fm(t, x) − (L1ψm) (t, x) ≡ Fm(t, x), (11)
vm(0, x) +
T∫
0
q(τ, x)vm(τ, x)dτ =
= ϕm(x) − ψm(0, x) −
T∫
0
q(τ, x)ψm(τ, x)dτ ≡ Φ(x),
(12)
vm|Γ = 0. (13)
Теорема 3. Если выполнены условия Теоремы 1, то существует
единственное решение задачи (11) - (13) в пространстве C2+α(Q).
Доказательство. Рассмотрим однородную задачу Дирихле
(L1vm)(t, x) = Fm(t, x), vm(0, x) = Φ(x), vm|Γ = 0. (14)
Обозначим через Em(t, x, τ, ξ) – функция Грина задачи (14)
из [3, c. 469]
92 И.Д. Пукальский
Тогда решение задачи (11) – (13) ищем в виде
vm(t, x) =
∫
D
Em(t, x, 0, ξ)vm(0, ξ)dξ + v(1)
m (t, x), (15)
где v
(1)
m (t, x) – решение задачи (14)[4,7].
Согласно теореме 2, для v
(1)
m (t, x) справедлива оценка
|v(1)
m | ≤ max
(
‖Φm‖C(D), ‖Fm a
−1
0 ‖C(Q)
)
и Em(t, x, τ, ξ) ≥ 0, 0 ≤
∫
D
Em(t, x, 0, ξ)dξ ≤ 1.
Удовлетворяя нелокальное условие (12), имеем
vm(0, x) +
T∫
0
q(τ, x)dτ
∫
D
Em(τ, x, 0, ξ)vm(0, ξ)dξ =
= −
T∫
0
q(τ, x)v(1)
m (τ, x)dτ ≡ F (x). (16)
Решение интегрального уравнения (16) находится методом
последовательных приближений. Поскольку
∥∥∥∥∥∥
T∫
0
q(τ, x)dτ
∫
D
Em(τ, x, 0, ξ)dξ|
∥∥∥∥∥∥
≤
T∫
0
|q(τ, x)|dτ ≤ λ0 < 1,
то для решения уравнения (16) справедлива оценка
|vm(0, x)| ≤
λ0)
1 − λ0
‖F‖C(D).
Запишем равенство (16) в виде
vm(0, x) = F (x) −
T∫
0
q(τ, x)dτ
∫
D
Em(τ, x, 0, ξ)vm(0, ξ)dξ.
Учитывая оценку (17) и ограничения на функции q(τ, x), ϕm(x),
ψ(x), fm(x), получим, что vm(0, x) ∈ C2+α(D). Поэтому, в силу
формулы (15) получаем, что vm(t, x) ∈ C2+α(Q).
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями 93
Поскольку λ0 < 1, то решение интегрального уравнения (16)
представим в виде
vm(0, x) = F (x) +
∫
D
G(x, y)F (y)dy, (18)
где G(x, y)- резольвента, удовлетворяющая интегральному урав-
нению
G(x, ξ) =
T∫
0
q(τ, x)Em(τ, x, 0, ξ)dτ+
+
T∫
0
q(τ, x)dτ
∫
D
Em(τ, x, 0, ξ)G(y, ξ)dy,
решая которое, находим
∣∣∣∣∣∣
∫
D
G(τ, ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣
≤
1
1 − λ0
.
Подставляя в (18) вместо F (x) значение
F (x) = −
T∫
0
q(τ, x)
∫
D
Em(τ, x, 0, ξ)Φ(ξ)dξ+
+
τ∫
0
dβ
∫
D
Em(τ, x, β, ξ)Fm(β, ξ)
dτ
и меняя порядок интегрирования, получим
vm(0, x) =
∫
D
Gm(T, 0, x, ξ)Φm(ξ)dξ+
+
T∫
0
dβ
∫
D
Gm(T, β, x, ξ)Fm(β, ξ)dξ,
(19)
94 И.Д. Пукальский
где
Gm(T, x, β, ξ) =
T∫
β
q(τ, x)Em(τ, x, β, ξ)Φ(ξ)dτ+
+
T∫
β
dτ
∫
D
G(x, y)q(τ, y)Em(τ, y, β, ξ)dy.
Подставляя (19) в (15) и меняя порядок интегрирования, находим
vm(t, x) =
∫
D
Γm(t, x, 0, ξ)Φm(ξ)dξ+
+
t∫
0
dτ
∫
D
Γm(t, x, τ, ξ)Fm(τ, ξ)dξ,
(20)
где
Γm(t, x, τ, ξ) +
∫
D
Em(t, x, 0, y)Gm(T, y, τ, ξ)dy.
Введем в пространстве C2+α(Q) норму ‖um; γ, β, l;Q‖2+α, эк-
вивалентную при каждом фиксированном m1, m2 гельдеровой
норме, которая определяется так же, как норма ‖um; γ, β, l;Q‖2+α,
только вместо функций s1(l1, t), s2(l2, t) берем соответственно
d1(l1, t) = |t−t0|
l1 , если |t−t0| ≥ m−1
1 , d1(l1, t) = m−1
1 , если |t−t0| ≤
m−1
1 и d2(l2, x) = s2(l2, x), если ρ(x, ∂D) ≥ m−1
2 , d2(l2, x) = m−l2
2 ,
если ρ(x, ∂D) ≤ m−1
2 , d(l;P ) = d1(l1, t)d2(l2, x)
При налагаемых условиях на гладкость коэффициентов диф-
ференциального выражения L1 существует единственное реше-
ние задачи (6)-(8), которое принадлежит C2+α(Q) и имеет при
каждом m1, m2 конечную норму ‖um; γ, β, l;Q‖2+α. Оценку для
этой нормы устанавливает теорема.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями 95
решения задачи (6)-(8) справедлива оценка
‖um; γ, β; 0;Q‖2+α ≤ C (‖Φ; γ, β; 0;Q‖α +
+
∥∥∥ϕ; γ̃, β̃; 0;D
∥∥∥
2+α
+ ‖ψ; γ, β; 0;Q‖2+α
)
.
(21)
Неравенство (21) получается по методике работы [1, теорема
11]. Установим оценку (5) Правая часть неравенства (21) не зави-
сит от m1, m2 и последовательности {V
(0)
m } = {|um(P )|}, {V
(1)
m } =
{d(γ−βi;P )|∂xi
um(P )|}, {V
(2)
m } = {d(2γ−βi−βj ;P )|∂xi
∂xj
um(P )|},
{V
(3)
m } = {d(2γ;P )|∂tum(P )|}, P ∈ Q равномерно ограничены и
равностепенно непрерывны. По теореме Арчела существуют по-
следовательности {V
(k)
m(j)}, k ∈ {0, 1, 2, 3}, равномерно сходящиеся
в Q. Переходя к пределу при j → ∞ получим единственное ре-
шение задачи (2)-(4) u ∈ C2+α (γ, β; 0;Q) и справедлива оценка
(5).
Задача оптимального управления. Для разрешимости задачи
(1)-(4) построим последовательность решений задач, предельное
значение которой будет решением задачи (1)-(4).
Рассмотрим в областиQ задачу нахождения функций (um, p),
на которых функционал
I(p) =
T∫
0
dt
∫
D
F(t, x, u, p)dx (22)
достигает минимального значения в классе функций p ∈ V , где
um является решением краевой задачи
(L1um)(t, x) = fm(t, x),
um(0, x, p) +
T∫
0
q(τ, x)um(τ, x)dτ = ϕm(x)
[um(t, x, p) − ψ(t, x)] |Γ = 0.
(23)
Введем обозначения
µ(t, x) =
T∫
t
dτ
∫
D
Γm(τ, ξ, t, x)∂umF(t, x, um, p)dξ
96 И.Д. Пукальский
H(um, µ, p) ≡ F(t, x, um, p) + µ(t, x)f(t, x, p).
Имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Если функция H(um, µ, p) по аргументу p моно-
тонно возрастающая для p ∈ V , то оптимальным управлением
будет p(0)(t, x) = ψ1(t, x), а оптимальным решением задачи (22),
(23) будет
um(t, x, p(0)) = um(t, x, ψ1(t, x))
Если функция H(um, µ, p) по аргументу p монотонно убыва-
ющая для p ∈ V , то оптимальным управлением будет p(0)(t, x) =
ψ2(t, x), а оптимальным решением задачи (22), (23) будет
um(t, x, p(0)) = um(t, x, ψ2(t, x)).
Доказательство. Пусть ∆p произвольное приращение управле-
ния p(t, x), p + ∆p ∈ V . Обозначим через ∆um соответствующее
приращение функции um(t, x, p). Тогда ∆um в области Q будет
решением краевой задачи
(L1∆um)(t, x) = fm(t, x, p+ ∆p) − fm(t, x, p) ≡ ∆f(t, x, p),
∆um(0, x, p) +
T∫
0
q(τ, x)∆um(τ, x, p)dτ = 0, ∆um|Γ = 0. (24)
Разложим приращение функционала I(p) по формуле Тейло-
ра
∆I =
T∫
0
dt
∫
D
[∂umF(t, x, um, p)∆um + ∂pF(t, x, um, p)∆p+
+O (|∆um|
2) +O (|∆p|2)] dξ.
(25)
Заметим, что ∆um- решение задачи (24). Поэтому, используя фор-
мулу (20), получим
∆um(t, x) =
t∫
0
dτ
∫
D
Γm(t, x, τ, ξ)∆f(τ, ξ)dξ, (26)
Подставляя (26) в (25) и изменяя при этом порядок интегри-
рования, находим
∆I=
T∫
0
dt
∫
D
[
∂pH(um, µ, p)∆p+O
(
|∆um|
2
)
+O
(
|∆p|2
)]
dξ. (27)
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями 97
Если p = p(0)(t, x) и H(um, µ, p) удовлетворяет условиям теоремы
5, то при достаточно малом ∆p имеем ∆I > 0.
Если H(um, µ, p) по аргументу p не является монотонной, то
∂pH(um, µ, p)∆p знакопеременная величина то есть ∂pH(um, µ, p)
в Q+ ⊂ Q и ∂pH(um, µ, p) в Q− = Q \Q+.
Используя теорему о среднем значении, находим, что
∆I = ∂pH(u+
m, µ
+, p+)
∫∫
Q+
∆pdxdt−
− |∂pH(u+
m, µ
−, p−)|
∫∫
Q−
∆pdxdt+ ∂pH(u+
m, µ
+, p+)
T∫∫
0
∆pdxdt+
+
∫∫
Q
[O (|∆um|
2) +O (|∆p|2)] dxdt.
При достаточно малом ∆p знак ∆I определяется первыми
слагаемыми в зависимости от величин mesQ+, mesQ−, ∆p. Сле-
довательно функционал не достигает своего минимального зна-
чения.
Теорема 6. Пусть H(um, µ, p) по аргументу p не является мо-
нотонной. Для того, чтобы управление p(0)(x, t) и соответству-
ющее решение um(x, t, p(0)) задачи (23) были оптимальными, необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) функция H(um, µ, p) по аргументу p принимает минималь-
ное значение при p = p(0).
2) для произвольного вектора (e1, e2) и (t, x) ∈ Q выполняется
неравенство
K(e1, e2) ≡ ∂2
um
F(t, x, um, p
(0))e21 + 2∂2
pum
F(t, x, um, p
(0))e1e2−
−µ(t, x)∂2
pf(t, x, p(0))e22 > 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть p(0) удовлетворяет усло-
виям теоремы 6, покажем его оптимальность. При помощи фор-
98 И.Д. Пукальский
мулы Тейлора запишем приращение функционала I(p)
∆I =
T∫
0
dt
∫
D
[∂umF(t,x,um,p)∆um + ∂pF(t,x,um,p)∆p+
+1
2
∂2
um
F(t,x,um,p(0))(∆um)2+∂2
pum
F(t,x,um,p(0))∆um∆p+
+1
2
∂2
pF(t,x,um,p(0))(∆p)2+O(|∆um|
2+α)+O(|∆p|2+α)
]
dξ.
(28)
Подставляя (26) в (25) и изменяя при этом порядок интегри-
рования, получим
∆I =
T∫
0
dt
∫
D
[
∂pH(um, µ, p
(0))∆p+ K(∆um,∆p) +
+ O (|∆um|
2+α) +O (|∆p|2+α)] dx.
обозначим δ1 = inf
|ξ|=1
K(ξ1, ξ2). В силу условия 1) ∂pH(um, µ, p
(0)) =
0. Поэтому, учитывая условие 2), имеем δ1 > 0 для (t, x) ∈ Q.
Следовательно,
K(∆um,∆p) = δ1
(
|∆um|
2 + |∆p|2
)
.
Таким образом
∆I ≥ δ1
T∫
0
dt
∫
D
[
(1 − 0(|∆um|
α)) + |∆p|2 (1 − 0(|∆p|α))
]
dx.
В силу соотношения (26) получаем, что ∆um → 0 при ∆p →
0. Поэтому, при достаточно малых ∆p→ 0 таких, что
1 − 0(|∆um|
α) ≥
1
2
, 1 − 0(|∆p|α) ≥
1
2
,
имеем
∆I ≥
δ1
2
T∫
0
dt
∫
D
(
|∆um|
2 + |∆p|2
)
dx ≥ 0.
Необходимость доказывается по схеме доказательства теоре-
мы 2 из [6].
Краевые задачи для параболических уравнений с вырождениями 99
Существование (um, p
(0)) устанавливается по следующей схе-
ме. Если p(0)- оптимальное, то
∂pH(um, µ, p
(0)) = 0 и ∂2
pH(um, µ, p
(0)) > 0.
Применяя теорему о неявных функциях из [5] к уравнению
∂pH(um, µ, p
(0)) = 0,
получим
p(0) = W (um, µ),
где W (um, µ)- дифференцируемая функция по аргументам um и
µ.
Используя функцию Грина Γm(t, x, τ, ξ), в соответствие зада-
че (22), (23) поставим систему интегральных уравнений
um =
T∫
t
dt
∫
D
Γm(t, x, τ, ξ)fm(τ, ξ,W (um, µ))dξ + ω1,
µ(t, x) =
T∫
t
dt
∫
D
Γm(τ, ξ, t, x)∂umF(τ, ξ, um,W (um, µ))dξ,
(29)
где ω1- решение краевой задачи
(L1ω1)(t, x) = 0, ω1(0, x) +
T∫
0
q(τ, x)ω1(τ, x)dτ = ϕm(x),
[ω1t, x) − ψmt, x)] |Γ = 0.
Решение системы (29) находим методом последовательных
приближений, учитывая при этом теорему 2 и неравенства
0 ≤
∫
D
Γm(t, x, τ, ξ)dξ ≤
1
1 − λ0
,
Переходя к пределу в задаче (22), (23) при m1 → ∞, m2 → ∞
получим решение задачи (1)-(4).
1. Пукальський И.Д. Краевые задачи для параболических уравнений с вы-
рождениями // Нелинейные граничные задачи. – 2006. – вып.16. – С. 213
– 221.
100 И.Д. Пукальский
2. Пукальський И.Д. Нелокальные краевые задачи для неравномерно па-
раболических уравнений // Дифф. ур. – 2003. – Т. 39, N 6. – С. 777 –
787.
3. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и ква-
зилинейные уравнения параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736
с.
4. Матiйчук М.I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – К.: Iн-т матема-
тики НАН України, 1999. – 176 с.
5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление.
– М: Наука, 1979. – 429 с.
6. Пукальський И.Д. Функцiя Грiна параболiчної крайової задачi i задача
оптiмiзацiї// Укр. мат. журн. – 2000. – Т. 52, N 4. – С. 567– 571.
7. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического ти-
па. – М: Мир, 1968. – 428 с.
8. Пукальський И.Д. Краевая задача для линейных параболических урав-
нений с вырождениями // Укр. мат. журн. – 2005. – Т. 57, N 3. – С. 377
– 387.
Кафедра дифференциальных уравнений,
Черновецкий национальный университет
им. Ю.Федьковича,
ул.Коцюбинского 2,
58012, г. Черновцы, Украина
Получено 21.09.2006
|