О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка

В настоящей работе рассматривается первая краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами и неоднородным символом в угле на плоскости. Получено необходимое и достаточное условие единственности решения указанной задачи в пространстве C² с полин...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
Hauptverfasser:	Бурский, В.П., Кириченко, Е.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2007
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/10118
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка / В.П. Бурский, Е.В. Кириченко // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 20-30. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-10118
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-101182017-10-01T17:06:16Z О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка Бурский, В.П. Кириченко, Е.В. В настоящей работе рассматривается первая краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами и неоднородным символом в угле на плоскости. Получено необходимое и достаточное условие единственности решения указанной задачи в пространстве C² с полиномиальным ростом на бесконечности. 2007 Article О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка / В.П. Бурский, Е.В. Кириченко // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 20-30. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0236-0497 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/10118 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В настоящей работе рассматривается первая краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами и неоднородным символом в угле на плоскости. Получено необходимое и достаточное условие единственности решения указанной задачи в пространстве C² с полиномиальным ростом на бесконечности.
format	Article
author	Бурский, В.П. Кириченко, Е.В.
spellingShingle	Бурский, В.П. Кириченко, Е.В. О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка
author_facet	Бурский, В.П. Кириченко, Е.В.
author_sort	Бурский, В.П.
title	О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка
title_short	О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка
title_full	О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка
title_fullStr	О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка
title_full_unstemmed	О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка
title_sort	о задаче дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2007
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/10118
citation_txt	О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка / В.П. Бурский, Е.В. Кириченко // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 20-30. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT burskijvp ozadačedirihlevploskomugledlâbestipnogouravneniâvtorogoporâdka AT kiričenkoev ozadačedirihlevploskomugledlâbestipnogouravneniâvtorogoporâdka
first_indexed	2025-07-02T12:00:21Z
last_indexed	2025-07-02T12:00:21Z
_version_	1836536426858020864
fulltext	20 Нелинейные граничные задачи 17, 20-30 (2007) c©2007. В.П. Бурский, Е.В. Кириченко О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПЛОСКОМ УГЛЕ ДЛЯ БЕСТИПНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В настоящей работе рассматривается первая краевая задача для диф- ференциального уравнения второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами и неоднородным символом в угле на плоскости. Получе- но необходимое и достаточное условие единственности решения указанной задачи в пространстве C2 с полиномиальным ростом на бесконечности. Ключевые слова: бестипное уравнение, угловая точка, единственность MSC (2000): 35M99, 35E15, 35E20 Введение. Общие краевые задачи для эллиптических уравнений в об- ластях с угловыми точками изучались Г.И.Эскиным в работе [1], где автор доказал нормальную разрешимость таких задач для плоской области с граничными условиями, удовлетворяющими условию Лопатинского в пространстве CN (N – достаточно боль- шое положительное число). Случай первой краевой задачи рас- сматривался в работах В.В.Фуфаева [2], Е.А.Волкова [3]. В рабо- те В.А.Кондратьева [4] исследовалась общая краевая задача для эллиптического уравнения в области, граница которой содержит конечное число конических точек. При этом решение рассмат- ривалось в специальных пространствах функций, имеющих про- изводные, суммируемые с некоторым весом. Автор показал, что решение такой задачи является всюду гладким, и при прибли- жении к конической точке производные имеют, вообще говоря, степенные особенности. В настоящей работе изучаются вопросы единственности ре- шения первой краевой задачи в угле для бестипного уравнения второго порядка с неоднородным символом и комплексными ко- эффициентами. Получено необходимое и достаточное условие на- рушения единственности решения задачи Дирихле в простран- ствах функций умеренного роста для некоторого класса диффе- ренциальных уравнений, связанного с заданным углом. Проведе- О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения 21 но сопоставление полученного результата с наличием известного решения уравнения Лапласа в угле. Метод исследования состоит в том, что, сдвигая первоначаль- ный символ на некоторый вектор, принадлежащий трубчатой об- ласти в C2, зависящей от угла, мы получаем дифференциальный оператор с однородным символом, и к полученной таким образом граничной задаче применяем метод двойственности уравнение- область ([5]). Этим сдвигом мы устраняем трудности, связанные с отсутствием локальной аналитичности преобразования Фурье продолжения нулём решения задачи на всю плоскость. 1.Постановка задачи. Мы рассматриваем однородную задачу Дирихле u\|∂Ω = 0 (1) для уравнения второго порядка L̃u = L ( ∂ ∂x + λ ) u = (a1 · (∇ + λ))(a2 · (∇ + λ))u = 0 (2) в угле Ω (см. рис.1), где a1, a2, λ ∈ C2− постоянные комплекс- ные векторы, причём векторы a1, a2− произвольные, а выбор λ ∈ TC ⊂ C2 ограничен множеством TC , зависящим от угла. Пусть прямые, ограничивающие данный угол и проходящие через нача- ло координат, описываются уравнениями (b1 · x) = 0, (b2 · x) = 0 соответственно, где b1 = (b11, b 1 2), b 2 = (b21, b 2 2) – нормальные век- торы к прямым, а b̃1 = (−b12, b 1 1), b̃ 2 = (−b22, b 2 1)− образующие. Отметим, что условия на бесконечности мы выбираем при- надлежностью решения пространству Шварца S ′ и что неодно- родный символ l̃(ξ) дифференциального оператора L̃( ∂ ∂x ) стано- вится однородным после сдвига на вектор λ: l̃(ξ − λ) = l(η) = aη2 1 + bη1η2 + cη2 2. Здесь мы можем считать, что a, b, c – произвольные комплекс- ные числа. Полученный таким образом однородный символ l(η) соответствует дифференциальному оператору L ( ∂ ∂x ) = a ∂2 ∂x2 1 + b ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 + c ∂2 ∂x2 2 = (a1 · ∇)(a2 · ∇). 22 В.П. Бурский, Е.В. Кириченко Рис. 1. Обсудим подробнее выбор вектора λ. Угол Ω является част- ным случаем выпуклого острого конуса с вершиной в нуле. Будем рассматривать также сопряженный конус Ω∗, образующими ко- торого служат перпендикуляры, проведенные к образующим ис- ходного конуса Ω. Ω∗ – замкнутый выпуклый конус с вершиной в нуле. Пусть Ω∗ = −Ω∗ и C =int Ω∗, C 6= ∅, – открытый выпуклый конус. Через TC обозначим трубчатую область в C2 с основанием C [6]: TC = R 2 + iC = {z = x+ iy : x ∈ R 2, y ∈ C}. Ниже будем выбирать λ ∈ TC . То есть, если λ = (µ1, ν1) + i(µ2, ν2), где (µ1, ν1) ∈ R 2, (µ2, ν2) ∈ C, то, исходя из выбранного нами угла Ω и построенных по нему конусов Ω∗ и Ω∗, заключаем, что компоненты µ1, ν1 произвольны, а µ2, ν2 должны быть таковы, чтобы угол arctg ν2 µ2 пробегал сектор Ω∗ (см. рис. 1). 2. Основной результат. Приведенная ниже теорема дает ответ на вопрос, когда рас- сматриваемая задача (1), (2) имеет нетривиальное решение. Теорема. Для того чтобы задача (1), (2) имела нетривиаль- ное решение u(x) из пространства C2(Ω) с полиномиальным ро- стом на бесконечности, необходимо и достаточно, чтобы при О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения 23 некотором натуральном n выполнялось равенство ∆n = ∣∣∣∣∣ (̃b1 · ã1)n (̃b2 · ã1)n (̃b1 · ã2)n (̃b2 · ã2)n ∣∣∣∣∣ = 0. (3) Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть u ∈ C2(Ω) ∩ S ′ Ω – неко- торое нетривиальное решение задачи (1), (2), где S ′ Ω = {ω ∈ S ′\|supp ω ⊂ Ω}, ũ ∈ C2(R2) ∩ S ′ – любое его продолжение на все пространство R2. Замечая, что символ l̃(ξ) = l(η + λ) = l(η) + (2aλ1 + bλ2)η1 + (bλ1 + 2cλ2)η2 + l(λ), представим оператор L̃ в виде суммы L̃ = L + L(1) + L(0) трех операторов, первый из которых совпадает с однородным диффе- ренциальным оператором L, второй L(1) содержит только первые производные по переменным x1 и x2, а последний L(0) – констан- та. Теперь применим оператор L̃ к произведению ũ · θΩ, где θΩ – характеристическая функция угла: L̃(ũ · θΩ) = =(L+ L(1) + L(0))(ũ · θΩ)=L(ũ · θΩ)+(L(1)ũ) · θΩ+ũ · (L(1)θΩ)+ +(L(0)ũ) · θΩ =(Lũ) · θΩ+L1ũ · δ∂Ω+l(ν) · (δ∂Ω)′ν · ũ+L(1)ũ) · θΩ+ + (ũ · (L(1)θΩ) + (L(0)ũ) · θΩ = [(L+ L(1) + L(0))ũ] · θΩ+ + L1ũ · δ∂Ω + l(ν) · (δ∂Ω)′ν · ũ+ ũ · (L(1)θΩ) = = (L̃ũ) · θΩ + L1ũ · δ∂Ω + l(ν) · (δ∂Ω)′ν · ũ+ ũ · (L(1)θΩ). Здесь δ∂Ω – мера, сосредоточенная на границе угла, ∂θΩ ∂τ = 0, ∂θΩ ∂ν = −δ∂Ω. Отметим, что поскольку L̃ũ = 0 внутри угла Ω в силу равенства ũ\|Ω = u и, кроме того, θΩ = 0 вне Ω, то первое слага- емое в сумме аннулируется. Что касается третьего и четвертого слагаемых, то оба они приводятся к форме, подобной виду второ- го слагаемого (это следует из формулы ψδ′ = −ψ′δ при условии, что ψ(0) = 0). Таким образом, окончательно имеем: L̃(ũ · θΩ) = M(1)ũ · δ∂Ω, (4) где M(1) – дифференциальный оператор первого порядка. 24 В.П. Бурский, Е.В. Кириченко Умножим полученноe равенство (4) на произведение полино- мов, стоящих в левых частях уравнений прямых, которые огра- ничивают угол Ω: (b1 · x)(b2 · x)L̃(ũ · θΩ) = 0. (5) Теперь подействуем на равенство (5) преобразованием Фурье: (b1 · ∇ξ)(b 2 · ∇ξ)[l̃(ξ)( ̂̃u · θΩ(ξ))] = 0. (6) Поскольку функция ũθΩ(x) имеет носитель в угле Ω, то ее преобразование Фурье ̂̃u · θΩ(ξ) не будет аналитической в нуле функцией. Однако, произведя сдвиг в равенстве (6) на вектор λ, выбор которого описан выше, мы попадаем в трубчатую область TC , где преобразование Фурье ̂̃u · θΩ(ξ − λ) является функцией, аналитической в окрестности нуля (см. [6]). Таким образом, будем иметь: (b1 · ∇ξ)(b 2 · ∇ξ)[l̃(ξ − λ)]( ̂̃u · θΩ(ξ − λ)) = 0, откуда, с учетом того, что ξ − λ = η, получим: (b1 · ∇η)(b 2 · ∇η)[l(η)]( ̂̃u · θΩ(η)) = 0. (7) Отметим, что в выражении (7) символ l(η) уже является одно- родным, а функция v(η) = ̂̃u · θΩ(η), будучи аналитической по η в TC , может быть разложена в степенной ряд в окрестности нуля: v(η) = v0(η) + v1(η) + v2(η) + . . .+ vN(η) + . . . . При этом, исходя из выражения (7), заключаем, что для млад- шей однородной части vN(η) степени N в указанном разложении справедливо следующее равенство: (b1 · ∇η)(b 2 · ∇η)[l(η)vN (η)] = 0. (8) Обозначим через wn(η) = l(η)wN(η) однородный полином степени n = N + 2. Поскольку операторы (b1 · ∇η) и (b2 · ∇η) перестановочны, решение уравнения (8) представимо в виде сум- мы двух функций: wn(η) = w1 n ( (b̃1 · η) ) + w2 n ( (b̃2 · η) ) = αn(b̃1 · η)n + βn(b̃2 · η)n О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения 25 с некоторыми коэффициентами αn, βn, причем функции w1 n и w2 n подбираются таким образом, чтобы удовлетворить уравнение (8). Учитывая, что wn(η) = l(η)wN(η), получаем очевидное соот- ношение wn(η)\|l(η)=0 = 0, которое отражает обратимость функции wn в нуль на множестве нулей символа. Так как однородный символ l(η) = (a1·η)(a2·η), то, придавая переменной η значения ã1 и ã2 поочередно и используя ортогональность векторов aj и ãj , получим линейную однородную систему алгебраических уравнений относительно постоянных αn, βn { αn(b̃1 · ã1)n + βn(b̃2 · ã1)n = 0, αn(b̃1 · ã2)n + βn(b̃2 · ã2)n = 0 (9) с определителем ∆n = ∣∣∣∣∣ (̃b1 · ã1)n (̃b2 · ã1)n (̃b1 · ã2)n (̃b2 · ã2)n ∣∣∣∣∣ . В силу двойственности уравнение-область (под которой понима- ется соответствие между краевой задачей (1),(2) и уравнением (8), доказанное в книге [5]) и нашего предположения о существо- вании нетривиального решения u ∈ C2(Ω) ∩ S ′ исходной задачи, заключаем, что существует нетривиальное решение двойственной задачи { (b1 · ∇η)(b 2 · ∇η)wn(η) = 0, wn(η)\|l(η)=0 = 0 в классе однородных полиномов степени n > 2. Отсюда следу- ет, что при таком n найдется ненулевой набор коэффициентов (αn, βn), который является решением системы (9), что влечет вы- полнение равенства ∆n = 0. Необходимость доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь. Будем строить нетривиальное решение задачи Дирихле (1), (2) при выполнении равенства (3) для некоторого натурального n. Положим u(x) = e−(λ·x) · v(x) = e−λ1x1−λ2x2 · v(x), где λ ∈ TC . Нетрудно убедиться, что ∂u ∂xi = ( −λi + ∂ ∂xi ) v · e−(λ·x), 26 В.П. Бурский, Е.В. Кириченко откуда ( ∂ ∂xi + λi ) u = ∂v ∂xi · e−(λ·x), i = 1, 2. Кроме того, ∂2 ∂x2 i = ( λ2 i v(x) − 2λi ∂v ∂xi + ∂2v ∂x2 i ) · e−(λ·x), поэтому ( ∂ ∂xi + λi )2 {e−(λ·x) · v(x)} = ( ∂2 ∂x2 i + 2λi + λ2 i ) {e−(λ·x) · v(x)} = ∂2v ∂x2 i · e−(λ·x), [( ∂ ∂x1 + λ1 )( ∂ ∂x2 + λ2 )] {e−(λ·x) · v(x)} = = [ ∂2 ∂x1∂x2 + λ1 ∂ ∂x2 + λ2 ∂ ∂x1 + λ1λ2 ] {e−(λ·x) · v(x)} = = ∂2v ∂x1∂x2 · e−(λ·x). С учетом проведенных вычислений получим: L̃u = L ( ∂ ∂x + λ ) u = L ( ∂ ∂x ) v · e−(λ·x) = 0. (10) Следствием равенства (10) является уравнение Lv = 0 с диф- ференциальным оператором L = (a1 ·∇)(a2·∇), которому соответ- ствует однородный символ l(η) = (a1 · η)(a2 · η). Поскольку любое полиномиальное решение уравнения Lv = 0 можно записать в виде v(x) = v1(ã 1 · x) + v2(ã 2 · x), то, очевидно, u(x) = [ v1(ã 1 · x) + v2(ã 2 · x) ] · e−(λ·x). Слагаемые v1 и v2 необходимо подобрать таким образом, чтобы функция u, помимо уравнения (2), удовлетворяла граничному О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения 27 условию Дирихле при некотором ненулевом наборе постоянных (αn, βn): v1(ã 1 · x) = αn · (ã1 · x) n; v2(ã 2 · x) = βn · (ã2 · x) n. Заметим, что полученная функция u(x) = [ αn · (ã1 · x) n + βn · (ã2 · x) n ] · e−(λ·x) (11) будет удовлетворять краевому условию (1), если x = b̃1 либо x = b̃2 (это связано с тем, что стороны угла Ω лежат на прямых (b1 · x) = 0 и (b2 · x) = 0). Подставляя в выражение (11) вместо x указанные значения, получим систему { [αn(ã1 · b̃1)n + βn(ã2 · b̃1)n]e−(λ·b̃1) = 0, [αn(ã1 · b̃2)n + βn(ã2 · b̃2)n]e−(λ·b̃2) = 0, которая равносильна следующей: { αn(ã1 · b̃1)n + βn(ã2 · b̃1)n = 0, αn(ã1 · b̃2)n + βn(ã2 · b̃2)n = 0. (12) Так как определитель однородной системы (12) равен нулю по предположению, то эта система имеет бесконечное число нену- левых решений. Следовательно, наборы констант (αn, βn) нетри- виальны, что означает нетривиальность построенного решения (11) задачи (1), (2). Достаточность доказана. 2 3. Сопоставление с известным решением урав- нения Лапласа. Рассмотрим функцию u = r π α · sin πϕ α , где α – величина угла Ω. Данная функция является гармонической всюду внутри Ω и обращается в нуль на сторонах угла. Поэтому эта функция есть решение однородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в угле. Ясно, что это решение нетривиально и u ∈ C2(Ω) ∩ S ′ при малых α. Покажем, что это решение не порождает решения за- дачи (1), (2) из пространства C2(Ω)∩S ′ при допустимых сдвигах λ. 28 В.П. Бурский, Е.В. Кириченко Вернемся к постановке задачи и выберем произвольным об- разом вектор λ ∈ TC, например, так: λ = (0, 0) + i(−1, 0) = (−i, 0). Поскольку символ оператора Лапласа l(η) = η2 1 + η2 2, то символ, получаемый сдвигом на выбранный выше вектор λ, имеет следу- ющий вид: l(η + λ) = (η1 + λ1) 2 + (η2 + λ2) 2 = l(η) − 2iη1 − 1. Учитывая формулу связи Lu = F−1(l(ξ) · û) дифференциально- го оператора и символа при помощи обратного преобразования Фурье, построим по сдвинутому символу оператор ∆̃ = −∆ + 2 ∂ ∂x1 − 1. Наряду с функцией u = r π α · sin πϕ α , рассмотрим решение ũ = e(µ·x) · u(x) уравнения ∆̃ũ = 0 с неоднородным символом и определим координаты вектора µ. Подставив ũ в уравнение ∆̃ũ = 0, будем иметь: ∆̃ũ = ( ∆ − 2 ∂ ∂x1 + 1 ) {e(µ·x) · u(x)} = = e(µ·x) · (\|µ\|2u+ 2(µ · ∇u) + ∆u− 2µ1u− 2 ∂u ∂x1 + 1) = 0. Перепишем последнее равенство в эквивалентной форме, исполь- зуя тот факт, что u ∈ ker ∆: \|µ\|2u+ 2(µ · ∇u) − 2µ1u− 2 ∂u ∂x1 + u = 0. Отсюда заключаем, что µ1 = 1, µ2 = 0, то есть µ = (1, 0). Стало быть, функция ex1 · u, где u = r π α · sin πϕ α ∈ ker ∆, явля- ется решением уравнения ∆̃ũ = 0. Однако, несмотря на то, что u ∈ C2(Ω)∩S ′, наше решение ũ не является функцией умеренного роста, поскольку Re(µ · x) > 0. 4. Пример: оператор Лапласа с младшими чле- нами. О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения 29 Пусть в исходном неоднородном символе l̃(ξ) = l(η + λ) = a(η1 + λ1) 2 + b(η1 + λ1)(η2 + λ2) + c(η2 + λ2) 2 коэффициенты a = c = 1, b = 0. Тогда этот символ, очевидно, соответствует лапласиану с младшей частью: ∆̃ = −∆ + 2iλ1 ∂ ∂x1 + 2iλ2 ∂ ∂x2 + l(λ). Сдвигая символ l(η + λ) = (η1 + λ1) 2 + (η2 + λ2) 2 на вектор λ = (λ1, λ2), принадлежащий трубчатой области TC, получим одно- родный символ l(η) = η2 1 + η2 2, который соответствует оператору Лапласа ∆. Поскольку ∆ = (a1 · ∇)(a2 · ∇), где a1 = (1, i), a2 = (1,−i), и b1 = (0, 1), b2 = (tgα,−1), то ã1 = (−i, 1), ã2 = (i, 1), b̃1 = (−1, 0), b̃2 = (1, tgα). Отсюда следует, что определитель в равенстве (3) имеет вид: ∆n = ∣∣∣∣ in (tgα− i)n (−i)n (tgα+ i)n ∣∣∣∣ . Кроме того, условие ∆n = 0 преобразуется к виду: ( tg α+i tg α−i )n = ±1, что равносильно соотношению: α таково, что существует k ∈ N, для которого e−iπ−2iα = { eik 2π n , если n четное, e iπ n (2k+1), если n нечетное. Таким образом, необходимое и достаточное условие единствен- ности решения задачи (1) для уравнения ∆̃u = 0 будет иметь более простую формулировку, а именно: для того чтобы однородная задача Дирихле для уравнения ∆̃u = 0 имела нетривиальное решение u(x) в пространстве C2(Ω)∩S ′, необходимо и достаточно, чтобы при некотором натуральном n угол α был π - рациональным, причем α = { π 2n (n− 2k), если n четное, π 2n (n− 2k − 1), если n нечетное, k = 1, 2, . . . . 30 В.П. Бурский, Е.В. Кириченко Ввиду полученного результата, заключаем, что если угол α = π p q , где p q – рациональное число, то q совпадает с n, а p произволь- но. При этом нетривиальное решение u(x) задачи (1) для уравне- ния ∆̃u = 0 можно отыскать с помощью процедуры, описанной при доказательстве достаточности теоремы 1: u(x) = [αnz n + βnz̄ n] · e−(λ·x). Здесь z = x1 + ix2, коэффициенты αn, βn находятся из системы (12). 1. Эскин Г.И. Общие краевые задачи для уравнений главного типа в плос- кости с угловыми точками // Успехи Матем. Наук. – 1963. – 18, вып. 3. – С. 241-242. 2. Фуфаев В.В. К задаче Дирихле для областей с углами // Докл. АН СССР. – 1960. – 131, № 1. – С. 37-39. 3. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона в пря- моугольнике // Докл. АН. – 1963. – 147, № 1. – С. 13-16. 4. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в обла- стях с коническими или угловыми точками // Тр. Московского мат. о-ва – 1967. – 16 – С. 209-292. 5. Бурский В.П. Методы исследования граничных задач для общих диф- ференциальных уравнений. – Киев: Наукова думка. – 2002. – 316 с. 6. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике – М: Наука. – 1979. – 320 с. Институт прикладной математики и механики НАН Украины ул.Р.Люксембург, 74 83114, Донецк, Украина EKirichenko@iamm.ac.donetsk.ua Получено 10.04.07

О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка

Institution

Ähnliche Einträge