Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов

Предложен новый аналитический метод точного решения задачи о колебаниях стержней, имеющих сложную геометрию, на основе использования дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Эффективность такого подхода проиллюстрирована на примерах его реализации при построении новы...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
1. Verfasser:	Трапезон, К.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2006
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1013
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов / К.А. Трапезон // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 50-55. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-1013
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-10132008-10-20T18:29:57Z Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов Трапезон, К.А. Предложен новый аналитический метод точного решения задачи о колебаниях стержней, имеющих сложную геометрию, на основе использования дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Эффективность такого подхода проиллюстрирована на примерах его реализации при построении новых профилей концентраторов. Запропоновано новий аналітичний метод точного розв'язку задачі коливань стержнів, які мають складну геометрію, на основі використання диференціального рівняння зі змінними коефіцієнтами. Ефективність такого підходу проілюстровано на прикладах його реалізації при побудові нових профілів концентраторів. A new analytical method is offered for obtaining an exact solution for the problem on vibrations of rods, having complex geometry, on the basis of using the second-order differential equation with variable coefficients. The efficiency of such approach is shown on the examples of its realization when designing new profiles of thickeners. 2006 Article Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов / К.А. Трапезон // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 50-55. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1013 517.9:534.8 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Предложен новый аналитический метод точного решения задачи о колебаниях стержней, имеющих сложную геометрию, на основе использования дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Эффективность такого подхода проиллюстрирована на примерах его реализации при построении новых профилей концентраторов.
format	Article
author	Трапезон, К.А.
spellingShingle	Трапезон, К.А. Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов
author_facet	Трапезон, К.А.
author_sort	Трапезон, К.А.
title	Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов
title_short	Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов
title_full	Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов
title_fullStr	Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов
title_full_unstemmed	Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов
title_sort	метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1013
citation_txt	Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов / К.А. Трапезон // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 50-55. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT trapezonka metodsimmetrijprirasčeteiproektirovaniiakustičeskihkoncentratorov
first_indexed	2025-07-02T04:33:59Z
last_indexed	2025-07-02T04:33:59Z
_version_	1836508344544657408
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 50 – 55 УДК 517.9:534.8 МЕТОД СИММЕТРИЙ ПРИ РАСЧЕТЕ И ПРОЕКТИРОВАНИИ АКУСТИЧЕСКИХ КОНЦЕНТРАТОРОВ К. А. ТРА П ЕЗ ОН Национальный технический университет Украины “КПИ”, Киев Получено 18.09.2006 � Пересмотрено 02.11.2006 Предложен новый аналитический метод точного решения задачи о колебаниях стержней, имеющих сложную геоме- трию, на основе использования дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Эффективность такого подхода проиллюстрирована на примерах его реализации при построении новых профилей концентраторов. Запропоновано новий аналiтичний метод точного розв’язку задачi коливань стержнiв, якi мають складну геоме- трiю, на основi використання диференцiального рiвняння зi змiнними коефiцiєнтами. Ефективнiсть такого пiдходу проiлюстровано на прикладах його реалiзацiї при побудовi нових профiлiв концентраторiв. A new analytical method is offered for obtaining an exact solution for the problem on vibrations of rods, having complex geometry, on the basis of using the second-order differential equation with variable coefficients. The efficiency of such approach is shown on the examples of its realization when designing new profiles of thickeners. ВВЕДЕНИЕ Одна из основных проблем при разработке кон- центраторов акустической энергии связана с ре- шением задачи на собственные значения для стер- жня переменного поперечного сечения. Возникаю- щие при этом трудности состоят в поиске решения дифференциального уравнения с переменными ко- эффициентами (профиль концентратора опреде- ляется видом этих коэффициентов). В настоящее время такие профили строятся с помощью про- стейших функций, вид которых ограничен возмо- жностью выбора решений соответствующих диф- ференциальных уравнений из справочников [1, 2]. В контексте современной математической физики перспективными являются теоретико- групповые методы, в основе которых лежит понятие симметрии [3 – 6]. Обобщенное и нагля- дное его толкование дано Г. Вейлем [7]: “объект обладает свойством симметрии, если с ним можно сделать нечто такое, после чего он будет иметь такой же вид, как и раньше”. Применительно к дифференциальным уравнениям это определение реализуется для тех или иных групп преобра- зований, вследствие которых данное уравнение остается инвариантным. Достаточная гибкость и эффективность такого подхода при решении задач о колебаниях упругих элементов была установлена в работе [8]. К сожалению, в настоящее время, исходя из анализа большого массива публикаций по группо- вым методам (их обобщением можно считать ра- боты [9 – 12]), не представляется возможным сде- лать общий вывод о путях практической реализа- ции идеи симметрии при решении задач на соб- ственные значения. Поэтому целью данной статьи является развитие метода симметрий для расчета и проектирования концентраторов с наперед за- данными параметрами. 1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И ПОСТАНОВ- КА ЗАДАЧИ Волновое уравнение, определяющее формы соб- ственных колебаний стержня переменного попе- речного сечения, имеет вид W ′′ + 2 D′ D W ′ + k2W = 0 (1) или W ′′ + F ′ F W ′ + k2W = 0. (1′) Здесь D – диаметр поперечного сечения стержня как тела вращения; F – площадь поперечного се- чения; k = lω/c – волновое число или собствен- ное значение задачи; ω=2πf – круговая собствен- ная частота колебаний стержня; f – частота ко- лебаний; c = √ E/ρ – скорость распространения продольной волны в стержне; E – модуль упруго- сти; ρ – плотность материала; l – длина стержня. Штрихи обозначают производные по переменной x, отнесенной к длине стержня l. При выводе урав- нения (1) полагают, что поперечные деформации малы. Это равносильно условию l�D. 50 c© К. А. Трапезон, 2006 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 50 – 55 Принцип эффективного функционирования акустического концентратора как стержня пе- ременного сечения заключается в выборе при его проектировании такой функции D = D(x), чтобы отношение амплитуд перемещений W (x) на свободных концах устройства было максимально возможным. Как уже говорилось, в настоящее время пробле- ма заключается в недостаточной широте набора функций D(x), при которых возможно решение уравнения (1) (большинство из них представлены в известном руководстве Э. Камке [1]). Именно на основе этих профилей и предлагались различные типы концентраторов [2]. Расширение количества случаев, при которых уравнение (1) может быть разрешено без привлечения численных методов, возможно на основе идеи симметрий дифферен- циальных уравнений. Ниже приводится метод построения симметрий волнового уравнения (1), благодаря чему оно мо- жет быть рассмотрено с полнотой, достаточной для расчета и проектирования концентраторов продольных колебаний при практически неограни- ченном выборе профиля D(x). 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ МЕТО- ДА Для построения симметрий волнового уравне- ния (1) рассмотрим систему двух дифференциаль- ных уравнений первого порядка для некоторых функций W (x) и W ′ 1 (x) (далее для краткости ар- гумент функции будем опускать): W ′ = aW + bW1, (2) AW ′ 1 = aW + bW1. (3) Здесь a, b, A – некоторые переменные коэффици- енты. Из уравнений (2) и (3) следует, что W1 = W ′ − aW b , (4) W = AW ′ 1 − bW1 a . (5) После дифференцирования соотношений (4) и (5) и внесения полученных выражений для W ′ 1 и W ′ в соответствующие формулы приходим к двум дифференциальным уравнениям второго порядка относительно функций W и W1: W ′′ − W ′ [ a + b A + b′ b ] − Wa [ a′ a − b′ b ] = 0, (6) W ′′ 1 − W ′ 1 [ a + b A + a′ a − A′ A ] + +W1 b A [ a′ a − b′ b ] = 0. (7) Если соотношению (6) придать вид волново- го уравнения для стержня переменного сечения (тип (1)), то согласно введенному понятию симме- трий, формула (7) как симметрия уравнения (1) должна иметь аналогичную форму, т. е. W ′′ 1 + 2 D′ 1 D1 W ′ 1 + k2 1 W1 = 0. (8) Исходя из этого, введем систему обозначений, ко- торая одновременно будет системой дифференци- альных уравнений относительно искомых параме- тров a, b, A: a + b A + b′ b = −2 D′ D , a + b A + a′ a − A′ A = −2 D′ 1 D1 , a [ a′ a − b′ b ] = −k2, b A [ a′ a − b′ b ] = k2 1 . (9) Здесь D, D1 – переменные диаметры; k, k1 – соо- тветствующие волновые числа. Из соотношений (9), опуская промежуточные выкладки, получим a = −k2 U U ′ , b = − 1 U ′ , A = − 1 k2 1 U . (10) При этом связь между D и D1, k2 и k2 1 должна соответствовать зависимостям D1 = D U , α2 = k2 − k2 1 , (11) а функция U – определяться из уравнения U ′′ − 2 D′ D U ′ + α2U = 0, (12) где α2 – произвольная постоянная. Внеся определенные таким образом переменные параметры a, b, A в соотношения (4) и (5), полу- чаем соответственно W1 = W ′ − aW b = −(k2UW + U ′W ′), (13) К. А. Трапезон 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 50 – 55 W = AW ′ 1 − bW1 a = U ′W ′ 1 − k2 1 UW1 k2k2 1 U2 . (14) Из выражений (13) и (14) взаимно определяются решения уравнений (8) либо (1), если известны решения уравнений (1) либо (8) соответственно. Сравнивая формулы (2) и (3), приходим к выводу, что W ′ = AW ′ 1 . Кроме того, после подстановки сюда значения A, определенного согласно правилу (10), имеем W ′ 1 = −k2 1 UW ′. (15) В выражения (13) – (15) входит функция U . По- этому для полного решения поставленной задачи необходимо установить ее вид, исходя из уравне- ния (12). При решении уравнения (12) следует рассмо- треть два варианта. • α 2 = 0. Тогда уравнение (12) упрощается и сводится к виду U ′′ − 2 D′ D U ′ = 0. Отсюда непосредственным интегрированием получаем U = ∫ D2dx + C, (16) где C – существенная произвольная постоян- ная. При этом, согласно (11), k2 1 = k2, а для диаметра D1 имеет место зависимость D1 = D ∫ D2dx + C . (17) • α 2 6=0. В этом случае решение уравнения (12) можно получить, если найти его симметрию из нижеследующих уравнений, подобных (2) и (3): U ′ = −D2α2U1, (18) U = D2U ′ 1 . (19) После их дифференцирования и подстанов- ки полученных соотношений в формулы (18) и (19) приходим к двум дифференциальным уравнениям второго порядка для переменных U и U1: U ′′ − U ′2 D′ D + α2U = 0, (20) U ′′ 1 + 2 D′ D U ′ 1 + α2U1 = 0. (21) Так как уравнение (20) совпадает с (12), а со- отношение (21) является симметрией уравне- ния (20), то согласно формулам (18) и (19) можно найти U при условии, что известны ре- шения для U1. Сравнивая уравнения (21) и (1), приходим к выводу, что искомые U1 автоматически получа- ются из решений уравнения (1), но при условии, если в найденных (известных) выражениях для W везде заменить волновое число k произвольно выбираемым коэффициентом α: k ⇔ α. Тогда из соотношения (19) получим U = FU ′ 1 = D2U ′ 1 = D2W ′ k⇔α . (22) Поэтому, исходя из зависимостей (11), при α2 6= 0 вид функции D1 при известной функции D опре- деляется как D1 = D U = 1 DW ′ k⇔α . (23) Таким образом, построена замкнутая система соотношений, позволяющих найти решения соо- тветствующего волнового уравнения вида (8) с па- раметрами D1 и k1, если только известно решение волнового уравнения с параметрами D и k. 3. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА Для удобства сведем все требуемые для расчета соотношения в следующую систему: W ′′ + 2 D′ D W ′ + k2W = 0, W ′′ 1 + 2 D′ 1 D1 W ′ 1 + k2 1 W1 = 0, U ′′ − 2 D′ D U ′ + α2U = 0. (24) Здесь D1 = D U ; W1 = −(k2UW + U ′W ′); W ′ 1 = −k2 1 UW ′; 52 К. А. Трапезон ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 50 – 55 U =        D2W ′ k⇔α , k2 1 = k2 − α2, α 6= 0, ∫ D2dx + C, k2 1 = k2, α = 0. Реализацию метода осуществим на некоторых простейших примерах исходных конфигураций D(x). 3.1. Концентратор постоянного поперечного се- чения D(x)=const=1 Для этого профиля известно решение уравне- ния (1) и его производная [1]: W (x) = A sin kx + B cos kx, W ′(x) = k[A cos kx − B sinkx], где A, B – коэффициенты, которые определяются из граничных условий. Предположим, что α2 6=0, тогда U = D2W ′ k⇔α = D2(kA cos αx− kB sin αx), или, после замены постоянных коэффициентов D2kA, D2kB произвольными постоянными a и b: U = a sinαx + b cos αx. Преобразуем это выражение, введя следующие обозначения для постоянных коэффициентов: a = β cos γ, b = β sin γ. Тогда можно записать U = β sin(αx + γ), U ′ = αβ cos(αx + γ). Исходя из соотношения (24), профиль вновь со- зданного концентратора подчиняется следующему закону изменения поперечного сечения: D1(x) = D01 sin(αx + γ) , где D01 =1/β. Решение уравнения (1) для искомо- го профиля определяется из выражений (24): W1(x) = −(k2UW + U ′W ′) = = A[k2β sin(αx + γ) sin kx+ +kαβ cos(αx + γ) cos kx]+ +B[k2β sin(αx + γ) cos kx− −kαβ cos(αx + γ) sin kx]. Производная от этой функции имеет вид W ′ 1 (x) = −k2 1 β sin(αx + γ)k[A cos kx − B sin kx], т. е. с точностью до сомножителя перед квадра- тными скобками равна производной от решения для стержня постоянного поперечного сечения. С учетом этого обстоятельства вычисление соб- ственных значений k1 для задачи о стержнях со свободными концами, диаметры D1(x) которых изменяются установленным выше образом, стано- вится очень простым. В этом случае достаточно найти k для исходной задачи о стержне посто- янного поперечного сечения со свободными кон- цами, после чего воспользоваться соотношением k2 1 = k2−α2, содержащемся в сводке (24). Напри- мер, первым корнем частотного уравнения sin k = 0 для стержня с D = const будет k = π. По- этому первый корень для стержней диаметром D = D01/ sin(αx+γ) автоматически вычисляется по формуле k1= √ π2−α2. 3.2. Концентратор конусной формы D(x)=D0x Для этого профиля решение уравнения (1) и его производная имеют вид [2] W (x) = 1 x (A sin kx + B cos kx), W ′(x) = 1 x2 (A(kx cos kx − sin kx)− −B(kx sin kx + cos kx)). Для нахождения функций U и D1 по установ- ленному алгоритму (24) в W ′ заменим постоянные A, B произвольными постоянными a, b, а волновое число k – произвольной постоянной α 6= 0. Кроме того, предполагаем, что a∗=b/a. В результате по- лучим U = lim A→a B→b k 2 →α 2 D2W ′ = D2 0 x2 { 1 x2 × ×[a(αx cosαx − sin αx) − b(αx sin αx + cosαx)] } , т. е. U = D2 0 [a(αx cosαx − sin αx)− −b(αx sinαx + cos αx)] К. А. Трапезон 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 50 – 55 и, соответственно, D1 = D U = 1 DW ′ = x D0 × × 1 a(αx cosαx − sin αx) − b(αx sinαx + cos αx) . Для удобства это выражение перепишем, введя вместо 1/D0 масштабный коэффициент D01 (если a=−1): D1 = D01 x (a∗ − αx) cosαx + (1 + a∗αx) sinαx . Аналогично, функцию U и ее производную следу- ет записать в виде U = D2 0 [(a∗ − αx) cosαx + (1 + a∗αx) sinαx], U ′ = D2 0 α2x(a∗ cos αx + sin αx). Для полученного профиля концентратора опре- делим функцию W1(x) и ее производную W ′ 1 (x). Согласно соотношениям (24), W1 = −(k2UW + U ′W ′). Подставив сюда выражения для U , U ′, W , W ′, учтя, что k2 1 =k2−α2, и опустив постоянный мно- житель D2 0 , получим W1(x) = −1 x [A(φ1 sin kx + φ2 cos kx)+ +B(φ1 cos kx − φ2 sin kx)], где φ1 = (k2 1 a∗ − k2αx) cosαx + (k2 1 + k2a∗αx) sinαx; φ2 = kα2x(sin αx + a∗ cosαx). Исходя из формул (24), производная W ′ 1 (x) опре- деляется без дифференцирования W : W ′ 1 (x) = −k2 1 UW ′ = = −k2 1 x2 [cosαx(a∗ − αx) + sin αx(1 + a∗αx)]× ×[A(kx cos kx − sin kx) − B(kx sin kx + cos kx)]. Естественно, при последующих вычислениях не- обходимо иметь ввиду, что собственные значения (волновые числа) k, входящие в выражения W1 и W ′ 1 , заменяются числами k1, вычисляемыми как k2 =k2 1 +α2. 3.3. Конусный концентратор с α=0 Рассмотрим пример реализации метода для слу- чая, когда α = 0. Применим дважды изложенный метод к исходной системе, используемой в приме- ре для концентратора конусной формы, положив α =0 в уравнении для U . Далее используем свой- ства (18) и (19). Опуская промежуточные выклад- ки, получаем, что D(x) = D0 x6 + 5Cx3 − 5C2 + C1x x3 + C , где D0, C, C1 – произвольные постоянные. Для этого случая решение волнового уравнения W (x) и его производная W ′(x) имеют вид W (x) = − 1 q(x) × ×{A[(k2p(x) − 3x) sinkx + 3kx2 cos kx]+ +B[(k2p(x) − 3x) cos kx− 3kx2 sin kx]}, W ′(x) = p(x) q2(x) × ×{A[a(x) sin kx + kb(x) cos kx]+ +B[a(x) cos kx − kb(x) sinkx]}. Здесь введены следующие обозначения: q(x) = x6 + 5Cx3 − 5C2 + C1x; p(x) = x3 + C; a(x) = k2(6x5 + 15Cx2 + C1) − 15(x3 + C); b(x) = 15x(x3 + C) − k2(x6 + 5Cx3 − 5C2 + C1x). Удовлетворяя граничным условиям W ′(0) = W ′(1) = 0, получим уравнение частот в виде tg k = αβ − 1 α + β , где α = 1 k ( δ − 1 + δ + 1 C + 3 k2C + 1 5C2 ) = A B ; β = k 1 − k2(1 + C) 3 + k2Cδ . 54 К. А. Трапезон ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 50 – 55 При этом дополнительно введено обозначение δ = D(x = 1) D(x = 0) , в силу чего коэффициент C1 может быть представ- лен в виде C1 = 5C2(1 − δ) − 5C(1 + δ) − 1. Для отношения амплитуд перемещений на сво- бодных концах концентратора данного типа, ко- торое характеризует его усиление M , справедлива запись M = W (1) W (0) = 1 δ { [ 1 + 3(kα − 1) k2(1 + C) ] cos k+ + [ α − 3 k2(1 + C) (α + k) ] sin k } . Задание различных значений коэффициентов δ и C позволяет строить профили концентраторов и определять его параметры k, M , l. Таким образом, приведенные примеры реали- зации показывают эффективность предложенного аналитического метода, основанного на идее сим- метрии соответствующих обыкновенных диффе- ренциальных уравнений второго порядка с пере- менными коэффициентами. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Предложен аналитический метод строгого (в рамках модели тонкого стержня) решения за- дачи о колебаниях стержней на основе диф- ференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, дающий воз- можность математически обосновать задание новых конфигураций концентраторов акусти- ческой энергии. 2. Показана эффективность метода на примерах его реализации при построении новых про- филей концентраторов. В частности, удалось значительно расширить существующие поло- жения теории проектирования и анализа кон- центраторов акустической энергии. Кроме то- го, следует отметить достигнутое упрощение при построении форм собственных колебаний и вычислении собственных частот. 1. Камке Э. Справочник по обыкновенным диф- ференциальным уравнениям.– М.: Наука, 1971.– 576 с. 2. Писаревский М. М. Расчет переходных стер- жней для магнитострикционных вибраторов // Тр. науч.-техн. совещ. по изучению рассеяния энергии при колебаниях упругих тел.– К.: Изд-во АН УССР, 1958.– С. 54–89. 3. Миллер У. Симметрия и разделение переменных.– М.: Мир, 1981.– 344 с. 4. Ибрагимов Н. Х., Руденко О. В. Принцип априор- ного использования симметрий в теории нелиней- ных волн // Акуст. ж.– 2004.– 50, N 4.– С. 481–495. 5. Giampaolo C. “Weak” symmetries and adapted vari- ables for differential equation // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys.– 2004.– 1, N 1-2.– P. 23–31. 6. Архипов Ю. Ю. О симметриях дискретных моде- лей уравнения Больцмана.– М.: Препр. РАН, Ин-т прикл. мат. N 70, 2004.– 16 с. 7. Вейль Г. Симметрия.– М.: Едиториал УРСС, 2003.– 192 с. 8. Трапезон А. Г. Расчет упругих элементов при ре- зонансных усталостных испытаниях.– К.: Наук. думка, 1983.– 96 с. 9. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром.– М.: Препр. АН СССР, Ин-т прикл. мат. N 150-87, 1987.– 29 с. 10. Радаев Ю. Н., Гудков В. А. Группы симметрий дифференциальных уравнений осесимметричной задачи математической теории пластичности // Вестн. Самар. гос. ун-та.– 2004.– N 4.– С. 99–111. 11. Бойко В. М. Симетрiя нелiнiйних рiвнянь гiдро- динамiчного типу.– К.: Дис. канд. фiз.-мат. наук, 1995.– 110 с. 12. Li H., Ruan H. Symmetries and similarity reductions of nonlinear diffusion equation // Commun. Theor. Phys.– 2004.– 42, N 2.– P. 201–205. К. А. Трапезон 55

Метод симметрий при расчете и проектировании акустических концентраторов

Institution

Ähnliche Einträge