Модель вычислений на классификациях
Представлены результаты теоретических исследований модели вычислений на классификациях. На основе математической структуры «дерево» введен набор операций, позволяющих определить меру на плоских классификациях. Классификации, имеющие несколько плоскостей деления, представляют собой метрическое простр...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2016
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101336 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модель вычислений на классификациях / Г.А. Кравцов // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 1. — С. 73-85. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-101336 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1013362016-06-03T03:02:13Z Модель вычислений на классификациях Кравцов, Г.А. Вычислительные процессы и системы Представлены результаты теоретических исследований модели вычислений на классификациях. На основе математической структуры «дерево» введен набор операций, позволяющих определить меру на плоских классификациях. Классификации, имеющие несколько плоскостей деления, представляют собой метрическое пространство и рассматриваются как логичное развитие плоских классификаций, применяемых, в частности, в задачах подбора экспертов. Показано соответствие полученной модели принципам математического моделирования. Подано результати теоретичних досліджень моделі обчислень на класифікаціях. На основі математичної структури «дерево» введено набір операцій, які дозволяють визначити міру на плоских класифікаціях. Класифікації з декількома площинами поділу є метричним простором і розглядаються як логічний розвиток плоских класифікацій, що застосовуються, зокрема, в задачах підбору експертів. Показано, що отримана модель відповідає принципам математичного моделювання. The article presents results of theoretical research of a model of calculations over classifications. Based on the mathematical structure tree a set of operations is proposed, which permits one to determine a measure for plane classifications. Classifications with several division planes are a metric space and are considered as logical development of plane classification used in the problems of experts’ selection. It has been shown that the obtained model satisfies principles of mathematical modeling. 2016 Article Модель вычислений на классификациях / Г.А. Кравцов // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 1. — С. 73-85. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101336 510.254:517.977.5 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Вычислительные процессы и системы Вычислительные процессы и системы |
| spellingShingle |
Вычислительные процессы и системы Вычислительные процессы и системы Кравцов, Г.А. Модель вычислений на классификациях Электронное моделирование |
| description |
Представлены результаты теоретических исследований модели вычислений на классификациях. На основе математической структуры «дерево» введен набор операций, позволяющих определить меру на плоских классификациях. Классификации, имеющие несколько плоскостей деления, представляют собой метрическое пространство и рассматриваются как логичное развитие плоских классификаций, применяемых, в частности, в задачах подбора экспертов. Показано соответствие полученной модели принципам математического моделирования. |
| format |
Article |
| author |
Кравцов, Г.А. |
| author_facet |
Кравцов, Г.А. |
| author_sort |
Кравцов, Г.А. |
| title |
Модель вычислений на классификациях |
| title_short |
Модель вычислений на классификациях |
| title_full |
Модель вычислений на классификациях |
| title_fullStr |
Модель вычислений на классификациях |
| title_full_unstemmed |
Модель вычислений на классификациях |
| title_sort |
модель вычислений на классификациях |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Вычислительные процессы и системы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101336 |
| citation_txt |
Модель вычислений на классификациях / Г.А. Кравцов // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 1. — С. 73-85. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT kravcovga modelʹvyčislenijnaklassifikaciâh |
| first_indexed |
2025-07-07T10:45:33Z |
| last_indexed |
2025-07-07T10:45:33Z |
| _version_ |
1836984707013672960 |
| fulltext |
ÓÄÊ 510.254:517.977.5
Ã.À. Êðàâöîâ, êàíä. òåõí. íàóê,
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ-164, óë.Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
e-mail: hryhoriy.kravtsov@gmail.com)
Ìîäåëü âû÷èñëåíèé íà êëàññèôèêàöèÿõ
Ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ìîäåëè âû÷èñëåíèé íà êëàññè-
ôèêàöèÿõ. Íà îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðóêòóðû «äåðåâî» ââåäåí íàáîð îïåðàöèé, ïîçâî-
ëÿþùèõ îïðåäåëèòü ìåðó íà ïëîñêèõ êëàññèôèêàöèÿõ. Êëàññèôèêàöèè, èìåþùèå íå-
ñêîëüêî ïëîñêîñòåé äåëåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è ðàññìàò-
ðèâàþòñÿ êàê ëîãè÷íîå ðàçâèòèå ïëîñêèõ êëàññèôèêàöèé, ïðèìåíÿåìûõ, â ÷àñòíîñòè, â
çàäà÷àõ ïîäáîðà ýêñïåðòîâ. Ïîêàçàíî ñîîòâåòñòâèå ïîëó÷åííîé ìîäåëè ïðèíöèïàì ìàòå-
ìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
Ïîäàíî ðåçóëüòàòè òåîðåòè÷íèõ äîñë³äæåíü ìîäåë³ îá÷èñëåíü íà êëàñèô³êàö³ÿõ. Íà îñíîâ³
ìàòåìàòè÷íî¿ ñòðóêòóðè «äåðåâî» ââåäåíî íàá³ð îïåðàö³é, ÿê³ äîçâîëÿþòü âèçíà÷èòè ì³ðó
íà ïëîñêèõ êëàñèô³êàö³ÿõ. Êëàñèô³êàö³¿ ç äåê³ëüêîìà ïëîùèíàìè ïîä³ëó º ìåòðè÷íèì
ïðîñòîðîì ³ ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê ëîã³÷íèé ðîçâèòîê ïëîñêèõ êëàñèô³êàö³é, ùî çàñòîñî-
âóþòüñÿ, çîêðåìà, â çàäà÷àõ ï³äáîðó åêñïåðò³â. Ïîêàçàíî, ùî îòðèìàíà ìîäåëü â³äïîâ³äàº
ïðèíöèïàì ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ïëîñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ, ïðîñòðàíñòâåííàÿ êëàññèôèêàöèÿ, ìåðà,
îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå, àáñîëþòíîå ðàññòîÿíèå, ìîäåëü âû÷èñëåíèé.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ âåñüìà àêòóàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ èññëåäîâàíèÿ, ñâÿçàí-
íûå ñ ïðèìåíåíèåì êëàññèôèêàöèé â èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèÿõ [1].
Íàïðèìåð, èçâåñòíàÿ ïðîáëåìà ïîäáîðà ýêñïåðòîâ [2] èìååò ðåøåíèå, åñëè
çíàíèÿ ýêñïåðòîâ êëàññèôèöèðîâàíû â ñîîòâåòñòâèè ñ íåêîòîðîé ïðîèç-
âîëüíîé êëàññèôèêàöèåé. Òîãäà ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê íàõîæäåíèå
ìåðû ïîäîáèÿ (ñõîäñòâà) èëè ìåðû îòëè÷èÿ êëàññèôèöèðîâàííûõ çíàíèé
ýêñïåðòà è êëàññèôèöèðîâàííûõ çíàíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðåøåíèÿ íåêî-
òîðîé ïðîáëåìû (çàäà÷è). Îäíîé èç èíòåðïðåòàöèé ïðîáëåìû ïîäáîðà
ýêñïåðòîâ ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà ïîäáîðà ðåöåíçåíòà íàó÷íîé ñòàòüè.  ýòîì
ñëó÷àå êëàññèôèêàöèåé çíàíèé ìîæåò áûòü Óíèâåðñàëüíàÿ äåñÿòè÷íàÿ
êëàññèôèêàöèÿ (ÓÄÊ) [3]. Äàííûìè î çíàíèÿõ ýêñïåðòà ÿâëÿþòñÿ åãî ïóá-
ëèêàöèè ñ êîäàìè ÓÄÊ.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 73
� Ã.À. Êðàâöîâ, 2016
�������� �
��
�
�� ���������� ��
Ïðîáëåìà ïîèñêà ðåöåíçåíòà èìååò ïðîñòîå ðåøåíèå, åñëè ñðåäè ïóá-
ëèêàöèé ðåöåíçåíòîâ íàéäåíà ðàáîòà, êîä ÓÄÊ êîòîðîé ïîëíîñòüþ ñîâïà-
äàåò ñ êîäîì ÓÄÊ ðåöåíçèðóåìîé ñòàòüè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ
íàéòè ìåðó ñõîäñòâà èëè ìåðó ðàçëè÷èÿ ìåæäó äâóìÿ êîäàìè, ÷òî ÿâëÿåòñÿ
âåñüìà íåòðèâèàëüíûì ðåøåíèåì ïðè óñëîâèè ñïåöèàëüíûõ îïðåäåëèòå-
ëåé ÓÄÊ, îáðàçóþùèõ äîïîëíèòåëüíûå ïëîñêîñòè äåëåíèÿ êëàññèôèêà-
öèè. Ìîæíî ïðèíÿòü ÓÄÊ çà èåðàðõèþ è âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì àíàëè-
çà èåðàðõèé (ÌÀÈ) [4]. Îäíàêî ÌÀÈ íà ïðàêòèêå ìàëîïðèìåíèì äëÿ
òàêèõ çàäà÷, òàê êàê ìåòîä ïàðíûõ ñðàâíåíèé, ëåæàùèé â îñíîâå ÌÀÈ,
òðåáóåò çíà÷èòåëüíûõ âðåìåííûõ ðåñóðñîâ ýêñïåðòîâ äëÿ ïàðíîãî ñðàâ-
íåíèÿ áîëåå ÷åì 70 òûñ. êëàññîâ ÓÄÊ.
 ðàáîòå [5] ðåøåíèå ïðîáëåìû ïîäáîðà ýêñïåðòà ïîëó÷åíî íà îñíîâà-
íèè èñïîëüçîâàíèÿ êëþ÷åâûõ ñëîâ, âçàèìîîöåíîê, ñàìîîöåíîê è äð. Äëÿ
ïóáëèêàöèé, íå èìåþùèõ êëþ÷åâûõ ñëîâ, ìîæíî áûëî áû âîñïîëüçîâàòü-
ñÿ ìåòîäàìè ìàøèííîãî îáó÷åíèÿ èçâëå÷åíèþ êëþ÷åâûõ ñëîâ èç òåêñòà,
îäíàêî ïðîáëåìà àâòîìàòè÷åñêîãî èçâëå÷åíèÿ êëþ÷åâûõ ñëîâ îñòàåòñÿ
íåðåøåííîé [6].  òî æå âðåìÿ, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êëþ÷åâûå ñëîâà êàê
ýëåìåíòû êëàññèôèêàöèè. Ïðè ýòîì âîïðîñ ðàâíîçíà÷íîñòè êëþ÷åâûõ
ñëîâ îñòàåòñÿ îòêðûòûì.
Ñëåäîâàòåëüíî, àêòóàëüíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà ìîäåëè âû÷èñ-
ëåíèé íà êëàññèôèêàöèÿõ, êîòîðàÿ ïîçâîëèò ïðåäñòàâèòü êëàññèôèêàöèþ êàê
ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è îïðåäåëèòü ìåðó ñõîæåñòè èëè ìåðó îòëè÷èÿ íà
êëàññèôèêàöèè. Êðîìå òîãî, â èçâåñòíûõ ðàáîòàõ, ïîñâÿùåííûõ èññëåäîâà-
íèþ èëè ïðèìåíåíèþ êëàññèôèêàöèé, ðàññìàòðèâàåòñÿ îäíà ïëîñêîñòü äåëå-
íèÿ êëàññèôèêàöèè, ÷òî íå ïîçâîëÿåò ýòè ðåçóëüòàòû ïðèìåíèòü ê èññëå-
äîâàíèþ êëàññèôèêàöèé ñ íåñêîëüêèìè ïëîñêîñòÿìè äåëåíèÿ.
Ïîíÿòèå êëàññèôèêàöèè è åå ôîðìàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå. Ñîãëàñ-
íî [7] êëàññèôèêàöèÿ — ýòî îñîáîãî âèäà äåëåíèå èëè ñèñòåìà ìåðèîëî-
ãè÷åñêèõ èëè òàêñîíîìè÷åñêèõ äåëåíèé. Ôîðìàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå êëàñ-
Ã.À. Êðàâöîâ
74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
A
i
A[1]
i
A
i
A
[1,1]
i
A
[1,2]
i
A
[2,1]
i
A
[2,2]
i
A
[1,3]
i
[2]
ñèôèêàöèè: ýòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà îðèåíòèðîâàííîãî äåðåâà, â
êîòîðîì âåðøèíàìè ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå êëàññû [8, 9].
Êëàññ â êëàññèôèêàöèè — ýòî òðîéêà � �F i Y, , , îáîçíà÷àåìàÿ êàê FY
i ,
ãäå F — êëàññèôèêàöèÿ; i — ïëîñêîñòü äåëåíèÿ êëàññèôèêàöèè F; Y —
ïóòü óòî÷íåíèÿ ïëîñêîé êëàññèôèêàöèè F i . Ïóòü óòî÷íåíèÿ Y — ýòî ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü âèäà [ , , ,...]a b c , îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùàÿ ìåñòî êëàññà
â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè äåëåíèÿ êëàññèôèêàöèè. Ïóòü óòî÷íåíèÿ îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåò ðàíã [10] êëàññà â êëàññèôèêàöèè, êîòîðûé ðàâåí äëèíå ïóòè
óòî÷íåíèÿ. Òàê, ðàíã A a[ ] ðàâåí åäèíèöå, à ðàíã A a b[ , ] ðàâåí äâóì.
Ðàññìîòðèì èñïîëüçîâàíèå îáîçíà÷åíèé íà íåêîòîðîé óñëîâíîé êëàñ-
ñèôèêàöèè Ai (ñì. ðèñóíîê). Ñåìàíòè÷åñêè êëàññ â êëàññèôèêàöèè ñàì
ÿâëÿåòñÿ êëàññèôèêàöèåé. Íàïðèìåð, êàê âèäíî èç ðèñóíêà, êëàññ Ai
[ ]1 —
ýòî êëàññèôèêàöèÿ èç äâóõ êëàññîâ: Ai
[ , ]1 1 , Ai
[ , ]1 2 è Ai
[ , ]1 3 . Î÷åâèäíî, ÷òî
A Ai i
[ , ] [ , ]2 1 1 2� , è òîãäà ìîæíî çàïèñàòü
A AI
i
J
i� , I J� . (1)
Ïîñêîëüêó Ai ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíó èç ïëîñêîñòåé äåëåíèÿ êëàññè-
ôèêàöèè A ñ åäèíûì êîðíåì îðèåíòèðîâàííîãî äåðåâà, ñåìàíòè÷åñêè Ai è
A ñóòü îäíî è òî æå.
Îïåðàöèè íàä êëàññàìè ïëîñêîé êëàññèôèêàöèè. Ïóñòü äàíû êëàñ-
ñû A a
i
[ ], A b
i
[ ], A a b
i
[ , ] êëàññèôèêàöèè A. Ïðåäñòàâèì àññîöèàòèâíóþ áèíàð-
íóþ îïåðàöèþ îáîáùåíèÿ êëàññîâ êëàññèôèêàöèè â âèäå
A A Aa
i
b
i
[ ] [ ]� � ,
A A Aa
i
a b
i
a
i
[ ] [ , ] [ ]� � ,
A A Ab
i
a b
i
[ ] [ , ]� � ,
A A Aa
i
[ ] � � .
Çäåñü A ÿâëÿåòñÿ èäåìïîòåíòîì èëè íóëåì îïåðàöèè îáîáùåíèÿ êëàññîâ
îòíîñèòåëüíî ñàìîé ñåáÿ, A A A� � , è âñåõ óòî÷íÿþùèõ êëàññîâ êëàñ-
ñèôèêàöèè A A AI
i � � .
Àññîöèàòèâíóþ áèíàðíóþ îïåðàöèþ óòî÷íåíèÿ êëàññà « + » ìîæíî çà-
ïèñàòü â âèäå
A A Aa
i
a
i
[ ] [ ]� � ,
A A A Aa
i
b
i
a
i
b
i
[ ] [ ] [ ] [ ]� � � ,
A A Aa
i
a b
i
a b
i
[ ] [ , ] [ , ]� � ,
A A A Ab
i
a b
i
b
i
a b
i
[ ] [ , ] [ ] [ , ]� � � .
Ìîäåëü âû÷èñëåíèé íà êëàññèôèêàöèÿõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 75
Ñåìàíòè÷åñêè îïåðàöèÿ óòî÷íåíèÿ êëàññà ýêâèâàëåíòíà äóãå äåðåâà [9] â
ñëó÷àÿõ A A Aa
i
a
i
[ ] [ ]� � è A A Aa
i
a b
i
a b
i
[ ] [ , ] [ , ]� � , ÷òî îòðàæàåò ñåìàíòèêó óòî÷íå-
íèÿ îäíîãî êëàññà äðóãèì ïðè óñëîâèè, ÷òî îáà êëàññà íàõîäÿòñÿ íà ðàçíûõ
âåòêàõ äåðåâà.
Îïåðàöèè îáîáùåíèÿ è óòî÷íåíèÿ êëàññà íåîáõîäèìû ïðè ïîñòðîå-
íèè è äîêàçàòåëüñòâå ñóùåñòâîâàíèÿ ìåòðèêè íà êëàññèôèêàöèÿõ. Íàëè-
÷èå áèíàðíîé àññîöèàòèâíîé îïåðàöèè è èäåìïîòåíòû (1) ïîçâîëÿåò ñäå-
ëàòü âûâîä î òîì, ÷òî êëàññèôèêàöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíå÷íóþ ïî-
ëóãðóïïó êëàññîâ [8].
Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ïëîñêîé êëàññèôèêàöèè. Îòíîñè-
òåëüíûì ðàññòîÿíèåì R ìåæäó äâóìÿ êëàññàìè, A a
i
[ ] è A b
i
[ ], êëàññèôè-
êàöèè A íàçîâåì íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî, ðàâíîå ÷èñëó óíèêàëüíûõ
îïåðàöèé óòî÷íåíèÿ îò áëèæàéøåãî îáùåãî îáîáùàþùåãî êëàññà. Òàê,
R A Aa
i
b
i( , )[ ] [ ] �2 ïîòîìó, ÷òî ïîòðåáóåòñÿ âûïîëíèòü äâå îïåðàöèè óòî÷-
íåíèÿ, A A Aa
i
a
i� �[ ] [ ] è A A Ab
i
b
i� �[ ] [ ], ê êàæäîìó êëàññó èç áëèæàéøåãî
îáîáùàþùåãî êëàññà A.
Ñîãëàñíî äàííîìó îïðåäåëåíèþ îòíîñèòåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ âûïîë-
íÿþòñÿ ðàâåíñòâà
R A A R A AI
i
Y
i
Y
i
I
i( , ) ( , )� ,
R A AI
i
I
i( , ) �0 ,
(2)
ãäå I, Y — ïðîèçâîëüíûå ïóòè óòî÷íåíèÿ (äåëåíèÿ) êëàññèôèêàöèè A â
ïëîñêîñòè äåëåíèÿ i. Ðàññòîÿíèå R A AI
i
Y
i( , ) íàçâàíî îòíîñèòåëüíûì, òàê
êàê îíî èçìåðÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî âûáðàííûõ êëàññîâ è íèêàê íå ó÷è-
òûâàåò ïîëîæåíèå ýòèõ êëàññîâ â êëàññèôèêàöèè.
Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Íàéäåì îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå R A a b c d
i( ,[ , , , ]
A a b c k
i
[ , , , ] ), âîñïîëüçîâàâøèñü çàìåíîé ïåðåìåííîé B Ai
a b c
i� [ , , ], è ïðåäñòà-
âèì R A Aa b c d
i
a b c k
i( , )[ , , , ] [ , , , ] â âèäå R B Bd
i
k
i( , )[ ] [ ] . Ïî àíàëîãèè ñ R A Aa
i
b
i( , )[ ] [ ] �2
ïîëó÷èì R B Bd
i
k
i( , )[ ] [ ] �2 èëè R A Aa b c d
i
a b c k
i( , )[ , , , ] [ , , , ] �2 .
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå R A AI
i
Y
i( , ) âñåãäà
åäèíñòâåííî è êîíå÷íî â ñèëó òîãî, ÷òî êëàññèôèêàöèÿ A åñòü îðèåíòè-
ðîâàííîå äåðåâî [9]. Îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå R A AI
i
Y
i( , ) èíâàðèàíòíî,
åñëè êëàññ A, óòî÷íÿåìûé êëàññàìè AI
i è AY
i , ñòàíîâèòñÿ óòî÷íÿþùåé
êëàññèôèêàöèåé (êëàññîì) êëàññèôèêàöèè B. Ïîñêîëüêó ñòðóêòóðà äåëå-
íèÿ êëàññà A íåèçìåííà, òî è ïóòü ìåæäó äâóìÿ êëàññàìè, AI
i è AY
i , â A
íåèçìåíåí.
Ã.À. Êðàâöîâ
76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
Îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå R A AI
i( , ) åñòü ðàíã [10]. Äëÿ îòíîñèòåëüíî-
ãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ êëàññàìè, AI
i è AY
i , â A ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
R A A R A A R A A R A A AI
i
Y
i
I
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � �2 . (3)
Ïîýòîìó äëÿ A a
i
[ ] è A a b
i
[ , ] èñîîòâåòñòâåííî R A Aa
i( , )[ ] �1è R A Aa b
i( , )[ , ] �2 .
Âûðàæåíèå (3) îïèñûâàåò ñâÿçü îòíîñèòåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó
êëàññàìè AI
i è AY
i è àáñîëþòíûìè ðàññòîÿíèÿìè äî ýòèõ êëàññîâ îò âåð-
øèíû êëàññèôèêàöèè A è îòíîñèòåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ îò âåðøèíû êëàññè-
ôèêàöèè äî îáùåãî îáîáùàþùåãî êëàññà A AI
i
Y
i� . Åñëè R A A AI
i
Y
i( , )� �0, òî
(3) ïðèíèìàåò âèä
R A A R A A R A AI
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , ).� � (4)
Åñëè R A A AI
i
Y
i( , )� �0, òî äëÿ (3) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
R A A R A A R A AI
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , )� � . (5)
Íà îñíîâàíèè (2) ðàâåíñòâî (4) è íåðàâåíñòâî (5) ìîãóò áûòü îáîáùå-
íû ê âèäó
R A A R A A R A AI
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , )
� , (6)
÷òî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà.
Ðàâåíñòâà (2), â êîòîðûõ îïðåäåëåíû ñâîéñòâà ñèììåòðè÷íîñòè è ðåô-
ëåêñèâíîñòè, è íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà (6) ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âûâîä î
òîì, ÷òî îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå R A AI
i
Y
i( , ) åñòü ìåðà íà êëàññèôèêàöèè
À. Îäíàêî îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå â êà÷åñòâå ìåðû îêàçûâàåòñÿ ìàëîïî-
ëåçíûì, òàê êàê íå îòâå÷àåò íà âîïðîñ î òîì, íàñêîëüêî ïîõîæè èëè ðàç-
ëè÷íû äâà êëàññà êëàññèôèêàöèè.
Ìåðà ñõîäñòâà [11] äëÿ äâóõ êëàññîâ îäíîé ïëîñêîñòè äåëåíèÿ êëàññè-
ôèêàöèè ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà êàê ìåðà Æîêêàðà [12], åñëè ïîëîæèòü,
÷òî äëÿ ìíîæåñòâåííîé ìåðû Æîêêàðà
K
n A B
n A B
�
�
1 1,
( )
( )
� (7)
îïðåäåëåíî ñëåäóþùåå ñîîòâåòñòâèå:
O A A
R A A A
R A A A
I
i
Y
i I
i
Y
i
I
i
Y
i
( , )
( , )
( , )
�
� �
� �
�
1
1
�
� �
� � � �
R A A A
R A A A R A A A R A A
I
i
Y
i
I
i
Y
i
I
i
I
i
Y
i
Y
i
( , )
( , ) ( , ) ( ,
1
I
i
Y
iA� �) 1
, (8)
Ìîäåëü âû÷èñëåíèé íà êëàññèôèêàöèÿõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 77
ãäå AI
i è AY
i — êëàññû â A. Äîáàâëåíèå åäèíèöû îáúÿñíÿåòñÿ ïðèâåäåíèåì
ê ìíîæåñòâó âåðøèí ãðàôà äåðåâà, â êîòîðîì äëÿ îäíîé âåòêè ÷èñëî âåð-
øèí íà åäèíèöó áîëüøå ÷èñëà ñâÿçåé (ñîãëàñíî ñâîéñòâàì äåðåâà), ÷òîáû
ìåðà (8) ñåìàíòè÷åñêè áûëà ýêâèâàëåíòíà ìåðå Æîêêàðà (7).  âûðàæåíèè
(8) ïðåîáðàçîâàíèå çíàìåíàòåëÿ êîððåêòíî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ îòíîñè-
òåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ. Äëÿ óäîáñòâà ìåðó (8) îáîçíà÷èì O Ai( ) è íàçîâåì
ìåðîé ñõîäñòâà íà ïëîñêîñòè äåëåíèÿ êëàññèôèêàöèè Ai . Ìåðà ñõîäñòâà
(8) ÿâëÿåòñÿ êîíêóðåíòíîé [11] .
Ïîêàæåì, ÷òî ìåðà (8) âñåãäà ðàâíà åäèíèöå. Ñîãëàñíî (2)
R A A AI
i
I
i
Y
i( , )� �0 è R A A AY
i
I
i
Y
i( , )� �0 ïðè A AI
i
Y
i� , à ñëåäîâàòåëüíî,
O A A
R A A A
R A A A
I
i
Y
i I
i
Y
i
I
i
Y
i
( , )
( , )
( , )
�
� �
� �
�
1
1
1,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñòðîãî ãîâîðÿ, ìåðà (8) íå ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìåðîé â ñèëó íå-
âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà [11]. Îäíàêî ñëåäóåò çàìå-
òèòü, ÷òî ðàâåíñòâî O A A O A AI
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , )� 1 îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ñèì-
ìåòðè÷íîñòè è ðåôëåêñèâíîñòè:
O A A O A AI
i
Y
i
Y
i
I
i( , ) ( , )� ,
O A AI
i
I
i( , ) �0 .
(9)
Ïóñòü äàíû òðè ìåðû:O A AI
i
Y
i( , ),O A AI
i( , )èO A AY
i( , ). Âîñïîëüçîâàâ-
øèñü (8), ïîëó÷èì
O A A
R A A A
R A A A R A A
I
i
Y
i I
i
Y
i
I
i
Y
i
I
i
I
i
( , )
( , )
( , ) ( ,
�
� �
� � �
1
1
A R A A AY
i
Y
i
I
i
Y
i) ( , )� � �1
, (10)
O A A
R A A
I
i
I
i
( , )
( , )
�
�
1
1
1
, (11)
O A A
R A A
Y
i
Y
i
( , )
( , )
�
�
1
1
1
. (12)
Îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå R A A R A A A R A A AI
i
I
i
Y
i
I
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , )� � � � ïî îïðå-
äåëåíèþ àíàëîãè÷íî ðàññòîÿíèþ R A A R A A A R A A AY
i
I
i
Y
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , )� � � � .
Òîãäà (11) è (12) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
O A A
R A A A R A A A
R A A A R
I
i I
i
Y
i
I
i
I
i
Y
i
I
i
Y
i
( , )
( , ) ( , )
( , )
�
� � �
� � ( , )A A AI
i
I
i
Y
i� �1
, (13)
Ã.À. Êðàâöîâ
78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
O A A
R A A A R A A A
R A A A R
Y
i I
i
Y
i
Y
i
I
i
Y
i
I
i
Y
i
( , )
( , ) ( , )
( , )
�
� � �
� � ( , )A A AY
i
I
i
Y
i� �1
, (14)
à (10) — â âèäå
O A A
R A A A R A A A
R A A A
I
i
Y
i I
i
I
i
Y
i
Y
i
I
i
Y
i
I
i
Y
( , )
( , ) ( , )
( ,
�
� � �
� i
I
i
I
i
Y
i
Y
i
I
i
Y
iR A A A R A A A) ( , ) ( , )� � � � �1
.
Âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííûõ a R A A AI
i
Y
i� �( , ), b R A A AI
i
I
i
Y
i� �( , ) è
c R A A AY
i
I
i
Y
i� �( , ). Âûðàçèì O A A O A A O A AI
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , )� ÷åðåç ïåðå-
ìåííûå a, b è c:
O A A O A A O A A
a b
a b
a c
a c
b c
I
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , )� �
�
� �
�
�
� �
�
1 1 a b c� � �1
. (15)
Âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííîé O A A O A A O A AI
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , )� �
� f a b c( , , ) è ïðèâåäåì ïðàâóþ ÷àñòü (15) ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ W �
� � � � � � � �( ) ( ) ( )a b a c a b c1 1 1 . Òîãäà ïîëó÷èì f a b c V W( , , ) /� , ãäå
V a�2 3� � � � � � � � � � � �3 3 4 4 3 3 2 22 2 2 2 2 2 2a b a c a ab abc ab ac ac a b c bc bc .
Ïîñêîëüêó a � 0, b � 0è c � 0(ïî îïðåäåëåíèþ îòíîñèòåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ),
òîW �1èV � 0, îòêóäà ñëåäóåò O A A O A A O A AI
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , )� � 0 èëè
O A A O A A O A AI
i
Y
i
I
i
Y
i( , ) ( , ) ( , )� � . (16)
Íåðàâåíñòâî (16) — ýòî íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñ
ó÷åòîì (9) è (16) O A AI
i
Y
i( , ) — ìåðà îòëè÷èÿ íà êëàññèôèêàöèè. Îòñþäà
ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî êëàññèôèêàöèè ñ íåñêîëüêèìè ïëîñêîñ-
òÿìè äåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè.
Ìåðà îòëè÷èÿ (16) îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè âûáðàòü äâà
ïðîèçâîëüíûõ êëàññà, îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ïîñòîÿííî
è êîíå÷íî, òî ìåðà îòëè÷èÿ (16) óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì îòíîñèòåëüíîãî
ðàññòîÿíèÿ îò ñàìîé îáùåé êëàññèôèêàöèè äî áëèæàéøåãî îáîáùàþùåãî
êëàññà âûáðàííûõ êëàññîâ. Òàê, åñëè C R A A A R A A AI
i
I
i
Y
i
Y
i
I
i
Y
i� � � �( , ) ( , ), òî
O A A
R A A A
R A A A C
I
i
Y
i I
i
Y
i
I
i
Y
i
( , )
( , )
( , )
�
� �
� � �
1
1
1
,
ãäå C � 0 ïî îïðåäåëåíèþ îòíîñèòåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,
O A A
R A A A
R A A
I
i
Y
i
R A A A
I
i
Y
i
II
i
Y
i
( , ) lim
( , )
( ,( , )
�
� �
� �
1
1
i
Y
iA C� � �
�
) 1
0 .
Ìîäåëü âû÷èñëåíèé íà êëàññèôèêàöèÿõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 79
 òî æå âðåìÿ,
O A A
R A A A
I
i
Y
i
R A A A C
I
i
Y
i
I
i
Y
i
( , ) lim lim
( , )
( , )
�
� �
� � �
1
1
0 1 R A A A CI
i
Y
i( , )� � �
�
1
1
2
. (17)
Âûðàæåíèå (17) ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî åñëè èçâåñòåí òîëüêî îäèí
óòî÷íÿþùèé êëàññ êëàññèôèêàöèè, òî ìåðà ðàçëè÷èÿ ìåæäó íèì è åãî
îáîáùàþùåé êëàññèôèêàöèåé ðàâíà 1/2 èëè ýêâèâàëåíòíà âåðîÿòíîñòè,
÷òî êëàññèôèöèðóåìûé îáúåêò ëèáî ïîïàäàåò â óòî÷íÿþùèé êëàññ, ëèáî
íå ïîïàäàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2. Óòî÷íåíèå êëàññèôèêàöèè ïî îäíîìó êëàñ-
ñèôèöèðóåìîìó ïðèçíàêó íà êàæäîì óðîâíå ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé ìåðå
ðàçëè÷èÿ:
O A A
R A A A
R A A
I
i
Y
i
R A A A
I
i
Y
i
II
i
Y
i
( , ) lim
( , )
( ,( , )
�
� �
� �
1
1
0 i
Y
iA C
C
C� � �
�
�) 1 1
. (18)
Åñëè â âûðàæåíèå (11) âìåñòî êîíñòàíòû C ïîäñòàâèòü óäâîåííóþ ìàêñè-
ìàëüíóþ äëèíó ïóòè óòî÷íåíèÿ (ìàêñèìàëüíûé ðàíã), òî ïîëó÷èì ìàêñè-
ìàëüíîå çíà÷åíèå ìåðû îòëè÷èÿ íà ïëîñêîñòè äåëåíèÿ êëàññèôèêàöèè Ai .
Èç (18) ñëåäóåò
O A A
R A A A
R A A
I
i
Y
i
R A A A
I
i
Y
i
I
i
I
i
Y
i
( , ) lim
( , )
( ,( , )
�
� �
�� �0
1
A C
C
C
Y
i )� �
�
�1 1
.
Ôîðìàëèçàöèÿ ìîäåëè. Åñëè îïðåäåëåíû ïëîñêèå êëàññèôèêàöèè
F F Fi N1, ..., , ..., , i N�1, , ñîâîêóïíîñòü êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êëàñ-
ñèôèêàöèþ F F F F N� � � �1 2 ... ñ ìåðîé îòëè÷èÿ, òî
O F
N
O F
i
N
i( ) ( ).�
�
�
1
1
Ìåðà (11) åñòü ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ìåð îòëè÷èÿ ïëîñêèõ êëàññè-
ôèêàöèé. Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè O F i( ) �1, i N�1, , òî O F( ) �1. Åñëè
ñóùåñòâóþò òàêèå p F i( ), i N�1, , ÷òî K p F
i
N
i�
�
�
1
( ), òî
O F
NK
O F p FK
i
N
i i( ) ( ) ( )�
�
�
1
1
(19)
åñòü íîðìèðîâàííàÿ ìåðà îòëè÷èÿ íà êëàññèôèêàöèè F, â êîòîðîé p F i( ) —
âåñ èëè ñòåïåíü âëèÿíèÿ F i íà íîðìèðîâàííóþ ìåðó îòëè÷èÿ O FK ( ). Î÷å-
âèäíî, ÷òî åñëè p F i( ) �1 , òî O F O FK ( ) ( )� . Òàêæå î÷åâèäíî, ÷òî åñëè
Ã.À. Êðàâöîâ
80 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
ñóùåñòâóþò òàêèå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû p F i( ), èç êîòîðûõ îäèí, íàïðè-
ìåð p F y( ), ðàâåí åäèíèöå ïðè 0� �y N, à îñòàëüíûå ðàâíû íóëþ (i N�1, ,
i y� ), òî O F O FK
y( ) ( )� . Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî â âûðàæåíèè (19) îòíî-
øåíèå
p F
K
i( )
åñòü âåðîÿòíîñòü, òàê êàê K p F
i
N
i�
�
�
1
( ). Ñëåäîâàòåëüíî, O FK ( )
åñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ìåðû îòëè÷èÿ êëàññèôèêàöèè, åñëè O F i( )
ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.
Åñëè äëÿ ëþáûõ p F k( ) è p F k( )�1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî p F k( )� �1
� p F k( ) òàê, ÷òî ñïðàâåäëèâî ðåêóðñèâíîå íåðàâåíñòâî
min ( ( )) ( ) max ( ( )) ( )O F p F O F p Fk k
i
k
i i� �
�
� �1 1
1
, (20)
òî ìåðà (19) îáëàäàåò îïðåäåëåííîé ñòåïåíüþ äîâåðèÿ.
Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñõîäñòâà ïî îïðåäåëåíèþ max ( ( ))O F k � �1 1.
Ïîëàãàÿ, ÷òî L
F k åñòü ìàêñèìàëüíûé ðàíã ïëîñêîé êëàññèôèêàöèè F k ,
íåðàâåíñòâî (20) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
p F L p Fk
F
i
k
i
k( ) ( ) ( )�
�
� �� �1
1
2 11 . (21)
Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà
O F
NK
O F p FK
i
N
i i( ) ( ) ( )�
�
�
1
1
,
p F L p Fk
F
i
k
i
k( ) ( ) ( )�
�
� �� �1
1
2 11
(22)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäåëü âû÷èñëåíèÿ íà êëàññèôèêàöèÿõ ñ îïðåäåëåí-
íîé ñòåïåíüþ äîâåðèÿ. Ñâîéñòâàìè òàêîé ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ:
íåçàâèñèìîñòü îò ïðèíöèïà âûáîðà ïëîñêîñòåé äåëåíèÿ êëàññèôè-
êàöèè;
ìàñøòàáèðóåìîñòü, îãðàíè÷åííàÿ ëèøü öåëåñîîáðàçíîñòüþ;
îïðåäåëåííîñòü âëèÿíèÿ íåó÷òåííûõ ïëîñêîñòåé äåëåíèÿ êëàññèôè-
êàöèè F.
Ïîÿñíèì ïîñëåäíåå ñâîéñòâî. Ïîñêîëüêó êàæäûé ïîñëåäóþùèé âåñî-
âîé êîýôôèöèåíò áîëüøå ïðåäûäóùåãî, p F p Fk k( ) ( )� �1 , è âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå (21), òî
� ( )
K
p F
L
K
F
�
�
�
1
2 11
Ìîäåëü âû÷èñëåíèé íà êëàññèôèêàöèÿõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 81
åñòü òåîðåòè÷åñêàÿ ñóììà âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ, ãäå
p F
L
F
( )1
2 11 �
— ìàêñè-
ìàëüíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ �K ïðè íàëè÷èè íåó÷òåííûõ
ïëîñêîñòåé äåëåíèÿ êëàññèôèêàöèè F.
Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåðà îòëè÷èÿ èìååò âèä
O F
p F O F p F
N L K p F
K
i
N
i i
F
� ( )
( ) ( ) ( )
( )(( ) ( ))
�
�
� � �
�
�1
1
11 2 11
.
Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü � ìîäåëè ðàâíà
O F O F
O F
K K
K
( ) ( )
( )
�
è îòðà-
æàåò ñòåïåíü äîâåðèÿ ê ìîäåëè. Åñëè ïîëîæèòü O F i( ) �1, òî ïîëó÷èì
O F NK ( ) /�1 è
O F
p F K
N L K p F
K
F
� ( )
( )
( )(( ) ( ))
�
�
� � �
1
11 2 11
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
� �
�
� � �
1
1 2
1
1
1
N p F K
N L K K p F
F
( ( ) )
( )( ( ))
.
Åñëè äëÿ äëÿ ëþáûõ p F k( ) è p F k( )�1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
p F p Fk k( ) ( )� �1 èëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî p F p Fk k( ) ( )� �1 , íî íå
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (20), òî âîçíèêàþò ñëåäóþùèå òðóäíîñòè.
Äîïóñòèì, ÷òî òåîðåòè÷åñêè
� ( ) ( )K p F p F
i
N
i
j
M
j� �
� �
� �
1 1
,
ãäå N — ÷èñëî ó÷òåííûõ ïëîñêîñòåé äåëåíèÿ êëàññèôèêàöèè F; M —
÷èñëî íåó÷òåííûõ ïëîñêîñòåé äåëåíèÿ, êîòîðîå íåèçâåñòíî. Ïðè ýòîì
min ( ( )) max ( ( ))p F p Fi j� . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ âû÷èñëèòü
�K íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòü ñòåïåíü äî-
âåðèÿ ê ìîäåëè
O F
NK
O F p FK
i
N
i i( ) ( ) ( )�
�
�
1
1
,
p F p Fk i( ) ( )� �1 ,
(23)
Ã.À. Êðàâöîâ
82 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
òàêæå íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ê ñâîéñòâàì ìîäåëè
ñ íåîïðåäåëåííîé ñòåïåíüþ äîâåðèÿ ìîæíî îòíåñòè ëèøü íåçàâèñèìîñòü
îò ïðèíöèïà âûáîðà ïëîñêîñòåé äåëåíèÿ êëàññèôèêàöèè è ìàñøòàáè-
ðóåìîñòü.
 òàáëèöå ïðåäñòàâëåíû îáîñíîâàíèÿ ñîîòâåòñòâèÿ ïðåäëîæåííîé ìî-
äåëè (23) ïðèíöèïàì ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ [14].
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ìîäåëü (22) ñîîòâåòñòâóåò òåîðåìå Áèðà [15] â
îáùåé òåîðèè ñèñòåì. Ñ.Ò. Áèð äîêàçàë, ÷òî «åñëè æèçíåñïîñîáíàÿ ñèñòåìà
ñîäåðæèò â ñåáå æèçíåñïîñîáíóþ ñèñòåìó, òî èõ îðãàíèçàöèîííûå ñòðóêòóðû
äîëæíû áûòü ðåêóðñèâíû». Ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò âûðàæåíèå (21).
Âûâîäû
Ââåäåíèå íàáîðà îïåðàöèé íà ïëîñêîñòè äåëåíèÿ êëàññèôèêàöèè ïîçâî-
ëèëî ïîêàçàòü, ÷òî îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó êëàññàìè íà ïëîñ-
êîñòè äåëåíèÿ êëàññèôèêàöèè ÿâëÿåòñÿ ìàëîïîëåçíîé ìåðîé. Èñïîëüçóÿ
îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå, óäàëîñü ïîñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêè äîêàçàííóþ
ìåðó îòëè÷èÿ äâóõ êëàññîâ êëàññèôèêàöèè. Êëàññèôèêàöèè ñ íåñêîëü-
êèìè ïëîñêîñòÿìè äåëåíèÿ ðàññìîòðåíû êàê ëîãè÷íîå ðàçâèòèå ïëîñêèõ
êëàññèôèêàöèé. Äîêàçàíî, ÷òî êëàññèôèêàöèè ñ íåñêîëüêèìè ïëîñêîñ-
òÿìè äåëåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.
Ìîäåëü âû÷èñëåíèé íà êëàññèôèêàöèÿõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 83
Ñâîéñòâî
ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
Ñâîéñòâî ïîëó÷åííîé
ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
Ìíîæåñòâåííîñòü Âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü ðàçëè÷íûå êëàññèôèêàöèè
êàê ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
Åäèíñòâî Âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü ðàçëè÷íûå êëàññèôèêàöèè
íåçàâèñèìî îò ñïîñîáà âûáîðà ïëîñêîñòåé äåëåíèÿ
êëàññèôèêàöèè
Êîíå÷íîñòü Êîíå÷íîñòü (îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì N)
Àäåêâàòíîñòü Ïðåäñòàâëåíèå ëþáîé ïëîñêîé êëàññèôèêàöèè îðèåí-
òèðîâàííûì äåðåâîì
Ýôôåêòèâíîñòü Ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå
Ïðîñòîòà Ïðîñòîòà (ëèíåéíî-ðåêóðñèâíàÿ ìîäåëü)
Óñòîé÷èâîñòü Ñîîòâåòñòâóåò ïðèíöèïó ìîíîöåíòðèçìà Áîãäàíîâà
[13], òàê êàê îáëàäàåò åäèíûì öåíòðîì p F N( )
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Association for Information Science and Technology (2015). Conceptual Crowbars and Clas-
sification at the Crossroads: The Impact and Future of Classification Research (SIG/CR). —
[On-line] Available from: https://www.asist.org/events/annual-meeting/annual-meeting-2015/
seminars-and-workshops/conceptual-crowbars-and-classification-at-the-crossroads-the-impact-
and-future-of-classification-research-sigcr/. [Accessed: December, 2015].
2. Îðëîâ À.È. Îðãàíèçàöèîííî-ýêîíîìè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå: òåîðèÿ ïðèíÿòèÿ ðåøå-
íèé —Ì.: ÊÍÎÐÓÑ, 2010. — 568 ñ.
3. Universal Decimal Classification [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://
www.udcsummary.info/. — Íîÿáðü 2015.
4. Ñààòè Ò. Ïðèíÿòèå ðåøåíèé. Ìåòîä àíàëèçà èåðàðõèé. — Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü, 1993. —
278 ñ.
5. Òîöåíêî Â.Ã. Ìåòîäû è ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Àëãîðèòìè÷åñêèé
àñïåêò. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2002. — 382 ñ.
6. Øåðåìåòüåâà Ñ.Î., Îñìèíèí Ï.Ã. Êèáåðëåíèíêà. Ìåòîäû è ìîäåëè àâòîìàòè÷åñêîãî
èçâëå÷åíèÿ êëþ÷åâûõ ñëîâ. [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://cyber-
leninka.ru/article/n/metody-i-modeli-avtomaticheskogo-izvlecheniya-klyuchevyh-slov. —
Íîÿáðü 2015.
7. Èâëåâ Þ.Â. ËÎÃÈÊÀ. Ó÷åáíèê. Èçä.÷åòâåðòîå, ïåð. è äîï. — Ì. : Èçä-âî «Ïðîñïåêò»,
2008. — 304 ñ.
8. Ôåéñ Ê. Àëãåáðà: êîëüöà, ìîäóëè è êàòåãîðèè. Ò. 1. — Ì. : «Ìèð», 1977. — 688 ñ.
9. Áåðçòèññ À. Ñòðóêòóðû äàííûõ. — Ì. : Ñòàòèñòèêà, 1974. — 408 ñ.
10. Øàòàëêèí À.È. Òàêñîíîìèÿ. Îñíîâàíèÿ, ïðèíöèïû è ïðàâèëà. —Ì. : Òîâàðèùåñòâî
íàó÷íûõ èçäàíèé ÊÌÊ, 2012. — 600 ñ.
11. Çàãîðóéêî Í.Ã., Áîðèñîâà È.À., Äþáàíîâ Â.Â., Êóíòåíêî Î.À. Ìåðû ñõîäñòâà, êîìïàêò-
íîñòè, èíôîðìàòèâíîñòè è îäíîðîäíîñòè îáó÷àþùåé âûáîðêè // Òð. Âñåðîñèéñêîé
êîíô. «Çíàíèÿ — Îíòîëîãèè — Òåîðèè» (ÇÎÍÒ-09). Òîì 1. — Íîâîñèáèðñê, 2009. —
Ñ. 93—102.
12. Åëèñååâà È.È., Ðóêàâèøíèêîâ Â.Î. Ãðóïïèðîâêà, êîððåëÿöèÿ, ðàñïîçíàâàíèå îáðàçîâ.
Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññèôèêàöèè è èçìåðåíèÿ ñâÿçåé. — Ì. : Ñòàòèñòèêà, 1977. —
144 ñ.
13. Áîãäàíîâ À.À. Òåêòîëîãèÿ: Âñåîáùàÿ îðãàíèçàöèîííàÿ íàóêà. —Ì. : «Ôèíàíñû», 2003. —
287 c.
14. Ñàìàðñêèé À.À., Ìèõàéëîâ À.Ï. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå: Èäåè. Ìåòîäû. Ïðè-
ìåðû. — Ì. : Ôèçìàòëèò, 2001. — 320 ñ.
15. Áèð Ñ.Ò. Ìîçã ôèðìû. — Ì. : «Åäèòîðèàë ÓÐÑÑ», 2005. — 416 c.
H.À. Kravtsov
MODEL OF COMPUTATIONS OVER CLASSIFICATIONS
The article presents results of theoretical research of a model of calculations over classifications.
Based on the mathematical structure tree a set of operations is proposed, which permits one to de-
termine a measure for plane classifications. Classifications with several division planes are a met-
ric space and are considered as logical development of plane classification used in the problems
of experts’ selection. It has been shown that the obtained model satisfies principles of mathemati-
cal modeling.
K e y w o r d s: flat classification, spatial classification, measure, relative distance, absolute dis-
tance, computing model.
Ã.À. Êðàâöîâ
84 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
REFERENCES
1. Association for Information Science and Technology (2015), Conceptual Crowbars and Classifi-
cation at the Crossroads: The Impact and Future of Classification Research (SIG/CR), available
at: https://www.asist.org/events/annual-meeting/annual-meeting-2015/seminars-and-work-
shops/conceptual-crowbars-and-classification-at-the-crossroads-the-impact-and-future-of-
classification-research-sigcr/ (accessed December, 2015).
2. Orlov, A.I. (2011), Organizatsionno-economicheskoe modelirovanie: teoriya prinyatiya reshe-
niy [Organizational-economic modeling:decision making theory], KNORUS, Moscow, Russia.
3. Universal Decimal Classification, available at: http://www.udcsummary.info/ [accessed
December, 2015]
4. Saaty, Ò. (1993), Prinyatie resheniy. Metod analiza ierarhiy [Decission making. Hierarchy
analysis method], Radio i svyaz, Moscow, Russia.
5. Totsenko, V. (2002), Metody i sistemy podderzhki prinyatiya resheniy. Algoritmicheskiy as-
pect [Methods and systems of decision making support. Algorithmic aspect], Naukova
dumka, Kiev, Ukraine.
6. Sheremetyeva, S.O. and Osminin, P.G. Kiberleninka. The methods and models of automatic
keyword extracting, available at: http://cyberleninka.ru/article/n/metody-i-modeli-avtoma-
ticheskogo-izvlecheniya-klyuchevyh-slov (accessed December, 2015)
7. Ivlev, Yu.V. (2008), Logika [Logic], Manual, 4th ed., rev. and ad., Prospekt, Moscow, Russia.
8. Feys, K. (1977), Algebra: koltsa, moduli i kategorii. Tom I [Algebra: rings, modules and catego-
ries. Vol. 1], Mir, Moscow, Russia.
9. Berztiss, A. (1974), Struktury dannykh [Data structures], Statistika, Moscow, Russia.
10. Shatalkin, A.I. (2012), Taksonomiya. Osnovy, printsipy i pravila [Taxonomy. Fundamentals,
principles and rules], Tovarishchestvo nauchnykh publikatsiy «KMK», Moscow, Russia.
11. Zagoruyko, N.G., Borisova, I.A., Dyubanov, V.V. and Kuntenko, O.A. (2009), “Extents of
similarity, compactness, informativeness and uniformity of a training sample”, Trudy vse-
rossiyskoi kohferentsii “Znaniya — Ontologii — Teorii” (ZONT-09) [Proceedings of All-
Russian Conf. Knowledge-Ontology-Theories (ZONT-09)], Novosibirsk, 2009, Vol. 1.,
pp. 93-102.
12. Eliseeva, I.I. and Rukavishnikov, V.O. (1977), Gruppirovka, korrelyatsiya, raspoznavaniye
obrazov. Statisticheskiye metody klassifikatsii i izmereniya svyazei [Grouping, correlation
and image recognition. Statistical methods of classification and relation measurement],
Statistika, Moscow, Russia.
13. Bogdanov, A.A. (2003), Tektologiya: Vseobshchaya organizatsionnaya nauka [Tectology:
Universal organizational science], Finansy, Moscow, Russia.
14. Samarsky, A.A. and Mikhailov, A.P. (2001), Matematicheskoye modelirovaniye: Idei, meto-
dy, primery [Mathematical modeling: Ideas, methods, examples], Fizmatlit, Moscow, Russia.
15. Beer S.T. (2005), Mozg firmy [Brain of the firm], Editorial URSS, Moscow, Russia.
Ïîñòóïèëà 23.11.15;
ïîñëå äîðàáîòêè 14.01.16
ÊÐÀÂÖÎÂ Ãðèãîðèé Àëåêñååâè÷, êàíä.òåõí.íàóê, äîêòîðàíò Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â
ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  2000 ã. îêîí÷èë Ñåâàñòîïîëüñêèé âîåííî-ìîðñêîé
èí-ò èì. Ï.Ñ. Íàõèìîâà. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå,
êèáåðáåçîïàñíîñòü ñìàðò-ãðèä, êðèïòîãðàôèÿ, ðàçðàáîòêà ðàñïðåäåëåííûõ ãåòåðîãåííûõ
âû÷èñëèòåëüíûõ ñèñòåì.
Ìîäåëü âû÷èñëåíèé íà êëàññèôèêàöèÿõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 85
|