Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем
Обоснована необходимость замены функции Ферхюльста, входящей в состав математических моделей естественных систем взаимодействия «хищник — жертва», функцией, являющейся решением нелинейного дифференциального уравнения первого порядка, формирующего обобщенную модель эволюции естественных систем....
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2016
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101348 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем / А.В. Маевский // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 2. — С. 105-115. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-101348 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1013482016-06-03T03:01:58Z Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем Маевский, А.В. Применение методов и средств моделирования Обоснована необходимость замены функции Ферхюльста, входящей в состав математических моделей естественных систем взаимодействия «хищник — жертва», функцией, являющейся решением нелинейного дифференциального уравнения первого порядка, формирующего обобщенную модель эволюции естественных систем. Обґрунтовано необхідність заміни функції Ферхюльста, яка входить до складу математичних моделей природних систем взаємодії «хижак — жертва», функцією, яка є розв’язком нелінійного диференціального рівняння першого порядку, котре формує узагальнену модель еволюції природних систем. A necessity is substantiated to replace the logistic function in the mathematical models of «predator-prey» natural systems with the function suggested as a solution for the first-order non-linear differential equation that builds a generalized model of natural system evolution. 2016 Article Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем / А.В. Маевский // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 2. — С. 105-115. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101348 004.942 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования |
| spellingShingle |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Маевский, А.В. Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем Электронное моделирование |
| description |
Обоснована необходимость замены функции Ферхюльста, входящей в состав математических моделей естественных систем взаимодействия «хищник — жертва», функцией, являющейся решением нелинейного дифференциального уравнения первого порядка, формирующего обобщенную модель эволюции естественных систем. |
| format |
Article |
| author |
Маевский, А.В. |
| author_facet |
Маевский, А.В. |
| author_sort |
Маевский, А.В. |
| title |
Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем |
| title_short |
Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем |
| title_full |
Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем |
| title_fullStr |
Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем |
| title_full_unstemmed |
Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем |
| title_sort |
решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Применение методов и средств моделирования |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101348 |
| citation_txt |
Решение задачи идентификации рабочих параметров математической модели процесса динамики экологических систем / А.В. Маевский // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 2. — С. 105-115. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT maevskijav rešeniezadačiidentifikaciirabočihparametrovmatematičeskojmodeliprocessadinamikiékologičeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-07T10:46:24Z |
| last_indexed |
2025-07-07T10:46:24Z |
| _version_ |
1836984760240439296 |
| fulltext |
ÓÄÊ 004.942
À.Â. Ìàåâñêèé,
Æèòîìèðñêèé íàöèîíàëüíûé àãðîýêîëîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 10008, Æèòîìèð, Ñòàðûé áóëüâàð, 7,
e-mail: AlexBEL740@gmail.com)
Ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè
ðàáî÷èõ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
ïðîöåññà äèíàìèêè ýêîëîãè÷åñêèõ ñèñòåì
Îáîñíîâàíà íåîáõîäèìîñòü çàìåíû ôóíêöèè Ôåðõþëüñòà, âõîäÿùåé â ñîñòàâ ìàòåìà-
òè÷åñêèõ ìîäåëåé åñòåñòâåííûõ ñèñòåì âçàèìîäåéñòâèÿ «õèùíèê — æåðòâà», ôóíêöèåé,
ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì íåëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà, ôîð-
ìèðóþùåãî îáîáùåííóþ ìîäåëü ýâîëþöèè åñòåñòâåííûõ ñèñòåì.
Îá´ðóíòîâàíî íåîáõ³äí³ñòü çàì³íè ôóíêö³¿ Ôåðõþëüñòà, ÿêà âõîäèòü äî ñêëàäó ìàòåìàòè÷-
íèõ ìîäåëåé ïðèðîäíèõ ñèñòåì âçàºìî䳿 «õèæàê — æåðòâà», ôóíêö³ºþ, ÿêà º ðîçâ’ÿçêîì
íåë³í³éíîãî äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ïîðÿäêó, êîòðå ôîðìóº óçàãàëüíåíó
ìîäåëü åâîëþö³¿ ïðèðîäíèõ ñèñòåì.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ôóíêöèÿ Ôåðõþëüñòà, îáîáùåííàÿ ìîäåëü ýâîëþöèè åñòåñòâåííûõ
ñèñòåì, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, èäåíòèôèêàöèÿ ðàáî÷èõ ïàðàìåòðîâ.
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññîâ äèíàìèêè â ýêîñèñòåìàõ [1] çíà÷èòåëüíîå
ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëà ôóíêöèÿ Ôåðõþëüñòà [2, 3], ÿâëÿþùàÿñÿ ðå-
øåíèåì èçâåñòíîãî íåëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî
ïîðÿäêà:
dx t
dt
x t a x t
( )
( ) ( )� �� 0
2 . (1)
Èçâåñòíî, ÷òî ïðè èññëåäîâàíèè ïðîöåññîâ äèíàìèêè ñ ïîìîùüþ ôóíê-
öèè Ôåðõþëüñòà è ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íà îñíîâå ýòîé
ôóíêöèè ïðèñóòñòâóþò íåïðîãíîçèðóåìûå èçìåíåíèÿ â äèíàìèêå ïðîöåññîâ,
êîòîðûå ìîãóò áûòü äîñòàòî÷íî çíà÷èòåëüíûìè è ïðèâîäèòü ê íåäîñ-
òîâåðíûì ðåçóëüòàòàì ìîäåëèðîâàíèÿ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ íåäîñòàòêàìè ôóíê-
öèè Ôåðõþëüñòà, òàê êàê ïðè åå ñîçäàíèè ñ÷èòàëèñü ñòàáèëüíûìè óñëîâèÿ
ðàçâèòèÿ ýêîñèñòåì è íå ó÷èòûâàëèñü ïîçèòèâíûå è íåãàòèâíûå ôàêòîðû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 105
� À.Â. Ìàåâñêèé, 2016
âëèÿíèÿ âíåøíåé ñðåäû. Äëÿ ó÷åòà ýòèõ ôàêòîðîâ áóäåì èñïîëüçîâàòü
îáîáùåííóþ ìîäåëü ýâîëþöèè ñèñòåì [4, 5]:
( ( ))
( )
( ) ( )1 1 0
2� � �a x t
dx t
dt
x t a x t� , (2)
ãäå x — ÷èñëî ýëåìåíòîâ ýêîñèñòåìû; � — ïîòåíöèàë ýêñïîíåíöèàëüíîãî
ðîñòà; a1, a0 — ïàðàìåòðû, ñäåðæèâàþùèå ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàçâèòèå
ýêîñèñòåìû.
Ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé (1) è (2) ïîç-
âîëèëî îïèñàòü ïðîöåññû äèíàìèêè ýêîñèñòåì ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ âíåøíåé
ñðåäû äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ «õèùíèê — æåðòâà» ñ ýôôåêòîì äèôôóçèè [6, 7]
è áåç íåãî.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàí-
íûõ î ÷èñëåííîñòè õèùíèêà è æåðòâû â ïðîöåññå äèíàìèêè ýêîñèñòåìû
ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì. Ïðè èññëåäîâàíèè ïðîöåññà äèíàìèêè ýêîñèñòåìû
äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ õèùíèê — æåðòâà âìåñòî ôóíêöèè Ôåðõþëüñòà (1)
áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ ìîäåëü ýâîëþöèè ñèñòåì (2), ÷òî äîëæ-
íî îáåñïå÷èòü áîëåå âûñîêóþ òî÷íîñòü ïðîãíîçèðîâàíèÿ ÷èñëåííîñòè îñî-
áåé õèùíèêà è æåðòâû â äèíàìè÷åñêîì ïðîöåññå è ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîò-
íîñòè îñîáåé íà åäèíèöó ïëîùàäè. Ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ïàðà-
ìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèÿ õèùíèê — æåðòâà ñôîð-
ìèðóåì íà îñíîâàíèè îáîáùåííîé ìîäåëè ýâîëþöèè ñèñòåì (2).
Çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé îòíîñèò-
ñÿ ê îáúåêòó ñèñòåìíîãî õàðàêòåðà ñ ìàëûì îáúåìîì äîñòîâåðíûõ èñõîäíûõ
äàííûõ î åãî âíóòðåííèõ ñâîéñòâàõ è ñòðóêòóðíûõ îñîáåííîñòÿõ.
Èçâåñòíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü õèùíèê — æåðòâà [6], ïðåäíàçíà-
÷åííàÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà îñîáåé õèùíèêà è æåðòâû, ïðåäñòàâëåíà â
âèäå ñèñòåìû äâóõ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé,
dx
dt
a x x z
dz
dt
b z x x
� � � �
� � �
0
2
0
2
� �
� �
,
,
(3)
ãäå íå ó÷èòûâàåòñÿ ýôôåêò äèôôóçèè. Ñ ó÷åòîì (2) äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ (3) ïðåîáðàçóþòñÿ â ñèñòåìó
( ) ,
( ) ,
1
1
1 0
2
1 0
2
� � � � �
� � � �
a x
dx
dt
a x x z
b x
dz
dt
b z x x
� �
� �
(4)
À.Â. Ìàåâñêèé
106 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
ãäå x è z — ÷èñëî ýëåìåíòîâ âçàèìîäåéñòâóþùèõ åñòåñòâåííûõ ñèñòåì; �
è � — ïîòåíöèàëû ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðîñòà; a1, b1, a0, b0 — ïàðàìåòðû,
ñäåðæèâàþùèå ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàçâèòèå åñòåñòâåííûõ ñèñòåì, â êîòî-
ðûõ òàêæå íå ó÷òåí ýôôåêò äèôôóçèè.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âçàèìîäåéñòâóþùèõ åñòåñòâåííûõ ñèñòåì,
ó÷èòûâàþùàÿ ýôôåêò äèôôóçèè [3, 7], ïðåäíàçíà÷åííàÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ
÷èñëà îñîáåé õèùíèêà è æåðòâû íà åäèíèöå ïëîùàäè, ïðåäñòàâëåíà ñèñ-
òåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ÷àñòíûìè
ïðîèçâîäíûìè
�
�
����
�
x
t
cz x D
x
z
t
x z D
z
x
z
� �
� �
( ) ,
( ) ,
2
2
2
2
(5)
ãäå t — âðåìÿ; � — ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîîðäèíàòà; x t( , )� è z t( , )� — ïëîò-
íîñòü ýëåìåíòîâ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñèñòåì íà åäèíèöó ïëîùàäè (1 êì2);
Ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ðàáî÷èõ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 107
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ìîäåëü
a1 � a0
Îáîáùåííàÿ ìîäåëü
ýâîëþöèè ñèñòåì –2,578
10–5 ± 2,874
10–6 2,5
10–2 ± 1,96
10–1 5,88
10–7 ± 4,582
10–6
Ôóíêöèÿ
Ôåðõþëüñòà 0 2,505 ± 19,008 6,42
10–5 ± 4,334
10–4
Òàáëèöà 1. Ðàáî÷èå ïàðàìåòðû ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé (1), (2) ïðîöåññà äèíàìèêè
ýêîñèñòåìû íà òåððèòîðèè Óêðàèíû
Ìîäåëü � � � a0 b0 a1 b1
(3) 5,43
10–1±
±2,785
6,893±
±21,537
–96,335±
±321,671
3,173
10–6±
±2,55
10–5
–6,64
10–6±
±2,1
10–2 0 0
(4) –8,8
10–2±
±0,482
–0,262±
±3,712
–0,546±
±81,337
–8,70
10–7±
±9,864
10–6
–7,44
10–4±
±6,568
10–3
–1,53
10–5±
±6,318
10–6
–1,287
10–3±
±3,169
10–3
Òàáëèöà 2. Ðàáî÷èå ïàðàìåòðû ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé (3), (4)
Ìîäåëü
� � c Dx Dz a1 b1
(5) 3,411±
±148,004
0,077±
±1,499
0,029±
±0,501
3,411±
±148,004
161,001±
±711,352
131,168±
±506,301
0 0
(6) 0,655±
±29,519
1,095 ·10–3±
±0,048
9,237 ·10–4±
±0,015
1,246±
±60,993
24,324±
±676,456
0,482±
±62,83
–0,275±
±0,541
–2,059±
±0,542
Òàáëèöà 3. Ðàáî÷èå ïàðàìåòðû ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé (5), (6)
� c� �� � — êîýôôèöèåíòû âëèÿíèÿ íà ýêñïîíåíòíûé ðîñò ïðîöåññà äèíà-
ìèêè åñòåñòâåííûõ ñèñòåì; Dx , D z — êîýôôèöèåíòû, õàðàêòåðèçóþùèå
õàîòè÷åñêîå äâèæåíèå ñîñòàâëÿþùèõ ýëåìåíòîâ ýòèõ ñèñòåì â ïðîñòðàíñòâå
(â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îäíîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî).
Íà îñíîâàíèè îáîáùåííîé ìîäåëè ýâîëþöèè ñèñòåì (2) è óðàâíåíèé
(5) ïîëó÷àåì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü âçàèìîäåéñòâèÿ õèùíèê — æåðòâà,
ó÷èòûâàþùóþ êàê ýôôåêò äèôôóçèè, òàê è âëèÿíèå âíåøíåé ñðåäû:
( ) ( ) ,
( ) ( )
1
1
1
2
2
1
� � �
� � �
a x
x
t
cz x D
x
b z
z
t
x z
x
�
�
���� D
z
z
�
2
2
,
(6)
ãäå a1, b1 — ïàðàìåòðû, ó÷èòûâàþùèå âëèÿíèå âíåøíåé ñðåäû.
Çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ðàáî÷èõ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé
äèíàìèêè åñòåñòâåííûõ ñèñòåì (1)—(6) ðåøåíû íà ïðèìåðå äèíàìèêè
À.Â. Ìàåâñêèé
108 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
0 1 2 3 �
Ðèñ. 2. Íàïðàâëåíèå � èññëåäîâàíèÿ ñ êîíòðîëüíûìè òî÷êàìè è øàãîì 20 êì
1
3
2
4
1 2 3 4
8 10�
4
6 10
4
�
4 10
4
�
õ
à
1
3
2
4
1 2 3 4 t
1 10
4
�
9 10
3
�
8 10
3
�
7 10
3
�
6 10
3
�
5 10
3
�
z
á
1
3
24
1 2 3 4
8 10
4
�
6 10
4
�
4 10
4
�
â
1 3
2
4
1 2 3 4 t
1 10
4
�
8 10
3
�
4 10
3
�
6 10
3
�
2 10
3
�
ã
Ðèñ. 1. Äèíàìèêà èçìåíåíèÿ ÷èñëåííîñòè õèùíèêà è æåðòâû ñîãëàñíî ìàòåìàòè÷åñêèì
ìîäåëÿì (3) (à, á) è (4) (â, ã): à, â — æåðòâà; á, ã — õèùíèê; 1, 2 — ãðàíèöû ðåçóëüòàòîâ
ìîäåëèðîâàíèÿ; 3, 4 — äîïóñòèìûå ãðàíèöû ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ
Ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ðàáî÷èõ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 109
Ìàòå-
ìàòè÷åñêàÿ
ìîäåëü
Ïëîò-
íîñòü
2005 ã. 2006 ã.
1 2 1 2
øò/êì
2 Ð øò/êì
2 Ð øò/êì
2 Ð øò/êì
2 Ð
(5) X < 8 >0,49 < 8 0 < 8 0 < 8 0
Z < 0,75 >0,9 < 0,75 0 < 0,75 >0,88 < 0,75 0
(6) X < 8 >0,58 < 8 >0,49 < 8 0 < 8 0
Z < 0,75 >0,93 < 0,75 >0,97 < 0,75 >0,88 < 0,75 >0,6
Òàáëèöà 4. Âåðîÿòíîñòè Ð ãðàíèö ïëîòíîñòè æåðòâû X è õèùíèêà Z
â êîíòðîëüíûõ òî÷êàõ 1 è 2 (ñì. ðèñ. 2)
Ðèñ. 3. Ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè æåðòâû, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ (5), â êîíòðîëüíûõ òî÷-
êàõ 1 (à) è 2 (á) â 2005 ã. è â êîíòðîëüíûõ òî÷êàõ 1 (â) è 2 (ã) â 2006 ã.
÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèé íåêîòîðûõ âèäîâ æèâîòíûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì
ñóùåñòâóþùèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ ñ äîïóñòèìûìè ãðàíèöàìè îòê-
ëîíåíèé.
Ðåøåíèå îñóùåñòâëÿëîñü ïîñðåäñòâîì ôîðìèðîâàíèÿ âåêòîðîâ ñëó-
÷àéíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ èç óñòàíîâëåííîãî äèàïàçîíà. Ïîëó÷åíû
âåêòîðû ðàáî÷èõ ïàðàìåòðîâ è âûïîëíåíî âû÷èñëåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ
ñðåäíèõ çíà÷åíèé è ñòàíäàðòíûõ îòêëîíåíèé. Äëÿ ðåàëèçàöèè ïðåäëîæåí-
íîãî ðåøåíèÿ èñïîëüçîâàí ïðîãðàììíûé ïàêåò Mathcad 15.0.
À.Â. Ìàåâñêèé
110 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
Ðèñ. 4. Ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè õèùíèêà, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ (5), â êîíòðîëüíûõ
òî÷êàõ 1 (à) è 2 (á) â 2005 ã. è â òî÷êàõ 1 (â) è 2 (ã) â 2006 ã.
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ðà-
áî÷èõ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé (1) è (2) ïðîöåññà äèíàìèêè
ýêîñèñòåìû íà ïðèìåðå ïîïóëÿöèè êàáàíà íà òåððèòîðèè Óêðàèíû. Ïîëó-
÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò ðåøàòü çàäà÷ó Êîøè ñ ÷àñòè÷íîé íåîïðåäå-
ëåííîñòüþ â íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ äëÿ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé,
ïðåäñòàâëÿþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íà îñíîâå ôóíêöèè Ôåðõþëüñòà
è îáîáùåííîé ìîäåëè ýâîëþöèè ñèñòåì. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ èäåíòèôè-
êàöèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèÿ õèùíèê — æåðòâà äëÿ
Ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ðàáî÷èõ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 111
Ðèñ. 5. Ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè æåðòâ, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ (6), â êîíòðîëüíûõ òî÷êàõ
1 (à) è 2 (á) â 2005 ã. è â êîíòðîëüíûõ òî÷êàõ 1 (â) è 2 (ã) â 2006 ã.
ïàðû ëèñà — çàÿö íà ïðèìåðå äàííûõ ïî Æèòîìèðñêîé îáëàñòè ñ èñïîëü-
çîâàíèåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé (3) è (4) ïðèâåäåíû â òàáë. 2.
Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñ ÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòüþ â íà÷àëüíûõ
óñëîâèÿõ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè (3) åñòåñòâåííûõ ñèñòåì õèùíèê —
æåðòâà, ïîñòðîåííîé íà îñíîâå ôóíêöèè Ôåðõþëüñòà, ïðåäñòàâëåíî íà
ðèñ. 1, à, á, à íà ðèñ. 1 â, ã, ïðåäñòàâëåíî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñ ÷àñòè÷íîé
íåîïðåäåëåííîñòüþ â íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ äëÿ îáîáùåííîé ìàòåìàòè÷åñ-
êîé ìîäåëè (4) åñòåñòâåííûõ ñèñòåì òèïà õèùíèê — æåðòâà.
À.Â. Ìàåâñêèé
112 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
Ðèñ. 6. Ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè õèùíèêà, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ (6), â êîíòðîëüíûõ
òî÷êàõ 1 (à) è 2 (á) â 2005 ã. è â êîíòðîëüíûõ òî÷êàõ 1 (â) è 2 (ã) â 2006 ã.
Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé (5) è (6) ðàáî÷èå ïàðàìåòðû èäåíòèôè-
êàöèè ïðèâåäåíû â òàáë. 3. Ïî ðåçóëüòàòàì ìîäåëèðîâàíèÿ óñòàíîâëåíî
ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè õèùíèêà (ëèñà) è æåðòâû (çàÿö) íà åäèíèöó
ïëîùàäè (1 êì2) ñ øàãîì 20 êì, â òå÷åíèå ãîäà â òî÷êàõ 1 è 2 (äëÿ îäíî-
ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà) (ðèñ. 2). Ñ ó÷åòîì èçâåñòíûõ êðàåâûõ óñëîâèé
ïëîòíîñòü õèùíèêà ñîñòàâëÿåò 0,0—3,0 ýëåìåíòîâ íà 1 êì2, ñðåäíèå çíà-
÷åíèÿ — 0,25—0,75 ýëåìåíòîâ íà 1 êì2; ïëîòíîñòü æåðòâû — 0,0—6,0 ýëå-
ìåíòîâ íà 1êì2, ñðåäíèå çíà÷åíèÿ —1,0—5,0 ýëåìåíòîâ íà 1 êì2 (Æèòî-
ìèðñêàÿ îáëàñòü).
Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
(5) äëÿ òî÷åê 1 è 2 (ñì. ðèñ. 2) äëÿ æåðòâû è õèùíèêà â 2005 è 2006 ãã.
ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 3 è 4.
Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàòåìàòè-
÷åñêîé ìîäåëè (6), äëÿ òî÷åê 1 è 2 (ñì. ðèñ. 2) â 2005 è 2006 ãã. äëÿ ïëîòíîñ-
òè æåðòâû è õèùíèêà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5 è 6.
Çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé ãðàíèö ïëîòíîñòè æåðòâû (< 8 øò/êì2) è õèù-
íèêà (< 0,75 øò/êì2) ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 4.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàòåìàòè-
÷åñêèõ ìîäåëåé (5) è (6) ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ìîäåëü (6) áîëåå ýô-
ôåêòèâíà, òàê êàê ó÷èòûâàåò âëèÿíèå âíåøíåé ñðåäû è ïîçâîëÿåò ïîâû-
ñèòü òî÷íîñòü ìîäåëèðîâàíèÿ ïëîòíîñòåé õèùíèêà è æåðòâû íà åäèíèöó
ïëîùàäè.
Âûâîäû
Ïðè èññëåäîâàíèè âçàèìîäåéñòâèÿ õèùíèê — æåðòâà çàìåíà ôóíêöèè
Ôåðõþëüñòà íà îáîáùåííóþ ìîäåëü ýâîëþöèè ñèñòåì îáåñïå÷èâàåò áîëåå
âûñîêóþ òî÷íîñòü ïðîãíîçèðîâàíèÿ ÷èñëåííîñòè îñîáåé õèùíèêà è æåðò-
âû â äèíàìè÷åñêîì ïðîöåññå ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè îñîáåé íà åäèíèöó
ïëîùàäè.
Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ÷èñëåííîñòè æåðòâ è õèùíèêà
ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé (3) è (4) ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î
öåëåñîîáðàçíîñòè ïðèìåíåíèÿ ìîäåëè (4) äëÿ èçó÷åíèÿ ïðîöåññà äèíàìè-
êè â ýêîëîãè÷åñêèõ ñèñòåìàõ õèùíèê — æåðòâà. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü
(3) ïðè ïðîãíîçèðîâàíèè äèíàìèêè ÷èñëåííîñòè æåðòâ è õèùíèêà ñðîêîì
íà îäèí ãîä ñ ïîãðåøíîñòüþ â ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ +20 — –10% äàåò
ñðåäíþþ îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ 25%
äëÿ ÷èñëåííîñòè æåðòâ. Äëÿ ÷èñëåííîñòè õèùíèêà, ðåçóëüòàòû ìîäåëèðî-
âàíèÿ íå àäåêâàòíû (ïîòåðÿ äîïóñòèìûõ ãðàíèö ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ ñ
ïåðâîãî øàãà ïðîãíîçèðîâàíèÿ). Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü (4) ïðè ïðîãíî-
çèðîâàíèè äèíàìèêè ÷èñëåííîñòè æåðòâ è õèùíèêà ñðîêîì íà îäèí ãîä
Ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ðàáî÷èõ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 113
ïðè ïîãðåøíîñòè â ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ +20 — –10 % îáåñïå÷èâàåò
ñðåäíþþ îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ 5,8 %
äëÿ ÷èñëåííîñòè æåðòâ è 15 % äëÿ ÷èñëåííîñòè õèùíèêà.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü (5) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå ïëîò-
íîñòè æåðòâ ñî ñðåäíåé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ 26,17 % è ðàñïðåäå-
ëåíèå ïëîòíîñòè õèùíèêà ñî ñðåäíåé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ 1,6 %
â êîíòðîëüíûõ òî÷êàõ ñ øàãîì 20 êì ïðè äèàïàçîíå ñòàòèñòè÷åñêèõ äàí-
íûõ ïëîòíîñòè æåðòâ 3 ± 2 øò/êì2 è 0,5 ± 0,25 øò/êì2 äëÿ ïëîòíîñòè õèùíè-
êà. Êðîìå òîãî, ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè (5) ïîëó÷åíû
çíà÷èòåëüíûå âåëè÷èíû äèñïåðñèé ïëîòíîñòè õèùíèêà è æåðòâû è, êàê
ñëåäñòâèå, ñóùåñòâóåò âåðîÿòíîñòü áîëüøèõ îòêëîíåíèé îò ñðåäíèõ çíà-
÷åíèé ïëîòíîñòè.  ñâÿçè ñ ýòèì î÷åâèäíî ïðåèìóùåñòâî ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëè (6), êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò óìåíüøåíèå äèñïåðñèè çíà÷åíèé ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè õèùíèêà è æåðòâû, à òàêæå ïîçâîëÿåò ïðîãíîçè-
ðîâàòü ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè õèùíèêà è æåðòâû â òåêóùåì ãîäó â
êîíòðîëüíûõ òî÷êàõ ñ øàãîì 20 êì â âûáðàííîì íàïðàâëåíèè ñî ñðåäíåé
îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ 14,93 % äëÿ æåðòâ è 1,5 % äëÿ õèùíèêà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Áèãîí Ì., Õàðïåð Äæ., Òàóíñåíä Ê. Ýêîëîãèÿ: îñîáè, ïîïóëÿöèè è ñîîáùåñòâà. Â 2-õ
òîìàõ. Ò. 1. Ïåð. ñ àíãë. ïîä. ðåä. À.Ì. Ãèëÿðîâà. — Ì. : Ìèð, 1989. — 667 ñ.
2. ϳëüêåâè÷ ².À. Ìîäåëþâàííÿ ³ ïðîãíîçóâàííÿ äèíàì³êè ÷èñåëüíîñò³ ìèñëèâñüêèõ
òâàðèí . — Æèòîìèð : Âèä-âî ÆÄÓ ³ì. ².Ôðàíêà, 2012. — 128 ñ.
3. Ðèçíè÷åíêî Ã.Þ., Ðóáèí À.Á. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè áèîëîãè÷åñêèõ ïðîäóêöèîí-
íûõ ïðîöåññîâ. — Ì. : Èçä-âî ÌÃÓ, 1993. — 302 ñ.
4. Ãðàáàð ².Ã.,Òèìîí³í Þ.Î. , Áðîäñüêèé Þ.Á. Óí³âåðñàëüíà ìîäåëü ñèñòåìè: ìåòîäîëî-
ã³÷íèé àñïåêò // ³ñ. ÆÍÀÅÓ : íàóêîâî-òåîð. çá. — 2009. — ¹ 1. — Ñ. 358—366.
5. Òèìîí³í Þ.Î. Ïðèíöèïè åíåðãåòè÷íî¿ âçàºìî䳿 ñèñòåì // ³ñí. ƲҲ. — 1999. — ¹ 9. —
Ñ. 150—155.
6. Ðèçíè÷åíêî Ã.Þ., Ðóáèí À.Á. Áèîôèçè÷åñêàÿ äèíàìèêà ïðîäóêöèîííûõ ïðîöåññîâ.
Ñåðèÿ «Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîëîãèÿ, áèîôèçèêà». — Èæåâñê : Èí-ò êîìïüþòåðíûõ
èññëåäîâàíèé, 2004. — 464 ñ.
7. Òèõîíîâ À.Í., Ñàìàðñêèé À.À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì. : Íàóêà,
1966. — 724 ñ.
A.V. Mayevskyi
SOLVING THE PROBLEM OF OPERATING VARIABLES IDENTIFICATION
IN THE MODELS OF NATURAL SYSTEM DYNAMICS
A necessity is substantiated to replace the logistic function in the mathematical models of «preda-
tor-prey» natural systems with the function suggested as a solution for the first-order non-linear
differential equation that builds a generalized model of natural system evolution.
À.Â. Ìàåâñêèé
114 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
K e y w o r d s: logistic function, generalized model of natural system evolution, differential
equation, operating variables identification.
REFERENCES
1. Bigon, M., Harper, J. and Townsend, C. (1989), Ekologiya: osobi, populyatsii i soobschestva
[Ecology: individuals, populations and communities], in 2 vol., Vol. 1., Translated by Gilya-
rov, A.M., Mir, Moscow, Russia.
2. Pilkevych, I.A. (2012), Modelyuvannya i prognozuvannya dynamiki chiselnosti myslyvskykh
tvaryn [Modeling and prediction of game population number dynamics], ZhDU im. I. Franko,
Zhytomyr, Ukraine.
3. Riznichenko, G.Yu. and Rubin, A.B. (1993), Matematicheskie modeli biologicheskikh pro-
duktsionnykh protsessov [Mathematical models of biologic production processes], MGU,
Moscow, Russia.
4. Grabar, I.G., Timonin, Yu.A. and Brodsky, Yu.B. (2009), “Universal model systems: methodo-
logical aspect”, Visnyk ZhNAEU: Naukovo-teoret. zb., no. 1, pp. 358-366.
5. Timonin, Yu.O. (1999), “Principles of energy interaction systems”, Visnyk ZhITI, no. 9, pp. 150-
155.
6. Riznichenko, G.Yu. and Rubin, A.B. (2004), Biofizicheskaya dinamika produktsionnykh pro-
tsesov. Seriya: Matematicheskaya biologiya, biofizika [Biophysical dynamics of production
processes. Series: Mathematical biology, biophysics], Izhevsk Institute for Computer Studies,
Izhevsk, Russia.
7. Tikhonov, A.N. and Samarskiy, A.A. (1966), Uravneniya matematicheskoi fiziki [Equations
of mathematical physics], Nauka, Moscow, Russia.
Ïîñòóïèëà 23.02.16
ÌÀÅÂÑÊÈÉ Àëåêñàíäð Âëàäèìèðîâè÷, àññèñòåíò êàôåäðû êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé è ìî-
äåëèðîâàíèÿ ñèñòåì Æèòîìèðñêîãî íàöèîíàëüíîãî àãðîýêîëîãè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà.  1999 ã.
îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé àýðîêîñìè÷åñêèé óíèâåðñèòåò (ÕÀÈ). Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå åñòåñòâåííûõ ñèñòåì, ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ ñòîõàñ-
òè÷åñêîé ïðèðîäû.
Ðåøåíèå çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ðàáî÷èõ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 115
|