Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах

На основе интегро-дифференциальных уравнений построена математическая модель нестационарного магнитогидродинамического процесса в осесимметричном электротехническом устройстве с жидким проводником. С применением декомпозиции задача сводится к решению двух подзадач: электромагнитной и гидродинамическ...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Жильцов, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2009
Назва видання:	Электронное моделирование
Теми:	Математические методы и модели
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101426
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах / А.В. Жильцов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 3-20. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-101426
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1014262016-06-04T03:02:04Z Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах Жильцов, А.В. Математические методы и модели На основе интегро-дифференциальных уравнений построена математическая модель нестационарного магнитогидродинамического процесса в осесимметричном электротехническом устройстве с жидким проводником. С применением декомпозиции задача сводится к решению двух подзадач: электромагнитной и гидродинамической. Особенностью последней является отсутствие в интегро-дифференциальных уравнениях, к решению которых она сводится, производных по пространственным переменным от искомых функций, что устраняет погрешности, вносимые в конечный результат от их аппроксимации конечномерными аналогами. На основі інтегро-диференціальних рівнянь побудовано математичну модель нестаціонарного магнітогідродинамічного процесу в вісесиметричному електротехнічному пристрої з рідким провідником. При застосуванні декомпозиції задача зводиться до розв’язання двох підзадач: електромагнітної та гідродинамічної. Особливістю останньої є відсутність в інтегро-диференціальних рівняннях, до розв’язання яких вона зводиться, похідних по просторовим змінним від шуканих функцій, що усуває похибки, внесені в кінцевий результат від їхньої апроксимації скінченновимірними аналогами. The mathematical model of a non-stationary magnetohydrodynamic process in the axially symmetric electrical engineering device with a fluid conductor is constructed on the basis of the integro-differential equations. Due to decomposition the problem is reduced to the solution of two subtasks: electromagnetic and hydrodynamic ones. A distinction of the latter subtask is the absence in the integro-differential equations, to which solution it is reduced, the space variable derivatives of decision functions that eliminates the errors brought to the end result from their approximation by finite-dimensional analogs. 2009 Article Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах / А.В. Жильцов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 3-20. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101426 681.3:519.711.3:517.958:621.313 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математические методы и модели Математические методы и модели
spellingShingle	Математические методы и модели Математические методы и модели Жильцов, А.В. Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах Электронное моделирование
description	На основе интегро-дифференциальных уравнений построена математическая модель нестационарного магнитогидродинамического процесса в осесимметричном электротехническом устройстве с жидким проводником. С применением декомпозиции задача сводится к решению двух подзадач: электромагнитной и гидродинамической. Особенностью последней является отсутствие в интегро-дифференциальных уравнениях, к решению которых она сводится, производных по пространственным переменным от искомых функций, что устраняет погрешности, вносимые в конечный результат от их аппроксимации конечномерными аналогами.
format	Article
author	Жильцов, А.В.
author_facet	Жильцов, А.В.
author_sort	Жильцов, А.В.
title	Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах
title_short	Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах
title_full	Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах
title_fullStr	Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах
title_full_unstemmed	Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах
title_sort	математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Математические методы и модели
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101426
citation_txt	Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах / А.В. Жильцов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 3-20. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT žilʹcovav matematičeskaâmodelʹneustanovivšegosâmagnitogidrodinamičeskogoprocessavosesimmetričnyhélektrotehničeskihustrojstvah
first_indexed	2025-07-07T10:54:45Z
last_indexed	2025-07-07T10:54:45Z
_version_	1836985284727668736
fulltext	ÓÄÊ 681.3:519.711.3:517.958:621.313 À. Â. Æèëüöîâ, êàíä. òåõí. íàóê Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû (Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà 15, òåë.: (044) 4249160, E-mail: azhilt@mail.ru) Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåóñòàíîâèâøåãîñÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà â îñåñèììåòðè÷íûõ ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé) Íà îñíîâå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåñòàöèîíàðíîãî ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà â îñåñèììåòðè÷íîì ýëåêòðîòåõ- íè÷åñêîì óñòðîéñòâå ñ æèäêèì ïðîâîäíèêîì. Ñ ïðèìåíåíèåì äåêîìïîçèöèè çàäà÷à ñâî- äèòñÿ ê ðåøåíèþ äâóõ ïîäçàäà÷: ýëåêòðîìàãíèòíîé è ãèäðîäèíàìè÷åñêîé. Îñîáåííîñòüþ ïîñëåäíåé ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå â èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ, ê ðåøåíèþ êîòîðûõ îíà ñâîäèòñÿ, ïðîèçâîäíûõ ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì îò èñêîìûõ ôóíê- öèé, ÷òî óñòðàíÿåò ïîãðåøíîñòè, âíîñèìûå â êîíå÷íûé ðåçóëüòàò îò èõ àïïðîêñèìàöèè êîíå÷íîìåðíûìè àíàëîãàìè. Íà îñíîâ³ ³íòåãðî-äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ïîáóäîâàíî ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü íåñòàö³î- íàðíîãî ìàãí³òîã³äðîäèíàì³÷íîãî ïðîöåñó â â³ñåñèìåòðè÷íîìó åëåêòðîòåõí³÷íîìó ïðèñò- ðî¿ ç ð³äêèì ïðîâ³äíèêîì. Ïðè çàñòîñóâàíí³ äåêîìïîçèö³¿ çàäà÷à çâîäèòüñÿ äî ðîçâ’ÿçàííÿ äâîõ ï³äçàäà÷: åëåêòðîìàãí³òíî¿ òà ã³äðîäèíàì³÷íî¿. Îñîáëèâ³ñòþ îñòàííüî¿ º â³äñóòí³ñòü â ³íòåãðî-äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿííÿõ, äî ðîçâ’ÿçàííÿ ÿêèõ âîíà çâîäèòüñÿ, ïîõ³äíèõ ïî ïðîñòîðîâèì çì³ííèì â³ä øóêàíèõ ôóíêö³é, ùî óñóâàº ïîõèáêè, âíåñåí³ â ê³íöåâèé ðåçóëüòàò â³ä ¿õíüî¿ àïðîêñèìàö³¿ ñê³í÷åííîâèì³ðíèìè àíàëîãàìè. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ÌÃÄ ïðîöåññ, èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü, ýëåêòðîìàã- íèòíûå ñèëû, æèäêèé ìåòàëë, èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî (ÌÃÄ) ïðîöåññà â ýëåêòðî- òåõíè÷åñêîì óñòðîéñòâå ñ æèäêèì ïðîâîäíèêîì íåîáõîäèìà ïîñòàíîâêà è ðåøåíèå äâóõ ñâÿçàííûõ çàäà÷: ýëåêòðîìàãíèòíîé è ãèäðîäèíàìè÷åñêîé. Ïîñòðîåíèþ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðàñ÷åòà âèõðåâûõ òîêîâ â ñèíóñîè- äàëüíîì ðåæèìå äëÿ îñåñèììåòðè÷íîé ñèñòåìû ïîñâÿùåíà ðàáîòà [1], â êîòîðîé íà îñíîâå ìåòîäà áëî÷íîé èòåðàöèè ïîñòðîåí àëãîðèòì åå êîìïüþ- òåðíîé ðåàëèçàöèè. Îäíàêî íå ìåíåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå íåóñòà- íîâèâøèõñÿ (èìïóëüñíûõ) ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ â ïðîâîäÿùèõ ñðå- äàõ: ïðèìåíåíèå èìïóëüñíîãî ïîëÿ äëÿ âîçäåéñòâèÿ íà êðèñòàëëèçèðóþ- ùèéñÿ ìåòàëë. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 3 �� Â [2] íà îñíîâå ìåòîäà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ïðåäëîæåí ðÿä ìàòåìàòè- ÷åñêèõ ìîäåëåé äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿ ñêîðîñòåé â æèäêîì ìåòàëëå è íà èõ îñíîâå ïðîâåäåí àíàëèç âëèÿíèÿ èìïóëüñíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïðîöåññ åãî ïåðåìåøèâàíèÿ. Âñëåäñòâèå êîíñòðóêòèâíûõ îñîáåííîñòåé ñèñòåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî âîçäåéñòâèÿ íà ìåòàëë â íèõ ïðèñóòñòâóþò ñèëüíûå ìàãíèòíûå ïîëÿ ðàñ- ñåèâàíèÿ, äëÿ ó÷åòà êîòîðûõ ïðè ïðèìåíåíèè êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ íåîáõîäèìî ñóùåñòâåííî óâåëè÷èâàòü ñåòêó ðàçáèåíèÿ ðàñ÷åòíîé îáëàñòè, õîòÿ â ýòîì íåò íåîáõîäèìîñòè, òàê êàê èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ðàñïðåäå- ëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë â æèäêîì ìåòàëëå. Â ýòîì ñëó÷àå îïòèìàëü- íûì (äëÿ óìåíüøåíèÿ ðàñ÷åòíîé îáëàñòè) ÿâëÿåòñÿ ìåòîä èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, íà îñíîâå êîòîðîãî ðàçðàáîòàíà àëãîðèòìè÷åñêàÿ êîìïüòåðíî- îðèåíòèðîâàííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåóñòàíîâèâøåãîñÿ ÌÃÄ ïðîöåñ- ñà â ðàññìàòðèâàåìîì êëàññå óñòðîéñòâ. Ïðîöåññ ìîäåëèðîâàíèÿ ñâÿçàííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ è ãèäðîäèíà- ìè÷åñêèõ ïîëåé ñîñòîèò èç äâóõ áëîêîâ: 1) ýëåêòðîìàãíèòíàÿ çàäà÷à — íà çàäàííîì ïîëå ñêîðîñòåé â æèäêîì ïðîâîäíèêå ðàññ÷èòûâàþò ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ òîêîâ â ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêàõ è òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè íà ãðàíèöå ìàãíèòîïðîâîäà, à ïî íèì — ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå óñèëèÿ â íåì [3]; À. Â. Æèëüöîâ 4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 Óñòðîéñòâî ñ îñåñèììåòðè÷íûì ìàãíèòíûì ïîëåì (a) è åãî ñå÷åíèå ìåðèäèàííîé ïëîñ- êîñòüþ (á): D 1 è D 2 — ñå÷åíèå ìàññèâíîãî ïðîâîäíèêà â æèäêîé è òâåðäîé ôàçàõ; D 3 — ñå÷åíèå ìàññèâíîãî ìàãíèòîïðîâîäà; DW — ñå÷åíèÿ êàòóøåê îáìîòêè èíäóêòîðà 2) ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à — íà çàäàííîì ïîëå ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â æèäêîì ïðîâîäíèêå ðàññ÷èòûâàþò ïîëå ñêîðîñòåé â íåì [4]. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè âòîðîãî áëîêà âîç- íèêàåò íåîáõîäèìîñòü â àïïðîêñèìàöèè ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ îò èñêîìûõ ôóíêöèé êîíå÷íîìåðíûìè àíàëîãàìè, à ýòî âíîñèò äîïîëíè- òåëüíûå ïîãðåøíîñòè â ðåøåíèå. Â ñâÿçè ñ ýòèì ñèñòåìà èíòåãðî-äèôôå- ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîëó÷åííàÿ â [4], ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó, â êîòîðîì óêàçàííûå ïðîèçâîäíûå îòñóòñòâóþò. Íà åå îñíîâå ðàçðàáîòàí àëãîðèòì êîìïüþòåðíîé ðåàëèçàöèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿ ñêî- ðîñòåé â ñå÷åíèè æèäêîãî ïðîâîäíèêà. Ðàññìîòðèì îñåñèììåòðè÷íóþ ýëåêòðîìàãíèòíóþ ñèñòåìó, ïðåäñòàâ- ëåííóþ íà ðèñóíêå. Áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè åå ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû è ýëåêòðîôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ìàòåðèàëîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òîê â îáìîòêå èíäóêòîðà èçìåíÿåòñÿ ïî çàäàííîìó çàêîíó. Ïðè èìïóëüñíîì õàðàêòåðå âîçäåéñòâèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà æèäêèé ìåòàëë (íå- ñêîëüêî ìèëëèñåêóíä) èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ïî ñå÷åíèþ îáëàñòè, êîòî- ðóþ îí çàíèìàåò, íåçíà÷èòåëüíî, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðîâîäèìîñòü è âÿçêîñòü ìàòåðèàëà ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûìè. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ çàäà÷à. Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ðàñ÷åò âèõðåâûõ òîêîâ â ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêàõ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî óñòðîéñòâà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñëåäóþùåé ñèñòåìû èíòåãðî-äèôôåðåí- öèàëüíûõ óðàâíåíèé [3]: � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Q t M t P Q M dl M t P Q M dsM L m m� � � � 3 1 2 M Dm � � � � � � � � � � � � � � 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )M t P Q M ds M t P Q M dsM D W M DW , Q L 3 ; (1) � � � � � � � � � t M t T Q M dl Q t t M t TM L m m( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 3 1 1 1 2 � �� Q M dsM Dm , ) � � � � � � � � � � � � � � t M t T Q M ds t M t T Q M dsM D W M DW 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) � 1 � � ( , )Q t , Q D 1 ; (2) � � � � � � � � � t M t T Q M dl Q t t M t TM L q q m m( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 3 1 2 � �� Q M dsM Dm , ) � � Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåóñòàíîâèâøåãîñÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 5 � � � � � � � � � � � � t M t T Q M ds t M t T Q M dsM D W M DW 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , Q Dq , q 1 2, , (3) ãäå� ( , )M t — ïðîåêöèÿ íà àçèìóòàëüíîå íàïðàâëåíèå ìãíîâåííîé ïîâåðõ- íîñòíîé ïëîòíîñòè ïðîñòîãî ñëîÿ òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè íà ñëåäå ãðàíè- öû L 3 , îáðàçîâàííîì ñå÷åíèåì ìåðèäèàííîé ïëîñêîñòüþ ãðàíèöû ìàãíè- òîïðîâîäà; �m M t( , ) — ïðîåêöèÿ íà àçèìóòàëüíîå íàïðàâëåíèå ìãíîâåí- íîé ïëîòíîñòè âèõðåâûõ òîêîâ â ìåðèäèàííîì ñå÷åíèè îáëàñòè Dm, m 1 2 3, , ; �W M t( , ) — ïðîåêöèÿ íà àçèìóòàëüíîå íàïðàâëåíèå ìãíîâåííîé ïëîòíîñòè òîêîâ â êàòóøêàõ îáìîòêè èíäóêòîðà; � � � � � �( ) / ( ) 0 0 ; � — àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìàãíèòîïðîâîäà; � 0 — àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê ìàãíèòîïðîâîäó ñðåäû (â äàííîì ñëó÷àå ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé ìàãíèòíîé ïîñòîÿííîé), � � 0 7 4 10 � Ãí/ì; �m — óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü ìàòåðèàëà ìàññèâíîãî ïðîâîäíèêà Dm, m 1 2 3, , ; � � �� 0 2/ ( ; P Q M Q M n b Q M n b Q Mz Q Qz r Qr z( , ) ( ,[ , ( , )]) ( , ) ( , ) e n b ; n e eQ Qr r Qz zn n � ; b e e( , ) ( , ) ( , )Q M b Q M b Q Mr r z z � , (4) e r , e � , e z — îðòû ñîîòâåòñòâóþùèõ îñåé öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîð- äèíàò; b Q M z z r r r z z K k r r r M Q Q M Q M Q M Q ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � 2 2 2 2 z z r r z z E k M Q M Q M Q � � � � � � � � � ) ( ) ( ) ( ) ; 2 2 2 b Q M r r z z K k r r z z r z M Q M Q M Q M Q M ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � 1 2 2 2 2 2 � � � � � � � � �r z z E k Q M Q) ( ) ( ) 2 2 ; T Q M r r k k K k k E kM Q ( , ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � 2 2 ; (5) ( , )r zQ Q , ( , )r zM M — êîîðäèíàòû òî÷åê Q è M â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò; K k( ), E k( ) — ýëëèïòè÷åñêèå èíòåãðàëû ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà àðãóìåíòà k, k r r r r z z Q M M Q M Q 2 2 2 4 � � ( ) ( ) . À. Â. Æèëüöîâ 6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 Â óðàâíåíèè (2) îáîçíà÷åíî �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Q t V Q t B Q t V Q t B Q tz r r z , (6) ãäåV Q tr ( , ),V Q tz ( , ) — ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé ñêîðîñòè â òî÷êå Q íà îñè Or è Oz; B Q tr ( , ), B Q tz ( , ) — ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé ìàãíèòíîé èíäóêöèè íà òå æå îñè. Ïîñêîëüêó ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì B b b( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (Q t M t Q M ds M t QW M D m m W � � � � � � � � � � � 2 2 1 2 , )M dsM Dm � � � � � � � � � � � � � 2 2 3 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )M t Q M ds M t Q M dlM D M L b b , âûðàæåíèå (6) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå � ( , ) ( , ) ( , , ) ( , )Q t M t Q M t ds M tW M D m m W � � � � � � ! � � � ! � � 2 2 1 2 ( , , )Q M t dsM Dm � � � � � � � � � ! � � � ! � 2 2 3 3 3 ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , )M t Q M t ds M t Q M t dlM D M L , (7) ãäå !( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Q M t V Q t b Q M V Q t b Q Mz r r z . Àïïðîêñèìàöèÿ ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì. Ðàçáèâàåì ìå- ðèäèàííîå ñå÷åíèå êàæäîãî èç ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ Dm, m 1 2 3, , , ñîîòâåòñòâåííî íà N Dm ýëåìåíòàðíûõ îáëàñòåé "S m i , i N Dm 1 2, ,..., , à ñëåä L 3 îò ñå÷åíèÿ ìåðèäèàííîé ïëîñêîñòüþ ãðàíèöû ìàãíèòîïðîâîäà íà N L 3 ýëåìåíòàðíûõ ó÷àñòêîâ "Li 3 , i N L 1 2 3 , ,..., . Ñå÷åíèå îáìîòêè ðàçáèâàåì íà N DW îáëàñòåé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ åñòü ñå÷åíèå êàòóøêè. Ïðèìåíÿÿ ìå- òîä ïîëíîãî îñðåäíåíèÿ, ñèñòåìó èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) — (3) àïïðîêñèìèðóåì ñëåäóþùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé: � � � � � � �"L P P P 3 1 2 0 3 3 3 3 3 3 � � � � � � � � � �L L m L D m L Dt t t m ( ) ( ) ( ) ( ) PL D WW t 3 � ; (8) � � � � � � � � � � � � �t t t t t t D L m D D mm T S T 1 3 1 1 1 1 1 2 0 ( ) ( ) ( )� � � � " TD D t 1 3 3 � ( ) � � � � �t t tD D WW T s 1 1 ( ) ( )� ; (9) Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåóñòàíîâèâøåãîñÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 7 � � � � � � � � � � � � �t t t t t t D L q q q m D D mq q m T S T 3 1 2 0 ( ) ( ) ( )� � � � " TD Dq t 3 3 � ( ) � � � t tD D Wq W T ( ), q 2 3, , (10) ãäå� � � �( ) { ( ), ( ),..., ( )}t t t tN L 1 2 3 — âåêòîð-ñòîëáåö, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ìãíîâåííîé ïëîòíîñòè òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè â öåíò- ðå ýëåìåíòàðíîãî ó÷àñòêà "Li 3 , i N L 1 2 3 , ,..., ; � � �m m mt t t( ) { ( ), ( ),... 1 2 ... , ( )}�mN Dm t — âåêòîð-ñòîëáåö, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ìãíîâåí- íûå çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè âèõðåâûõ òîêîâ â öåíòðå ýëåìåíòàðíîé îáëàñòè "S m i , i N Dm 1 2, ,..., ; " " " "L 3 3 1 3 2 3 3 diag{ , ,..., }L L L N L — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðè- öà ðàçìåðíîñòè N NL L 3 3 # , åå ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ äëèíû îòðåçêîâ "Li 3 , i N L 1 2 3 , ,..., , íà êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ ãðàíèöà L 3 ; " " "Sq q qS S diag{ , ,... 1 2 ..., }"S q N Dq — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè N ND Dq q # , åå ýëåìåí- òàìè ÿâëÿþòñÿ ïëîùàäè ýëåìåíòîâ " S q i , i N Dq 1 2, ,..., , íà êîòîðûå ðàçáè- âàåòñÿ ñå÷åíèå Dq , q 1 2 3, , . Â óðàâíåíèÿõ (8) — (10) ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ ìàòðèö: PL L L L M Q i j P Q M dl dl 3 3 3 3 � � " " ( , ) , i j N L, , , ..., 1 2 3 ; PL D L S M Qm i m j P Q M ds dl 3 3 � � " " ( , ) , i N L 1 2 3 , ,..., , j N Dm 1 2, ,..., , m 1 2 3, , ; PL D L S M QW i W j P Q M ds dl 3 3 � � " " ( , ) , i N L 1 2 3 , ,..., , j N DW 1 2, ,..., ; TD L S L M Qq q i j T Q M dl ds 3 3 � � " " ( , ) , i N Dq 1 2, ,..., , q 1 2 3, , , j N L 1 2 3 , ,..., ; TD D S S M Qq m q i m j T Q M ds ds � � " " ( , ) , i N Dq 1 2, ,..., , j N Dm 1 2, ,..., , q m, , , 1 2 3; TD D S S M Qq W q i W j T Q M ds ds � � " " ( , ) , i N Dq 1 2, ,..., , q 1 2 3, , , j N DW 1 2, ,..., . À. Â. Æèëüöîâ 8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 Äëÿ îïðåäåëåíèÿ s� ( )t ïðîèíòåãðèðóåì (7) ïî êàæäîé ýëåìåíòàðíîé îáëàñòè "S i 1 , i N D 1 2 1 , ,..., . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì s T T T�( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (t t t t t tVD W m VD m VDW m � � � � � � � � � � 2 1 2 0 3 ) ( ) ( ) ( )� � 3 3 t t tVL� � � � � � � T , (11) ãäå T V R V ZVD z D D r D DW W W t t t( ) ( ) ( ) 1 1 ; T V R V ZVD z D D r D Dm m m t t t( ) ( ) ( ) 1 1 , m 1 2 3, , ; T V R V ZVL z D L r D Lt t t 3 1 3 1 3 ( ) ( ) ( ) ; Vr r r rNt V t V t V t D ( ) { ( ), ( ),..., ( )} diag 1 2 1 , Vz z z zNt V t V t V t D ( ) { ( ), ( ),..., ( )} diag 1 2 1 — äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû ðàçìåðíîñòè N ND D 1 1 # , ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ìãíîâåííûõ ïðîåêöèé ñêîðîñòè íà îñè ñîîòâåòñòâåííî Or è Oz â öåíòðàõ ýëåìåíòàðíûõ îáëàñòåé " S i 1 , i N D 1 2 1 , ,..., ; ZD D S S z M QW i W j b Q M ds ds 1 1 � � " " ( , ) , R D D S S r M QW i W j b Q M ds ds 1 1 � � " " ( , ) , i N D 1 2 1 , ,..., , j N DW 1 2, ,..., ; ZD D S S z M Qm i m j b Q M ds ds 1 1 � � " " ( , ) , R D D S S r M QW i m j b Q M ds ds 1 1 � � " " ( , ) , i N D 1 2 1 , ,..., , j N Dm 1 2, ,..., , m 1 2 3, , ; ZD L S L z M Q i j b Q M dl ds 1 3 1 3 � � " " ( , ) , R D L S L r M Q i j b Q M dl ds 1 3 1 3 � � " " ( , ) , i N D 1 2 1 , ,..., , j N L 1 2 3 , ,..., . Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (9) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå � � � � � � � � �t t t t t t D L VL m D DT T S T 1 3 3 1 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) � � �" m mm VD mt t t� �( ) ( ) ( ) � � � � � � �T Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåóñòàíîâèâøåãîñÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 9 � � � � � � � � � � � 0 3 3 1 3 3 1t t t t t tD D VD D D W VDW W T T T T( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t tW� . (12) Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (8), (10), (12). Ïåðâûå âàðèàíòû ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ ðåøåíèÿ àíàëîãè÷íûõ óðàâíåíèé, ê ðåøåíèþ êîòîðûõ ñâîäèòñÿ ðàñ÷åò âèõðåâûõ òîêîâ â ìàññèâíûõ ïðîâîä- íèêàõ, îïèñàíû â ðàáîòå [5]. Â ðàáîòàõ [6—9] ïîñòðîåíû ñõåìû, îòëè÷è- òåëüíîé îñîáåííîñòüþ êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî àïïðîêñèìèðóþòñÿ íå èñõîäíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, à ýêâèâàëåíòíûå èì èíòåãðàëü- íûå óðàâíåíèÿ Âîëüòåðû, ïîëó÷åííûå ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ èñõîäíûõ â èíòåðâàëå [ , ]t t 0 . Â ðàáîòàõ [10, 11] óêàçàííûå ñõåìû ïðèìåíåíû ïðè ðåøå- íèè ñèñòåìû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿ ñêî- ðîñòåé â ïëîñêîïàðàëëåëüíîì ïðèáëèæåíèè. Èñïîëüçóåì ïðèâåäåííûå â óêàçàííûõ ðàáîòàõ ñõåìû äëÿ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Íà îñè âðåìåíè âûáèðàåì â îáùåì ñëó÷àå íåðàâíîìåðíóþ ñåòêó t nn n $ , n 1 2 3, , ,..., ãäå $ n — øàã âðåìåííîé ñåòêè; èíäåêñ n ñîîòâåòñò- âóåò âðåìåííîìó ñëîþ. Ïóñòü çàäà÷à ðåøåíà íà ñëîå tn 1 . Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ðàçíîñòíóþ ñõåìó, ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèÿ (9), (11) ïî âðå- ìåíè â èíòåðâàëå [ , ]t tn n 1 . Çàòåì èñïîëüçóåì äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ñîîòíîøåíèå f t dt cf c fn n t t n n n ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) � � 1 1 1 $ , (13) ãäå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f n( ) , f n( ) 1 ñîîòâåòñòâóþò ìîìåíòàì âðåìåíè tn , tn 1 ; c — âåñîâîé ìíîæèòåëü, ïðèíèìàþùèé çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà{ ; , ; }0 0 5 1 . Ïðè c 0 è c 1 ôîðìóëà (13) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôîðìóëó ïðÿìîóãîëü- íèêîâ, à ïðè c 0 5, — ôîðìóëó òðàïåöèé. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ~ ~( ) ( ) ( ) T S T D L n n n n m D D n m nc m1 3 1 1 1 1 2 � $ � � � � � % & � & � � � � �" � � 0 3 1 1 3 1 ~ ( ) ( ) ( ) T G D D n n D n ; T S T T D L n n q q q n m D D m n D Dq q m q c 3 3 1 2 0 � $ � � � � � � � & � & �( ) � � � �" 3 1( ) ( )n D n q G , q 2 3, , (14) ãäå G T S D n D L n n n n m = c 1 1 3 1 1 1 1 1 11( ) ( ) ( )~ ( ) �� $ � � � % & � " 1 2 1 1 0 1 3 1 1 1 3 � � ~ ~( ) ( ) ( ) T T D D n m n D D n n m � � � � & � � ~ ~( ) ( ) T T D D n W n D D n W n m W1 1 1 1 � � & � & � ; À. Â. Æèëüöîâ 10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 G = T S T D n D L n n q q q n m Dq q q c( ) ( ) ( ) �� 1 1 1 1 2 3 1 � $ � � � & � " D m n D D n m q � � � � & � � 1 0 3 1 3 T ( ) � T T D D W n D D W n q W q W � � & � & �1 ; ~ ( ) ( ) T T T D L n D L n VL n= c 1 3 1 3 3 $ , ~ ( ) ( ) ( ) T T T D L n D L n VL n= c 1 3 1 3 3 1 1 1 � $ ; ~ ( ) ( ) T T T D D n D D n VD n m m m = c 1 1 $ , ~ ( ) ( ) ( ) T T T D D n D D n VD n m m m = c 1 1 1 1 1 � $ , m 1 2 3, , ; ~ ( ) ( ) T T T D D n D D n VD n W W W = c 1 1 $ , ~ ( ) ( ) ( ) T T T D D n D D n VD n W W W = c 1 1 1 1 1 � $ . Ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (14) ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèåì (8) ìîæåò áûòü ðåøåíà îäíèì èç ïðÿìûõ ìåòîäîâ èëè ìåòîäîì áëî÷íûõ èòåðàöèé. Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàþò ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ àíà- ëîãè÷íûõ çàäà÷, ïðè ÷èñëå íåèçâåñòíûõ áîëåå òðåõñîò ìåòîä áëî÷íûõ èòåðàöèé ÿâëÿåòñÿ áîëåå ýêîíîìíûì îòíîñèòåëüíî âû÷èñëèòåëüíûõ çàò- ðàò, ÷òî àêòóàëüíî ïðè ïðîâåäåíèè ìíîãîâàðèàíòíûõ ðàñ÷åòîâ. Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ìãíîâåííûõ ïëîòíîñòåé âèõðåâûõ òîêîâ â ìàññèâ- íûõ ïðîâîäíèêàõ è òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè íà ãðàíèöå ìàãíèòîïðîâîäà íàõîäèì ðàñïðåäåëåíèå ìãíîâåííûõ îáúåìíûõ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë â ñå÷åíèè ïðîâîäíèêà â æèäêîé ôàçå: F B e e( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) ( , ) ( , )Q t Q t Q t Q t B Q t Q tr z z � � � 1 1 1 B Q tr ( , ). (15) Íà îñíîâàíèè (15), èñïîëüçóÿ ìåòîä ïîëíîãî îñðåäíåíèÿ, ìîæåì çàïèñàòü çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé îáúåìíîé ïëîòíîñòè ñèë, ñîîòâåòñòâóþùèõ n-ìó âðå- ìåííîìó ñëîþ: F B ri n i n zi n( ) ( ) � & � 1 , F B zi n i n ri n( ) ( ) � & � 1 , i N D 1 2 1 , ,..., , (16) ãäåB r n r n r n rN nB B B D ( ) ( ) ( ) ( ) { , ,..., } 1 2 1 ,B z n z n z n zN nB B B D ( ) ( ) ( ) ( ) { , ,..., } 1 2 1 — âåêòîð-ñòîëá- öû, îïðåäåëÿåìûå ñîîòíîøåíèÿìè B S R R Rr n - D D W n m D D m n D DW m ( ) � � � � '� � � � � & � & �0 1 1 1 2 0 1 1 1 3 " � � & � & � 3 1 3 n D L n � � � � � � � R , B S Z Z Zz n - D D W n m D D m n D DW m ( ) � � � � '� � � � � & � & �0 1 1 1 2 0 1 1 1 3 " � � & � & � 3 1 3 n D L n � � � � � � � Z . Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ñèëû (16) èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðåøåíèè ãèäðîäèíà- ìè÷åñêîé çàäà÷è. Ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à. Ñèñòåìà èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ìîäåëèðîâàíèå ïîëÿ ñêîðîñòåé â ìåðèäèàííîì ñå÷åíèè ïðî- Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåóñòàíîâèâøåãîñÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 11 âîäíèêà â æèäêîé ôàçå ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé ñèñòåìå èíòåãðî-äèôôåðåí- öèàëüíûõ óðàâíåíèé â ïåðåìåííûõ âèõðü — ôóíêöèÿ òîêà, ýêâèâàëåíò- íûõ óðàâíåíèÿì Íàâüå—Ñòîêñà [4]: ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )M t T Q M dl M t T Q M dsM L M D 1 1 � � , Q L 1 ; (17) � � ) ) t M t T Q M ds M t M t T Q M dsM D M( , ) ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , ) 1 � � V grad D 1 � � � v M t T Q M dl M t T Q M dsM L M D * + � ( , ) ( , ) ( , ( , )) ( , ) 1 1 1 e Frot 2� )v Q t* ( , ), Q L � 1 ; (18) � � ) ) t M t T Q M ds M t M t T Q M dsM D M( , ) ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , ) 1 � � V grad D 1 � � � v M t T Q M dl M t T Q M dsM L M D * + � ( , ) ( , ) ( , ( , )) ( , ) 1 1 1 e Frot , Q L 1 ; (19) 2 1 � ) � � ) )v Q t t M t T Q M ds M t M tM D ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , )� � � V grad ) ( , )T Q M dsM D 1 � � � v M t T Q M dl M t T Q M dsM L M D * + � ( , ) ( , ) ( , ( , )) ( , ) 1 1 e Frot , Q D 1 . (20) Çäåñü (( , )M t , * ( , )M t — çíà÷åíèÿ ìãíîâåííîé ïëîòíîñòè ïðîñòîãî ñëîÿ â òî÷êå M L 1 ; ) ( , )M t — ìãíîâåííîå çíà÷åíèå âèõðÿ â òî÷êå M D 1 ; v — êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü æèäêîãî ìåòàëëà; F ( , )M t — îáúåìíàÿ ìãíî- âåííàÿ ïëîòíîñòü âíåøíèõ ñèë â òî÷êå M, â òîì ÷èñëå ýëåêòðîìàãíèòíûõ; ) , * * ( , ) ( , )Q t h Q t 2 2 , Q L � 1 — êðàåâîå óñëîâèå Òîìà [12], ãäå Q* ëåæèò íà ïðåäêîíòóðå L 1 * � è íà íîðìàëè nQ ê L 1 � â òî÷êå Q (ñì. ðèñóíîê, á); h — ðàññòîÿíèå îò L 1 � äî L 1 * � ïî íîðìàëè;, ( , )Q t — ôóíêöèÿ òîêà, îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì , � ) � (( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Q t M t T Q M ds M t T Q M dlM D M L � � � 1 2 1 2 1 1 . (21) À. Â. Æèëüöîâ 12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñâÿçü V rot , çàïèñûâàåì âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè: V b b( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Q t M t Q M ds M t Q M dsM D M L � � � 1 2 1 2 1 1 � ) � ( , (22) ãäå b( , )Q M îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (4). Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî â ðàññìàò- ðèâàåìîì îñåñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå , ,r z 0 è , , � . Ïðåîáðàçîâàíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (18) — (20). Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè ïðèâåäåííîé ñèñòåìû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â àïïðîêñèìàöèè ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîä- íûõ îò íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé, à èìåííî grad ) ( , )M t , êîíå÷íîìåðíûìè àíàëîãàìè. Ýòî ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíûì ïîãðåøíîñòÿì. Äëÿ òîãî ÷òî- áû ýòîãî èçáåæàòü, ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó óðàâíåíèé ê âèäó, ãäå óêàçàííûå ïðîèçâîäíûå óæå îòñóòñòâóþò. Èòàê, ó÷èòûâàÿ, ÷òîdivV 0â D 1 è V( , )M t 0, M L 1 , çàïèñûâàåì [11]: ( ( , ), ( , )) ( , )V M t M t T Q M dsM M D grad ) 1 � � ) ( , ) ( ( , ), ( ( , )))M t M t T Q M dsM M D V grad 1 . Äàëåå ïðèíèìàåì âî âíèìàíèå, ÷òî grad M r r z zT Q M Q M b Q M b Q M( ( , )) ~ ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) �b e e , ãäå ~ ( , ) ( / ) ( , )b Q M r r b M Qr M Q z , ~ ( , ) ( , )b Q M b Q Mz r . Çäåñü b M Qz ( , ) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (5), â êîòîðîì êîîðäèíàòû òî÷åê Q è M íåîáõî- äèìî ïîìåíÿòü ìåñòàìè. Òàêèì îáðàçîì, çàïèñûâàåì ( ( , ), ( , )) ( , )V M t M t T Q M dsM M D grad ) 1 � � ) ( , ) ( ( , ), ~ ( , ))M t M t Q M dsM D V b 1 . Àíàëîãè÷íî íàõîäèì ( rot rot (e F F s � , ( , )) ( , ) ( , ) ( , )M M D M M D M t T Q M ds M t T Q M d 1 � � 1 � � � � � [F s F l( , ), ( ( , ))] ( , ), ( , )M t T Q M d M t T Q M dM M D M L grad 1 1 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåóñòàíîâèâøåãîñÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 13 � � [F b( , ) ~ ( , )]M t Q M dsM D 1 , ãäå d dsM Ms e � ; d dlM M Ml $ ; $ M — âåêòîð åäèíè÷íîé äëèíû, êàñà- òåëüíûé ê ãðàíèöå L 1 â òî÷êå M è ëåæàùèé â ìåðèäèàííîé ïëîñêîñòè (ñì. ðèñóíîê á). Â ðåçóëüòàòå, çàìåíÿÿ â ñèñòåìå (18) — (20) ñîîòâåòñòâóþùèå èíòå- ãðàëû íàéäåííûìè âûðàæåíèÿìè, ïðèõîäèì ê ñèñòåìå èíòåãðî-äèôôå- ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, â êîòîðîé óæå îòñóòñòâóþò ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå îò èñêîìûõ ôóíêöèé: � � ) ) t M t T Q M ds M t M t Q M dsM D M D ( , ) ( , ) ( , )( ( , ), ~ ( , )) 1 1 � � V b � � � v M t T Q M dl M t T Q M dM L M L * + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 F l � � 1 2 1 + � )[ ( , ), ~ ( , )] ( , ) * F bM t Q M ds v Q tM D , Q L � 1 ; (23) � � ) ) t M t T Q M ds M t M t Q M dsM D M D ( , ) ( , ) ( , )( ( , ), ~ ( , )) 1 1 � � V b � � � v M t T Q M dl M t T Q M dM L M L * + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 F l � � 1 1 + [ ( , ), ~ ( , )]F bM t Q M dsM D , Q L 1 ; (24) 2 1 � ) � � ) )v Q t t M t T Q M ds M t M t QM D ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ( , ), ~ (� � V b , ))M dsM D 1 � � � � v M t T Q M dl M t T Q M dM L M L * + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 F l � � 1 1 + [ ( , ), ~ ( , )]F bM t Q M dsM D , Q D 1 . (25) Àïïðîêñèìàöèÿ ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì. Êàê è ïðè ðåøåíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé çàäà÷è, ðàçáèâàåì ñå÷åíèå D 1 ïðîâîäíèêà â À. Â. Æèëüöîâ 14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 æèäêîé ôàçå íà N D 1 ýëåìåíòàðíûõ îáëàñòåé " S i 1 , i N D 1 2 1 , ,..., , à åãî ãðàíèöó L 1 � , L 1 ñîîòâåòñòâåííî íà N L 1 � , N L 1 ýëåìåíòàðíûõ ó÷àñòêîâ "Li 1 , i N L 1 2 1 , ,..., , N N N L L L 1 1 1 � � . Ïðèìåíÿÿ ìåòîä ïîëíîãî îñðåäíåíèÿ, ñèñ- òåìó óðàâíåíèé (17), (23) — (25) àïïðîêñèìèðóåì ñëåäóþùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé: T TL L L Dt t 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ; (26) � � ) ) t t t t t v L D L D r L D z L T R V Z V T 1 1 1 1 1 1 1 � � � � ( ) [ ~ ( ) ~ ( )] ( ) � L t 1 * ( ) � �1 2 1 1 + � )F L L t v t( ) ( ) * " ; (27) � � ) ) t t t t t v L D L D r L D z L T R V Z V T 1 1 1 1 1 1 1 � ( ) [ ~ ( ) ~ ( )] ( ) L L t t 1 1 1 * + ( ) ( )F ; (28) 2 1 1 1 1 1 1 1 � ) � � ) )v t t t t tD D D D r D D z"S T R V Z V( ) ( ) [ ~ ( ) ~ ( )]� � ( )t v t tD L DT F 1 1 1 1 * + ( ) ( ). (29) Çäåñü ( ( ( (( ) { ( ), ( ),..., ( )}t t t tN L 1 2 1 ,* * * ( ) { ( ), ( ),..., ( )}t t t tN L 1 2 1 — âåêòîð- ñòîëáöû, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ìãíîâåííîé ïëîòíîñòè ïðîñòîãî ñëîÿ â öåíòðå ýëåìåíòàðíîãî ó÷àñòêà "Li 1 , i N L 1 2 1 , ,..., ; ) ( )t { ( ), ( ),..., ( )}) ) ) 1 2 1 t t tN D — âåêòîð-ñòîëáåö, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþò- ñÿ ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ âèõðÿ â öåíòðå ýëåìåíòàðíîé îáëàñòè "S i 1 , i N D 1 2 1 , ,..., ; ) ) ) ) - % - ' - - ( ) { ( ), ( ),..., ( )}t t t tN L � 1 — âåêòîð-ñòîëáåö, ýëåìåíòà- ìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ âèõðÿ â öåíòðå ýëåìåíòàð- íîãî ó÷àñòêà " Li 1 � , i N L � 1 2 1 , ,..., ; " " " "L 1 1 1 1 2 1 1 � � � � � diag{ , ,..., }L L L N L — äèà- ãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè N N L L 1 1 � � # , åå ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ äëè- íû îòðåçêîâ "Li 1 � , i N L � 1 2 1 , ,..., , íà êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ ãðàíèöà L 1 � ; F T F R F Z F L L L L L D z L D rt t t t 1 1 1 1 1 1 1 . . . . � ( ) ( ) ~ ( ) ~ ( ) $ ; F T F R F Z FD D L L D D z D D rt t t t 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ~ ( ) ~ ( ) � $ , ãäåF $ $ $ L ri L ri zi L zit F t F t( ) { ( ) ( ) } � , i N L 1 2 1 , ,..., , — âåêòîð-ñòîëáåö, êîìïî- íåíòû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé ìãíîâåííûõ îáúåì- Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåóñòàíîâèâøåãîñÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 15 íûõ ñèë â öåíòðàõ ýëåìåíòàðíûõ ó÷àñòêîâ "Li 1 , i N L 1 2 1 , ,..., , ãðàíèöû L 1 ;$ i �$ $ri r zi ze e — âåêòîð åäèíè÷íîé äëèíû, íàïðàâëåííûé ïî êàñàòåëüíîé ê ýëåìåíòàðíîìó ó÷àñòêó "Li 1 , i N L 1 2 1 , ,..., ; Fr r r rNt F t F t F t D ( ) { ( ), ( ),..., ( )} 1 2 1 , Fz zt F t( ) { ( ), 1 F t F tz zN D2 1 ( ), ..., ( )} — âåêòîð-ñòîëáöû, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ïðîåêöèè ìãíîâåííîé ïëîòíîñòè ñèëû F tri ( ), F tzi ( )íà îñè Or è Oz â öåíòðå ýëåìåíòàðíîé îáëàñòè " S i 1 , i N D 1 2 1 , ,..., . Â óðàâíåíèÿõ (26) — (29) òàêæå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìàòðèö T, ~ R, ~ Z, Vr , Vz àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî â óðàâíåíèÿõ (9) — (11). Äàëåå, íà îñíîâàíèè âûðàæåíèÿ (22) ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ïîëíî- ãî îñðåäíåíèÿ çàïèñûâàåì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ñ ó÷åòîì (26): V Vrr t t ( ) ( ) � ) ; V Vzz t t* ( ) ( ) � ) , ãäå Vr r r rNt V t V t V t D * ( ) { ( ), ( ),..., ( )} 1 2 1 , Vz z z zNt V t V t V t D * ( ) { ( ), ( ),..., ( )} 1 2 1 — âåêòîð-ñòîëáöû, êîìïîíåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ìãíîâåííûå ïðîåêöèè ñêîðîñòè; Vr S R R T T 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 � " ( )D D D L L L L D ; Vz S Z Z T T 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 � " ( )D D D L L L L D . Íà îñíîâàíèè (21) è ìåòîäà ïîëíîãî îñðåäíåíèÿ ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ (26) çàïèñûâàåì ñîîòíîøåíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîð- ñòîëáöà , , , ,( ) { ( ), ( ),..., ( )}t t t tN D 1 2 1 , êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè òîêà â ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ îáëàñòÿõ "S i 1 , i N D 1 2 1 , ,..., : , ) , ( ) ( )t t D D T 1 1 , ãäå T S T T T T D D D D D L L L L D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1, � " ( ) . Ââîäÿ ìàòðèöó E ðàçìåðíîñòè N N L D 1 1 � # ïî ïðàâèëó [3], Eij jS 1 1 ,åñëè îáëàñòü ïðèëåãàåò ê ó àñòêó ãðàíèöû" åñëè îáëàñòü íå ïðèëåãàåò ê ó àñòêó ã " " L S i j 1 1 0 � ; , ðàíèöû "Li 1 � / 0 1 2 1 , i N L � 1 2 1 , ,..., , j N D 1 2 1 , ,..., , íàõîäèì ðàñïðåäåëåíèå ôóíêöèè òîêà íà ïðèãðàíè÷íûõ ýëåìåíòàõ: , ) - , ( ) ( )t t D D ET 1 1 . À. Â. Æèëüöîâ 16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 ÷ ÷ Òîãäà ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ ôóíêöèè âèõðÿ â ìàòðè÷íîé ôîðìå ìîæåò áûòü çàïèñàíî òàê: ) ) - ( ) ( ) t t L D � T 1 1 , ãäå T ET L D D D h1 1 1 1 2 2 � , . Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (26) — (29). Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê áûëî ñäåëàíî ïðè îïèñàíèè àëãîðèòìà ðåøåíèÿ ñèñòåìû äèôôå- ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïî âðåìåíè, ê ðåøåíèþ êîòîðûõ ñâîäèòñÿ çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ, çàïèñûâàåì ðàçíîñòíóþ ñõåìó äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (27) — (29), ïîçâîëÿþùóþ ïåðåéòè îò( )n 1 -ãî âðåìåííîãî ñëîÿ ê n-ìó: A A B D D n D L n D 1 1 1 1 1 ) * ( ) ( ) � , A A B L D n L L n L 1 1 1 1 1 � � � � ) * ( ) ( ) , (30) A A B L D n L L n L 1 1 1 1 1 � ) * ( ) ( ) , ãäå A T S R V Z V D D D D n n D D r n D D z nvc c 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 � �� $ $" ( ~ ~ ) ( ) ( ) ; A T D L n D L v c 1 1 1 1 $ ; A T L T R V + * L D L D n L D n L D r nvc c 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1� � � � � �� $ $" ( ~ ~( ) Z V L D z n 1 1 � ( ) ); A T L L n L L cv 1 1 1 1 � � $ ; A T R V Z V L D L D n L D r n L D z nc 1 1 1 1 1 1 1 1 �$ ( ~ ~ ) ( ) ( ) ; A T L L n L L v c 1 1 1 1 $ ; B T S R V Z V D D D n D D r n D D z nc v 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 [ ( ) ( ~ ~( ) ( $ � " � 1 1) ( ) )]) n � � � ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1c v c cn D L n n D n D n $ * $ + T [ F F ; B T L T R V + * L L D n L D L D r nc v 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 � � � � [ ( ) ( ~ ( ) $ � " � � ~ )] ( ) ( ) Z V L D z n n 1 1 1 1 ) � � � � � � ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1c v c cn L L n n L n L n $ * $ + T [ F F ; Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåóñòàíîâèâøåãîñÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 17 B T R V Z V L L D n L D r n L D z nc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 � � [ ( ) ( ~ ~( ) ( ) $ )] ( ) ) n � 1 � � � � � v c c cn L L n n L n L n $ * $ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 T F F� � � . Àëãîðèòì ðåøåíèÿ ñîâìåñòíîé ýëåêòðîìàãíèòíîé è ãèäðîäèíàìè- ÷åñêîé çàäà÷è. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê èòåðàöèîííîìó ïðîöåññó îïðåäå- ëåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé â ñå÷åíèè ïðîâîäíèêà â æèäêîé ôàçå: 1. Çàäàåì ) ( )t 0 . 2. Íàõîäèì V Vrr t t* ( ) : ( ) 0 0 � ) , V Vzz t t* ( ) : ( ) 0 0 � ) . 3. Èç ðåøåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé çàäà÷è îïðåäåëÿåì FD t 1 0 ( ), F L t 1 0� ( ), F L t 1 0 ( ), íà ïîëå ñêîðîñòåé Vr t* ( ) 0 , Vz t* ( ) 0 . 4. Ïîëàãàåì n : 1. 5. Ïîëàãàåì V Vr n r nt t( ) ( ) : ( ) 0 1 , V Vz n z nt t( ) ( ) : ( ) 0 1 . 6. ÏîëàãàåìF F D n D nt t 1 1 0 1 ( ) ( ) : ( ) ,F F L n L nt t 1 1 0 1� � ( ) ( ) : ( ),F F L n L nt t 1 1 0 1 ( ) ( ) : ( ). 7. Ïîëàãàåì m: 1. 8. Ïîëàãàåì V Vr m n r m nt t( ) ( ) ( ) : ( ) 1 , V Vz m n z m nt t( ) ( ) ( ) : ( ) 1 . 9. Ïîëàãàåì F F D m n D m nt t 1 1 1( ) ( ) ( ) : ( ) , F F L m n L m nt t 1 1 1 � � ( ) ( ) ( ) : ( ), F L m nt 1 ( ) ( ) : F L m nt 1 1( ) ( ). 10. Ðåøàåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (30). Â ðåçóëüòàòå íàõîäèì ) ( ) ( ) m nt . 11. Íàõîäèì V Vrr m n m nt t( ) ( ) ( ) : ( ) � � 1 ) , V Vzz m n m nt t( ) ( ) ( ) : ( ) � � 1 ) . 12. Èç ðåøåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé çàäà÷è íàõîäèì F D m nt 1 1( ) ( ) � , F L m nt 1 1 � �( ) ( ), F L m nt 1 1 �( ) ( ) íà ïîëå ñêîðîñòåé Vr m nt ( ) ( ) �1 , Vz m nt ( ) ( ) �1 . 13. Ïðîâåðÿåì óñëîâèå i N ri m n ri m n zi m n D V t V t V t V : ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) � � � � 1 1 2 1 1 zi m nt ( ) ( )) 2 1 3 4 , ãäå 4 1 — çàäàííàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü. Åñëè îíî íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ïåðåõîäèì ê ïóíêòó 14, èíà÷å — ê ïóíêòó 15. 14. Ïîëàãàåì m m: �1è ïåðåõîäèì ê ïóíêòó 8. 15. Íàõîäèì V Vr n r m nt t* ( ) ( ) : ( ) �1 , V Vz n z m nt t ( ) ( ) : ( ) �1 . 16. Ïîëàãàåì n n: �1. 17. Ïðîâåðÿåì óñëîâèå t tn 3 . Åñëè îíî âûïîëíÿåòñÿ, òî ïåðåõîäèì ê ïóíêòó 5, èíà÷å — ê ïóíêòó 18. À. Â. Æèëüöîâ 18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 18. Îêîí÷àíèå ñ÷åòà è âûâîä ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé Vr nt ( ), Vz nt * ( ). Íà îñíîâàíèè ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìà ðàçðàáîòàíà ïðîãðàììà íà ÿçûêå FORTRAN. Ïðîâåäåíèåì ñåðèè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ áûë èñ- ñëåäîâàí ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïðåäñòàâëåííûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ïðè c = 0,5 è c = 1 ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîöåññà Ýéòêåíà [13]. Â Óñòàíîâëåíî, ÷òî â ñëó÷àå c = 0,5 ñõåìà èìååò âòîðîé ïîðÿäîê òî÷íîñòè, â ñëó÷àå c = 1 — ïåðâûé ïî- ðÿäîê òî÷íîñòè. Ýòî ïîäòâåðæäàåò èçâåñòíûé èç òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì ôàêò. Àïïðîêñèìàöèÿ ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì ñ èñïîëüçîâà- íèåì ìåòîäà ïîëíîãî îñðåäíåíèÿ èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè, ÷òî òàêæå ïîäòâåðæäåíî ÷èñëåííûìè ýêñïåðèìåíòàìè. Âûâîä. Ïîëó÷åííûå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ìî- äåëèðîâàíèÿ ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà â ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñò- âàõ ñ æèäêèìè ïðîâîäíèêàìè, â êîòîðûõ èñêëþ÷åíû ïðîèçâîäíûå ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì, ïîçâîëÿþò óñòðàíèòü íåèçáåæíûå ïîãðåø- íîñòè ïðè èõ àïïðîêñèìàöèè êîíå÷íîìåðíûìè àíàëîãàìè, êàê íàïðèìåð â êîíå÷íî-ðàçíîñòíîì ìåòîäå è ìåòîäå êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Ïîñêîëüêó èíòå- ðåñ ïðåäñòàâëÿåò ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ â îãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå, à èìåííî â æèäêîì ïðîâîäíèêå, ïðåäëîæåííûé ìåòîä ðàñ÷åòà ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé íà îñíîâå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì îòíîñèòåëüíî óìåíüøåíèÿ ðàñ÷åòíîé îáëàñòè: èñêî- ìûå âèõðåâûå òîêè ðàñïðåäåëåíû â îáëàñòè ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ, à òîêè íàìàãíè÷åííîñòè — íà ãðàíèöå ôåððîìàãíèòíûõ òåë. Îñîáåííîñòüþ ïðåä- ëîæåííîé ìåòîäèêè ÿâëÿåòñÿ òàêæå òî, ÷òî ñîâìåñòíàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ è ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ íà îáùåé ñåòêå. Òàêèì îáðàçîì, ðàçðàáîòàííàÿ êîìïüþòåðíî-îðèåíòèðîâàííàÿ ìàòåìà- òè÷åñêàÿ ìîäåëü íåñòàöèîíàðíîãî ÌÃÄ ïðîöåññà â ðàññìàòðèâàåìîì êëàññå óñòðîéñòâ, â îñíîâå êîòîðîé ëåæèò ñâåäåíèå êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè è óðàâíåíèé Íàâüå—Ñòîêñà ê ñèñòåìå èíòåãðî-äèôôåðåí- öèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî îñóùåñòâëÿòü ðàñ÷åò ïîëÿ ñêî- ðîñòåé â æèäêîì ïðîâîäíèêå. The mathematical model of a non-stationary magnetohydrodynamic process in the axially symmetric electrical engineering device with a fluid conductor is constructed on the basis of the integro-differential equations. Due to decomposition the problem is reduced to the solution of two subtasks: electromagnetic and hydrodynamic ones. A distinction of the latter subtask is the absence in the integro-differential equations, to which solution it is reduced, the space variable derivatives of decision functions that eliminates the errors brought to the end result from their approximation by finite-dimensional analogs. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåóñòàíîâèâøåãîñÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 19 1. Äóáîäåëîâ Â. È., Åâäîêèìîâ Â. Ô., Êîíäðàòåíêî È. Ï. è äð. Îñåñèììåòðè÷íàÿ èíòå- ãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð ñ ïîãðóæíûì ñòàêàíîì — óñòðîéñòâî ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîðìîæåíèÿ ìàøèíû íåïðå- ðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê êðóãëîãî ñå÷åíèÿ è àëãîðèòìû åå êîìïüþòåðíîé ðåàëèçàöèè // Çá. íàóê. ïðàöü ²ÏÌÅ ³ì. Ã. ª. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè. — Êè¿â : ²ÏÌÅ ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2005. — Âèï. 34. — Ñ. 3 — 20. 2. Ïîäîëüöåâ À. Ä., Êó÷åðÿâàÿ È. Í. Ýëåìåíòû òåîðèè è ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ýëåêòðî- ìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ â ïðîâîäÿùèõ ñðåäàõ. — Êèåâ : Èí-ò ýëåêòðîäèíàìèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, 1999. — 363 ñ. 3. Æèëüöîâ À. Â. Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü äëÿ ðàñ÷åòà âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðî- äèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ ñ æèäêèìè ïðîâîäíèêàìè, ñîñòîÿùèìè èç ñîîñíî ðàñïîëîæåííûõ òåë âðàùåíèÿ // Çá. íàóê. ïðàöü ²ÏÌÅ ³ì. Ã. ª. Ïó- õîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè. — Êè¿â : ²ÏÌÅ ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2007. — Âèï. 39. — Ñ. 3—12. 4. Æèëüöîâ À. Â. Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿ ñêîðîñòåé â æèäêîì ïðîâîäíèêå ýëåêòðîòåõíè÷åñêîãî óñòðîéñòâà, ñîñòîÿùåãî èç ñîîñíî ðàñïîëî- æåííûõ òåë âðàùåíèÿ // Òàì æå. — 2007. — Âèï. 38. — Ñ. 3 — 9. 5. Òîçîíè Î. Â., Ïåòðóøåíêî Å. È. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â òîêîïðîâîäàõ//Òåîðå- òè÷åñêàÿ ýëåêòðîòåõíèêà. — Ëüâîâ: Ëüâîâñêèé óí-ò, 1966. — Âûï. 2. — Ñ. 144 — 147. 6. Êâà÷åâ Ã. Ñ., Ïåòðóøåíêî Å. È. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ìàãíèòîôóãàëüíûõ äâèãàòåëÿõ //Íàóêà è òåõíèêà â ãîðîäñêîì õîçÿéñòâå. — Êèåâ : Áóä³âåëüíèê, 1966. — Âûï. VII. — Ñ. 3 — 10. 7. Ïåòðóøåíêî Å. È., Êâà÷åâ Ã. Ñ. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â îñåñèììåòðè÷íûõ óñò- ðîéñòâàõ//Òåîðåòè÷åñêàÿ ýëåêòðîòåõíèêà. — Ëüâîâ : Ëüâîâñêèé óí-ò, 1967. — Âûï. 3. — Ñ. 141 — 146. 8. Êâà÷åâ Ã. Ñ., Ïåòðóøåíêî Å. È., Áåññàðàá Í. È. Î ÷èñëåííîì ðåøåíèè óðàâíåíèé äèíàìèêè ìàãíèòîôóãàëüíîãî äâèãàòåëÿ //Íàóêà è òåõíèêà â ãîðîäñêîì õîçÿéñòâå. — Êèåâ : Áóä³âåëüíèê, 1967. — Âûï. VIII. — Ñ. 3—19. 9. Ïåòðóøåíêî Å. È. Ê ðàñ÷åòó âèõðåâûõ òîêîâ â ïðîâîäíèêàõ ñëîæíîé ôîðìû // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ýíåðãåòèêà è òðàíñïîðò. — 1969. — ¹ 1. — Ñ. 102—115. 10. Æèëüöîâ À. Â. Ìîäåëèðîâàíèå ïåðåõîäíûõ ÌÃÄ ïðîöåññîâ â ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ ñ æèäêèì ïðîâîäíèêîì è íåëèíåéíûì ìàññèâíûì ìàãíèòîïðîâîäîì íà îñíîâå ñóììàðíûõ ñõåì // Çá. íàóê. ïðàöü ²ÏÌÅ ³ì. Ã. ª. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè. — Êè¿â : ²ÏÌÅ ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2007. — Âèï. 42. — Ñ. 3—22. 11. Æèëüöîâ À. Â. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåñòàöèîíàðíîãî ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà â êðèñòàëëèçàòîðå ÌÍËÇ íà îñíîâå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Òàì æå. — 2007. — Âèï. 43. — Ñ. 3 — 14. 12. Ðîó÷. Ï. Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãèäðîäèíàìèêà. — Ì. : Ìèð,1980. — 616 ñ. 13. Êàëèòêè Í. Í. ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì. : Íàóêà, 1978. — 512 ñ. Ïîñòóïèëà 01.04.08; ïîñëå äîðàáîòêè 23.09.08 ÆÈËÜÖÎÂ Àíäðåé Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷í. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëè- ðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1997 ã. îêîí÷èë Ñèìôåðîïîëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ôðóíçå (Òàâðè÷åñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â. È. Âåðíàäñêîãî). Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ýëåêòðî- òåõíèêè, ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. À. Â. Æèëüöîâ 20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1

Математическая модель неустановившегося магнитогидродинамического процесса в осесимметричных электротехнических устройствах

Репозитарії

Схожі ресурси