Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями

Рассмотрена в общей постановке задача устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями относительно различных определений циклических координат....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2009
Main Author:	Атажанов, Б.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2009
Series:	Электронное моделирование
Subjects:	Математические методы и модели
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101428
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями / Б. Атажанов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 33-48. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-101428
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1014282016-06-04T03:02:18Z Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями Атажанов, Б. Математические методы и модели Рассмотрена в общей постановке задача устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями относительно различных определений циклических координат. Розглянуто у загальній постановці задачу стійкості встановлених рухів неголономних систем з однорідними зв’язками відносно різних визначень циклічних координат. The paper deals with stability of the steady motion of nonholonomic systems with uniform connections in respect of different determinations of cyclic coordinates. 2009 Article Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями / Б. Атажанов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 33-48. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101428 531.36. ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математические методы и модели Математические методы и модели
spellingShingle	Математические методы и модели Математические методы и модели Атажанов, Б. Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями Электронное моделирование
description	Рассмотрена в общей постановке задача устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями относительно различных определений циклических координат.
format	Article
author	Атажанов, Б.
author_facet	Атажанов, Б.
author_sort	Атажанов, Б.
title	Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями
title_short	Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями
title_full	Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями
title_fullStr	Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями
title_full_unstemmed	Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями
title_sort	об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Математические методы и модели
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101428
citation_txt	Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями / Б. Атажанов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 33-48. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT atažanovb obustojčivostiustanovivšihsâdviženijnegolonomnyhsistemsodnorodnymisvâzâmi
first_indexed	2025-07-07T10:54:56Z
last_indexed	2025-07-07T10:54:56Z
_version_	1836985296236838912
fulltext	ÓÄÊ 531.36. Á. Àòàæàíîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò Óçáåêèñòàíà (Óçáåêèñòàí, 100095, Òàøêåíò, ÂÓÇ ãîðîäîê, óë. Óíèâåðñèòåòñêàÿ, 1, òåë.: (8-371) 396-49-30, Å-mail: atajanov_b@rambler.ru) Îá óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ñ îäíîðîäíûìè ñâÿçÿìè (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû À. À. Ìàðòûíþê) Ðàññìîòðåíà â îáùåé ïîñòàíîâêå çàäà÷à óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãî- ëîíîìíûõ ñèñòåì ñ îäíîðîäíûìè ñâÿçÿìè îòíîñèòåëüíî ðàçëè÷íûõ îïðåäåëåíèé öèêëè- ÷åñêèõ êîîðäèíàò. Ðîçãëÿíóòî ó çàãàëüí³é ïîñòàíîâö³ çàäà÷ó ñò³éêîñò³ âñòàíîâëåíèõ ðóõ³â íåãîëîíîìíèõ ñèñòåì ç îäíîð³äíèìè çâ’ÿçêàìè â³äíîñíî ð³çíèõ âèçíà÷åíü öèêë³÷íèõ êîîðäèíàò. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íåãîëîíîìíàÿ ñèñòåìà, óñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ, óñòîé÷èâîñòü è ñòàáèëèçàöèÿ, öèêëè÷åñêàÿ êîîðäèíàòà. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ íàáëþäàåòñÿ ñóùåñòâåííîå ðàñøèðåíèå êëàññà çàäà÷ íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì, ñâÿçàííûõ ñ ïðèêëàäíûìè ïðîáëåìàìè. Êàê èçâåñòíî, òàêèå ñèñòåìû âñòðå÷àþòñÿ ïðè èçó÷åíèè îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ â ðàâ- íîìåðíî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå, â äèíàìèêå ìîáèëüíûõ ðîáîòîâ, â çàäà÷àõ ïóòåâîé óñòîé÷èâîñòè êîëåñíûõ ýêèïàæåé, äèíàìè÷åñêèõ ãàñèòåëåé êîëå- áàíèé è äðóãèõ. Ðàññìîòðèì â îáùåé ïîñòàíîâêå çàäà÷ó óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ñ îäíîðîäíûìè ñâÿçÿìè îòíîñèòåëüíî ðàç- ëè÷íûõ îïðåäåëåíèé öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êèíåòè÷åñ- êàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû è êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèé íåãîëî- íîìíûõ ñâÿçåé ÿâíî íå çàâèñÿò îò âðåìåíè t. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñîäåðæèò êâàäðàòè÷íûå, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé è íå ñîäåðæàùèå îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé ÷ëåíû, óðàâíåíèÿ íåãîëîíîìíîé ñâÿ- çè îäíîðîäíû îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé. Íà ñèñòåìó, êðîìå ïî- òåíöèàëüíûõ ñèë, ìîãóò äåéñòâîâàòü ïðîèçâîëüíûå îáîáùåííûå ñèëû. Óðàâ- íåíèÿ ñâÿçåé îáùåãî âèäà ìîãóò ñîäåðæàòü öèêëè÷åñêèå ñêîðîñòè. Óñòàíîâëåíû îñíîâíûå îòëè÷èÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è îò äîñòàòî÷íî ïîëíî èçó÷åííîé çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé ñêëåðî- ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 33 íîìíûõ íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì [1—11]. Èçâåñòíî, ÷òî óñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ òàêèõ ñèñòåì ðàñïîëîæåíû íà ìíîãîîáðàçèÿõ, ðàçìåðíîñòè êî- òîðûõ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ íå ìåíüøå ÷èñëà íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé îáùå- ãî âèäà, à äëÿ óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé (â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ) íå ìåíüøå ñóììû ÷èñëà ñâÿçåé îáùåãî âèäà è ÷èñëà öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò [4]. Îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå ðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé ìîæåò áûòü ðàçëè÷íîé [3]. Âñëåäñòâèå ýòîãî ÷èñëî íóëåâûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè- ÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà- ÷àõ óñòîé÷èâîñòè íå ìåíüøå ðàçìåðíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ, è çàäà÷è îá óñòîé- ÷èâîñòè èññëåäóåìîãî äâèæåíèÿ íå âñåãäà ìîãóò áûòü ðåøåíû ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ëÿïóíîâà – Ìàëêèíà îá óñòîé÷èâîñòè â îñîáåííîì ñëó÷àå íàëè÷èÿ íåñêîëüêèõ íóëåâûõ êîðíåé [12, 13]. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Ïóñòü ïîëîæåíèå íåãîëî- íîìíîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè q q qn1 2 , ,..., . Íåãîëîíîìíûå ñâÿçè, íàëîæåííûå íà ñèñòåìó, èìåþò âèä � ( ) �q B q q � �� , (1) à ãåîìåòðè÷åñêèå ñâÿçè — íåñòàöèîíàðíûå. Òîãäà êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû áåç ó÷åòà ñâÿçåé (1) èìååò âèä T A q q q A q q A qv v * ( ) � � ( ) � ( )� � � 1 2 0� � � � . Âûðàçèâ åå ÷åðåç íåçàâèñèìûå ñêîðîñòè, çàïèøåì T T T T a q q a q asp s s s� � � � � � 2 1 0 0 1 2 � � � � , (2) a A A B A B Bs s s s� � � �� , a A A Bs s s� � � � , T A 0 0 0 � �� . Çäåñü è äàëåå ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì ïðîâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå, èíäåêñû ïðèíèìàþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: � 1 2, ,..., m l; �� m l m l m1 2, ,..., ; � �, , , ...,�1 2 m , �� m m m k1 2 1 , ,..., ; � � � � � � �m k m k m k 1 1 1 2, ,..., , s m m n� � � � �1 2, ,..., ; r i j m k m k n, , , , ...,� � � � �1 2 , � �, , , ...,�1 2 n . Ïðåäëîæèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (2), óðàâíåíèé íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé (1), ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ � ( )q è îáîáùåííûå ñèëûQ q qv ( , �)ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè â íåêîòîðîé îòêðûòîé îáëàñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà è ÿâíî íå çàâèñÿò îò âðåìåíè t, ïðè÷åì T 2 îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ îòíîñèòåëüíî ñêîðîñòåé. Á. Àòàæàíîâ 34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñèñòåìû ââåäåì âåêòîðû è ìàò- ðèöû [6 ]: � �q q q qn( , ,..., ) 1 2 , � � ( , ,..., )q q qm1 2 1 , � � � � � ( , ,..., )q q qm l m l m1 2 , � � � � � � ( , ,..., )q q qm m m k1 2 1 , � � � � � � � � ( , ,..., )q q qm k m k m k 1 1 1 2 , � � � � � � r q q qm k m k n( , ,..., ) 1 2 , � � � �� ( , ), � � � �� ( , ), � � � � �� ( , )r , � � � �� ( )r , ~ ( , , , )Q Q q r p� 1 1 � , Q Q B Qi1 1 � � � � , Q Q B Q 2 2 � � � � � , Q Q B Q 3 3 � � � � � , a a a a a a a a a a a a a a a as ii i i i i � � � � �� 11 12 13 21 22 23 a a a 31 32 33 , � � � � �a a a as i , , � � , a ai1 � , a a 2 � � , a a 3 � � . Çäåñü øòðèõ îçíà÷àåò òðàíñïîíèðîâàíèå. Ðàçáèåíèå âåêòîðà � íà �� è r îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî õàðàêòåðîì çàâèñèìîñòè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, îáîáùåííûõ ñèë, ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè è óðàâ- íåíèé ñâÿçåé [6] îò ýòèõ ïåðåìåííûõ, à è õàðàêòåðîì èçó÷àåìîé çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé [1, 5]. Ââåäÿ èìïóëüñû ïî ïåðåìåííûì �, ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ðàóñà: p T a r a a a� � � � � � �� 31 32 33 3 , R T p R R R� � � �� 2 1 0 , R r a r r a a 2 11 12 22 1 2 1 2 � � � � � �� * * * � � �, R A r A 1 1 2 � �� , R T p a b p a 0 0 3 3 1 2 � � � � � ( ) ( ), A a p a p ai� � � � � �� * ( ) 3 3 3 1 , a a a �� * � 3 3 , a a a � � � � * � 3 3 , � � b a 33 1 , � � �3 3 � ba ( , , )� � �1 2 , � ( ) � � � � � �� b p a r 3 31 32 . (3) Îá óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 35 Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû â ôîðìå óðàâíåíèé Âîðîíöà â ïåðå- ìåííûõ Ðàóñà [3, 6, 7, 14] áóäóò èìåòü âèä �q R p � � � � � , � � ( � )p R q B R q T q q Q B � � �� Q � , d R dt q R q B R q T q q � � � � � � � � � � �� ( � ) � � � � � � � � � �� Q B Q � �� , (4) d dt R q R q B R q T q q i i i i � � � � � � � � � � � � � � � � � ( � ) � � � � � � � � � �� Q B Qi i� � � , � � � � � �� s s s s s B q B q B B q B B q � � , � � � � � � �� T q A A B q A q � ( ) � � � � � � � � � � � � � � � . Äîïóñòèì, ÷òî ïåðâûå m l ñâÿçåé ÿâëÿþòñÿ ñâÿçÿìè òèïà ×àïëûãèíà, ò. å. � � � ( )T q � � 0 , � � �� B q �0 , � � Q q �0 . Òîãäà ÿâíûé âèä óðàâíåíèÿ ñâÿçåé îáùåãî âèäà è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû â âåêòîðíî-ìàòðè÷íîé ôîðìå áóäåò ñëåäóþùèé: � ( ) � ( ) � ( )� � � � � � � � � � � � B B r B B B b p a 1 3 31 2 3 32 3 3 , (5) a a a a E r pk 11 12 31 21 22 32 1 1 0 0 1 * * * * � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A r A A A p a A r A A A 11 1 11 1 1 12 1 13 3 21 1 21 2 1 22 1 2 � � � � ( ) 3 3 31 1 31 2 1 32 1 33 3 1 1 1 ( ) ( ) p a A r A A A p a r r p � � � � � � � � � � � � � a 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M M M M M M r F q p a 11 12 21 22 31 32 1 1 1 3 � ( , ) F q p a F q p a Q Q Q 2 3 3 3 1 2 3 ( , ) ( , ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , (6) �r r� 1 , � � �� 1 , � ( )� � � �� b p a r 3 31 1 32 1 . Á. Àòàæàíîâ 36 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 Êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû óðàâíåíèé (6) âûðàçèì ÷åðåç ýëåìåíòû ìàò- ðèö êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, îáîáùåííûõ ñèë, ÷ëåíîâ íåãîëîíîìíîñòè è óðàâíåíèé ñâÿçè [1, 2, 6] (ïðèâåäåíû ïåðâûå ñòðîêè âåêòîðíî-ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé (6)): A a a a B B ar11 11 11 31 11 1 3 31 11 1 2 � � ( ) * ( ) * ( ) * [ ( ) ( � � � � � � � � �] * [ ] * )� B a 1 11 � � � � � �� r r ir i r ) )� � , A a a a B B a r12 1 11 11 32 11 2 3 32 12 � � � ( ) * ( ) * ( ) * ( ) ( ) � � � � � � � * ( ) * �a 12 31� � � � a B B a B ar r12 1 3 31 12 1 12( ) * [ ] * [ ] * ( ) ( ) � � � � � � �� 31 32 ) )� �i i � � � � �� 32 31 ) )� �ir i , A a a a B B a 12 12 12 32 12 2 3 21 22 1 2 � � ( ) * ( ) * ( ) * [ ( ) ( � � � � � � � r B a ] * [ ] * )� � �1 22 � � � � �� 32 32 ) )� �i i , A b b B b B b b b r i13 1 31 31 3 1 2 � � � � �( ) [ ] [ ] ( ) ( )� � � � � �� , M A A A B B A B A r r11 1 1 31 1 3 31 1 1 � � � ( ) ( ) ( ) [ ] [ ( ) ( � � �! � �! � � �] )� � � ( ) ( ) ) ( ) * [ ] a B a b p a ir i11 3 11 3 31� � � � � � � � �� r i b p a 31 3 ) [ ( )]� , M A A A B B A B A r12 1 1 32 1 2 3 32 2 2 2 � � � ( ) ( ) ( ) [ ] [ ( ) ( � � � � � � � � �] ) � � � ( ) ( ) ) ( ) [ ] a B a b p a i i12 3 12 3 32� � � � � � � � � �� 32 3 ) [ ( )]� i b p a , F q p a a a b p a 1 3 1 31 3 3 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] a a B b p a a B a b r1 31 3 3 3 3 1 3� � � � � � ( )p a 3 � ( ) ( ) [ ( ) ][ ( )]T B T b p a b p ar r i0 1 0 3 3 � � � � � � �� , W q( ) ,W q[ ] äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöûW wq ij q( ) ( ) � îçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåí- íî âåêòîðû ñ ìàòðè÷íûìè êîìïîíåíòàìè � � w q iv j , � � w q ij v , ãäå � — íîìåð êîìïîíåíòû âåêòîðà [6]. Îá óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 37 Â ñòðóêòóðàõ ýòèõ óðàâíåíèé ñîäåðæàòñÿ ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïî- çèöèîííûõ ñêîðîñòåé è íåîäíîðîäíûå îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ êîîð- äèíàò ÷ëåíû. Íàëè÷èå ÷ëåíîâ íåãîëîíîìíîñòè îáóñëîâëèâàåò ïîÿâëåíèå ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî íåçàâèñèìûõ ñêîðîñòåé, ëèíåéíûõ ÷ëåíîâ, à òàêæå ÷ëåíîâ, íå ñîäåðæàùèõ ñêîðîñòåé. Çàìå÷àíèå 1. Èñïîëüçîâàíèå ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ äëÿ îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè èëè ñòàáèëèçàöèè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé ïîñëå íåîáõîäèìûõ ïðåîáðàçîâàíèé [12, 13] ïðàêòè÷åñêè íåèçáåæíî èçìåíÿåò èñõîäíóþ ñòðóêòóðó ñèë. Ïîýòîìó äëÿ òàêèõ çàäà÷ öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàíèå ïåðåìåííûõ Ðàóñà [3, 6, 7, 14], êîòîðûå, âî-ïåðâûõ, íå èçìåíÿþò ñòðóêòóðó ñèë, âî-âòîðûõ, áîëåå óäîáíû äëÿ àíàëèçà íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ èìïóëüñàì, â-òðåòüèõ, ïðè èññëåäîâàíèè çàäà÷è ñòàáèëèçàöèè, ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè óïðàâëåíèÿ, íåò íåîáõîäèìîñòè ïðèâîäèòü óðàâíåíèÿ äëÿ óïðàâëÿåìûõ ïåðåìåííûõ ê íîðìàëüíîé ôîðìå. Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé. Èññëåäîâà- íèå óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì èìååò ñâîè îñîáåííîñòè, òàê êàê äëÿ íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì, â îòëè÷èå îò ãîëî- íîìíûõ, èìååòñÿ íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ îïðåäåëåíèé öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò [4]. Â îáùåì ñëó÷àå ðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé ñêëåðîíîìíîé íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè íå ìåíüøå åäèíèöû è íèêàê íå ñâÿçàíà, â îòëè÷èå îò ãîëîíîìíûõ ñèñòåì, ñ ÷èñëîì öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò è íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé, ò.å. çàäà÷è ïîèñêà óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé è èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ â ñëó÷àå íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì íå ÿâëÿþòñÿ òåñíî ñâÿçàííûìè. Ïóñòü êîîðäèíàòû q � öèêëè÷åñêèå â ñëåäóþùåì ñìûñëå: â âûðàæåíèÿ îáîáùåííîé ñèëû Q � , êèíåòè÷åñêîé, ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè Ò, Ï (q) ñèñ- òåìû (ôóíêöèè Ðàóñà), ñîñòàâëåííûå ñ ó÷åòîì íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé ÷ëå- íîâ íåãîëîíîìíîñòè, ýòè êîîðäèíàòû ÿâíî íå âõîäÿò, à ìîãóò âõîäèòü èõ ñêîðîñòè R T, , , ( , ) � � � � � �0 0 0� , B s� �, �0, ( ) , � � � � � �s s �0, ( ) , � � � � � �s �0, Q � �, �0. (7) Çäåñü âåðõíèé èíäåêñ � ïîñëå çàïÿòîé îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî �. Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé (5, 6), çàïèñàííàÿ â ïåðåìåííûõ Ðàóñà, ìîæåò ñîâåðøàòü óñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ q q � � � 0 , q qr r� 0 , �qr �0, �q � � �� 0 const, p c � � � �const, (8) êîòîðûå îïðåäåëÿåì èç ñèñòåìû óðàâíåíèé ( ) ( )B B B b p a � � � � � 2 3 32 1 3 3 0 � � , (9) Á. Àòàæàíîâ 38 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 � � � � � � � �� 1 12 1 3 13 3 12 1 1 3 1 A p a A p a M F q p a Q Bi( ) ( ) ( , ) Q � �0, (10) � � � � � � � �� 1 22 1 3 23 3 22 1 2 3 2 A p a A p a M F q p a Q B( ) ( ) ( , ) Q � � 0, (11) � � � � � � � �� 3 32 1 3 33 3 32 1 3 3 3 A p a A p a M F q p a Q B( ) ( ) ( , ) Q � �0. (12) Åñëè ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé, ò. å. îòñóòñòâóþò îáîáùåííûå ñè- ëû, óñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå ñèñòåìû èìååò ìíîãîîáðàçèÿ ðàçìåðíîñòè íå ìåíüøå åäèíèöû [4, 10]. Ïîñêîëüêó ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû óðàâíåíèé (9) — (12) ðàâåí íóëþ, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî èç óðàâíåíèé ýòîé ñèñòåìû íå ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìûì. Â ïåðåìåííûõ Ðàóñà ýòî ëåãêî ïîäòâåðæäàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé (4) ñ ó÷åòîì óñëîâèé (7) è (8). Åñëè óìíî- æèòü âòîðóþ è òðåòüþ ãðóïïó óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâåííî íà �a è � �, çàòåì ñëîæèòü âñå óðàâíåíèÿ, òî ñ ó÷åòîì (3) ïîëó÷èì B R q b p a B R q �� 0 3 32 0 0[ ( ) �] � � � èëè � � � � � � � � R q B B B b p a[( ) � ( )] 2 3 32 3 3 0 � � . Òåïåðü â ñèëó óðàâíåíèé íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé (5) ÷èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (9) — (12) áóäåò ìåíüøå õîòÿ áû íà åäèíèöó. Ââåäÿ âîçìóùåíèÿ ïî ôàçîâûì ïåðåìåííûì q q s � � � � 0 , q q xr r� � 0 , �q z � � �� 0 , p c y � � � � , ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ, âûäåëèâ â íèõ ïåðâîå ïðè- áëèæåíèå: �x x� 1 , A x A z Ã y D G x D G z D G y 1 0 1 12 0 1 11 1 12 13 � � � ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � �( ) ( ) ( , , , , )C P x C P s s x x y z 1 12 1 1 " , A x A z Ã y D G x D G z D G y 21 0 1 2 0 2 21 1 22 23 � � � ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � �( ) ( ) ( , , , , )C P x C P s s x x y z 2 22 2 1 " , (13) � ( ) ( ) ( )y D G x D G z D G y� � � � � � � 31 1 32 33 � � � � �( ) ( ) ( , , , , )C P x C P s s x x y z 3 32 3 1 " , � ( , , , , ),s B x B z H y K x K s s x x y z� � � � � � 1 1 2 3 1 2 4 1 " ãäå Ô1, Ô2, Ô3, Ô4 — íåëèíåéíûå ÷ëåíû; Îá óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 39 � � � �Ã Ã Ã( , ) ! 2 , Ã ! � ( )� 31 0 , Ã 2 32 0 � ( )� , A a a a a � # $ % & ' ( 11 12 21 22 0 * * * , G M� { } 0 , M M M M M M M � 11 12 21 22 31 32 , X q p a A p a A p a M Fi i i i i( , , ) ( ) ( ) (� � � � 1 3 1 2 1 3 3 3 2 1 � � � � � � � q p a, ) 3 , P Q u B u Q B Q u � � � # $ % & ' ( � � � � � � � �� 0 , D Q v B Q v Q v o � � # $ % & ' ( � # $ ) % ) & ' ) ( ) � � � � � � � �� 0 0 * , B B B� { } �� 3 3 0 , b b 0 0 � { } , H B b 3 3 0 � { } � , ( , )u q qr� � , � � � �u q qr( , ) � , v r p� ( , , ) 1 1 � , u s x� ( , ) , v x z y� ( , , ) 1 , Q r r p Q B Q Q Pu Dv Q � � �� * * ( ( , , , , , , , ) { } 1 1 1 0 2 � � � � � � ) , X X Cu Gy X� � � �{ } ( ) 0 2 , K u B B B b p aj � � # $ % & ' ( � � � �* � � (( ) ( )) 3 32 3 3 0 , G G A Mi i i i i1 1 1 0 0 1 0 � � �{ } { }� � , G A A Mi i i i2 0 2 0 2 0 0 2 0 � � � �� { } { } { } , G X y i i 3 0 � # $ % & ' ( � � , C C X u iu i � � # $ % & ' ( � � 0 , ( , , )i �1 2 3 , ( , )j �1 2 . Çäåñü çíàê {}0 îçíà÷àåò, ÷òî âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ñêîáêàõ, âû÷èñëåíî ïðè ñòàöèîíàðíîì äâèæåíèè (8); âåðõíèé èíäåêñ «(2)» îçíà÷àåò ïîðÿäîê ìëàä- øèõ ÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè ñîîòâåòñòâóþùåãî âûðàæåíèÿ. Ïðè ýòîì â óðàâ- íåíèÿõ äâèæåíèÿ ñèñòåìû íå äîïóñêàþòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, öèêëè÷åñêèå èíòåãðàëû. ×èñëî óðàâíåíèé ñèñòåìû (9) — (12) â îáùåì ñëó÷àå íå ìåíü- øå ÷èñëà ïåðåìåííûõ qn , qr , �q � , q � â (8). Åñëè ñèñòåìà óðàâíåíèé (9) — (12) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî âåëè÷èí qn0 , qr0 , �q �0 , q � , òî òàêîå ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå ñèñòåìû áóäåò èçîëèðîâàííûì. Åñëè ñèñòåìà îáëàäàåò ìíîãîîáðàçèåì óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé, òî óñòàíî- âèâøååñÿ äâèæåíèå ñèñòåìû áóäåò íåèçîëèðîâàííûì. Èòàê, íåãîëîíîìíûå ñèñòåìû ïðè Q + 0 ñ öèêëè÷åñêèìè ïî îïðåäå- ëåíèþ (7) êîîðäèíàòàìè â îáùåì ñëó÷àå ìîãóò ñîâåðøàòü èçîëèðîâàííîå óñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ñîñòàâëåííîå äëÿ (13), íåñèììåòðè÷íî [1, 2] è íå èìååò, â îáùåì ñëó÷àå, íóëåâûõ êîðíåé, òàê êàê óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ (13) ñîäåðæàò ëèíåé- Á. Àòàæàíîâ 40 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 íûå ÷ëåíû îòíîñèòåëüíî ñêîðîñòåé è èìïóëüñîâ, à íåãîëîíîìíûå ñâÿçè îáùåãî âèäà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîãóò ñîäåðæàòü ëèíåéíûå ÷ëåíû îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî óñòàíîâèâøèåñÿ äâèæå- íèÿ íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû ñ îäíîðîäíûìè ñâÿçÿìè ìîãóò áûòü àñèìïòî- òè÷åñêè óñòîé÷èâûìè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ ïðè äåéñòâèè âíåøíèõ îáîáùåííûõ ñèë Q � * . Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè (7) ìîæíî ðåøàòü, èñïîëü- çóÿ òåîðåìû Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ. Çàìå÷àíèå 2. Â ðàáîòå [6] óïîìÿíóòî, ÷òî ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ïîçèöèîííûõ ñèë íåñèììåòðè÷íà, à êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ ñîñ- òàâëÿþùàÿ ïîÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî ïðè íàëè÷èè íåïîòåíöèàëüíûõ ïîçè- öèîííûõ ñèë â âåêòîðå Q � * . Òàêèå ÷ëåíû ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ïðè äåéñòâèè ñèë, ñîäåðæàùèõ ñêîðîñòè. Ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ ëèíåéíûõ ïîçèöèîííûõ ñèë ïðè âûðàæåíèè íåêîòîðîé ÷àñòè ñêîðîñòåé ÷åðåç èì- ïóëüñ (3). Ïîêàæåì, ÷òî òàêèå ÷ëåíû ìîãóò ïîÿâèòüñÿ âñëåäñòâèå ïðèëîæåíèÿ ñèë ïî êîîðäèíàòàì, ñîîòâåòñòâóþùèì çàâèñèìûì ñêîðîñòÿì, à òàêæå â ñëó÷àå, åñëè îáîáùåííûå ñèëûQ � * çàâèñÿò îò ñêîðîñòåé. Íàïðèìåð, äåéñò- âóþùèå íà ñèñòåìó ñèëû — ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ñêîðîñòåé Q q q q q q q q p Q B Qr r� � � � � � � �� * ( , , , , � , � , � , ) � � � � � �Q q q Q q q Q q q ! � � � * * * ( ) � ( ) � ( ) � 2 3 . Òîãäà ñ ó÷åòîì (3) è (5) ïîëó÷èì Q Q q Q q B B Q q q � ! �� ,� � � � * * * * [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] �� 2 3 3 � � [ ( ) ( )] ( ) * Q q B Q q b p a ! �3 3 3 . Äàëåå, àíàëîãè÷íî [6], ðàçëàãàÿ â ðÿä ýòîò âåêòîð â îêðåñòíîñòè óñòàíî- âèâøèõñÿ äâèæåíèé (8), ïîëó÷àåì ëèíåéíûå ÷ëåíû ñ ïîñòîÿííûìè êîýô- ôèöèåíòàìè îòíîñèòåëüíî ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ s, x, x1, z, y. Ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé (7) ëè- íåéíûå ïî ïîçèöèîííûì êîîðäèíàòàì ÷ëåíû ìîãóò ïîÿâèòüñÿ âñëåäñòâèå îáîáùåííûõ ñèë, çàâèñÿùèõ îò ñêîðîñòåé, à òàêæå âñëåäñòâèå çàâèñè- ìîñòè (3). Êðîìå òîãî, â óðàâíåíèÿõ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (11) ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ñèëû, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò, ñ ó÷åòîì ÷ëåíîâ íåãî- ëîíîìíîñòè, ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè è ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ êèíåòè- ÷åñêîé ýíåðãèè, ò. å. ñèëû Cu, Hy, Gx 1 . Òîãäà, ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ, âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé. Âûáî- ðîì êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè îáîáùåííûõ ñèëQ � è ëèíåéíûõ ÷ëåíîâ â F è G ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (12) áûëè îòðèöàòåëüíûìè. Îá óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 41 Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: åñëè äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè âñåõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (13) îòðèöàòåëüíû, òî óñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå (8) íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ íåçàâèñèìî îò ÷ëå- íîâ âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ýòî âîçìîæíî òîëüêî äëÿ èçîëèðîâàííûõ äâèæåíèé. Îäíàêî ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ âîç- ìîæíû ñèòóàöèè, êîãäà ñèñòåìà èìååò ìíîãîîáðàçèå óñòàíîâèâøèõñÿ äâè- æåíèé, íàïðèìåð â ñëåäóþùåì ñëó÷àå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñâÿçè îáùåãî âèäà (5), âîîáùå ãîâîðÿ, ñîäåðæàò öèêëè÷åñêèå ñêîðîñòè. Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: ( )B �� 0 0� , (14) � � �� 0, � � - �� 0 . (15) Óñëîâèÿ (14) îçíà÷àþò, ÷òî êîýôôèöèåíòû B �� îáðàùàþòñÿ â íóëü òîëü- êî ïðè ðàññìàòðèâàåìîì óñòàíîâèâøåìñÿ äâèæåíèè (8), à óñëîâèÿ (15) — ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ öèêëè÷åñêèõ èìïóëüñîâ íå ñîäåðæàò ÷ëåíîâ, êâàäðàòè÷íûõ è ëèíåéíûõ ïî ñêîðîñòÿì (èìïóëüñàì) öèêëè÷åñêèõ êîîð- äèíàò. Óñëîâèÿ (15) âûïîëíÿþòñÿ, åñëè â ñèñòåìå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (2) A � .0 è A r� .0. Òîãäà, åñëè îòñóòñòâóþò âíåøíèå ñèëûQr , ìíîãîîáðà- çèå óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèé (10) è (14). Ïðè ýòîì â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ñèñòåìû íå äîïóñêàþòñÿ, âîîáùå ãîâî- ðÿ, öèêëè÷åñêèå èíòåãðàëû. Åñëè B �� îáðàùàþòñÿ òîæäåñòâåííî â íóëü ïðè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèÿõ (8), òî ìíîãîîáðàçèå óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî óðàâíåíèåì (10) è ðàçìåðíîñòü åãî íå ìåíüøå ñóììû ÷èñëà öèêëè- ÷åñêèõ êîîðäèíàò è ÷èñëà íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé îáùåãî âèäà [4]. Ðàññìîòðèì óñòîé÷èâîñòü óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé (8) â ñëåäóþ- ùåì ñëó÷àå. Ïóñòü êðîìå óñëîâèé (14) è (15) âûïîëíåíû óñëîâèÿ B �� . 0 , ( )B �� 0 0. , � � �� B q �0, Q � � 0 , êîòîðûå îçíà÷àþò, ÷òî ñâÿçè îáùåãî âèäà íå ñîäåðæàò ÷àñòü öèêëè÷åñêèõ ñêîðîñòåé [14]; êîýôôèöèåíòû, ñîäåðæàùèå öèêëè÷åñêèå ñêîðîñòè, îáðà- ùàþòñÿ â íóëü ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ äâèæåíèè è íå çàâèñÿò îò öèêëè- ÷åñêèõ êîîðäèíàò [3]; îáîáùåííûå ñèëû íå äåéñòâóþò ïî öèêëè÷åñêèì êîîðäèíàòàì. Òîãäà ìíîãîîáðàçèå óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé (8) îïðåäå- ëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ (10), ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî íå ìåíüøå ÷èñëà öèêëè- ÷åñêèõ êîîðäèíàò. Á. Àòàæàíîâ 42 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ / ( )0 � � � � � � E E C P A D G A D G Ã D G 0 0 � 0 � 0 � 0 0 0 1 1 0 11 21 0 12 1 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C P C P A D G A D G Ã D G � � � � � 12 2 21 0 21 2 0 22 2 23 0 � 0 � 0 � C P C P D G D G E D G C P K � � � � � � ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 31 32 33 32 1 0 B B H K E 1 2 3 2 0 � � 0 èìååò, ïî êðàéíå ìåðå, k 1 íóëåâûõ êîðíåé (k 1 — ÷àñòü ÷èñëà öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò, äëÿ êîòîðîé ââåäåíû öèêëè÷åñêèå èìïóëüñû). Ïðè B �� 0 âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî óðàâíåíèÿ ñâÿçåé îáùåãî âèäà íå ñîäåðæàò ÷àñòè öèêëè÷åñêèõ ñêîðîñòåé, â ñèñòåìå (13) ÷ëåíû ( )D G� 22 , ( )D G� 23 , ( )C P� 2 , ( )C P� 22 , ( )G D� 32 , ( )D G� 33 , ( )C P� 32 , B 2 , H 3 , K 2 îáðàùàþòñÿ â íóëü. Òîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñèñòåìû áó- äåò èìåòü k 1 íóëåâûõ êîðíåé, ò. å. èõ ÷èñëî ðàâíî ÷èñëó ÷àñòè öèêëè÷åñ- êèõ êîîðäèíàò. Äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ íåîáõîäèì àíàëèç íåëèíåéíûõ ÷ëå- íîâ, ÷òîáû îïðåäåëèòü òèï êðèòè÷åñêèõ ñëó÷àåâ. Çàìå÷àíèå 3. Çàäà÷ó èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ñ îäíîðîäíûìè ñâÿçÿìè ìîæíî ðåøàòü íå òîëüêî ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåì Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ è Ëÿïóíîâà—Ìàëêèíà îá óñòîé÷èâîñòè â îñîáåííîì ñëó- ÷àå íåñêîëüêèõ íóëåâûõ êîðíåé. Âîçìîæíû îáùèå íåîñîáåííûå êðèòè- ÷åñêèå ñëó÷àè íàëè÷èÿ íåñêîëüêèõ íóëåâûõ ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé. ×èñëî êðèòè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ ìîæåò íå ñîîòâåòñòâîâàòü ðàçìåðíîñòè ìíîãî- îáðàçèÿ óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé. Â ýòèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî ïðîâåñòè àíàëèç íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ è îïðåäåëèòü òèï êðèòè÷åñêèõ ñëó÷àåâ. Ëèíåéíàÿ çàìåíà äëÿ âûäåëåíèÿ êðèòè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ ìîæåò ñó- ùåñòâåííî èçìåíèòü èñõîäíóþ ñòðóêòóðó óðàâíåíèé, ÷òî óñëîæíèò èññëå- äîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ èññëå- äîâàíèå êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ äàæå â ñëó÷àÿõ ïîëó÷åíèÿ òîëüêî íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè ïðèâîäèò ê òðóäîåìêèì âû- ÷èñëåíèÿì è çíà÷èòåëüíûì âðåìåííûì çàòðàòàì. Âûðàæåíèå óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè â ÿâíîì âèäå ÷åðåç ïàðàìåòðû ñèñòåìû âåñüìà ãðîìîçäêî. Ïîýòîìó äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ öåëåñîîáðàçíî ââîäèòü â ñèñòåìó èñ- ïîëíèòåëüíîå óñòðîéñòâî (ðåãóëÿòîð), ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî ïîëó- ÷èòü íåîáõîäèìûå ðåçóëüòàòû. Çàìå÷àíèå 4. Óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ â ïåðåìåííûõ Ðàó- ñà áîëåå óäîáíû äëÿ àíàëèçà íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèé, ñîîòâåòñò- Îá óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 43 âóþùèõ öèêëè÷åñêèì èìïóëüñàì. Ïðè àíàëèçå ýòèõ íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ âûÿâëåíû íîâûå ñëó÷àè, êîãäà âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé òåîðèè êðèòè÷åñêèõ ñëó÷àåâ ìîæíî ñâåñòè ê îñîáåííîìó ñëó÷àþ. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ïîêàçàëè, ÷òî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèåå (ââå- äåíèå èìïóëüñîâ), ñîêðàùàÿ ðàçìåðíîñòü ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñòàð- øèõ ïðîèçâîäíûõ, ÷àñòî ïðèâîäèò ê óñëîæíåíèþ èõ êîìïîíåíò, ÷òî çíà- ÷èòåëüíî çàòðóäíÿåò èññëåäîâàíèÿ ñòðóêòóðû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Çàìå÷àíèå 5. Åñëè â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ñ íåñêîëüêèìè öèêëè- ÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè ñóùåñòâóåò ãèðîñêîïè÷åñêàÿ ñâÿçàííîñòü ïî öèêëè- ÷åñêèì êîîðäèíàòàì, ñëåäóåò ââîäèòü èìïóëüñ òîëüêî ïî òîé öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòå, êîòîðàÿ ãèðîñêîïè÷åñêè íå ñâÿçàíà ñ ëàãðàíæåâûìè êîîðäè- íàòàìè. Â ýòîì ñëó÷àå èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæå- íèé çíà÷èòåëüíî óïðîùàþòñÿ. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå íåîäíîðîäíîãî îñåñèììåòðè÷íîãî øàðà ïî ñôåðè÷åñêîé ÷àøå [10]. Ïðåäïîëîæèì ÷òî, íà îñè ñèììåòðèè â ãåîìåò- ðè÷åñêîì öåíòðå øàðà ðàñïîëîæåí ðîòîð, âðàùàþùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëî- âîé ñêîðîñòüþ. Â [13] ðàññìîòðåíà çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ ïðè äåéñòâèè äèññèïàòèâíûõ ñèë, òàê êàê ïî íåêîòîðûì ïåðåìåííûì áåç äèññè- ïàöèè àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü íå íàáëþäàåòñÿ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò òðè íóëåâûõ êîðíÿ. Ïîëó÷åíû äîñòà- òî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ. Â ðàáîòå [15] èññëåäîâàíû äèíàìè÷åñêèå ðåæèìû íîâîãî ãàñèòåëÿ âû- íóæäåííûõ êîëåáàíèé âûñîòíûõ ñîîðóæåíèé. Ãàñèòåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó «òÿæåëûé øàð â ñôåðè÷åñêîé âûåìêå», óñòàíîâëåí- íóþ íà ìàññèâíîì íåñóùåì òåëå. Ðàññìîòðèì òÿæåëûé íåîäíîðîäíûé øàð ñ ðîòîðîì â ñôåðè÷åñêîé ÷àøå. Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèÿ íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé îáùåãî âèäà ñîäåðæàò ÷àñòü öèêëè÷åñêèõ ñêîðîñòåé è ðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðàçèé óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæå- íèé íå çàâèñèò îò ÷èñëà öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò è ñâÿçåé îáùåãî âèäà. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñâÿçåé îáùåãî âèäà ñîäåðæàò ëèíåéíûå ÷ëåíû, çàâèñÿùèå îò ïîçèöèîííûõ êîîðäèíàò è îò êîîðäèíàò, ñêîðîñòè êî- òîðûõ çàâèñèìû. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà [6, 10] äëÿ íåîäíîðîäíîãî øàðà è ðîòîðà èìååò âèä L m m a A 0 2 1 2 1 2 1 2 2 21 2 1 2 � � � � �� 1 � � 1 � �( � sin ( ) � ) ( )( � sin ( ) � 2 )� � � ma� �� 1 1 11 � � ! ( � � sin ( ) sin ( ) cos ( )( � � sin ( ) sin ( 1 1 1 1 )� � � � � cos ( ) cos ( )) sin ( )( � � cos ( ) sin ( ))�� 1 1 �1 � � ! 1 1 1 1 )� � � � � � � 1 2 1 2 2 1 2C mg a B B( � cos ( ) � ) ( cos ( ) cos ( )) � ( �1 � 2 � � � � 2 �1 � �� cos ( )) � . Á. Àòàæàíîâ 44 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 Çäåñü1 1 ,� 1 , 2� �� 1 — îáîáùåííûå êîîðäèíàòû; m, A è C — ñîîòâåòñòâåí- íî ìàññà, ýêâàòîðèàëüíûé è îñåâîé ìîìåíòû èíåðöèè øàðà è óñëîâíî îñòàíîâëåííîãî ðîòîðà; g — óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ; Â — ìîìåíò èíåðöèè ðîòîðà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ; �� — óãëîâàÿ ñêîðîñòü ðî- òîðà; R è r — ðàäèóñû ÷àøè è íåîäíîðîäíîãî øàðà; à — ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðîì òÿæåñòè è ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì øàðà; � � R r. Óñëîâèå êà÷åíèÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ïðèâîäèò ê äâóì óðàâíåíèÿì íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé îáùåãî âèäà, îäíîðîäíûì îòíîñèòåëüíî îáîáùåí- íûõ ñêîðîñòåé: � ((cos ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( )) � cos ( ) si 1 � � � 1 1 2 � 1 1 1 1 � r n ( ) � � )1 1 � 1 � 1 , � ((sin ( ) sin ( )) � cos ( ) � ) � � 1 1 2 1 1 � � 1 1 1 � r . Îáîçíà÷èâ îáîáùåííûå êîîðäèíàòû 1 1 , � 1 , 2, �, 1, � ñîîòâåòñòâåííî ÷å- ðåç ~ ( , , , , , � )q q q q q q q� 1 2 3 4 5 6 , çàïèøåì � � � � �1 2 � � 1 � 1 13 14 15 16 � � �B B B B , � � � � �� 2 � � 1 � 1 23 24 25 26 � � �B B B B , ãäå B r 13 1 � � � � � 1 1 3 ! [cos sin cos ( )ctg , B r 14 1 � � � 1 1 3 ! ctg sin ( ) , B r 15 � � , B 16 0� , B r 23 1 � � � 1 1sin sin ( ), B r 24 1 � � 1 1cos ( ), B 25 0� , B 26 0� . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñ ó÷åòîì íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé èìååò âèä L mr� 1 2 2 1 1 (((cos ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( )) �� 1 1 2 � cos( ) sin ( ) � � ) sin ( ) ((sin ( )sin( ))� 1 1 � 1 � � 1 1 1 1 1 2 1 � cos( ) � ) )2 1 1 � � 1 2 � � � � 1 2 2 2 2 1 m a A mar( )( � sin ( ) � ) ( � ((sin ( ) sin ( )1 � � � � 1 1 ) �2 � cos ( ) � ) sin ( ) sin ( ) cos ( )( � ((cos ( )1 1 � � � 1 1 1 � 1 1 1 cos ( ) sin ( ) cos ( )) � cos ( ) sin ( ) � � ) s� � 1 1 2 � 1 1 � 1 1 1 1 1 in ( ) sin ( )� � 1 � � � ((sin ( ) sin ( )) � cos ( ) � ) cos ( cos ( ))� � 1 1 2 1 1 � �4 � 1 1 1 � Îá óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 45 � sin ( )( � cos ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( )) �1 1 � � � � 1 1 2 1 1 1 � �cos ( ) sin ( ) � � ) cos ( ) sin ( ) ( � cos ( )� 1 1 � 1 � � 1 � 1 1 1 1 2 C � )2 2 � � � � �mg a B B( cos ( ) cos ( )) � ( � � cos ( )) �� 2 �1 � � 1 21 2 . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñèñòåìû ñîäåðæèò êâàäðàòè÷íûå ÷ëåíû, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé è íå ñîäåðæàùèå îáîáùåííûõ ñêî- ðîñòåé. Óðàâíåíèÿ íåãîëîíîìíîé ñâÿçè îäíîðîäíû îòíîñèòåëüíî îáîá- ùåííûõ ñêîðîñòåé. Êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèé ñâÿçè è ôóíêöèè Ëàãðàíæà íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàò �, 2, à óðàâíåíèÿ ñâÿçè íå ñîäåðæàò öèêëè÷åñêóþ ñêîðîñòü �� 4 �� B .0 [14], íî ñîäåðæàò öèêëè÷åñêóþ ñêîðîñòü �2 ïðè ñâÿçÿõ îáùåãî âèäà. Îäíàêî åñëè âìåñòî êîîðäèíàòû 1 1 ââåñòè äðóãóþ ïåðåìåííóþ, òî ïåðâîìó óðàâíåíèþ ñâÿçè ìîæíî ïðèäàòü âèä ñâÿçè òèïà ×àïëûãèíà, íî ïðè ýòîì ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ôóíêöèè Ëàãðàíæà (Ðàóñà) çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿåòñÿ. Ââåäÿ èìïóëüñ ïî öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòå �, ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ðàóñà [7, 14]: p L B� � � �� 2 �1 �4 � ( � � � cos , � � � cos� � 2 1 � p B , R L p q A q B p B A � � � � � � � � � � � � cos� � 2 1 � 1 2 1 2 1 2 , ãäå � ( � , � , � ) ( � , � , � )q q q q1 3 4 5 � �2 � 1 ; A A — ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ êèíåòè÷åñ- êîé ýíåðãèè (ôóíêöèè Ëàãðàíæà) ñ ó÷åòîì íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ÿâíîì âèäå â ïåðåìåííûõ Ðàóñà, ñîñòàâëåííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé MAPLE, ñëèøêîì ãðîìîçäêè, ïîýòîìó çäåñü íå ïðèâåäåíû. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû äîïóñêàþò ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ âèäà �2 � m, 1 1� 1 , � �1 1� � + 1 0n , � �+ + 1 0, � � �0, � � 1 0� , p p� 0 , ãäå m, n, p 0 — ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû (ïðè çíà÷åíèÿõ óãëîâ � �+ + 1 0 ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ôóíêöèè Ëàãðàíæà âûðîæäàþòñÿ). Ðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé ðàâíà òðåì è îïðåäåëÿåòñÿ óðàâ- íåíèÿìè sin ( )1 1 � 1 0, n p r n r( ) ( sin cos )� � ctg 1 � � � , 5 6 mg a r m a B a e( sin sin ) , ( )� � � � � � 1 2 33 24 33 33 05 1 Á. Àòàæàíîâ 46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1 – mn 5 6 a B a B e 35 24 35 35 1 � � �� sin � � � �n a B a B e p n2 55 24 55 55 0 05 1[ , ( ) sin cos ] sin � � � � � � 7. Çäåñü âåðõíèå èíäåêñû îçíà÷àþò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî ýòèì ïåðå- ìåííûì. Óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ â îêðåñòíîñòè óñòàíîâèâøåãî äâèæåíèÿ ñ âûäåëåííûìè ëèíåéíûìè ÷ëåíàìè èìåþò âèä � � ( , , , , , � , � )s a a x a x a s s s x x x x 1 1 2 2 3 1 4 2 1 1 2 1 2 1 1 2 � � � �� " , � � ( )s b x b x s 2 1 1 2 2 2 2 � � �" , a a x a x y b x c x c x s 33 34 1 35 2 34 1 34 1 35 2 2 � �� ( )�� " 3 , a a x a x b x b b x c s c x 43 44 1 45 2 44 1 43 45 2 42 2 44 � �� 1 4 ) �" , a a x a x Ãy b x c x s 53 54 1 55 2 54 1 53 2 2 5 � �� ( )�� " , �y c�" , ãäå s s x x y 1 2 1 2 , , , , ,� — âîçìóùåíèå ñîîòâåòñòâåííî ïî ïåðåìåííûì 1 � 1 1 , , 2� �� 1� p; " " 1 6 ,..., — íåëèíåéíûå ÷ëåíû. Êîýôôèöèåíòû ëèíåéíûõ ÷ëå- íîâ ïîñòîÿííûå è âûðàæåíû ÷åðåç ýëåìåíòû ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ ôóíê- öèé Ðàóñà è íåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé. Óðàâíåíèÿ ñâÿçåé îáùåãî âèäà ñäåðæàò ëèíåéíûå ÷ëåíû çàâèñÿùèõ îò âîçìóùåíèé ôàçîâûõ êîîðäèíàò. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò òðè íóëå- âûõ êîðíÿ, îñòàëüíûå êîðíè îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé 0 ! 0 0 0 0 8 , * ! 9, a a a a b b c a b c a c b 1 2 35 33 34 34 42 43 0 0 0 0 � a b c a b c b a a b a 44 44 44 4 4 53 2 1 53 54 54 5 0 0 0 0 0 � 0 * 9 9 9 � � � � . Ðàñêðûòèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî îïðåäåëèòåëÿ ïðîâåäåíî â ñèñòåìå àíàëèòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé Maple 7: d d d d d d 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 00 0 0 0 0 �� . Çäåñü âñëåäñòâèå ãðîìîçäêîñòè êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ â ÿâíîì âèäå íå ïðèâåäåíû. Êàê èçâåñòíî, êðèòåðèþ Ðàóñà—Ãóðâèöà [13] ñîîòâåòñòâóåò òîëüêî íåîáõîäèìîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâè- æåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì èñïîëüçîâàíû óðàâíåíèÿ Ï.Â. Âîðîíèíà â ïåðåìåííûõ Ëàãðàíæà è Ðàóñà â âåêòîðíî-ìàòðè÷íîé ôîðìå è íàéäåíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè. Ïîëó÷åííûå ðàíåå ðåçóëüòàòû ïðèìå- Îá óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 47 íåíû äëÿ ñëó÷àÿ óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé ñ îäíîðîäíûìè ñâÿçÿìè ñ ó÷åòîì ñïåöèôè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé èìåííî ýòîãî êëàññà äâèæåíèé. The paper deals with stability of the steady motion of nonholonomic systems with uniform con- nections in respect of different determinations of cyclic coordinates. 1. Àòàæàíîâ Á. Âåêòîðíî-ìàòðè÷íûå ìåòîäû â çàäà÷àõ ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ// Íàó÷íè òðóäîâå. — Ðóñå : Ðóñåíñêè Óíèâåðñèòåò «Àíãåë Êúí÷åâ». — 2007. — Ò. 46. Ñåðèÿ 3.1. — Ñ.72—75. 2. Àòàæàíîâ Á. Îá óñòîé÷èâîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ðåîíîìíîé íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû/ Æ. Ïðîáëåìû ìåõàíèêè Óçáåêèñòàíà. — 2003. — ¹ 1. — Ñ. 7—11. 3. Àòàæàíîâ Á., Êðàñèíñêàÿ Ý. Ì. Î ñòàáèëèçàöèè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé íåãîëîíîì- íûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì//ÏÌÌ. — 1988. —Ò. 52, âûï. 6. —Ñ. 902—908. 4. Êàðàïåòÿí À. Â., Ðóìÿíöåâ Â. Â. Óñòîé÷èâîñòü êîíñåðâàòèâíûõ è äèññèïàòèâíûõ ñèñ- òåì/Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Îáùàÿ ìåõàíèêà. Ò. 6. — Ì. : ÂÈÍÈÒÈ, 1983. — Ñ. 3— 128. 5. Êðàñèíñêèé À. ß., Àòàæàíîâ Á. Î çàäà÷å ñòàáèëèçàöèè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ×àïëûãèíà//Ïðîáëåìû íåëèíåéíîãî àíàëèçà â èíæåíåðíûõ ñèñòåìàõ. — 2007. — 13, ¹ 2 (28). — Ñ. 74—96. 6. Êðàñèíñêèé À. ß. Î ñòàáèëèçàöèè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé ñèñòåì ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè//ÏÌÌ. — 1992. — Ò. 56, âûï. 6. — Ñ. 939—949. 7. Êðàñèíñêàÿ Ý. Ì. Ê ñòàáèëèçàöèè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì// ÏÌÌ. — 1983. — Ò.47, âûï. 2. — Ñ. 302—309 8. Íèêîëåíêî È. Â. Îá óñòîé÷èâîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì Âîðîíöà//Ïðèêë. ìåõàíèêà. — 1968. — 4, ¹ 14. — Ñ. 84—89. 9. Íèêîëåíêî È. Â. Äèíàìèêà óïðàâëÿåìûõ íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì. — Êèåâ. : Âûñø. øê. Ãîëîâíîå èçä-âî, 1985. — 184 ñ. 10. Íåéìàðê Þ. È., Ôóôàåâ Í. À. Îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ãîëîíîìíûõ è íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì // ÏÌÌ. — 1966. — Ò. 30, âûï. 2. — Ñ. 236—242. 11. Ðóìÿíöåâ Â. Â. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì// Òàì æå. — 1967. — Ò. 31, âûï. 2. — Ñ. 260—271. 12. Ëÿïóíîâ À. Ì. Ñîáðàíèå ñî÷èíåíèé. Â 2-õ òîìàõ, Ò. 2. — Ì. —Ë. : Èçä. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1956. — 473 ñ. 13. Ìàëêèí È. Ã. Òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. — Ì. : Íàóêà, 1966. — 530 ñ. 14. Øóëüãèí Ì. Ô. Î íåêîòîðûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ àíàëèòè÷åñêîé äèíàìè- êè è èõ èíòåãðèðîâàíèè//Òð. Ñðåäíåàç. óí-òà. — 1958. — 144. — 183 ñ. 15. Ëåãåçà Â. Ï. Èññëåäîâàíèå äèíàìè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ íîâîãî ãàñèòåëÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé âûñîòíûõ ñîîðóæåíèé//ÌÒÒ. — 2003. — ¹ 5. — Ñ. 31—38. Ïîñòóïèëà 05.03.08 ÀÒÀÆÀÍÎÂ Áàõòèÿð, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàô. òåîðåòè÷åñêîé è ïðèêëàäíîé ìåõà- íèêè Íàöèîíàëüíîãî óí-òà Óçáåêèñòàíà. Â 1976 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — óñòîé÷èâîñòü, óïðàâëåíèå è ñòàáèëèçàöèÿ äâèæåíèé ìåõà- íè÷åñêèõ ñèñòåì. Á. Àòàæàíîâ 48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1

Об устойчивости установившихся движений неголономных систем с однородными связями

Institution

Similar Items