Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой
Предложена модернизация алгоритма вычисления показателя Ляпунова (индекса Флоке) периодического решения, взаимодействующего с особой точкой при потере устойчивости. Преимуществом полученного алгоритма является простота символических вычислений, что позволяет анализировать тип бифуркации Хопфа доста...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Электронное моделирование |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101578 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой / В.Н. Сидорец // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 4. — С. 3-19. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-101578 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1015782016-06-06T03:02:32Z Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой Сидорец, В.Н. Математические методы и модели Предложена модернизация алгоритма вычисления показателя Ляпунова (индекса Флоке) периодического решения, взаимодействующего с особой точкой при потере устойчивости. Преимуществом полученного алгоритма является простота символических вычислений, что позволяет анализировать тип бифуркации Хопфа достаточно сложных динамических систем. С помощью предложенного метода установлено, что в электрических цепях с дугой может происходить как суперкритическая, так и субкритическая бифуркация Хопфа. Запропоновано модернізацію алгоритму обчислення показника Ляпунова (індексу Флоке) періодичного розв’язку, який взаємодіє з особливою точкою при втраті стійкості. Перевагою отриманого алгоритму є простота символічних обчислень, що дозволяє аналізувати тип біфуркації Хопфа достатньо складних динамічних систем. За допомогою запропонованого методу визначено, що у електричних колах з дугою може відбуватися як суперкритична, так і субкритична біфуркація Хопфа. Improved algorithm of a Floquet index calculation technique of a periodic solution that interacts with fixed point under stability loss conditions is proposed. Principal benefit of an algorithm is simplicity of symbolical calculation which allows analyzing a kind of Hopf bifurcation in complex dynamic systems. By means of this technique it was determined that in electric circuits with arc both supercritical Hopf bifurcation and subcritical Hopf bifurcation occur. 2008 Article Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой / В.Н. Сидорец // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 4. — С. 3-19. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101578 621.3.011.7:537.532.5:621.372.011:512.3.32 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математические методы и модели Математические методы и модели |
| spellingShingle |
Математические методы и модели Математические методы и модели Сидорец, В.Н. Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой Электронное моделирование |
| description |
Предложена модернизация алгоритма вычисления показателя Ляпунова (индекса Флоке) периодического решения, взаимодействующего с особой точкой при потере устойчивости. Преимуществом полученного алгоритма является простота символических вычислений, что позволяет анализировать тип бифуркации Хопфа достаточно сложных динамических систем. С помощью предложенного метода установлено, что в электрических цепях с дугой может происходить как суперкритическая, так и субкритическая бифуркация Хопфа. |
| format |
Article |
| author |
Сидорец, В.Н. |
| author_facet |
Сидорец, В.Н. |
| author_sort |
Сидорец, В.Н. |
| title |
Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой |
| title_short |
Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой |
| title_full |
Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой |
| title_fullStr |
Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой |
| title_full_unstemmed |
Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой |
| title_sort |
особенности бифуркации хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101578 |
| citation_txt |
Особенности бифуркации Хопфа в нелинейных цепях с электрической дугой / В.Н. Сидорец // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 4. — С. 3-19. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT sidorecvn osobennostibifurkaciihopfavnelinejnyhcepâhsélektričeskojdugoj |
| first_indexed |
2025-07-07T11:07:07Z |
| last_indexed |
2025-07-07T11:07:07Z |
| _version_ |
1836986063530229760 |
| fulltext |
ÓÄÊ 621.3.011.7:537.532.5:621.372.011:512.3.32
Â. Í. Ñèäîðåö, êàíä. òåõí. íàóê
Èíñòèòóò ýëåêòðîñâàðêè èì. Å.Î.Ïàòîíà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03680, Êèåâ-150, ÃÑÏ, óë. Áîæåíêî, 11,
òåë. (044) 2712349. E-mail: sidvn@ua.fm)
Îñîáåííîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà
â íåëèíåéíûõ öåïÿõ ñ ýëåêòðè÷åñêîé äóãîé
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû Â. Â. Âàñèëüåâ)
Ïðåäëîæåíà ìîäåðíèçàöèÿ àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ ïîêàçàòåëÿ Ëÿïóíîâà (èíäåêñà Ôëîêå)
ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ, âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñ îñîáîé òî÷êîé ïðè ïîòåðå óñòîé÷è-
âîñòè. Ïðåèìóùåñòâîì ïîëó÷åííîãî àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîòà ñèìâîëè÷åñêèõ âû÷èñ-
ëåíèé, ÷òî ïîçâîëÿåò àíàëèçèðîâàòü òèï áèôóðêàöèè Õîïôà äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ äèíàìè-
÷åñêèõ ñèñòåì. Ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà óñòàíîâëåíî, ÷òî â ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïÿõ ñ äóãîé ìîæåò ïðîèñõîäèòü êàê ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ, òàê è ñóáêðèòè÷åñêàÿ áèôóð-
êàöèÿ Õîïôà.
Çàïðîïîíîâàíî ìîäåðí³çàö³þ àëãîðèòìó îá÷èñëåííÿ ïîêàçíèêà Ëÿïóíîâà (³íäåêñó Ôëîêå)
ïåð³îäè÷íîãî ðîçâ’ÿçêó, ÿêèé âçàºìî䳺 ç îñîáëèâîþ òî÷êîþ ïðè âòðàò³ ñò³éêîñò³. Ïåðå-
âàãîþ îòðèìàíîãî àëãîðèòìó º ïðîñòîòà ñèìâîë³÷íèõ îá÷èñëåíü, ùî äîçâîëÿº àíàë³çóâàòè
òèï á³ôóðêàö³¿ Õîïôà äîñòàòíüî ñêëàäíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì. Çà äîïîìîãîþ çàïðî-
ïîíîâàíîãî ìåòîäó âèçíà÷åíî, ùî ó åëåêòðè÷íèõ êîëàõ ç äóãîþ ìîæå â³äáóâàòèñÿ ÿê
ñóïåðêðèòè÷íà, òàê ³ ñóáêðèòè÷íà á³ôóðêàö³ÿ Õîïôà.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâ-
íåíèÿ, áèôóðêàöèÿ Õîïôà, íåëèíåéíûå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè, ýëåêòðè÷åñêàÿ äóãà, äåòåðìè-
íèðîâàííûé õàîñ.
Ïðè èññëåäîâàíèè íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ äóãîé îñîáûé èíòå-
ðåñ ïðåäñòàâëÿåò äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ, îáíàðóæåííûé â ýòèõ ñèñòå-
ìàõ, ÷òî ñáëèæàåò èõ ñ äðóãèìè íåëèíåéíûìè ñèñòåìàìè. Äåòåðìè-
íèðîâàííûé õàîñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåïåðèîäè÷åñêèå àâòîêîëåáàíèÿ.
Ñöåíàðèè ïåðåõîäà ê õàîòè÷åñêèì êîëåáàíèÿì âåñüìà ðàçíîîáðàçíû, íî,
êàê ïðàâèëî, îíè âêëþ÷àþò ýòàï ïåðèîäè÷åñêèõ àâòîêîëåáàíèé. Îäíà èç
âîçìîæíîñòåé ïîÿâëåíèÿ àâòîêîëåáàíèé â àâòîíîìíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñ-
òåìàõ — ýòî áèôóðêàöèÿ Õîïôà. Êàê îêàçàëîñü, â íåëèíåéíûõ öåïÿõ ñ
ýëåêòðè÷åñêîé äóãîé áèôóðêàöèÿ Õîïôà îáëàäàåò îñîáåííîñòÿìè, à èìåí-
íî, îíà ìîæåò áûòü êàê ñóïåðêðèòè÷åñêîé, òàê è ñóáêðèòè÷åñêîé.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 3
����������� ��
���
��
�
�
����
Îáùèå ïîëîæåíèÿ. Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ïðèíöèïèàëüíûõ îòëè÷èé
íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì îò ëèíåéíûõ.  íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ
ìîæåò ñóùåñòâîâàòü íåñêîëüêî îñîáûõ òî÷åê. Ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà
óñòîé÷èâîñòü îñîáûõ òî÷åê ìîæåò èçìåíÿòüñÿ, ò. å. óñòîé÷èâàÿ îñîáàÿ
òî÷êà ìîæåò ñòàíîâèòüñÿ íåóñòîé÷èâîé. Íî ëîêàëüíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü
îñîáîé òî÷êè íå ñâèäåòåëüñòâóåò î íåóñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêîé ñèñòå-
ìû. Ïîýòîìó â àâòîíîìíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ âîçìîæíî âîçíèêíî-
âåíèå àâòîêîëåáàíèé.
Ýòî ÿâëåíèå ïîäðîáíî èññëåäîâàíî â [1—3], à â [4, 5, ñ. 134] äîêàçàíà
òåîðåìà, îïðåäåëÿþùàÿ êîëè÷åñòâåííûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ
ïðîèñõîäèò áèôóðêàöèÿ, ñîïðîâîæäàþùàÿñÿ ïîòåðåé îñîáîé òî÷êîé ëî-
êàëüíîé óñòîé÷èâîñòè.  ýòîé òåîðåìå óêàçàíû äâà âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ
ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè îñîáîé òî÷êè: 1) ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ óñòîé÷èâûì
ïðåäåëüíûì öèêëîì — ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ; 2) ïðè âçàèìîäåéñò-
âèè ñ íåóñòîé÷èâûì ïðåäåëüíûì öèêëîì — ñóáêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ.
Îäíàêî íèêàêèõ êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ, ïîçâîëÿþùèõ îïðå-
äåëèòü òèï áèôóðêàöèè, íå ïðèâåäåíî. Âîïðîñ îñòàâàëñÿ îòêðûòûì, õîòÿ
áûëè ïîëó÷åíû ôîðìóëû [6, ñ. 198] äëÿ îïðåäåëåíèÿ òàê íàçûâàåìîãî ïî-
êàçàòåëÿ Ëÿïóíîâà (èíäåêñà Ôëîêå), ïî çíàêó êîòîðîãî ìîæíî îïðåäåëèòü
òèï áèôóðêàöèè Õîïôà. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî, î÷åâèäíî, òåì, ÷òî ïîëó÷åííûå
ôîðìóëû äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêè è ïðèìåíèìû òîëüêî äëÿ ñèñòåì âòîðîãî
ïîðÿäêà ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ïî êðàéíåé ìåðå, â ðàáîòå [6] íå ïðèâåäåíî
äîñòàòî÷íîå ÷èñëî ïðèìåðîâ ïðèìåíåíèÿ ýòèõ ôîðìóë, ÷òî çíà÷èòåëüíî
óìåíüøàåò èõ ïðàêòè÷åñêóþ öåííîñòü.
 äàëüíåéøåì èññëåäîâàòåëè íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íå
çàòðàãèâàëè ýòó ïðîáëåìó. Íàïðèìåð â ðàáîòå [5], ïîñâÿùåííîé èìåííî
áèôóðêàöèè Õîïôà, î ðàçëè÷èè ñóïåðêðèòè÷åñêîé è ñóáêðèòè÷åñêîé áè-
ôóðêàöèè äàæå íå óïîìèíàåòñÿ. Ðàáîòà [7] ñòàëà èñêëþ÷åíèåì. Ïðèìå-
íåíèå ìàòðè÷íîé çàïèñè è êîìïëåêñíîé àðèôìåòèêè ïîçâîëèëî åå àâòîðàì
çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü ôîðìóëû, à èñïîëüçîâàíèå òåîðåì î íîðìàëüíûõ
ôîðìàõ Ïóàíêàðå è öåíòðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü èõ
äëÿ ñëó÷àÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà è âèäà.  ðàáîòå
[8] ýòîò ïîäõîä ñîõðàíåí è ïåðåîñìûñëåí ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèìåíåíèÿ
ñîâðåìåííûõ ñðåäñòâ êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è åå ðåøåíèå. Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà îïèñû-
âàåòñÿ ñèñòåìîé íåëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, êîòîðûå çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà:
� ( , )x f x� � . (1)
Íàçîâåì ýòîò ïàðàìåòð áèôóðêàöèîííûì. Â (1) f — íåëèíåéíàÿ âåêòîð-
ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà x. Êîîðäèíàòû îñîáîé òî÷êè x
0
( )� â îáùåì
Â. Í. Ñèäîðåö
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4
ñëó÷àå òàêæå çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà. Çíàÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ � �i ( ) ìàò-
ðèöû ßêîáè
J
f x
x
ij
i
j x x
( )
( , )
( )
�
� �
�
�
�
�
0
, i, j = 1, ..., N,
(2)
ãäå N — ïîðÿäîê ñèñòåìû, èç óñëîâèÿ
Re ( )� �
1
0c � (3)
îïðåäåëèì êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà � c .  (3)
èíäåêñ 1 óñëîâíî âûäåëÿåò äàííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå èç N ñîáñò-
âåííûõ çíà÷åíèé, êðîìå âòîðîãî, äëÿ êîòîðîãî òàêæå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
(3), òàê êàê îíî êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííîå ïåðâîìó.
Äëÿ ñîáëþäåíèÿ âñåõ òðåáîâàíèé òåîðåìû Õîïôà íåîáõîäèìà ïðîâåð-
êà åùå íåñêîëüêèõ óñëîâèé,
Re ( )� �� �
1
0c , Im ( )� �
1 0
0c w� � , Re ( )� �j c 0, j = 3, ..., N, (4)
õîòÿ ïðàêòè÷åñêè îíè âûïîëíÿþòñÿ â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (3) è (4) â äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå
ïðîèñõîäèò áèôóðêàöèÿ Õîïôà. Â ëèòåðàòóðå ýòà áèôóðêàöèÿ íàçâàíà
áèôóðêàöèåé ðîæäåíèÿ öèêëà, ÷òî, ïî íàøåìó ìíåíèþ, íå ñîâñåì êîð-
ðåêòíî, òàê êàê â ñëó÷àå ñóáêðèòè÷åñêîé áèôóðêàöèè, ðîæäåíèÿ öèêëà íå
ïðîèñõîäèò.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ áèôóðêàöèè Õîïôà íåîáõîäèìî â èñõîäíîé
ñèñòåìå (1) âûïîëíèòü çàìåíó ïåðåìåííûõ
x x Pyc�
0
( )� , (5)
â ðåçóëüòàòå êîòîðîé îñîáàÿ òî÷êà ïåðåìåùàåòñÿ â íà÷àëî êîîðäèíàò, è
ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ñòàíîâèòñÿ íåçàâèñèìîé îò ïàðàìåòðà
� ( )y F y� . (6)
 ôîðìóëå (5) P — ìàòðèöà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, äëÿ íàõîæäåíèÿ êîòî-
ðîé â [7] ðåêîìåíäóåòñÿ ñëåäóþùàÿ êîíñòðóêöèÿ:
P v v w wN� �(Re , Im , ,..., )
1 1 3
, (7)
ãäå v
1
— ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû J c( )� , ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñò-
âåííîìó çíà÷åíèþ� � �
1 0
( )c i� , à w3, ..., wN — «ëþáîé íàáîð âåùåñòâåííûõ
N-ìåðíûõ âåêòîðîâ, îáðàçóþùèé áàçèñ â îáúåäèíåíèè âñåõ ñîáñòâåííûõ
ïîäïðîñòðàíñòâ, îòâå÷àþùèõ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì� �
3
,..., N ïðè� �� c».
Îäíàêî äàííàÿ öèòàòà èç ðàáîòû [7] íå ïîÿñíÿåò, êàê íàõîäèòü ýòîò íàáîð
âåêòîðîâ. Â òîé æå ðàáîòå [7] ïðèâåäåíî òðåáîâàíèå íîðìèðîâàíèÿ âåêòîðà v
1
òàê, ÷òîáû ïåðâàÿ íåíóëåâàÿ êîìïîíåíòà ðàâíÿëàñü åäèíèöå.
Îñîáåííîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 5
Ìàòðèöà ßêîáè äëÿ ñèñòåìû (6) â îñîáîé òî÷êå èìååò âèä
�
�
�
�
F
y
Dy�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�0
0
0
0 0
0 0
0 0
, (8)
õîòÿ èìåííî ïåðâûå ïðîèçâîäíûå â äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèÿõ íå èñïîëü-
çóþòñÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà Ôëîêå�
2
èñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ âòîðûõ
è òðåòüèõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè F ïî êîìïîíåíòàì âåêòîðà y â íóëåâîé
îñîáîé òî÷êå.
Ïîñêîëüêó ðàáîòà [7] â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñòàëà òðóäíîäîñòóïíîé, ïðè-
âåäåì 10 ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà Ôëîêå.  äàííûõ ôîðìóëàõ ïîä
ïðîèçâîäíûìè F ïî y ïîíèìàåì çíà÷åíèÿ ýòèõ ïðîèçâîäíûõ â îñîáîé
òî÷êå y = 0. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé g11, g02, è g20 èñïîëüçóþòñÿ âòîðûå
ïðîèçâîäíûå:
g
F
y
F
y
i
F
y
F
y
11
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
; (9)
g
F
y
F
y
F
y y
i
F
y
F
02
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1 2
2
2
1
2
2
2
1
4
2� � �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �y
F
y y
2
2
2
1
1 2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
; (10)
g
F
y
F
y
F
y y
i
F
y
F
20
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1 2
2
2
1
2
2
2
1
4
2� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �y
F
y y
2
2
2
1
1 2
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. (11)
Òðåòüè ïðîèçâîäíûå èñïîëüçóþòñÿ â ôîðìóëå
G
F
y
F
y y
F
y y
F
y
i
21
3
1
1
3
3
1
1 2
2
3
2
1
2
2
3
2
2
3
1
8
�
�
�
�
� �
�
� �
�
�
�
3
2
1
3
3
2
1 2
2
3
1
1
2
2
3
1
2
3
F
y
F
y y
F
y y
F
y�
�
� �
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
(12)
Åñëè ÷èñëî äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ñèñòåìå áîëüøå òðåõ, äîïîë-
íèòåëüíî âû÷èñëÿþòñÿ ñëåäóþùèå âåëè÷èíû:
h
F
y
F
y
k k k
11
2
2
1
2
2
2
2
1
4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
; h
F
y
F
y
i
F
y y
k k k k
20
2
2
1
2
2
2
2
2
1 2
1
4
2
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
, k N�3,..., ; (13)
D w h
11 11
� � ; ( )D i I w h� � �2
0 20 20
� ; (14)
G
F
y y
F
y y
i
F
y y
F
y
k
k k k
110
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
�
�
�
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
2
�y
k
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, k N�3,..., ; (15)
Â. Í. Ñèäîðåö
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4
G
F
y y
F
y y
i
F
y y
F
y
k
k k k
101
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
�
� �
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
1
�y
k
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, k N�3,..., . (16)
Îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà äëÿ âåëè÷èíû g21 èìååò âèä
g G G w G wm m m m
m
N
21 21 110 11 101 20
1
2
2�
�
�
�( ). (17)
Çíà÷åíèå c1 â òî÷êå áèôóðêàöèè Õîïôà èìååò âèä (â [7] ïðè âûâîäå ôîðìóë
ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî áèôóðêàöèîííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ðàâíî íóëþ)
c
i
g g g g g
1
0
20 11 11
2
02
2
21
0
2
2
1
3
1
2
( ) � � �
�
�
�
�
�
�
. (18)
Èíäåêñ Ôëîêå (ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äåéñòâèòåëüíóþ
÷àñòü çíà÷åíèÿ c1:
�
2 1
2 0� Re ( )c . (19)
Çíàê èíäåêñà Ôëîêå �
2
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òèï áèôóðêàöèè Õîïôà:
åñëè �
2
0� , áèôóðêàöèÿ Õîïôà ñóáêðèòè÷åñêàÿ, ò. å. ïðåäåëüíûé öèêë
íåóñòîé÷èâûé, åñëè�
2
0� , áèôóðêàöèÿ Õîïôà ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ, ò.å. ïðå-
äåëüíûé öèêë óñòîé÷èâûé.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ìîæíî ãîâîðèòü îá àâòî-
êîëåáàíèÿõ â àâòîíîìíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü
ñëîæíîñòü íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ â ôîðìóëàõ (9)—(19) äëÿ âû÷èñëåíèÿ
çíà÷åíèÿ �
2
. Èìåííî ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ íåáîëüøîå ÷èñëî ïðèìåðîâ êîíêðåò-
íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëü-
òàòû: ãðóç íà ëåíòå, óðàâíåíèå Âàí äåð Ïîëÿ, îáúåìíûå êîëåáàíèÿ áðþññåëÿ-
òîðà, ñèñòåìà Ëýíãôîðäà. Ñëåäóåò òàêæå çàìåòèòü, ÷òî ñèñòåìû äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ýòèõ ñèñòåì êðàéíå ïðîñòû. Â [7] ïðèâåäåíû è
äðóãèå ïðèìåðû áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì: öåíòðîáåæíûé ðåãóëÿòîð, ñèñòåìà
Ëîðåíöà, «çàìîðîæåííàÿ ïî òîêó» ñèñòåìà Õîäæêèêà—Õàêñëè, áðþññåëÿ-
òîð ïðè ôèêñèðîâàííûõ ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèÿõ, çàäà÷à î ïàíåëüíîì ôëàòòåðå.
Ðåçóëüòàòû äëÿ óïîìÿíóòûõ ñèñòåì áûëè ïîëó÷åíû ÷èñëåííî, ñ ïîìîùüþ
ñïåöèàëèçèðîâàííîé êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììû BIFOR2, ðàçðàáîòàííîé
àâòîðàìè ðàáîòû [7]. Èñõîäíûå òåêñòû ïðîãðàììû BIFOR2 íà ÿçûêå Ôîðò-
ðàí ïðèâåäåíû â ïðèëîæåíèè ê ðàáîòå [7]. Ê ñîæàëåíèþ, âîñïîëüçîâàòüñÿ
ýòîé ïðîãðàììîé íå óäàëîñü. Òàêèì îáðàçîì, ðàçðàáîòêà áîëåå ïðîñòîé
ìåòîäèêè îïðåäåëåíèÿ òèïà áèôóðêàöèè Õîïôà îñòàåòñÿ àêòóàëüíîé.
Ìîäåðíèçàöèÿ àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ ïîêàçàòåëÿ Ëÿïóíîâà (èí-
äåêñà Ôëîêå). Äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà, íåîáõî-
äèìî èñõîäíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðåîáðàçîâàòü ïî-
ñðåäñòâîì çàìåíû ïåðåìåííûõ (5). Çàòåì èñïîëüçîâàòü âòîðûå è òðåòüè
Îñîáåííîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 7
÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïðàâûõ ÷àñòåé ïîëó÷åííîé ñèñòåìû (6) ïî íîâûì
ïåðåìåííûì äëÿ äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèé. Äàííûé àëãîðèòì îêàçàëñÿ
ñëèøêîì ãðîìîçäêèì è òðóäîåìêèì. Íåîáõîäèìîñòü ñèìâîëüíîãî âû÷èñ-
ëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ âûçûâàåò îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè. Íå âñåãäà ñïðàâ-
ëÿåòñÿ ñ ïîäîáíûìè çàäà÷àìè ïàêåò ñèìâîëüíîé ìàòåìàòèêè Maple [9].
Èäåÿ ìîäåðíèçàöèè àëãîðèòìà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû äèôôåðåíöèðîâàíèå
ïðàâûõ ÷àñòåé ñëîæíîé ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòåìû (6) çàìåíèòü äèôôåðåíöè-
ðîâàíèåì ïðàâûõ ÷àñòåé èñõîäíîé ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé (5), ÷òî ãîðàçäî ïðîùå âî âñåõ îòíîøåíèÿõ. Ïîêàæåì, êàê ýòî
îñóùåñòâèòü, è íàéäåì ôîðìóëû äëÿ ñâÿçè ïðîèçâîäíûõ ïðàâûõ ÷àñòåé
èñõîäíîé è ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòåì. Äëÿ ýòîãî ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðå-
ìåíè âûðàæåíèå (5) è ïîäñòàâèì çíà÷åíèå x è åãî ïðîèçâîäíóþ â èñõîäíóþ
ñèñòåìó (1):
� ( ( ) , )y P f x P yc�
�1
0
� � . (20)
Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëû (20) è (6), îïðåäåëÿåì âèä ôóíêöèè F: F y( ) �
�
�P f x P yc c
1
0
( ( ) , )� � . Îíà äîñòàòî÷íî ïðîñòî äèôôåðåíöèðóåòñÿ. Ìàò-
ðèöà ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ èìååò âèä
�
�
�
�
�
�
�
�
F
y
P
f
x
P
F
y
P
f
x
Pi
j
iq
q r
q
r
rj� � �
� �
�
1 1
,
,
à òåíçîðû âòîðûõ è òðåòüèõ ïðîèçâîäíûõ âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè
�
� �
� �
� �
�
2
0
1
2
0
F y
y y
P
f x
x x
i
j k y
iq
q r s
q c
r s x x
( ) ( , )
, ,
(�
�
�
� �
c
P Prj sk
)
, (21)
�
� � �
� �
� � �
3
0
1
3
F y
y y y
P
f x
x x
i
j k l y
iq
q r s m
q c
r s
( ) ( , )
, , ,
�
�
� �
x
P P P
m x x
rj sk ml
c�
0
( )�
. (22)
Ïðåèìóùåñòâî ôîðìóë (21) è (22) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñèìâîëüíîå äèô-
ôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè f ïî x ãîðàçäî ïðîùå, ÷åì ñèìâîëüíîå äèô-
ôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè F ïî y, à ñóììèðîâàíèå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî
ëþáûì ìåòîäîì, íàïðèìåð ñ ïîìîùüþ ïàêåòà ÷èñëåííîé ìàòåìàòèêè
MathCAD [10].
Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ñ äóãîé. Ýëåêòðè÷åñêàÿ äóãà ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíîé
÷àñòüþ ìíîãèõ ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòàíîâîê, âûïîëíÿÿ ôóêöèè òåõíî-
ëîãè÷åñêîãî èíñòðóìåíòà. Ïîýòîìó îïèñàíèå öåïåé ñ äóãîé è èññëåäîâà-
íèå èõ óñòîé÷èâîñòè îñòàåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷åé. Ñî âðåìåíè ïåðâîãî
òåîðåòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ öåïè ñ ýëåêòðè÷åñêîé äóãîé [1, ñ. 317] ïðîø-
ëî ìíîãî âðåìåíè, íî äî ñèõ ïîð äóãà ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì
Â. Í. Ñèäîðåö
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4
íåëèíåéíîñòè. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ýëåêòðîòåõíèêè äóãó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê ýëåìåíò ñ ïàäàþùåé âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêîé. Îäíàêî äëÿ
èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðåæèìîâ è óñòîé÷èâîñòè íåîáõîäèìî ó÷èòû-
âàòü òåðìè÷åñêóþ èíåðöèîííîñòü äóãè. Ïîýòîìó áûëà èñïîëüçîâàíà îáîá-
ùåííàÿ ìîäåëü äèíàìè÷åñêîé äóãè [11].  ýòîé ìîäåëè äóãà ÿâëÿåòñÿ
ýëåìåíòîì öåïè, ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîòîðîì èìååò ñëåäóþùèé âèä:
u
U i
i
iA �
( )
�
�
, (23)
ãäå i — òîê äóãè; U (i) — ôóíêöèÿ ñòàòè÷åñêîé âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòå-
ðèñòèêè (ÂÀÕ) äóãè; i
�
— òîê ñîñòîÿíèÿ äóãè [11]. Âûðàæåíèå (23) ìîæíî
èñïîëüçîâàòü ïðè çàïèñè óðàâíåíèé Êèðõãîôà, êîòîðûå íåîáõîäèìî äî-
ïîëíÿòü äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, îïèñûâàþùèì äèíàìèêó äóãè,
�
�
�
di
dt
i i
2
2 2
� , (24)
ãäå � — ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè äóãè, îïðåäåëÿþùàÿ åå òåðìè÷åñêóþ èíåð-
öèîííîñòü, ñâÿçàííóþ ñ ïðîöåññàìè íàãðåâà, äèññîöèàöèè è èîíèçàöèè.
Ðàññìîòðèì îáîáùåííóþ ìîäåëü äèíàìè÷åñêîé äóãè íà ïðèìåðå äâóõ
ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ äóãîé. Èõ ñõåìû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1. Ñ ïî-
ìîùüþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ îïðåäåëåíî, ÷òî â ýòèõ ñõåìàõ âîçìîæíî âîç-
íèêíîâåíèå àâòîêîëåáàíèé. Ýâîëþöèÿ àâòîêîëåáàíèé â RLC-öåïè ñ äóãîé,
ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 1, a, ïðèâîäèò ê êàñêàäó áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ
ïåðèîäà, à çàòåì — ê ñòðàííîìó àòòðàêòîðó [12—16]. Ñ ìåòîäîëîãè÷åñêîé
òî÷êè çðåíèÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü áîëåå ïðîñòóþ RC-öåïü ñ äóãîé, èçîá-
ðàæåííóþ íà ðèñ. 1, á [17].
Óðàâíåíèå çàêîíà Êèðõãîôà äëÿ óçëà
E u
R
C
du
dt
i
�
�
,
(25)
ãäå u — íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå, i — òîê äóãè, äîïîëíèì óðàâíåíèåì
Îñîáåííîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 9
R L
E C A
a á
R
E C A
Ðèñ. 1. Cõåìû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ äóãîé, â êîòîðûõ âîçìîæíî âîçíèêíîâåíèå àâòî-
êîëåáàíèé
ìîäåëè äóãè (24) è ó÷òåì, ÷òî òîê äóãè ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå (23)
ñëåäóþùèì îáðàçîì: i i U i u� ( / ( ))
� �
.
Ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíûé âèä ñèñòåìû [17], êîòîðàÿ îïèñûâàåò
RC-öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 1, á, äëÿ áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ è
ïàðàìåòðîâ:
�x x x xn
1 2
2
1
1
1
� �
�
;
�x
RC
R Rx Rx x
n
2 2 2 1
1
2
1
1�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
,
(26)
ãäå x2 — áåçðàçìåðíîå íàïðÿæåíèå íà äóãå; x1 — áåçðàçìåðíûé êâàäðàò
òîêà ñîñòîÿíèÿ äóãè; n — ïîêàçàòåëü ñòåïåíè â ñòåïåííîé àïïðîêñèìàöèè
ñòàòè÷åñêîé âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè äóãè [17]; n < 0, òàê êàê
ñòàòè÷åñêàÿ âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äóãè — ïàäàþùàÿ.
Ïðè îïèñàíèè RLC-öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1, a, óðàâíåíèÿ (24) è
(25) äîïîëíÿåì óðàâíåíèåì çàêîíà Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà:
u L
di
dt
U i
i
i�
( )
�
�
.
Îêîí÷àòåëüíàÿ ñèñòåìà äëÿ èññëåäîâàíèÿ RLC-öåïè áóäåò èìåòü âèä [12]
�x x x
1 2
2
1
� � ;
�x
L
x x x
n
2 3 2 1
1
2
1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
; (27)
� ( )x
RC
R x Rx
3 3 2
1
1�
� � .
Çäåñü x2 — áåçðàçìåðíûé òîê äóãè; x3 — áåçðàçìåðíîå íàïðÿæåíèå íà äóãå;
îñòàëüíûå ïåðåìåííûå òàêèå æå, êàê è â (26).
Ïîëó÷åííûå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
èìåþò îáùóþ îñîáåííîñòü: ïî äâå îñîáûå òî÷êè. Ïðè ýòîì êîîðäèíàòû
èñêîìûõ îñîáûõ òî÷åê (1,1) è (1,1,1) íå çàâèñÿò îò ïàðàìåòðîâ. Âòîðûå
îñîáûå òî÷êè ÿâëÿþòñÿ ñåäëîâûìè, à êîîðäèíàòû èõ íå çàâèñÿò îò ïàðà-
ìåòðîâ L è C.
Áèôóðêàöèÿ Õîïôà â RC-öåïè ñ äóãîé. Çàïèøåì ìàòðèöó ßêîáè è
õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû â îêðåñò-
íîñòè îñîáîé òî÷êè x0 = [1 1]
T
äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû (26):
J
n
n
RC
R
RC
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1 1 ;
(28)
RC R nRC R n� �
2
1 0
�( ) ( ) . (29)
Â. Í. Ñèäîðåö
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4
Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè çíà÷åíèè áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà C,
ðàâíîì
C
R
nR
H � �
1
,
(30)
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû (28), ò. å. êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ-
íåíèÿ (29) — ÷èñòî ìíèìûå (� �� i
0
).  ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå [18], áîëåå
óäîáíîì äëÿ ïðîâåäåíèÿ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé, ìîæíî çàïèñàòü
C
n
n
H ( )�
�
0
0
2 2
1
�
�
; R
n
n
H ( )�
�
�
0
0
2 2
0
2
� �
.
Ïîñêîëüêó óñëîâèÿ (4) òàêæå âûïîëíÿþòñÿ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî â
ñèñòåìå (26) èìååò ìåñòî áèôóðêàöèÿ Õîïôà.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òèïà áèôóðêàöèè Õîïôà ïðîâåäåì äîïîëíèòåëüíûå
èññëåäîâàíèÿ. Íàéäåì ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû (28) ïðè çíà÷åíèè
ïàðàìåòðà, ðàâíîì áèôóðêàöèîííîìó,
v
n i1
0
1
1
2
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ïîñòðîèì ìàòðèöó P ñîãëàñíî (7) è íàéäåì îáðàòíóþ
åé ìàòðèöó P–1
:
P
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0
1
2
1
2
0
�
; P n�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0 0
1 0
2
� �
.
Òåíçîðû âòîðûõ D2f è òðåòüèõ D3f ïðîèçâîäíûõ ãðîìîçäêè, íî âû÷èñ-
ëÿþòñÿ ëåãêî, è â ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèñè èìåþò âèä
D f
n n n
n n n
2
0
2 2
0
2 2
1 2 1
1
4
1
1
2
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
( ) ( )
( )( ) ( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 1 2
1
2
0
0
2 2
( )
( )
n
n�
;
D f
n n n n
n n n n
3
2
0
2 2
0
1 2 1
1
8
3 1
1
4
1
�
� � �
�
( ) ( )
( )( )( ) ( )(� �
2 2
0
2 2
2 1 2 1
1
4
1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
n
n n n
n n
)
( ) ( )
( )( )�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
2 1 2 1
1
4
1 0
2 1 0
0 0
0
2 2
n n n
n n
n
( ) ( )
( )( )
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Îñîáåííîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 11
Ïðîâåäÿ âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìóëàì (9)—(19), ïîëó÷àåì àíàëèòè÷åñêîå
âûðàæåíèå äëÿ èíäåêñà Ôëîêå. Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà R èíäåêñ
Ôëîêå ïîëîæèòåëåí, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñóáêðèòè÷åñêîé áèôóðêàöèè Õîï-
ôà, à ïðè âîçðàñòàíèè ïàðàìåòðà R îí ñòàíîâèòüñÿ îòðèöàòåëüíûì, ÷òî
ñîîòâåòñòâóåò ñóïåðêðèòè÷åñêîé áèôóðêàöèè Õîïôà. Ñìåíà òèïà áèôóð-
êàöèè ïðîèñõîäèò ïðè çíà÷åíèè ïàðàìåòðà R, êîòîðîå íàõîäèòñÿ èç óñëî-
âèÿ �
2
= 0:
R
n
Hs
�
�1 3
2
.
(31)
Äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ïîëó÷åííîãî àíàëèòè÷åñêîãî ðåçóëüòàòà áûë ïðî-
âåäåí ÷èñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (26) âûïîëíåíî ÷èñëåííî.  êà÷åñòâå ìåòî-
äà èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèìåíåí ìåòîä Ðóíãå — Êóòòû ïî ñõåìå Äîðìàíà—
Ïðèíñà ñåäüìîãî-âîñüìîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì øàãîì èíòåãðèðîâàíèÿ
[19] ïðè òî÷íîñòè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 10
–15
. Äëÿ íà-
õîæäåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé ïðèìåíåí ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä
ñòðåëüáû [20], à óñëîâèÿ ïåðèîäè÷íîñòè âûïîëíåíû ñ òî÷íîñòüþ 10
–12
. Êàê
àëüòåðíàòèâíûé è ïðîâåðî÷íûé âàðèàíò èñïîëüçîâàíû ïðîöåäóðû ÷èñ-
ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ æåñòêèõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ïàêåòà MathCAD [10, ñ. 291].
Íà ðèñ. 2, à ïðåäñòàâëåíû çàâèñèìîñòè àìïëèòóäû ïðåäåëüíûõ öèêëîâ
îò áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà C, ïîäòâåðæäàþùèå ïîëó÷åííûå âûøå
ðåçóëüòàòû. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè R = 1 (äëÿ n = –1/3) òèï áèôóðêàöèè
èçìåíÿåòñÿ.
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ïðîèñõîæäåíèå è ýâîëþöèÿ ïðåäåëüíîãî öèêëà,
ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ êîòîðûì ïðîèñõîäèò áèôóðêàöèÿ Õîïôà. Ïðè çíà-
÷åíèÿõ R < 1 íåóñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë ïîÿâëÿåòñÿ, êîãäà C < CH (30).
Î÷åâèäíî, ýòî ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå áèôóðêàöèè ñåïàðàòðèñû ñåäëà [6, 21,
22]. Ïîýòîìó àìïëèòóäà åãî ìàêñèìàëüíà. Ïðè âîçðàñòàíèè ïàðàìåòðà C
àìïëèòóäà íåóñòîé÷èâîãî öèêëà óìåíüøàåòñÿ è ïðè C = CH ñòàíîâèòñÿ ðàâ-
íîé íóëþ. Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ R óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë ïîÿâ-
ëÿåòñÿ, êîãäà áèôóðêàöèÿ Õîïôà C = CH èìååò íóëåâóþ àìïëèòóäó. Ñ âîçðàñ-
òàíèåì ïàðàìåòðà C àìïëèòóäà óñòîé÷èâîãî öèêëà óâåëè÷èâàåòñÿ è ïðè
C > CH îí èñ÷åçàåò â ðåçóëüòàòå áèôóðêàöèè ñåïàðàòðèñû ñåäëà.
Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ýâîëþöèÿ ñèñòåìû ïðè ïðîìåæóòî÷íûõ
çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà R, êîãäà R RHs
� (31). Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïå-
ðèìåíòîâ ïîêàçàëè, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèè ïàðà-
ìåòðà C â ñèñòåìå ìîæåò ñîñóùåñòâîâàòü äâà ïðåäåëüíûõ öèêëà: óñòîé÷èâûé
âíóòðè íåóñòîé÷èâîãî. Íåóñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë ïîÿâëÿåòñÿ â ðåçóëü-
òàòå áèôóðêàöèè ñåïàðàòðèñû ñåäëà (ñì. ðèñ 2, á), óñòîé÷èâûé — â ðå-
Â. Í. Ñèäîðåö
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4
çóëüòàòå áèôóðêàöèè Õîïôà(ñì. ðèñ 2, â). Ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà C
àìïëèòóäà íåóñòîé÷èâîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà óìåíüøàåòñÿ, à óñòîé÷èâîãî —
óâåëè÷èâàåòñÿ. Êîãäà ýòè àìïëèòóäû ñòàíîâÿòñÿ ðàâíûìè, â ñèñòåìå ïðîèñ-
õîäèò åùå îäèí âèä áèôóðêàöèè. Èíîãäà åå íàçûâàþò òàíãåíöèàëüíîé
áèôóðêàöèåé, èíîãäà — ñåäëî-óçëîâîé áèôóðêàöèåé äëÿ öèêëîâ [21]. Âîç-
ìîæíî, íàçâàíèå «áèôóðêàöèÿ äâîéíîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà» [20] íàèáîëåå
êîððåêòíî îòðàæàåò ñóòü ïðîèñõîäÿùåãî ïðîöåññà, òàê êàê â ðåçóëüòàòå äâà
öèêëà ñëèâàþòñÿ è ðàçðóøàþò äðóã äðóãà. Âçàèìîäåéñòâèå óïîìÿíóòûõ âû-
øå áèôóðêàöèé â êîîðäèíàòàõ R,C ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëåío íà ðèñ. 3.
Áèôóðêàöèÿ Õîïôà â RLC-öåïè ñ äóãîé. Ìàòðèöà ßêîáè è õàðàê-
òåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ëèíåàðèçîâàííîé â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷-
êè x0 = [1 1 1]
T
ñèñòåìû (27) èìåþò âèä
J
n
L L L
C RC
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 0
1
2
1 1
0
1 1
; (32)
Îñîáåííîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 13
x
2 x
2
x
2
á
â
R=1,2
R=1,1
1000
100
10
1
20
10
10
CH
CH
C
C
C
5,45 5,5 5,55
5,6 5,65 5,7
3
2
1,5
1,2
1,1
1
0,85
0,75
0,66
0,6
0,54
0,5
4 5 6 7 8 9
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (ïåðåìåííîé x2) îò áèôóðêàöèîííîãî
ïàðàìåòðà C äëÿ RC-öåïè ñ äóãîé: óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû (àâòîêîëåáàíèÿ);
íåóñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû
RLC RLC RC L R L nRC R n� � �
3 2
1 0
�( ) ( ) ( ) . (33)
Çíà÷åíèå áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà C, êîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
ìàòðèöû (32), ò. å. êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (33), — ÷èñòî
ìíèìûå (3), ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
nR L C R L R C L L RH H
2 2 2
1 1 1 0( ) [( ) ] ( )
� . (34)
Çàïèñü óñëîâèÿ (34) â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå çíà÷èòåëüíî óïðîùàåò äàëü-
íåéøèå àíàëèòè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ [18]:
C
L n
L n L
H ( )
( )
) ( )
�
�
�� �
0
0
2
0
2 2
0
2 2
1 1
1
�
�
�
; R
L n L
n
H ( )
) ( )
�
�� �
�
0
0
2 2
0
2 2
0
2
1
� �
�
. (35)
Ñëåäóåò çàìåòèòü òàêæå, ÷òî òðåòüå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå íåîáõîäèìî
âûðàçèòü ÷åðåç çíà÷åíèÿ ìíèìîé ÷àñòè ïåðâûõ äâóõ:
� �
��
��
( )
) ( )( )
[ ) ]
0
2
0
2
0
2
1 1 2 1
1 1
� �
�
�
L L n
L L n
.
Â. Í. Ñèäîðåö
14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4
C
C
â
à
R
R
12
11
10
9
8
7
6
5
4
6,0
5,8
5,6
5,4
CS
CS
CT
CH
CH
1 1,2 1,4 1,6
0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 2,2 2,6
Ðèñ. 3. Âçàèìîäåéñòâèå áèôóðêàöèé â êîîðäèíàòàõ R,C: CH — áèôóðêàöèÿ Õîïôà; CT —
áèôóðêàöèÿ äâîéíîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà; CS — áèôóðêàöèÿ ñåïàðàòðèñû ñåäëà; + òî÷êà
èçìåíåíèÿ òèïà áèôóðêàöèè Õîïôà (ñëåâà îò òî÷êè áèôóðêàöèÿ Õîïôà ñóáêðèòè÷åñêàÿ,
ñïðàâà — ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ)
Òîëüêî ïîñëå ýòîãî ìîæíî ïîñòðîèòü ìàòðèöó P ñîãëàñíî ôîðìóëå (7):
P
n L
L L n
n
� � �
�
�
�
�
1 0 1
1
2 2
1 1
2 1 1
2
1
0
0
2
0
2
0
�
��
� �
( )( )
[ ) ]
( L n L n L
L n
) ( )[ ) ( ) ]
[ ) ]2
1 1
2 1 1
0
2 2
0
2 2
0
2 2
�
� �
�
�
�
�
�
�� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Òåíçîðû âòîðûõ D f2
è òðåòüèõ D f3
ïðîèçâîäíûõ â îñíîâíîì ñîäåð-
æàò íóëåâûå ýëåìåíòû. Ïîýòîìó ïðèâåäåì ôîðìóëû òîëüêî äëÿ ýëåìåí-
òîâ, íå ðàâíûõ íóëþ:
D f
n n
L
2
1 2 1
1 3
4
, ,
( )( )
� �
� �
; D f D f
n
L
2
1 2 2
2
2 2 1
1
2
, , , ,
� �
�
; D f2
2 1 2
2
, ,
� ;
D f D f D f
n n
L
3
1 1 2 2
3
2 1 2 1
3
1 2 2 1
1 3
4
, , , , , , , , ,
( ) ( )
� � � �
� �
;
D f
n n n
L
3
1 1 2 1
1 3 5
8
, , ,
( ) ( ) ( )
�
� � �
.
Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ôîðìóë óäàëîñü ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå
äëÿ èíäåêñà Ôëîêå �
2
, êîòîðîå âñëåäñòâèå ãðîìîçäêîñòè çäåñü íå ïðè-
âåäåíî. Îäíàêî äëÿ íàãëÿäíîñòè íà ðèñ. 4 â ïëîñêîñòè ïàðàìåòðîâ L, R
ïîñòðîåíà êðèâàÿ ñìåíû òèïà áèôóðêàöèè Õîïôà, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò
óñëîâèþ �
2
= 0. Çàøòðèõîâàííàÿ îáëàñòü ñîîòâåòñòâóåò ñóáêðèòè÷åñêîé
áèôóðêàöèè Õîïôà. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðà-
ìåòðà L è èçìåíåíèè ïàðàìåòðà R çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû îò ïàðàìåòðà C
êà÷åñòâåííî íå îòëè÷àåòñÿ îò çàâèñèìîñòåé äëÿ RC-öåïè ñ äóãîé, ò. å. ïðè
ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà R áèôóðêàöèÿ Õîïôà ñóáêðèòè÷åñêàÿ, ïðè
áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ — ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ.Îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè
âîçðàñòàíèè ïàðàìåòðà L çíà÷åíèå ïàðàìåòðà RH s
âîçðàñòàåò. Ðåçóëüòàò
÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ïîäòâåðäèë, ÷òî çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû îò ïà-
ðàìåòðà C êà÷åñòâåííî ñîâïàäàåò ñ çàâèñèìîñòüþ, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 2.
Ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà R è èçìåíåíèè ïàðàìåòðà L
çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû îò ïàðàìåòðà C ñîîòâåòñòâóåò äâóì âàðèàíòàì
ýâîëþöèè ñèñòåìû. Ïðè R RH s
â ñèñòåìå íàáëþäàåòñÿ òîëüêî ñóáêðè-
òè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ Õîïôà, à ïðè R RH s
� — êàê ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ (ïðè
ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà L), òàê è ñóáêðèòè÷åñêàÿ (ïðè áîëüøèõ çíà÷å-
íèÿõ L) áèôóðêàöèÿ Õîïôà. Íà ðèñ. 5 èçîáðàæåíà êðèâàÿ áèôóðêàöèè
Õîïôà äëÿ ïàðàìåòðà R = 15, ïîñòðîåííàÿ ïî ôîðìóëàì (34) èëè (35).
Îñîáåííîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 15
Êðèâûå áèôóðêàöèè Õîïôà äëÿ äðóãèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà R RH s
� êà-
÷åñòâåííî ïîäîáíû. Îíè èìåþ ìèíèìóì, à òî÷êà èçìåíåíèÿ òèïà áèôóð-
êàöèè (íà ðèñ. 5 óêàçàíà ñòðåëêîé) ëåæèò íåìíîãî ïðàâåå ìèíèìóìà.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 6, ïîä-
òâåðæäàþò ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêè. Êðîìå òîãî, îíè ÿâëÿþòñÿ
îòâåòîì íà âîïðîñû, êîòîðûå îñòàþòñÿ áåç îòâåòà ïðè àíàëèòè÷åñêîì ïîä-
õîäå.  ÷àñòíîñòè, êàê âîçíèêàåò íåóñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë, âçàèìî-
äåéñòâóþùèé ñ îñîáîé òî÷êîé ïðè ñóáêðèòè÷åñêîé áèôóðêàöèè Õîïôà?
Â. Í. Ñèäîðåö
16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4
C
1
5
4
3
2
L0 5 10 15 20 25
Áèôóðêàöèÿ Õîïôà
Áèôóðêàöèÿ äâîéíîãî
ïðåäåëüíîãî öèêëà
R = 15
Ðèñ. 5. Êðèâûå áèôóðêàöèé â ïëîñêîñòè (L,C): ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ Õîïôà;
ñóáêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ Õîïôà
R
�
2
< 0
100
50
1
L0 2 4 6 8 10
1 3� n
2
�
2
> 0
Ðèñ. 4. Îáëàñòè ðàçëè÷íûõ òèïîâ áèôóðêàöèè Õîïôà â RLC-öåïè ñ äóãîé: îáëàñòü íàä
êðèâîé — ñóïåðêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ Õîïôà; çàøòðèõîâàííàÿ îáëàñòü — ñóáêðèòè-
÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ Õîïôà
Îêàçàëîñü, ÷òî äî ñóáêðèòè÷åñêîé áèôóðêàöèè Õîïôà ïðîèñõîäèò áèôóð-
êàöèÿ äâîéíîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà. Ïðè âîçðàñòàíèè ïàðàìåòðà C íà óäà-
ëåíèè îò îñîáîé òî÷êè âîçíèêàþò äâà ïðåäåëüíûõ öèêëà: íåóñòîé÷èâûé
âíóòðè óñòîé÷èâîãî. Ïðè äàëüíåéøåì âîçðàñòàíèè ïàðàìåòðà C àìïëèòó-
äà óñòîé÷èâîãî öèêëà óâåëè÷èâàåòñÿ, à íåóñòîé÷èâîãî óìåíüøàåòñÿ, ñòà-
íîâÿñü ðàâíîé íóëþ ïðè áèôóðêàöèè Õîïôà.
Îñîáåííîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 17
x
2
5
C1,5 2 2,0 ,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5
R = 15 L = 0,3
4
3
2
1
4 7 10
15
25
25
15
10
7
4
2
1
0,5
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (ïåðåìåííîé x2) îò áèôóðêàöèîííîãî
ïàðàìåòðà C äëÿ RLC-öåïè ñ äóãîé: óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû (àâòîêîëåáàíèÿ);
íåóñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû
x
2
30
25
20
15
10
5
C2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2
R = 15 n = 1/3�
0,04
0,07
L= 0,01
0,02
0,03
0,1
0,05
Ðèñ. 7. Ñêëàä÷àòàÿ ñòðóêòóðà çàâèñèìîñòåé àìïëèòóäû ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (ïåðåìåííîé x2)
îò áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà C äëÿ RLC-öåïè ñ äóãîé ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà L
Òàêèì îáðàçîì, â îáëàñòè ìåæäó êðèâîé áèôóðêàöèè äâîéíîãî ïðåäåëü-
íîãî öèêëà è êðèâîé ñóáêðèòè÷åñêîé áèôóðêàöèè Õîïôà (ñì. ðèñ. 5) ñîñó-
ùåñòâóþò äâà ïðåäåëüíûõ öèêëà.
Ïðåäñòàâëÿåò òàêæå èíòåðåñ ýâîëþöèÿ óñòîé÷èâûõ öèêëîâ ïðè ìàëûõ
çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà L. Êàê ïîêàçàë ÷èñëåííûé ýêñïåðèìåíò (ñì. ðèñ. 7),
ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå àìïëèòóäû ïðåäåëüíîãî öèêëà ïðè âîçðàñòàíèè
áèôóðêàöèîííîãî ïàðàìåòðà C, êîãäà L 0, ñìåíÿåòñÿ íàáîðîì ñêëàäîê,
îãðàíè÷åííûõ ñ îáåèõ ñòîðîí áèôóðêàöèÿìè äâîéíîãî ïðåäåëüíîãî öèê-
ëà. Çàêàí÷èâàåòñÿ ëè ýâîëþöèÿ öèêëîâ áèôóðêàöèåé ñåïàðàòðèñû ñåäëà,
óñòàíîâèòü íå óäàëîñü èç-çà òðóäíîñòåé ïðîâåäåíèÿ ÷èñëåííîãî ýêñïåðè-
ìåíòà ïðè î÷åíü áîëüøèõ àìïëèòóäàõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ, êîãäà æåñò-
êîñòü ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñòàíîâèòñÿ íåïðåîäîëèìîé
òðóäíîñòüþ.
Âûâîäû. 1. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïðàâûõ ÷àñòåé èñõîäíîé ñèñòåìû
ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ïîêàçàòåëÿ Ëÿïó-
íîâà (èíäåêñà Ôëîêå), êîòîðûé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òèï áèôóðêàöèè
Õîïôà, è èññëåäîâàòü äîñòàòî÷íî ñëîæíûå íåëèíåéíûå äèíàìè÷åñêèå
ñèñòåìû.
2.  RC- è RLC-öåïÿõ ñ ýëåêòðè÷åñêîé äóãîé âîçìîæíû êàê ñóïåðêðè-
òè÷åñêàÿ, òàê è ñóáêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèè Õîïôà.
3. Äëÿ ïîíèìàíèÿ ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà íåîáõî-
äèìî ðàññìàòðèâàòü åå â ñâÿçè ñ äðóãèìè áèôóðêàöèÿìè: áèôóðêàöèåé
äâîéíîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà è áèôóðêàöèåé ñåïàðàòðèñû ñåäëà.
Improved algorithm of a Floquet index calculation technique of a periodic solution that interacts
with fixed point under stability loss conditions is proposed. Principal benefit of an algorithm is
simplicity of symbolical calculation which allows analyzing a kind of Hopf bifurcation in
complex dynamic systems. By means of this technique it was determined that in electric circuits
with arc both supercritical Hopf bifurcation and subcritical Hopf bifurcation occur.
1. Àíäðîíîâ À. À., Âèòò À. À., Õàéêèí Ñ. Ý. Òåîðèÿ êîëåáàíèé. 2-å èçä. — Ì. : Ôèçìàòãèç,
1959. — 926 ñ.
2. Êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì âòîðîãî ïîðÿäêà/À. À. Àíäðîíîâ, Å. À. Ëåîí-
òîâè÷, È. È. Ãîðäîí, À. Ã. Ìàéåð. — Ì. : Íàóêà, 1966. — 568 ñ.
3. Òåîðèÿ áèôóðêàöèé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ïëîñêîñòè / À. À. Àíäðîíîâ, Å. À. Ëåîí-
òîâè÷, È. È. Ãîðäîí, À. Ã. Ìàéåð. — Ì. : Íàóêà, 1967. — 488 ñ.
4. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer station�ren Losung eines Differential
Systems. //Ber. Math. -Phys. —1942. — ¹ 94. — S. 1—22
5. Ìàðñäåí Äæ., Ìàê-Êðàêåí Ì. Áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ öèêëà è åå ïðèëîæåíèÿ: Ïåð. ñ
àíãë. Ðåä. Áàóòèí Í.Í., Ëåîíòîâè÷ Å.À. — Ì. : Ìèð, 1980. — 387 ñ. (J. E. Marsden, M.
McCracken The Hopf Bifurcation and Its Application. — N.-Y. : Springer-Verlag, 1976. —
370 ð.)
6. Áàóòèí Í. Í., Ëåîíòîâè÷ Å. À. Ìåòîäû è ïðèåìû êà÷åñòâåííîãî èññëåäîâàíèÿ äèíà-
ìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ïëîñêîñòè. Èçä-å 2, äîï. —Ì. : Íàóêà, 1990. — 488 ñ.
Â. Í. Ñèäîðåö
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4
7. Õýññàðä Á., Êàçàðèíîâ Í., Âýí È. Òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ áèôóðêàöèè ðîæäåíèÿ öèêëà:
Ïåð. ñ àíãë. Ðåä. Øíîëü Ý.Ý. — Ì. : Ìèð, 1985. — 280 ñ. (Hassard B. D., Kazarinoff N.
D. and Wan Y. -H. Theory and applications of Hopf bifurcation. — Cambridge : Cambridge
Univ. Press, 1981. — 311 ð.)
8. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory, 2nd ed. //Applied Mathematics
Science. — 1998. —Vol. 112. — 593 ð.
9. Ñäâèæêîâ Î. À. Ìàòåìàòèêà íà êîìïüþòåðå: Maple 8. — Ì. : ÑÎËÎÍ-Ïðåññ, 2003. —
176 ñ.
10. Êèðüÿíîâ Ä. Â. Ñàìîó÷èòåëü Mathcad 11. — ÑÏá. : ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã, 2003. — 560 ñ.
11. Ïåíòåãîâ È. Â., Ñèäîðåö Â. Í. Ýíåðãåòè÷åñêèå ïàðàìåòðû â ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
äèíàìè÷åñêîé ñâàðî÷íîé äóãè.//Àâòîìàòè÷åñêàÿ ñâàðêà. — 1988. — ¹ 11. — Ñ. 36—40.
12. Ñèäîðåö Â. Í., Ïåíòåãîâ È. Â. Âîçíèêíîâåíèå è ñòðóêòóðà ñòðàííîãî àòòðàêòîðà â
RLC-öåïè ñ ýëåêòðè÷åñêîé äóãîé //Òåõíè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. — 1993. — ¹ 2. —
Ñ. 28—32.
13. Sidorets V., Pentegov I. Electric Circuit with Arc: Periodic and Chaotic Behaviours //
NDES’94. Proceedings of the Workshop «Nonlinear Dynamics of Electronics Systems» —
Krakow : University of Mining and Metallurgy, 1994. — P. 227—232
14. Ñèäîðåöü Â. Ì., Ïåíòåãîâ ². Â. Ñöåíà𳿠ðîçâèòêó äåòåðì³íîâàíîãî õàîñó â åëåêòðè÷íîìó
êîë³ ç äóãîþ. //Óêðà¿íñüêèé ô³çè÷í³é æóðíàë. — 1994. — 39, ¹ 11—12. — C. 1080—1083.
15. Ñèäîðåö Â. Í. Ñòðóêòóðû áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ äóãîé. //
Òåõíè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. — 1998. — ¹ 4. — Ñ. 15—18
16. Ñèäîðåö Â. Í. Íåëèíåéíûå öåïè ñ ýëåêòðè÷åñêîé äóãîé: ïåðèîäè÷åñêèå è õàîòè÷åñêèå
êîëåáàíèÿ //Òåõí³÷íà åëåêòðîäèíàì³êà. 2000. Òåìàòè÷íèé âèïóñê. Ïðîáëåìè ñó÷àñíî¿
åëåêòðîòåõí³êè. ×. 6. — Ñ. 7—12
17. Ïåíòåãîâ È. Â., Ñèäîðåö Â. Í., Òóïèöûí Ñ. È. Áèôóðêàöèîííûå ïðîöåññû â RC-öåïÿõ
ñ ýëåêòðè÷åñêîé äóãîé. //Òåõíè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. — 1989. — ¹ 2. — Ñ. 29—35.
18. Ñèäîðåö Â. Í. Îñîáåííîñòè àíàëèçà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé
íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. //Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 1998. — 20, ¹ 5. —
Ñ. 60—71.
19. Õàéðåð Ý., ͸ðñåòò Ñ., Âàííåð Ã. Ðåøåíèå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé. Íåæåñòêèå çàäà÷è. — Ì. : Ìèð, 1990. — 512 ñ. (Hairer E., Norsett S. P., and Wan-
ner G. Solving Ordinary Differential Equation I: Nonstiff Problems. — Berlin: Springer-
Verlag, 1987. — 510 ð.)
20. Ñèäîðåö Â. Í. Ìåòîä ìíîãîêðàòíîé ñòðåëüáû äëÿ èññëåäîâàíèÿ áèôóðêàöèé äèíàìè-
÷åñêèõ ñèñòåì // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2006. — 28, ¹ 4. — Ñ. 3—13
21. Àíèùåíêî Â. Ñ. Ñëîæíûå êîëåáàíèÿ â ïðîñòûõ ñèñòåìàõ. Ìåõàíèçìû âîçíèêíîâåíèÿ,
ñòðóêòóðà è ñâîéñòâà äèíàìè÷åñêîãî õàîñà â ðàäèîôèçè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. — Ì. :
Íàóêà, 1990. — 312 ñ.
22. Íåéìàðê Þ. È., Ëàíäà Ï. Ñ. Ñòîõàñòè÷åñêèå è õàîòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. — Ì. : Íàóêà,
1987. — 424 ñ.
Ïîñòóïèëà 29.10.07
ÑÈÄÎÐÅÖ Âëàäèìèð Íèêîëàåâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷íûé ñîòð. îòäåëà ôèçèêè ãàçîâîãî
ðàçðÿäà è òåõíèêè ïëàçìû Èí-òà ýëåêòðîñâàðêè èì. Å.Î. Ïàòîíà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1978 ã.
îêîí÷èë Êèåâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ýëåêò-
ðè÷åñêîé äóãè, íåëèíåéíûå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ñ äóãîé, äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ, ìàòåìà-
òè÷åñêèå ìåòîäû äëÿ èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.
Îñîáåííîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 19
|