Об одном классе задач идентификации динамических объектов

Об одном классе задач идентификации динамических объектов

Исследован класс задач параметрической идентификации динамических, в общем случае нелинейных, объектов с сосредоточенными параметрами, которые являются постоянными для определенных областей фазового пространства. Получены необходимые условия оптимальности, приведены результаты численных эксперименто...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2008
Автори: Айда-заде, К.Р., Кулиев, С.З.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2008
Назва видання:Электронное моделирование
Теми:
Применение методов и средств моделирования
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101586
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Об одном классе задач идентификации динамических объектов / К.Р. Айда-заде, С.З. Кулиев // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 4. — С. 105-116. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-101586
record_format dspace
spelling irk-123456789-1015862016-06-06T03:02:28Z Об одном классе задач идентификации динамических объектов Айда-заде, К.Р. Кулиев, С.З. Применение методов и средств моделирования Исследован класс задач параметрической идентификации динамических, в общем случае нелинейных, объектов с сосредоточенными параметрами, которые являются постоянными для определенных областей фазового пространства. Получены необходимые условия оптимальности, приведены результаты численных экспериментов. Досліджено клас задач параметричної ідентифікації динамічних, у загальному випадку нелінійних, об’єктів з зосередженими параметрами, які є константами для визначених областей фазового простору. Отримано необхідні умови оптимальності, наведено результати числових експериментів. A class of problems of parametrical identification of dynamic, in the general case, non-linear objects with concentrated parameters is investigated in the work. The specificity of the considered problems lies in identification of the values of the parameters of the mathematical model of the object, which are constant for definite domains of the phase space. Necessary conditions of optimality have been obtained; the results of numerical experiments are given. 2008 Article Об одном классе задач идентификации динамических объектов / К.Р. Айда-заде, С.З. Кулиев // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 4. — С. 105-116. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101586 517.97:519.876 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Применение методов и средств моделирования
Применение методов и средств моделирования
spellingShingle Применение методов и средств моделирования
Применение методов и средств моделирования
Айда-заде, К.Р.
Кулиев, С.З.
Об одном классе задач идентификации динамических объектов
Электронное моделирование
description Исследован класс задач параметрической идентификации динамических, в общем случае нелинейных, объектов с сосредоточенными параметрами, которые являются постоянными для определенных областей фазового пространства. Получены необходимые условия оптимальности, приведены результаты численных экспериментов.
format Article
author Айда-заде, К.Р.
Кулиев, С.З.
author_facet Айда-заде, К.Р.
Кулиев, С.З.
author_sort Айда-заде, К.Р.
title Об одном классе задач идентификации динамических объектов
title_short Об одном классе задач идентификации динамических объектов
title_full Об одном классе задач идентификации динамических объектов
title_fullStr Об одном классе задач идентификации динамических объектов
title_full_unstemmed Об одном классе задач идентификации динамических объектов
title_sort об одном классе задач идентификации динамических объектов
publisher Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate 2008
topic_facet Применение методов и средств моделирования
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101586
citation_txt Об одном классе задач идентификации динамических объектов / К.Р. Айда-заде, С.З. Кулиев // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 4. — С. 105-116. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series Электронное моделирование
work_keys_str_mv AT ajdazadekr obodnomklassezadačidentifikaciidinamičeskihobʺektov
AT kulievsz obodnomklassezadačidentifikaciidinamičeskihobʺektov
first_indexed 2025-07-07T11:07:44Z
last_indexed 2025-07-07T11:07:44Z
_version_ 1836986101436252160
fulltext ÓÄÊ 517.97:519.876 Ê. Ð. Àéäà-çàäå, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, Ñ. Ç.Êóëèåâ, êàíä.ôèç.-ìàò.íàóê Èí-ò êèáåðíåòèêè ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà (Àçåðáàéäæàí, AZ 1141, Áàêó, óë. Ô. Àãàåâà, 9, òåë. (99412) 5100523, E-mail: kamil_aydazade@rambler.ru, copal@inbox.com) Îá îäíîì êëàññå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ* (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê À.Ô. Âåðëàíü) Èññëåäîâàí êëàññ çàäà÷ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè äèíàìè÷åñêèõ, â îáùåì ñëó÷àå íåëèíåéíûõ, îáúåêòîâ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿí- íûìè äëÿ îïðåäåëåííûõ îáëàñòåé ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëî- âèÿ îïòèìàëüíîñòè, ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Äîñë³äæåíî êëàñ çàäà÷ ïàðàìåòðè÷íî¿ ³äåíòèô³êàö³¿ äèíàì³÷íèõ, ó çàãàëüíîìó âèïàäêó íåë³í³éíèõ, îá’ºêò³â ç çîñåðåäæåíèìè ïàðàìåòðàìè, ÿê³ º êîíñòàíòàìè äëÿ âèçíà÷åíèõ îáëàñòåé ôàçîâîãî ïðîñòîðó. Îòðèìàíî íåîáõ³äí³ óìîâè îïòèìàëüíîñò³, íàâåäåíî ðåçóëü- òàòè ÷èñëîâèõ åêñïåðèìåíò³â. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: äèíàìè÷åñêèé îáúåêò, ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî, ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ, êðèòåðèé èäåíòèôèêàöèè, ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà, îáðàòíàÿ çàäà÷à. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü ñîñòîÿíèå x t R n ( )� èäåíòèôèöèðóåìîãî äèíà- ìè÷åñêîãî îáúåêòà îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíîé àâòîíîìíîé ñèñòåìîé äèôôå- ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé n-ãî ïîðÿäêà � ( ) ( ( ), ( ( )))x t f x t p x t� , t T�( , ]0 , (1) ãäå èäåíòèôèöèðóåìûå ôóíêöèè p x t R r ( ( ))� ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè ñèñ- òåìû, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ çàâèñÿò îò ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû x t( ) ([1—4]); T — çàäàííîå âðåìÿ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ îáúåêòà. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âåêòîð- ôóíêöèÿ f R n (.,.)� íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìà ïî ñâîèì àðãóìåíòàì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç X R n � ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ôàçîâûõ ñîñòîÿíèé îáúåêòà äëÿ ðàçëè÷íûõ åãî âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé è äîïóñòèìûõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 105 * Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå INTAS (ïðîåêò ¹ 06-1000017-8909) â ðàìêàõ ïðîãðàì- ìû «Ñîòðóäíè÷åñòâî ñ Þæíî-Êàâêàçñêèìè Ðåñïóáëèêàìè 2006». çíà÷åíèé ïàðàìåòðà p x t( ( )). Ïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî X ðàçáèòî íà êîíå÷- íîå ÷èñëî L çàäàííûõ ïîäìíîæåñòâ (çîí) X i , i L�1 2, ,..., òàêèõ, ÷òî X X i i L � �1 � , X Xi j � ��, i j� , i j L, , , ...,�1 2 . Èäåíòèôèöèðóåìûå ïàðàìåòðû p x t( ( )) ïðåäïîëàãàþòñÿ ïîñòîÿííûìè â êàæäîé èç çîí X i , i L�1 2, ,..., , ò. å. p t p x t pi ( ) ( ( ))� � �const, x t X i ( )� , p Ri r � , i L�1 2, ,..., , t T�[ , ]0 . (2) Êàê ïðàâèëî, èäåíòèôèöèðóåìûå çíà÷åíèÿ pi â ðåàëüíûõ çàäà÷àõ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îãðàíè÷åíèÿì, îáóñëîâëåííûìè òåõíè÷åñêèìè è òåõíîëîãè- ÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè îáúåêòîâ. Îáîçíà÷èì P i , i L�1 2, ,..., , ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ pi , êîòîðîå ïðåäïîëàãàåòñÿ çàìêíóòûì è îãðàíè÷åííûì. Ïðîñòûì ïðèìåðîì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà ìîæåò áûòü îäíîìåðíîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â êàêîé-ëèáî ñðå- äå, êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ â êîòîðîé çàâèñèò îò ñêîðîñòè: p x t p x t x t v p x t p x t v x( ( )) � ( ), � ( ) , � ( ) � ( ), �� � � 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ( ) , exp( � ( )), � ( ) , t v p p x t v x t � � � � � � 2 3 3 4 3 2 (3) ãäå v 1 , v 2 — çàäàííûå êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ìàòå- ðèàëüíîé òî÷êè. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî èäåíòèôèöèðóåìàÿ ôóíê- öèÿ îò ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà â îáùåì ñëó÷àå èìååò âèä p x t p x t( ( )) � ( )� � 1 � �p x t p p x t 2 2 3 4 � ( ) exp( � ( )), èç (3) ñëåäóåò p p x t v p v x t v v x t 1 1 1 1 1 2 1 2 2 0 � � � � � � � � , � ( ) , , � ( ) , , � ( ) , p p x t v v x t v v 2 2 2 1 2 1 2 0 � � � � , � ( ) [ , ], , � ( ) [ , ], p p x t v x t v 3 3 3 2 2 0 � � � , � ( ) , , � ( ) , p p x t v x t v 4 4 3 2 2 0 � � � , � ( ) , , � ( ) , ò.å. r � 4, p p1 1 1 0 0 0� ( , , , ), p p p2 1 2 2 2 0 0� ( , , , ), p p p3 3 3 4 3 0 0� ( , , , ). Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî X R� 2 ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì è îïðåäåëÿåòñÿ ïàðîé � �x x, � , à ïîäìíîæåñòâà X i , i �1 2 3, , , åñòü Ê. Ð. Àéäà-çàäå, Ñ. Ç.Êóëèåâ 106 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4 � �� �X x x l x l x v1 1 � � � � � , � : , � , � �� �X x x l x l v x v2 1 2 � � � � � �, � : , � , � �� �X x x l x l v x3 2 � � � � � , � : , � , ãäå l — ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ ïî ðåàëüíûì ôèçè÷åñêèì ñâîéñòâàì äèíàìèêè îáúåêòà. ßñíî, ÷òî X X X X� � � 1 2 3 , X X1 2 � ��, X X2 3 � ��, X X1 3 � ��. Ïðèâåäåííûé ïðèìåð äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ èëëþñòðàòèâíûì, íî â íåì ñîäåðæèòñÿ ñóòü èññëåäóåìîãî êëàññà çàäà÷ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè áûëî ïðîâåäåíî M íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé çà äèíàìèêîé èññëå- äóåìîãî îáúåêòà ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ åãî ñîñòîÿíèÿõ: x xi i ( )0 0 � , i M�1 2, ,..., . (4) Òåêóùåå ñîñòîÿíèå îáúåêòà çàâèñèò êàê îò åãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ x 0 , òàê è îò çîíàëüíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ p p p p RL rL � �( , ,..., ) 1 2 , ò. å. x t x t x p( ) ( ; , )� 0 . Ïðè ýòîì ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî íà÷àëüíûå ñîñ- òîÿíèÿ îáúåêòà è çîíàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ íåçàâèñèìû. Ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ëèáî êîìïîíåíòû, ëèáî âåñü âåêòîð ñîñòîÿíèÿ â îòäåëü- íûå ìîìåíòû âðåìåíè, x t x p xi ij i j i ( ; , ) 0 � , j M i�1 2, ,..., , (5) â ÷àñòíîñòè ìîìåíòû âðåìåíè T i : x T x p xi i i T i i ( ; , ) 0 � , i M�1 2, ,..., , (6) ãäå M i — êîëè÷åñòâî ìîìåíòîâ âðåìåíè, â êîòîðûå çà ñîñòîÿíèåì îáúåêòà ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x i 0 ïðîâîäèëèñü íàáëþäåíèÿ. Âîçìîæíû ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ â íåêîòîðûõ ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè: x t x p ti i ij ( ; , ) ( ) 0 �� , t ij ij� � [ , ]� � 1 , � ij T�[ , ]0 , � �ij ij� 1 , j mi�1 2, ,..., , i M�1 2, ,..., , (7) ãäå mi — êîëè÷åñòâî íàáëþäàåìûõ âðåìåííûõ èíòåðâàëîâ ïðè íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè x i 0 . Íàáëþäåíèÿ ìîãóò áûòü òàêæå ñìåøàííîãî òèïà, ò. å. êàê òî÷å÷íûå (5), òàê è èíòåðâàëüíûå (7). Çàäà÷à ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ p x t( ( )) ïðè óñëîâèÿõ (1), (2), (4) è äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ íàáëþäåíèÿ (5), (6) èëè (7). Íàïðèìåð, â ñëó÷àå íàáëþäåíèé âèäà (6), èñïîëüçóÿ äëÿ èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, èññëåäóåìóþ çàäà÷ó ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ìîæíî Îá îäíîì êëàññå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 107 ïðèâåñòè ê çàäà÷å ïàðàìåòðè÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ìèíèìèçàöèè ïðè óñëîâèÿõ (1), (2), (4) ôóíêöèîíàëà [5] J p f x t x p p t F x T x p( ) ( ( ; , ), ( )) ( ( ; , ))� � 0 0 0 . (8) Çäåñü f M T x p T i M i i i obs 0 1 0 21 (.,.) [ ( ; ) ] _ . � � � � , F M x T x p x i M i i i T i i obs(.) ( ; , ) _ .� � � � 1 1 0 2 , ãäåT i obs_ . — íàáëþäàåìîå (obs.) âðåìÿ ïîïàäàíèÿ òðàåêòîðèè ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x i 0 â òî÷êó x T i i obs_ . . Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (8) õàðàêòåðèçóåò íåâÿçêó ìåæäó ðàñ÷åòíûìè è ôàêòè÷åñêèìè âðåìåíàìè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòå- ìû, à âòîðîå — íåâÿçêó ïî êîíå÷íîìó ñîñòîÿíèþ. ßñíî, ÷òî äëÿ ðàññìàò- ðèâàåìîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ÷èñëî íàáëþäåíèé äîëæíî ïðåâûøàòü ÷èñëî èäåíòèôèöèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ. Ñïåöèôèêà ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè äèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî èäåíòèôèöèðóåìûå ïàðàìåòðû íåïî- ñðåäñòâåííî ñâÿçàíû íå òîëüêî ñ äèíàìè÷åñêèì îáúåêòîì, íî è ñ âíåøíåé ñðåäîé, è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ îáúåêòà îïðåäåëÿåòñÿ âçàèì- íûì ñîîòíîøåíèåì ñîñòîÿíèé îáúåêòà è ñðåäû. Çàäà÷è ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè çîíàëüíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ îáúåêòà âñòðå÷àþòñÿ âî ìíîãèõ ðåàëüíûõ ïðàêòè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ, íàïðèìåð â òîìîãðàôèè, ãåî- ôèçèêå, ìåäèöèíå, õèìè÷åñêèõ ïðîöåññàõ. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è. Ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ïàðàìåòðè÷åñ- êîé èäåíòèôèêàöèè äëÿ íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé ïàðàìåòðè÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñëåäñòâèå êîíå÷íîìåðíîñòè âåêòîðà èäåíòèôèöèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ åå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çàäà÷ó êîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè, ò. å. êàê ñïåöèàëüíóþ çàäà÷ó ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïîýòîìó äëÿ åå ðåøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå èçâåñòíûå ýôôåêòèâíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû, â ÷àñòíîñòè ìåòîäû ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äëÿ èõ ïðèìå- íåíèÿ âàæíîå çíà÷åíèå èìååò íàëè÷èå (à â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ — ïîëó÷å- íèå) àíàëèòè÷åñêèõ ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ôóíê- öèîíàëà ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è [5]. Èç (2) ñëåäóåò, ÷òî èäåíòèôèöèðóåìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ p t( ), îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîâîé ìàòðèöåé ðàçìåðíîñòè( )L r� : P p j i � (( )), i L�1 2, ,..., , j r�1 2, ,..., , ãäå p j i ñîãëàñíî (2) ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì j-ãî ïàðàìåòðà â i-é çîíå X i , à pi — çíà÷åíèÿ âñåõ ïàðàìåòðîâ i-é çîíû, p Ri r � . Òîãäà ãðàäèåíò öå- ëåâîãî ôóíêöèîíàëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëåäóþùóþ( )L r� -ìåðíóþ ìàòðèöó: grad J p J p p j i ( ) ( ) � � � � � � ! ! � � � � � ! ! " " , j r�1 2, ,..., , i L�1 2, ,..., . Ê. Ð. Àéäà-çàäå, Ñ. Ç.Êóëèåâ 108 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4 Òàêèì îáðàçîì, i-ì ñòîëáöîì ýòîé ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ âåêòîð " " " " " " " " J p p J p p J p p J p pi i i r i ( ) ( ) , ( ) ,..., ( ) � � � � � � ! ! 1 2 �R r , îïðåäåëÿþùèé âëèÿíèå íà ôóíêöèîíàë (8) âñåõ âåëè÷èí èäåíòèôèöèðóå- ìûõ ïàðàìåòðîâ â i-é çîíå X i . Èíòåðâàëû âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðûõ ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ x t x pi ( ; , ) 0 ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì x i 0 ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ p íàõî- äèòñÿ â j-é ôàçîâîé çîíå X j îáîçíà÷èì # j ix p( , ) 0 , ò. å. # j i ix p T( , ) [ , ] 0 0� , j L�1 2, ,..., , (9) îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî x t x p Xi j ( ; , ) 0 � , t x pj i �# ( , ) 0 , i M�1 2, ,..., , ãäå T i � �T x pi i ( , ) 0 . ßñíî, ÷òî j L j i ix p T � � 1 0� # ( , ) , i M�1 2, ,..., . Âîçìîæíî, ìíîæåñòâî # j ix p( , ) 0 ÿâëÿåòñÿ ìíîãîñâÿçíûì, òàê êàê òðàåê- òîðèÿ x t x pi ( ; , ) 0 ìîæåò íåîäíîêðàòíî ïåðåñåêàòü j-þ çîíó ñîñòîÿíèé X j . Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà. Êîìïîíåíòû ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà çàäà÷è (1), (2), (4), (6), (8) äëÿ äîïóñòèìûõ çîíàëüíûõ çíà÷åíèé èäåíòèôèöèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ p îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå " " " � � " $ J p p f x x p p p i j M x p j i i j ( ) ( ( ; , ), ( )) ( ( , ) * � � � � % 1 0 0 # �; , )x pj 0 & ' ( � � ) * + " � � " � f x x p p p d j i 0 0 ( ( ; , ), ( )) , i L�1 2, ,..., , (10) ãäå $ �( ; , )x pj 0 — ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è: � ( ; , ) ( ( ; , ), ( )) ( ; , ) ( * $ " " $ " t x p f x t x p p t x t x p fj j j 0 0 0 0 � � � x t x p p t x j ( ; , ), ( )) 0 " , (11) $ " " ( ; , ) ( ( ; , )) T x p F x T x p x j j j j 0 0 � � , j M�1 2, ,..., ; (12) * — çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ. Îá îäíîì êëàññå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 109 Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåõíîëîãèþ âàðèà- öèè àðãóìåíòà, ïðåäëîæåííóþ, íàïðèìåð, â ðàáîòå [6]. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ èññëåäóåìîé çàäà÷è ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôè- êàöèè äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ ýòàïîâ. 1. Íàçíà÷èòü êàêèå-ëèáî íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ çîíàëüíûõ ïàðàìåòðîâ P p Ri r 0 0 � � , i L�1 2, ,..., . 2. Ðåøèòü ïðÿìóþ íà÷àëüíóþ çàäà÷ó (1), (2), (4) ñ èñïîëüçîâàíèåì êà- êîãî-ëèáî ÷èñëåííîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåí- öèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèÿõ x i 0 è îïðåäåëèòü èíòåðâàëû âðåìåíè # j ix p( , ) 0 è òðàåêòîðèè x t x pi ( ; , ) 0 äëÿ âñåõ i M�1 2, ,..., . 3. Ïî ôîðìóëàì (11), (12) ðåøèòü ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó äëÿ âñåõ i M�1 2, ,..., â îáðàòíîì ïîðÿäêå ïî t t T, [ , ]� 0 è îïðåäåëèòü ôóíêöèè $ i it x p( ; , ) 0 , i M�1 2, ,..., . 4. Ïî ôîðìóëå (10) ïðîâåñòè ðàñ÷åò èñêîìûõ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà â ïðîñòðàíñòâå èäåíòèôèöèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ. 5.  ïðîñòðàíñòâå èäåíòèôèöèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ P â íàïðàâëåíèè àíòèãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà ñäåëàòü øàã, íàïðèìåð ìåòîäîì ïðîåêöèè ãðàäèåíòà, è ïîëó÷èòü íîâûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ pi , i L�1 2, ,..., . 6. Åñëè êðèòåðèé îêîí÷àíèÿ ìåòîäà îïòèìèçàöèè íå âûïîëíåí, òî ïåðåéòè ê øàãó 2, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå çàâåðøèòü ïðîöåäóðó. ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû è àíàëèç ðåçóëüòàòîâ. Ðàññìîòðèì çà- äà÷ó ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà, äâèæåíèå êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé àâòîíîìíîé ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëü- íûõ óðàâíåíèé: � ( ) ( ), � ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) , � x t x t x t a x t x t b x t x t x 1 2 2 2 1 1 � � � � 3 4 4 4 3 1 ( ) ( ), � ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) , t x t x t a x t x t b x t x t � � � � t T�( , ]0 , (13) ãäå a x t b x t( ( )), ( ( ))— íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû îáúåêòà, ïîäëåæàùèå îïðå- äåëåíèþ;( ( ), ( ))x t x t 1 3 — êîîðäèíàòû äâèæåíèÿ îáúåêòà íà ïëîñêîñòè x x 1 3 ; ( ( ), ( ))x t x t 2 4 — ñêîðîñòè èõ äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî â äâóìåðíîé ïëîñêîñòè äâè- æåíèÿ îáúåêòà ðàçäåëåíî íà òðè çîíû ãèïåðïëîñêîñòÿìè x 1 1� , x 1 2� , ïåð- ïåíäèêóëÿðíûìè îñè x 1 è îáðàçóþùèìè ïîäìíîæåñòâà X x x x x x 1 1 2 3 4 1 1� �{( , , , ) : }, X x x x x x 2 1 2 3 4 1 1 2� �{( , , , ) : }, X x x x x x 3 1 2 3 4 1 2� {( , , , ) : }, Ê. Ð. Àéäà-çàäå, Ñ. Ç.Êóëèåâ 110 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4 â êàæäîì èç êîòîðûõ ïàðàìåòðû a x t b x t( ( )), ( ( )) ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ÷èñëî çîí, ïîêðûâàþùèõ âñå ôàçîâîå ïðîñòðàíñò- âî, L �3. Ïðîâîäèëèñü íàáëþäåíèÿ çà äâèæåíèåì îáúåêòà, â êîòîðûõ íà- ÷àëüíûå ñîñòîÿíèÿ ïðèíèìàëè çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà X x x x x x x i x ii i i 0 1 2 3 4 1 2 3 0 0 0 01 0 01� � � �{( , , , ) : ( ) ; ( ) , ; ( ) , ; ( ) }x i 4 0 1� , i �1 2 50, ,..., . Áûëî ïðîâåäåíî M �50íàáëþäåíèé êàê çà âðåìåíåì T i obs_ . , êîòîðîå ïîíà- äîáèëîñü îáúåêòó, ÷òîáû äîñòè÷ü îêðåñòíîñòè ãèïåðïëîñêîñòè x 1 3� ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ x xi i ( )0 0 � , òàê è çà êîîðäèíàòàìè òðàåêòîðèè ñèñòåìû x T i obs 1 ( ) _ . , x T i obs 2 ( ) _ . , x T i obs 3 ( ) _ . , x T i obs 4 ( ) _ . ïðè t T i obs � _ . (òàáë. 1). Ìèíèìèçèðóåìûé â çàäà÷å ôóíêöèîíàë ñëåäóþùèé: J p M T x p T R x T x i M i i i obs i ( ) {[ ( , ) ] [max ([ ( ) _ . � � � � � � 1 1 0 2 1 1 ( )] _ .T i obs 2 � � � � � �[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] _ . _ .x T x T x T x Ti i obs i i obs 2 2 2 3 3 2 � � � ,[ ( ) ( )] , )] } min _ .x T x Ti i obs p 4 4 2 2 2 0- , (14) ãäå R — çàäàííàÿ äîñòàòî÷íî áîëüøàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, îïðå- äåëÿþùàÿ âåëè÷èíó øòðàôà çà íàðóøåíèå óñëîâèé x T x Ti i obs ( ) ( ) _ . � , i M�1 2, ,..., ; - — äîñòàòî÷íî ìàëàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Äëÿ òîãî ÷òîáû èçáåæàòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè íà îòðåçêå ñ ïåðåìåííûì èíòåð- âàëîì âðåìåíè, ââåäåì çàìåíó ïåðåìåííûõ ïî ôîðìóëå t u� �, ãäå u.0, ��[ , ]0 1 . Ñíîâà îáîçíà÷àÿ � ÷åðåç t, ñèñòåìó (13) çàïèñûâàåì â âèäå � ( ) ( ), � ( ) ( ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) x t ux t x t u a x t x t b x t x t 1 2 2 2 1 1 � � � � ), � ( ) ( ), � ( ) ( ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) x t ux t x t u a x t x t b x t x t 3 4 4 4 3 � � � �1), t�[ , ].0 1 (15) Öåëåâîé ôóíêöèîíàë (14) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä: J p u M u T R x x T i M i i obs i ob ( , ) {[ ] [max ([ ( ) ( _ . _ � � � � � � 1 1 1 2 1 1 s. )] 2 � � � � � �[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] _ . _ .x x T x x Ti obs i obs 2 2 2 3 3 2 1 1 � � � ,[ ( ) ( )] , )] } min _ . , x x T i obs p u 4 4 2 2 2 1 0- , (16) Îá îäíîì êëàññå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 111 ãäå u u u u M � ( , ,..., ) 1 2 — îïòèìèçèðóåìûé âåêòîð. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ (15) ñîïðÿæåííàÿ ñèñòåìà ïðèíèìàåò âèä � ( ) ( ( )) ( ), � ( ) ( ) ( ( )) ( ) $ $ $ $ $ 1 2 2 1 2 t b x t u t t u t a x t u t � � � � � , � ( ) ( ( )) ( ), � ( ) ( ) ( ( )) ( $ $ $ $ $ 3 4 4 3 4 t b x t u t t u t a x t u t � � � � � ), t�[ , ),0 1 (17) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì íà ïðàâîì êîíöå âðåìåííîãî èíòåðâàëà â ôîðìå $ 1 1 1 1 1 4 1 4 1 1( ) ( ( ) ( ) max ( ( ) _ . � � � � � � � �R x x T x i M i i i obs j j i x Tj i i obs ( )) , _ . 2 0 & ' ( ) * + , $ 2 1 2 2 1 4 1 4 1 1( ) ( ( ) ( ) max ( ( ) _ . � � � � � � � �R x x T x i M i i i obs j j i x Tj i i obs ( )) , _ . 2 0 & ' ( ) * + , $ 3 1 3 3 1 4 1 4 1 1( ) ( ( ) ( ) max ( ( ) _ . � � � � � � � �R x x T x i M i i i obs j j i x Tj i i obs ( )) , _ . 2 0 & ' ( ) * + , (18) $ 4 1 4 4 1 4 1 4 1 1( ) ( ( ) ( ) max ( ( ) _ . � � � � � � � �R x x T x i M i i i obs j j i x Tj i i obs ( )) , . _ . 2 0 & ' ( ) * + Òîãäà êîìïîíåíòû ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà ïî îïòèìèçèðóåìûì ïàðàìåòðàì âû÷èñëÿþòñÿ ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì: " " $ $ J u M u T t x t t a x t x i i i obs � � � � � 2 1 2 2 2 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ( ( )) ( _ . t)� % 0 1 � � � � �b x t x t t x t t a x t x t b x( ( )) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( )) ( ) ( 1 3 4 4 4 1 $ $ ( )) ( ) )]t x t dt 3 1� , i M�1 2, ,..., , (19) " " $ $ J a x t u t x t u t dt i j M j j x ai j � � � � � 1 2 2 4 4 0 [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ; ,# b) % , i �1 2 3, , , (20) " " $ $ J b x t u t x t u t dt i j M j j x ai j � � � � � 1 1 1 3 3 0 [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ; ,# b) % , i �1 2 3, , . (21)  òàáë. 1 ïðèâåäåíû íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ âðåìåíè è êîíå÷íîãî ñîñ- òîÿíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé îáúåêòà, ò. å. ðåçóëüòàòû Ê. Ð. Àéäà-çàäå, Ñ. Ç.Êóëèåâ 112 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4 Îá îäíîì êëàññå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 113 i xi 0 T i o b s _ . x T i o b s ( ) _ . i xi 0 T i o b s _ . x T i o b s ( ) _ . 1 ( 0 , 0 .1 , 0 .1 , 1 .0 ) 2 .0 7 1 4 ( 3 .0 3 , 3 .4 0 , 6 .8 5 , 6 .5 0 ) 2 6 ( 0 , 2 .6 , 2 .6 , 1 .0 ) 0 .8 8 5 7 ( 3 .0 5 , 4 .4 4 , 4 .4 7 , 3 .4 2 ) 2 ( 0 , 0 .2 , 0 .2 , 1 .0 ) 1 .9 7 1 4 ( 3 .0 2 , 3 .3 9 , 6 .3 6 , 6 .1 1 ) 2 7 ( 0 , 2 .7 , 2 .7 , 1 .0 ) 0 .8 5 7 1 ( 3 .0 2 , 4 .4 9 , 4 .4 8 , 3 .3 7 ) 3 ( 0 , 0 .3 , 0 .3 , 1 .0 ) 1 .8 8 5 7 ( 3 .0 2 , 3 .4 0 , 6 .0 0 , 5 .8 0 ) 2 8 ( 0 , 2 .8 , 2 .8 , 1 .0 ) 0 .8 4 2 8 ( 3 .0 5 , 4 .5 7 , 4 .5 5 , 3 .3 5 ) 4 ( 0 , 0 .4 , 0 .4 , 1 .0 ) 1 .8 0 0 0 ( 3 .0 1 , 3 .4 0 , 5 .6 7 , 5 .5 1 ) 2 9 ( 0 , 2 .9 , 2 .9 , 1 .0 ) 0 .8 1 4 2 ( 3 .0 1 , 4 .6 2 , 4 .5 6 , 3 .2 9 ) 5 ( 0 , 0 .5 , 0 .5 , 1 .0 ) 1 .7 2 8 5 ( 3 .0 2 , 3 .4 2 , 5 .4 3 , 5 .2 9 ) 3 0 ( 0 , 3 .0 , 3 .0 , 1 .0 ) 0 .8 0 0 0 ( 3 .0 3 , 4 .7 1 , 4 .6 3 , 3 .2 7 ) 6 ( 0 , 0 .6 , 0 .6 , 1 .0 ) 1 .6 5 7 1 ( 3 .0 1 , 3 .4 4 , 5 .2 0 , 5 .0 9 ) 3 1 ( 0 , 3 .1 , 3 .1 , 1 .0 ) 0 .7 8 5 7 ( 3 .0 5 , 4 .7 9 , 4 .6 9 , 3 .2 6 ) 7 ( 0 , 0 .7 , 0 .7 , 1 .0 ) 1 .6 0 0 0 ( 3 .0 4 , 3 .4 8 , 5 .0 5 , 4 .9 2 ) 3 2 ( 0 , 3 .2 , 3 .2 , 1 .0 ) 0 .7 7 1 4 ( 3 .0 6 , 4 .8 7 , 4 .7 6 , 3 .2 4 ) 8 ( 0 , 0 .8 , 0 .8 , 1 .0 ) 1 .5 2 8 5 ( 3 .0 0 , 3 .4 8 , 4 .8 5 , 4 .7 4 ) 3 3 ( 0 , 3 .3 , 3 .3 , 1 .0 ) 0 .7 4 2 8 ( 3 .0 1 , 4 .9 2 , 4 .7 7 , 3 .1 8 ) 9 ( 0 , 0 .9 , 0 .9 , 1 .0 ) 1 .4 8 5 7 ( 3 .0 4 , 3 .5 3 , 4 .7 8 , 4 .6 2 ) 3 4 ( 0 , 3 .4 , 3 .4 , 1 .0 ) 0 .7 2 8 5 ( 3 .0 2 , 5 .0 0 , 4 .8 4 , 3 .1 6 ) 1 0 ( 0 , 1 .0 , 1 .0 , 1 .0 ) 1 .4 2 8 5 ( 3 .0 3 , 3 .5 7 , 4 .6 6 , 4 .4 9 ) 3 5 ( 0 , 3 .5 , 3 .5 , 1 .0 ) 0 .7 1 4 2 ( 3 .0 2 , 5 .0 8 , 4 .9 0 , 3 .1 5 ) 1 1 ( 0 , 1 .1 , 1 .1 , 1 .0 ) 1 .3 7 1 4 ( 3 .0 1 , 3 .5 9 , 4 .5 4 , 4 .3 6 ) 3 6 ( 0 , 3 .6 , 3 .6 , 1 .0 ) 0 .7 0 0 0 ( 3 .0 3 , 5 .1 7 , 4 .9 7 , 3 .1 3 ) 1 2 ( 0 , 1 .2 , 1 .2 , 1 .0 ) 1 .3 2 8 5 ( 3 .0 2 , 3 .6 3 , 4 .4 8 , 4 .2 6 ) 3 7 ( 0 , 3 .7 , 3 .7 , 1 .0 ) 0 .6 8 5 7 ( 3 .0 3 , 5 .2 4 , 5 .0 3 , 3 .1 0 ) 1 3 ( 0 , 1 .3 , 1 .3 , 1 .0 ) 1 .2 8 5 7 ( 3 .0 2 , 3 .6 8 , 4 .4 3 , 4 .1 6 ) 3 8 ( 0 , 3 .8 , 3 .8 , 1 .0 ) 0 .6 7 1 4 ( 3 .0 3 , 5 .3 2 , 5 .0 9 , 3 .0 8 ) 1 4 ( 0 , 1 .4 , 1 .4 , 1 .0 ) 1 .2 4 2 8 ( 3 .0 2 , 3 .7 2 , 4 .3 7 , 4 .0 7 ) 3 9 ( 0 , 3 .9 , 3 .9 , 1 .0 ) 0 .6 5 7 1 ( 3 .0 2 , 5 .4 1 , 5 .1 6 , 3 .0 7 ) 1 5 ( 0 , 1 .5 , 1 .5 , 1 .0 ) 1 .2 0 0 0 ( 3 .0 1 , 3 .7 6 , 4 .3 3 , 3 .9 8 ) 4 0 ( 0 , 4 .0 , 4 .0 , 1 .0 ) 0 .6 4 2 8 ( 3 .0 1 , 5 .4 8 , 5 .2 2 , 3 .0 4 ) 1 6 ( 0 , 1 .6 , 1 .6 , 1 .0 ) 1 .1 7 1 4 ( 3 .0 4 , 3 .8 4 , 4 .3 4 , 3 .9 4 ) 4 1 ( 0 , 4 .1 , 4 .1 , 1 .0 ) 0 .6 2 8 5 ( 3 .0 0 , 5 .5 5 , 5 .2 9 , 3 .0 1 ) 1 7 ( 0 , 1 .7 , 1 .7 , 1 .0 ) 1 .1 2 8 5 ( 3 .0 1 , 3 .8 6 , 4 .2 9 , 3 .8 4 ) 4 2 ( 0 , 4 .2 , 4 .2 , 1 .0 ) 0 .6 2 8 5 ( 3 .0 7 , 5 .6 7 , 5 .3 9 , 3 .0 3 ) 1 8 ( 0 , 1 .8 , 1 .8 , 1 .0 ) 1 .1 0 0 0 ( 3 .0 3 , 3 .9 3 , 4 .3 1 , 3 .7 9 ) 4 3 ( 0 , 4 .3 , 4 .3 , 1 .0 ) 0 .6 1 4 2 ( 3 .0 6 , 5 .7 4 , 5 .4 6 , 3 .0 1 ) 1 9 ( 0 , 1 .9 , 1 .9 , 1 .0 ) 1 .0 7 1 4 ( 3 .0 5 , 4 .0 0 , 4 .3 2 , 3 .7 5 ) 4 4 ( 0 , 4 .4 , 4 .4 , 1 .0 ) 0 .6 0 0 0 ( 3 .0 4 , 5 .8 2 , 5 .5 2 , 2 .9 8 ) 2 0 ( 0 , 2 .0 , 2 .0 , 1 .0 ) 1 .0 2 8 5 ( 3 .0 0 , 4 .0 3 , 4 .2 8 , 3 .6 6 ) 4 5 ( 0 , 4 .5 , 4 .5 , 1 .0 ) 0 .5 8 5 7 ( 3 .0 2 , 5 .8 9 , 5 .5 8 , 2 .9 5 ) 2 1 ( 0 , 2 .1 , 2 .1 , 1 .0 ) 1 .0 0 0 0 ( 3 .0 0 , 4 .0 9 , 4 .2 9 , 3 .6 1 ) 4 6 ( 0 , 4 .6 , 4 .6 , 1 .0 ) 0 .5 8 5 7 ( 3 .0 8 , 6 .0 0 , 5 .6 9 , 2 .9 7 ) 2 2 ( 0 , 2 .2 , 2 .2 , 1 .0 ) 0 .9 8 5 7 ( 3 .0 5 , 4 .1 8 , 4 .3 6 , 3 .5 9 ) 4 7 ( 0 , 4 .7 , 4 .7 , 1 .0 ) 0 .5 7 1 4 ( 3 .0 6 , 6 .0 8 , 5 .7 5 , 2 .9 5 ) 2 3 ( 0 , 2 .3 , 2 .3 , 1 .0 ) 0 .9 5 7 1 ( 3 .0 4 , 4 .2 4 , 4 .3 7 , 3 .5 4 ) 4 8 ( 0 , 4 .8 , 4 .8 , 1 .0 ) 0 .5 5 7 1 ( 3 .0 3 , 6 .1 5 , 5 .8 2 , 2 .9 2 ) 2 4 ( 0 , 2 .4 , 2 .4 , 1 .0 ) 0 .9 2 8 5 ( 3 .0 3 , 4 .2 9 , 4 .3 9 , 3 .4 9 ) 4 9 ( 0 , 4 .9 , 4 .9 , 1 .0 ) 0 .5 4 2 8 ( 3 .0 0 , 6 .2 3 , 5 .8 8 , 2 .8 9 ) 2 5 ( 0 , 2 .5 , 2 .5 , 1 .0 ) 0 .9 0 0 0 ( 3 .0 1 , 4 .3 5 , 4 .4 0 , 3 .4 4 ) 5 0 ( 0 , 5 .0 , 5 .0 , 1 .0 ) 0 .5 4 2 8 ( 3 .0 5 , 6 .3 3 , 5 .9 8 , 2 .9 0 ) Ò à á ëè ö à 1 Ê. Ð. Àéäà-çàäå, Ñ. Ç.Êóëèåâ 114 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4 Ïàðàìåòð Ãðàäèåíò ïî ôîðìóëàì (17), (18) (19) ïðè - � � 10 5 (19) ïðè - � � 10 6 (19) ïðè - � � 10 7 " "J a/ 1 784045.97 784136.48 784104.78 784065.34 " "J a/ 2 676731.75 677542.81 677509.47 677465.19 " "J a/ 3 2671938.86 2713684.21 2713421.21 2713024.13 " "J b/ 1 329855.56 336443.86 336141.97 336002.81 " "J b/ 2 414728.79 420723.54 420421.59 420072.43 " "J b/ 3 2995558.32 3019852.55 3014761.40 3010633.43 Òàáëèöà 3 i uo i up i i uo i up i 1 2.07142837 2.07142857 26 0.88571480 0.88571429 2 1.97142830 1.97142857 27 0.85714283 0.85714286 3 1.88571393 1.88571429 28 0.84285757 0.84285714 4 1.79999998 1.80000000 29 0.81428588 0.81428571 5 1.72857119 1.72857143 30 0.79999967 0.80000000 6 1.65714283 1.65714286 31 0.78571380 0.78571429 7 1.60000043 1.60000000 32 0.77142901 0.77142857 8 1.52857121 1.52857143 33 0.74285694 0.74285714 9 1.48571383 1.48571429 34 0.72857145 0.72857143 10 1.42857190 1.42857143 35 0.71428573 0.71428571 11 1.37142906 1.37142857 36 0.69999994 0.70000000 12 1.32857093 1.32857143 37 0.68571395 0.68571429 13 1.28571550 1.28571429 38 0.67142818 0.67142857 14 1.24285758 1.24285714 39 0.65714241 0.65714286 15 1.19999949 1.20000000 40 0.64285670 0.64285714 16 1.17142807 1.17142857 41 0.62857132 0.62857143 17 1.12857186 1.12857143 42 0.62857180 0.62857143 18 1.10000053 1.10000000 43 0.61428595 0.61428571 19 1.07143019 1.07142857 44 0.60000041 0.60000000 20 1.02857135 1.02857143 45 0.58571387 0.58571429 21 0.99999948 1.00000000 46 0.58571468 0.58571429 22 0.98571482 0.98571429 47 0.57142877 0.57142857 23 0.95714233 0.95714286 48 0.55714325 0.55714286 24 0.92857107 0.92857143 49 0.54285726 0.54285714 25 0.89999986 0.90000000 50 0.54285756 0.54285714 Òàáëèöà 2 ðåøåíèÿ çàäà÷ Êîøè ñîãëàñíî ñèñòåìå (15) ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ a* ( , ; , ; , )� 03 02 01 è b* ( , ; , ; , )� 05 0 4 03 , îáåñïå÷èâàþùèõ ìèíèìóì ôóíêöèî- íàëà (16).  ðåçóëüòàòå ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ ïðèìåíåíèåì ïðåäëîæåí- íûõ ôîðìóë ïðè íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèÿõ èñêîìûõ ïàðàìåòðîâ a b0 0 � � � ( ; ; )0 0 0 , ui 0 2� , i M�1 2, ,..., ïîëó÷åíû âåêòîðû a � ( , ; , ; , )0 3025 01956 0 0974 , b � ( , ; , ; , )0 4982 0 3967 0 3077 . Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ui , i M�1 2, ,..., , ïðèâåäåíû â òàáë. 2, ãäå uo i — îïòèìàëüíûå è u p i — òî÷íûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ. Çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà ïî ïàðàìåòðàì a bi i , , i �1 2 3, , , â íà÷àëüíîé òî÷êå âû÷èñëåííûå ïî ôîðìóëàì (20), (21) ïðèâåäåíû â òàáë. 3. Òàì æå ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà, âû÷èñëåííûå ñ ïðèìåíåíèåì ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ ïî ôîðìóëå " " - - - J z z J z J z( ) ( ) ( ) / � � � 2 . (22) Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî âûáîð çíà÷åíèÿ - ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà ïîëó- ÷àåìûå ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà. Ïîëó÷åííîå ìåòîäîì ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà J * � 0 � 2 10 4 . Òî÷íîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìè- çàöèè ìåòîäîì ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ 1 1 4 10� � , òî÷íîñòü ðåøåíèÿ îäíîìåðíîé çàäà÷è îïòèìèçàöèè 1 2 5 10� � , çíà÷åíèå ïàðàìåòðà øòðàôà R � 05 10 2 . Äëÿ ðåøåíèÿ ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé çàäà÷ Êîøè áûë èñïîëü- çîâàí ìåòîä Ðóíãå — Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ñ øàãîì 10 2� . Âñå ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü ñ äâîéíîé òî÷íîñòüþ. Âûâîä. Çàäà÷à êîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè, ê êîòîðîé ïðèâåäåíà èñõîäíàÿ çàäà÷à, ïðè íàëè÷èè òî÷íûõ ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ ãðàäèåíòà öå- ëåâîé ôóíêöèè íå ïðåäñòàâëÿåò áîëüøèõ ñëîæíîñòåé. Äëÿ åå ðåøåíèÿ èìåþòñÿ õîðîøî ðàçâèòûå ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììíûå ñðåäñòâà, â ÷àñò- íîñòè ïàêåò ïðèêëàäíîãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ Matlab. Ïðåäëàãàå- ìûé ïîäõîä ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü è íà îáúåêòû ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, îïèñûâàåìûå óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. A class of problems of parametrical identification of dynamic, in the general case, non-linear ob- jects with concentrated parameters is investigated in the work. The specificity of the considered problems lies in identification of the values of the parameters of the mathematical model of the object, which are constant for definite domains of the phase space. Necessary conditions of optimality have been obtained; the results of numerical experiments are given. Îá îäíîì êëàññå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 4 115 1. Àéäà-çàäå Ê. Ð. Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ â ñðåäíåì ïî ðåãèîíàëüíûì óïðàâëÿþùèì âîç- äåéñòâèÿì è ìíîæåñòâó íà÷àëüíûõ óñëîâèé // Äîêë. ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà. Ñåðèÿ ÔÌÒÍ. — 2003. — ¹ 4. — Ñ. 48—53. 2. Ivanova A. P. Feedback control for stochastic heat equation // J. of Computer and System Sciences International. — 2003. — Vol. 42, ¹ 5. — Ð. 683—691. 3. Ïîëÿê Á. Ò., Ùåðáàêîâ Ï. Ñ. Ðîáàñòíîå óïðàâëåíèå è ñòàáèëüíîñòü. — Ì. : Íàóêà, 2002. — 303 ñ. 4. Aida-zade K. R., Guliev S. Z. On a problem of feedback control for non-linear systems. Auto- matic Control and Computer Sciences (Latvia). — 2005. — ¹ 1. — Ð. 15—23. 5. Åâòóøåíêî Þ. Ã. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ è èõ ïðèìåíåíèå â ñèñòåìàõ îïòèìèçàöèè. — Ì. : Íàóêà, 1982. — 432 ñ. 6. Ãàáàññîâ Ð., Êèðèëëîâà Ô. Ì. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà â òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâ- ëåíèÿ. — Ì. : Íàóêà è òåõíèêà, 1974. — 272 ñ. Ïîñòóïèëà 12.09.07 ÀÉÄÀ-ÇÀÄÅ Êàìèëü Ðàäæàá, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô., çàâ. ëàá. Èí-òà êèáåðíåòèêè ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà.  1972 ã. îêîí÷èë Áàêèíñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ÷èñëåííûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå è èõ ïðèëîæåíèÿ. ÊÓËÈÅ Ñàìèð Çàêèð, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, íàó÷. ñîòð. Èí-òà êèáåðíåòèêè ÍÀÍ Àçåð- áàéäæàíà.  2005 ã. îêîí÷èë Áàêèíñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ÷èñëåííûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå è èõ ïðèëîæåíèÿ. Ê. Ð. Àéäà-çàäå, Ñ. Ç.Êóëèåâ 116 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 4

Схожі ресурси