Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение
Описан метод приближенного вычисления многомерных нормальных интегралов при больших размерностях, который сводится к аппроксимации исходного интеграла произведением интегралов малых размерностей с учетом всех коэффициентов корреляционной матрицы. Рассмотрено применение метода в задачах вычисления ве...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2008
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101592 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение / В.С. Годлевский // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 5. — С. 21-35. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-101592 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1015922016-06-06T03:02:32Z Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение Годлевский, В.С. Математические методы и модели Описан метод приближенного вычисления многомерных нормальных интегралов при больших размерностях, который сводится к аппроксимации исходного интеграла произведением интегралов малых размерностей с учетом всех коэффициентов корреляционной матрицы. Рассмотрено применение метода в задачах вычисления вероятностей на основе непараметрических оценок плотностей распределения и при косвенном контроле сложных систем. Описано метод наближеного обчислення багатовимірних нормальних інтегралів при великих розмірностях, який полягає у апроксимації початкового інтеграла добутком інтегралів малих розмірностей з урахуванням всіх коефіцієнтів кореляційної матриці. Розглянуто застосування методу в задачах обчислення вірогідності на базі непараметричних оцінок густини розподілу і при непрямому контролі складних систем. The method is described for approximate calculation of multidimensional normal integrals with large dimensionalities which is reduced to an approximation of the initial integral by a product of integrals of small dimensionality with account of all coefficients of the correlation matrix. The application of the method for the problems of probability calculation based on the nonparametric estimation of the distribution density and at indirect control of complex systems is considered. 2008 Article Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение / В.С. Годлевский // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 5. — С. 21-35. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101592 519.213.1:517.582 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математические методы и модели Математические методы и модели |
| spellingShingle |
Математические методы и модели Математические методы и модели Годлевский, В.С. Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение Электронное моделирование |
| description |
Описан метод приближенного вычисления многомерных нормальных интегралов при больших размерностях, который сводится к аппроксимации исходного интеграла произведением интегралов малых размерностей с учетом всех коэффициентов корреляционной матрицы. Рассмотрено применение метода в задачах вычисления вероятностей на основе непараметрических оценок плотностей распределения и при косвенном контроле сложных систем. |
| format |
Article |
| author |
Годлевский, В.С. |
| author_facet |
Годлевский, В.С. |
| author_sort |
Годлевский, В.С. |
| title |
Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение |
| title_short |
Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение |
| title_full |
Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение |
| title_fullStr |
Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение |
| title_full_unstemmed |
Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение |
| title_sort |
метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/101592 |
| citation_txt |
Метод быстрого расчета вероятностей для векторов с нормальными распределениями и его применение / В.С. Годлевский // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 5. — С. 21-35. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT godlevskijvs metodbystrogorasčetaveroâtnostejdlâvektorovsnormalʹnymiraspredeleniâmiiegoprimenenie |
| first_indexed |
2025-07-07T11:08:11Z |
| last_indexed |
2025-07-07T11:08:11Z |
| _version_ |
1836986129661820928 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.213.1:517.582
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé, ä-ð òåõí. íàóê
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ
â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. (044) 4241063, E-mail: ipme@ipme.kiev.ua)
Ìåòîä áûñòðîãî ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé äëÿ âåêòîðîâ
ñ íîðìàëüíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè è åãî ïðèìåíåíèå
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê À.Ô. Âåðëàíü)
Îïèñàí ìåòîä ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ìíîãîìåðíûõ íîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ ïðè
áîëüøèõ ðàçìåðíîñòÿõ, êîòîðûé ñâîäèòñÿ ê àïïðîêñèìàöèè èñõîäíîãî èíòåãðàëà ïðîèç-
âåäåíèåì èíòåãðàëîâ ìàëûõ ðàçìåðíîñòåé ñ ó÷åòîì âñåõ êîýôôèöèåíòîâ êîððåëÿöèîííîé
ìàòðèöû. Ðàññìîòðåíî ïðèìåíåíèå ìåòîäà â çàäà÷àõ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íà îñíîâå
íåïàðàìåòðè÷åñêèõ îöåíîê ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðè êîñâåííîì êîíòðîëå ñëîæ-
íûõ ñèñòåì.
Îïèñàíî ìåòîä íàáëèæåíîãî îá÷èñëåííÿ áàãàòîâèì³ðíèõ íîðìàëüíèõ ³íòåãðàë³â ïðè âå-
ëèêèõ ðîçì³ðíîñòÿõ, ÿêèé ïîëÿãຠó àïðîêñèìàö³¿ ïî÷àòêîâîãî ³íòåãðàëà äîáóòêîì ³íòå-
ãðàë³â ìàëèõ ðîçì³ðíîñòåé ç óðàõóâàííÿì âñ³õ êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³éíî¿ ìàòðèö³. Ðîçãëÿ-
íóòî çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó â çàäà÷àõ îá÷èñëåííÿ â³ðîã³äíîñò³ íà áàç³ íåïàðàìåòðè÷íèõ
îö³íîê ãóñòèíè ðîçïîä³ëó ³ ïðè íåïðÿìîìó êîíòðîë³ ñêëàäíèõ ñèñòåì.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, êîððåëÿöèîííàÿ ìàòðè-
öà, ìíîãîìåðíûå íîðìàëüíûå èíòåãðàëû, íåïàðàìåòðè÷åñêàÿ îöåíêà ïëîòíîñòè ðàñïðå-
äåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, êîñâåííûé êîíòðîëü ìíîãîìåðíûõ ñèñòåì.
Íåîáõîäèìîñòü âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè
P X D
K
e dU
n n
U M K U M
D
T
( )
( ) ( )
� �
� � �
�
�
1
2
1
2
1
�
(1)
ïîïàäàíèÿ n-ìåðíîãî ñëó÷àéíîãî íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî âåêòîðà
X x xn
T
� ( ,..., )
1
, ãäå Ò — èíäåêñ òðàíñïîíèðîâàíèÿ, ñ ìàòåìàòè÷åñêèì
îæèäàíèåì M M M n
T
� ( ,..., )
1
è êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöåé K kij
n
�{ }
1
â
ãèïåðïàðàëëåëåïèïåä D a bi i
i
n
�
�
( , )
1
� , ãäå a bi i, — íèæíèé è âåðõíèé ïðå-
äåëû äëÿ i-ãî ýëåìåíòà âåêòîðà X, âîçíèêàåò ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷.
Íàïðèìåð, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ êîíòðîëÿ è äèàãíîñòèêè ìíîãîïàðàìåò-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 21
ðè÷åñêèõ óñòðîéñòâ è ñèñòåì, ðàñ÷åòà è îáåñïå÷åíèÿ ïîêàçàòåëåé òî÷íîñòè
òåõíè÷åñêèõ è ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì, èõ ìàòåìàòè÷åñêîãî è êîìïüþòåðíîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ. Îáðàáîòêà ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ äèñêðåòíûõ
ôèëüòðîâ Êàëìàíà è Ïóãà÷åâà [1] â ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ â ðÿäå ñëó÷àåâ
òàêæå ïðèâîäèò ê çàäà÷å âû÷èñëåíèÿ èëè îöåíêè èíòåãðàëîâ òèïà (1).
Ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ìíîãîìåðíûõ íîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ. Âû÷èñ-
ëåíèå ìíîãîìåðíûõ èíòåãðàëîâ â (1) ïðè áîëüøèõ ðàçìåðíîñòÿõ ñ ïîìîùüþ
êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë òèïà ôîðìóë Ãàóññà äàæå íà ñîâðåìåííûõ ñóïåð-
êîìïüþòåðàõ ÿâëÿåòñÿ âåñüìà òðóäîåìêîé çàäà÷åé óæå ïðè n �100 è ÷èñëå
óçëîâ îò 10 äî 15. Òðóäîåìêîñòü ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è çíà÷èòåëüíî óâåëè-
÷èâàåòñÿ ïðè ïàðàìåòðè÷åñêîì ñèíòåçå ðàçëè÷íûõ ñèñòåì ñ ó÷åòîì èõ
òî÷íîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê â ñëó÷àå áîëüøîé ðàçìåðíîñòè âåêòîðà âàðüè-
ðóåìûõ ïàðàìåòðîâ, îò êîòîðûõ çàâèñÿò ýëåìåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Õ, à
òàêæå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ êîíòðîëÿ è äèàãíîñòèêè ìíîãîìåðíûõ ñèñòåì.
Ðàçðàáîòêå ìåòîäîâ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ âèäà (1) ïîñâÿ-
ùåíî áîëüøîå ÷èñëî ðàáîò, îáçîðû êîòîðûõ ïðèâåäåíû, íàïðèìåð, â [2].
Äàííîå èññëåäîâàíèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì è ðàçâèòèåì ìåòîäà âû-
÷èñëåíèÿ (1) [3 — 5], êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â àïïðîêñèìàöèè èñõîäíîãî
èíòåãðàëà (1) ïðîèçâåäåíèåì èíòåãðàëîâ ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè ñ ó÷åòîì
âñåõ ýëåìåíòîâ êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöû.
Ñ öåëüþ êîíñòðóèðîâàíèÿ àïïðîêñèìàöèîííûõ ôîðìóë äëÿ (1) ïðåä-
ñòàâèì âåêòîð Õ â âèäå
X
X
X
�
�
�
�
1
2
,
ãäå
X x xm
T
1 1
1
� ( ,..., ) , X x xm n
T
2 1
1
�
�
( ,..., ) .
Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ è áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè äàëåå áóäåì ïðåä-
ïîëàãàòü, ÷òî âåêòîð X èìååò íóëåâîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.
Âåðîÿòíîñòü (1) âûðàçèì ÷åðåç óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü:
P X D P X D P X D X D( ) ( ) ( / )� � � � �
1 1 2 2 1 1
, (2)
ãäå
D a bi i
i
m
1
1
1
�
�
( , )� ; D a bi i
i m
n
2
1
1
�
� �
( , )� .
Ðàçìåðíîñòü m
1
âåêòîðà X
1
âûáèðàåì íåáîëüøóþ äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ïðèåì-
ëåìîé òðóäîåìêîñòè âû÷èñëåíèÿ ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ â (2) ñ ïîìîùüþ
êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
óìåíüøåíèÿ òðóäîåìêîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïðè âû÷èñëåíèè
ýòîãî ñîìíîæèòåëÿ ìîæíî ïðåäâàðèòåëüíî ðàçìåðíîñòü èíòåãðàëà óìåíü-
øèòü àíàëèòè÷åñêèì èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì. Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
òðóäîåìêîñòü âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè P X D( )
1 1
� ÿâëÿåòñÿ ïðèåìëåìîé.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ âòîðîãî ñîìíîæèòåëÿ â (2). Ïðè ýòîì
ïåðåéäåì â (2) ê âåêòîðàì öåíòðèðîâàííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:
P X D P X C P X C X C( ) ( ) ( / )� � � � �
1
0
1 2
0
2 1
0
1
, (3)
ãäå X
1
0
è X
2
0
— íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûå âåêòîðû, èìåþùèå íóëåâûå
ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è êîððåëÿöèîííûå ìàòðèöû âåêòîðîâ X
1
è X
2
;
C a M b Mi xi i xi
i
m
1
1
1
� � �
�
( , )� ; C a M b Mi xi i xi
i m
n
2
1
1
� � �
� �
( , )� .
Èñïîëüçóÿ ïðèåì, îïèñàííûé â [6], âûðàçèì âåêòîð X X T0
1
0
� [( ) ,
( ) ]X T T
�1
0
÷åðåç ñëó÷àéíûé íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûé âåêòîð V v� ( ,...
1
..., )vn
T
ñ íåçàâèñèìûìè ñîñòàâëÿþùèìè, èìåþùèìè åäèíè÷íóþ äèñïåðñèþ:
X TV0
� , (4)
ãäå T — íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà, ýëåìåíòû êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ ïî
èçâåñòíîìó àëãîðèòìó òðåóãîëüíîãî ðàçëîæåíèÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäå-
ëåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû [7]. Ýëåìåíòû tij ìàòðèöû T íàõîäÿòñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíî ïî ñòîëáöàì:
t k tii ii ir
r
i
� �
�
�
�
2
1
1
,
t
t
k t tij
jj
ij ir jr
r
j
� �
�
�
�
�
�
�
1
1
1
, j n�1, , i n�1, .
Çàïèøåì âûðàæåíèå (4) äëÿ X 0
â áëî÷íî-ìàòðè÷íîé ôîðìå
X
T
T T
V
V
0 11
21 22
1
2
0
�
�
�
�
�
�
�
.
Ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðû X
1
0
è X
2
0
çàïèøåì â âèäå
X T V
1
0
11 1
� ; (5)
X T V T V
2
0
21 1 22 2
� � , (6)
ãäåV v vm
T
1 1
1
� ( ,..., ) ; V v vm n
T
2 1
1
�
�
( ,..., ) ;T tij
m
11 1
1
�{ } èT tij m
n
22 1
1
�
�
{ } — êâàä-
ðàòíûå m m
1 1
� è ( ) ( )n m n m� � �
1 1
ìàòðèöû (ëåâûå òðåóãîëüíûå); T21 —
Ìåòîä áûñòðîãî ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé äëÿ âåêòîðîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 23
ïðÿìîóãîëüíàÿ ( )n m m� �
1 1
ìàòðèöà ýëåìåíòîâ tij , i m n� �
1
1, , j m�1
1
, . Ïîñ-
ëå ïîäñòàíîâêè (6) â (3) ïîëó÷èì
P X D P X C P T V T V C X C( ) ( ) [( ) / ]� � � � � �
1
0
1 21 1 22 2 2 1
0
1
. (7)
ÂûðàçèìV
1
÷åðåç X
1
0
èç (4),
V T X
1 11
1
1
�
�
, (8)
è ïîäñòàâèì (8) â (7):
P X D P X C P T T X T V C X C( ) ( ) [( ) / ]� � � � � �
�
1
0
1 21 11
1
1
0
22 2 2 1
0
1
. (9)
Ïåðåéäåì â (9) îò óñëîâíîé ê áåçóñëîâíîé âåðîÿòíîñòè ââåäåíèåì â
ðàññìîòðåíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, èìåþùåãî óñå÷åííîå ìíîãîìåðíîå
íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå:
P X D P X C P T T X T V CY( ) ( ) [( ) ]� � � � �
�
1
0
1 21 11
1
1 22 2 2
, (10)
ãäå X Y1
— m
1
-ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð ñ óñå÷åííîé (îãðàíè÷åííîé)
ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ,
f U
f U
P f U C
U C
U C
Y1
1
0
1
0
1
1
1
( )
( )
( ( ) )
,
.
� �
�
�
, åñëè
0, åñëè
�
�
�
�
�
(11)
ÇäåñüU u um
T
� ( ,..., )
1 1
; f U
1
0
( ) — ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíî ðàñ-
ïðåäåëåííîãî âåêòîðà X
1
0
ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì (ôóíê-
öèÿ f U
1
0
1
( ) ðàâíà ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â (1) ïðè Ì = 0). Òàêèì
îáðàçîì, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ (11) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäå-
ëåíèÿ óñå÷åííîãî ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïåðåéäåì îò (10) ê ýêâèâàëåíòíîé çàâèñèìîñòè
P X D P X C P X CS( ) ( ) ( )� � � �
1
0
1 2 2
, (12)
ãäå
X T T X T VS Y2 21 11
1
1 22 2
� �
�
. (13)
Ýëåìåíòû âåêòîðà X S2
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóììû ñëó÷àéíûõ âåëè-
÷èí, èìåþùèõ íîðìàëüíûå è óñå÷åííûå íîðìàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ.
Àíàëèòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü äëÿ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè
âåêòîðîâ âèäà X S2
íåèçâåñòíà. Ïîýòîìó ñòðîãîå âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè
P X CS( )
2 2
� äëÿ ìíîãîìåðíîãî ñëó÷àÿ ïðàêòè÷åñêè íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ
âîçìîæíûì. Äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè
P X CS( )
2 2
� èñïîëüçóåì òîò ôàêò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ ñóìì ñëó÷àéíûõ
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
âåëè÷èí, èìåþùèõ íîðìàëüíûå è óñå÷åííûå íîðìàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ,
ñ äîñòàòî÷íî âûñîêîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìèðóþòñÿ íîðìàëüíûìè
ðàñïðåäåëåíèÿìè, îñîáåííî â ñëó÷àå, êîãäà îáëàñòü C
�1
áëèçêà ê ñèììåò-
ðè÷íîé. Êîñâåííî ýòî ïîäòâåðæäàåòñÿ òåì, ÷òî çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñóì-
ìû òðåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå, îòëè-
÷àþùååñÿ îò íîðìàëüíîãî â áîëüøåé ñòåïåíè, ÷åì óñå÷åííîå íîðìàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå, ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìèðóåòñÿ íîðìàëüíûì ðàñ-
ïðåäåëåíèåì [8]. Ïîýòîìó çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà X S2
àïïðîêñèìè-
ðóåì íîðìàëüíûì ìíîãîìåðíûì çàêîíîì:
P X C P X CS N( ) ( )
2 2 2 2
� � � , (14)
ãäå X N2
— íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûé âåêòîð. Ïðè ýòîì (12) ïðèíèìàåò
âèä
P X D P X C P X CN( ) ( ) ( )� � � �
1
0
1 2 2
.
Åñëè âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè P X CN( )
2 2
� âíîâü âûçûâàåò çàòðóäíåíèå â
ñëó÷àå áîëüøîé ðàçìåðíîñòè âåêòîðà X N2
, òî P X CN( )
2 2
� ìîæíî òàêæå
ïðåäñòàâèòü, èñïîëüçóÿ èçëîæåííûé ïðèåì, â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âå-
ðîÿòíîñòåé è òàê äàëåå. Òàêèì îáðàçîì, (1) ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü
ïðîèçâåäåíèåì íîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ, ðàçìåðíîñòü êîòîðûõ ìåíüøå n,
ò. å. ïðîèçâåäåíèåì âèäà
P X D X Ci i
k
( ) ( )
* *
� � �� ,
(15)
ãäå X i
*
— âåêòîðû ñ íîðìàëüíûìè çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ (îäíîìåð-
íûìè èëè ìíîãîìåðíûìè). Ïðè k = 2 X X i1
0*
� , X X N2 2
*
� , C C
1 1
*
� ,
C C
2 2
*
� .
Ìîæíî ïðåäëîæèòü ðàçëè÷íûå ñïîñîáû àïïðîêñèìàöèè çàêîíà ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ âåêòîðà òèïà (13), ò. å. ðàçëè÷íûå ñïîñîáû âûáîðà ïàðàìåòðîâ
íîðìàëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà X N2
â ñîîòíîøåíèè (14). Ðàñ-
ñìîòðèì ñïîñîá àïïðîêñèìàöèè âåêòîðà X S2
íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûì
âåêòîðîì, êîòîðûé, êàê ïîêàçûâàåò ïðàêòèêà, îáåñïå÷èâàåò âûñîêóþ òî÷-
íîñòü è ïðèãîäåí äëÿ íåñèììåòðè÷íûõ îáëàñòåé D. Ýòîò ñïîñîá çàêëþ-
÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â êà÷åñòâå êîððåëÿöèîííûõ ìàòðèö è âåêòîðà ìàòåìàòè-
÷åñêèõ îæèäàíèé äëÿ ïðîìåæóòî÷íûõ âåêòîðîâ X N2
, X S2
âûáèðàþòñÿ
ñîîòâåòñòâåííî ìàòðèöû è âåêòîð K X N[ ]
2
è M X N[ ]
2
, îïðåäåëÿåìûå ïî
ôîðìóëàì
M X M X T T M XN S Y[ ] [ ] [ ]
2 2 21 11
1
1
� �
�
.
K X K X T T K X T T T TN S Y
T T
[ ] [ ] [ ]( )
2 2 21 11
1
1 21 11
1
22 22
� � �
� �
,
Ìåòîä áûñòðîãî ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé äëÿ âåêòîðîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 25
ãäå M X M MY Y m Y
T
[ ] [ ,..., ]
1 11 1
1
� è K X kY ij Y i j
m
[ ] { }
,1 1 1
1
�
�
— âåêòîð ìàòåìàòè-
÷åñêèõ îæèäàíèé è êîððåëÿöèîííàÿ ìàòðèöà âåêòîðà X Y1
. Çàâèñèìîñòè
äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ M i Y1
è kij Y1
èìåþò âèä
M u f U dUi Y i Y
C
1 1
1
�
�
( ) , i m�1
1
,..., ,
k r M Mij Y ij Y iY jY1 1
� � , i j m, , ...,�1
1
,
ãäå
r u u f U dUij Y i j Y
C
1 1
1
�
�
( ) .
Îïèñàííûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ íîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ (1) îòíîñèòñÿ ê
ïðèáëèæåííûì ìåòîäàì. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîððåëÿöèîííûõ ìàòðèö è
ïðåäåëîâ òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ (1) îáû÷íî óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè
ðàçìåðíîñòè mi èíòåãðàëîâ, ïðîèçâåäåíèåì êîòîðûõ àïïðîêñèìèðóåòñÿ
(1), îäíàêî èíîãäà óâåëè÷åíèå mi ïðèâîäèò ê íåáîëüøîìó óâåëè÷åíèþ òî÷-
íîñòè. Óêàæåì ñëó÷àè, êîãäà óâåëè÷åíèå mi ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîìó
óâåëè÷åíèþ òî÷íîñòè.
Ñëó÷àé 1. Èñõîäíûé âåêòîð Õ ñîäåðæèò k ãðóïï ïî mi ýëåìåíòîâ, êîýô-
ôèöèåíòû êîððåëÿöèè ìåæäó êîòîðûìè çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäÿò ïî ìî-
äóëþ êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè ìåæäó ýëåìåíòàìè ðàçëè÷íûõ ãðóïï
(ýëåìåíòàìè, íå âõîäÿùèìè â îäíó ãðóïïó).  äàííîì ñëó÷àå (1) öåëåñî-
îáðàçíî àïïðîêñèìèðîâàòü ïðîèçâåäåíèåì íîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ ñ ðàç-
ìåðíîñòÿìè mi . Ïðè ýòîì ïðåäâàðèòåëüíî ñëåäóåò íà êàæäîì ýòàïå àï-
ïðîêñèìàöèè óïîðÿäî÷èòü ýëåìåíòû èñõîäíîãî âåêòîðà ïî ãðóïïàì òàêèì
îáðàçîì, ÷òîáû â ïåðâóþ ãðóïïó ïîïàëè ýëåìåíòû ñ áîëüøèìè ïî ìîäóëþ
êîýôôèöèåíòàìè êîððåëÿöèè ìåæäó ñîáîé è ñ ìàëûìè êîýôôèöèåíòàìè
êîððåëÿöèè ñ ýëåìåíòàìè, ïðèíàäëåæàùèìè âòîðîé ãðóïïå. Äàííàÿ ñèòóàöèÿ
íàáëþäàåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè ðàñ÷åòå ïîêàçàòåëåé äîñòîâåðíîñòè ñèñòåìû
êîíòðîëÿ, êîãäà âåêòîð X ñîäåðæèò ïàðû ñèëüíî çàâèñèìûõ êîìïîíåíò. Â
òàêîì ñëó÷àå äëÿ óâåëè÷åíèÿ òî÷íîñòè ñëåäóåò (1) àïïðîêñèìèðîâàòü ïðîèç-
âåäåíèåì k íîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ ñ ðàçìåðíîñòÿìè mi = 2.
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ èíòåãðàëîâ (1) ïî ðàçëî-
æåíèþ (15) ÷åðåç îäíî- è äâóõìåðíûå èíòåãðàëû. Êàê âèäèì, â ñëó÷àå,
êîãäà êîððåëÿöèîííàÿ ìàòðèöà èìååò áëî÷íóþ ñòðóêòóðó ñ áîëüøèìè
êîýôôèöèåíòàìè êîððåëÿöèè â äèàãîíàëüíûõ áëîêàõ, òî÷íîñòü ðàñ÷åòà
÷åðåç äâóõìåðíûå èíòåãðàëû çíà÷èòåëüíî âûøå ïî ñðàâíåíèþ ñ òî÷íîñòüþ
ðàñ÷åòà ÷åðåç îäíîìåðíûå èíòåãðàëû.
Ñëó÷àé 2. Ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ â (1) ïî êàæäîé ïåðåìåííîé ñó-
ùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îäèí îò äðóãîãî.  äàííîì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî â
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
îäíó i-þ ãðóïïó âêëþ÷àòü mi çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ñ ñóùåñòâåííî ðàç-
ëè÷íûìè ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî åñëè ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ â (1) ïî ìíîãèì
ïåðåìåííûì ÿâëÿþòñÿ ïî÷òè ñèììåòðè÷íûìè è øèðîêèìè (íàïðèìåð, ïðè
ai � �3 è bi � 3), òî êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïàðàìåòðàìè ïðè
èñïîëüçîâàíèè äàííîãî ìåòîäà ó÷èòûâàåòñÿ íå â ïîëíîé ìåðå. Ýòî ñâîéñò-
âî ìîæíî îáúÿñíèòü íà ïðèìåðå àïïðîêñèìàöèè (1) ïðîèçâåäåíèåì îäíî-
ìåðíûõ èíòåãðàëîâ.
Âûðàæåíèÿ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M
21
äèñïåðñèè D
21
ïåð-
âîãî ýëåìåíòà âåêòîðà X N2
èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
M k e e e dua k b k u k
a
b
21 21
2 2 2
1
2
11 1
2
11
2
11
1
1
� �
� � �
�
( )
/ / /
, (16)
D
k
k
a e b e e dua k b k u k
a
21
21
2
11
1
2
1
2 2
1
2
11 1
2
11
2
11
� �
� � �
( )
/ / /
1
1
22
21
2
11
2 21
2
b
k
k
k
M
�
� � . (17)
Èç (16) è (17) âèäíî, ÷òî ïðè ñèììåòðè÷íûõ ïðåäåëàõ M
21
= 0 (â ñëó÷àå
íóëåâîãî âåêòîðà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé èñõîäíîãî èññëåäóåìîãî
ñëó÷àéíîãî âåêòîðà) è ñëåäîâàòåëüíî, D k
21 22
� , Òàêèì îáðàçîì, íåíóëå-
âîé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè k
21
íå îêàçûâàåò íèêàêîãî âëèÿíèÿ íà
ïàðàìåòðû ýëåìåíòîâ âåêòîðà X N2
.
Ìåòîä áûñòðîãî ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé äëÿ âåêòîðîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 27
Êîððåëÿ-
öèîííàÿ
ìàòðèöà
1,0
0,95
0,70
0,70
0,95
1,0
0,70
0,70
0,70
0,70
1,0
0,95
0,70
0,70
0,95
1,0
1,0
0,70
0,95
0,70
0,70
1,0
0,70
0,95
0,95
0,7
1,0
0,7
0,7
0,95
0,7
1,0
1,0
0,7
0,7
0,7
0,7
1,0
0,7
0,7
0,7
0,7
1,0
0,7
0,7
0,7
0,7
1,0
1,0
0,7
0,7
0,7
0,7
1,0
0,7
0,7
0,7
0,7
1,0
0,7
0,7
0,7
0,7
1,0
Ðàçìåð-
íîñòü
èíòåãðà-
ëîâ
1 2 1 2 1 2 1 2
Ïðåäåëû
èíòåã-
ðàëîâ
�3
0
�3
0
0
3
0
3
�3
�3
0
0
0
0
3
3
�2
0
�2
0
1
3
1
3
�2
�2
0
0
1
1
3
3
Ïðèáëè-
æåííûé
ðåçóëüòàò
0,0042 0,00361 0,0064 0,0088 0,174 0,181 0,172 0,176
Òî÷íûé
ðåçóëüòàò
0,00361 0,181
Òàáëèöà 1
Ñëó÷àé øèðîêèõ ïðåäåëîâ, áëèçêèõ ê ñèììåòðè÷íûì, äëÿ (1) äîñòà-
òî÷íî ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ â çàäà÷àõ àíàëèçà è îáåñïå÷åíèÿ òî÷íîñòè òåõíè-
÷åñêèõ ñèñòåì, ïðè÷åì òðåáîâàíèÿ ê òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ
òèïà (1) ïîâûøàþòñÿ ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ åãî çíà÷åíèÿ ê åäèíèöå. Äëÿ
óâåëè÷åíèÿ òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ (1) â ñëó÷àå øèðîêèõ ïðåäåëîâ, áëèçêèõ
ê ñèììåòðè÷íûì, ìîæíî ïåðåéòè îò çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ (1) ê ýêâè-
âàëåíòíîé çàäà÷å âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ:
P X D P X D P A( ) ( ) ( )� � � � � �1 1 . (18)
Çäåñü A Ai
i
n
�
�1
� , ãäå Ai — ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â ïîïàäàíèè ýëåìåíòà x i â
èíòåðâàë (ai , bi ). Ñìûñë ïðèìåíåíèÿ (18) çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíå çàäà÷è
âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ñ ñèììåòðè÷íûìè èëè áëèçêèìè ê ñèììåòðè÷íûì
ïðåäåëàìè çàäà÷åé âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ, õàðàêòåðèçóåìûõ ñóùåñòâåí-
íî íåñèììåòðè÷íûìè ïðåäåëàìè.
Âåðîÿòíîñòü P A( ) çàïèøåì â âèäå
P A P A A P A A P A A P A P A A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �
� � � �1 1 1 1 1 1 1 1 1
, (19)
ãäå A Ai
i
n
�
�
�
1
2
� . Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåì âòîðîå ñëàãàåìîå â ïîñëåäíåì
ðàâåíñòâå (19):
P A A P A A P A A A( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 2 2� �
� � .
Ïðîâîäÿ ïîñëåäîâàòåëüíî àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïîäñòàâëÿÿ ðå-
çóëüòàòû â (19), ïîëó÷àåì ôîðìóëó, ïðåäëîæåííóþ Ò.À. Ãóáðåíþê [ 5 ]:
P A P A Ai k
k
i
i
n
( ) �
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
� .
(20)
Ïðè âû÷èñëåíèè êàæäîãî ñëàãàåìîãî â (19) â ïåðâûé ïîäâåêòîð ñëåäóåò
âêëþ÷àòü ýëåìåíò x i , ÷òî óâåëè÷èâàåò ïîëíîòó ó÷åòà êîððåëÿöèîííûõ
ñâÿçåé. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî (20) ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
P A P A Ai k
k i
n
i
n
( ) �
�
�
�
� ��
�
11
� .
(21)
Ôîðìóëó (21) ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðèâåäÿ (19) ê âèäó
P A P A A P A A P A A P A A P A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �
� � � � �1 1 1 1 1 1 1 1 1
. (22)
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì
P A P A A P A( ) ( ) ( )
� � �
� �
1 2 2 2
.
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
Ïðîäîëæàÿ òàêèå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ äàëåå è ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàòû â (19),
ïîëó÷àåì (21).
Èç (21) è (16) ñëåäóåò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ýëåìåíòîâ âåêòî-
ðà X
2
*
ñóùåñòâåííî îòëè÷íû îò íóëÿ, à ýòî óâåëè÷èâàåò ïîëíîòó ó÷åòà
êîððåëÿöèè ñîãëàñíî (17).
Äðóãîé âàæíîé îñîáåííîñòüþ ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû (21) ÿâëÿåòñÿ
ñðàâíèòåëüíî ìàëîå âëèÿíèå ïîãðåøíîñòè êàæäîãî ñëàãàåìîãî íà âñþ
ñóììó. Äåéñòâèòåëüíî, îáîçíà÷èì îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü îïðåäåëå-
íèÿ ñëàãàåìîãî � i ÷åðåç � i , òîãäà àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü � äëÿ P A( )
âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
� � � �i i
i
n
�
�
1
.
.
Ïîñêîëüêó � i �0, èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò
�
P A i
i
( )
max� � .
Êðîìå òîãî, ñ÷èòàÿ ïîãðåøíîñòè � i ñëó÷àéíûìè íåçàâèñèìûìè âåëè÷èíà-
ìè ñî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìè � �� i ), íàõîäèì
�
� � ��
�
�
P A
i i i
i
n
i
i
n
( )
)
!
"
#
$
%
�
�
�
�
�
2 2
1
1
.
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ P A( ) ïî (21) èìååò òåíäåí-
öèþ ê óìåíüøåíèþ ñ âîçðàñòàíèåì n.
 òàáë. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà øåñòèìåðíûõ èíòåãðàëîâ ïî
ôîðìóëå (15) ÷åðåç îäíî-, äâóõ- è òðåõìåðíûå èíòåãðàëû è ïî ðàçëîæåíèþ
(21) ÷åðåç îäíîìåðíûå èíòåãðàëû. Äàííûå, ïðèâåäåííûå â òàáë. 1 è 2,
ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ïðèìåíåíèå ôîðìóëû (15) ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâ-
íûì ïðè íåñèììåòðè÷íûõ èëè îòíîñèòåëüíî óçêèõ ïðåäåëàõ èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ïðè áîëåå øèðîêèõ ñèììåòðè÷íûõ ïðåäåëàõ èíòåãðèðîâàíèÿ öåëåñîîáðàçíî
ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (21), à êàæäîå ñëàãàåìîå â (21) âû÷èñëÿòü ïî (15).
Êàê âèäíî èç òàáë. 2, ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïî ôîðìóëå (15) ïðè ðàñ-
øèðåíèè ïðåäåëîâ ïðèáëèæàþòñÿ ê ðåçóëüòàòàì, ïîëó÷åííûì ïðè ñòàòèñòè-
÷åñêîé íåçàâèñèìîñòè ýëåìåíòîâ èñõîäíîãî âåêòîðà.  ñëó÷àå êîððåëÿöèîí-
íûõ ìàòðèö ïðèìåðíî ñ ðàâíûìè íåäèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè ïåðåõîä îò
ðàñ÷åòà ÷åðåç îäíîìåðíûå èíòåãðàëû ê ðàñ÷åòó ÷åðåç äâóìåðíûå è òðåõìåð-
íûå èíòåãðàëû íå ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîìó ïîâûøåíèþ òî÷íîñòè.
Ìåòîä áûñòðîãî ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé äëÿ âåêòîðîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 29
Ïðèìåíåíèå ðàçëîæåíèÿ (21) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü çíà÷èòåëüíî áîëåå
òî÷íûé ðåçóëüòàò, ïðè÷åì, êàê âèäíî èç òàáë. 2, îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåø-
íîñòü âû÷èñëåíèÿ (1) îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïðè ðàñøèðåíèè ïðåäåëîâ.
Çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ, ïðèâåäåííûå â òàáë. 2, ïîëó÷åíû ïî êâàäðàòóðíûì
ôîðìóëàì ñ ÷èñëîì óçëîâ òî÷åê Ãàóññà ïî êàæäîé ïåðåìåííîé, ðàâíûì 16.
Âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ñ ïðîèçâîëü-
íûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.  çàäà÷àõ êîíòðîëÿ ïàðàìåò-
ðîâ, äèàãíîñòèêè ñîñòîÿíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì è â äðóãèõ çàäà÷àõ îáðàáîòêè
ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé íà ïðàêòèêå ÷àñòî âèä ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ
âåðîÿòíîñòè & ( )U äëÿ âåêòîðà ñëó÷àéíûõ èññëåäóåìûõ ïàðàìåòðîâ ÿâëÿåòñÿ
íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé, ÷òî îáóñëîâëåíî êàê àïðèîðíîé ñòàòèñòè÷åñêîé íå-
îïðåäåëåííîñòüþ, òàê è òåì, ÷òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ íåèçâåñòíû àíàëèòè-
÷åñêèå çàâèñèìîñòè äëÿ ìíîãîìåðíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ êðîìå ìíî-
ãîìåðíûõ íîðìàëüíûõ ïëîòíîñòåé.  òàêèõ ñëó÷àÿõ îáû÷íî èñïîëüçóþò
íåïàðàìåòðè÷åñêèå îöåíêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âèäà îöåíêè Ïàðçåíà —
Ðîçåíáëàòòà [9]. Ýòà îöåíêà, îñíîâàííàÿ íà èñïîëüçîâàíèè ýêñïåðèìåíòàëü-
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
Èñõîäíûå äàííûå Âû÷èñëåíèå ìíîãîìåðíûõ èíòåãðàëîâ
Ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
Êîððåëÿöèîííàÿ
ìàòðèöà
ïî (15)
ïî (21)
Òî÷íûå
çíà÷åíèÿ
Ðàçìåðíîñòü Ðåçóëüòàò
–2 2 1 0 0 8
0 8 1 0
, ... ,
, ... ,
�
�
�
1
2
3
0,86500
0,86531
0,86648
0,87281 0,87227
–3 3 1 0 0 8
0 8 1 0
, ... ,
, ... ,
�
�
�
1
2
3
0,98666
0,98770
0,98848
0,99014 0,99010
–4 4 1 0 0 8
0 8 1 0
, ... ,
, ... ,
�
�
�
1
2
3
0,999624
0,999647
0,999662
0,999718 0,999717
–2 2 1 0 0 9
0 9 1 0
, ... ,
, ... ,
�
�
�
1
2
3
0,88258
0,88553
0,88941
0,90005 0,90050
–3 3 1 0 0 9
0 9 1 0
, ... ,
, ... ,
�
�
�
1
2
3
0,98725
0, 98913
0,99037
0,99258 0,99253
–4 4 1 0 0 9
0 9 1 0
, ... ,
, ... ,
�
�
�
1
2
3
0,999626
0,999686
1,00320
0,999782 0,999786
Òàáëèöà 2
íîé ñòàòèñòè÷åñêîé âûáîðêè Y y yi i ni
T
� ( ,..., )
1
îáúåìîì N (i N�1,..., ) çíà-
÷åíèé èññëåäóåìîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Y, èìååò âèä
& N
i
i
N
j
j
n
U
N
k
U Y
h
h( ) �
��
�
�
�
�
�
� �
1
1
1
1
, (23)
ãäå
U Y
h
u y
h
u y
h
i i i n ni
i
T
�
�
� ��
�
�
1
1
,..., ;
h j — ïîëîæèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû ðàçìûòîñòè; k U( )— ìíîãîìåðíîå ÿäðî
îöåíêè.  êà÷åñòâå ÿäðà k U( ) èñïîëüçóþò ôóíêöèþ, èìåþùóþ ñâîéñòâà
ìíîãîìåðíîé ñèììåòðè÷íîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè:
k U dU( )
�'
'
�
�1, u k U dUj
2
1( )
�'
'
�
� , k U k U( ) ( )� � ,
u u k U dUj
k
j
n
j
j
�
�'
'
��
�
1
2
1( ) ,
ãäå i n�1,..., ; k j �1,... .
Å. Ïàðçåí ïðåäëîæèë [9] èñïîëüçîâàòü â (23) â êà÷åñòâå ìíîãîìåðíîãî
ÿäðà ôóíêöèþ ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ìíîãîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
k
U Y
h K
ei
n n
U Y
h
S
U Y
h
i
T
i
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
1
2
1
�
,
(24)
ãäå â êà÷åñòâå ìàòðèöû S ïðèíèìàåòñÿ âûáîðî÷íàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ìàò-
ðèöà, îïðåäåëÿåìàÿ ïî âûáîðêå Yi , i N�1,..., .
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè â ôîðìóëó äëÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â îáëàñòü D
ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Y
P Y D U dU
D
( ) ( )� �
�
& (25)
c ïðîèçâîëüíîé ìíîãîìåðíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ & ( )U îöåíêè
(23) ïðè (24) ïîëó÷àåì íåïàðàìåòðè÷åñêóþ îöåíêó äëÿ âåðîÿòíîñòè (1):
P Y D J
N
h
K
eN j
j
n
i
N
D
n n
U Y
h
i
T
( )� � �
�
��
�
�
�
�
�
�� �
1 1
2
1
11
1
2
�
K
U Y
h
i� �
�
�
�
1
. (26)
Âñëåäñòâèå áîëüøîé òðóäîåìêîñòè âû÷èñëåíèÿ (26) è (24) îáû÷íî
èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå àïïðîêñèìàöèè (24), íàïðèìåð, ïðåíåáðåãàÿ â (24)
Ìåòîä áûñòðîãî ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé äëÿ âåêòîðîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 31
êîððåëÿöèîííûìè çàâèñèìîñòÿìè ìåæäó ýëåìåíòàìè èññëåäóåìîãî âåê-
òîðà Y. Îäíàêî ýòî ñíèæàåò òî÷íîñòü íåïàðàìåòðè÷åñêèõ îöåíîê (23) è
(25) ïðè íåáîëüøîì ÷èñëå íàáëþäåíèé N, ïîñêîëüêó òî÷íîñòü îöåíêè (26)
ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âûáîðà ìàòðèöû S â (24) [9] è îáúeìà âûáîðêè.
Ïðèìåíåíèå èçëîæåííîãî ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ (1) äëÿ ðàñ÷åòà êàæäîãî
ñëàãàåìîãî (25) ñóùåñòâåííî óìåíüøàåò òðóäîåìêîñòü âû÷èñëåíèé è äàåò
ïðàêòè÷åñêóþ âîçìîæíîñòü ó÷åòà êîððåëÿöèîííûõ çàâèñèìîñòåé â (24) è
(25) ìåæäó ýëåìåíòàìè âåêòîðà Y.
Îöåíêà (23) ÿâëÿåòñÿ ñìåùåííîé, ÷òî âûòåêàåò èç âûðàæåíèÿ äëÿ àñèìï-
òîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè (25):
M J P Y D s h h
U
u u
UN ij i j
j
n
i
n
i jD
[ ] ( )� � � �
��
�� �
1
2
11
2
( &
( (
(
( )
O h( )
4
, (27)
ãäå & U( ) — òî÷íàÿ (íî íåèçâåñòíàÿ) ôóíêöèÿ ìíîãîìåðíîé ïëîòíîñòè
ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè äëÿ âåêòîðà Y; sij — ýëåìåíòû êîâàðèàöèîí-
íîé ìàòðèöû S. Çàâèñèìîñòü (26) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ïðèâåäåí-
íîãî â [10] âûðàæåíèÿ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íåïàðàìåòðè÷åñêîé
îöåíêè èíòåãðàëà áîëåå îáùåãî âèäà ïî ñðàâíåíèþ ñ (1).
Ñ öåëüþ êîìïåíñàöèè ñìåùåíèÿ â (27) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìîäèôè-
öèðîâàííóþ íåïàðàìåòðè÷åñêóþ îöåíêó äëÿ (25) â ñëó÷àå h hi �
0
, i n�1,..., ,
(ïîëó÷åííóþ À. Í. Çàâàðèíûì [11] äëÿ èíòåãðàëîâ îáùåãî âèäà):
P Y D J
N
h
K
eN j
j
n
i
N
D h
n n
U Y
h
i
( )� � �
�
��
�
�
�
�
�� �
1 1
2
1
11
1
1
2
0
2 �
�
�
�
�
�
�
�
T
iK
U Y
h
1
. (28)
Îöåíêà (28) îñíîâàíà íà àñèìïòîòè÷åñêîì ðàçëîæåíèè (27), ïðè ïîëó÷å-
íèè êîòîðîãî èñïîëüçóåòñÿ ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî
s u u k U dUij i j�
�'
'
�
( ) .
Òî÷íîñòü åãî óâåëè÷èâàåòñÿ â ñëó÷àå ïðèáëèæåíèÿ ïëîòíîñòè èññëåäóå-
ìîãî âåêòîðà ê ìíîãîìåðíîé íîðìàëüíîé è èñïîëüçîâàíèÿ ïðè ýòîì â
êà÷åñòâå ÿäðà ôóíêöèè (24).
Âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé ïðè êîñâåííîì êîíòðîëå ñèñòåì. Âî
ìíîãèõ çàäà÷àõ êîñâåííîãî êîíòðîëÿ è äèàãíîñòèêè òåõíè÷åñêèõ è èíûõ
ñèñòåì òðåáóåòñÿ îöåíèòü èõ ðàáîòîñïîñîáíîñòü ïî ðåçóëüòàòàì èçìåðå-
íèé ïàðàìåòðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ ðàáîòîñïîñîáíîñòü ýòèõ ñèñòåì. Ðàñ-
ñìîòðèì òàêèå çàäà÷è.
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
Êîíòðîëèðóåìàÿ ñèñòåìà èìååò n ïàðàìåòðîâ ( ,..., )x x Xn
T
1
� , êîòîðûå
õàðàêòåðèçóþò åå ðàáîòîñïîñîáíîñòü. Ñèñòåìà ñ÷èòàåòñÿ ðàáîòîñïîñîá-
íîé, åñëè
X D� , D a bi i
i
n
�
�
( , )
1
� .
Âåêòîð X èìååò ìíîãîìåðíûé íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñ èçâåñò-
íîé êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöåé K kij
n
�{ }
1
, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäâàðè-
òåëüíî íà ïîäãîòîâèòåëüíîì ýòàïå.
Ïðè êîíòðîëå ðàáîòîñïîñîáíîñòè ñèñòåìû äîïóñêàåòñÿ ïðîâîäèòü èç-
ìåðåíèÿ òîëüêî ïåðâûõ m ýëåìåíòîâ x i , i m�1,..., , âåêòîðà X. Ïî ïîëó÷åí-
íîìó ïóòåì èçìåðåíèÿ çíà÷åíèþ X x x
E E m E
T
1 1 1� � �( ,..., )� ïîäâåêòîðà X
1
�
� ( ,..., )x xm
T
1 1
âåêòîðà X X XT T T
� ( , )
1 2
îïðåäåëÿåòñÿ îöåíêà âåðîÿòíîñòè ðà-
áîòîñïîñîáíîñòè ñèñòåìû ïðè óñëîâèè, ÷òî
X X
E1 1
� �� D a bi i
i
m
1
1
1
�
�
( , )� ,
ò. å. óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè
P X D X X
E
( / )�2 2 1 1
� � . (29)
Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå èçëîæåííîãî ìåòîäà ïðèáëèæåííîãî âû÷èñ-
ëåíèÿ èíòåãðàëà (1) äëÿ îöåíêè (29). Ïîäñòàâèì X X
E1
0
1
� � â (5) è âûðàçèì
V
1
÷åðåç X
E1 � :
V T X
E1 11
1
1
�
�
� . (30)
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (30) â (29) ñ ó÷åòîì (6) ïðè X X
2
0
2
� ïîëó÷àåì
P X D X X P T T X T V D
E E
( / ) ( )� �2 2 1 1 21 11
1
1 22 2 2
� � � � �
�
.
Ñëó÷àéíûé âåêòîð X T T X T V
E2 21 11
1
1 22 2
*
�� �
�
ÿâëÿåòñÿ ìíîãîìåðíûì íîðìàëü-
íî ðàñïðåäåëåííûì âåêòîðîì ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèì T T X
E21 11
1
1
�
� .
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè (29) ñâî-
äèòñÿ ê çàäà÷å âû÷èñëåíèÿ ìíîãîìåðíîãî èíòåãðàëà (1), ðàçìåðíîñòü êîòî-
ðîãî ðàâíà n m� , ò. å. ê ïðèìåíåíèþ ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ ìíîãîìåðíûõ
íîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ.
Ðàñ÷åò âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê íàñëåäñòâåííûõ ïîãðåøíîñ-
òåé ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ). Ðàñ-
ñìîòðèì çàäà÷ó àíàëèçà ïîêàçàòåëåé òî÷íîñòè ðåøåíèÿ ÑËÀÓ
A X b� , (31)
Ìåòîä áûñòðîãî ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé äëÿ âåêòîðîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 33
ãäå A aij
n
�{ }
1
; b b bn
T
� ( ,..., )
1
; X x xn
T
� ( ,..., )
1
ïðè óñëîâèè, ÷òî êîýôôè-
öèåíòû aij è bi ìàòðèöû A è âåêòîðà b çàäàþòñÿ ñ íåèçâåñòíûìè ïî-
ãðåøíîñòÿìè � aij , i j n, , ...,�1 , è � bi , i n�1,..., . Âñëåäñòâèå ñóùåñòâîâàíèÿ
ýòèõ ïîãðåøíîñòåé âåêòîð X ðåøåíèÿ (31) îòëè÷àåòñÿ îò âåêòîðà X X�� ,
êîòîðûé ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü ïðè èçâåñòíûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèÿõ
âñåõ âåëè÷èí � aij è � bi . Âåêòîð X X�� îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû
óðàâíåíèé
( ) ( )A A X X b b� � � �� � � , (32)
ãäå
� �A aij
n
�{ }
1
; � � �b b bn
T
� ( ,..., )
1
; � � �X x xn
T
� ( ,..., )
1
.
Îòëè÷èå âåêòîðà �X , ïîëó÷åííîãî èç ðåøåíèÿ (32), îò ïîëó÷åííîãî èç
ðåøåíèÿ (31), íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì íàñëåäñòâåííûõ èëè òðàíñôîðìèðî-
âàííûõ ïîãðåøíîñòåé, êîòîðûå îáóñëîâëåíû ïîãðåøíîñòÿìè çàäàíèÿ èñ-
õîäíûõ äàííûõ. Ïîãðåøíîñòè � aij è � bi ÿâëÿþòñÿ íåèçâåñòíûìè âåëè-
÷èíàìè, ïîýòîìó êîíêðåòíûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ âåêòîðà � X íåëüçÿ
íàéòè ðåøåíèåì ñèñòåì (31) è (32). Òàêàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò ïðàêòè÷åñêè
âñåãäà ïðè êîíêðåòíûõ ðàñ÷åòàõ òåõíè÷åñêèõ, ýêîíîìè÷åñêèõ è äðóãèõ
ñèñòåì. Ïðè ýòîì âåêòîð � X ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü òîëüêî âåðîÿòíîñò-
íûìè ïàðàìåòðàìè, èñïîëüçóÿ âåðîÿòíîñòíûå ïàðàìåòðû âåëè÷èí � aij è
� bi , èëè äåòåðìåíèðîâàííûìè îöåíêàìè. Ýòè õàðàêòåðèñòèêè ïîëó÷èì,
çàïèñàâ âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà ïîãðåøíîñòåé � X â âèäå âû÷èòàíèÿ (31)
èç (32):
� � � � �X A b A X A X� � �
�1
( ), (33)
ãäå A�1
— îáðàòíàÿ ìàòðèöà äëÿ A; X — âåêòîð ðåøåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû
(31) (ïðè ðàâíûõ íóëþ ïîãðåøíîñòÿõ � aij è � bi ). Ïðåíåáðåãàÿ â (33)
âåëè÷èíàìè � �A X âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ò. å. îñòàâàÿñü â ðàìêàõ
ëèíåéíîé òåîðèè òî÷íîñòè, ïîëó÷àåì óïðîùåííóþ çàâèñèìîñòü äëÿ âåêòî-
ðà ïîãðåøíîñòåé ðåøåíèÿ
� � �X A b A X� �
�1
( ) . (34)
Äëÿ âåêòîðà (34) ïðè èçâåñòíûõ êîððåëÿöèîííûõ ìàòðèöàõ âåêòîðîâ
� b è � A X îïðåäåëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííàÿ ìàòðèöà K X�� ). Ýòî äàåò âîç-
ìîæíîñòü, èñïîëüçóÿ èçëîæåííûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ìíîãoìåðíûõ íîð-
ìàëüíûõ èíòåãðàëîâ, íàéòè âåðîÿòíîñòü ïðèíàäëåæíîñòè âåêòîðà �X
çàäàííîé îáëàñòè.
Äåòåðìåíèðîâàííûå è âåðîÿòíîñòíûå îöåíêè äëÿ �X ïðèâåäåíû â
ðàáîòàõ [11, 12].
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 5
The method is described for approximate calculation of multidimensional normal integrals with
large dimensionalities which is reduced to an approximation of the initial integral by a product of
integrals of small dimensionality with account of all coefficients of the correlation matrix. The
application of the method for the problems of probability calculation based on the nonparametric
estimation of the distribution density and at indirect control of complex systems is considered.
1. Ñèíèöûí È. Í. Ôèëüòðû Êàëìàíà è Ïóãà÷åâà. — Ì. : Ëîãîñ, 2006. — 636 ñ.
2. Ìàðòûíîâ Ã. Â. Âû÷èñëåíèå ôóíêöèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ // Òåîðèÿ âåðîÿò-
íîñòåé. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Òåîðåòè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà. Ò.17 (èòîãè íàóêè è
òåõíèêè).— 1979. — Ñ. 57—84,
3. Ãîäëåâñêèé Â. Ñ. Ìåòîäû òî÷íîñòíîãî àíàëèçà è ñèíòåçà âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ
ñèñòåì óïðàâëåíèÿ è êîíòðîëÿ: Äèñ... ä-ðà òåõí. íàóê. — Êèåâ, 1980. — Ñ. 398.
4. Ãîäëåâñêèé Â. Ñ., Çàâàðèí À. Í. Ñïîñîá ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ìíîãîìåðíûõ
íîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ // Òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü êèáåðíåòè÷åñêèõ ñèñòåì. Âûï. 4. —
Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1976. — Ñ. 30—34.
5. Ãîäëåâñêèé Â. Ñ., Ãóáðåíþê Ò. À. Ê âû÷èñëåíèþ ìíîãîìåðíûõ íîðìàëüíûõ èíòåãðàëîâ
â çàäà÷àõ àíàëèçà òî÷íîñòè ýëåêòðîííûõ ñõåì // Ýëåêòðîííûå öåïè, ïåðåäà÷à è
îáðàáîòêà èíôîðìàöèè. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1979. — Ñ. 135—147.
6. Ïóãà÷åâ Â. Ñ. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. —Ì. : Ôèçìàòãèç, 1962. — 883 ñ.
7. Ãîëóá Äæ., Âàí-Ëîóí ×. Ìàòðè÷íûå âû÷èñëåíèÿ. — Ì. : Ìèð, 1999. — 548 ñ.
8. Âåíòöåëü Å. Ñ., Îâ÷àðîâ Ë. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è å¸ ïðèëîæåíèå. — Ì. : Âûñøàÿ
øêîëà, 2007, — 496 ñ.
9. Øàïèðî È. È. Íåïàðàìåòðè÷åñêèå îöåíêè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè â çàäà÷àõ îáðà-
áîòêè ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé // Çàðóáåæíàÿ ðàäèîýëåêòðîíèêà. — 1976. — ¹ 2. —
Ñ. 3—36.
10. Ãîäëåâñêèé Â. Ñ., Çàâàðèí À. Í. Ïðèìåíåíèå íåïàðàìåòðè÷åñêèõ îöåíîê äëÿ âû÷èñ-
ëåíèÿ ìíîãîìåðíûõ èíòåãðàëîâ // Æóðíàë âû÷èñë, ìàòåìàò, è ìàòåìàò, ôèçèêè. —
1979. — ¹ 5. — Ñ. 1118—1126.
11. Ãîäëåâñêèé Â. Ñ. Îá îäíîé îöåíêå òî÷íîñòè ðåøåíèé íåêîòîðûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Òàì æå. — 1973. — ¹ 1. — Ñ. 233—237.
12. Ãîäëåâñêèé Â. Ñ. Îá îöåíêàõ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòåé ðåøåíèé ñèñòåì ëè-
íåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ è îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Òàì æå. —
1974. — ¹ 5. — Ñ. 1083—1092.
Ïîñòóïèëà 04.03.08
ÃÎÄËÅÂÑÊÈÉ Âèòàëèé Ñòàíèñëàâîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, âåä. íàó÷í. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì
ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð ÌÏ «ÄÈÑÈÒ» ÍÀÍ
Óêðàèíû.  1966 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëå-
äîâàíèé — âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû â òåîðèè òî÷íîñòè è ìîäåëèðîâàíèå òåõíè÷åñêèõ
ñèñòåì, äèàãíîñòèêà òðóáîïðîâîäíûõ ñèñòåì.
Ìåòîä áûñòðîãî ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé äëÿ âåêòîðîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 5 35
|