О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии
Разработана методика расчета и рационального проектирования акустических концентраторов перемещений с учетом гистерезисных потерь энергии. На примере двух типов новых концентраторов показана ее эффективность, подтвержденная экспериментальными данными. Предложенная схема расчета без ограничений приме...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1030 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии / В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 1. — С. 3-16. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1030 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-10302008-10-20T18:31:00Z О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии Абакумов, В.Г. Трапезон, К.А. Разработана методика расчета и рационального проектирования акустических концентраторов перемещений с учетом гистерезисных потерь энергии. На примере двух типов новых концентраторов показана ее эффективность, подтвержденная экспериментальными данными. Предложенная схема расчета без ограничений применима для акустических концентраторов любых типов - как известных, так и вновь разрабатываемых. Розроблено методику розрахунку й раціонального проектування акустичних концентраторів зміщень з урахуванням гістерезисних втрат енергії. На прикладі двох типів нових концентраторів показано її ефективність, яку підтверджено експериментальними даними. Запропонована схема розрахунку може без обмежень застосовуватися для акустичних концентраторів будь-яких типів - як відомих, так і тих, що розробляються. A technique is developed for calculating and rational designing the acoustic thickeners of deflections with allowance for hysteretic energy loss. Its efficiency is verified using two examples of new thickeners and proved by the experimental data. The offered calculation scheme is applicable without limitations to any types of the acoustic thickeners, both the known ones and those being under construction. 2007 Article О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии / В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 1. — С. 3-16. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1030 534.1 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Разработана методика расчета и рационального проектирования акустических концентраторов перемещений с учетом гистерезисных потерь энергии. На примере двух типов новых концентраторов показана ее эффективность, подтвержденная экспериментальными данными. Предложенная схема расчета без ограничений применима для акустических концентраторов любых типов - как известных, так и вновь разрабатываемых. |
| format |
Article |
| author |
Абакумов, В.Г. Трапезон, К.А. |
| spellingShingle |
Абакумов, В.Г. Трапезон, К.А. О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии |
| author_facet |
Абакумов, В.Г. Трапезон, К.А. |
| author_sort |
Абакумов, В.Г. |
| title |
О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии |
| title_short |
О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии |
| title_full |
О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии |
| title_fullStr |
О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии |
| title_full_unstemmed |
О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии |
| title_sort |
о проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1030 |
| citation_txt |
О проектировании акустических концентраторов с учетом внутреннего рассеяния энергии / В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 1. — С. 3-16. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT abakumovvg oproektirovaniiakustičeskihkoncentratorovsučetomvnutrennegorasseâniâénergii AT trapezonka oproektirovaniiakustičeskihkoncentratorovsučetomvnutrennegorasseâniâénergii |
| first_indexed |
2025-07-02T04:34:42Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:34:42Z |
| _version_ |
1836508389001134080 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
УДК 534.1
О ПРОЕКТИРОВАНИИ АКУСТИЧЕСКИХ
КОНЦЕНТРАТОРОВ С УЧЕТОМ ВНУТРЕННЕГО
РАССЕЯНИЯ ЭНЕРГИИ
В. Г. А Б АК У МО В, К. А. ТР АП Е ЗО Н
Национальный технический университет Украины “КПИ”, Киев
Получено 29.01.2007
Разработана методика расчета и рационального проектирования акустических концентраторов перемещений с уче-
том гистерезисных потерь энергии. На примере двух типов новых концентраторов показана ее эффективность,
подтвержденная экспериментальными данными. Предложенная схема расчета без ограничений применима для аку-
стических концентраторов любых типов – как известных, так и вновь разрабатываемых.
Розроблено методику розрахунку й рацiонального проектування акустичних концентраторiв змiщень з урахуван-
ням гiстерезисних втрат енергiї. На прикладi двох типiв нових концентраторiв показано її ефективнiсть, яку пiд-
тверджено експериментальними даними. Запропонована схема розрахунку може без обмежень застосовуватися для
акустичних концентраторiв будь-яких типiв – як вiдомих, так i тих, що розробляються.
A technique is developed for calculating and rational designing the acoustic thickeners of deflections with allowance for
hysteretic energy loss. Its efficiency is verified using two examples of new thickeners and proved by the experimental data.
The offered calculation scheme is applicable without limitations to any types of the acoustic thickeners, both the known
ones and those being under construction.
ВВЕДЕНИЕ
Для повышения эффективности работы ряда
высокочастотных колебательных систем необходи-
мо применение в их составе концентраторов аку-
стической энергии, назначением которых является
трансформация малых амплитуд на входе, снима-
емых с электромеханических преобразователей, в
большие амплитуды на рабочем конце системы.
При этом главное требование, предъявляемое к
концентратору, – обеспечение необходимого уси-
ления без увеличения мощности преобразователя,
что, как известно, можно осуществить выбором со-
ответствующего закона изменения площади попе-
речного сечения F (x) на основе решения задачи о
колебаниях стрежня. В этом случае из уравнения
свободных колебаний
∂
∂x
(
EF
∂U
∂x
)
− ρF
∂2U
∂t2
= 0, (1)
представляя его решение в виде
U(x, t)=X(x) cos(ωt), определяют функцию X(x)
и после удовлетворения граничным условиям
вида
dX(0)
dx
=
dX(l)
dx
= 0,
справедливым для стержня со свободными конца-
ми, находят частоты ω и формыX(x) собственных
колебаний. При этом отношением M=X(l)/X(0)
будет определяться усиление колебаний и эффе-
ктивность концентратора, имеющего резонансную
длину l и резонансную частоту f=ω/2π, изготов-
ленного из материала с модулем упругости E и
плотностью ρ.
Однако даже в случае удачного задания F (x) и
определения параметра M по такой методике ожи-
даемое усиление колебаний не может считаться
гарантированным из-за неизбежных потерь энер-
гии при резонансных колебаниях концентратора.
Здесь и далее речь идет о внутренних потерях
в материале концентратора, поскольку внешние
причины рассеяния энергии всегда могут быть ми-
нимизированы техническими средствами. Следо-
вательно, одной из практически важных задач ра-
ционального проектирования концентраторов яв-
ляется обеспечение требования о минимально во-
зможном внутреннем рассеянии энергии. Реализа-
ция этого положения повышает коэффициент по-
лезного действия соответствующей колебательной
системы и обеспечивает ее стабильную работу на
режимах, близких к расчетным. При его наруше-
нии неизбежен существенный нагрев концентра-
тора, приводящий к расстройке резонансных ко-
лебаний и резкому падению амплитуд вследствие
температурного изменения его геометрических и
физико-механических характеристик.
Цель данной статьи состоит в следующем.
1. На основе известных подходов и методов оцен-
ки демпфирующих свойств материалов и эле-
ментов конструкций необходимо разработать
методику проектирования концентраторов с
c© В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон, 2007 3
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
0
00
0
0
0
0
0 0
0
а б
Рис. 1. Форма петли гистерезиса:
а – по гипотезе Давиденкова (2); б – эллиптическая по гипотезе (13)
учетом внутреннего рассеяния энергии меха-
нических колебаний.
2. На примере вновь созданных типов концен-
траторов, описанных в работе [1], провести ее
реализацию с количественной оценкой и про-
стейшей экспериментальной проверкой.
1. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ЭНЕРГЕТИЧЕ-
СКИХ ПАРАМЕТРОВ КОНЦЕНТРАТОРА
Современное математическое описание рассея-
ния энергии в конструкционном материале сводит-
ся к некоторым, как правило, нелинейным зависи-
мостям механического напряжения σ от относи-
тельной деформации ε, отличных от закона Гука
σ=Eε. Такие схемы деформирования более точно
отображают свойства реальных тел, чем линейный
закон Гука для идеального упругого тела. При ци-
клическом деформировании вследствие рассеяния
энергии, обусловленного, в частности, упругим не-
совершенством материала, обнаруживается разли-
чие в линиях нагрузки-разгрузки в координатах σ-
ε [2], т. е. образуется некоторая петля гистерезиса
(рис. 1).
Установление той или иной зависимости σ(ε),
описывающей форму замкнутой петли гистерези-
са, выражает соответствующую гипотезу рассея-
ния энергии. При этом площадь петли выражает
энергию, которая рассеивается за один цикл де-
формирования. Широкое распространение полу-
чила гипотеза Фойгхта [3], которая обеспечива-
ет простой расчет колебаний на основе линейных
уравнений. Однако она предполагает существен-
ную зависимость рассеяния энергии от частоты
процесса деформирования, что для большинства
конструкционных материалов не подтверждается
экспериментально [4]. Подробный обзор и анализ
предложенных разными авторами моделей содер-
жится в работах [5,6]. Физически обоснованной яв-
ляется гипотеза Давиденкова [2, 7], согласно кото-
рой связь между механическими напряжениями и
деформациями имеет вид
σ = εE ± Eη
n
[2n−1εn
0 − (ε0 ± ε)n], (2)
где η, n – геометрические параметры петли гисте-
резиса, которые определяются для каждого из ма-
териалов экспериментально; ε0 – амплитудное зна-
чение деформации. Интегрируя выражение (2) по
контуру петли, легко найти ее площадь, т. е. энер-
гию ∆W0, которая будет рассеяна в единице объе-
ма материала за цикл деформирования:
∆W0 =
ε0
∫
−ε0
(σ+)dε+
−ε0
∫
ε0
(σ−)dε =
= ηNEεn+1
0 = βεn+1
0 ;
N =
2n+1(n− 1)
n(n + 1)
; β = ηEN.
(3)
Как видно из уравнения (3), рассеяние энергии по
гипотезе Давиденкова зависит только от амплиту-
дных значений деформации ε0.
4 В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
Использовав известную зависимость для потен-
циальной энергии
W0 =
Eε20
2
, (4)
накапливаемой в единице объема материала при
амплитуде деформирования ε0, можно найти зна-
чение относительного рассеяния энергии в едини-
це однородно напряженного объема материала:
ψ0 =
∆W0
W0
= 2δ = 2Nηεn−1
0 . (5)
Здесь δ – логарифмический декремент колеба-
ний [2].
Выражения (3) – (5) относятся к описанию
свойств материала. Для определения величины
рассеиваемой энергии за цикл колебаний концен-
тратора длиной l, площадью F (x) при форме резо-
нансных колебаний AX(x) (A – амплитудный ко-
эффициент) необходимо вычислить интеграл эле-
ментарной энергии рассеивания по объему концен-
тратора V . С учетом соотношения (3) и того, что
εmax =ε0 =AX′(x), получим
∆W =
∫
V
∆W0dV = β
l
∫
0
εn+1
0 F (x)dx =
= β(A)n+1
l
∫
0
(X′(x))n+1F (x)dx.
(6)
Соответственно, потенциальная энергия деформа-
ции концентратора (потребляемая энергия за цикл
колебаний) вычисляется как интеграл по объему V
элементарной энергии, заданной выражением (4),
т. е.
W =
∫
V
W0dV =
l
∫
0
Eε20
2
F (x)dx =
=
EA2
2
l
∫
0
(X′(x))2F (x)dx.
(7)
Разделив выражение (6) на (7), получим коэффи-
циент относительного рассеяния энергии для всего
концентратора:
ψ =
∆W
W
=
=
2β(A)n+1
EA2
l
∫
0
(X′(x))n+1F (x)dx
l
∫
0
(X′(x))2F (x)dx
=
=
2ηNE(A)n−1
E
l
∫
0
(X′(x))n+1F (x)dx
l
∫
0
(X′(x))2F (x)dx
.
2. РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ КОНЦЕНТРАТО-
РА С УЧЕТОМ РАССЕЯНИЯ ЭНЕРГИИ
Соотношения (6), (7) дают возможность каче-
ственной оценки эффективности концентраторов
по критерию рассеиваемой энергии. Вообще гово-
ря, эта оценка вполне достаточна в случае срав-
нения концентраторов с близкими значениями ко-
эффициента усиления M . Очевидно, что, исходя
из этого критерия, лучшим следует считать тот
концентратор, у которого рассеяние энергии будет
меньшим при равных амплитудах рабочего конца.
Что касается установления количественной свя-
зи между ∆W и амплитудами колебаний, то для
этого следует рассмотреть задачу о вынужденных
колебаниях стержня с учетом рассеяния энергии
под действием распределенной вдоль оси стрежня
внешней силы вида p(x) sin νt. Тогда уравнение ко-
лебаний согласно модели (2) запишется в виде [8]
∂
∂x
(
EF (x)
∂U(x, t)
∂x
)
−
−ρF (x)
∂2U(x, t)
∂t2
∓ ∂
∂x
(F (x)Φ) =
= p(x) sin νt,
(8)
где функция
Φ = ±Eη
n
{
2n−1
(
∂U(x, t)
∂x
)n
0
−
−
[(
∂U(x, t)
∂x
)
0
± ∂U(x, t)
∂x
]n}
(9)
В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон 5
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
соответствует нелинейной части выражения (2).
При этом введены обозначения
ε =
∂U(x, t)
∂x
; ε0 =
(
∂U(x, t)
∂x
)
0
.
Полагая U(x, t)=X(x)y(t), получаем
∂U(x, t)
∂x
= X′(x)y(x),
(
∂U
∂x
)
0
= X′(x)y0,
где y0 – максимальное значение амплитуды y(t)
при t=0. С учетом этого, уравнение (8) примет
вид
y(EFX′)′ − ρFXÿ∓
∓
{
EF
η
n
(X′)nyn
0
[
2n−1 −
(
1 ± y
y0
)n]}′
=
= p(x) sin νt.
(10)
Штрихи и точки обозначают соответственно диф-
ференцирование по x и t. Здесь и далее для упро-
щения записи выражений будем опускать аргумен-
ты функций.
Будем рассматривать колебания в резонансной
зоне. Поэтому согласно правила Видлера [9] фор-
мы колебаний X(x) полагаем совпадающими с со-
ответствующими формами свободных колебаний,
т. е. считаем, что демпфирование не влияет на
форму колебаний системы, однако определяет за-
кон убывания некоторого ее масштаба [5]. В со-
ответствии с этим воспользуемся приемом метода
Бубнова – Галеркина [10], умножив обе части урав-
нения (10) на функцию X(x), удовлетворяющую
граничным условиям при свободных колебаниях
X′(0)=X′(l)=0, и проинтегрируем это выражение
по длине в промежутке от 0 до l:
yE
l
∫
0
(FX′)′Xdx− ÿ
l
∫
0
ρFX2dx∓
∓Eη
n
yn
0
[
2n−1 −
(
1 ± y
y0
)n]
×
×
l
∫
0
(F (X′)n)′Xdx = sinνt
l
∫
0
p(x)Xdx.
(11)
С учетом того, чтоX′(0)=X′(l)=0, после интегри-
рования уравнение (11) можно переписать в виде
ÿ +
c
m
y ∓ q
m
Eη
n
(y0)
n×
×
[
2n−1 −
(
1 ± y
y0
)n]
=
p∗
m
sin νt,
(12)
где
c
m
=
E
ρ
l
∫
0
(X′)2Fdx
l
∫
0
X2Fdx
;
q
m
=
1
ρ
l
∫
0
(X′)n+1Fdx
l
∫
0
X2Fdx
;
p∗
m
= −1
ρ
l
∫
0
p(x)Xdx
l
∫
0
X2Fdx
.
Из уравнения (12) видно, что отношение приве-
денной жесткости
c = E
l
∫
0
F (X′)2dx
к приведенной массе
m = ρ
l
∫
0
FX2dx,
записанных на основе формул Рэлея, определяет
собственную (резонансную) частоту системы. Па-
раметры
q =
l
∫
0
(X′)n+1Fdx, p∗ = −
l
∫
0
p(x)Xdx
характеризуют работу диссипативных и внешних
сил, соответственно.
Уравнение (12) как результат проведенных пре-
образований исходного соотношения (8) формаль-
но представляет собой уравнение вынужденных
колебаний системы с одной степенью свободы,
обобщенной координатой которой может служить
любая точка стержня, за исключением узловой.
Решить это нелинейное уравнение можно асимпто-
тическим методом Крылова – Боголюбова [11], по-
зволяющим получать приближения любого поряд-
ка. Такая схема решения подобных задач предло-
жена и последовательно применялась в работах
6 В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
Г. С. Писаренко [8]. Однако нецелесообразность
построения высших приближений для уравне-
ния (12) вытекает, прежде всего, из весьма усре-
дненных значений параметров петли гистерезиса
n и η, найденных по экспериментальным зависи-
мостям из более-менее достоверно полученной ее
площади [2]. Учитывая многообразие и несопоста-
вимость экспериментальных методик определения
демпфирующих свойств материалов, а значит и n,
η, следует полагать их заданными в первом при-
ближении. Поэтому при решении уравнения (12)
также допустимо ограничиться поиском только
первого приближения. Кроме того, учитывая гро-
моздкость выкладок даже для построения первого
приближения асимптотическим методом, весьма
неудобных для практического использования, ре-
шение уравнения целесообразно строить на основе
более простого энергетического подхода. Показа-
но, что в резонансной зоне для данного типа задач
оба таких решения в первом приближении совпа-
дают [5].
Суть энергетического метода заключается в за-
мене выражения (2) гипотезы Давиденкова иной
зависимостью для описания петли гистерезиса, та-
кой, чтобы ее площадь совпала с выражением (3).
Чаще всего используется выражение, соответству-
ющее гипотезе Сорокина [12]. Его модификация,
учитывающая предложение Давиденкова, имеет
вид [13]
σ = εE ± β1ε
n
0
√
1 − ε2
ε20
. (13)
Выполнив интегрирование выражения (13), ана-
логично схеме получения результата (3), находим,
что
∆W0 = β1πε
n+1
0 . (14)
Приравняв выражения (3) и (14), получим условие
энергетической эквивалентности гипотез (2) и (13)
в виде
β1 =
β
π
=
ηEN
π
=
ηE
π
2n+1(n− 1)
n(n + 1)
. (15)
Дифференциальное уравнение, эквивалентное
уравнению (12), запишется как
ÿ + ω2y ∓ q
m
β1y
n
0
√
1 − y2
y2
0
=
p∗
m
sin νt, (16)
где обозначение ω2 =c/m введено, исходя из ком-
ментария к уравнению (12), приведенного выше.
Уравнение (16) имеет точное решение
y=y0 sin(νt−γ) в том случае, если
y0 =
p∗
√
c2(1 − ν2/ω2)2 + (qβ1y
n−1
0 )2
,
tg γ = − qβ1y
n−1
0
m(ω2 − ν2)
.
(17)
Данный критерий проверяется подстановкой это-
го решения в уравнение (16). При резонансе, когда
ω=ν, получим γ=3π/2. Поэтому y=y0 cos(ωt), а
величина резонансной амплитуды, согласно фор-
мулы (17), будет yn
0 =πp∗/(qβ).
Принимая во внимание приведенные выше
выражение для q и учитывая формулу (6), полу-
чаем
y0 = A
n
√
p∗∗
∆W
, (18)
где p∗∗=−π
∫
l
0
p(x)AX(x)dx – работа внешних сил
p(x) при колебаниях по форме AX(x).
Соотношением (18) устанавливается искомая
связь между резонансной амплитудой y0 какого-
либо сечения стержня, за исключением узлового,
рассеянием энергии ∆W в концентраторе и ам-
плитудой резонансных (собственных) колебаний A
этого же сечения, определяемой без учета рассея-
ния энергии.
3. СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ КОН-
ЦЕНТРАТОРОВ
Из-за неопределенности параметра p∗∗ форму-
ла (18) может найти непосредственное практиче-
ское применение при взаимном сравнении концен-
траторов, но с соблюдением нижеследующих пред-
посылок.
Очевидно, что при работе концентратора в си-
стеме с преобразователем продольные перемеще-
ния торца последнего будут равны перемещениям
основания концентратора вследствие их жестко-
го соединения. При этом силы, действующие со
стороны преобразователя, можно свести к сосре-
доточенной силе p0 sinωt, приложенной к основа-
нию концентратора, т. е. в сечении x=x0. Поэтому
можно записать [14]
p∗∗ = −π
l
∫
0
p(x)AX(x)dx =
= −π
l
∫
0
p0σ1(x− x0)AX(x)dx =
= −πp0AX(x0) = p0X0,
(19)
В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон 7
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
где σ1(x−x0) – импульсивная функция первого по-
рядка; X0 – перемещение в месте соединения пре-
образователя с концентратором. Поскольку в дан-
ном случае p∗∗ не зависит от конфигурации кон-
центратора, что следует из выражения (19), то ам-
плитуда y0 может быть увеличена только за счет
снижения величины рассеянной энергии ∆W , ко-
торая связана с геометрией и материалом концен-
тратора соотношением (6).
При сравнении двух концентраторов, предна-
значенных для работы в ультразвуковой колеба-
тельной системе с данным преобразователем, и
имеющих одинаковое усиление, которое рассчита-
но по линейной теории, из выражения (18) с уче-
том (19) получим соотношение для количествен-
ной оценки резонансных амплитуд:
(y01
/A)n1
(y02
/A)n2
=
(∆W )2
(∆W )1
. (20)
Здесь индексы 1 и 2 относятся к параметрам пер-
вого и второго сравниваемых концентраторов.
Для иллюстрации рассмотрим последовательно
два разнотипных концентратора, которые были
описаны ранее в работе [1]. Для удобства обозна-
чим их как К1 и К2. Поскольку концентраторы
выполняются в виде тел вращения, в дальнейшем
будем использовать в выкладках вместо площадей
F (x)=πD2(x)/4 их диаметры D(x). Кроме того,
переменную x полагаем отнесенной к длине кон-
центратора l.
Концентратор К1 характеризуется следую-
щим законом изменения диаметра:
D(x) = D0
x6 + 5Cx3 − 5C2 +C1x
x3 +C
,
x = 0 ÷ 1,
(21)
где D0, C, C1 – произвольные постоянные. Фор-
ма колебаний и ее производная, удовлетворя-
ющая уравнению (1) и граничным условиям
X′(0)=X′(1)=0, в данном случае будут иметь вид
X(x) =
−A
q(x)
×
×
{
B[(k2p(x) − 3x) sin(kx) + 3kx2 cos(kx)]+
+[(k2p(x) − 3x) cos(kx) − 3kx2 sin(kx)]
}
,
(22)
X′(x) =
p(x)A
q2(x)
×
×
{
B[a(x) sin(kx) + kb(x) cos(kx)]+
+[a(x) cos(kx) − kb(x) sin(kx)]
}
,
(23)
где
q(x) = x6 + 5Cx3 − 5C2 + C1x;
p(x) = x3 +C;
a(x) = k2(6x5 + 15Cx2 + C1) − 15(x3 + C);
b(x) = 15x(x3 +C) − k2(x6 + 5Cx3 − 5C2 + C1x);
B = (15C − k2C1)/5k
3C2;
k = 2πfl
√
ρ/E;
(24)
A – произвольный постоянный коэффициент.
Если при расчете задан параметр
δ =
D(x = 1)
D(x = 0)
,
то отсюда получим, что
C1 = 5C2(1 − δ) − 5C(1 + δ) − 1.
Амплитудный коэффициент A легко определя-
ется из условия X(x=1)=X0, где X0 – численное
значение амплитуды перемещений, которая может
быть измерена при эксперименте на свободном
конце концентратора при x=1. Поэтому из выра-
жения (22) следует
A = −X0(1 + 5C + C1 − 5C2)/
/
(
B{[k2(1 + C) − 3] sin k + 3k cos k}+
+[k2(1 +C) − 3] cosk − 3k sink
)
.
Значение коэффициента D0 определяется из усло-
вия D(x=0=d, откуда с учетом зависимости (21)
следует D0 =−d/(5C). Надлежащим выбором по-
стоянной C устанавливается такая конфигура-
ция концентратора, при которой его коэффици-
ент усиления M =X(1)/X(0) соответствовал бы
некоторой требуемой величине. Так, при C=−1.1
и δ=1/3 из уравнения частот для данного слу-
чая [1] найден первый корень k=3.0271661. То-
гда получим B=−0.664; C1 =10.367; D0 =0.1818d;
A=0.02X0; M=−29.938≈−30. Задаваясь рабочей
частотой f и характеристиками материала E и ρ,
по соотношению (24) определяем длину концен-
тратора, а по зависимости (21) строим его про-
филь при выбранном (из конструктивных сообра-
жений) диаметре основания d.
Конфигурация и характерные размеры концен-
тратора рассматриваемого типа, предназначенно-
го для работы на частоте 11 кГц, приведены на
8 В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
Табл 1. Значения объема V , а также величин W (Дж), ∆W (Дж), ∆W/W
в зависимости от амплитуды X0 свободного конца концентратора К1
N X0, мм Сплав ВТ3-1∗ Сталь 45∗∗
W × 10−2 ∆W × 10−2 ∆W/W W × 10−2 ∆W × 10−2 ∆W/W
1 0.05 6.180 0.01877 3.04 · 10−3 10.959 0.11895 1.085 · 10−2
2 0.0836 17.277 0.05967 3.45 · 10−3 30.637 0.48897 1.596 · 10−2
3 0.1 24.720 0.0893 3.61 · 10−3 43.836 0.8002 1.825 · 10−2
4 0.1205 35.890 0.1358 3.78 · 10−3 63.650 1.3364 2.099 · 10−2
5 0.15 55.620 0.2223 3.997 · 10−3 98.630 2.4404 2.474 · 10−2
6 0.189 88.302 0.374 4.23 · 10−3 156.586 4.6077 2.94 · 10−2
7 0.2 98.880 0.42475 4.29 · 10−3 175.344 5.383 3.07 · 10−2
8 0.25 154.500 0.7017 4.54 · 10−3 273.975 9.9437 3.63 · 10−2
9 0.273 184.230 0.8554 4.64 · 10−3 326.705 12.666 3.87 · 10−2
10 0.3 222.480 1.05766 4.75 · 10−3 394.524 16.417 4.16 · 10−2
∗ n=1.25; η=0.025; ETi=1.14 · 10
5 МПа; объем V =138.3 см3;
∗∗ n=1.75; η=1.6; Eст =2.03 · 10
5 МПа; объем V =138.9 см3.
рис. 2, а где l=220.36 мм для титанового спла-
ва ВТ3-1 (ETi=1.14·105 МПа; γTi =ρg=4.5 г/см3)
и l=221.4 мм для стали 45 (Eст=2.03·105 МПа;
γст =ρg=7.8 г/см3) при общем диаметре основа-
ния d=60 мм.
С учетом установленных параметров энергети-
ческие зависимости (6) и (7) примут вид
W =
EA2
2
l
∫
0
(X′(x))2F (x)dx =
=
πE
8l
(0.02X0)
2(0.1818d)2
1
∫
0
(X∗′D∗)2dx,
(25)
∆W = β(A)n+1
l
∫
0
(X′(x))n+1F (x)dx =
=
ηENπ
4ln
(0.02X0)
n+1(0.1818d)2×
×
1
∫
0
(X∗′)n+1(D∗)2dx.
(26)
Здесь D∗ и X∗′ заданы выражениями (21) и (23),
но без множителей D0 и A соответственно. Объем
концентратора определяем по формуле
V =
πl
4
(0.1818d)2
1
∫
0
(D∗)2dx. (27)
Для завершения расчета необходимо распола-
гать параметрами петли гистерезиса по Давиден-
кову (2). Усредненные значения параметров n и η
определяют по выражению (5), исходя из экспе-
риментальных данных о декрементах колебаний
δ1 и δ2 при напряжениях σ1 и σ2 соответствен-
но. Воспользуемся сведениями, приведенными в
справочном пособии [2]: для сплава ВТ3-1 (изгиб
с частотой 14 Гц) получено δ1 =1.68·10−3 при
σ1 =80 МПа и δ2 =2.23·10−3 при σ2 =240 МПа,
для стали 45 (изгиб с частотой 10÷100 Гц) –
δ1 =4·10−3 при σ1 =50 МПа и δ2 =1.33·10−2 при
σ2 =250 МПа. Отсюда находим для сплава ВТ3-
1 и стали 45 соответственно: (n=1.25; η=0.025) и
(n=1.75; η=1.6).
После внесения в выражения (25) – (27) най-
денных параметров и вычисления соответствую-
щих интегралов получим результаты, представ-
ленные в табл. 1. Из таблицы видно, что при
одних и тех же фиксированных амплитудах X0
рассеяние энергии в стальном концентраторе су-
щественно больше, чем в титановом. При этом
масса концентратора ρV и потребляемая энергия
W у стального концентратора больше чем у ти-
танового, соответственно, в (ρV )ст/(ρV )Ti =1.74 и
(E/l)ст/(E/l)Ti =1.77 раз.
Кроме того, целесообразно сравнить характе-
ристики концентраторов при их работе на пре-
дельных режимах. Предельные амплитуды X0
устанавливаем, исходя из пределов выносливо-
сти σ−1 для сплава ВТ3-1 и стали 45, полу-
ченных экспериментально при высокочастотном
нагружении. Так, для ВТ3-1 на базе 108 ци-
клов нагружения при частоте 10 кГц получено
σ−1 =360 МПа [15], а для стали 45 при тех же усло-
виях – σ−1 =280 МПа [16]. Из распределения де-
В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон 9
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
формацийX′(x) при x=0÷1 (они заданы выраже-
нием (23)) установлен их максимум при x=0.838.
Отсюда (X′)max =182.363A=(0.02X0)·182.363. По-
скольку связь напряжений с деформациями уста-
новлена соотношением
σ = EW ′(x) = Eε = E
dX
dx∗
(28)
(здесь x∗=xl – абсолютная координата), то для
опасного сечения x=0.838 справедливо
σmax = 3.64726X0
E
l
.
Отсюда, приравнивая σmax и предел выно-
сливости, получим предельно допустимые
значения [X0]=0.189 мм для сплава ВТ3-1 и
[X0]=0.0836 мм для стали 45. Из сравнения по
предельно допустимым значениям [X0] заключаем
о том, что максимально допустимая амплитуда
для титанового концентратора существенно (в
2.26 раза) превосходит аналогичную характе-
ристику стального. Сравнивая энергетические
характеристики при X0 =0.0836 (см. табл. 1),
убеждаемся также в экономичности титанового
концентратора: потребляемая им энергия меньше
в 1.77 раза, рассеиваемая энергия – в 8.2 раза, а
коэффициент рассеивания энергии – в 4.62 раза.
Концентратор К2 характеризуется следую-
щим законом изменения диаметра:
D(x) = D0×
× x
cos cx(a− cx) + (1 + acx) sin cx
,
x = α÷ β.
(29)
Форма колебаний и ее производная, удовлетво-
ряющие уравнению (1) и граничным условиям
X′(α)=X′(β)=0 для данного профиля, выража-
ются в виде
X(x) = A[λ2UZ + U ′Z′], (30)
X′(x) = Ak2UZ′, (31)
где
U = (a − cx) cos cx+ (1 + acx) sin cx;
U ′ = c2x(a cos cx+ sin cx);
Z =
1
x
[λα cosλ(x − α) + sinλ(x − α)];
Z′ =
1
x2
[λ(x− α) cosλ(x − α)−
−(λ2αx+ 1) sinλ(x − α)];
λ2 = k2 + c2; k = 2πfl
√
ρ/E ;
(32)
α, β, a, c, D0, A – произвольные постоянные коэф-
фициенты, причем β−α=1.
Если X(x=β)=X0 , где X0 – численное значение
амплитуды, которая может быть измерена при эк-
сперименте на свободном конце концентратора, то
из выражения (30) получим
A =
X0
λ2U(β)Z(β) + U ′(β)Z′(β)
.
Если принять, что D(x=α)=D, то из зависимо-
сти (29) следует
D0 =
d
α
[cos cα(a− cα) + (1 + acα) sin cα].
Выбирая произвольным образом значения посто-
янных α, a, c, получаем различные конфигу-
рации концентраторов, в частности и те, при
которых коэффициент усиления M=X(β)/X(α)
соответствует некоторой определенной величине.
В рассматриваемом случае необходимо обеспе-
чить M =30.11≈30, что достигается при c=3.5;
α=0.02; a=0.02; λ=4.4055. При найденном λ и
принятом c имеем k=
√
λ2−c2 =2.6755. В этом слу-
чае A=−0.019X0, D0 =1.00816d.
Конфигурация и характерные размеры концен-
тратора данного типа, рассчитанного на часто-
ту 11 кГц, приведены на рис. 2, б, где, согласно
выражений (32), l = 194.8 мм для сплава ВТ3-
1 и l = 195.7 мм для стали 45 при габаритном
Dmax =60 мм и присоединительном d=20.7 мм ди-
аметрах.
С учетом установленных параметров соотноше-
ния (6) и (7) запишутся в виде
W =
πE
8l
(0.019X0)
2(1.00816d)2×
×k4
1.02
∫
0.02
(UZ′D∗)2dx,
(33)
10 В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
6
0
1
3
l
)(xX
l3616.0
0X
l8382.0
)(xX
maxX
l068.0
l
2
0
.7
6
0
7
.8
)(xX
)(xX
0X
l297.0
l66.0
maxX
а б
Рис. 2. Конфигурации концентраторов, формы колебаний X(x) и деформации X ′(x):
а – К1; б – К2
Табл 2. Значения объема V , а также величин W (Дж), ∆W (Дж), ∆W/W
в зависимости от амплитуды X0 свободного конца концентратора К2
N X0, мм Сплав ВТ3-1∗ Сталь 45∗∗
W × 10−2 ∆W × 10−2 ∆W/W W × 10−2 ∆W × 10−2 ∆W/W
1 0.05 4.395 0.013144 2.99 · 10−3 7.7925 0.07625 9.785 · 10−3
2 0.0836 12.2866 0.041785 3.4 · 10−3 21.7846 0.31345 1.439 · 10−2
3 0.1 17.580 0.06252 3.56 · 10−3 31.17 0.513 0.01646 · 10−2
4 0.1205 25.526 0.09512 3.726 · 10−3 45.2596 0.8567 1.893 · 10−2
5 0.15 39.555 0.15570 3.936 · 10−3 70.1325 1.5644 2.23 · 10−2
6 0.189 62.798 0.26188 4.17 · 10−3 111.342 2.95372 2.6528 · 10−2
7 0.2 70.320 0.29742 4.229 · 10−3 124.68 3.4509 2.77 · 10−2
8 0.25 109.875 0.49139 4.47 · 10−3 194.81 6.3743 3.272 · 10−2
9 0.273 131.022 0.59900 4.57 · 10−3 232.307 8.1198 3.495 · 10−2
10 0.3 158.220 0.74060 4.68 · 10−3 280.53 10.524 3.75 · 10−2
∗ n=1.25; η=0.025; ETi=1.14 · 105 МПа; объем V =138.3 см3;
∗∗ n=1.75; η=1.6; Eст =2.03 · 10
5 МПа; объем V =138.9 см3.
В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон 11
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
∆W =
ηNEπ
4ln
(0.019X0)
n+1(1.00816d)2×
×k2(n+1)
1.02
∫
0.02
(−UZ′)n+1(D∗)2dx,
(34)
гдеD∗ – выражение (29) без множителяD0. Объем
концентратора К2 определяется как
V =
πl
4
(1.00816d)2
1.02
∫
0.02
(D∗)2dx. (35)
После внесения в формулы (33) – (35) всех тре-
буемых параметров и вычисления интегралов по-
лучим результаты, приведенные в табл. 2. Сравне-
ние этих данных свидетельствует о существенном
превышении (на 2÷3 порядка) рассеяния энергии
в стальном концентраторе по сравнению с титано-
вым. При этом отношение масс и энергий такое
же, как и у концентратора К1.
Так же, как и для концентратора К1, устано-
вим предельные амплитуды X0 для концентрато-
ра К2. Из распределения деформаций X′(x) при
x=0.02÷1.02, используя выражение (31), нетру-
дно определить, что их максимум при x=0.68 ра-
вен (X′)max =(0.019X0)·117.471. Поскольку связь
напряжений с деформациями вновь дается соот-
ношением (28), то для опасного сечения x=0.68
имеем
σmax = 2.23195
X0E
l
.
Приравнивая σmax и предел выносливости на базе
108 циклов нагружения, получим предельно допу-
стимые значения [X0]=0.273 мм для сплава ВТ3-1
и [X0]=0.1205 мм для стали 45.
Сравнивая полученные значения, вновь заклю-
чаем, что максимально допустимая амплитуда
для титанового концентратора существенно (в
2.26 раза) превосходит аналогичную характери-
стику стального, как и для концентратора К1.
Из сравнения энергетических характеристик при
X0 =0.1205 (см. табл. 2) для двух материалов кон-
центратора следует, что потребляемая энергия ти-
танового концентратора меньше в 1.77 раза, рас-
сеиваемая – в 9 раз, коэффициент рассеивания
энергии – в 5 раз, т. е. относительные характери-
стики примерно таковы же, как и для концентра-
тора К1.
Таким образом, взаимное сопоставление концен-
траторов из титанового сплава и углеродистой
стали позволяет в данном случае сделать заклю-
чение о нецелесообразности использования стали
для изготовления акустических концентраторов.
Выбирая лучший из двух титановых кон-
центраторов, К1 и К2, сразу же приходим к
выводу о явном преимуществе К2 по предель-
ной амплитуде перемещений [X0] (отношение
[X0]2/[X0]1=0.273/0.189=1.44) и весу (отношение
V1/V2 =138.3/78.59=1.76). Как и ранее, сравнение
энергетических показателей проводим при оди-
наковой амплитуде X0 =0.189 мм, являющейся
предельной для худшего из концентраторов,
К1. Из табл. 1 и 2 имеем: W1 =88.302·10−2 Дж,
∆W1 =0.374·10−2 Дж, (∆W/W )1 =4.23·10−3;
W2 =62.798·10−2 Дж, ∆W2 =0.26188·10−2 Дж,
(∆W/W )2 =4.17·10−3. Как видим, при исполь-
зовании титанового сплава ВТ3-1 потребляемая
К1 энергия выше в 1.406 раза, а рассеивае-
мая – в 1.43 раза по сравнению с К2. Согласно
выражению (20), при n1 =n2 =1.25 получим
(y01
)Ti
(y02
)Ti
= 1.25
√
(∆W )2
(∆W )1
= 0.752.
Сравнение стальных концентраторов К1
и К2 между собой (n1 =n2 =1.75) при
X0 =0.0836 мм дает следующие результаты:
W1 =30.637·10−2 Дж, ∆W1 =0.48897·10−2 Дж,
(∆W/W )1 =1.596·10−2; W2 =21.7846·10−2 Дж,
∆W2 =0.31345·10−2 Дж, (∆W/W )2 =0.01439.
Отсюда W1/W2 =1.406 и ∆W1/∆W2 =1.55. Тогда
по формуле (20) определим
(y01
)ст
(y02
)ст
= 1.75
√
(∆W )2
(∆W )1
= 0.775.
Этот результат позволяет предположить, что
отношение резонансных амплитуд концентраторов
К1 и К2 мало зависит от типа материала и опре-
деляется, главным образом, их геометрией.
4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Для проверки установленных теоретических по-
ложений и выводов изготовлено два концентрато-
ра из титанового сплава ВТ3-1 (рис. 2), предна-
значенных для использования в составе магнито-
стрикционной установки (рис. 3) с рабочей часто-
той 11 кГц, которая работает в Институте проблем
прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины.
Цель эксперимента – проверить реальное усиле-
ние, обеспечиваемое изготовленными концентра-
торами, и их эффективность при различных ре-
жимах нагружения. Установка работает следую-
щим образом. Сигнал требуемой частоты с гене-
ратора 9 подается на вход усилителя 8 и от него –
12 В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
в обмотку магнитострикционного преобразовате-
ля 5, в одну из секций которого подается также по-
стоянный ток силой 10÷15 А из источника 7 (для
обеспечения постоянного подмагничивания). Ча-
стота колебаний контролируется электронным ча-
стотомером 10, а выходное напряжение усилителя
Uвых – вольтметром 11. При определенном уров-
не нагрузки (параметр Uвых) и резонансной ча-
стоте, устанавливаемой с помощью генератора 9,
механические колебания преобразователя усили-
ваются стационарным концентратором 4 и оконча-
тельно – сменным исследуемым концентратором 1.
Контроль резонансных амплитуд осуществляется
с помощью микроскопов 2 или 3. Для повышения
надежности и облегчения контроля амплитуд на
контрольной поверхности абразивным инструмен-
том создаются точечные метки, которые при сфо-
кусированном освещении наблюдаются в виде яр-
ких светящихся точек. Эти точки при колебаниях
превращаются в неподвижные вертикальные ли-
нии, длина которых, за вычетом диаметра точки,
и будет равна удвоенной амплитуде (размаху) ре-
зонансных колебаний системы.
Для проверки усиления исследуемых концен-
траторов 1 с помощью микроскопов 2 и 3 измеря-
лись “одновременно” амплитуды y(0) и y(l) (рис. 4)
в зависимости от Uвых. Поскольку амплитуды
основания концентратора y(0) на данной уста-
новке весьма незначительны (размах колебаний
2y(0) порядка (5÷10)·10−3 мм), то для их изме-
рения применялся микроскоп типа “Школьный”,
обеспечивающий большие увеличения: 120, 300,
600, 1350×. Для измерения амплитуд на свобо-
дном конце y(l) использовался микроскоп типа
МБС-2, диапазон увеличения которого составляет
3.5÷88×. Заметим, что при проверке концентрато-
ра К2 (рис. 2, б) вместо y(0) измерялись амплиту-
ды на выступающей габаритной части диаметром
60 мм (при x=0.068l), практически не отличаю-
щиеся от y(0), что следует из рассмотрения формы
колебаний X(x) (рис. 2, б).
Также отметим, что в данном сравнительном эк-
сперименте в микроскопе 3 использовался объе-
ктив 20× и окуляр 15× с ценой деления изме-
рительной шкалы 5.5 · 10−3 мм, а в микроско-
пе 2 – объектив 2× и окуляр 8× с ценой деления
4.05 · 10−2 мм. Из результатов измерений, приве-
денных в табл. 3, следует, что расчетный коэф-
фициент усиления M=X(l)/X(0)=30 практичес-
ки совпадает с экспериментальным y(l)/y(0) (их
отличие составляет в среднем не более 2÷4 %).
Что касается проверки соотношения (20), то ме-
рой рассеивания энергии может служить напря-
жение Uвых, подводимое к преобразователю, и ве-
)0(X
)(lX
0)(xX
5
6
1
2 3
4
7
8 9
1011
Рис. 3. Схема магнитострикционной установки:
1 – концентратор съемный; 2, 3 – микроскопы; 4 –
концентратор стационарный; 5 – магнитострикционный
преобразователь; 6 – бак системы охлаждения; 7 – источник
подмагничивания; 8 – мощный усилитель; 9 – звуковой
генератор; 10 – частотомер; 11 – вольтметр
50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 ),(2 ly
,U
100
150
200
1
2
Рис. 4. Экспериментальные зависимости
резонансных амплитуд от нагрузки:
1 – К1; 2 – К2
V
max
)0(y
)(ly
Рис. 5. Экспериментальная установка
для определения разогрева концентраторов
В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон 13
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
Табл 3. Результаты измерения резонансных амплитуд колебаний
N Тип Резонансная Размах колебаний, мм Uвых, В y(l)/y(0)
конц-ра частота, кГц 2y(0) 2y(l)
1 0.0055 0.162 50 29.45
2 К1 10.9 0.006875 0.2025 100 29.45
3 0.00825 0.243 150 29.455
4 0.009625 0.2835 200 29.45
1 0.0066 0.18225 40 27.6
2 К2 10.7 0.00715 0.2025 50 28.32
3 0.099 0.2835 100 28.636
4 0.011 0.324 150 29.455
Табл 4. Зависимость резонансных амплитуд
на тонком конце концентраторов от нагрузки Uвых
Uвых 40 В 50 В 100 В 150 В 200 В
y1, мм 0.14 0.162 0.2025 0.243 0.2835
y2, мм 0.18225 0.2025 0.2835 0.324 0.38
y1/y2 0.768 0.8 0.71 0.75 0.746
Табл 5. Зависимость температуры нагрева и рассеяния энергии от амплитуды колебаний
N Тип конц-ра, 2y0, Время Число Uвых, t в конце ∆t, ∆W × 10−2 y0/[y0]×
частота, кГц, мм работы, циклов, В эксп-та, ◦C Дж ×100 %
[y0], мм мин N ◦C
1 0.2092 17 107 170 50 10 0.12 55.3
2 К1, 0.2292 13 8.58 · 106 215 55 12 0.164 60.6
3 10.9, 0.2591 1.05 6.93 · 105 220 27 4 0.172 68.5
4 0.189 0.1993 17 107 230 40 10 0.119 52
5 0.2391 6.27 4.09 · 106 220 50 5 0.145 63.2
6 0.2192 17 107 220 50 11 0.13145 58
1 0.2292 17.33 ≈ 107 100 27 7 0.0837 41.9
2 К2, 0.2441 7.33 4.73 · 106 100 24 4 0.101 44.7
3 10.7, 0.2590 2 1.29 · 106 150 22 1.3 0.12 47.4
4 0.273 0.2391 17 107 70 30 9 0.10764 43.8
5 0.2690 2.25 1.45 · 106 100 22 1.5 0.124 49.2
6 0.279 1.417 9.095 · 105 100 22 1.0 0.1315 51
14 В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
0 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 ,2 0y
0.1
0.2
,10 2W
1
2
Рис. 6. Экспериментальные значения ∆W в зависимости от размаха амплитуды 2y0:
1 – К1; 2 – К2
личиной которого в конечном счете будет опре-
деляться эффективность работы концентраторов
К1 и К2. На рис. 4 представлены зависимости
Uвых−2y(l) для К1 и К2 с целью проверки выра-
жения (20), построенные по данным табл. 3. Та-
ким образом, снимая с рис. 4 данные об 2y1, 2y2
при фиксированных уровнях напряжения Uвых и
пользуясь табл. 3, можно образовать их отноше-
ния, которые представлены в табл. 4. Среднее
арифметическое представленных результатов дает
y1/y2 =0.7548, что мало отличается от полученно-
го расчетного результата y1/y2 =0.752.
Сравнение эффективности концентраторов К1
и К2 проведено также в процессе их эксплуата-
ции путем проверки нагрева и стабильности рабо-
ты при длительном нагружении. Обнаружен бо-
лее сильный нагрев концентратора К1 по срав-
нению с К2 при тех же значениях Uвых. Причи-
на этого состоит в том, что К2 работает с боль-
шим запасом по амплитуде (y2 более удалены от
предельной амплитуды для К2, равной 0.273 мм,
чем y1 – от предельного значения для К1, равного
0.189 мм). Поэтому для К1 ∆W2−2y0 ближе к пре-
дельному значению рассеивания энергии, которое
вызывает интенсивный разогрев. Следовательно,
критерием эффективности может служить удале-
ние рабочих амплитуд от значений, соответствую-
щих пределу выносливости. Таким образом, рас-
сеяние энергии действительно является важней-
шим фактором, определяющим работоспособность
концентратора. Количественная оценка разогре-
ва определялась после замера температуры воды,
в которую были погружены работающие концен-
траторы. Измерения проводились перед первым
включением устройств и после некоторого фикси-
рованного времени работы в составе ультразвуко-
вой установки. Вода заливалась в специально изго-
товленную пластиковую емкость объемом 280 мл,
упруго закрепленную на узле колебаний концен-
тратора (рис. 5).
Температура воды измерялась в районе дей-
ствия максимальных напряжений с помощью тер-
мопары. При этом значения рассеиваемой энергии
были вычислены по известной формуле [2,16], пре-
образованной к виду
∆W =
Q
tf
=
c(ρV )∆T
N
,
где Q – количество тепла, выделяемое в концен-
траторе за время t; f – частота установившихся
резонансных колебаний концентратора; c, ρ – те-
плоемкость и плотность воды соответственно; V –
объем воды в емкости; ∆T =∆t◦C – разность тем-
ператур воды в начале и конце эксперимента; N –
число циклов нагружения. Отметим, что для воды
cρ=1 кал/см
3 ·град=0.427·103 кг·мм/см
3 ·град.
Данные для ∆W приведены в табл. 5. По ним
построены экспериментальные зависимости
∆W−2y0 (рис. 6), из которых следует, что отно-
шение ∆W2/∆W2, равное здесь в среднем 1.48,
удовлетворительно согласуется с теоретическим
1.428.
Экспериментальные данные для ∆W также на-
несены на расчетные зависимости ∆W−2X0, по-
строенные по данным табл. 1, 2 (рис. 7). Из этого
графика видно, что результаты эксперимента хо-
рошо согласуются с расчетными кривыми, что в
целом свидетельствует о достаточной надежности
теоретических результатов и подходов, использо-
ванных в данном исследовании.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Разработана методика расчета акустических
концентраторов перемещений с учетом гисте-
резисных потерь энергии.
В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон 15
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 3 – 16
,2 0X
,10 2W
0 0.1 0.2 0.3
0.1
0.2
2
1
Рис. 7. Расчетные зависимости
и экспериментальные результаты для ∆W :
� – К1; • – К2
2. На примере двух новых типов концентрато-
ров показана эффективность этой методики
путем сравнения полученных теоретических
расчетных результатов с данными проведен-
ного технического эксперимента. Схема расче-
та энергетических характеристик концентра-
тора, предложенная в статье, отличается про-
стотой и может быть без ограничений исполь-
зована для акустических концентраторов лю-
бых типов – как известных конструкций, так
и вновь разработанных.
1. Трапезон К. А. Метод симметрий при расчете и
проектировании акустических концентраторов //
Акуст. вiсн.– 2006.– 9, N 4.– С. 50–55.
2. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В.
Вибропоглощающие свойства конструкционных
материалов.– К.: Наук. думка, 1971.– 376 с.
3. Рейнер М. Реология.– М.: Наука, 1965.– 224 с.
4. Пановко Я. Г. Состояние и перспективы пробле-
мы учета гистерезиса в прикладной теории коле-
баний // Тр. науч.-техн. совещ. по изуч. рассеяния
энергии при колебаниях упругих тел.– К.: Изд-во
АН УССР, 1958.– С. 14-21.
5. Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях
упругих систем.– М.: Физматгиз, 1960.– 196 с.
6. Богомолов С. И., Симсон Э. А. Оптимизация ме-
ханических систем в резонансных режимах.– Х.:
Вища школа, 1983.– 151 с.
7. Давиденков Н. Н. О рассеянии энергии при вибра-
циях // ЖТФ.– 1938.– 8, N 6.– С. 15–21.
8. Писаренко Г. С. Рассеяние энергии при механи-
ческих колебаниях.– К.: Изд-во АН УССР, 1962.–
436 с.
9. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле.–
М.: Физматгиз, 1959.– 440 с.
10. Хронин Д. В. Теория и расчет колебаний в двига-
телях летательных аппаратов.– М.: Машинострое-
ние, 1970.– 412 с.
11. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Приложение мето-
дов нелинейной механики к теории стационарных
колебаний.– К.: Изд-во АН УССР, 1934.– 142 с.
12. Сорокин Е. С. Замкнутое решение задачи о выну-
жденных колебаниях стержней с гистерезисом //
Исследования по теории сооружений.– 1949.– N 4.–
С. 34–38.
13. Пановко Я. Г. Об учете гистерезисных потерь в
задачах прикладной теории упругих колебаний //
ЖТФ.– 1953.– 23, N 3.– С. 23–29.
14. Бабаков И. М. Теория колебаний.– М.: Дрофа,
2004.– 591 с.
15. Афонин А. И. Исследование выносливости хроми-
стых сталей и никелевых сплавов при высокоча-
стотном растяжении-сжатии в условиях высоких
температур / Автореф. дис. канд. техн. наук.– К.:
ИПМ АН УССР, 1972.– 22 с.
16. Кузьменко В. А., Шевчук А. Д., Писаренко Г. Г.,
Троян И. А. и др. Усталостные испытания на высо-
ких частотах нагружения.– К.: Наук. думка, 1979.–
336 с.
16 В. Г. Абакумов, К. А. Трапезон
|