Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя
Решена неоднородная граничная задача о возбуждении системой объемных и поверхностных нагрузок гармонических ультразвуковых волн в полых и сплошных изотропных цилиндрах кругового поперечного сечения. На основе полученных решений, представленных в форме разложений по нормальным волнам, построена матем...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1034 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя / О. Н. Петрищев // Акустичний вісник. — 2007. — N 1. — С. 54-68. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1034 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-10342008-07-16T12:00:14Z Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя Петрищев, О.Н. Решена неоднородная граничная задача о возбуждении системой объемных и поверхностных нагрузок гармонических ультразвуковых волн в полых и сплошных изотропных цилиндрах кругового поперечного сечения. На основе полученных решений, представленных в форме разложений по нормальным волнам, построена математическая модель ультразвукового преобразователя электромагнитного типа. Исследованы особенности процесса возбуждения нормальных волн в металлических стержнях в широком диапазоне частот. Розв'язано неоднорідну граничну задачу про збудження системою об'ємних і поверхневих навантажень гармонічних ультразвукових хвиль у порожнистих і суцільних ізотропних циліндрах кругового поперечного перерізу. На основі отриманих розв'язків, представлених у формі розкладів за нормальними хвилями, побудовано математичну модель ультразвукового перетворювача електромагнітного типу. Досліджені особливості процесу збудження нормальних хвиль у металевих стержнях у широкому діапазоні частот. The paper deals with solving the non-uniform boundary problem on exciting the harmonic ultrasonic waves in the hollow and solid isotropic cylinders with the circular cross-section by a system of volume and surface loads. The mathematical model of the electromagnetic ultrasonic transducer has been developed on the basis of expansion in terms of the normal waves. The peculiarities of the normal wave excitation process in the metal rods have been studied in a wide frequency range. 2007 Article Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя / О. Н. Петрищев // Акустичний вісник. — 2007. — N 1. — С. 54-68. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1034 534.213:534.232.74 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Решена неоднородная граничная задача о возбуждении системой объемных и поверхностных нагрузок гармонических ультразвуковых волн в полых и сплошных изотропных цилиндрах кругового поперечного сечения. На основе полученных решений, представленных в форме разложений по нормальным волнам, построена математическая модель ультразвукового преобразователя электромагнитного типа. Исследованы особенности процесса возбуждения нормальных волн в металлических стержнях в широком диапазоне частот. |
| format |
Article |
| author |
Петрищев, О.Н. |
| spellingShingle |
Петрищев, О.Н. Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя |
| author_facet |
Петрищев, О.Н. |
| author_sort |
Петрищев, О.Н. |
| title |
Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя |
| title_short |
Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя |
| title_full |
Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя |
| title_fullStr |
Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя |
| title_full_unstemmed |
Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя |
| title_sort |
электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. часть 1. расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1034 |
| citation_txt |
Электромагнитное возбуждение ультразвуковых продольных волн в изотропных металлических цилиндрах. Часть 1. Расчет амплитудных множителей нормальных волн и определение частотной характеристики ультразвукового преобразователя / О. Н. Петрищев // Акустичний вісник. — 2007. — N 1. — С. 54-68. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT petriŝevon élektromagnitnoevozbuždenieulʹtrazvukovyhprodolʹnyhvolnvizotropnyhmetalličeskihcilindrahčastʹ1rasčetamplitudnyhmnožitelejnormalʹnyhvolniopredeleniečastotnojharakteristikiulʹtrazvukovogopreobrazovatelâ |
| first_indexed |
2025-07-02T04:34:53Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:34:53Z |
| _version_ |
1836508400915054592 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
УДК 534.213:534.232.74
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ
УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН
В ИЗОТРОПНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ.
ЧАСТЬ 1. РАСЧЕТ АМПЛИТУДНЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ
НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ УЛЬТРАЗВУКОВОГО
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
О. Н. П ЕТР И ЩЕВ
Национальный технический университет Украины “КПИ”, Киев
Получено 24.10.2006
Решена неоднородная граничная задача о возбуждении системой объемных и поверхностных нагрузок гармониче-
ских ультразвуковых волн в полых и сплошных изотропных цилиндрах кругового поперечного сечения. На основе
полученных решений, представленных в форме разложений по нормальным волнам, построена математическая мо-
дель ультразвукового преобразователя электромагнитного типа. Исследованы особенности процесса возбуждения
нормальных волн в металлических стержнях в широком диапазоне частот.
Розв’язано неоднорiдну граничну задачу про збудження системою об’ємних i поверхневих навантажень гармонiчних
ультразвукових хвиль у порожнистих i суцiльних iзотропних цилiндрах кругового поперечного перерiзу. На основi
отриманих розв’язкiв, представлених у формi розкладiв за нормальними хвилями, побудовано математичну модель
ультразвукового перетворювача електромагнiтного типу. Дослiдженi особливостi процесу збудження нормальних
хвиль у металевих стержнях у широкому дiапазонi частот.
The paper deals with solving the non-uniform boundary problem on exciting the harmonic ultrasonic waves in the hollow
and solid isotropic cylinders with the circular cross-section by a system of volume and surface loads. The mathematical
model of the electromagnetic ultrasonic transducer has been developed on the basis of expansion in terms of the normal
waves. The peculiarities of the normal wave excitation process in the metal rods have been studied in a wide frequency
range.
ВВЕДЕНИЕ
Электромагнитный (бесконтактный) способ воз-
буждения ультразвуковых волн в металлических
цилиндрах используется при неразрушающем те-
стировании стержней и труб [1], в ультразвуко-
вых первичных преобразователях систем электри-
ческого измерения неэлектрических величин [2,3],
лабораторных макетах и установках по изучению
материальных констант металлов [4, 5].
Неразрушающий контроль металлических изде-
лий предполагает достоверную фиксацию самого
факта присутствия или отсутствия дефекта. При
этом, естественно, пытаются реализовать условия,
при которых достоверно определяются дефекты
минимальных размеров. Последнее становится во-
зможным лишь при использовании высокочасто-
тных (коротковолновых) излучателей и приемни-
ков ультразвуковых волн.
При разработке ультразвуковых трактов пер-
вичных преобразователей систем электрического
измерения неэлектрических величин на первый
план выходит точность первичного преобразова-
ния физической характеристики. В этой группе
устройств измеряемая величина (сила, давление,
момент сил, крутящий момент) трансформиру-
ется в перемещение, и строго пропорционально
ему изменяется расстояние между излучателем и
приемником ультразвуковых импульсов. В пер-
вом приближении можно говорить, что измеря-
емые механические величины (в том числе, ли-
нейные и угловые перемещения, скорости и уско-
рения) преобразуются в интервал, длительность
которого равна времени, за которое ультразвуко-
вой импульс пробегает расстояние между излу-
чателем и приемником. Точность преобразования
при этом определяется степенью линейности зави-
симости между временем распространения и рас-
стоянием, пройденным ультразвуковым импуль-
сом. В действительности время распространения
ультразвукового импульсного сигнала достаточно
сложным нелинейным образом зависит от прой-
денного им пути. Этот феномен был замечен еще
при конструировании многоотводных линий за-
держки электрических сигналов [6]. Как пробле-
ма прикладного характера этот факт обсуждался
54 c© О. Н. Петрищев, 2007
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
в статье [7]. Основными причинами того, что ско-
рость распространения ультразвукового импульса
(волнового пакета) зависит от величины пройден-
ного им расстояния, являются частотная диспер-
сия скоростей распространения отдельных его спе-
ктральных составляющих и частотно-зависимое
внутреннее трение, которое в той или иной степени
присуще всем без исключения материалам. Уро-
вень проявления дисперсионных искажений опре-
деляется шириной полосы частот, в пределах ко-
торой происходит эффективное возбуждение уль-
тразвуковых волн, т. е. параметрами частотной ха-
рактеристики ультразвукового излучателя.
Математическое моделирование ультразвуко-
вых трактов лабораторных макетов для экспери-
ментального исследования физико-механических
параметров материалов практически не отличае-
тся по целевым установкам от теоретических ис-
следований первичных преобразователей. Причи-
на такого совпадения очевидна – основными ин-
формационными параметрами в ультразвуковых
исследованиях материальных констант являются
амплитудные значения, скорость распространения
ультразвукового импульса и коэффициент зату-
хания. Адекватная реальному объекту математи-
ческая модель ультразвукового преобразователя
электромагнитного типа позволяет исключить из
результатов измерения скоростей и коэффициен-
тов затухания эффекты, вносимые измеритель-
ным прибором, т. е. ультразвуковым трактом, что
резко увеличивает практическую и научную цен-
ность экспериментальных данных.
Приведенных примеров вполне достаточно для
вывода о практической значимости математиче-
ских моделей ультразвуковых преобразователей
вообще и, в частности, ультразвуковых преобразо-
вателей электромагнитного типа, применяющихся
для бесконтактного возбуждения упругих волн в
металлических стержнях.
Несмотря на то, что достаточно регулярно появ-
ляются публикации, в которых описываются пра-
ктические применения преобразователей электро-
магнитного типа для возбуждения и приема упру-
гих волн в металлических стержнях (см., напри-
мер, [8 – 10]), можно утверждать, что в настоя-
щее время отсутствуют аналитические констру-
кции, которые бы позволили выполнять расчет их
частотных характеристик. В работе [11] показа-
но, что теоретической основой для построения ма-
тематических моделей преобразователей в режи-
ме возбуждения ультразвуковых колебаний явля-
ются результаты решения соответствующей гра-
ничной задачи о возбуждении гармонических волн
системой внешних сил, распределенных в объеме и
zie)(u zie)(u2
z1-
O
A-A
Рис. 1. К описанию нормальных волн
в полом изотропном цилиндре
по поверхности некоторой области. Электромагни-
тный способ возбуждения ультразвуковых волн в
цилиндрах стал практически значимым сравни-
тельно недавно. Этим объясняется отсутствие пу-
бликаций, содержащих результаты решения дан-
ной граничной задачи. Неразработанность мате-
матических моделей ультразвуковых преобразова-
телей электромагнитного типа и теоретической ба-
зы для их построения объясняет целевую установ-
ку данного исследования.
Целью статьи является решение задачи о воз-
буждении гармонических продольных волн в изо-
тропных цилиндрах системой объемных и поверх-
ностных нагрузок и построение на этой основе фи-
зически содержательной модели ультразвукового
преобразователя электромагнитного типа.
1. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ ОСЕ-
СИММЕТРИЧНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ ГАРМО-
НИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В БЕСКОНЕЧНЫХ
ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРАХ КРУГОВОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Предположим, что полый изотропный цилиндр
в области −A≤z≤A (рис. 1) нагружен гармони-
чески изменяющимися во времени по закону eiωt
внешними силами (i=
√
−1; ω – круговая частота;
t – время). Будем считать, что амплитуда гармони-
чески изменяющегося во времени вектора объем-
ной плотности ~f∗ внешних сил полностью опреде-
ляется радиальной f∗
ρ (ρ, z) и аксиальной f∗
z (ρ, z)
компонентами, которые не зависят от значений
окружной координаты θ. На поверхностях ρ=αk
(k=1, 2) области нагружения −A≤z≤A ампли-
тудные значения внешних сил заданы поверхно-
стными плотностями σ∗
ρβ(αk, z) (β=ρ, z, k=1, 2),
которые, подобно объемным нагрузкам, не зави-
сят от окружной координаты ρ.
При выполнении последующих вычислений бу-
О. Н. Петрищев 55
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
дем рассматривать левую и правую границы
(z=∓A) области нагружения не как фиксирован-
ное поперечное сечение, а как физическую беско-
нечность для расположенного в срединной части
области источника внешних сил. Порядок вели-
чины параметра A определяется из условия су-
щественной малости внешних сил в ближайшей
окрестности плоскости z=∓A по сравнению с их
значениями в центральной зоне области нагру-
жения. Если в качестве источника деформаций
металлического стержня используется переменное
магнитное поле катушки, которая располагается
на одной оси со стержнем, то на расстоянии трех
длин катушки от плоскости зеркальной симметрии
z=0 напряженность переменного магнитного поля
уменьшается более, чем на два порядка по сравне-
нию с напряженностью в сечении z=0. Поэтому
величина A для этого источника имеет порядок
трех длин катушки. На расстояниях свыше трех
длин можно не учитывать возмущения деформи-
рованного состояния металлического стержня ма-
гнитным полем катушки и тем самым, фактиче-
ски, декларировать, что источник возмущений на-
ходится бесконечно далеко от точки наблюдения.
В результате воздействия внешних силовых
факторов f∗
β (ρ, z) и σ∗
ρβ(αk, z) (β=ρ, z; k=1, 2) в
металлическом стержне развиваются упругие сме-
щения материальных частиц от положения равно-
весия. Вектор смещения ~u(ρ, z, t)=~u(ρ, z)eiωt со-
держит компоненты uρ(ρ, z) и uz(ρ, z), которые
удовлетворяют уравнениям движения
(λ + 2G)
(
− 1
ρ2
uρ +
1
ρ
uρ,ρ + uρ,ρρ + uz,zρ
)
−
−G(−uρ,zz + uz,zρ) + ρ0ω
2uρ = f∗
ρ (ρ, z),
(1)
(λ + 2G)
(
1
ρ
uρ,z + uρ,zρ + uz,zz
)
−
−G
(
1
ρ
uρ,z −
1
ρ
uz,ρ + uρ,ρz − uz,ρρ
)
+
+ρ0ω
2uz = f∗
z (ρ, z)
(2)
и граничным условиям
[
(λ + 2G)uρ,ρ + λ
(
1
ρ
uρ + uz,z
)]∣
∣
∣
∣
ρ=
8
<
:
α1
α2
9
=
;
=
= σ∗
ρρ(ρ, z)
∣
∣
∣
∣
ρ=
8
<
:
α1
α2
9
=
;
,
(3)
G(uz,ρ + uρ,z)
∣
∣
∣
∣
ρ=
8
<
:
α1
α2
9
=
;
= σ∗
ρz(ρ, z)
∣
∣
∣
∣
ρ=
8
<
:
α1
α2
9
=
;
. (4)
В дифференциальных уравнениях (1) – (4), обра-
зующих неоднородную граничную задачу, приня-
ты следующие обозначения: λ и G – модули упру-
гости (константы Ламе); запятая в нижнем инде-
ксе означает дифференцирование выражения, сто-
ящего до запятой, по координате, индекс которой
проставлен после запятой; ρ0 – плотность матери-
ала.
Прежде чем приступать к решению граничной
задачи (1) – (4), определим собственные функции
(нормальные волны) изотропного полого цилин-
дра. Если боковые поверхности цилиндра не кон-
тактируют с другими материальными объектами,
то за пределами области нагружения могут суще-
ствовать только те формы волновых движений,
которые в объеме цилиндра удовлетворяют урав-
нениям (1) и (2) с нулевой правой частью, а на его
поверхности – третьему закону Ньютона в диффе-
ренциальной форме, т. е. σρρ(αk, z)=σρz(αk, z)=0.
Аналитическое описание нормальных волн наи-
более эффективно реализуется путем представле-
ния вектора смещения через градиент скалярного
и ротор векторного потенциалов. Руководствуясь
изложенными в монографии [12] методиками и ре-
комендациями, можно записать следующие анали-
тические определения осесимметричных продоль-
ных волн в цилиндре:
u0
β(ρ, z) =
U
(−)
β (ρ)e−iγz , z > A,
U
(+)
β (ρ)eiγz , z < −A.
(5)
Здесь β=ρ, z; uo
β(ρ, z) – собственные функции или
нормальные волны; U
(±)
β (ρ) – распределение сме-
щений по поперечному сечению цилиндра для
волн, уходящих влево (знак плюс) и вправо (знак
минус) от породившего их источника; γ – волновое
число. Функции U
(±)
β (ρ) определяются следующим
образом:
U
(±)
ρ (ρ) = −αA(±)J1(αρ) − αB(±)N1(αρ)±
±iγC(±)J1(βρ) ± iγD(±)N1(βρ),
(6)
U (±)
z (ρ) = ±iγA(±)J0(αρ) ± iγB(±)N0(αρ)−
−βC(±)J0(βρ) − βD0N
(±)(βρ),
(7)
где A(±), B(±), C(±) и D(±) – константы; Jν(x) и
Nν(x) (ν =0, 1; x=αρ, βρ) – функции Бесселя и Не-
ймана; α и β – проекции волновых векторов ~k`
56 О. Н. Петрищев
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
и ~ks на радиальную ось; |~k`|=ω/(v`); |~ks|=ω/vs;
v` =
√
(λ+2G)/ρ0 и vs =
√
G/ρ0 – скорости невзаи-
модействующих между собой продольных и сдви-
говых волн. При этом α2+γ2 =k2
` и β2+γ2 =k2
s.
Из граничных условий σρρ(αk, z)=σρz(αk, z)=0
следует, что на произвольно выбранной частоте ω
в изотропном полом цилиндре существуют про-
дольные осесимметричные смещения материаль-
ных частиц, определенные соотношениями (5) –
(7), тогда и только тогда, когда волновые числа
α, β и γ удовлетворяют условию
∆0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
m
(0)
11 m
(0)
12 m
(0)
13 m
(0)
14
m
(0)
21 m
(0)
22 m
(0)
23 m
(0)
24
m
(0)
31 m
(0)
32 m
(0)
33 m
(0)
34
m
(0)
41 m
(0)
42 m
(0)
43 m
(0)
44
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0, (8)
где
m
(0)
j1 =
γ2 − β2
2
J0(ααj) +
α
αj
J1(ααj);
m
(0)
j2 =
γ2 − β2
2
N0(ααj) +
α
αj
N1(ααj);
m
(0)
j3 = iγ
[
− 1
αj
J1(βαj) + βJ0(βαj)
]
;
m
(0)
j4 = iγ
[
− 1
αj
N1(βαj) + βN0(βαj)
]
;
m
(0)
q1 = −2iγαJ1(ααj);
m
(0)
q2 = −2iγαN1(ααj);
m
(0)
q3 = −(γ2 − β2)J1(βαj);
m
(0)
q4 = −(γ2 − β2)N1(βαj);
j = 1, 2; q = j + 2.
Опираясь на условие существования продоль-
ных осесимметричных волн (8), можно установить
аналитические связи между константами A(±),
B(±), C(±) и D(±) и записать соотношения (6)
и (7) с точностью до постоянного множителя A(±)
(в дальнейшем будем называть его амплитудным
множителем продольной волны) в следующем ви-
де:
U (±)
ρ (ρ) = αA
(±)
0
[
−J1(αρ) − ∆
(0)
12
∆
(0)
11
N1(αρ)+
+i
γ∆
(0)
13
α∆
(0)
11
J1(βρ) + i
γ∆
(0)
14
α∆
(0)
11
N1(βρ)
]
,
(9)
U (±)
z (ρ) = ±iγA
(±)
0
[
J0(αρ) +
∆
(0)
12
∆
(0)
11
N0(αρ)+
+i
β∆
(0)
13
γ∆
(0)
11
J0(βρ) + i
β∆
(0)
14
γ∆
(0)
11
N0(βρ)
]
.
(10)
Здесь ∆
(0)
1p (p=1, . . . , 4) – минор определителя (8),
получаемый путем вычеркивания первой строки и
p-го столбца. Для миноров определителя (8) спра-
ведливо следующее утверждение: если волновые
числа α, β и γ удовлетворяют условию существова-
ния осесимметричной продольной волны в полом
изотропном цилиндре (8), то имеют место комби-
национные соотношения следующего вида:
∆
(0)
12
∆
(0)
11
=
∆
(0)
22
∆
(0)
21
=
∆
(0)
32
∆
(0)
31
=
∆
(0)
42
∆
(0)
41
,
∆
(0)
13
∆
(0)
11
=
∆
(0)
23
∆
(0)
21
=
∆
(0)
33
∆
(0)
31
=
∆
(0)
43
∆
(0)
41
,
∆
(0)
14
∆
(0)
11
=
∆
(0)
24
∆
(0)
21
=
∆
(0)
34
∆
(0)
31
=
∆
(0)
44
∆
(0)
41
.
(11)
Прямыми вычислениями можно показать, что
ζ1 = lim
α1→0
∆
(0)
13
∆
(0)
11
= − 2iγJ1(αα2)
(γ2 − β2)J1(βα2)
,
ζ2 = lim
α1→0
∆
(0)
12
∆
(0)
11
= 0,
ζ3 = lim
α1→0
∆
(0)
14
∆
(0)
11
= 0.
(12)
Подставляя соотношения (12) в определения (9)
и (10), получаем выражения для расчета смеще-
ний в сплошном изотропном цилиндре кругового
поперечного сечения:
U (±)
ρ (ρ) = αA
(±)
0 ×
×
[
−J1(αρ) +
2γ2J1(αα2)
(γ2 − β2)J1(βα2)
J1(βρ)
]
,
(13)
О. Н. Петрищев 57
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
U (±)
z (ρ) = ±iγA
(±)
0 ×
×
[
J0(αρ) +
2αβJ1(αα2)
(γ2 − β2)J1(βα2)
J0(βρ)
]
.
(14)
Компоненты вектора смещения uβ(ρ, z) определя-
ются соотношением (5). Условие существования
продольных осесимметричных волн в сплошном
цилиндре получается из условия (8) предельным
переходом при α1→0. После его выполнения мож-
но записать, что волновые числа α, β и γ в спло-
шном цилиндре должны удовлетворять условию
∆0(0) =
2αk2
s
α2
J1(αα2)J1(βα2)−
−(γ2 − β2)2J0(αα2)J1(βα2)−
−4γ2αβJ1(αα2)J0(βα2) = 0.
(15)
Известно, что дисперсионное уравнение (15) на
любой частоте ω имеет бесконечное множество
корней γm, из которых только несколько явля-
ются действительными, т. е. оказываются волно-
выми числами распространяющихся продольных
волн [12]. Очевидно, что это положение справедли-
во и для корней дисперсионного уравнения (8).
На рис. 2, а показаны частотные спектры дей-
ствительных корней уравнения (15), а на рис. 2, б–
г – уравнения (8). Дополнительным параме-
тром служит величина ε=α1/α2 – относитель-
ный радиус полости цилиндра. По оси абсцисс
на рис. 2 отложены значения безразмерного вол-
нового числа ζ =γα2, а по оси ординат – без-
размерная частота Ω=ksα2. Штриховыми пря-
мыми показаны пять асимптот: ζ` =Ωvs/vR и
ζпл =Ωvs/vпл, где vст =vs
√
2(1+ν) – стержневая
скорость; vR – скорость поверхностных волн
Рэлея; vпл =vs
√
2/(1+ν) – пластиночная скорость.
Отчетливо видно, что с увеличением относитель-
ного радиуса полости происходит обеднение спе-
ктра волновых чисел, а вторая мода во все боль-
шем частотном диапазоне совпадает с асимптотой
ζпл. Начиная со значений ε=0.925, в интервале ча-
стот Ω≤40 остаются лишь две распространяющи-
еся продольные волны. Этот результат означает,
что анализ напряженно-деформированного состо-
яния в диапазоне частот Ω≤40 в полых цилиндрах
с относительным радиусом полости ε≥0.925 мож-
но выполнять на основе приближенных теорий ци-
линдрических оболочек [13]. Специфические осо-
бенности частотно-зависимого поведения первых
двух нормальных волн в полых цилиндрах иссле-
дованы в работе [14].
Общее решение граничной задачи (1) – (4), т. е.
компоненты вектора смещения uβ(ρ, z), будем
искать в виде суммы общего решения u0
β(ρ, z)
однородной граничной задачи, соответствующей
исходной задаче, и частного решения u∗
β(ρ, z) нео-
днородной граничной задачи (1) – (4):
uβ(ρ, z) = u0
β(ρ, z) + u∗
β(ρ, z), β = ρ, z. (16)
Предваряя последующие рассуждения, потребу-
ем, чтобы искомые решения uβ(ρ, z) удовлетворя-
ли условиям физической реализуемости, т. е. пре-
дельным условиям
lim
|z|→∞
[uβ(ρ, z), uβ,z(ρ, z)] = 0. (17)
Соотношение (17), декларирующее обращение в
нуль смещений и деформаций при бесконечном
удалении от источника возмущений, позволяет
применить для решения граничной задачи (1) – (4)
интегральное преобразование Фурье [15]. Опреде-
лим прямое и обратное интегральное преобразова-
ние Фурье следующей парой соотношений:
Vβ(ρ, γ) =
1
2π
∞
∫
−∞
uβ(ρ, z)e−iγzdz,
uβ(ρ, z) =
∞
∫
−∞
Vβ(ρ, γ)eiγzdγ,
(18)
где γ – параметр интегрального преобра-
зования, имеющий смысл волнового числа;
Vβ(ρ, γ)=V 0
β (ρ, γ)+V ∗
β (ρ, γ) – интегральный образ
искомого решения (16). Сообразно определе-
нию (18), введем интегральные образы внешних
нагрузок:
F ∗
β (ρ, γ) =
1
2π
∞
∫
−∞
f∗
β (ρ, z)e−iγzdz,
σ∗
ρβ(αk, γ) =
1
2π
∞
∫
−∞
σ∗
ρβ(αk, z)e−iγzdz.
(19)
Воздействуя на систему дифференциальных
уравнений (1) и (2) прямым интегральным пре-
образованием Фурье и учитывая при этом пре-
дельные условия (17), получаем следующую сис-
тему уравнений:
ρ2Vρ,ρρ + ρVρ,ρ +
[(
k2
` − γ2 k2
`
k2
s
)
ρ2 − 1
]
Vρ+
+iγρ
(
1 − k2
`
k2
s
)
Vz,ρ =
ρ2
λ + 2G
F ∗
ρ (ρ, γ),
(20)
58 О. Н. Петрищев
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
R
= 0,3
= 0,4
s
10 200
0
10
40
30
20
s
R
= 0,3
= 0,0
10 200
0
10
30
20
40
а б
= 0,3
= 0,6
R R
= 0,3
= 0,8
s
200
0
10
40
30
20
200
0
10
40
30
20
s
1010
в г
Рис. 2. Частотные спектры волновых чисел (коэффициент Пуассона материала ν=0.3)
iγρ
(
k2
s
k2
`
− 1
)
(Vρ + ρVρ,ρ) + ρ2Vz,ρρ+
+ρVz,ρ + k2
sρ2
(
1 − γ2
k2
`
)
Vz =
ρ2
G
F ∗
z (ρ, γ).
(21)
Прямой подстановкой выражений
V 0
ρ (ρ, γ) = −αAJ1(αρ) − αBN1(αρ)+
+iγCJ1(βρ) + iγDN1(βρ),
V 0
z (ρ, γ) = iγAJ0(αρ) + iγBN0(αρ)−
−βCJ0(βρ) − βDN0(βρ),
(22)
О. Н. Петрищев 59
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
где α=
√
k2
l −γ2 ; β=
√
k2
s−γ2 ; A, B, C и D – кон-
станты, можно показать, что соотношения (22)
обращают уравнения (20) и (21) в тождества при
F 0
ρ (ρ, γ)=F 0
z (ρ, γ)=0.
Определим частное решение системы уравне-
ний (20), (21) как
V ∗
ρ (ρ, γ) = −αA(ρ)J1(αρ) − αB(ρ)N1(αρ)+
+iγC(ρ)J1(βρ) + iγD(ρ)N1 (βρ),
V ∗
z (ρ, γ) = iγA(ρ)J0(αρ) + iγB(ρ)N0(αρ)−
−βC(ρ)J0(βρ) − βD(ρ)N0(βρ),
(23)
где функции A(ρ), B(ρ), C(ρ) и D(ρ) удовлетворя-
ют упрощающим последующие вычисления усло-
виям:
−αA′(ρ)J1(αρ) − αB′(ρ)N1(αρ)+
+iγC ′(ρ)J1(βρ) + iγD′(ρ)N1(βρ) = 0,
iγA′(ρ)J0(αρ) + iγB′(ρ)N0(αρ)−
−βC ′(ρ)J0(βρ) − βD′(ρ)N0(βρ) = 0.
(24)
Штрих означает производную по радиальной ко-
ординате ρ. Подставляя определения (23) в урав-
нения (20), (21) и выполняя дифференцирование с
учетом условий (24), приходим к выводу, что
A′(ρ)[αρJ1(αρ) − (αρ)2J0(αρ)]+
+B′(ρ)[αρN1(αρ) − (αρ)2N0(αρ)]+
+C ′(ρ)[iγρJ1(βρ) − iγβρ2J0(βρ)]+
+D′(ρ)[iγρJ1(βρ) − iγβρ2J0(βρ)] =
=
ρ2F ∗
ρ (ρ, γ)
λ + 2G
,
−iA′(ρ)γαρ2J1(αρ) − iB′(ρ)γαρ2N1(αρ)+
+C ′(ρ)(βρ)2J1(βρ) + D′(ρ)(βρ)2J1(βρ) =
=
ρ2
G
F ∗
z (ρ, γ).
(25)
Условия (24) и соотношения (25) образуют не-
однородную систему из четырех алгебраических
уравнений, содержащих четыре функции A′(ρ),
B′(ρ), C ′(ρ) и D′(ρ). Естественно, такая система
разрешается единственным образом относитель-
но искомых производных. Определив производные
искомых функций и выполнив элементарную про-
цедуру интегрирования, получаем
A(ρ) =
π
2ω2ρ0
ρ
∫
α1
ξ[F ∗
ρ (ξ, γ)αN1(αξ)+
+iF ∗
z (ξ, γ)γN0(αξ)]dξ,
B(ρ) = − π
2ω2ρ0
ρ
∫
α1
ξ[F ∗
ρ (ξ, γ)αJ1(αξ)+
+iF ∗
z (ξ, γ)γJ0(αξ)]dξ,
C(ρ) =
π
2ω2ρ0
ρ
∫
α1
ξ[iF ∗
ρ (ξ, γ)γN1(βξ)+
+F ∗
z (ξ, γ)βN0(βξ)]dξ,
D(ρ) = − π
2ω2ρ0
ρ
∫
α1
ξ[iF ∗
ρ (ξ, γ)γJ1(βξ)+
+F ∗
z (ξ, γ)βJ0(βξ)]dξ,
(26)
где ρ0 – плотность материала полого цилиндра.
Таким образом, общее решение системы урав-
нений (20), (21) можно представить в следующем
виде:
Vρ(ρ, γ) = −α[A + A(ρ)]J1(αρ)−
−α[B + B(ρ)]N1(αρ)+
+iγ[C + C(ρ)]J1(βρ)+
+iγ[D + D(ρ)]N1(βρ),
Vz(ρ, γ) = iγ[A + A(ρ)]J0(αρ)+
+iγ[B + B(ρ)]N0(αρ)−
−β[C + C(ρ)]J0(βρ)−
−β[D + D(ρ)]N0(βρ),
(27)
где функции A(ρ), . . . , D(ρ) находятся по соотно-
шениям (26); A, . . . , D – дополнительные констан-
ты, определяемые из граничных условий.
Подставляя в условия (3), (4) соотношения (27),
получаем неоднородную алгебраическую систему
из четырех уравнений, которая разрешается отно-
60 О. Н. Петрищев
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
сительно искомых неизвестных A, . . . , D следую-
щим образом:
A =
[
σ∗
ρρ(α2, γ)
2G
− Ξ1
]
∆
(0)
11
∆
(1)
0
+
+
σ∗
ρρ(α1, γ)
2G
∆
(0)
21
∆
(1)
0
+
+
[
σ∗
ρz(α2, γ)
G
− Ξ2
]
∆
(0)
31
∆
(1)
0
+
+
σ∗
ρz(α1, γ)
G
∆
(0)
41
∆
(1)
0
,
B =
[
σ∗
ρρ(α2, γ)
2G
− Ξ1
]
∆
(0)
12
∆
(1)
0
+
+
σ∗
ρρ(α1, γ)
2G
∆
(0)
22
∆
(1)
0
+
+
[
σ∗
ρz(α2, γ)
G
− Ξ2
]
∆
(0)
32
∆
(1)
0
+
+
σ∗
ρz(α1, γ)
G
∆
(0)
42
∆
(1)
0
,
(28a)
C =
[
σ∗
ρρ(α2, γ)
2G
− Ξ1
]
∆
(0)
13
∆
(1)
0
+
+
σ∗
ρρ(α1, γ)
2G
∆
(0)
23
∆
(1)
0
+
+
[
σ∗
ρz(α2, γ)
G
− Ξ2
]
∆
(0)
33
∆
(1)
0
+
+
σ∗
ρz(α1, γ)
G
∆
(0)
43
∆
(1)
0
,
D =
[
σ∗
ρρ(α2, γ)
2G
− Ξ1
]
∆
(0)
14
∆
(1)
0
+
+
σ∗
ρρ(α1, γ)
2G
∆
(0)
24
∆
(1)
0
+
+
[
σ∗
ρz(α2, γ)
G
− Ξ2
]
∆
(0)
34
∆
(1)
0
+
+
σ∗
ρz(α1, γ)
G
∆
(0)
44
∆
(1)
0
,
(28b)
где
Ξ1 = A(α2)m
(0)
11 + B(α2)m
(0)
12 +
+C(α2)m
(0)
13 + D(α2)m
(0)
14 ;
Ξ2 = A(α2)m
(0)
31 + B(α2)m
(0)
32 +
+C(α2)m
(0)
33 + D(α2)m
(0)
34 ;
m
(0)
ij – элементы определителя ∆0 – условия суще-
ствования продольных волн в изотропном полом
цилиндре (8); ∆
(0)
ij – миноры определителя ∆
(1)
0 ,
которые получаются вычеркиванием i-ой строки
и j-го столбца, на перекрестье которых располага-
ется элемент m
(0)
ij в исходном определителе ∆0.
Подставляя выражения (28a), (28b) в соотноше-
ния (27), получаем
V 0
ρ (ρ) =
Λ0
ρ(ρ)
∆
(1)
0
+ Rρ(ρ),
V 0
z (ρ) =
Λ0
z(ρ)
∆
(1)
0
+ Rz(ρ),
(29)
где
Λ0
ρ(ρ) =
[
σ∗
ρρ(α2, γ)
2G
− Ξ1
]
∆
(0)
11 Ψ(11)
ρ (ρ)+
+
σ∗
ρρ(α1, γ)
2G
∆
(0)
21 Ψ(21)
ρ (ρ)+
+
[
σ∗
ρz(α2, γ)
G
− Ξ2
]
∆
(0)
31 Ψ(31)
ρ (ρ)+
+
σ∗
ρz(α1, γ)
G
∆
(0)
41 Ψ(41)
ρ (ρ);
Λ0
z(ρ) =
[
σ∗
ρρ(α2, γ)
2G
− Ξ1
]
∆
(0)
11 Ψ(11)
z (ρ)+
+
σ∗
ρρ(α1, γ)
2G
∆
(0)
21 Ψ(21)
z (ρ)+
+
[
σ∗
ρz(α2, γ)
G
− Ξ2
]
∆
(0)
31 Ψ(31)
z (ρ)+
+
σ∗
ρz(α1, γ)
G
∆
(0)
41 Ψ(41)
z (ρ);
О. Н. Петрищев 61
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
Rρ(ρ) = −αA(ρ)J1(αρ) − αB(ρ)N1(αρ)+
+iγC(ρ)J1(βρ) + iγD(ρ)N1 (βρ);
Rz(ρ) = iγA(ρ)J0(αρ) + iγB(ρ)N0(αρ)−
−βC(ρ)J0(βρ) − βD(ρ)N0(βρ);
Ψ(k1)
ρ (ρ) = −αJ1(αρ) − α
∆
(0)
k2
∆
(0)
k1
N1(αρ)+
+iγ
∆
(0)
k3
∆
(0)
k1
J1(βρ) + iγ
∆
(0)
k4
∆
(0)
k1
N1(βρ);
Ψ(k1)
z (ρ) = iγJ0(αρ) + iγ
∆
(0)
k2
∆
(0)
k1
N0(αρ)−
−β
∆
(0)
k3
∆
(0)
k1
J0(βρ) − β
∆
(0)
k4
∆
(0)
k1
N0(βρ).
Так как функции Rρ(ρ) и Rz(ρ) являются
регулярными во всей комплексной плоскости
(Re γ, Im γ), то обратное Фурье-преобразование,
доставляющее значения компонентов вектора сме-
щения uρ(ρ, z) и uz(ρ, z), может быть записано сле-
дующим образом:
uρ(ρ, z) = πi
∑
n=1
Λ0
ρ(ρ, γn)
γn∆′(χn)
eiγnz,
uz(ρ, z) = πi
∑
n=1
Λ0
z(ρ, γn)
γn∆′(χn)
eiγnz.
(30)
Здесь n – номер корня, т. е. действительно-
го волнового числа γn, удовлетворяющего усло-
вию существования осесимметричных продольных
волн в изотропном полом цилиндре (∆0(γn)=0);
∆′(χn)=d∆0/dχn; χn≡γ2
n.
Коль скоро волновые числа αn, βn и γn, вхо-
дящие в состав выражений, определяющих ве-
личины Λ0
β(ρ, γn) (β=ρ, z), удовлетворяют усло-
вию ∆0(γn)=0, то справедливы комбинационные
соотношения (11), применяя которые, величины
Λ0
β(ρ, γn) можно представить следующим образом:
Λ0
ρ(ρ, γn) = Λ0(γn)U (+)
ρ (ρ, γn),
Λ0
z(ρ, γn) = Λ0(γn)U
(+)
z (ρ, γn),
(31)
где
Λ0(γn) =
{
∆
(0)
11
2G
σ∗
ρρ(α2, γn)+
+
∆
(0)
21
2G
σ∗
ρρ(α1, γn) +
∆
(0)
31
G
σ∗
ρz(α2, γn)+
+
∆
(0)
41
G
σ∗
ρz(α2, γn) − F (+)(ρ, γn)
}
;
F (+)(ρ, γn) = Ξ1(γn)∆
(0)
11 + Ξ2(γn)∆
(0)
31 ;
U (±)
ρ (ρ, γn) = αn
[
−J1(αnρ)−
−∆
(0)
12
∆
(0)
11
N1(αnρ) +
iγn
αn
∆
(0)
13
∆
(0)
11
J1(βnρ)+
+
iγn
αn
∆
(0)
14
∆
(0)
11
N1(βnρ)
]
;
U (±)
z (ρ, γn) = ±iγn
[
J0(αnρ)+
+
∆
(0)
12
∆
(0)
11
N0(αnρ) +
iβn
γn
∆
(0)
13
∆
(0)
11
J0(βnρ)+
+
iβn
γn
∆
(0)
14
∆
(0)
11
N0(βnρ)
]
.
(32)
Функции U
(±)
β (ρ, γn) (β=ρ, z) – суть собственные
функции однородной граничной задачи о распро-
странении осесимметричных продольных волн в
изотропном полом цилиндре (они же – нормаль-
ные волны) и отличаются от общих решений (9),
(10) лишь отсутствием постоянного на данной ча-
стоте амплитудного множителя A(±). Ясно, что
для n-ой нормальной волны этот множитель опре-
деляется как
A(±) =
iπΛ0(γn)
γn∆′(χn)
.
Нетрудно показать, что
F (+)(ρ, γn) = Ξ1(γn)∆
(0)
11 + Ξ2(γn)∆
(0)
31 =
=
π
2ω2ρ0
[m
(0)
12 ∆
(0)
11 + m
(0)
32 ∆
(0)
31 ]×
×
α2
∫
α1
ξ[F ∗
ρ (ξ, γn)Ũ (−)
ρ (ξ, γn)+
+F ∗
z (ξ, γn)Ũ (−)
z (ξ, γn)]dξ,
(33)
62 О. Н. Петрищев
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
где
Ũ (±)
ρ (ρ, γn) = αn
[
−J1(αnρ) + ζ1(γn)N1(αnρ)+
+
iγn
αn
ζ4(γn)J1(βnρ) +
iγn
αn
ζ3(γn)N1(βnρ)
]
;
Ũ (±)
z (ρ, γn) = ±iγn
[
J0(αnρ) + ζ1(γn)N0(αnρ)+
+
iβn
γn
ζ4(γn)J0(βnρ) +
iβn
γn
ζ3(γn)N0(βnρ)
]
;
ζ1(γn) =
m
(0)
11 ∆
(0)
11 + m
(0)
31 ∆
(0)
31
ζ0
;
ζ3(γn) =
m
(0)
13 ∆
(0)
11 + m
(0)
33 ∆
(0)
31
ζ0
;
ζ4(γn) =
m
(0)
14 ∆
(0)
11 + m
(0)
34 ∆
(0)
31
ζ0
;
ζ0(γn) = m
(0)
12 ∆
(0)
11 + m
(0)
32 ∆
(0)
31 .
Так как волновые числа αn, βn и γn удовле-
творяют условию существования продольных волн
∆0(γn)=0, то элементы определителя ∆0(γn) ока-
зываются связанными между собой некоторыми
соотношениями, которые будем называть комби-
национными соотношениями второго рода:
ζ1(γn) = −∆
(0)
12
∆
(0)
11
,
ζ3(γn) =
∆
(0)
14
∆
(0)
11
,
ζ4(γn) = −∆
(0)
13
∆
(0)
11
.
(34)
Принимая во внимание формулы (34), нахо-
дим, что Ũ
(±)
β (ρ, γn)=U
(±)
β (ρ, γn), где функции
U
(±)
β (ρ, γn) заданы соотношениями (9) и (10). По-
сле этого можно записать
u
(+)
β (ρ, z) =
πi
2G
∑
n=1
A(+)(γn)U
(+)
β (ρ, γn)eiγnz
(по-прежнему, β=ρ, z).
Так как в общем случае
~F ∗(ρ, γn) =
1
4π2
∞
∫
−∞
2π
∫
0
~f∗(ρ, ϑ, z)e−iγnzdϑdz ,
σ∗
ρλ(αj, γn) =
1
4π2
∞
∫
−∞
2π
∫
0
σ∗
ρλ(αj, ϑ, z)e−iγnzdϑdz
(где λ=ρ, z; j=1, 2), то окончательное выражение
для расчета смещений материальных частиц стер-
жня за пределами области приложения внешних
сил приобретает следующий вид:
~u(±)(ρ, z) =
i
8πG
∑
n=1
A(±)(γn)×
×~U (±)(ρ, γn)e±iγnz.
(35)
Здесь
A(±)(γn) =
1
γn∆′(χn)
{
− π
k2
s
×
×[m
(0)
12 ∆
(0)
11 + m
(0)
32 ∆
(0)
31 ]×
×
∞
∫
−∞
2π
∫
0
α2
∫
α1
ρ~f∗(ρ, ϑ, z) · ~U (∓)(ρ, γn)×
×e∓iγnzdρdϑdz+
+∆
(0)
11
∞
∫
−∞
2π
∫
0
σ∗
ρρ(α2, ϑ, z)e∓iγnzdϑdz+
+∆
(0)
21
∞
∫
−∞
2π
∫
0
σ∗
ρρ(α1, ϑ, z)e∓iγnzdϑdz+
+2∆
(0)
31
∞
∫
−∞
2π
∫
0
σ∗
ρz(α2, ϑ, z)e∓iγnzdϑdz+
+2∆
(0)
41
∞
∫
−∞
2π
∫
0
σ∗
ρz(α1, ϑ, z)e∓iγnzdϑdz
}
.
(36)
Выполнив в формуле (35) предельный переход
при α1→0, получим соотношения для расчета ам-
плитудных множителей продольных волн в спло-
шном цилиндре:
~u(±)(ρ, z) =
i
8πG
∑
n=1
A
(±)
0 (γn)×
×~U (±)(ρ, γn)e±iγnz,
(37)
О. Н. Петрищев 63
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
где компоненты вектора ~U (±)(ρ, γn) задаются
выражениями (13) и (14), в которых вместо вол-
новых чисел α, β и γ фигурируют волновые числа
αn, βn и γn , обращающие дисперсионное уравне-
ние (15) в тождество.
Амплитудный множитель n-ой продольной вол-
ны в сплошном цилиндре определяется следую-
щим образом:
A
(±)
0 (γn) =
2
γn∆′(χn)
{
βnJ0(βnα2)
α2J0(αnα2)
×
×
[
4
γ2
n
k2
s
− 2J1(βnα2)
(βnα2)J0(βnα2)
]
×
×
∞
∫
−∞
2π
∫
0
α2
∫
0
ρ~f∗(ρ, ϑ, z) · ~U (∓)(ρ, γn)×
×e∓iγnzdρdϑdz+
+(γ2
n − β2
n)J1(βnα2)×
×
∞
∫
−∞
2π
∫
0
σ∗
ρρ(α2, ϑ, z)e∓iγnzdϑdz±
±2iγnβn
[
J0(βnα2) −
J1(βnα2)
βnα2
]
×
×
∞
∫
−∞
2π
∫
0
σ∗
ρz(α2, ϑ, z)e∓iγnzdϑdz
}
,
(38)
где ∆′(χn)=d∆0(0)/dχn; χn≡γ2
n.
Соотношения (36) и (38) справедливы для физи-
чески реализуемых пространственных распределе-
ний переменного и постоянного магнитного поля и
частот, не совпадающих с частотами, на которых
∆′(χn)=0 при γn 6=0.
Выполним в соотношениях (37) и (38) предель-
ный переход при ks→0. Это соответствует перехо-
ду в область низких частот, где существует толь-
ко одна продольная волна, распространяющаяся
со стержневой скоростью vст =vs
√
2(1+ν). Введем
обозначение γ1 =ω/vст. Тогда
∆0(0) = lim
ks→0
{
β1α
2
k2
s
[
γ2
1(4ξ − 3) + k2
s(1 − ξ)
]
}
,
где ξ=(1−2ν)/[2(1−ν)]; ν – коэффициент Пуассо-
на. Из условия существования первой продольной
волны ∆0(0)=0 в области низких частот следует,
что
γ2
1 = −k2
s(1 − ξ)
4ξ − 3
=
k2
s
2(1 + ν)
.
Низкочастотная асимптотика производной дает
∆′(χ1) = lim
ks→0
[
β1α
2
k2
s(4ξ − 3)
]
=
= − lim
ks→0
[
β1α
2
k2
s
1 + ν
1 − ν
]
.
Компоненты вектора смещения материальных ча-
стиц U
(±)
ρ (ρ, γ1) и U
(±)
z (ρ, γ1) при ks→0 принима-
ют следующие значения:
lim
ks→0
U (±)
ρ (ρ, γ1) = νρ
1 + ν
1− ν
lim
ks→0
γ2
1 ,
lim
ks→0
U (±)
z (ρ, γ1) = ±i
1 + ν
1 − ν
lim
ks→0
γ1.
Видно, что в области очень низких частот ра-
диальная компонента вектора смещения является
бесконечно малой величиной второго порядка ма-
лости в сравнении с аксиальной. Сохраняя в фор-
муле (38) величины одного порядка малости, за-
пишем ее в следующем виде:
A
(±)
0 = lim
ks→0
A
(±)
0 (γ1) = lim
ks→0
−2
γ1
β1α2
2
k2
s
1 + ν
1 − ν
×
×
{
∓ iβ1γ1
α2
∞
∫
−∞
2π
∫
0
α2
∫
0
ρf∗
z (ρ, ϑ, z)e∓iγ1zdρdϑdz±
±iβ1γ1
∞
∫
−∞
2π
∫
0
σ∗
ρz(α2, ϑ, z)e∓iγ1zdϑdz
}
.
Так как
f∗
z (ρ, ϑ, z) = σ∗
zz,z(ρ, ϑ, z) + σ∗
ρz,ρ(ρ, ϑ, z)+
+
1
ρ
σ∗
ρz(ρ, ϑ, z) +
1
ρ
σ∗
ϑz,ϑ(ρ, ϑ, z),
то
α2
∫
0
ρf∗
z (ρ, ϑ, z)dρ =
=
α2
∫
0
ρ
[
σ∗
zz,z(ρ, ϑ, z) +
1
ρ
σ∗
ϑz,ϑ(ρ, ϑ, z)
]
dρ+
+α2σ
∗
ρz(α2, ϑ, z).
64 О. Н. Петрищев
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
Подставляя в формулу (37) низкочастотную
асимптотику выражения (38) и аксиальной ком-
поненты вектора смещения U
(±)
z (ρ, γ1), получаем
~u(z) =
U
(−)
0 e−iγ1z , z > A,
U
(+)
0 eiγ1z, z < −A.
(39)
Амплитудный множитель U
(±)
0 для первой про-
дольной осесимметричной волны в области очень
низких частот определяется как
U
(±)
0 = − i
2Eγ1
∞
∫
−∞
f̂∗
z (z)e∓iγ1zdz, (40)
где
f̂∗
z (z) =
1
πα2
2
2π
∫
0
α2
∫
0
ρ
[
σ∗
zz,z(ρ, ϑ, z)+
+
1
ρ
σ∗
ϑz,ϑ(ρ, ϑ, z)
]
dϑdρ;
E =2G(1+ν) – модуль Юнга. Соотношение (39)
идентично результату, полученному в работе [16]
при решении задачи о возбуждении недиспергиру-
ющих плоских продольных волн в тонком стержне
кругового поперечного сечения.
2. ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЛЬ-
ТРАЗВУКОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ТИПА В РЕ-
ЖИМЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ
ВОЛН
Так как характер распределения внешних на-
грузок полностью определяется конструкцией их
источника, то можно утверждать, что амплиту-
дные множители продольных волн, т. е. аналити-
ческие выражения (36), (38) и (40), содержат в
себе информацию о конструкции и основных па-
раметрах источника механических возмущений.
Рассмотрим простейшую ситуацию, когда пере-
менное магнитное поле катушки возбуждает пло-
ские продольные волны в тонком ферромагни-
тном стержне. Предположим, что ферромагни-
тный стержень (позиция 1 на рис. 3, а) подвер-
жен воздействию переменного магнитного поля
катушки – короткого соленоида (позиция 2). Си-
ловые линии магнитного поля катушки отмечены
на рис. 3 символами ~H∗. Если стержень находи-
тся в продольном и постоянном во времени поле
подмагничивания, вектор напряженности которо-
го ~H0 ={0, 0, H0
z} не меняется, по крайней мере,
+
-( + ) z
-f0
-
- +-
*H
z
1
2
I*ei t
*H
zH
zf
zfzf z
f0
-
а
б
в
Рис. 3. Модельное исследование решений (39), (40)
в области существования переменного магнитно-
го поля, то в нем развиваются преимущественно
деформации сжатия – растяжения.
Опираясь на расчетную схему ферромагнетика
в виде цепочки практически одинаково ориенти-
рованных доменов, можно показать, что находя-
щаяся под катушкой (в области −`≤z≤`) часть
О. Н. Петрищев 65
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
W( 1)
Рис. 4. Зависимость модуля функции W (γ1)
от изменения безразмерного волнового числа
стержня деформируется так, как если бы на ее
границах действовали силы (в дальнейшем будем
называть их магнитострикционными) с объемной
плотностью f̂∗
z (z)=m33H
∗
z,z, где m33 – пьезомагни-
тная константа. На рис. 3, б представлен график
изменения аксиальной компоненты вектора ~H∗.
Ориентировочная зависимость аксиальной компо-
ненты вектора объемной плотности магнитостри-
кционных сил f̂∗
z (z) показана на рис. 3, в сплошной
кривой. Для того, чтобы не отвлекаться на ма-
тематические аспекты рассматриваемого модель-
ного примера, аппроксимируем сплошную кривую
прямоугольными областями той же площади, как
это показано на рис. 3, в. При этом плотность вне-
шних сил будет определяться следующим образом:
f̂∗
z (z) =
{ −f∗
0 ∀z ∈ [−(` + δ),−` + δ],
+f∗
0 ∀z ∈ [` − δ, ` + δ].
(41)
Здесь δ – некоторый масштабный параметр, хара-
ктеризующий протяженность области нагружения
стержня внешними силами. Подставив определен-
ную соотношениями (41) объемную плотность вне-
шних сил в интеграл (40), после выполнения эле-
ментарных вычислений получим
U
(±)
0 = ∓2f∗
0 `δ
E
W (γ1). (42)
Входящая сюда частотно-зависимая функция
W (γ1) =
sin γ1`
γ1`
sin γ1δ
γ1δ
(γ1 =ω/vст) определяет уровень возбуждения не-
диспергирующих продольных волн на заданной
частоте ω и имеет смысл частотной характери-
стики ультразвукового преобразователя электро-
магнитного типа, конструкция которого показана
на рис. 3, а.
Для наглядности последующих рассуждений,
представим первый сомножитель в формуле (42)
в несколько ином виде. Если числитель и знаме-
натель умножить на площадь поперечного сече-
ния стержня S, то произведение объемной плот-
ности силы на объем, в пределах которого она су-
ществует, дает значение внешней силы F . Тогда
2f∗
0 δS =F , и выражение (42) принимает следую-
щий вид:
U
(±)
0 = ∓ F`
ES
W (γ1). (43)
Нетрудно заметить, что при переходе к ста-
тическому режиму деформирования, т. е. при
ω→0 (γ1→0), функция W (γ1)=1 и смеще-
ния материальных частиц поперечных сечений
стержня за пределами области нагружения ста-
новятся равными U
(±)
0 =∓F`/ES. Полученный
результат полностью совпадает с элементарными
представлениями о характере деформирования
стержней при одноосном сжатии – растяжении,
которые следуют из закона Гука. Действительно,
статические смещения U
(±)
0 – это не что иное
как изменение длины стержня, нагруженного
внешними силами F . Первоначальная длина
деформируемой области стержня составляет 2`.
Все остальные поперечные сечения бесконечного
стержня, находящиеся слева и справа от области
нагружения, смещаются строго на одно и то
же расстояние ±F`/ES, т. е. участки стержня,
примыкающие слева и справа к сжимаемой части
стержня (−`≤z≤`), перемещаются как единое
жесткое целое. Изменение длины деформируемой
части стержня будет ∆`=U
(+)
0 −U
(−)
0 =2F`/ES,
относительное изменение длины (деформация) –
ε=∆`/2`=F/ES=σ/E. Последнее выражение
есть не что иное как закон Гука для одноосного
напряженно-деформированного состояния.
Теперь рассмотрим как изменяются смещения
материальных частиц стержня по мере возраста-
ния частоты изменения во времени магнитного по-
ля катушки. На рис. 4 показан график изменения
модуля функции W (γ1), расчет числовых значе-
ний которой произведен в предположении, δ=`/2.
66 О. Н. Петрищев
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
Отчетливо видно, что с ростом безразмерного вол-
нового числа γ1` или, что то же самое, безра-
змерной частоты ωτ0 (τ0 =`/vст) значения функ-
ции W (γ1) резко уменьшаются, периодически до-
стигая нулевых отметок на частотах, которым со-
ответствуют значения γ1`=kπ (k=1, 2, 3, . . .). Со-
образно функции W (γ1) меняется величина сме-
щений материальных частиц во фронте плоской
продольной волны. Причиной отмеченных особен-
ностей поведения функции W (g1) и, как след-
ствие, изменения уровней смещения материаль-
ных частиц следует считать явление интерферен-
ции упругих волн.
Рассмотрим малый участок стержня, ограни-
ченный поперечными сечениями z′±∆z и нахо-
дящийся в поле действия внешних сил в обла-
сти (`−δ<z′ <`+δ). Материальные частицы это-
го участка стержня движутся под действием вне-
шних сил и обмениваются импульсом с соседни-
ми частицами, т. е. выделенный участок стер-
жня можно рассматривать как некоторый эле-
ментарный (в смысле мощности) излучатель, ге-
нерирующий стационарное поле смещений, ко-
торое характеризуется стационарным распреде-
лением фаз по длине стержня. Другой ма-
лый участок, ограниченный сечениями −z′±∆z
и (−`−δ<−z′ <−`+δ), можно интерпретировать
как другой элементарный излучатель, генерирую-
щий свое стационарное поле смещений, которое на
данной частоте имеет ту же длину волны, что и по-
ле, излучаемое первым, симметрично расположен-
ным малым участком, и характеризуется также
стационарным распределением фаз по длине стер-
жня. Между этими двумя распределениями фаз
существует постоянный сдвиг, который пропорци-
онален 2γ1z
′. В зависимости от частоты колебаний
и расстояния между излучающими участками он
может приобретать значения от 0 до 2π. Этот фа-
зовый сдвиг будет определять либо взаимное по-
давление излучения двух участков стержня, сим-
метрично расположенных относительно плоскости
z=0, либо такое сложение этих полей, которое ма-
ксимально усиливает результирующее смещение
материальных частиц. При некоторых значени-
ях частоты (безразмерного волнового числа) раз-
ность фаз между стационарными полями, излу-
чаемыми различными элементарными участками
стержня, расположенными симметрично относи-
тельно плоскости z=0, достигает такой величины,
что наступает полная взаимная компенсация сме-
щений материальных частиц, расположенных вне
области нагружения стержня внешними силами.
Такая ситуация соответствует нулевым амплиту-
дам смещений и периодически повторяется с рос-
том частоты.
По существу, функция W (γ1) является часто-
тной характеристикой рассматриваемого ультра-
звукового преобразователя. Однако это опреде-
ление не является исчерпывающе полным. Дей-
ствительно, при одних и тех же значениях часто-
ты и геометрических параметров конструкции ам-
плитуды продольных волн будут различными для
стержней из различных материалов. Это доволь-
но очевидно, так как значения функции W (γ1) це-
ликом определяются значениями волнового чис-
ла γ1 =ω/vст =ω/
√
E/rho0. С учетом этого об-
стоятельства представляется целесообразным на-
зывать функцию W (γ1) не частотной, а волновой
характеристикой ультразвукового преобразовате-
ля. Предлагаемый термин наиболее полно отража-
ет внутреннее содержание аналитического описа-
ния процесса возбуждения упругих волн внешни-
ми силами, распределенными в объеме деформи-
руемого твердого тела.
Волновая характеристика ультразвукового пре-
образователя, являющаяся по своей сути матема-
тической моделью устройства, имеет не только те-
оретическое, но и вполне четко обозначенное пра-
ктическое значение. Действительно, имея в сво-
ем распоряжении достаточно полную (в смысле
перечня учитываемых физических и геометриче-
ских параметров объекта) математическую мо-
дель устройства, можно выполнить необходи-
мые расчеты, имеющие характер оптимизирую-
щих процедур. Таким образом можно, не прибе-
гая к длительному и дорогостоящему натурно-
му моделированию, сформулировать рекоменда-
ции по выбору вариантов конструктивного испол-
нения устройства, обладающего наперед задан-
ными параметрами и характеристиками.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представленные аналитические и количественные
результаты представляют теоретическую основу
для расчета и проектирования ультразвуковых
преобразователей электромагнитного типа, кото-
рые применяются в системах различного назначе-
ния. В этой части исследования построена общая
схема для расчета амплитудных множителей нор-
мальных волн, определяющих частотно-волновые
характеристики рассматриваемого преобразовате-
ля.
1. Schlawne F., Graff A., Scheider H. Use of EMATs for
Inspection of Tubes and Pipes // NDT net.– 2003.–
8, N 3 (see http://www.ndt.net).
О. Н. Петрищев 67
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 1. С. 54 – 68
2. Шпинь А. П. Принципы построения магнито-
стрикционных преобразователей измерений //
Метрология.– 1986.– N 8.– С. 10-18.
3. Петрищев О. Н., Шпинь А. П., Яблоновский Ю. Г.
Способ преобразования перемещений во времен-
ной интервал.– Авт. св. СССР N 855710. Заявл.
21.12.79, N 2860542 // БИ.–1981.– N 30.
4. Bayon A., Garson F., Nieves F. J. Estimation of
dynamic elastic constants from the amplitude and
velocity of Rayleigh waves // J. Acoust. Soc. Amer.–
2005.– 117, N 6.– P. 3469–3477.
5. Wu T.-T., Fang J.-S. A new method for measuri-
ng in situ concrete elastic constants using hori-
zontally polarized conical transducers // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1997.– 101, N 1.– P. 330–336.
6. Мей Дж. Волноводные ультразвуковые линии за-
держки // Физическая акустика. Том 1. Методы и
приборы ультразвуковых исследований. Часть А.–
М.: Мир, 1966.– С. 489–565.
7. Элайсез М., Гарсиа-Молинер Ф. Распространение
волновых пакетов и частотно-зависимое внутрен-
нее трение // Физическая акустика. Том 5. Прин-
ципы и методы.– М.: Мир, 1973.– С. 192–253.
8. Kim Y. Y., Park C., Cho S. H., Han S. W. Torsi-
onal wave experiments with a new magnetostrictive
transducer configuration // J. Acoust. Soc. Amer.–
2005.– 117, N 6.– P. 3459–3468.
9. Johnson W., Auld B. A., Segal E. Trapped torsional
modes in solid cylinders // J. Acoust. Soc. Amer.–
1996.– 100, N 1.– P. 285–293.
10. Kwun G., Teller C. M. Magnetostrictive generation
and detection of longitudinal, torsional, and flexural
waves in a steel rod // J. Acoust. Soc. Amer.– 1994.–
96, N 2.– P. 1202–1204.
11. Петрищев О. Н. Возбуждение волн Рэлея в метал-
лической полосе, поляризованной постоянным ма-
гнитным полем // Акуст. вiсн.– 2005.– 8, N 1-2.–
С. 85–95.
12. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко-
лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. дум-
ка, 1981.– 283 с.
13. Greenspon J. E. Vibration of a thick-walled cyli-
ndrical shell.– Comparison of the exact theory wi-
th approximate theories // J. Aacoust. Soc. Amer.–
1960.– 32, N 5.– P. 571–578.
14. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Свойства по-
верхностных волн в упругом полом цилиндре //
Акуст. вiсн.– 2004.– 7, N 3.– С. 39–48.
15. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М.
Уравнения в частных производных математиче-
ской физики.– М.: Высшая школа, 1970.– 710 с.
16. Петрищев О. Н. Принципы построения матема-
тических моделей ультразвуковых преобразовате-
лей электромагнитного типа в режиме возбужде-
ния упругих волн // Электроника и связь.– 2005.–
N 25.– С. 50–61.
68 О. Н. Петрищев
|