Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії

Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії

Підсумовано результати останніх теоретичних, експериментальних та чисельних досліджень течій і пульсацій пристінного тиску в околах локальних нерегулярностей геометрії (звужень) каналів, а також згенерованих ними акустичних полів....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2007
Автор: Борисюк, А.О.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут гідромеханіки НАН України 2007
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1035
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії / А. О. Борисюк // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 2. — С. 4-21. — Бібліогр.: 35 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-1035
record_format dspace
spelling irk-123456789-10352008-10-20T18:35:01Z Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії Борисюк, А.О. Підсумовано результати останніх теоретичних, експериментальних та чисельних досліджень течій і пульсацій пристінного тиску в околах локальних нерегулярностей геометрії (звужень) каналів, а також згенерованих ними акустичних полів. Подытожены результаты последних теоретических, экспериментальных и численных исследований течений и пульсаций пристеночного давления в окрестностях локальных нерегулярностей геометрии (сужений) каналов, а также генерируемых ими акустических полей. The paper deals with summarizing of results of the recent theoretical, experimental and numerical studies concerning the flows and wall pressure fluctuation fields in the vicinity of local irregularities of channels' geometry (narrowings), as well as acoustic fields generated by them. 2007 Article Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії / А. О. Борисюк // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 2. — С. 4-21. — Бібліогр.: 35 назв. — укр. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1035 534.3+611.539 uk Інститут гідромеханіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Підсумовано результати останніх теоретичних, експериментальних та чисельних досліджень течій і пульсацій пристінного тиску в околах локальних нерегулярностей геометрії (звужень) каналів, а також згенерованих ними акустичних полів.
format Article
author Борисюк, А.О.
spellingShingle Борисюк, А.О.
Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії
author_facet Борисюк, А.О.
author_sort Борисюк, А.О.
title Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії
title_short Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії
title_full Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії
title_fullStr Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії
title_full_unstemmed Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії
title_sort генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії
publisher Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate 2007
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1035
citation_txt Генерація звуку течіями в каналах з локальними нерегулярностями геометрії / А. О. Борисюк // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 2. — С. 4-21. — Бібліогр.: 35 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT borisûkao generacíâzvukutečíâmivkanalahzlokalʹnimineregulârnostâmigeometríí
first_indexed 2025-07-02T04:34:56Z
last_indexed 2025-07-02T04:34:56Z
_version_ 1836508404315586560
fulltext ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 УДК 534.3+611.539 ГЕНЕРАЦIЯ ЗВУКУ ТЕЧIЯМИ В КАНАЛАХ З ЛОКАЛЬНИМИ НЕРЕГУЛЯРНОСТЯМИ ГЕОМЕТРIЇ А. О. БО Р И СЮК Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ Одержано 25.06.2007 Пiдсумовано результати останнiх теоретичних, експериментальних та чисельних дослiджень течiй i пульсацiй при- стiнного тиску в околах локальних нерегулярностей геометрiї (звужень) каналiв, а також згенерованих ними аку- стичних полiв. Подытожены результаты последних теоретических, экспериментальных и численных исследований течений и пуль- саций пристеночного давления в окрестностях локальных нерегулярностей геометрии (сужений) каналов, а также генерируемых ими акустических полей. The paper deals with summarizing of results of the recent theoretical, experimental and numerical studies concerning the flows and wall pressure fluctuation fields in the vicinity of local irregularities of channels’ geometry (narrowings), as well as acoustic fields generated by them. ВСТУП Дослiдження течiй у каналах актуальне для автомобiле- та лiтакобудування, нафтогазової про- мисловостi, архiтектури, комунального господар- ства, медицини тощо. Значний iнтерес тут станов- лять збурення течiй i поява акустичних ефектiв у мiсцях локальних нерегулярностей геометрiї ка- налiв, таких як налипання на стiнках, зварюваль- нi шви, стенози. Дiйсно, згенерований при цьому звуковий сигнал мiстить данi про параметри кана- лу й середовища у зонi виникнення шумiв, а отже iснує можливiсть створення неiнвазивних методiв знаходження нерегулярностей за аналiзом акусти- чного поля [1 – 4]. Розроблення таких методiв може проводитись лише за наявностi теорiй, якi, адекватно описую- чи механiзми генерацiї звуку i його проходження вiд джерела до приймача, встановлювали б кiль- кiсний зв’язок мiж характеристиками акустичного поля та параметрами течiї, каналу i нерегулярно- стi його геометрiї. У свою чергу, створення таких теорiй передбачає iснування достовiрної iнформа- цiї про структуру та властивостi гiдродинамiчних i акустичних полiв у каналах з геометричними не- однорiдностями, а також про фактори, що їх ви- значають [2, 3, 5 –8]. Як показує аналiз наукової лiтератури, вивчен- ню гiдродинамiчних полiв за звуженнями в кана- лах та супутнiх акустичних полiв, згенерованих збуреною звуженням течiєю, придiлялася значна увага. Зокрема, дослiдження просторової структу- ри гiдродинамiчних полiв виявили iснування обла- стей збуреної за звуженням течiї та її стабiлiза- цiї й переходу до стану, який був перед звуже- нням [2 – 8]. На початку ж областi збурення, як правило, спостерiгається вiдрив потоку у виглядi струменя i зворотний рух (мiж струменем i стiн- кою каналу). При цьому швидкiсть течiї на осi ка- налу в зонi збурення залишається практично та- кою ж, як i в горловинi звуження [2 – 4,6, 9 – 11]. Поле пульсацiй тиску pt у цiй зонi характеризу- ється рiзким зростанням амплiтуд, а максималь- ного значення pt досягає перед точкою приєдна- ння струменя [2 – 6, 9 – 12]. Iснують також оцiн- ки для верхнiх меж довжин областей вiдривної та збуреної течiй, вiдстанi вiд звуження кана- лу до точки максимуму pt i значення тиску в нiй [2 – 5,9, 11 –13]. Проте вiдповiднi оцiнки рiзних авторiв вiдрiзняються мiж собою не лише для рiз- них, але навiть для однiєї i тiєї ж форми звуження. Вивчення спектральних характеристик полiв пульсацiй швидкостi й тиску за звуженнями ка- налiв [2, 3, 6, 9 – 14] дозволило одержати лише за- гальний вигляд цих характеристик i з’ясувати якi- сну залежнiсть їхнiх рiвнiв вiд числа Рейнольдса течiї i ступеня звуження. Локальнi ж особливостi спектральних кривих (нахил, максимуми) та їхнiй зв’язок iз вихровими утвореннями у збуренiй за звуженням течiї, а також змiнюванiсть кривих з вiдстанню вiд звуження не вивчалися взагалi, або ж їм не придiлялось належної уваги. Окрiм цьо- го, не було дослiджено вплив форми й геометри- чних параметрiв звуження (площi мiнiмального поперечного перерiзу, довжини, ступеня вiдхиле- ння форми вiд осьової симетрiї тощо), а також ме- ханiчних властивостей стiнки каналу i витратних характеристик течiї на просторово-спектральнi ха- 4 c© А. О. Борисюк, 2007 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 рактеристики поля pt. Зазначимо, що дослiдження акустичних полiв у каналах з геометричними неоднорiдностями у ви- глядi локальних звужень призвели до створення кiлькох теорiй генерацiї звуку обмеженою обла- стю збуреної течiї у нескiнченному прямому жорс- ткостiнному каналi [15 –17]. Усi вони будували- ся на основi теорiї аеродинамiчного звуку Лайтхi- ла [18 –20], а тому мають схожий характер. Так, область збурення скрiзь моделюється рiвномiрно розподiленими в нiй об’ємними квадрупольними джерелами звуку, характеристики яких вважаю- ться вiдомими. Випадок же нерiвномiрного розпо- дiлу джерел у цих теорiях не розглядається. Не враховується також вплив стiнки каналу, яка, згi- дно з результатами Керла [21,22], зумовлює появу поверхневих диполiв. Ще одним суттєвим недолiком зазначених праць було те, що в них здебiльшого iгнорувався взаємо- зв’язок мiж гiдродинамiчним i акустичним полями у каналах зi звуженнями i вони вивчалися практи- чно незалежно одне вiд одного. Робiт же, в яких розв’язується зв’язана задача генерацiї звуку те- чiєю, iснує дуже мало (див., наприклад, [22, 23]), а одержанi в них данi – малоiнформативнi. Усе це стимулювало проведення вiдповiдних дослiджень з одержання нових якiсних та кiлькiсних даних про структуру i властивостi таких фiзичних по- лiв. Цi питання значною мiрою були вирiшенi у працях [6 – 8, 10, 24 – 32], опублiкованих протягом останнього десятилiття. Ця стаття має на метi узагальнити й система- тизувати основнi згаданi результати. Вона скла- дається зi вступу, трьох роздiлiв, висновкiв, спи- ску лiтератури i додатку. У першому роздiлi пiдсу- мовуються результати експериментальних дослiд- жень [6 – 8, 26, 27, 29] полiв течiї та пульсацiй при- стiнного тиску за звуженнями каналiв. Другий роздiл присвячено теорiї генерацiї звуку обмеже- ною областю збуреної течiї в каналi, розробле- нiй у [28, 32]. У третьому роздiлi проаналiзовано створений в [10, 31] аналiтично-чисельний метод розв’язування зв’язаних задач акустичного випро- мiнювання течiй у каналах зi звуженнями. Далi сформульованi висновки, наведено списки цитова- ної лiтератури та прийнятих позначень. 1. ПОЛЯ ТЕЧIЇ I ПУЛЬСАЦIЙ ПРИСТIННО- ГО ТИСКУ ЗА ЗВУЖЕННЯМИ КАНАЛIВ Цей роздiл присвячено дослiдженню особливо- стей полiв течiї та пульсацiй пристiнного тиску pt у каналi за звуженням. У ньому пiдсумовуються результати праць [6 – 8, 26, 27, 29], у яких експери- Рис. 1. Загальна схема експериментальної установки: 1 – зливний резервуар; 2 – силiконова трубка; 3 – приймальний резервуар; 4 – датчик тиску; 5 – пiдсилювач; 6 – частотний аналiзатор ментально вивчався вплив форми i геометричних параметрiв звуження, а також механiчних власти- востей стiнки каналу i витратних характеристик незбуреного потоку на зазначенi поля. Одержанi висновки пiдтверджуються вiдповiдними теорети- чними й чисельними даними [10,24,25,30,31] (див. кiнець третього роздiлу). Для проведення експериментiв було розроблено методику i створено вiдповiдне обладнання, схе- матично зображене на рис. 1 i 2 вiдповiдно. Зале- жно вiд поставленої мети, базова конфiгурацiя ро- бочої дiлянки експерименту змiнювалася за раху- нок додавання до неї нових i/або модифiкацiї вже iснуючих елементiв [26, 27, 29]. Вивчення поля pt проводилося в термiнах двох його найбiльш ужи- ваних статистичних характеристик [2 – 5,9,11 –14]: середньоквадратичного значення prms = √ 〈p2 t 〉 (де у загальному випадку дужки 〈. . .〉 означають опе- рацiю осереднення за множиною реалiзацiй) i ча- стотний спектр P , зв’язаний з тиском pt спiввiд- ношенням [22] 〈p2 t 〉 = ∞ ∫ −∞ P (ω)dω, P (f) = 4πP (ω). 1.1. Вплив ступеня i довжини звуження, а та- кож витратних характеристик незбуреного зву- женням потоку Вибiр зображеної на рис. 2 конфiгурацiї робо- чої дiлянки експерименту (жорсткостiнний канал кругового поперечного перерiзу з осесиметричним А. О. Борисюк 5 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 Рис. 2. Базова конфiгурацiя робочої дiлянки експерименту з концентричною вставкою: 1 – силiконова трубка; 2 – плексигласова трубка; 3 – вставка; 4 – датчик тиску; 5 – голка для введення фарби; I – область вiдривної течiї; II – область приєднаної, але ще збуреної течiї; III – область стабiлiзацiї й переходу течiї до режиму, який був перед звуженням z/D 0 4 8 12 prms 0.5 u2 10-4 10-3 10-2 10-1 I+II III Рис. 3. Осьовий розподiл тиску prms у жорсткостiнному каналi за осесиметричним звуженням ступiнчастої форми (d=9 мм, S =75 %, U =0.25 м/с, ReD =4500) звуженням ступiнчатої форми) у якостi базової був зумовлений [6 – 8]: • необхiднiстю з’ясування впливу лише ступеня S=(1−d2/D2)×100 % i довжини l звуження, а також витратних характеристик незбурено- го звуженням потоку на поля течiї i пульсацiй пристiнного тиску pt за звуженням; • можливiстю подальшого вивчення на цiй дi- лянцi ролi iнших параметрiв каналу i звуже- ння шляхом вiдповiдної її модифiкацiї i спiв- ставлення вiдповiдних даних для модифiкова- ної й базової конфiгурацiй. У результатi проведених дослiджень виявлено осьову симетрiю полiв течiї i тиску pt (у першому наближеннi), а також встановлено, що звуження каналу збурює течiю, спричиняючи рiзке зростан- ня pt в скiнченнiй областi за ним (рис. 3) [6]. Тут iснують областi вiдривної I та приєднаної II течiї, а також її стабiлiзацiї й переходу до попереднього незбуреного стану III (див. також рис. 2). Довжини областей I, I+II i I+II+III не перевищують трьох, семи i дванадцяти дiаметрiв каналу вiдповiдно: LI < 3D, LI+II < 7D, LI+II+III < 12D. (1) Осьовий розподiл тиску prms в областi збурен- ня характеризується максимумом у точцi z=Lmax, яка завжди знаходиться перед точкою приєднання струменя у межах z/D≈1.3÷2.6 [6]. Кiлькiснi оцiнки для вiдстанi Lmax i тиску prms у точцi z=Lmax мають такий вигляд [6]: Lmax d ≈ 0.127Re0.26 d (D/d)1.25, (2) (prms)max 0.5ρu2 D d ≈ 0.054 для Red = ud ν > 8500 (3) (тут (prms)max =prms|z=Lmax , u=U(D/d)2). Їх ана- лiз показує, що при збiльшеннi/зменшеннi числа 6 А. О. Борисюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 frequency, Hz 0 300 600 900 power spectrum, dB -90 -60 -30 1 2 frequency, Hz 0 300 600 900 power spectrum, dB -90 -60 -30 1 2 а б Рис. 4. Спектр пульсацiй гiдродинамiчного тиску P у точках z=Lmax (а) i z=4D (б) за локальним звуженням ступiнчастої форми у жорсткостiнному каналi на швидкостi U =0.35 м/с (ReD =6300) [6]: 1 – звуження (d=10 мм, S =69 %, l=20 мм); 2 – навколишнiй шум Рейнольдса струменя Red i/або ступеня звужен- ня точка максимуму prms змiщується вниз/вгору за течiєю, а сам тиск у цiй точцi (prms)max збiль- шується/зменшується. При цьому, починаючи з Red≈8500, prms приблизно пропорцiйний динамi- чному тиску струменя ρu2/2 i вiдношенню дiаме- трiв d/D звуженої та незвуженої дiлянок каналу. Цi оцiнки є унiверсальнiшими за вiдомi в лiте- ратурi аналоги, оскiльки, як показано далi, мало змiнюються при змiнi жорсткостi стiнки каналу, появi ексцентриситету i згладжуваннi форми зву- ження. Зауважимо, що вiдповiднi оцiнки попере- дникiв вiдрiзняються мiж собою не лише для рiз- них, але навiть для однiєї й тiєї ж форми звужен- ня [2 –5,9, 11 – 13]. Спектр P (рис. 4) у областях вiдривної I та приєднаної II течiї (див. рис. 2) виявляється по- дiбним до частотного спектра пульсацiй пристiн- ного тиску у повнiстю розвиненiй турбулентнiй течiї в жорсткостiннiй трубi [6, 22, 33]. Особли- вiсть же спектра P полягає у наявностi низь- кочастотних максимумiв тиску (останнi спричи- няють появу вiдповiдних пiкiв у спектрi акусти- чної енергiї, згенерованої збуреною звуженням те- чiєю [7, 8, 10, 30], див. роздiл 3). Аналiз структури течiї та розподiлу її енергiї по вихорах за звужен- ням показує, що цi максимуми визначаються вiд- повiдними великомасштабними вихровими утворе- ннями у областях I i II, а їхнi частоти – частотами таких утворень [6 –8]. Так, для областi I – типо- вi вихори розмiрiв порядку d/2, якi рухаються у струменi зi швидкостями, близькими до u i харак- теризуються частотами порядку f (1) ch = 2u d , (4) та вихори масштабiв порядку товщини звуження h=(D−d)/2 у зонi зворотного руху мiж струме- нем i стiнкою каналу. Вони мають частоти поряд- ку f (2) ch = uc h (5) (тут uc∼0.45÷0.6u – швидкiсть конвекцiї на зовнi- шнiй межi струменя [6, 8, 14]). В областi ж II iсну- ють вихровi структури, розмiри та швидкостi руху яких близькi вiдповiдно до D/2 та U , а частоти – до f (3) ch = 2u D . (6) Дослiдження варiацiй тиску prms i спектра P , зумовлених змiною ступеня звуження S, показу- ють, що [6]: • тиск prms i рiвнi спектра P загалом зроста- ють/спадають зi збiльшенням/зменшенням S; • положення максимумiв спектра P змiнюється при змiнi S вiдповiдно до змiн частот (4) – (6); А. О. Борисюк 7 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 Рис. 5. Схематичне зображення великомасштабних вихорiв у областях течiї I i II в еластичному каналi Рис. 6. Схема робочої дiлянки експерименту у разi звуження з ексцентричною вставкою (позначення тi ж самi, що й на рис. 2) • форма кривої P при змiнi S залишається пра- ктично тою ж самою. Окрiм цього, спектр P виявляється приблизно удвiчi чутливiшим за тиск prms до змiн ступе- ня звуження. Якiсно схожi варiацiї у характери- стиках поля pt (включаючи й рiзну їхню чутли- вiсть) вiдбуваються i при змiнi числа Рейнольд- са ReD =UD/ν [6]. Водночас, змiна довжини зву- ження l спричиняє на тиск prms i рiвнi спектра P значно слабший, але обернений ефект: суттєве збiльшення l зумовлює незначне зниження рiвнiв i навпаки. Форма ж спектра i положення всiх його максимумiв залишаються практично незмiнними. При вiддаленнi вiд звуження i переходi з областi I до областi II загалом спостерiгається зводиться до спадання спектральних рiвнiв i зменшення кiлько- стi низькочастотних максимумiв (див. рис. 4). 1.2. Вплив жорсткостi стiнки каналу Для з’ясування впливу жорсткостi стiнки кана- лу на поля течiї й пульсацiй пристiнного тиску pt за звуженням замiсть жорсткого на робочiй дiлян- цi експерименту використовувались еластичнi ка- нали. У результатi було встановлено [29], що зна- чне зменшення стiнки каналу спричиняє виникне- ння її коливань пiд дiєю тиску pt (рис. 5). Це при- зводить до змiни структури потоку поблизу стiнки у областях зворотного руху та приєднаної течiї, а також до варiацiї розмiрiв вiдповiдних великомас- штабних вихорiв на величину порядку w: h → h + w, D 2 → D 2 + w, де w – прогин стiнки. Як наслiдок, змiнюються частоти (5) i (6): f (2) ch → uc h + w , f (3) ch → u D/2 + w , 8 А. О. Борисюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 а вiдповiднi максимуми P змiщуються. Окрiм цього, через трансформацiю енергiї по- ля pt вiд його високочастотних до низькочасто- тних складових, дещо зростають тиск prms i рiвнi спектра P в областi низьких частот. При цьому значно чутливiшим до змiн жорсткостi стiнки ка- налу виявляється prms [29]. Iншi ж величини, якi характеризують поля течiї i тиску pt за звужен- ням, при зменшеннi жорсткостi стiнки залишаю- ться практично незмiнними. Мало змiнюються та- кож положення точки максимуму тиску i саме зна- чення тиску в нiй [29]: Lmax d ≈ αRe0.26 d (D/d)1.25, (prms)max 0.5ρu2 = K для Red => 9000 (тут α∼0.119÷0.124 i K∼0.059÷0.066 – слабозмi- нюванi функцiї властивостей стiнки каналу, кое- фiцiєнта калiбрування вимiрювальної системи то- що). 1.3. Вплив форми звуження Для вивчення впливу форми звуження на до- слiджуванi гiдродинамiчнi поля на робочiй дiлян- цi експерименту, окрiм концентричного ступiнча- того, використовувались осесиметричнi звуження бiльш згладжених форм [27] i ступiнчатi звуження з ексцентриситетом e [26] (ексцентриситет є одним з основних параметрiв, якi характеризують сту- пiнь вiдхилення форми вiд осьової симетрiї). Одер- жанi при цьому данi спiвставлялися з вiдповiдни- ми величинами для осесиметричного ступiнчатого звуження. У результатi було встановлено [26], що наявнiсть ексцентриситету призводить до втрати течiєю i полем pt осьової симетрiї в областi NA безпосередньо за звуженням (рис. 6). Поза нею за- лежностi полiв течiї й тиску pt вiд кутової коорди- нати φ швидко спадають i в областi стабiлiзацiї те- чiї III цi поля знову стають (у першому наближен- нi) осесиметричними. Водночас, область найбiльш збуреної течiї I+II стає трохи довшим у порiвняннi з випадком осесиметричного ступiнчатого звуже- ння (див. оцiнки (1)): LI+II < 7.5D, а поздовжнiй розмiр усiєї областi збурення I+II+III практично не змiнюється: LI+II+III < 12D. z/D 0 4 8 12 prms 0.5 u2 10-4 10-3 10-2 10-1 I+II III Рис. 7. Осьовий розподiл тиску prms за вставкою (d=9 мм, S =75 %, U =0.25 м/с, ReD =4500): ◦ – e=0; 5 – e=2 мм, φ=0; ∗ – e=2 мм, φ=π/3 (для φ=5π/3 – аналогiчно); 4 – e=2 мм, φ=π Довжина областi NA не перевищує приблизно ше- сти з половиною дiаметрiв каналу: LNA < 6.5D. Осьова змiнюванiсть тиску prms за ексцентри- чним звуженням у перерiзi φ=const загалом схо- жа на вiдповiдну тенденцiю для експерименту з осесиметричним звуженням того ж ступеня i дов- жини, а також при однаковому значеннi числа Рейнольдса (рис. 7). Проте тепер як prms, так i z = Lmax залежать ще й вiд товщини звужен- ня h(e, φ)= √ D2/4+e2−De cos φ−d/2. Чим бiль- шою/меншою є h у перерiзi φ=const, тим мен- шою/бiльшою є там енергiя течiї бiля стiнки ка- налу i, вiдповiдно, меншим/бiльшим є тиск prms у цьому перерiзi. Точка ж z=Lmax при цьому розта- шовується далi вiд звуження чи ближче до нього. Кiлькiснi залежностi вiдстанi Lmax i тиску (prms)max вiд параметрiв експерименту при появi ексцентриситету звуження змiнюються мало (по- рiвняй з виразами (2) i (3)) [26]: Lmax d ≈ α(e, φ)Re0.26 d (D/d)1.25, (prms)max 0.5ρu2 = K(e, φ) для Red => 8650. При появi ексцентриситету e 6=0 спектр P у областi NA стає залежним вiд координати φ А. О. Борисюк 9 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 frequency, Hz 0 300 600 900 power spectrum, dB -90 -60 -30 1 2 3 4 5 frequency, Hz 0 300 600 900 power spectrum, dB -90 -60 -30 1 2 3 4 5 а б Рис. 8. Частотний спектр за вставкою d=10 мм, S =69 % при швидкостi U =0.35 м/с, ReD =6300: а – z=Lmax, б – z=4D; 1 – e=0; 2 – e=2 мм, φ=0; 3 – e=2 мм, φ=π/3 (для φ=5π/3 – аналогiчно); 4 – e=2 мм, φ=π; 5 – оточуючий шум (рис. 8) [26]. При цьому в кожному перерiзi z=const його рiвнi загалом зростають/спадають зi зменшенням/збiльшенням товщини звуження h. До того ж, внаслiдок змiни структури потоку у областях зворотного руху та приєднаної течiї при появi ексцентриситету, а також змiни розмi- рiв вiдповiдних великомасштабних вихорiв (порiв- няй рис. 2 i 6), змiнюються положення i/або форма максимумiв спектра P в околах частот їх форму- вання (5) i (6). Так, максимум в околi частоти (5) перемiщається у положення f (2) ch → uc h(e, φ) , а максимум частоти (6) стає трохи ширшим i ви- значається вже частотами порядку вiд u/(D/2+e) до u/(D/2−e): f (3) ch → u D′/2 , D/2 − e < D′/2 < D/2 + e. Згладжування форми звуження (при незмiнно- стi його ступеня S i довжини l, а також числа ReD) приводить до зменшення ступеня збуреностi течiї за ним, а вiдтак, до загального зменшення тиску prms i рiвнiв спектра P . При цьому спектр P за- лишається набагато чутливiшим до згладжування форми, нiж тиск prms. Положення ж точки макси- муму тиску prms i значення (prms)max у нiй, кiль- кiсть i положення низькочастотних максимумiв у спектрi P , а також оцiнки (1) для верхнiх меж дов- жин областей течiї за звуженням i т. п. залишаю- ться практично незмiнними [27]. 2. ГЕНЕРАЦIЯ ЗВУКУ ОБМЕЖЕНОЮ ОБЛАСТЮ ЗБУРЕНОЇ ТЕЧIЇ В КАНАЛI Як уже зазначено, iснуючi теорiї генерацiї звуку обмеженою областю збуреної течiї в каналi [15 –17] мають два суттєвих недолiки – у них не врахо- вується вплив стiнки каналу, яка зумовлює появу поверхневих диполiв, i не береться до уваги ймо- вiрна нерiвномiрнiсть розподiлу джерел звуку у зайнятих ними областях. У працях [28, 32] було розроблено вiдповiдну теорiю i встановлено кiль- кiснi зв’язки мiж характеристиками згенерованого акустичного поля та параметрами каналу й течiї в ньому. Зокрема, розглянуто випадки, коли в аку- стичному полi домiнують внески об’ємних квадру- полiв або поверхневих диполiв. При цьому iнтерес становили такi потоки й форми звужень каналiв, при яких область збуреної за звуженням течiї за- ймають рiвномiрно розподiленi великi або малi ви- хори. Для цих випадкiв було одержано вiдповiднi спрощенi вирази для акустичної енергiї й проведе- но їх оцiнки для характерних масштабiв у областi збурення. Нижче ми пiдсумуємо цi результати. 2.1. Теорiя Розглядається нескiнченний прямий жорстко- стiнний канал кругового поперечного перерiзу ра- 10 А. О. Борисюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 (r, ,z) (r0, 0,z0) V0 S0 S0 z r 0 2a U Рис. 9. Область збуреної течiї: геометрiя задачi дiусом a, в якому з осередненою осьовою швидкi- стю U тече рiдина густиною ρ i в’язкiстю ν (рис. 9). Течiя характеризується малим числом Маха M = U/c0 <� 1 (c0 – швидкiсть звуку в незбуренiй рi- динi). У скiнченнiй областi V0 течiя збурена. Ця область створює в каналi акустичне поле, яке не- обхiдно дослiдити i встановити кiлькiсний зв’язок мiж його характеристиками та параметрами кана- лу й потоку. Згiдно з теорiєю Лайтхiла [18 –20], без втрати загальностi вважається, що в’язкiсть рiдини вiдi- грає суттєву роль лише для областi збурення, а згенерований звук поширюється в iдеальному сти- сливому середовищi. За цих умов шукане акусти- чне поле описується рiвнянням Лайтхiла, в яко- му права частина мiстить як об’ємнi квадрупольнi ∂2Tij/∂yi∂yj , так i зумовленi наявнiстю стiнки ка- налу поверхневi дипольнi ∂Fi/∂yi джерела [28]: ∂2ρa ∂t2 − c2 0∇ 2ρa = ∂2Tij ∂yi∂yj + ∂Fi ∂yi , 0 < r < a, 0 < φ < 2π, |z| < ∞. (7) Граничними умовами є вiдсутнiсть радiальної швидкостi на стiнцi ∂pa ∂r ∣ ∣ ∣ ∣ r=a = 0 (8) i умова випромiнювання в нескiнченнiсть [28]. У рiвняннях (7), (8) введено такi позначення: ρa i pa – акустичнi флуктуацiї густини й тиску, якi зв’язанi спiввiдношенням pa =c2 0ρa; Tij ≈ρuiuj та Fi =nj(τij +pδij) – напруження Лайтхiла та i-та компонента прикладених до стiнки каналу сил (Tij та Fi зникають вiдповiдно за межами об’єму V0 i поверхнi S0, котра його обмежує); nj – j-та компонента зовнiшньої нормалi до стiн- ки; τij =(2/3)µεkkδij−2µεij – дотичнi напружен- ня; εij =(1/2)(∂ui/∂yj +∂uj/∂yi) – швидкостi де- формацiї; ui – i-та компонента швидкостi рiдини; µ=ρν – її динамiчна в’язкiсть; p – тиск; δij – сим- вол Кронекера. Тут i далi передбачається пiдсумо- вування по iндексах, що повторюються. Сформульована задача розв’язується методом функцiй Грiна. Її розв’язок для акустичних флу- ктуацiй густини ρa має такий вигляд [28]: ρa(~r, t) = ∞ ∫ 0 dt0 ∫∫∫ V0 ( ∂2Tij(~r0, t0) ∂yi∂yj × ×G(~r, t; ~r0, t0)dV0(~r0)+ + ∞ ∫ 0 dt0 ∫∫ S0 ∂Fi(~r0a, t0) ∂yi × ×G(~r, t; ~r0a, t0)dS0(~r0a), де G – функцiя Грiна хвильового рiвняння для зображеного на рис. 9 каналу. Вона записує- ться у виглядi ряду по його акустичних модах Ψnm ={Ψ (1) nm, Ψ (2) nm} [28]: G(~r, t; ~r0, t0) = − i 4πc2 0 × × 2 ∑ j=1 ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ m=1 Ψ (j) nm(r0, φ0) ‖Ψ (j) nm‖2 Ψ(j) nm(r, φ)× × ∞ ∫ −∞ eiknm(z−z0) knm e−iω(t−t0)dω, А. О. Борисюк 11 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 Ψ(1) nm(r, φ) = Jn(αnmr) cos(nφ), Ψ(2) nm(r, φ) = Jn(αnmr) sin(nφ), αnm = ζnm a , J ′ n(ζnm) = 0, knm = √ k2 0 − α2 nm , k0 = ω c0 . Акустична енергiя Pa, згенерована на частотi ω нерiвномiрно розподiленими в об’ємi V0 квадру- польними i на поверхнi S0 дипольними джерелами, дається таким виразом [28]: Pa(ω) = ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ m=1 Pnm(ω) = = 2 ∑ q=1 ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ m=1 1 4‖Ψ (q) nm‖2knmρ0ω × × [ ∫∫∫ V0 dV0(~r0) ∫∫∫ V0 ∂4ST ijkl(~r0, ~r0 ′, ω) ∂yi∂yj∂y′k∂y′l × ×Ψ(q) nm(r0, φ0)Ψ (q) nm(r′0, φ ′ 0)× ×e−sign(z−z0)iknm(z′ 0 −z0)dV0(~r0 ′)+ + ∫∫ S0 dS0(~r0a) ∫∫ S0 ∂2SF ik(~r0a, ~r0a ′, ω) ∂yi∂y′k × ×Ψ(q) nm(a, φ0)Ψ (q) nm(a, φ′ 0)× ×e−sign(z−z0)iknm(z′ 0 −z0)dS0(~r0a ′)+ +2Re ( ∫∫∫ V0 dV0(~r0) ∫∫ S0 ∂3STF ijk (~r0, ~r0a ′, ω) ∂yi∂yj∂y′k × ×Ψ(q) nm(r0, φ0)Ψ (q) nm(a, φ′ 0)× ×e−sign(z−z0)iknm(z′ 0 −z0)dS0(~r0a ′) )] . (9) Тут ST ijkl(~r0, ~r0 ′, ω)δ(ω − ω′) = 〈T̃ ∗ ij(~r0, ω)T̃kl(~r ′ 0, ω ′)〉, SF ik(~r0a, ~r0a ′, ω)δ(ω − ω′) = 〈F̃ ∗ i (~r0a, ω)F̃k(~r0a ′, ω′)〉, STF ijk (~r0, ~r0a ′, ω)δ(ω − ω′) = 〈T̃ ∗ ij(~r0, ω)F̃k(~r0a ′, ω′)〉. Якщо джерела звуку в зайнятих ними областях розташованi рiвномiрно, формула (9) спрощується за рахунок спрощення виразiв для спектрiв ST ijkl, SF ik i STF ijk , якi стають функцiями лише вiдстанi мiж джерелами i частоти [28]: ST ijkl(~r0, ~r ′ 0, ω) = ST ijkl( ~ξ, ω), SF ik(~r0a, ~r′0a, ω) = SF ik(~ξaa, ω), STF ijk (~r0, ~r ′ 0a, ω) = STF ijk (~ξa, ω), де ~ξ=~r′0−~r0, ~ξaa =~r′0a−~r0a, ~ξa =~r′0a−~r0. Аналiз спiввiдношення (9) показує, що енергiя Pa не залежить вiд осьової координати z, а отже не спадає зi збiльшенням вiдстанi вiд джерел (це природно для жорсткостiнного каналу, де немає втрат енергiї). Крiм того, вона дорiвнює сумi енер- гiй Pnm акустичних мод каналу. Енергiя ж окремої моди Pnm складається з трьох доданкiв. Перший з них являє собою звукову енергiю, згенеровану об’- ємними квадруполями, другий – енергiю, випро- мiнену поверхневими диполями, а третiй зумовле- ний взаємодiєю квадруполiв i диполiв. Вiдносний внесок кожного з доданкiв у Pnm (а вiдтак, i в Pa) залежить вiд числа Маха M . Якщо воно таке, що у згенерованому звуковому полi домiнує вне- сок квадруполiв, то у виразi для Pnm залишається лише перший доданок. Коли ж домiнують диполi, визначальним є другий доданок (умови, за яких можливе виникнення таких ситуацiй на практицi, викладенi в [32]). При домiнуваннi в акустичному полi у каналi внескiв рiзних типiв джерел проявляється низка цiкавих фiзичних ефектiв. Розглянемо їх. 2.2. Випадок домiнування квадруполiв У разi домiнування внеску об’ємних квадрупо- лiв, розташованих рiвномiрно в областi збуреної течiї V0, вираз (9) для енергiї Pa зводиться до [32] Pa(ω) = 2 ∑ q=1 ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ m=1 1 4‖Ψ (q) nm‖2knmρ0ω × × ∫∫∫ V0 Ψ(q) nm(r0, φ0)dV0(~r0)× × z0e−z0 ∫ z0i−z0 e−sign(z−z0)iknmξz dξz× × a−r0 ∫ −r0 (r0 + ξr)dξr 2π−φ0 ∫ −φ0 ∂4ST ijkl( ~ξ, ω) ∂ξi∂ξj∂ξk∂ξl × ×Ψ(q) nm(r0 + ξr , φ0 + ξφ)dξφ (10) 12 А. О. Борисюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 (тут z0i та z0e – початкова та кiнцева осьовi координати областi V0; ξz =z′0−z0, ξr =r′0−r0 i ξφ =φ′ 0−φ0 – осьова, радiальна й кутова вiдстанi мiж квадрупольними джерелами вiдповiдно). При аналiзi спiввiдношення (10) iнтерес станов- лять ситуацiї, коли область V0 займають великi або малi вихори [32]. 2.2.1. Великi вихори Нехай у областi збуреної течiї V0 домiнують на- стiльки великi вихори, що рух повнiстю корельова- ний у поперечному перерiзi каналу. Тодi вираз (10) значно спрощується [32]: Pa(ω) = P (1) 01 (ω) = |V0| 4k0ρ0ω × × ∞ ∫ −∞ ∂4ST zzzz(ξz , ω) ∂ξ4 z e−sign(z−z0)ik0ξzdξz (11) (тут |V0| – об’єм областi V0). Аналiз спiввiдношен- ня (11) засвiдчує, що у розглянутому випадку аку- стичне поле створюють лише поздовжнi квадру- полi ∂2Tzz/∂z2 0 , осi яких паралельнi до осi каналу. При цьому згенерований звук поширюється у ви- глядi плоскої хвилi зi швидкiстю c0. Повна акустична енергiя Πa = ∞ ∫ −∞ Pa(ω)dω, випромiнена цими джерелами, має вигляд [32] Πa = |V0| 4ρ0c 3 0 ∞ ∫ −∞ ∂2KT zzzz(ξz, τ ) ∂τ2 dξz, (12) де KT zzzz(ξz, τ )= ∞ ∫ −∞ ST zzzz(ξz, ω)e−iωτdω – кореля- цiя напружень Лайтхiла Tzz , а τ =ξz/c0 – час про- ходження звуковою хвилею осьової вiдстанi ξz мiж квадруполями. Введемо в областi V0 масштаби для довжини Lt =αa, частоти ft =βU/a i швидкостi γt =ut/U (де α i β – коефiцiєнти масштабiв Lt i ft вiдповiдно, а ut – характерна швидкiсть рiдини в областi V0). Проведення розмiрного аналiзу виразу (12) пока- зує, що при домiнуваннi в областi збуреної течiї великих вихорiв енергiя акустичного випромiню- вання квадруполiв у каналi пропорцiйна третьому степеневi числа Маха, а не п’ятому, як очiкувалось би з теорiї генерацiї звуку вiльною турбулентнi- стю [18 – 20,22, 32, 33]: Πa ∼ |V0| 4a ρ0U 3M3αβ2γ4 t , α ∼ 1, β ∼ 1. Така змiна характеру випромiнювання квадру- польних джерел пояснюється впливом стiнки ка- налу [32]. 2.2.2. Малi вихори При домiнуваннi в областi збуреної течiї V0 ви- хорiв, малих у порiвняннi з радiусом каналу, цiка- во розглянути випадки низьких та високих частот. Низькими тут вважаються частоти, меншi за всi критичнi частоти каналу ωnm=c0αnm, окрiм пер- шої: 0<ω<ωnm, (n, m) 6=(0, 1). Частоти, для яких всi акустичнi моди каналу однорiднi, є високими: ω>ωnm, n≥0, m≥1) [32]. У першому випадку спiввiдношення (10) набу- ває вигляду [32] Pa(ω) = P (1) 01 (ω) ≈ |V0|α 2 πk0ρ0ω × × ∞ ∫ −∞ ∂4ST ijkl( ~ξ, ω) ∂ξi∂ξj∂ξk∂ξl ∣ ∣ ∣ ∣ ξr=ξr∗,ξφ=ξφ∗ × ×e−sign(z−z0)ik0ξzdξz, α � 1, (13) де ξr∗ i ξφ∗ – точки з вiдрiзкiв [0, λr] i [0, λφ] вiдпо- вiдно, а λr i λφ – довжини кореляцiй у радiальному й азимутальному напрямках. Аналiз виразу (13) i його спiвставлення з вира- зом (11) показує, що при домiнуваннi в областi V0 малих вихорiв згенерована квадруполями на низь- ких частотах акустична енергiя поширюється у ви- глядi плоскої хвилi зi швидкiстю c0. Проте, хоча тут внесок в акустичне поле роблять всi (а не лише поздовжнi осьовi) квадруполi, вона є малою вели- чиною порядку α2 (α�1) вiд звукової енергiї, зге- нерованої квадруполями при домiнуваннi великих вихорiв [32]. Оцiнка для повної акустичної енергiї Πa вигля- дає наступним чином [32]: Πa ∼ |V0| πa ρ0U 3M3α3β2γ4 t , M3α2 ∼ M5, M � 1, α � 1. (14) Бачимо, що, як i у вiльному просторi, iнтенсив- нiсть акустичного випромiнювання малих вихорiв у каналi на низьких частотах визначається факти- чно п’ятим степенем числа Маха. Це свiдчить про А. О. Борисюк 13 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 вiдсутнiсть iстотного впливу стiнки каналу на про- цес генерацiї звуку малими вихорами у вказаному дiапазонi частот. Цей вплив проявляється лише у тонкому шарi безпосередньо бiля стiнки, товщина якого має порядок довжини кореляцiї в радiаль- ному напрямку λr [32]. У разi високих частот внесок у вiдповiдну область спектра Pa роблять усi квадруполi [32]: Pa(ω) = ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ m=1 |V0| 2πa2knmρ0ω × × ∞ ∫ −∞ ∞ ∫ −∞ ∞ ∫ −∞ ∂4ST ijkl( ~ξ, ω) ∂ξi∂ξj∂ξk∂ξl J0(αnmξr)× × cos(nξφ)e−sign(z−z0)iknmξz ξrdξrdξφdξz. (15) При цьому, на вiдмiну вiд випадкiв великих вихо- рiв та малих вихорiв i низьких частот, звукове по- ле формує не лише перша, але всi акустичнi моди каналу. Iнтегрування спiввiдношення (15) по частотi i введення в одержаний вираз масштабiв збуреної течiї Lt, ft i γt дає оцiнку для енергiї Πa [32]: Πa ∼ |V0| πa ρ0U 3M5α3β4γ4 t , α � 1. (16) Її аналiз показує, що у випадку малих вихорiв i високих частот iнтенсивнiсть акустичного випро- мiнювання квадруполiв у каналi визначається п’я- тим степенем числа Маха. Оскiльки це вiдповiдає оцiнцi акустичного випромiнювання квадруполiв у вiльному просторi [18 – 20, 22, 33, 34], то можна твердити про незначний вплив стiнки каналу на процес генерацiї звуку малими вихорами в ньому на високих частотах. Спiвставлення ж оцiнок (16) i (14), а також ура- хування пропорцiйностi M3α2 ∼ M5, M � 1, α � 1 вказує на те, що при домiнуваннi в областi збуреної течiї V0 малих вихорiв згенерована квадруполями у дiапазонi високих частот акустична енергiя буде малою величиною порядку α2β2 вiд енергiї, згене- рованої цими ж квадруполями на низьких часто- тах [32]. 2.3. Випадок домiнування диполiв При домiнуваннi внеску диполiв, розташованих рiвномiрно на поверхнi S0, вираз (9) для спектра акустичної енергiї Pa набуває вигляду [32] Pa(ω) = 2 ∑ q=1 ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ m=1 a2J2 n(αnma) 4‖Ψnm‖2knmρ0ω × × 2π ∫ 0 z0e ∫ z0i bq(nφ0)dφ0dz0× × 2π−φ0 ∫ −φ0 z0e−z0 ∫ z0i−z0 ∂2SF ik(ξφ, ξz, ω) ∂ξi∂ξk × ×bq(n(φ0 + ξφ))e−sign(z−z0)iknmξzdξφdξz, (17) де b1(nφ0)=cos(nφ0), b2(nφ0)=sin(nφ0), ∂SF ik/∂ξr =0. Як i у пiдроздiлi 2.2, розглянемо тут ситуацiї, коли область збуреної течiї зайнято великомасшта- бними або дрiбномасштабними вихровими утворе- ннями. 2.3.1. Великi вихори Коли область V0 займають настiльки великi ви- хровi утворення, що диполi повнiстю корельова- нi по колу r0 =a, спiввiдношення (17) зводиться до [32] Pa(ω) = ∞ ∑ m=1 |S0| 2ak0mρ0ω ∞ ∫ −∞ ∂2SF zz(ξz , ω) ∂ξ2 z × ×e−sign(z−z0)ik0mξzdξz, (18) (тут |S0| – площа поверхнi S0). Бачимо, що при до- мiнуваннi великих вихорiв внесок в акустичне по- ле у каналi роблять лише осьовi диполi ∂Fz/∂z0. При цьому основна частина їхнього внеску припа- дає на першу акустичну моду каналу Ψ (1) 01 =1. Їй вiдповiдає плоска звукова хвиля, котра поширює- ться зi швидкiстю c0. Повна акустична енергiя Πa, згенерована дипо- лями ∂Fz/∂z0, дається виразом [32] Πa ≈ |S0| 2aρ0c0 ∞ ∫ −∞ KF zz(ξz, τ )dξz (тут KF zz(ξz, τ )= ∞ ∫ −∞ SF zz(ξz, ω)e−iωτdω – кореляцiя сил Fz, а τ =ξz/c0 – час проходження звуковою хвилею осьової вiдстанi ξz мiж дипольними дже- релами). Цей вираз пропорцiйний третьому степе- невi числа Маха [32]: Πa ∼ |S0| 2 ρ0U 3M3αγ4 t , α ∼ 1. (19) 14 А. О. Борисюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 Маємо класичну кубiчну залежнiсть iнтенсивно- стi акустичного випромiнювання диполiв вiд числа Маха [21, 22, 33, 34]. 2.3.2. Малi вихори Якщо область збурення V0 зайнята в основному вихорами, малими у порiвняннi з радiусом каналу, то межi iнтегрування по ξφ та ξz у формулi (17) можна розширити вiд −∞ до ∞ i розглянути ви- падки низьких та високих частот [32]. У першому випадку спiввiдношення (17) пере- писується наступним чином [32]: Pa(ω) ≈ |S0|α 2πak0ρ0ω × × ∞ ∫ −∞ ∂2SF ik(ξφ, ξz, ω) ∂ξi∂ξk ∣ ∣ ∣ ∣ ξφ=ξφ∗ × ×e−sign(z−z0)ik0ξzdξz, α � 1. (20) де ξφ∗ – точка з вiдрiзку [0, λφ]; λφ – довжина ко- реляцiї в азимутальному напрямку. Аналiз виразу (20) засвiдчує, що при домiнуван- нi малих вихорiв внесок у низькочастотну область спектра Pa роблять всi диполi. Згенерована ними на частотi ω звукова енергiя поширюється у вигля- дi плоскої хвилi зi швидкiстю c0 i є малою величи- ною порядку α/π (α�1) вiд звукової енергiї (18), згенерованої диполями у разi домiнування вели- ких вихорiв. Оцiнка для повної акустичної енергiї Πa факти- чно дається виразом (19), помноженим на α/π [32]: Πa ∼ |S0| 2π ρ0U 3M3α2γ4 t , α � 1. (21) Знову отримуємо класичну кубiчну залежнiсть вiд числа Маха [21, 22, 33, 34]. У випадку високих частот формула (17) набуває вигляду [32] Pa(ω) = ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ m=1 |S0| 4πaεnknmρ0ω × × ∞ ∫ −∞ ∞ ∫ −∞ ∂2SF ik(ξφ, ξz, ω) ∂ξi∂ξk cos(nξφ)× ×e−sign(z−z0)iknmξzdξφdξz, (22) де εn =          1, n = 0, 1 2 [ 1− ( n αnma )2 ] , n ≥ 1. Аналiз спiввiдношення (22) показує, що у ра- зi домiнування в областi V0 малих вихорiв внесок у високочастотну область спектра Pa роблять усi диполi. При цьому звукове поле формується усi- ма акустичними модами каналу. Пiдстановка цiєї формули в iнтеграл для енергiї Πa i введення в одержаний вираз масштабiв збуреної течiї Lt, ft i γt дозволяє одержати оцiнку для Πa [32]: Πa ∼ |S0| 2π ρ0U 3M3α3βγ4 t , α � 1. (23) Бачимо, що i у випадку малих вихорiв та високих частот згенерована диполями акустична енергiя у каналi визначається третiм степенем числа Маха. Проте вона є малою величиною порядку αβ (α�1) порiвняно з енергiєю диполiв для малих вихорiв та низьких частот (спiвстав оцiнки (23) i (21)). 3. ГЕНЕРАЦIЯ ЗВУКУ ТЕЧIЄЮ В КАНАЛI З ЛОКАЛЬНИМ ЗВУЖЕННЯМ У вступi вiдзначалося, що, будучи взаємозв’яза- ними, гiдродинамiчнi й акустичнi поля у каналах зi звуженнями вивчалися в основному незалежно одне вiд одного. Тому iснує потреба в розробленнi пiдходiв до спiльного вивчення зазначених полiв з метою одержання повнiшої й достовiрнiшої iнфор- мацiї про їхнi структуру та властивостi. Один з таких пiдходiв запропоновано у пра- цях [10, 31] на прикладi зв’язаної задачi генера- цiї звуку течiєю в каналi з локальним осесиме- тричним звуженням. При цьому знайденi гiдро- динамiчнi параметри використовуються для опису джерел звуку. Для визначення поля течiї й акусти- чного поля застосовуються методи функцiй Грiна i власних функцiй, а також розроблена в [28,32] тео- рiя (див. описується у попереднiй роздiл). Одержа- нi на основi цього пiдходу результати добре узго- джуються з вiдомими лiтературними даними. Розглянемо нескiнченний прямий жорсткостiн- ний канал кругового поперечного перерiзу радi- усом a з осесиметричним звуженням довжиною l, яке описується функцiєю rs(z)=a−δs cos(πz/l), |z|<l/2 (рис. 10). У каналi з осередненою осьовою швидкiстю U тече рiдина, яка має густину ρ i в’яз- кiсть ν . Число Маха вважаємо малим: M �1. Зву- ження збурює течiю i вона створює в каналi зву- кове поле. Необхiдно дослiдити залежнiсть гiдро- динамiчних i акустичних характеристик вiд пара- метрiв звуження, каналу i незбуреного потоку. Згiдно з теорiєю Лайтхiла [18 – 20] без втрати за- гальностi вважається, що в’язкiсть рiдини вiдiграє суттєву роль лише в областi збурення, а згенеро- ваний звук поширюється в iдеальному стисливому А. О. Борисюк 15 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 ze U r z0 U zi l s D=2a2rs Рис. 10. Осесиметричне звуження: геометрiя задачi середовищi. За цих умов сформульована задача розбивається на гiдродинамiчну й акустичну ча- стини, зв’язанi мiж собою через квадрупольнi та дипольнi джерела звуку [31]. Гiдродинамiчна частина задачi описується рiв- няннями нерозривностi ∂ρ ∂t + ∂(ρui) ∂yi = 0 (24) та кiлькостi руху ∂ ∂t (ρui) + ∂ ∂yi (ρuiuj + pij) = 0. (25) За граничнi умови виберемо наявнiсть параболi- чного профiлю швидкостi перед i за областю збу- реної звуженням течiї, а також рiвнiсть нулевi швидкостi течiї на стiнцi каналу. Початковi ж умо- ви полягають у вiдсутностi руху рiдини в момент часу t=0 [31]. Акустична частина задачi описується рiвнян- ням (7). Граничними умовами є рiвнiсть нуле- вi нормальної компоненти акустичної швидкостi на стiнцi каналу (8) i умова випромiнювання на нескiнченнiсть. Початкову умову складає вiдсу- тнiсть акустичного випромiнювання в момент часу t=0 [31]. Вiдповiдно до сформульованих початково- граничних задач, розв’язування розбивається на двi частини. Спочатку дослiджується поле збуреної звуженням течiї. Потiм воно використо- вується для опису квадрупольних i дипольних джерел звуку при знаходженнi акустичного поля у каналi [10, 31]. При дослiдженнi збуреної течiї вважається, що вона осесиметрична, а рiдина нестислива [10, 31]. За таких умов вводяться функцiя течiї Ψ i завихо- ренiсть Ω: ur = 1 r ∂Ψ ∂z , uz = − 1 r ∂Ψ ∂r , ~Ω = ~τ ( ∂ur ∂z − ∂uz ∂r ) . (26) Це дозволяє звести рiвняння (24), (25) до системи двох зв’язаних диференцiальних рiвнянь вiдносно функцiй Ψ та Ω [31]: ∇2 (r,z)Ψ − 2 r ∂Ψ ∂r = rΩ, ∂Ω ∂t + ∂(urΩ) ∂r + ∂(uzΩ) ∂z = = ν ( ∇2 (r,z)Ω − Ω r2 ) , (27) з вiдповiдними початковими i граничними умова- ми 16 А. О. Борисюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 Ψ|t=0 = 0, Ω|t=0 = 0, Ψ|z=zi,ze = Ur2 ( r2 2a2 − 1 ) , Ω|z=zi,ze = 4Ur a2 , Ψ|r=R(z) = Ψ|r=a = − Ua2 2 , ∂Ψ ∂r ∣ ∣ ∣ ∣ r=R(z) = 0, ∂2Ψ ∂r∂z ∣ ∣ ∣ ∣ r=R(z) = 0, Ω|r=R(z) = 1 r ∂2Ψ ∂n2 , Ψ|r=0 = 0, Ω|r=0 = 0. (28) Задача (27), (28) розв’язується чисельно по часу в контрольному об’ємi zi ≤ z ≤ ze, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R(z), R(z) =    rs(z), |z| < l/2, a, |z| ≥ l/2, який спiвпадає з областю збуреної звуженням те- чiї. Далi зi спiввiдношень (26) визначається розпо- дiл швидкостей ur i uz у ньому. Одержане поле швидкостi дозволяє знайти тиск p у збуренiй за звуженням течiї (l/2≤z≤ze, 0≤φ≤2π, 0≤r≤a). Для цього рiвняння (25) пе- реписується у виглядi рiвняння Пуассона [31]: ∇2 (r,z)p(r, z, t) = −s(r, z, t), s(r, z, t) = ρ0 r × × [ ∂2(ru2 r) ∂r2 + 2 ∂2(ruruz) ∂r∂z + ∂2(ru2 z) ∂z2 ] . (29) Iншi манiпуляцiї зi спiввiдношенням (25) дають граничну умову для рiвняння (29) [31]: ∂p ∂r ∣ ∣ ∣ ∣ = ρ0 [ ν∇2 (r,z)ur − ∂ur ∂t ] , r = a, l/2 ≤ z ≤ ze. (30) Гранична задача (29), (30) розв’язується мето- дом функцiй Грiна [31, 35] p(r, z, t) = = ∫∫∫ V0 Gp(r, φ, z; r0, φ0, z0)s(r0, z0, t)dV0+ + ∫∫ S0 Gp(r, φ, z; a, φ0, z0) ∂p(a, z0, t) ∂r0 dS0, dV0 = r0dr0dφ0dz0, dS0 = adφ0dz0, де функцiя Грiна Gp будується у виглядi ряду по власних функцiях каналу Φnm ={Φ (1) nm, Φ (2) nm}: Gp(r, φ, z; r0, φ0, z0) = = 1 2 2 ∑ j=1 ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ m=1 Φ (j) nm(r0, φ0) ‖Φ (j) nm‖2 Φ(j) nm(r, φ)× × e−βnm|z−z0| βnm , Φ(1) nm(r, φ) = Jn(βnmr) cos(nφ), Φ(2) nm(r, φ) = Jn(βnmr) cos(nφ), βnm = ζnm a ; J ′ n(ζnm) = 0. Тодi шуканий тиск p дається виразом [31] p(r, z, t) = 1 a2 ∞ ∑ m=1 J0(β0mr) J2 0 (β0ma) 1 β0m × × [ ze ∫ l/2 e−β0m|z−z0|dz0 a ∫ 0 J0(β0mr0)× ×s(r0 , z0, t)r0dr0 + aJ0(β0ma)× × ze ∫ l/2 ∂p(r0, z0, t) ∂r0 ∣ ∣ ∣ ∣ r0=a e−β0m|z−z0|dz0 ] . (31) При знаходженнi акустичного поля в каналi зро- блено кiлька спрощувальних припущень [10, 31]. • По-перше, воно вважалось осесиметричним. А. О. Борисюк 17 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 z/D 0 4 8 12 p’rms(a,z) 0.5 0<u(0,z)>max 2 10-4 10-3 10-2 10-1 I+II III Рис. 11. Осьовий розподiл тиску prms на стiнцi каналу r=a у збуренiй за звуженням течiї при ReD = 1980 (U =0.11 м/с), S =96 % (δs =4a/5), l=4a [31]: ∗ – розрахунок, • – експеримент • По-друге, до уваги брались лише найiнтенсив- нiшi джерела звуку, якi розташованi за зву- женням (l/2≤z≤ze), i займають значно бiль- ший/бiльшу об’єм/площу порiвняно зi зна- чно слабшими джерелами, розташованими перед звуженням (zi≤z≤−l/2) i в ньому (−l/2<z<l/2). • По-третє, у дослiджуваному випадку малих чисел Маха джерела звуку апроксимувались параметрами нестисливої рiдини: Tij ≈ ρ0UiUj , Fi ≈ nj ( Pδij− −µ ( ∂Ui ∂yj + ∂Uj ∂yi )) , де (U1, U2, U3)=(ur, uφ, uz) i P =p(r, z, t) – компоненти швидкостi i тиск, якi визнача- ються зi спiввiдношень (26) i (31) вiдповiдно (U2 =uφ =0). Далi застосовувалась описана у роздiлi 2 теорiя, яка дозволяє встановити кiлькiснi зв’язки мiж ха- рактеристиками акустичного поля та параметрами течiї, каналу i звуження. Зокрема, вираз для зге- нерованої на частотi ω акустичної енергiї Pa має вигляд [10, 31] Pa(ω)= ∞ ∑ m=1 Pm(ω)= π a2ρ0ω ∞ ∑ m=1 1 J2 0 (α0ma) × × 1 k0m [ a ∫ 0 ze ∫ l/2 J0(α0mr0)r0dr0dz0× × a ∫ 0 ze ∫ l/2 ∂4ST ijkl(r0, z0, r ′ 0, z ′ 0, ω) ∂yi∂yj∂y′k∂y′l × ×J0(α0mr′0)e −ik0m(z′ 0 −z0)r′0dr′0dz′0+ +a2J2 0 (α0ma) ze ∫ l/2 dz0 ze ∫ l/2 ∂2SF ik(a, z0, a, z′0, ω) ∂yi∂y′k × ×e−ik0m(z′ 0 −z0)dz′0+2aJ0(α0ma)× ×Re ( a ∫ 0 ze ∫ l/2 J0(α0mr0)r0dr0dz0× × ze ∫ l/2 ∂3STF ijk (r0, z0, a, z′0, ω) ∂yi∂yj∂y′k e−ik0m(z′ 0 −z0)dz′0 )] , (32) а наближена кiлькiсна оцiнка для спектра (32) за- писується наступним чином [7, 8, 25, 30]: Pa ≈ Ka ( D dmin )8 Re4.4 D = = Ka ( D 2(a − δs) )8 Re4.4 D . (33) Оцiнка (32) говорить про те, що iнтенсивнiсть згенерованого локально звуженим каналом шуму приблизно пропорцiйна четвертому степеневi чис- ла Рейнольдса ReD i восьмому степеневi вiдношен- ня дiаметрiв незвуженої та максимально звуженої дiлянок каналу. Записуючи на основi виразу (33) вiдношення iн- тенсивностей шуму, згенерованого двома звужен- нями рiзного ступеня, одержуємо оцiнку P (1) a P (2) a ≈ ( d2min d1min )8 . Її аналiз показує, що менш як дворазове змен- шення площi поперечного перерiзу звуження (d2 2min/d2 1min≈1.78) викликає збiльшення iнтен- сивностi згенерованого звуженим каналом шуму на порядок. 18 А. О. Борисюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 100 200 300 400 500 600 -85 -80 -75 -70 -65 -60 -55 -50 2 1 10 lg P( a, l/2 +L m ax ,f ) frequency, Hz 100 200 300 400 500 600 -85 -80 -75 -70 -65 -60 -55 2 1 10 lg P( a, l/2 +4 D ,f ) frequency, Hz а б Рис. 12. Частотний спектр пульсацiй гiдродинамiчного тиску на стiнцi каналу r=a у точках z−l/2=Lmax (а) i z−l/2 =4D (б) за локальним звуженням при ReD =1800 (U =0.1 м/с), S =69 % (δs =4a/9), l=2a [31]: 1 – розрахунок, 2 – експеримент Проведенi на основi одержаних спiввiдношень розрахунки характеристик збуреної звуженням течiї й акустичного поля добре узгоджуються з вiдповiдними дослiдними даними [31]. Зокрема, це стосується наведених у першому роздiлi даних що- до областей течiї I–III за звуженням каналу та осьового розподiлу тиску prms в них (рис. 11), ло- кальних особливостей спектра P та їхнього зв’яз- ку з вихровими утвореннями (рис. 12) тощо. Окрiм iншого, в розрахованих кореляцiйно-спектральних характеристиках акустичного поля виявляються характернi акустичнi ознаки наявностi звужен- ня в каналi, знайденi й експериментальним шля- хом [7,8]. Так, спостерiгаються загальне зростання рiвнiв спектра акустичної енергiї й поява у ньо- му додаткових максимумiв (нових частотних ком- понент), якi визначаються частотами формування великомасштабних вихорiв у областi I+II (рис. 13). Така кореляцiя результатiв розрахунку з вiдповiд- ними дослiдними даними дає пiдстави говорити про успiшну апробацiю розроблених методу й те- орiї та можливiсть їхнього подальшого застосува- ння для розв’язання вiдповiдних задач гiдромеха- нiки й акустики [31]. ВИСНОВКИ 1. Створено та обгрунтовано теоретично й екс- периментально математичну модель генерацiї i проходження звуку у каналах з локально не- регулярною геометрiєю, яка дозволяє встанов- лювати необхiднi зв’язки мiж характеристи- ками гiдродинамiчних i акустичних полiв у ка- налах, а також проводити їхнi кiлькiснi оцiнки для типових значень параметрiв течiї, каналу й нерегулярностi його геометрiї. 2. У рамках створеної моделi • дослiджено вплив форми й геометричних параметрiв нерегулярностi геометрiї ка- налу, механiчних властивостей його стiн- ки й витратних характеристик течiї на поле пульсацiй тиску за нерегулярнiстю, а також на акустичне поле у каналi; одер- жанi вiдповiднi спiввiдношення та кiлькi- снi оцiнки для кореляцiйно-спектральних характеристик цих полiв; • у характеристиках акустичного поля та поля пульсацiй пристiнного тиску вияв- лено ознаки, якi вказують на наявнiсть локальної нерегулярностi геометрiї в ка- налi; встановлено їхнiй зв’язок з параме- трами течiї, каналу й нерегулярностi; • встановлено, що спектральнi характери- стики акустичного поля та поля пуль- сацiй пристiнного тиску значно чутливi- шi за їх просторовi характеристики до локальних змiн геометрiї каналу, механi- чних властивостей його стiнки й витра- тних характеристик течiї. 3. Розроблено теорiю генерацiї звуку обмеженою областю збуреної течiї у нескiнченному пря- мому жорсткостiнному каналi, яка враховує наявнiсть диполiв на його стiнцi i найбiльш iмовiрний нерiвномiрний характер розподiлу квадрупольних i дипольних джерел звуку у А. О. Борисюк 19 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 0 100 200 300 400 500 600 -90 -80 -70 -60 fch (2) fch (1) fch (3) 10 lg P (f ) frequency, Hz Рис. 13. Спектр Pa(f) акустичної енергiї, згенерованої збуреною за звуженням течiєю при ReD =1575 (U =0.35 м/с), S =44 % (δs =a/4), l=2a [31] зайнятих ними областях. На цiй основi одер- жанi вирази й оцiнки, якi кiлькiсно описують спiввiдношення мiж внесками рiзних джерел в акустичне поле для випадкiв нерiвномiрно- го та рiвномiрного їх розподiлу, а також для типових значень параметрiв каналу i потоку та характерних масштабiв у областi збурення. 4. Розроблено аналiтично-чисельний метод розв’язання зв’язаних задач акустичного випромiнювання течiй у каналах з локальни- ми звуженнями. У ньому для знаходження поля течiї використовуються методи функцiй Грiна i власних функцiй, а для визначення акустичного поля – оригiнальна теорiя. 5. Розв’язано задачу генерацiї звуку стацiонар- ною течiєю у нескiнченному прямому жорс- ткостiнному каналi кругового поперечного пе- рерiзу з локальним осесиметричним звужен- ням i одержано аналiтичнi вирази для роз- рахунку гiдродинамiчних i акустичних хара- ктеристик течiї. Для типових значень пара- метрiв течiї, каналу i звуження цi результати добре узгоджуються з вiдповiдними експери- ментальними даними. 1. Lees R. S., Dewey C. F., Jr. Phonoangiography: A new noninvasive diagnostic method for studying arterial disease // Proc. Nat. Acad. Sci.– 1970.– 67.– P. 935–942. 2. Young D. F. Fluid mechanics of arterial stenosis // J. Biomech. Engng.– 1979.– 101.– P. 157–175. 3. Миролюбов С. Г. Гидродинамика стеноза // Сов- ремен. пробл. биомех.– 1983.– 1.– С. 73–136. 4. Berger S. A., Jou L.-D. Flows in stenotic vessels // Ann. Rev. Fluid Mech.– 2000.– 32.– P. 347–382. 5. Clark C. The fluid mechanics of aortic stenosis. 1. Theory and steady flow experiments // J. Biomech.– 1976.– 9.– P. 521–528. 6. Борисюк А. О. Експериментальне дослiдження пристiнного тиску в трубi за стенозом // Акуст. вiсн.– 2002.– 5, N 1.– С. 13–21. 7. Борисюк А. А. Моделирование генерации шума стенозом в сосуде // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, N 2.– С. 3–18. 8. Borisyuk A. O. Experimental study of noise produced by steady flow through a simulated vascular stenosis // J. Sound Vib.– 2002.– 256.– P. 475–498. 9. Clark C. Turbulent wall pressure measurements in a model of aortic stenosis // J. Biomech.– 1977.– 10.– P. 461–472. 10. Борисюк А. О. Дослiдження поля течiї i акусти- чного поля у жорсткостiнному каналi кругово- го поперечного перерiзу з локальним осесиметри- чним звуженням. Частина 2. Чисельнi результа- ти // Акуст. вiсн.– 2004.– 7, N 3.– С. 28–38. 11. Fredberg J. J. Origin and character of vascular murmurs: Model studies // J. Acoust. Soc. Amer.– 1977.– 61.– P. 1077–1085. 12. Tobin R. J., Chang I. D. Wall pressure spectra scali- ng downstream of stenoses in steady tube flow // J. Biomech.– 1976.– 9.– P. 633–640. 13. Kim B., Corcoran W. K. Experimental measurement of turbulence spectra distal to stenosis // J. Biomech.– 1974.– 7.– P. 335–342. 14. Abdallah S. A., Hwang N. H. C. Arterial stenosis murmurs: An analysis of flow and pressure fields // J. Acoust. Soc. Amer.– 1988.– 83, N 1.– P. 318–334. 15. Davies H. G., Ffowcs Williams J. E. Aerodynamic sound generation in a pipe // J. Fluid Mech.– 1968.– 32, N 4.– P. 765–778. 16. Doak P. E. Excitation, transmission and radiation of sound from source distributions in hard-walled ducts of finite length. (1): The effects of duct cross- section geometry and source distribution space-time pattern // J. Sound Vib.– 1973.– 31.– P. 1–72. 17. Michalke A. On the propagation of sound generated in a pipe of circular cross-section with uniform mean flow // J. Sound Vib.– 1989.– 134.– P. 203–234. 18. Lighthill M. J. On sound generated aerodynamically. 1. General theory // Proc. Roy. Soc. London.– 1952.– A211.– P. 564–587. 19. Lighthill M. J. On sound generated aerodynamically. 2. Turbulence as a source of sound // Proc. Roy. Soc. London.– 1954.– A221.– P. 1–32. 20. Lighthill M. J. Sound generated aerodynamically // Proc. Roy. Soc. London.– 1962.– A267.– P. 147–182. 21. Curle N. The influence of solid boundaries upon aerodynamic sound // Proc. Roy. Soc. London.– 1955.– A231.– P. 505–514. 22. Blake W. K. Mechanics of flow-induced sound and vi- bration: in 2 vols.– New York: Academic Press, 1986.– 974 p. 23. Hardin J. C., Pope D. S. Sound generation by a stenosis in a pipe // AIAA J.– 1992.– 30.– P. 312– 317. 24. Borisyuk A. O. Modelling of the acoustic properties of a larger human blood vessel // Акуст. вiсн.– 1998.– 1, N 3.– С. 3–13. 20 А. О. Борисюк ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 4 – 21 25. Borisyuk A. O. Noise field in the human chest due to turbulent flow in a larger blood vessel // Flow, Turbul. Combust.– 1999.– 61.– P. 269–284. 26. Борисюк А. О. Експериментальне дослiдження пристiнного тиску в трубi за цилiндричною встав- кою з ексцентриситетом // Акуст. вiсн.– 2002.– 5, N 2.– С. 3–12. 27. Борисюк А. О. Експериментальне дослiдження пульсацiй пристiнного тиску в трубi за локальни- ми осесиметричними звуженнями рiзних форм // Доп. НАН України.– 2003.– N 10.– С. 45–51. 28. Борисюк А. О. Генерацiя звуку обмеженою обла- стю збуреної течiї в жорсткостiнному каналi кру- гового поперечного перерiзу. Частина 1. Загальна теорiя // Акуст. вiсн.– 2003.– 6, N 3.– С. 3–9. 29. Борисюк А. О. Експериментальне дослiдження пульсацiй пристiнного тиску в еластичнiй трубi за локальним осесиметричним звуженням // Акуст. вiсн.– 2003.– 6, N 4.– С. 19–26. 30. Borisyuk A. O. Model study of noise field in the human chest due to turbulent flow in a larger blood vessel // J. Fluids Struct.– 2003.– 17.– P. 1095–1110. 31. Борисюк А. О. Дослiдження поля течiї i аку- стичного поля у жорсткостiнному каналi круго- вого поперечного перерiзу з локальним осесиме- тричним звуженням. Частина 1. Теорiя // Акуст. вiсн.– 2004.– 7, N 1.– С. 19–29. 32. Борисюк А. О. Генерацiя звуку обмеженою обла- стю збуреної течiї в жорсткостiнному каналi кру- гового поперечного перерiзу. Частина 2. Частиннi випадки // Акуст. вiсн.– 2004.– 7, N 4.– С. 10–20. 33. Howe M. S. Acoustics of fluid-structure interaction.– Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998.– 560 p. 34. Dowling A. P., Ffowcs Williams J. E. Sound and sources of sound.– New York: Ellis Horwood, 1983.– 238 p. 35. Morse P. M., Feshbach H. Methods of theoretical physics: vol. 1.– New York: McGraw-Hill, 1953.– 997 p. ДОДАТОК. УМОВНI ПОЗНАЧЕННЯ (r, φ, z) – цилiндричнi координати; a, D – радiус i дiаметр поперечного перерiзу каналу; d(z) – дiаметр локального звуження кана- лу; dmin – мiнiмальний дiаметр локального зву- ження каналу; S – ступiнь локального звуження каналу; l – довжина локального звуження кана- лу; rs – функцiя, яка описує геометрiю ло- кального звуження каналу; δs – параметр форми локального звужен- ня каналу; V0 – область збуреної течiї; S0 – поверхня, що оточує область V0; ρ – густина рiдини; ρ0 – густина незбуреної рiдини; ρa – акустичнi флуктуацiї густини; ν – кiнематична в’язкiсть рiдини; µ – динамiчна в’язкiсть рiдини; U – осереднена осьова швидкiсть незбу- реної звуженням течiї; u – осереднена осьова швидкiсть течiї у звуженнi; ReD – число Рейнольдса незбуреної звуже- нням течiї; Red – число Рейнольдса струменя; ui, ur, uz – компоненти швидкостi течiї; Ui – компоненти швидкостi нестисливої рiдини; pij – напруження; τij – дотичнi напруження; Tij – напруження Лайтхiла; pt – пульсацiї тиску на стiнцi; prms – середньоквадратичне значення тиску pt; pa – акустичнi флуктуацiї тиску; Ω – завихоренiсть; Ψ – функцiя течiї; zi, z0 – вхiдний та вихiдний перерiзи кон- трольного об’єму; c0 – швидкiсть звуку в незбуреному сере- довищi; k0 – акустичне хвильове число; αnm, βnm – радiальнi хвильовi числа; knm – осьовi хвильовi числа; Lmax – вiдстань вiд локального звуження ка- налу до точки максимуму тиску prms; (prms)max – максимальний тиск prms; Φnm – власнi функцiї каналу; Ψnm – акустичнi моди каналу; Gp, G – функцiї Грiна; P – частотний спектр пульсацiй тиску pt; Pa – частотний спектр акустичної енергiї; Πa – повна акустична енергiя. А. О. Борисюк 21

Схожі ресурси