Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії
Современные математические модели прогноза погоды базируются на уравнениях гидродинамики, которые в общем виде являются трехмерными уравнениями конвективной диффузии. В статье рассмотрен новый подход к решению таких уравнений, который заключается в использовании аддитивно-усредненного расщепления на...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
2015
|
| Назва видання: | Геофизический журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103745 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії / Л.М. Кацалова // Геофизический журнал. — 2015. — Т. 37, № 1. — С. 131-136. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-103745 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1037452016-06-24T03:03:04Z Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії Кацалова, Л.М. Научные сообщения Современные математические модели прогноза погоды базируются на уравнениях гидродинамики, которые в общем виде являются трехмерными уравнениями конвективной диффузии. В статье рассмотрен новый подход к решению таких уравнений, который заключается в использовании аддитивно-усредненного расщепления на основе метода явного счета. Представлены результаты исследования устойчивости и сходимости метода. Приведены соответствующие математические обоснования и оценки. Согласно полученным результатам сделаны выводы об эффективности метода при решении гидродинамических уравнений. Modern mathematical forecast models are based on hydrodynamic equations, which are three- dimensional convection diffusion equations in the general form. In the article, the new approach to solving such equations, which consists in using the additive-averaged splitting on the basis of the explicit account scheme, is described. The results of stability and convergence of the method are presented. Appropriate math studies and evaluations given. Based on the results, conclusions regarding the effectiveness of the method for solving hydrodynamic equations are made. 2015 Article Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії / Л.М. Кацалова // Геофизический журнал. — 2015. — Т. 37, № 1. — С. 131-136. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 0203-3100 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103745 519.633 uk Геофизический журнал Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Научные сообщения Научные сообщения |
| spellingShingle |
Научные сообщения Научные сообщения Кацалова, Л.М. Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії Геофизический журнал |
| description |
Современные математические модели прогноза погоды базируются на уравнениях гидродинамики, которые в общем виде являются трехмерными уравнениями конвективной диффузии. В статье рассмотрен новый подход к решению таких уравнений, который заключается в использовании аддитивно-усредненного расщепления на основе метода явного счета. Представлены результаты исследования устойчивости и сходимости метода. Приведены соответствующие математические обоснования и оценки. Согласно полученным результатам сделаны выводы об эффективности метода при решении гидродинамических уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Кацалова, Л.М. |
| author_facet |
Кацалова, Л.М. |
| author_sort |
Кацалова, Л.М. |
| title |
Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії |
| title_short |
Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії |
| title_full |
Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії |
| title_fullStr |
Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії |
| title_full_unstemmed |
Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії |
| title_sort |
дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії |
| publisher |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Научные сообщения |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103745 |
| citation_txt |
Дослідження збіжності адитивно-усередненого розщеплення на основі схеми явного рахування для тривимірних рівнянь конвективної дифузії / Л.М. Кацалова // Геофизический журнал. — 2015. — Т. 37, № 1. — С. 131-136. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
| series |
Геофизический журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kacalovalm doslídžennâzbížnostíaditivnouserednenogorozŝeplennânaosnovíshemiâvnogorahuvannâdlâtrivimírnihrívnânʹkonvektivnoídifuzíí |
| first_indexed |
2025-07-07T14:17:22Z |
| last_indexed |
2025-07-07T14:17:22Z |
| _version_ |
1836998032332161024 |
| fulltext |
ДОСЛІДЖЕННЯ ЗБІЖНОСТІ АДИТИВНО-УСЕРЕДНЕНОГО РОЗЩЕПЛЕННЯ НА ОСНОВІ...
Геофизический журнал № 6, Т. 37, 2015 131
Вступ. У сучасній метеорології розв’язання
задачі прогнозу погоди ґрунтується на матема-
тичному моделюванні атмосферних процесів
[Кибель, 1957; Марчук, 1967; Белов и др., 1989;
Прусов, Сніжко, 2005]. Математичне моделю-
вання складається з таких етапів [Тихонов,
Самарский, 1972; Самарский, Михайлов, 2001]:
1) побудова математичної моделі, що описує
циркуляцію атмосфери;
2) вибір методу реалізації моделі;
3) програмування обчислювального алго-
ритму на ЕОМ і проведення розрахунків.
Щодо першого етапу на сьогодні існує ціл-
ком задовільна математична теорія руху рідини
взагалі й атмосферних рухів зокрема [Матвеев,
1965; Roache, 1985; Гилл, 1986]. Ця теорія ґрун-
тується на фізичних законах збереження кіль-
кості руху, маси й енергії. Математично її ви-
ражають рівняннями руху Нав’є—Стокса, які
зв’язують прискорення у певному напрямку з
компонентами об’ємних і поверхневих сил, що
діють у цьому напрямку, рівнянням збережен-
ня маси, термодинамічним рівнянням енергії і,
нарешті, рівнянням стану Бойля—Шарля [Пру-
сов, Дорошенко, 2006]. Слід підкреслити, що ці
фундаментальні закони, залишаючись істотно
незмінними, і складають основу математичних
моделей прогнозування погоди.
Прогностичні моделі реалізують за допо-
могою чисельних методів [Самарский, Гулин,
1989]. Це зумовлено складністю математичних
УДК 519.633
Дослідження збіжності адитивно-усередненого
розщеплення на основі схеми явного рахування
для тривимірних рівнянь конвективної дифузії
© Л. М. Кацалова, 2015
Український науково-дослідний гідрометеорологічний інститут
МНС та НАН України, Київ, Україна
Надійшла 1 жовтня 2015 р.
Представлено членом редколегії Я. М. Хазаном
Современные математические модели прогноза погоды базируются на уравнениях ги-
дродинамики, которые в общем виде являются трехмерными уравнениями конвективной
диффузии. В статье рассмотрен новый подход к решению таких уравнений, который за-
ключается в использовании аддитивно-усредненного расщепления на основе метода явного
счета. Представлены результаты исследования устойчивости и сходимости метода. Приведены
соответствующие математические обоснования и оценки. Согласно полученным результатам
сделаны выводы об эффективности метода при решении гидродинамических уравнений.
Ключевые слова: уравнение конвективной диффузии, аддитивно-усредненное расщепле-
ние, метод явного счета, устойчивость, сходимость.
моделей, що описують циркуляційні процеси в
атмосфері. Рівняння, з яких складаються такі
моделі, є переважно нелінійними тривимірни-
ми рівняннями другого порядку з малим пара-
метром при похідних другого порядку. Завдя-
ки наявності малого параметра при старших
похідних ці рівняння можуть змінювати свій
тип (гіперболічний або параболічний) [Прусов,
Дорошенко, 2006] залежно від модельованого
режиму руху в атмосфері.
В умовах вітчизняних наукових реалій зна-
чною проблемою реалізації математичних мо-
делей є обмеження на час розв’язання, оскільки
прогноз погоди потрібно отримувати завчасно.
Навіть сучасні обчислювальні машини не да-
ють змоги використовувати дрібну просторову
і часову дискретизацію та ітераційні методи,
що привело б до підвищення точності прогнозу
[Prusov еt al., 2006].
У практичній реалізації рівнянь гідродина-
міки і тепло-, масоперенесення часто засто-
совують методи розщеплення, згідно з якими
тривимірні рівняння зводять до послідовності
трьох одновимірних задач, що пов’язані між
собою початковими даними [Самарский, Ва-
бищевич, 1999; Prusov et al., 2006].
Нижче запропоновано саме такий підхід
до розв’язання тривимірних рівнянь конвек-
тивної дифузії, а саме застосування адитивно-
усередненого розщеплення [Гордезиани, Ме-
ладзе, 1974] до тривимірного рівняння та скін-
Л. М. КАЦАЛОВА
132 Геофизический журнал № 6, Т. 37, 2015
ченно-різницевої схеми явного рахування
[Прусов и др., 2007; Гук, 2011] до послідовності
отриманих одновимірних задач. У статті дослі-
джено збіжність запропонованої реалізації та
обґрунтовано доцільність її застосування.
Постановка задачі. Рівняння гідродинаміки
і тепло-, масоперенесення, що складають осно-
ву математичних моделей прогнозу погоди,
можна записати у загальному вигляді:
u u f
t
при ( )1 2 3, ,x x x , 0t > , (1)
( ) ( )0
1 2 3 1 2 30, , , , ,u x x x u x x x
при ( )1 2 3, ,x x x , (2)
( )1 2 3, , , 0u t x x x
при ( )1 2 3, ,x x x , 0t > , (3)
де [ ] [ ] [ ]1 2 30, 0, 0, — просторова об-
ласть визначення задачі; Г — межа облас-
ті Ω; ( )1 2 3, , ,u u t x x x — залежна функція;
( )1 2 3, , ,f f t x x x — вільний член рівняння;
3
1
— просторовий диференціальний
оператор, що подається через суму простіших
операторів;
2
2v
x x
, να, μ — сталі.
Дискретизуємо просторово-часову область
визначення задачі:
{ }:, 0,1,...nt n n
— часова сітка;
( )1 2 3, ,h h h h
( ){ 1 1 1 2 2 2 3 3 3, , :x j h x j h x j h h
}, 0, , 1, 2,3J j J
— рівномірна за кожним координатним на-
прямком x просторова сітка.
Означимо скінченно-вимірний гільберто-
вий простір H0 як множину векторів
( ){ 1 2 30 1 , ,( , ,..., ) :N b i i iy y y y y
{ } }0, 0, , 1, 2,3i J
зі скалярним добутком
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
31 2
1 2 3 1 2 3
1 2 3
11 1
1 1 1
,
h
JJ J
b i i i b i i i
x i i i
y v h y x v x h y v ,
де
( )
3
1
1 1N J , 1 2 3h h h h ; ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , Tb i i i a i i i
— бієктивний оператор; ( )1 2 3, ,a a a a — проек-
ційний вектор; ( )
1
0
1s
s
a J , 0 0J . По суті,
оператор ( )1 2 3, ,b i i i визначає перехід від три-
цифрового індексування до послідовного для
кожного вузла сітки ωh і значень y в них.
Також для елементів цього простору роз-
глядатимемо норму ( ),y y y .
Визначимо оператори, що діють в H0:
1
,
i i
x i
y y
y
h
, 1
,
i i
x i
y y
y
h
+ ,
1 1
, 2
2i i i
xx i
y y y
y
h
, 0 xxA y y .
Апроксимуємо задачу (1)–(3) за допомогою
адитивно-усередненого розщеплення [Горде-
зиани, Меладзе, 1974] та методу явного раху-
вання [Гук, 2011]:
( )3 3
n n
n ny fB A y f , 1,2,3 ,(4)
де
( ) ,2 x ii
v
B y y
h
; ( ) ,2 x ii
v
A y y
h
,
1,..., 1i N ;
3
1
1
1
3
ny ; (5)
( )0 0 0
1 2 3, ,iy u u x x x , 0,...,i N , (6)
1
0 0ny + , 1 0n
Ny
+ , 1,2,...n (7)
Стійкість методу. В задачах чисельного
прогнозу погоди (особливо довгостроково-
го), а також у задачах моделювання загальної
циркуляції атмосфери питання стійкості скін-
ченно-різницевих схем має важливе значен-
ня. Проте дослідження стійкості схем для чи-
сельного розв’язання рівнянь, що входять до
метеорологічних моделей, мають значні склад-
нощі через їх нелінійність. Тому часто аналіз
стійкості проводять для рівнянь, які отримані
лінеаризацією нелінійних рівнянь [Самарский,
ДОСЛІДЖЕННЯ ЗБІЖНОСТІ АДИТИВНО-УСЕРЕДНЕНОГО РОЗЩЕПЛЕННЯ НА ОСНОВІ...
Геофизический журнал № 6, Т. 37, 2015 133
Гулин, 1973]. Дослідимо стійкість запропонова-
ного методу для випадку сталих ,v , випадок
змінних коефіцієнтів — тема для подальших
досліджень.
Нехай праві частини nf , 1,2,3 мають
вигляд
o
n n nf f f ,
3
1
0
o
nf , 1,2,3 . (8)
Теорема, що наведена нижче, встановлює
стійкість схеми (4)—(7).
Теорема 1. Для схеми (4)—(7) виконується
апріорна оцінка
( )2
1
0 0
1 2
41 0
0
1
v t
n
n k
nA A k
y e y t f
+ +
+
1/22
29
o
kB f , (9)
де
1,2,3
maxv v , ( )
0
2 2
0
2,
A Cy A y y y , тобто
схема стійка за початковими даними та
правою частиною в неперервній нормі C .
Доведення. Використаємо зображення
n n ny w , w , 1,2,3 ,
3
1
1
1
3
nw w , 0 0w . (10)
Нехай ,nw w є розв‘язками задачі
3
on
nw w f , 1,2,3 . (11)
З урахуванням (8), (10), (11) отримуємо, що
1 0 0n nw w w+ .
Тоді 3 3
o o
n nnw w f f .
З формул (4), (5) маємо задачу для ,n :
( )
3
n
n n nB A f B w A w ,
1,2,3 , (12)
3
1
1
1
3
n . (13)
Врахувавши формули (10), (11), перепишемо
вираз (12) так:
( ) 3
3
n o
n n n nB A f B f . (14)
У статті [Гук, 2008] показано, що для кожно-
го , 1, 2,3v із задачі (12) виконується оцінка
( )2
1
0
1 1
224 0
0 0
1
2
nv t
n
kn
A A k
t
e
+
+
( )2
1 1
4
nv t
e
+
0
1
22 2
0
0
1
3
2
on
k kn
A k
t
f B f
+
,
де
( )
0 0 ,A
y A y y 22
C
y .
Перейшовши до суми по α, отримуємо
( )2
1
0 0
1
3 3 41
1 1
1 1
3 3
nv t
n
A A
e
+
0
1
22 2
0
0
1
3
2
on
k kn
A
k
t
f B f
+
.
Остання оцінка доводить теорему.
Збіжність методу. Розв’язок різницевої
схеми має наближатися до точного розв’язку
диференціальної задачі, причому різниця між
ними має зменшуватися зі зменшенням сітко-
вих кроків. Таку властивість різницевої схеми
називають збіжністю.
Покажемо збіжність розв’язку різницевої
схеми (4)—(7) до розв’язку диференційної за-
дачі (1)—(3).
Нехай
n n nz y u , 1nz u ,
( )
3 3
1 1 1 1
1 1
1 1
3 3
n n n nz z u y u .
Підставивши 1ny z u , n n ny z u у
формули (4)—(7), отримаємо таку задачу:
( )
3
n
nz z B z A z
( )
1
1
3
n n
n n n nu uf B u A u
+
+ , 1,2,3 ;
3
1
1
1
3
nz z ,
1 1
0 0, 0n n
Nz z+ + ,
Л. М. КАЦАЛОВА
134 Геофизический журнал № 6, Т. 37, 2015
0 0, 0,...,iz i N , 1,2,...n
Тут n — похибка апроксимації кожного α-го
рівняння (4). Із статті [Прусов и др., 2008] ві-
домо, що похибка апроксимації схеми явного
рахування 2O h
h
.
Зауважимо, що для тривимірного рівняння
(1)n O .
Запишемо у спеціальному вигляді
o
n n n ,
3
1
0
o
n , 1,2,3 , (15)
де
( )2
1 2 3
2
, , ,1
3 3
o
n f t x x xu u uv
t x x
,
2n O h
h
.
Тоді, скориставшись попередньою теоре-
мою, отримаємо оцінку
( )2
1
0 0
1
41 0 1
v t
n
nA A
z e z t
+ +
+
1
22 2
2
0
9
on
k k
k
B . (16)
Сформулюємо таку теорему.
Теорема 4. Для похибки z виконується оцінка
0
1 2
M
n
A m
z O h
h
+ , (17)
де
1,2,3
maxMh h ,
1,2,3
minmh h .
Доведення. Підставивши у формулу (16)
рівності
0 0z , 2k O h
h
, ( )3
o
kB O ,
дістанемо
0
3
1 2
1
1
3
n
A
z O h
h
+
2 2
1,2,3
max M
m
O h O h
h h
,
де
1,2,3
maxMh h ,
1,2,3
minmh h .
Теорему доведено.
Таким чином, існує умовна збіжність
розв’язку різницевої схеми (4)—(7) до розв’язку
задачі (1)—(3). Умова збіжності має вигляд
0
mh
при 0, 0Mh .
Висновки. За результатами дослідження
стійкості та збіжності запропонованої скін-
ченно-різницевої схеми можна зробити такі
висновки:
схема є безумовно стійкою;
існує збіжність чисельного розв’язку до
розв’язку задачі конвективної дифузії
(1)—(3) зі швидкістю 2O h
h
у нор-
мі C за умов 0, 0, 0.h
h
Із побудови запропонованої схеми зрозу-
міло, що кількість операцій, необхідних для
переходу на наступний часовий шар, є ліній-
но пропорційною розміру масивів вхідних да-
них. Застосування цього методу не потребує
ні розв’язання матричних систем, ні застосу-
вання ітерацій.
Схема має достатню точність. Із умови збіж-
ності випливає обмеження на часовий крок
1h , де ε — будь-яке додатне мале число. Це
обмеження не є обтяжливим для задач динаміч-
ної метеорології, тому що надмірне збільшення
часового кроку призводить до збільшення по-
хибки розв’язку. При цьому запропонований
підхід є економічним з погляду витрат машин-
ного часу на реалізацію метеорологічних моде-
лей, що ґрунтуються на тривимірних рівняннях
гідродинаміки.
У статті [Кацалова, 2013] наведено результа-
ти реалізації спрощеної моделі циркуляції ат-
мосфери методом адитивно-усередненого роз-
щеплення на підставі методу явного рахування.
Результати експерименту і теоретичного
дослідження підтверджують доцільність вико-
ристання методу для розв’язання тривимірних
рівнянь конвективної дифузії під час реалізації
метеорологічних моделей.
ДОСЛІДЖЕННЯ ЗБІЖНОСТІ АДИТИВНО-УСЕРЕДНЕНОГО РОЗЩЕПЛЕННЯ НА ОСНОВІ...
Геофизический журнал № 6, Т. 37, 2015 135
Белов П. Н., Борисенков Е. П., Панин Б. Д. Численные
методы прогноза погоды. Ленинград: Гидроме-
теоиздат, 1989. 376 с.
Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Москва:
Мир, 1986. 416 с.
Гордезиани Д. Г., Меладзе Г. В. О моделировании
третьей краевой задачи для многомерных пара-
болических уравнений в произвольной области
одномерными уравнениями. Журн. вычисл. ма-
тем. и матем. физики. 1974. № 1. С. 246—250.
Гук Л. М. Метод явного рахунку для реалізації моделі
циркуляції атмосфери. Вісник Київ. нац. ун-та
ім. Тараса Шевченкa. Сер. фіз.-мат. науки. 2011.
№ 4. С. 102—106.
Гук Л. М. Стійкість та збіжність економічного мето-
ду розв’язання одновимірної задачі конвективної
дифузії. Вісник Київ. нац. ун-та ім. Тараса
Шевченкa. Сер. фіз.-мат. науки. 2008. № 4.
С. 115—118.
Кацалова Л. М. Один метод реалізації спрощеної
моделі циркуляції атмосфери. Вісник Київ. нац.
ун-та ім. Тараса Шевченкa. Сер. фіз.-мат. науки.
2013. № 1. С. 178—171.
Кибель И. А. Введение в гидродинамические методы
краткосрочного прогноза погоды. Москва: Гос-
техиздат, 1957. 375 с.
Марчук Г. И. Численные методы в прогнозе погоды.
Ленинград: Гидрометеоиздат, 1967. 353 с.
Матвеев Л. Т. Основы общей метеорологии. Физика
атмосферы. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1965.
876 с.
Прусов В. А., Дорошенко А. Ю. Моделювання при-
Список літератури
родних і техногенних процесів в атмосфері. Київ:
Наук. думка, 2006. 542 с.
Прусов В. А., Дорошенко А. Е., Черныш Р. И., Гук Л. Н.
Теоретическое исследование одного численно-
го метода решения задачи конвективной диф-
фузии. Кибернетика и системный анализ. 2008.
№ 2. С. 161—170.
Прусов В. А., Дорошенко А. Е., Черныш Р. И., Гук Л. Н.
Эффективная разностная схема численного ре-
шения задачи конвективной диффузии. Кибер-
нетика и системный анализ. 2007. № 3. С. 64—74.
Прусов В. А., Сніжко С. І. Математичне моделювання
атмосферних процесів: Підручник. Київ: Ніка-
Центр, 2005. 496 с.
Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы
решения задач конвекции-диффузии. Москва:
Эдиториал УРСС, 1999. 248 с.
Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разност-
ных схем. Москва: Наука, 1973. 416 с.
Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы:
учебное пособие для вузов. Москва: Наука, 1989.
432 с.
Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое
моделирование: Идеи. Методы. Примеры. Мо-
сква: Физматлит, 2001. 320 с.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математи-
ческой физики. Москва: Наука, 1972. 736 с.
Prusov V., Doroshenko A., Faragó I., Havasi Á., 2006.
On the numerical solution of the three-dimensional
advection-diffusion equation. Problems in program-
ming (2-3), 641—647.
Roache P. J., 1985. Computational Fluid Dynamics. Al-
buquerque: Hermosa Publishers, 616 p.
The study of convergence of additive-averaged splitting
based on the scheme of explicit solution
for three-dimensional equations of convective diffusion
© L. N. Katsalova, 2015
Modern mathematical forecast models are based on hydrodynamic equations, which are three-
dimensional convection diffusion equations in the general form. In the article, the new approach
to solving such equations, which consists in using the additive-averaged splitting on the basis of
the explicit account scheme, is described. The results of stability and convergence of the method
are presented. Appropriate math studies and evaluations given. Based on the results, conclusions
regarding the effectiveness of the method for solving hydrodynamic equations are made.
Key words: convection diffusion equation, additive-averaged splitting, explicit account method,
stability, convergence.
Л. М. КАЦАЛОВА
136 Геофизический журнал № 6, Т. 37, 2015
Belov P. N., Borisenkov E. P., Panin B. D., 1989. Numerical
methods of weather forecasting. Leningrad: Gidro-
meteoizdat, 376 p. (in Russian).
Gill A., 1986. The dynamics of the atmosphere and
ocean. Moscow: Mir, 416 p. (in Russian).
Gordeziani D. G., Meladze G. V., 1974. Simulation of
the third boundary value problem for multidimen-
sional parabolic equations in an arbitrary domain by
one-dimensional equations. Zhurnal vychislitelnoy
matematiki i matematicheskoy fiziki (1), 246—250
(in Russian).
Guk L. M., 2011. Explicit account method for realization
of atmospheric circulation model. Visnyk Kyivskogo
natsionalnogo universiteta im. Tarasa Shevchenka.
Ser. fiz.-mat. nauky (4), 102—106 (in Ukrainian).
Guk L. M., 2008. Stability and convergence of economic
method for solving the one-dimensional convective
diffusion problem. Visnyk Kyivskogo natsionalnogo
universiteta im. Tarasa Shevchenka. Ser. fiz.-mat.
nauky (4), 115—118 (in Ukrainian).
Katsalova L. M., 2013. One method of implementation
of simplified atmospheric circulation model. Visnyk
Kyivskogo natsionalnogo universiteta im. Tarasa
Shevchenka. Ser. fiz.-mat. nauky (1), 178—171 (in
Ukrainian).
Kibel I. A., 1957. Introduction to hydrodynamic meth-
ods of short-term weather forecasting. Moscow:
Gostekhizdat, 375 p. (in Russian).
Marchuk G. I., 1967. Numerical methods in weather
forecasting. Leningrad: Gidrometeoizdat, 353 p.
(in Russian).
Matveev L. T., 1965. General meteorology basics. The
physics of the atmosphere. Leningrad: Gidrome-
teoizdat, 876 p. (in Russian).
References
Prusov V. A., Doroshenko A. Yu., 2006. Modelling of natu-
ral and anthropogenic processes in the atmosphere.
Kyiv: Naukova Dumka, 542 p. (in Ukrainian).
Prusov V. A., Doroshenko A. Ye., Chernysh R. I., Guk L. M.,
2008. Theoretical study of a numerical method solv-
ing convective diffusion problem. Kibernetika i
sistemnyy analiz (2), 161—170 (in Russian).
Prusov V. A., Doroshenko A. Ye., Chernysh R. I., Guk L M.,
2007. Efficient difference scheme numerical solution
of the convective diffusion problem. Kibernetika i
sistemnyy analiz (3), 64—74 (in Russian).
Prusov V. A. Snizhko S. I., 2005. Mathematical model-
ing of atmospheric processes: Textbook. Kyiv: Nika-
Tsentr, 496 p. (in Ukrainian).
Samarskiy A. A., Vabishchevich P. N., 1999. Numerical
methods for solving convection-diffusion problems.
Moscow: Editorial URSS, 248 p. (in Russian).
Samarskiy A. A., Gulin A. V., 1973. Stability of difference
schemes. Moscow: Nauka, 416 p. (in Russian).
Samarskiy A. A., Gulin A. V., 1989. Numerical methods:
a manual for schools. Moscow: Nauka, 432 p. (in
Russian)]
Samarskiy A. A., Mikhaylov A. P., 2001. Mathematical
modeling: Ideas. Methods. Examples. Moscow: Fiz-
matlit, 320 p. (in Russian).
Tikhonov A. N., Samarskiy A. A., 1972. The equations
of mathematical physics. Moscow: Nauka, 736 p.
(in Russian).
Prusov V., Doroshenko A., Faragó I., Havasi Á., 2006.
On the numerical solution of the three-dimensional
advection-diffusion equation. Problems in program-
ming (2-3), 641—647.
Roache P. J., 1985. Computational Fluid Dynamics. Al-
buquerque: Hermosa Publishers, 616 p.
|