Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах

Данный обзор состоит из двух частей. В первой части кратко изложена теория Био для описания пористо-упругих насыщенных жидкостью сред и проанализированы направления дальнейшего ее развития. Проведено сравнение модели Био и модели пористых сред, построенной на основе теории смесей. Во второй части оп...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
1. Verfasser:	Городецкая, Н.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2007
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1038
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах / Н. С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 2. — С. 43-63. — Бібліогр.: 118 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-1038
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-10382008-10-20T18:36:13Z Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах Городецкая, Н.С. Данный обзор состоит из двух частей. В первой части кратко изложена теория Био для описания пористо-упругих насыщенных жидкостью сред и проанализированы направления дальнейшего ее развития. Проведено сравнение модели Био и модели пористых сред, построенной на основе теории смесей. Во второй части описаны волновые задачи, решенные в рамках теории Био. Даний огляд складається з двох частин. У першій частині коротко викладено теорію Біо для опису пористо-пружних насичених рідиною середовищ і проаналізовано напрямки подальшого її розвитку. Проведено коротке порівняння моделі Біо й моделі пористих середовищ, побудованої на основі теорії сумішей. Другу частину присвячено хвильовим задачам, розв'язаним у рамках теорії Біо. This review consists of two parts. In the first part, the Biot's theory for the description of poroelastic fluid-saturated media is presented and further directions for its development are analyzed. The Biot's model is compared with a model of porous media based on the theory of mixtures. Wave problems solved within the framework of the Biot's theory are described in the second part. 2007 Article Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах / Н. С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 2. — С. 43-63. — Бібліогр.: 118 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1038 539.3 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Данный обзор состоит из двух частей. В первой части кратко изложена теория Био для описания пористо-упругих насыщенных жидкостью сред и проанализированы направления дальнейшего ее развития. Проведено сравнение модели Био и модели пористых сред, построенной на основе теории смесей. Во второй части описаны волновые задачи, решенные в рамках теории Био.
format	Article
author	Городецкая, Н.С.
spellingShingle	Городецкая, Н.С. Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах
author_facet	Городецкая, Н.С.
author_sort	Городецкая, Н.С.
title	Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах
title_short	Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах
title_full	Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах
title_fullStr	Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах
title_full_unstemmed	Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах
title_sort	волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2007
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1038
citation_txt	Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах / Н. С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 2. — С. 43-63. — Бібліогр.: 118 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gorodeckaâns volnyvporistouprugihnasyŝennyhžidkostʹûsredah
first_indexed	2025-07-02T04:35:05Z
last_indexed	2025-07-02T04:35:05Z
_version_	1836508413480140800
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 УДК 539.3 ВОЛНЫ В ПОРИСТО-УПРУГИХ НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ СРЕДАХ Н. С. Г ОР ОД Е Ц К АЯ Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 24.04.2007 Данный обзор состоит из двух частей. В первой части кратко изложена теория Био для описания пористо-упругих насыщенных жидкостью сред и проанализированы направления дальнейшего ее развития. Проведено сравнение модели Био и модели пористых сред, построенной на основе теории смесей. Во второй части описаны волновые задачи, решенные в рамках теории Био. Даний огляд складається з двох частин. У першiй частинi коротко викладено теорiю Бiо для опису пористо-пружних насичених рiдиною середовищ i проаналiзовано напрямки подальшого її розвитку. Проведено коротке порiвняння моделi Бiо й моделi пористих середовищ, побудованої на основi теорiї сумiшей. Другу частину присвячено хвильовим задачам, розв’язаним у рамках теорiї Бiо. This review consists of two parts. In the first part, the Biot’s theory for the description of poroelastic fluid-saturated media is presented and further directions for its development are analyzed. The Biot’s model is compared with a model of porous media based on the theory of mixtures. Wave problems solved within the framework of the Biot’s theory are described in the second part. ВВЕДЕНИЕ Математическое моделирование многокомпо- нентных (многофазных) континуумов типа пори- стых насыщенных жидкостью сред началось более 90 лет тому назад с исследований процесса кон- солидации грунтов. Многокомпонентность необхо- димо учитывать при решении значительного чис- ла прикладных задач, возникающих в различных областях человеческой деятельности. Однако сло- жности описания эффектов взаимодействия фаз, фазовых переходов, теплообмена и других сопут- ствующих процессов привели к тому, что до на- стоящего времени общепринятая модель для на- сыщенной пористой среды не разработана. Да- же при существенных упрощениях, когда фазо- вые переходы отсутствуют, температурные эффе- кты не принимаются во внимание и пр., модель насыщенной жидкостью пористо-упругой среды существенно усложняется по сравнению с одно- родным упругим или вязкоупругим континуумом за счет способности жидкости втекать или выте- кать в любую область, формируемую порами. Это принципиально отличает пористую среду от тра- диционной упругой, поскольку концепция элемен- тарного объема в последней предполагает, что хотя частички упругой среды могут двигаться относи- тельно некого положения равновесия, они всегда остаются в относительной близости друг к другу. Для частичек поровой жидкости ситуация иная – некоторые из них могут удаляться на значитель- ные расстояния от начального положения равно- весия. Это особенно важно учитывать при рас- смотрении волновых процессов. Действительно, в таких задачах по мере роста частоты возраста- ет вклад динамического поведения жидкости, что значительно усложняет модель среды. Исторически сформировались два подхода к описанию механики насыщенных пористо-упругих сред, которые интенсивно развиваются и в насто- ящее время. Один из них связан с именем Fil- lunger (1913) [72]1 и основан на аксиоме о не- смешивающихся взаимопроникающих континуу- мах с внутренним взаимодействием. В то же вре- мя, как отмечено в работе [101], “более интуитив- ная теория была развита Terzaghi (1923)”. С име- нем Terzaghi связывают термин “механика грун- тов”. Он описал консолидацию грунта, т. е. процесс осадки пористой, деформируемой среды, содер- жащей вязкую жидкость, под действием нагруз- ки [110]. В этой работе Terzaghi, основываясь на классической теории упругости, применил закон Дарси для описания фильтрации жидкости через упругую среду. Им же впервые введено понятие эффективных напряжений. Несмотря на взаимную непримиримую критику работ по механике грунтов оба выдающихся уче- ных – и Fillunger и Terzaghi – считаются осново- положниками первых теорий пористых сред. Они исследовали такие механические эффекты в на- сыщенных средах как капиллярность, трение по- 1В виде исключения, список библиографических исто- чников к статье составлен в алфавитном порядке (прим. ред.). c© Н. С. Городецкая, 2007 43 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 ровой жидкости при движении относительно по- ристого скелета, повышение давления в поровой жидкости. Исторический обзор исследований, по- священный упомянутым двум подходам к описа- нию насыщенных пористых сред, можно найти в обзоре [54] или более поздней работе De Boer [55]. Обобщая работы Terzaghi на случай трехмер- ных задач, Био (Biot) развил теорию пористых сред, насыщенных вязкой жидкостью. Теория Био является расширением классической теории упру- гости на случай двухфазной среды с учетом ввода дополнительных параметров, учитывающих вза- имодействие фаз. В своих исследованиях Био развил принцип соответствия, согласно которо- му “уравнения, описывающие механику пористых сред, будут формально такими же, как и для упру- гих или вязкоупругих систем, при условии, что упругие коэффициенты заменены соответствую- щими операторами” [2]. Первая работа Био, посвященная консолидации грунта, опубликована в 1941 г. [37]. В ней были получены соотношения между напряжениями и деформациями в двухфазной среде. В 1944 г. в связи с изучением сейсмоэлектрического эффекта Я. И. Френкель в работе [20] впервые рассмотрел теорию распространения акустических волн в по- ристой насыщенной жидкостью среде. В первых работах Био предполагалось, что среда статиче- ски однородна и изотропна [38, 39]. В дальнейшем эта теория была развита на случаи анизотропного упругого [4] и вязкоупругого [2] скелета. Собрание статей Био по пористо-упругим насыщенным жид- костью средам опубликовано в [109]. Базовые положения теории Био о распростра- нении упругих волн в пористо-упругой насыщен- ной жидкостью среде были опубликованы в 1955– 1956 гг. [38, 39]. До настоящего времени они оста- ются основополагающими для линейной акустики пористых материалов. Теория Био предсказыва- ет существование в пористой среде трех типов волн – быстрой продольной, медленной продоль- ной (которая также называется волной Био или продольной волной II рода) и поперечной. Эти ти- пы волн также были найдены в работе Френке- ля [20]. Быстрая продольная и поперечная волны по своей природе близки к волнам в безграничной упругой среде и распространяются с небольшим затуханием. Анализу их акустических характери- стик, в частности, коэффициенту затухания и ско- рости распространения, посвящено значительное число работ. Отметим только некоторые их них, например, [38]. Медленная продольная волна характерна имен- но для пористо-упругой среды. Она распростра- няется значительно медленнее, чем быстрая про- дольная волна, и быстро затухает. Роль этой вол- ны в акустических задачах наиболее существенна в случае большой сжимаемости среды, заполняю- щей поровое пространство (в частности, если эта среда – воздух или другой газ). Медленную про- дольную волну сложно обнаружить в естествен- ных пористых насыщенных жидкостью средах, так как она имеет значительно меньшую амплиту- ду, чем быстрая продольная. Кроме того, как отме- чалось в [90], трудности обнаружения медленной продольной волны обусловлены не только боль- шим затуханием, но в значительной мере сложно- стью ее возбуждения и выделения на фоне сигна- лов от быстрой продольной и поперечной волн. Существование медленной продольной волны впервые было подтверждено экспериментально в пористой водонасыщенной среде искусственно- го происхождения на ультразвуковых частотах (500 кГц) для широкого диапазона изменений пористости (8÷28 %) [94]. Plona отметил, что с уменьшением пористости среды скорость медлен- ной продольной волны снижается, в отличие от бы- строй продольной и поперечной волн, скорость ко- торых при этом увеличивается. Johnson, 1980 [76], измерял скорость медленной продольной волны в газонасыщенной среде. В более поздних работах Chandler и Johnson, 1981 [49], а также Johnson и Plona, 1982 [78] показано, что в водонасыщен- ной среде медленная продольная волна в обла- сти высоких частот существует всегда. Для есте- ственных пористых сред с воздушным заполнени- ем медленная продольная волна изучалась в рабо- тах Albert [23], а в работе Adler и Nagy [90] была измерена экспериментально. Для естественных по- ристых водонасыщенных сред медленная продоль- ная волна экспериментально наблюдалась в иссле- довании Kelder и Smeulder [83] Экспериментальное обнаружение медленной продольной волны в значительной степени стиму- лировало интерес к подходу Био и дальнейшее его развитие. При этом следует отметить, что теория Био не только качественно, но и количественно правильно предсказывает скорости, амплитуды и частотную зависимость затухания всех трех типов волн в различных насыщенных пористых средах [51, 68, 78, 79, 89, 93, 100]. Отметим также работы, в которых показано, что игнорирование медленной продольной волной приводит к значи- тельным ошибкам при оценке затухания быстрой продольной и поперечной волн [51, 96, 102,112]. 44 Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 1. ТЕОРИЯ БИО Вопросам распространения волн в пористо- упругих насыщенных вязкой жидкостью средах посвящены работы Био, опубликованные в 1956 и 1962 гг. Судя по ссылкам, исследования, относя- щиеся к 1956 г., получили значительно более ши- рокую известность. Вместе с тем, в более поздних публикациях приведена обобщающая теория рас- пространения волн, позволяющая учитывать не- однородность пористости, анизотропию, диссипа- тивные эффекты, обусловленные как движени- ем вязкой жидкости относительно упругого ске- лета, так и потерями собственно в скелете или поровой жидкости. Применение понятия вязкоу- пругого оператора позволило включить в модель релаксацию, диссипацию, обусловленную физико- химическими, термоупругими механическими и другими процессами, протекающими в насыщен- ной пористо-упругой среде. Здесь же Био ввел не- зависимую переменную ζ, определяющую прира- щение содержания жидкости в системе координат, связанной со скелетом – количество жидкости, ко- торая втекает или вытекает из данного элемен- та, жестко связанного со скелетом. Исходя из это- го, при рассмотрении в рамках теории Био стати- стически однородной изотропной пористо-упругой среды мы будем основываться преимущественно на его работах, опубликованных в 1962 г. 1.1. Уравнения состояния Пористо-упругая среда состоит из упругого однородного скелета с сообщающимися между со- бой порами. Поровое пространство скелета пол- ностью заполнено вязкой сжимаемой жидкостью. Поровая жидкость может перетекать по поровому пространству. Пористость определяется как отно- шение объема сообщающихся между собой пор к общему объему (эффективная пористость): φ = Vf V . При таком определении пористости закрытые изо- лированные поры, по которым жидкость не дви- жется, рассматриваются как часть упругого ске- лета. Обозначим через u – средний по элементарно- му объему упругого скелета вектор перемещения, а через U – вектор перемещения жидкости, также усредненный по объему. Отметим, что для описа- ния процессов в однородной жидкости, как прави- ло, используется вектор скорости. Однако, следуя работам Био, будем использовать вектор переме- щений как для скелета, так и для жидкости. Приращение содержания жидкости определяе- тся следующим образом: ζ = −divφ(u −U). Оно имеет смысл количества жидкости, втекаю- щей или вытекающей из данного элемента, жест- ко связанного со скелетом [2]. В изотропной одно- родной пористо-упругой насыщенной жидкостью среде, внутренняя энергия деформации (W ) будет квадратичной функцией инвариантов тензора де- формации упругого скелета I1, I2 и приращения содержания жидкости: W = C1I 2 1 + C2I2 +C3I1ζ + C4ζ 2. Здесь I1 = ε211 + ε222 + ε233 = e, e = divu, I2 = εiiεij − εijεij 2 , εij = 1 2 ( ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ) . Постоянные C1, . . . , C4 выражаются через посто- янные H , µ, C, M , которые использовал Био [38, 39]. В этих обозначениях выражение для энергии можно переписать в виде 2W = HI2 1 − 4µI2 − 2Ceζ +Mζ2. (1) Дифференцируя выражения для энергии по де- формации, можно получить соотношения между напряжениями и деформациями: σij = 2µeij + δij ( (H − 2µ)e−Cζ ) , pf = −Ce+Mζ. (2) Здесь σij =σs ij+σf – суммарный тензор напряже- ний, приложенный к пористо-упругой среде в це- лом; σs ij =(1−φ)σ̃s ij – напряжения в скелете; σ̃s ij – напряжения в матрице скелета; σf – напряжение в жидкости. Соотношения (2) были получены Био и в других работах в 1941, 1956 гг. При этом автор от статьи к статье изменял как обозначения коэффициентов, так и сами коэффициенты. В частности, в [37] был введен коэффициент эффективных напряжений α, C=αM . Определению физического смысла и методов измерений коэффициентов, входящих в уравне- ния состояния (2), уделялось много внимания. Этим вопросам посвящена обширная литерату- ра [18, 40, 73, 74]. Н. С. Городецкая 45 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 Четыре макрокоэффициента H , µ, C и M опре- деляются через микропараметры среды соотноше- ниями [18,73] H = (Ks −Kb) 2 D−Kb +Kb + 4µ 3 , C = Ks(Ks −Kb) D −Kb , M = K2 s D −Kb , D = Ks [ 1 +m ( Ks Kf − 1 )] . (3) Принята следующая терминология: “дренажное” деформирование соответствует изменению состоя- ния пористой среды при постоянном поровом дав- лении. Эти условия также называют сжатием в “оболочке” [18], сжимаемостью в “обойме” [2], ко- гда насыщенный жидкостью пористый образец по- мещается в непроницаемую эластичную оболочку (при этом жидкость может свободно вытекать из оболочки через трубку). Всестороннее сжатие та- кого типа используется в некоторых стандартных методах определения механических свойств грун- тов [18]. “Недренажное” деформирование происхо- дит при постоянстве содержания жидкости (mf – масса жидкости). В этом случае насыщенный жидкостью пористый образец также находится в эластичной оболочке, однако жидкость не может вытекать из нее. Отметим, что реакция среды при недренажном деформировании будет более жес- ткой, чем при дренажном. Тогда в приведенных выше соотношениях Kb – модуль объемного сжа- тия пористой среды при дренажных условиях; Ks – модуль объемного сжатия упругого скелета; Kf – модуль объемного сжатия жидкости; µ – мо- дуль сдвига пористой среды. В работе [85] показа- но, что формулы (3) справедливы до тех пор, пока пористо-упругую среду можно рассматривать как однородную на макро- и на микроуровнях. В теории Био сделано предположение, что жид- кость не влияет на сдвиговые свойства пористого скелета, т. е. ее вязкость учитывается только в си- ле межфазного взаимодействия. Такое же допуще- ние сделано в работе Френкеля [20]. Модуль сдвига является характеристикой, относящейся только к скелету, и одинаков для насыщенной и ненасыщен- ной пористых сред. Общее напряжение, приложенное к насыщенно пористо-упругой среде, представим в виде σij = σs ij + σf δij , (4) где σf =−φpf ; pf – давление поровой жидкости; σs ij – напряжения, приложенные к упругому ске- лету. С точки зрения инженерных расчетов важное значение имеют эффективные напряжения на- сыщенной пористо-упругой среды, поскольку, как известно из эксперимента, свойства пористых сред при разрушении зависят именно от их величин. В работах Био эффективные напряжения определя- ются следующим образом [2, (3.11), с. 109]: σ′ ij = σij + δijpf . (5) Эффективные напряжения представляют собой часть полных напряжений, за вычетом давления жидкости в данной точке. Эффективные напряже- ния в форме (5) – суть эффективные напряжения Terzaghi, соответствующие несжимаемой матрице скелета. Используя последнее соотношение, урав- нения состояния (2) можно переписать в виде σ′ ij − (1 − α)p = 2µeij + δij ( Kb − 2 3 µ ) e, pf = −Ce+Mζ. (6) Коэффициент эффективных напряжений α определяется следующим образом: α = 1 − Kb K′ s где K′ s – модуль объемного сжатия для случая сжатия без оболочки. Это соответствует случаю, когда насыщенный жидкостью пористо-упругий образец полностью помещен в жидкость, подверга- ющуюся воздействию внешнего давления. Модуль K′ s в точности равенKs, если пористо-упругий ске- лет однороден [34, 45]. Как показывают экспери- менты, для изотропного упругого скелета коэффи- циент α изменяется в диапазоне от 0.4 до 1 [69,86]. В то же время, согласно [32], теоретические пре- делы изменения α таковы: φ ≤ α ≤ 1. В этой же работе показано, что для любых на- сыщенных пористо-упругих сред α не зависит от Kf . Для случая сжимаемой матрицы скелета эф- фективные напряжения имеют вид (см. [57, (21), с. 328] или [53, (4.26), с. 76)]) σ′ ij = σij + αpfδij . (7) Эффективные напряжения в формах (5) и (7) совпадают для несжимаемой матрицы скелета (Kb/Ks =0). Эффективные напряжения в фор- ме (5) можно трактовать как напряжения, об- условленные деформацией пористо-упругой среды 46 Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 при нулевом поровом давлении pf =0, а эффектив- ные напряжения в форме (7) – как напряжения, обусловленные деформацией пористо-упругой сре- ды в целом при произвольном поровом давлении. В [43] показаны различия между эффективными напряжениями в формах (5) и (7), проявляющие- ся в эксперименте для скелета (горная порода) при α=0.65. Отметим, что для случая несжимаемой жидко- сти и несжимаемого скелета α=1, M=∞. Таким образом, в оригинальных работах Био и в последующих публикациях, которые основыва- лись на теории Био, получены уравнения состоя- ния для пористо-упругой полностью насыщенной вязкой сжимаемой жидкостью среды и разработа- ны методики проведения экспериментов для опре- деления значений коэффициентов, входящих в эти уравнения. 1.2. Уравнения движения Для получения уравнений движения пористо- упругой насыщенной жидкостью среды Био использовал различные подходы (например, в ра- боте [38] – закон сохранения импульса для пори- стой среды в целом и закон Дарси для описания движения жидкости относительно упругого скеле- та). Здесь мы повторим вывод уравнений движе- ния на основе метода Лагранжа [2]. Кинетическая энергия единицы объема пористо- упругого материала определяется следующим образом: Wk = 1 2 (1− φ)ρs ( du dt )2 + 1 2 ∫ Ω ρf ( dU dt )2 dΩ. (8) Здесь Ω – объем жидкости в порах в единице объе- ма пористо-упругой среды; ρs – плотность упруго- го скелета; ρf – плотность жидкости; u, U – сре- дние смещения в упругом скелете и жидкости со- ответственно. Среднюю скорость в жидкости рас- смотрим как сумму скоростей – скорости упругого скелета и некой локальной скорости жидкости V . Поле локальных скоростей жидкости является ли- нейной функцией скорости потока жидкости отно- сительно упругого скелета и для случая постоян- ной пористости имеет вид Vi = aijφ ( dUj dt − duj dt ) = aij dwj dt , (9) где w = φ(U − u) – поток жидкости относитель- но упругого скелета. Такая запись вполне право- мерна при условии, что поле микроскоростей в по- ровой жидкости описывается движением Пуазей- ля. Тогда второе слагаемое в выражении (8) при выполнении гипотезы малых возмущений может быть представлено в форме 1 2 ∫ Ω ( ρf ( dui dt + Vi )2 ) dΩ = 1 2 φρf ( dui dt )2 + +ρf dui dt dwi dt + 1 2 ρf ∫ Ω ViVidΩ. (10) С учетом соотношения (9) третье слагаемое в (10) представим как ρf ∫ Ω ViVidΩ = ∑ i,j mij dwi dt dwj dt , mij = ρf ∫ Ω ∑ k akiakj. Для изотропного упругого скелета можно запи- сать mij = mδij , m = ρfαf , где αf – извилистость. Мы подробно повторили выкладки, сделанные в [2] для кинетической энергии, чтобы напомнить, как в работах Био было введено понятие изви- листости. Извилистость характеризует эффектив- ное (действительное) расстояние, которое прохо- дит жидкость по поровому пространству. Она по- зволяет учесть тот факт, что в направлении гради- ента макроскопического давления не может двига- ться вся поровая жидкость, так как поры ориен- тированы в различных направлениях. Кроме то- го, модуль величины V − u̇ также изменяется по сечению поры2. Исходя из условия прилипания на стенках упругого скелета, справедливо считать, что его величина максимальна вдали от границы раздела жидкость – упругий скелет. Извилистость может быть определена так [53]: αf = 〈fΩ(z)ρf (z)(V − u̇)2〉 φρf (U̇ − u̇)2 ≥ 1. Здесь fΩ(z) – характеристическая функция объе- ма Ω: fΩ(z) = { 1 z ∈ Ω, 0 z 6∈ Ω. Для однородной структуры, все поры в которой ориентированны в направлении градиента давле- ния, получаем αf =1. В [111] показано, что изви- листость может изменяться в пределах 1≤αf<∞. Она зависит от геометрии пор и, в общем случае, 2Здесь и далее точками обозначены частные произво- дные по времени. Н. С. Городецкая 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 от частоты [77,101]. В [77, (3.4a), с. 386] показано, что частотная зависимость извилистости опреде- ляется следующим образом: αf(ω) = α∞ + iηfφ ωρfk0 √ 1 − ψ(ω), α∞ = Gφ. (11) Здесь α∞ – извилистость в низкочастотном пре- деле; G – структурный коэффициент; ηf – дина- мическая вязкость жидкости; k0 проницаемость в низкочастотном пределе. Частотная зависимость, представленная в [77], была обобщена в [25] с учетом температурных эффектов, которые имеют принципиальное значение при насыщении пори- стой среды газом. В области низких частот извилистость, изме- ренная экспериментально на ансамбле стеклян- ных сфер, составила αf =1.66 [42]. Для реальных пористо-упругих сред извилистость должна опре- деляться экспериментально. Для многих песчани- ков (sandstone) эта величина лежит в диапазоне 1.5≤αf ≤5, а для большинства песков αf =2 [103]. Отметим, что экспериментально найденные в [79] значения фазовых скоростей и затуханий для всех трех объемных волн с высокой точностью совпада- ют со скоростями и затуханиями, вычисленными по теории Био с учетом частотной зависимости извилистости (11) и проницаемости. Через извилистость определяется присоединен- ная масса, характеризующая динамическое вза- имодействие между упругим скелетом и жидко- стью [2, 18, 101]: ρ12 = ρfφ(1 − αf). (12) Тогда кинетическая энергия пористо-упругой на- сыщенной среды в зависимости от смещений в упругом скелете и в жидкости примет вид Wk = 1 2 ρ11u̇iu̇i + ρ12u̇iU̇i + 1 2 ρ22U̇iU̇i. (13) Здесь ρ11 =(1−φ)ρs−ρ12; ρ22 =φρf −ρ12; ρs – плот- ность матрицы упругого скелета; ρf – плотность жидкости. Величины ρ11 и ρ22 можно рассматри- вать как некие “эффективные массы” упругой и жидкой фаз. Исходя из диапазона возможных зна- чений αf , замечаем, что ρ12≤0. Следовательно, величины “эффективных масс” фаз больше истин- ных масс. В рамках теории Био вязкость жидкости учи- тывается на микроуровне через силы взаимодей- ствия между упругим скелетом и жидкостью. Связь между вязкими силами и скоростью тече- ния жидкости через пористую среду в области низких частот задается законом Дарси: ∂w ∂t = Kpr ηf gradpf . (14) Здесь Kpr – проницаемость пористой среды, хара- ктеризующая способность упругого скелета пропу- скать сквозь себя жидкость. Проверке и обоснованию применимости закона Дарси посвящено значительное количество работ, на обсуждении которых мы не будем останавлива- ться. Однако отметим, что этот закон имеет верх- ний и нижний пределы применимости. Верхний предел обусловлен необходимостью учета инерци- онных сил при высоких скоростях течения жидко- сти через пористую среду. Его обычно связывают с критическим значением числа Рейнольдса: Re = \|w\|l/νf . Здесь l – характерный размер пористой среды (максимальный диаметр пор); νf – кинематиче- ская вязкость жидкости ρfνf =ηf . Приведем не- которые характерные значения числа Рейнольдса для различных пористых сред (табл. 1), при ко- торых справедлив закон Дарси [1]. Нижний пре- дел применимости определяется проявлением не- ньютоновских реологических свойств жидкости. В рамках теории Био вводится поправка, учитываю- щая отклонение от закона Дарси в области высо- ких частот, когда инерционными силами по срав- нению с вязкими уже нельзя пренебрегать. На ее описании остановимся позже. Рассмотрим коэффициент проницаемости. Он не зависит от свойств жидкости и является дина- мической характеристикой пористой среды. Для простейшей конфигурации скелета – ансамбля одинаковых сфер – Kpr = l2δ(φ). Выражение для δ(φ) можно найти в литературе [53]. Типичные значения коэффициента проницаемости для раз- личных пористых сред приведены в табл. 2. В [77] показано, что Kpr зависит от частоты сле- дующим образом: Kpr = k0 √ 1 − Lω − iα∞k0ρfω ηfφ , L = 4iα2 ∞ k2 0ρf ηφ2Λ2 . (15) Здесь параметр Λ имеет размерность длины и при- нимает значения от нескольких микрометров до нескольких десятков микрометров [77]. Частотная зависимость проницаемости исследовалась также в [26]. 48 Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 Табл 1. Характерные значения числа Рейнольдса для пористых сред, при которых справедлив закон Дарси Среда Re Однородная дробь 13÷ 14 Однородный крупнозернистый песок 3 ÷ 10 Неоднородный мелконозернистый песок с преобладанием фракций диаметром менее 0.1 мм 0.34÷ 0.23 Горная порода 13÷ 14 Отметим, что в работах Био проницаемость тра- ктовалась как характеристика всей “однородной” пористо-упругой среды. В то же время, в таких средах как горная порода “локальная” проницае- мость значительно меняется от точки к точке. Как показано в работах [33, 36], именно это оказывае- тся главной причиной того, что экспериментально найденные амплитуды объемных волн и их зату- хание в горных породах значительно отличаются от вычисленных по теории Био. Определив коэффициенты, входящие в уравне- ния Дарси, можно записать диссипативную фун- кцию, обусловленную течением вязкой жидкости как квадратичную форму объемного расхода. Для изотропной среды она имеет вид 2D = ηf Kpr wiwi. (16) Рассматривая силы, приложенные к единице объе- ма пористо-упругой среды и считая перемещения в упругом скелете (u) и в жидкости (U) обобщен- ными координатами, можно записать уравнения Лагранжа [38]: ∂σij ∂xj = ∂ ∂t ( ∂Wk ∂ui + ∂D ∂ui ) , ∂σf ∂xi = ∂ ∂t ( ∂Wk ∂Ui + ∂D ∂Ui ) . Используя уравнения состояния (2), получим изве- стную систему уравнений движения Био в переме- щениях: µ∆u+ +(A + µ)grad div u+Q grad div w = = ρ11 ∂2u ∂2t + ρ12 ∂2U ∂2t + b0 ( ∂u ∂t − ∂U ∂t ) , Q grad div u +R grad div U = = ρ22 ∂2U ∂2t + ρ12 ∂2u ∂2t − b0 ( ∂u ∂t − ∂U ∂t ) , (17) Табл 2. Типичные значения коэффициента проницаемости для пористых сред [53] Среда Kpr , м2 Песок 10−9 ÷ 10−12 Бетон 10−16 ÷ 10−21 Глина 10−16 ÷ 10−20 Кости 10−20 Гравий 10−7 ÷ 10−9 где b0 = φ2ηf/Kpr , A = H − 2µ− 2φC + φ2M, Q = φC − φ2M, R = φ2M. В рамках теории Био учитываются две силы взаимодействия между фазами – вязкая сила, обусловленная течением жидкости относительно упругого скелета, f1 = b0(U̇ − u̇), и инерционная сила межфазного взаимодействия, обусловленная разными ускорениями фаз, f2 = ρ12(Ü − ü). Заметим, что Био развил свою теорию, используя макрохарактеристики среды. При этом для описа- ния пористо-упругой полностью насыщенной жид- костью среды он использовал два независимых па- раметра – вектор перемещения упругого скелета u и вектор перемещения жидкости U [38]. В [2] в качестве второго независимого параметра исполь- зовалась величина ζ – объемное содержание жид- кости. При нахождении уравнений движения для пористо-упругой среды предполагалось, что при течении жидкости по порам упругого скелета вяз- кие силы значительно превосходят инерционные, т. е. справедлив закон Дарси (течение Пуазейля). Н. С. Городецкая 49 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 Однако с ростом частоты закон Дарси перестает работать. Био в [38, 39] выделил области низких и высоких частот. На высоких частотах развивае- тся пограничный слой, микроскорости в котором не совпадают по фазе, т. е. течение жидкости в по- рах отличается от течения Пуазейля и существу- ет фазовый сдвиг между силой трения и относи- тельной скоростью течения жидкости по порам. Био ввел частотно-зависимую комплексную фун- кцию F (ω), уточняющую вязкую силу межфазно- го взаимодействия. В этом случае коэффициент b0 в уравнениях (17) имеет вид b0 =F (ω)φ2νf/Kpr . При этом в области низких частот F (ω) ' 1. В [39] была введена критическая частота, выше которой нарушается закон Дарси: ωt = π2νf 2l2 . (18) Эта частота получена в предположении, что диа- метр пор l равен 1/4 длины волны λ=4π √ νf/(2ω). Так, ωt для воды при T =15◦C и скелета с диаме- тром пор l=10−4 м составляет 2π ·102 1/с, а для l=10−5 м – 2π ·104 1/с. При дальнейшем росте частоты F (ω) становится комплексной, частотно-зависимой [39] и в значи- тельной мере определяется размерами, формой и взаимосвязью пор. При этом образуется пограни- чный слой, которым ограничены вязкие силы, он становится очень тонким. Поле скоростей в основ- ной массе жидкости задается потенциальным те- чением. Отметим также, что сила трения жид- кости об упругий скелет определяется эффектив- ной вязкостью, которая оказывается частотно- зависимой. Кроме того, поле микроскоростей уже не имеет фиксированной конфигурации. Поскольку аналитический учет всех факторов очень сложен, то в большинстве случаев для опре- деления F (ω) делаются дополнительные допуще- ния. В работах [38, 39] Био предположил, что ха- рактер изменения отношения силы трения на меж- фазовых поверхностях к относительному расходу жидкости в зависимости от частоты в пористо- упругой среде аналогичен случаю течения вязкой жидкости в цилиндрической трубке постоянного сечения. Такое предположение позволило ему вве- сти корректирующую частотно-зависимую фун- кцию F (ω) в виде F (ω) = kT (k) 4(1 − 2T (k)/ik) , k = a2 √ ω νf , T (k) = ber′(k) + ibei′(k) ber(k) + ibei(k) . (19) Заметим, что в этом случае рассматривается ди- апазон частот, для которых длина всех трех волн, существующих в безграничной насыщен- ной пористо-упругой среде, остается значитель- но больше размеров пор. Функции ber(k) и bei(k) представляют собой действительную и мнимую части функций Кельвина; ω – круговая частота; a2 – структурный коэффициент. Параметр a2 име- ет размерность длины, зависит от размера и фор- мы пор и определяется экспериментально. Заме- тим, что в работах Био этот структурный коэф- фициент изменяется в зависимости от формы пор незначительно [39]. Поскольку учет реальной формы поперечного сечения поры сказывается только на небольших изменениях масштабов длин, то для системы па- раллельных пор – каналов произвольного, но по- стоянного сечения – можно полагать, что компле- ксная функция F (ω) сохраняет вид (19). В работе [77] для нахождения функции F (ω) предполагалось, что определяющую роль при дви- жении жидкости по порам играют релаксацион- ные процессы. При этом, как уже отмечалось, извилистость и проницаемость рассматривались как частотно зависимые функции (11), (15). Исхо- дя из этого, корректирующую частотно зависи- мую функцию F (ω) можно записать в виде F (ω) = √ 1 + i 2 Mjs ω ωr , ωr = ηfφ α∞ρfk0 , Mjs = 8α∞k0 φΛ2 , где ωr – частота, при которой толщина пограни- чного слоя становится одного порядка с размерами пор. В работах Био частота ωr определена несколь- ко иначе [39]: ωr = b0 φρf = ηfφ ρfKpr . Как видно частоты ωr , введенные в статьях [39] и [77], отличаются на величину извилистости α∞. Предложенная в [77] частотная зависимость кор- ректирующей функции F (ω) в высокочастотном пределе для пор в виде цилиндрических трубок хорошо согласуется с моделью Био [39] и исполь- зовалась в исследованиях [23, 24, 70, 104]. Введение характерных частот ωt и ωr позволя- ет разделить весь рассматриваемый диапазон на три области. Для частот ω<ωt течение жидкости по порам упругого скелета описывается течением Пуазейля. Для частот ωt<ω<ωr течение Пуазей- ля нарушается, однако в этом диапазоне продол- жают доминировать вязкие силы взаимодействия. 50 Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 На частоте ω=ωr вязкие и инерционные силы име- ют один порядок, а при ω>ωr доминируют инер- ционные силы. Частотно зависимая поправка, введенная Био, используется практически во всех работах, посвя- щенных анализу распространения волн в пористо- упругих средах [24]. Это объясняется хорошим согласованием экспериментальных данных с тео- ретическими результатами, полученными по тео- рии Био с учетом коэффициента F (ω). Следует отметить, что модель Био является моделью по- ристой среды на макроуровне и ее применение ограничено частотами, при которых длина волны оказывается порядка размеров пор (для песков – 2π ·(105÷106) 1/с). Следует обратить внимание на то, что введение функции F (ω) в уравнения (17) приводит к тому, что входящие в них величины заданы как функ- ции разных переменных – одни зависят от време- ни, а другие от частоты. Эта “мнимая проблема” решается за счет того, что при выполнении пре- образования Фурье над функциями, зависящими от времени в уравнении (17), получают функции, зависящие от частоты, причем последняя отожде- ствляется с частотой в F (ω). Напомним, что при определении функции F (ω) в области высоких частот в рамках теории Био появился еще один параметр – a2, названный Био структурным коэффициентом. Такой же термино- логии придерживались авторы работ [18, 78, 93]. В ряде других исследований a2 упомяну как коэф- фициент связи [45]. Био в работе [39] определил a2 как a2 = γ √ Kpr m , (20) где γ – коэффициент, учитывающий геометрию пор. Для пор в форме цилиндрических трубок γ= √ 8, а для пор в виде щелей γ= √ 16/3 [39]. Со- гласно последним экспериментам, проведенным на ансамбле сфер, получено значение γ=3.2 [30]. Отметим, что одни исследователи находили структурный коэффициент теоретически [106], другие – экспериментально [30] или численно. Например, Столл (Stoll) [106] предположил, что a2 = l/7 (напомним, что l – диаметр пор). В ра- ботах [93, 106] подчеркивалось, что для реальных пористо-упругих сред структурный коэффициент должен определяться экспериментально. В [78] отмечалось, что структурный коэффициент – один из наиболее непонятных параметров в теории Био и в то же время величина a2 является определя- ющей при описании распространения медленной продольной волны в пористых средах с очень жес- тким скелетом. В [64] отмечалось, что структур- ный коэффициент – это параметр, который наи- более критикуется различными авторами. Несмот- ря на приведенные замечания, трактовке, экспери- ментальному определению и теоретическому на- хождению структурного коэффициента посвяще- но очень большое количество работ. Структурный коэффициент является параме- тром среды на “микроуровне” и зависит от ря- да факторов. Например, при увеличении порового давления, “сцементированности” матрицы скелета, консолидации среды, увеличения ее насыщенности (для частично насыщенных сред) величина a2 воз- растает. Обычно считают, что структурный коэф- фициент не зависит от частоты [18, 39, 64] и явля- ется “чисто геометрическим” параметром. Следу- ет отметить, что есть работы, в которых вводится частотная зависимость структурного коэффици- ента в области высоких частот [105]. Однако это предположение требует экспериментального под- тверждения. В то же время, структурный коэф- фициент существенно изменяется в зависимости от формы и ориентации пор, структуры матрицы скелета. В работе [64] показано, что если поровая жид- кость является идеальной, то a2→∞. Для реаль- ных сред в [76] предложен диапазон изменения a2 в пределах 1.75÷3.84, соответствующий изме- нению пористости от 0.11 до 0.341. В [117] найде- но изменение структурного коэффициента в пре- делах 1.24÷1.64, что соответствует изменению по- ристости 0.26÷0.48. В [50] получена вариация a2 в пределах 1.75÷1.89 для пористости 0.36÷0.40. В работе [99] структурный коэффициент вычи- слялся по результатам обработки сейсмических измерений. Здесь была выведена формула, свя- зывающая a2 с модулем объемного сжатия Kb, мо- дулем сдвига µ: a2 = 1.3134 + 0.11733 Kb µ , а также соотношение, связывающее структурный коэффициент с пористостью: a2 = 18.315− 0.98193φ+ 0.01872φ2 − 0.00011824φ3. Такие эмпирические зависимости были получены на основе измерений скоростей P- и SV-волн в ди- апазоне 80÷21000 м/с. Необходимость учитывать геометрические осо- бенности пор, которые и описывает структурный коэффициент, привела к введению понятия двой- ной пористости (double-porosity) для пористых Н. С. Городецкая 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 сред со скелетом типа горной породы. Это связано с тем, что в таких средах конфигурация разных пор значительно отличается. Существуют поры как в виде цилиндрических трубок, так и в виде щелей. При этом, хотя поровая жидкость и может перетекать между порами разных конфигураций, ощутимые различия в течении жидкости по поро- вому пространству со своим типом геометрии тре- буют дополнительного рассмотрения. Такой ана- лиз проведен в работах Berryman, например в [35]. Дальнейшее развитие теории Био развивается по пути более полного учета реальных свойств дву- хфазных сред. При этом учитываются как реаль- ные свойства скелета (такие как анизотропия и вязкость) [46,53,70,97], состояние скелета (до кон- солидации или после) [87], так и изменение хара- ктера движения жидкости по порам. Кроме того, более полно учитываются механизмы затухания и реальная геометрия пор. 1.3. Модели, описывающие затухание Вкратце остановимся на моделях, описываю- щих различные механизмы затухания. В пористо- упругой среде затухание волн обусловлено потеря- ми энергии двух различных типов – диссипацией в каждой из фаз (в упругом скелете и в жидкости) и потерями за счет относительного движения содер- жащейся в порах жидкости относительно скеле- та. Впервые Био [38], а впоследствии Столлом [18] было выдвинуто предположение о том, что об- щее затухание может быть описано как суперпози- ция эффектов, вызванных обеими причинами. Это подтвердили экспериментальные данные, получен- ные разными исследователями [18, 30, 93]. Дисси- пация в упругом скелете, по аналогии с вязкоу- пругой средой, учитывается посредством введения комплексных модулей сдвига µ=G(1+iδs) и все- стороннего сжатия Kb =Kb(1+iδl) [107,116]. Здесь мнимые части обоих модулей определяются че- рез логарифмические декременты затухания для поперечной и быстрой продольной волн соответ- ственно. В общем случае величины µ, Kb и δs, δl – частотно зависимые нелинейные функции ампли- туд напряжений [98]. Потери в жидкости учитыва- ются через комплексную объемную вязкость. Второй механизм затухания формируется за счет относительного движения фаз и определя- ется силой межфазного взаимодействия. Затуха- ние, обусловленное движением жидкости по по- рам относительно упругого скелета, определяется сдвиговой вязкостью жидкости, проницаемостью и поправочным множителем F (ω), учитывающим частотную зависимость вязкого сопротивления по- току жидкости. Все эти характеристики были опи- саны выше. Экспериментально установлено, что в песках на низких частотах преобладают потери в скелете грунта, а на высоких добавляются вязкие поте- ри, связанные с движением внутрипоровой жид- кости. Влияние потерь за счет движения жидко- сти в области низких частот увеличивается с рос- том жесткости грунта. Это относится, например, к песчаникам. В глинах, обладающих малой жест- костью и низкой проницаемостью, потери в ске- лете доминируют почти во всем частотном диа- пазоне. В целом затухание в песках значительно больше, чем в песчаниках и глине. В песчаниках вклады диссипации за счет трения поровой жид- кости и вязкости скелета имеют один порядок. Кроме рассмотренных механизмов затухания, учитывается также термомеханическое затуха- ние [48, 53, 56, 82], рассеивание на микротрещи- нах [81], рассеивание за счет шероховатости по- верхности пор [75]. В ряде работ принимались во внимание микротечения [65] и макроскопические неоднородности фаз [47]. Учет указанных механи- змов затухания приводит к увеличению общего за- тухания в области высоких частот, когда длина волны становится сопоставимой с размерами пор. В рамках теории Био рассматривается полно- стью насыщенная жидкостью среда. В настоящее время появилось значительное количество работ для частично насыщенных сред. Не останавлива- ясь на их анализе, отметим только некоторые из подобных публикаций [10, 68, 84]. 1.4. Теория эффективных модулей В области низких частот, когда движение жид- кости относительно упругого скелета имеет пре- небрежимо малое влияние на распространение волн, двухфазную среду можно рассматривать как однофазную. При таком подходе структурно не- однородная среда заменяется некой однородной средой, а реальная гетерогенность среды сказыва- ется только на величинах упругих коэффициен- тов, значения которых определяются из опытов. В [9] для случая равенства скоростей каждой из фаз двухфазная среда заменялась эквивалентной однофазной с обобщенными параметрами. Пока- зано, что так можно поступать в области низких частот для малых величин коэффициента филь- трации. Аналогичный подход использовался в ис- следованиях [13, 17], где приравнивались не ско- рости фаз, а фазовые напряжения (тогда фазы оказываются равноправными). Для гетерогенной пороупругости существуют несколько теорий эф- 52 Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 фективных модулей. Две из них описаны в рабо- те [34]. 1.5. Теория пористых сред Теория пористых сред основана на положени- ях континуальной теории смесей с применением концепции объемных частей, что требует введе- ния в теорию смесей дополнительных замыкаю- щих уравнений. При этом используются допуще- ния о несмешивающихся взаимопроникающих кон- тинуумах с внутренней структурой. Каждый кон- тинуум относится к своей фазе (компоненте) и за- полняет один и тот же объем, занятый средой в целом. Вводится представительный объем, в ко- торый входят все рассматриваемые континуумы, и в каждой точке которого одновременно находя- тся все фазы. Представительный объем выбирае- тся таким образом, чтобы его размеры значитель- но превышали как молекулярно-кинетические ра- змеры каждой из фаз, так и характерные стру- ктурные масштабы (например, радиус цилиндри- ческих пор). В то же время, представительный объем должен быть значительно меньше макрора- змеров (для волновых задач – длины волны). Для каждого из составляющих континуумов в каждой точке обычным образом определяются характери- стики среды – плотности, скорости и т. д., интер- претируемые как среднестатистические величины реальных значений. Такое описание пористой сре- ды является полностью макроскопическим и по- зволяет рассматривать макроскопические процес- сы в пористой среде в целом в рамках представле- ний сплошной среды через совокупность взаимо- проникающих и взаимодействующих фаз. Проте- кание микропроцессов учитывается в континуаль- ных уравнениях с помощью некоторых определя- ющих параметров, отражающих взаимодействие фаз. В работе [44] рассматривалась эквивалентность теории Био и теории пористых сред. Было отме- чено, что “теория Био является специальным слу- чаем теории смесей с постоянными объемными частями”. Bowen назвал этот случай “заморожен- ными объемными частями”. Для перехода от те- ории смесей к теории Био следует параметр Q в уравнении (17) приравнять нулю [101, 113] – это означает, что взаимодействие между двумя фаза- ми не учитывается. Вопрос о возможности суще- ствования параметра Q, который фактически свя- зывает напряжения в упругой и жидкой фазах, подробно рассматривался в работах Wilmanski и его учеников. В них было показано, что при лине- аризации уравнений состояния для случая сжима- емого скелета и сжимаемой жидкости параметр Q необходимо учитывать. Вывод же о том, что Q=0, стал следствием того, что в работе [44] рассматри- валась несжимаемая поровая жидкость. Переход от теории пористых сред к теории Био рассматри- вался многими авторами. Кроме уже упомянутых работ, отметим также [54,55, 67]. Хотя две сравниваемые теории во многом весь- ма подобны, качественные различия обнаружи- ваются в том, как моделируется взаимодействие между фазами. В обоих случаях рассматривают упругий скелет и сжимаемую вязкую жидкость, полностью заполняющую поровое пространство; пористость вводится как отношение объема сооб- щающихся между собой пор к общему объему; свя- занная пористость учитывается в свойствах скеле- та. В теории пористых сред существует много подходов, которые используются для получения основных уравнений, описывающих насыщенную пористо-упругую среду. Не останавливаясь на их многообразии, рассмотрим только некоторые. Так, в рамках упомянутого подхода, используя методы механики сплошной среды, основные уравнения находят из законов сохранения массы, количества движения, момента количества движения, энергии и энтропии. Законы сохранения массы, количества движения и момента количества движения запи- сываются в лагранжевых координатах для каждой фазы и для среды в целом. Во всех цитируемых работах они одинаковы [16,53, 92, 101,113]. Особенности появляются при использовании за- конов сохранения энергии и энтропии. Здесь сле- дует выделить два класса различий. Один из них связан с записью свободной энергии Гельмголь- ца на основе законов термодинамики. При этом варьируются как независимые параметры состоя- ния, так и их количество. Второй класс различий связан с расшифровкой сил межфазного взаимо- действия. Как уже отмечалось, в рамках теории Био для линейных изотермических процессов энергия де- формации и кинетическая энергия зависят от двух переменных – вектора перемещения упругого ске- лета u и вектора перемещения жидкости U [38]. Учитываются две силы межфазного взаимодей- ствия – вязкая и инерционная. В работе [101] используются только два незави- симых параметра (вектор перемещения скелета и давление в жидкости), причем делается допуще- ние, что свободная энергия Гельмгольца не зави- сит от объемных частей. В [53] также выбраны два независимых параметра и уравнения состоя- ния после линеаризации имеют вид (2). Однако, в Н. С. Городецкая 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 отличие от работ Био, здесь учитываются три типа сил межфазного взаимодействия (см. [53, (3.49), с. 47]). К вязкой силе, обусловленной течением жидкости по порам упругого скелета и инерцион- ной силе, обусловленной различием в ускорениях фаз, добавляется еще один фактор: f3 = pf grad φ. Эта сила обусловлена связью напряжений в ске- лете и давления в жидкости за счет изменения объемов фаз (при изменении пористости меняется площадь, на которую воздействует среднее давле- ние в жидкости). В работе [16, (4.4.7), с. 231] сила межфазного взаимодействия также включает три составляющие. Здесь Fµ – вязкая сила; Fm – “си- ла, связанная с мелкомасштабными пульсациями давлений из-за ускорения фаз друг относительно друга” (инерционная), и f3 =pf gradφ – “сила, свя- занная с действием среднего давления из-за рас- ширения трубки тока” жидкой фазы. В [53] си- лы f3 в линеаризированных уравнениях движения в перемещениях нет, а в [101] также отмечается, что при линеаризации основных уравнений член gradφ исчезает. В то же время, в отличие от упо- мянутых исследований, в [16] сила f3 учитывается и для замыкания системы вводится дополнитель- ное уравнение для изменения пористости. В цикле работ Wilmanski в уравнения также до- бавляется градиент пористости [113]. Здесь в ка- честве дополнительного замыкающего уравнения используется балансовое уравнение для пористо- сти. Так, для линейной модели при изотермиче- ском процессе уравнения состояния представлены в виде σij =2µeij +δij ( (H−2µ)e−Cζ ) −N(φ−φ0), pf =−Ce+Mζ−N(φ−φ0). (21) Эти соотношения отличаются от формулы (2) на- личием дополнительного слагаемого. При этом отмечается, что “численные значения коэффици- ента N значительно меньше, чем Q” [113]. Фа- ктически, слагаемым N(φ−φ0) можно пренебречь. Подчеркнем еще раз, что в уравнениях (21) сохра- нен коэффициент связи Q=φC−φ2M . В [41] показано, что двух независимых перемен- ных (вектор смещения в скелете и поровое дав- ление жидкости) достаточно для описания пороу- пругой среды. Здесь же обсуждалась возможность использования трех независимых переменных. В цитируемых работах в рамках теории по- ристых сред были получены линеаризирован- ные уравнения состояния и движения. При этом выполнялось предположение о малости возмуще- ний, которое для пористой среды включает в себя ряд гипотез [53], перечисленных ниже. 1. Гипотеза малых деформаций. При таком предположении тензоры деформаций в эйле- ровых и лагранжевых координатах совпада- ют. 2. Гипотеза малых перемещений скелета \|u\|/l�1. Здесь l – диаметр пор. 3. Гипотеза малых изменений пористости (φ−φ0)/φ0 � 1. 4. Гипотеза малых изменений плотности поро- вой жидкости (ρ−ρ0)/ρ0�1, что позволяет заменить ρ на ρ0. 5. Гипотеза линейной пороупругости скелета с нулевыми начальными напряжениями в ске- лете и давлением в жидкости. 6. Гипотеза линейного поведения жидкости, что означает Kf =const. Выполнение этих гипотез позволяет полностью ли- неаризовать уравнения в рамках теории пористых сред. В этом случае полученные соотношения сов- падают с уравнениями Био [95]. Подчеркнем еще раз, что хотя уравнения теории Био и пористых сред и совпадают по форме, в основе их построе- ния лежат разные представления [21]. 2. АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Анализ волновых процессов на основе теории Био является основной задачей данной статьи. Если применимость модели Био к описанию на- сыщенной пористо-упругой среды в общем случае вызывает дискуссию, то ее эффективность и наде- жность для исследования акустических волн ма- лой амплитуды бесспорна. В современной литера- туре уделялось внимание различным аспектам ра- спространения волн в пористой среде. Остановим- ся только на некоторых из них. По аналогии с однофазной средой, разложим ве- кторы смещения в жидкости и в упругом скелете на скалярный и векторный потенциалы: u = ∇φs + rot ψs, div ψs = 0, rotφs = 0, v = ∇φf + rot ψf , div ψf = 0, rotφf = 0. (22) В дальнейшем ограничимся рассмотрением гармо- нических процессов. Скалярный потенциал допу- скает представление [38]: φs = φ0 + φ1. (23) 54 Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 Функции φj определяются как решения уравнений Гельмгольца ∆φj + k2 jφj = 0, k2 j = ω2 c2 zj , j = 0, 1. (24) Величины zj – корни квадратного уравнения A1z 2 j −B1zj +C1 = 0, j = 0, 1 (25) с коэффициентами A1 = q22q11 − q212, C1 = Γ11Γ22 − Γ2 12 + iΓ, B1 = q11Γ22 + q22Γ11 − 2q12Γ12 + iΓ. Здесь введены обозначения q11 = H − 2Cφ+Mφ2 H ; q22 = Mφ2 H ; q12 = Cφ−Mφ2 H ; c2 = H ρ ; ρ11 = (1 − φ)ρs − ρ12 ; ρ22 = φρf − ρ12 ; ρ = (1 − φ)ρs + φρf ; Γij = ρij ρ ; Γ = φ2ρfνf Kprρω . Для потенциала φf справедливо уравнение φf = M0φ0 +M1φ1 с коэффициентами Mj = Γ11q22−Γ12q12−A1sj +(q22+q12)iΓ Γ22q12−Γ12q22+(q22+q12)iΓ , j = 0, 1. (26) Приведенные соотношения описывают быструю и медленную продольные волны в двухфазной не- ограниченной среде, распространяющиеся незави- симо друг от друга. Быстрая продольная волна ра- спространяется с фазовой скоростью c1 =c/ √ z1 , а медленная продольная – со скоростью c0 =c/ √ z0. Если эффектами трения поровой жидкости можно пренебречь (νf =0), то быстрая продольная вол- на соответствует синфазному движению скелета и жидкости, а медленная продольная – противо- фазному. Если выполняется дополнительное усло- вие, гласящее что связь между упругой и жид- кой фазами слабая (Γ12 =0, q12=0), то z1 =Γ11/q11, z0 =Γ22/q22 и фазовые скорости быстрой и медлен- ной продольной волн равны c1 = √ (λ+2µ)/ρ11) и c0 = √ φ2M/ρ22 соответственно, λ=H − 2µ [12, 19]. При этом M1 =0, M0→∞, обе волны не обладают дисперсией. Пренебрегая эффектами вязкости по- ровой жидкости, можно выделить еще один част- ный случай движения, когда смещения в упругой и жидкой фазах одинаковы (u = v), т. е. нет относи- тельного движения фаз. Такой тип движения на- блюдается при выполнении условий динамической совместимости [2, 38] H − Cφ ρ11 + ρ12 = Cφ ρ22 + ρ12 . Как уже отмечалось, в этом частном случае дву- хфазная среда может быть заменена однофазной с приведенными коэффициентами [9, 13]. В случаях большой вязкости или низкой часто- ты, Γ = φ2ρfνf Kprρω � 1, (27) из уравнения (25) следует [12] z1 = 1 − iρω b0 ( q11q22 − q212 − q11Γ22− −q22Γ11 + Γ11Γ22 − Γ2 12 ) , z0 = i Γ q11q22 − q212 . Фазовая скорость быстрой продольной волны в низкочастотном пределе стремится к вели- чине c= √ H/ρ, а коэффициент затухания про- порционален квадрату частоты. Фазовая ско- рость медленной продольной волны стремится к c √ ω/ωr [15], а коэффициент затухания пропор- ционален квадратному корню из частоты, т. е. при низких частотах медленная продольная волна практически исчезает [12]. В области высоких ча- стот затухание быстрой и медленной продольных волн пропорционально квадратному корню из ча- стоты [39]. Векторные потенциалы для скелета и поровой жидкости удовлетворяют уравнению Гельмгольца ∆ψs + k2 2ψs = 0, k2 2 = ω2 c22 = ω2ρ µ [Γ11 +M2Γ12 + (1 −M2)iΓ] (28) и соотношению ψf = M2ψs, M2 = −Γ12 + iΓ Γ22 + iΓ . (29) Таким образом, в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде распространяется поперечная Н. С. Городецкая 55 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 волна. При отсутствии затухания в этой волне вра- щение жидкости и упругого скелета происходит в одном и том же направлении. Вращение упруго- го скелета вызывает вращение жидкости, приводя- щее к уменьшению эффекта присоединенной мас- сы, т. е. к увеличению фазовой скорости. В обла- сти низких частот фазовая скорость поперечной волны стремится к скорости поперечных волн в упругой среде, коэффициент затухания пропорци- онален квадрату частоты. В области высоких ча- стот затухание поперечной волны пропорциональ- но квадратному корню из частоты. Таким образом, выражения (24), (28) показыва- ют, что в упругой пористой среде, заполненной вязкой жидкостью, могут распространяться три типа волн – быстрая и медленная продольные (φ0, φ1) и поперечная (ψ≡ψs). При учете диссипатив- ных процессов постоянные распространения этих волн зависят как от характеристик среды, так и от частоты колебаний ω, т. е. волны в упругой пори- стой среде, насыщенной вязкой жидкостью обла- дают дисперсией. Если эффектами вязкости пре- небречь (νf =0), то все три волны будут незату- хающими и бездисперсионными [23, 116]. Анали- зу характера затухания трех типов волн в беско- нечной пористо-упругой насыщенной жидкостью среде посвящено значительное количество экспе- риментальных и теоретических исследований. Ча- стотная зависимость затухания рассматривалась в [12,14,38,91]. Затухание и фазовые скорости трех типов волн с учетом частотных зависимостей па- раметров среды исследовались в работах [2, 3, 11, 15, 23, 30, 33, 100]. Экспериментальному определе- нию фазовых скоростей и затухания посвящены статьи [78, 79, 83, 90,104]. 2.1. Граничные условия Уравнения (24), (28) описывают волновые дви- жения в однородной пористо-упругой среде, на- сыщенной вязкой жидкостью. Для корректной по- становки граничной задачи математической физи- ки их необходимо дополнить начальными и гра- ничными условиями. Начальные условия для уравнений (24), (28) формулируются так же, как и для классическо- го волнового уравнения. В начальный момент вре- мени t=0 во всем объеме, занимаемом пористо- упругим телом, задаются смещения и скорости всех частиц упругой и жидкой фаз. Формулирование понятия о границе пористо- упругого тела и постановка условий на ней чре- звычайно важны как с точки зрения усложнения волновой картины, так и с точки зрения трактовки экспериментальных результатов. Фактически, вве- дение граничных поверхностей и постановка усло- вий на них является вопросом о взаимодействии различных тел между собой. Типы допустимых граничных условий тесно связаны с доказатель- ством теорем о существовании и единственности решения. Условия, обеспечивающие единственность ре- шения граничных задач динамической теории пористоупругости на границах раздела двухфа- зных сред, впервые приведены в работах Deresi- ew [59 – 62]. Он показал, что на границе насыщен- ной пористо-упругой среды должны выполняться условия непрерывности следующих характеристик поля: σs nn + σf , u̇n, σ s nα, u̇α, pf , ẇn. (30) Здесь индекс n соответствует направлению норма- ли. При выполнении условий непрерывности хара- ктеристик (30) возможны следующие случаи. 1. Поры двух сред связаны и жидкость сво- бодно перетекает из одной среды в другую (открытая граница, проницаемая граница). 2. Частично открытая граница (например, при введении пористой мембраны между двумя средами). В этом случае p (1) f − p (2) f = kẇi, (31) где k – коэффициент сопротивления. 3. Закрытая (непроницаемая) граница. На по- верхности раздела находится непроницаемая мембрана. Тогда k→∞, ẇn =0 и перетоки жидкости на границе отсутствуют, т. е. нет связи между пустотами в двух средах. Для открытой границы k=0 и для записи гра- ничных условий используют весь набор соотноше- ний (30). При k→∞ величины pf не определя- ют. Видно, что в общем случае давление в жид- кости может не являться непрерывной величи- ной на границе раздела. Таким образом, достато- чными граничными условиями при контакте двух пористо-упругих сред оказывается непрерывность величин (30) с учетом (31), причем дополнительно должен быть определен коэффициент k. Отметим, что запись граничных условий в виде непрерывно- сти величин (30), полученные Deresiewicz, впослед- ствии использовались при решении граничных за- дач многими авторами. 56 Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 Исходя из требования непрерывности вели- чин (30), запишем граничные условия для конта- кта двух пористо-упругой сред: (σs n + σf )(1) = (σs n + σf )(2), σs nα(1) = σs nα(2), φ1p (1) f = φ2p (2) f , uα(1) = uα(2), us n(1) = us n(2), φ1(v (1) n −u(1) n ) = φ2(v (2) n −u(2) n ). (32) Такие соотношения использовались, например, в [74] при исследовании отражения и прохождения волн на границе раздела двух пористо-упругих сред для случая нормального падения. Следует отметить серию работ, в которых ис- следуется отражение объемных волн на границе раздела двух пористо-упругих сред, когда одна из них обладает двойной пористостью. В этом слу- чае граничные условия имеют иной вид и процесс рассеивания волн на границе значительно сложнее (см., например, [118]). Для контакта пористо-упругого (индекс 1) и упругого тел (индекс 2) справедливо (σs n + σf )(1) = σ(2) n , σs(1) nα = σ(2) nα, un(1) = un(2), uα(1) = uα(2), (v(1) n − u(1) n ) = 0. (33) В работе [74] контакт пористо-упругой и упругой сред был рассмотрен как предельный случай кон- такта двух пористо-упругих сред. Асимптотиче- ские выражения для коэффициентов отражения и прохождения при нормальном падении волн на та- кой границе раздела получены в [102] с учетом вяз- кости жидкости. При этом были обнаружены каче- ственные различия при отражении – прохождении волн на границе для малых и больших величин извилистости. В этой работе также подчеркива- лась, что хотя измерять медленную продольную волну в реальных условиях сложно, однако ее на- личие оказывает значительное влияние на ампли- туду и затухание быстрой продольной и попере- чной волн. Для контакта пористо-упругого тела (индекс 1) и жидкости (индекс 2) (σs n + σf )(1) = −p(2) f , σs(1) nα = 0, (1 − φ)u̇n(1) + φv̇n(1) = v̇n(1). (34) Процесс отражения– прохождения волн на грани- це пористо-упругой и жидкой сред рассматривал- ся в работах [23, 58, 107,115]. В [107] на основе теории Био был проведен ана- лиз особенностей отражения волн, падающих из жидкости на границу раздела жидкость – пористо- упругое полупространство. При этом учитыва- лись как потери в скелете, так и вязкость поро- вой жидкости. Заметим, однако, что в этой ра- боте рассматривался только случай отражения от открытых на границе пор. Кроме того, не про- водился анализ распределения энергии падающей волны между отраженными волнами различных типов. В [115] было проанализировано отражение волн на границе жидкости и пористо-упругого по- лупространства для общего типа граничных усло- вий (открытые или закрытые на границе поры) при наклонном падении волны. Рассмотрено па- дение волны как из жидкости, так и из поросто- упругого полупространства. При этом диссипатив- ные эффекты в средах не учитывались. В [58] получены асимптотические выражения для коэф- фициентов отражения и прохождения на грани- це раздела пористо-упругой и жидкой сред при условии, что скелет абсолютно жесткий. Экспери- ментальные данные об отражении волн на грани- це жидкости и пористо-упругой среды, приведе- ные в [51], хорошо согласуются с теоретическими. Ниже мы отдельно рассмотрим вопрос о наличии поверхностных волн на границе раздела пористо- упругой и жидкой сред. Если поверхность пористо-упругого тела сво- бодна, то возможны два типа граничных усло- вий [59, 62]. 1. Поры на границе открыты (проницаемая гра- ница): σs n = 0, σs nα = 0, σf = 0. (35) 2. Поры на границе закрыты (непроницаемая граница): σs n, σ f = 0, σs nα = 0, u̇n− v̇n = 0. (36) Отражение волн на свободной границе рассма- тривалось в работах [6, 12]. В [6] проведен анализ процесса отражения объемных волн от свободной границы пористо-упругого полупространства. По- казано, что при отражении волн от проницаемой и непроницаемой границ существуют значительные различия, носящие как количественный, так и ка- чественный характер для отраженной медленной продольной волны. Так, при падении на границу поперечной или медленной продольной волн суще- ствую критические углы, ниже которых отражен- ная волна становится неоднородной. Н. С. Городецкая 57 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 Как и для упругого полупространства, при отражении поперечной волны, падающей под углом γ = 45◦, наблюдается полное сохранения ти- па движения. Для таких углов падения быстрая продольная волна всегда неоднородна, а медлен- ная продольная волна может быть как распростра- няющейся, так и неоднородной, в зависимости от параметров среды. При падении на свободную границу медленной продольной волны (если ее фазовая скорость – наименьшая), в области закритических углов па- дения для быстрой продольной и поперечной волн, существует квази-поверхностная волна. В ней ча- стицы движутся по эллипсам, а амплитуда сме- щений максимальна вблизи свободной поверхно- сти. Отметим, однако, что за счет существования распространяющейся медленной продольной вол- ны квази-поверхностная волна переносит энергию в глубину. На анализе поверхностных волн на сво- бодной границе также остановимся отдельно. 2.2. Энергетический анализ Исследование волновых процессов было бы не- полным без изучения энергетических характери- стик. Для их анализа исследуется распределе- ние между распространяющимися волнами потока мощности, вносимого в среду. Компоненты векто- ра плотности потока мощности в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде определяются соот- ношением [6, 107,115] Pi = −σs ijuj − σf δijvj . Для гармонических процессов, как правило, рас- сматривают средний за период T =2π/ω поток мощности: P̃i = 1 T T∫ 0 Pidt = = − iω 4 ( σs ij u ∗ j − σs∗ ij uj + σf δijv ∗ j − σf∗δijvj ) . Знак ∗ означает комплексное сопряжение. Рас- пределение энергии падающей волны между тре- мя типами отраженных волн на границе разде- ла пористо-упругого полупространства и жидко- сти проведено в [115], а на свободной границе – в [6]. В обеих работа показано, что существуют условия при которых, медленная продольная вол- на наиболее энергетически выражена. В пористо-упругой среде, без учета затухания для вертикальной компоненты среднего за пери- од вектора потока мощности, справедлив принцип суперпозиции по энергии, который заключается в том, что энергия, которая приносится на грани- цу падающей волной (или создается нагрузкой на поверхности), равна энергии, которую переносят в глубину отраженные волны. Неоднородная волна энергию в глубину не переносит. Вдоль границы полупространства принцип суперпозиции по энер- гии не работает. 2.3. Поверхностные волны На основе теории Био изучались поверхностные волны на свободной границе пористо-упругого по- лупространства и на границе раздела пористо- упругого полупространства и жидкости. Поверх- ностная волна в идеально упругом полупространс- тве со свободной границей называется волной Рэлея. Она распространяется вдоль границы и убывает в глубь среды. Скорость волны Рэлея меньше скорости поперечных волн. Для пористо- упругого полупространства со свободной границей при отсутствии затухания в среде поверхностной (и, по аналогии с упругой средой, Рэлеевской) будем называть волну, образованную взаимодей- ствием всех трех неоднородных волн. Волна, ра- спространяющаяся на границе идеально упругого полупространства и жидкости, называется волной Стоунли. Ее скорость меньше скоростей объем- ных волн в обеих средах. Поверхностная волна на границе пористо-упругого и жидкого полупро- странств (также при отсутствии затухания в сре- де) формируется тремя неоднородными волнами в пористо-упругой среде и неоднородной волной в жидкости. Будем называть ее волной Стоунли. Поверхностные волны Рэлея и Стоунли распро- страняются без дисперсии и не затухают вдоль на- правления распространения. Под псевдоповерхностной волной3 понимается волна, распространяющаяся вдоль границы, одна- ко образованная взаимодействием на ней не толь- ко неоднородных, но и распространяющихся волн. Так, на границе упругого полупространства и жидкости будет распространяться псевдоволна Рэлея, если скорость звука в жидкости меньше, чем скорость волны Рэлея на свободной грани- це упругого полупространства. Псевдоповерхно- стная волна в данном случае образована двумя не- однородными волнами в упругом полупространс- тве и распространяющейся волной в жидкости. Она переносит энергии в глубину жидкого полу- пространства, т. е. при распространении псевдо- поверхностной волны происходит переизлучение 3В зарубежной литературе – “leaky wave”, дословно “вытекающая волна” . 58 Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 энергии из твердого полупространства в жидкое. Такая волна затухает вдоль направления распро- странения. Псевдоповерхностные волны могут су- ществовать только в определенной конечной обла- сти вблизи источника, преобразуясь в дальнем по- ле в объемные [5]. Подчеркнем, что псевдоповерх- ностная волна существует в среде без диссипации (фактически, ее постоянная распространения – это комплексный корень дисперсионного уравне- ния). Затухание же псевдоповерхностной волны вдоль направления распространения обусловлено переизлучением энергии из одной среды в другую. В пористо-упругой среде, в отличие от упругой, существуют два типа продольных волн. Вслед- ствие этого поверхностные волны на границе пористо-упругого полупространства имеют осо- бенности, не характерные для поверхностных волн в однофазных средах. Кроме того, в пористо- упругой среде необходимо учитывать затухание, порождаемое течением вязкой жидкости по порам упругого скелета, что также обуславливает ряд специфичных свойств поверхностных волн в ней. Кратко остановимся на этих особенностях. Поверхностные волны на свободной границе пористо-упругого полупространства рассматрива- лись в ряде публикаций. Одной из первых была работа [80], в которой показано существование поверхностной волны, образованной взаимодей- ствием неоднородной поперечной волны и толь- ко одной из продольных волн (медленной или быстрой) на свободной границе пористо-упругого полупространства. В [108] обнаружена поверхно- стная волна на свободной границе с учетом всех трех волн, которые могут распространяться в пористо-упругой среде. Однако при этом не учи- тывалось затухание, а поверхностная волна была найдена только для одного соотношения параме- тров среды. В статье [7] показано, что в пористо- упругом насыщенном жидкостью полупространс- тве со свободной проницаемой или непроницаемой границей без учета диссипативных эффектов в за- висимости от параметров среды может существо- вать поверхностная или квазиповерхностная вол- на. Если скорость поперечной волны в бесконечной пористо-упругой среде самая низкая, то поверхно- стная волна формируется тремя неоднородными волнами, распространяющимися вдоль свободной границы и затухающими в глубину. При этом ско- рость поверхностной волны в случае проницаемой границы будет больше, чем в случае непроница- емой границы. Независимо от того, проницаема граница или нет, скорость поверхностной волны меньше скорости поперечной волны и ее с точно- стью до 10 % можно оценить как скорость волны Рэлея в эквивалентной однофазной среде. Если медленная продольная волна в пористо- упругой среде без затухания – самая медленная, то возможны две ситуации. Для определенного диапазона параметров среды (скорости медлен- ной продольной и поперечной волн близки) су- ществует поверхностная волна. Для большинства же сред, для которых c0>c2, поверхностной вол- ны как волны, не переносящей энергии в глубину, нет. Существует квазиповерхностная волна, обра- зованная неоднородными поперечной и быстрой продольной волнами. В то же время, медленная продольная волна остается распространяющейся и переносит энергию в глубину. При учете затухания, обусловленного движени- ем вязкой жидкости по поровому пространству, волновая картина существенно изменяется в зави- симости от того, проницаема граница или нет. Для проницаемой границы существует одна поверхно- стная волна, слабо затухающая вдоль направле- ния распространения. Ее фазовая скорость незна- чительно увеличивается с частотой и стремится к скорости поверхностной волны в эквивалентной однофазной среде. Затухание волны увеличивае- тся с частотой и определяется вязкостными хара- ктеристиками поровой жидкости. Основная часть энергии, которую переносит данная волна, сосре- доточена в упругом скелете. Для непроницаемой границы существуют две поверхностные волны. Одна из них распространя- ется с фазовой скоростью, близкой к скорости по- верхностной волны в полупространстве с проница- емой границей. Скорость второй волны в высоко- частотном пределе стремится к скорости медлен- ной продольной волны. Характер затухания двух поверхностных волн в пористо-упругом полупро- странстве с непроницаемой границей существен- но различен: одна из них затухает слабо, а вто- рая – сильно. Кинематика частиц в слабо затуха- ющей поверхностной волне аналогична поверхно- стной волне в упругом полупространстве. Основ- ная часть энергии, которую переносит эта волна, сосредоточена в упругом скелете. Глубина про- никновения волны уменьшается с частотой. Для быстро затухающей волны характерно увеличение глубины проникновения с ростом частоты. Основ- ная часть энергии, переносимая этой волной, со- средоточена в жидкой фазе. Поверхностные волны на границе раздела пористо-упругого полупространства и жидкости изучались в работах [8, 22, 66, 71, 114]. В [71] по- казана возможность существования на границе на- сыщенного жидкостью пористо-упругого полупро- странства и жидкости одной, двух или трех по- Н. С. Городецкая 59 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 верхностных волн (в зависимости от упругих хара- ктеристик пористого скелета и жидкости). Первая из них – действительная (“true”) поверхностная волна, распространяющаяся со скоростью, мень- шей, чем скорости всех объемных волн; вторая – волна псевдо-Стоунли, скорость которой больше, чем скорость наименьшей объемной волны, но больше скоростей остальных волн; третья – вол- на псевдо-Рэлея, скорость которой меньше скоро- сти поперечной волны. В цитируемой работе рас- сматривался высокочастотный диапазон, в кото- ром объемные волны становятся практически не- затухающими и среду можно рассматривать как недиссипативную. На более низких частотах та- кое приближение неправомерно. Эксперименталь- ное подтверждение результатов работы [71] приве- дено в [88]. В [29] изучались поверхностные вол- ны на границе раздела пористо-упругого полу- пространства, насыщенного воздухом, и воздуха. Здесь учитывалось затухание в среде, обусловлен- ное взаимодействием фаз. Для контакта пористо- упругого полупространства и воздуха обнаруже- ны три поверхностные волны. При этом самая ме- дленная поверхностная волна не является “дей- ствительной” (“true”) и обладает наибольшим за- туханием; вторая – псевдо-рэлеевская волна; а тре- тья, самая быстрая поверхностная волна, распро- страняется со скоростью, немного меньшей скоро- сти быстрой продольной волны, и затухает слабее всех. В [27] предсказана и экспериментально най- дена поверхностная волна рэлеевского типа на гра- нице раздела пористо-упругой среды и воздуха. Большой цикл исследований, посвященных по- верхностным волнам в пористых средах, выполнен Wilmanski и его сотрудниками [22,66, 114]. Общим для этих работ является то, что пористая среда рассматривается в рамках теории смесей. Для сво- бодного пористо-упругого полупространства здесь найдены два типа поверхностных волн. Однако при этом рассматривался только случай непрони- цаемой границы. В [8] исследовались частотные зависимости ско- рости и затухания поверхностных волн на гра- нице раздела жидкого и пористо-упругого полу- пространств. В зависимости от параметров конта- ктирующих сред и условий на границе (открытые или закрытые поры) существуют одна, две или три поверхностные волны. Это волна Стоунли со скоростью, меньшей, чем скорости всех объемных волн; волна псевдо-Стоунли со скоростью, боль- шей, чем скорость медленной продольной волны, но меньше, чем скорость звука в жидкости; и вол- на псевдо-Рэелея со скоростью, близкой к скоро- сти изгибных волн в пористо-упругой среде. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Краткий анализ использования теории Био для описания распространения волн малой амплитуды в насыщенной пористо-упругой среде показыва- ет, что полученные на ее основе результаты каче- ственно и количественно согласуются с экспери- ментальными данными и теоретическими расче- тами в рамках более строгих подходов, примене- ние которых требует значительно более сложных вычислений. Более того, теории пористо-упругих сред, учитывающие связь микроструктурных и макроструктурных параметров, требуют опреде- ления физических постоянных, характеризующих отдельные фазы, а эти постоянные, как правило, неизвестны. В рамках же теории Био входящие в определяющие уравнения константы находятся из макроэкспериментов и достаточно полно описаны в литературе. Однако следует отметить, что их экспериментальное определение и предложенные связи между микропараметрами фаз с макропа- раметрами среды до настоящего времени остаются предметом дискуссии. Данное замечание в первую очередь следует отнести к структурным коэффи- циентам и локальным характеристикам среды. Наиболее важные волновые эффекты (затуха- ние волн, фазовые скорости, типы поверхностных волн), найденные в рамках теории Био, согласую- тся с экспериментальными данными. 1. Басниев К. С., Дмитриев Н. М., Розенберг Г. Д. Нефтегазовая гидромеханика.– Москва–Ижевск: Инст. компьют. исслед, 2003.– 480 с. 2. Био М. А. Механика деформирования и распро- странения акустических волн в пористой среде // Механика. Пероид. сб. переводов иностр. статей.– 1963.– 6, N 82.– С. 103–134. 3. Био М. А. Обобщенная теория распростране- ния акустических волн в диссипативных пори- стых средах // Механика. Пероид. сб. переводов иностр. статей.– 1963.– 6, N 82.– С. 135–155. 4. Био М. А. Теория упругости и консолидации ани- зотропной пористой среды // Механика. Пероид. сб. переводов иностр. статей.– 1957.– 1, N 35.– С. 140–147. 5. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах.– М.: Наука, 1981.– 278 с. 6. Городецкая Н. С. Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидко- стью полупространства // Акуст. вiсн.– 2002.– 5, N 4.– С. 5–14. 7. Городецкая Н. С. Волны на границе пористо- упругого полупространства. I. Свободная грани- ца // Акуст. вiсн.– 2005.– 8, N 1-2.– С. 28–41. 8. Губайдуллин А. А., Юолдырева О. Ю. Распро- странение волн вдоль границы насыщенной по- ристой среды и жидкости // Акуст. ж.– 2006.– 52, N 2.– С. 201–211. 60 Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 9. Динамика сплошных сред в расчетах гидротехни- ческих сооружений / Под ред. В. М. Ляхтера и Ю. С. Яковлева.– М.: Энергия, 1976.– 392 с. 10. Дунин С. З., Михайлов Д. Н., Николаевский В. Н. Продольные волны в частично насыщенных по- ристых средах. Влияние газовых пузырьков // Прикл. мат. мех.– 2006.– 70, N 2.– С. 282–294. 11. Заславский Ю. М. Об эффективности возбужде- ния быстрой и медленной волн Био в водо- и га- зонасыщенных средах // Техническая акустика.– 2002.– N 2.– С. 13.1–13.12. 12. Косачевский Л. Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // Прикл. мат. мех.– 1959.– 23, N 6.– С. 1115–1123. 13. Ляхов Г. М. Волны в грунтах и пористых много- компонентных средах.– М.: Наука, 1982.– 288 с. 14. Ляховицкий Ф. М., Рапопорт Л. И Применение теории Френкеля – Био для вычисления скорости и поглощения упругих волн в насыщенных пори- стых средах // Прикл. геофиз.– 1972.– 66.– С. 52– 64. 15. Михайлов Д. Н. Различие продольных волн Френкеля –Био в водонасыщенной и газона- сыщенной пористых средах // Изв. РАН. Меха- ника жидкости и газа.– 2006.– N 1.– С. 121–130. 16. Нигматулин Р. И. Основы механики гетероген- ных сред.– М.: Наука, 1978.– 336 с. 17. Рахматулин Х. А. Основы газодинамики взаи- мопроникающих движений сжимаемых сред // Прикл. мат. мех.– 1956.– 20, N 2.– С. 18–26. 18. Столл Р. Д. Акустические волны в водонасыщен- ных осадках // Акустика морских осадков.– М., 1977.– С. 28–46. 19. Трофимчук А. Н., Гомилко А. М., Савицкий О. А. Динамика пористоупругих насыщенных жидко- стью сред.– К.: Наук. думка, 2003.– 230 с. 20. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сей- смоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. географ. и геофиз.– 1944.– 8, N 4.– С. 133–149. 21. Хорошун Л. П. К теории насыщенных пористых сред // Прикл. мех.– 1976.– 12, N 12.– С. 35–41. 22. Albers B. Modelling of surface waves in poroelastic saturated materials by means of a two component continuum. – Lecture notes // WIAS-Preprint.– 2004.– N 952.– P. 1–44. 23. Albert D. G. A comparison between wave propagati- on in water-saturated and air-saturated porous materials // J. Appl. Phys.– 1993.– 73, N 1.– P. 28– 36. 24. Allard J. F. Propagation of sound in porous media: Modelling sound absorbing materials.– London: Chapman and Hall, 1993.– 284 p. 25. Allard J. F., Aknine A., Depollier C. Acoustical properties of partially reticulated foams with hi- gh and medium flow resistance // J. Acoust. Soc. Amer.– 1986.– 79, N 6.– P. 1734–1740. 26. Allard J. F., Champoux Y. New empirical equati- ons for sound propagation in rigid frame fibrous materials // J. Acoust. Soc. Amer.– 1992.– 91, N 6.– P. 3346–3353. 27. Allard J. F., Jansens G., Vermeir G., Lauriks W. Frame-borne surface waves in air-saturated porous media // J. Acoust. Soc. Amer.– 2002.– 111, N 2.– P. 690–696. 28. Attenborough K. Acoustical characteristics of ri- gid fibrous absorbents and granular materials // J. Acoust. Soc. Amer.– 1983.– 73, N 3.– P. 785–799. 29. Attenborough K., Chen Yu Surface waves at an interface between air and an air-filled poroelastic ground // J. Acoust. Soc. Amer.– 1990.– 87, N 3.– P. 1010–1016. 30. Badiey M., Cheng A. H.-D., Mu Y. From geology to geoacoustics: Evaluation of Biot –Stoll sound speed and attenuation for shallow water acoustics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1998.– 103, N 1.– P. 309– 320. 31. Bedford A., Drumheller D. S. A variational theory of porous media // Int. J. Solid Struct.– 1979.– 15.– P. 967–980. 32. Berge P. A., Wang H. F., Bonner B. P. Pore- pressure buildup coefficient in synthetic and natural sandstones // Int. J. Rock Mech. Min. Sci., Geomech. Abstr.– 1993.– 30.– P. 1135–1141. 33. Berryman J. G. Scale-up in poroelastic systems and applications to reservoirs // 16th ASCE Engng Mech. Conf.– Seattle: Univ. Washington, 2003.– P. 1–8. 34. Berryman J. G. Comparison of upscaling methods in poroelasticity and its generalizations // J. Engng Mech.– 2005.– 131, N 9.– P. 928–936. 35. Berryman J. G., Wang H. F. The elastic coeffici- ents of double-porosity models for fluid transport in jointed rock // J. Geophys. Resch.– 1995.– 100.– P. 24611–246246. 36. Berryman J. G., Wang H. F. Elastic wave propagation and attenuation in double-porosity dual-permability medium // Int. J. Rock Mech. Min. Sci.– 2000.– 37.– P. 63–78. 37. Biot M. A. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys.– 1941.– 12.– P. 155– 164. 38. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. Part I. Low frequency range // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.– 28, N 2.– P. 168–178. 39. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. Part II. Higher frequency range // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.– 28, N 2.– P. 179–191. 40. Biot M. A., Willis D. G. The elastic coefficients of the theory of consolidation // J. Appl. Mech.– 1956.– 24.– P. 594–601. 41. Bonnet G. Basic singular solutions for a poroelastic medium in the dynamic range // J. Acoust. Soc. Amer.– 1987.– 82, N 5.– P. 1758–1762. 42. Bonnet G., Auriault J.-L. Dynamics of saturated and deformable porous media: homogenization theory and determination of the solid-liquid coupli- ng coefficients // Physics of finely divided matter / Eds N. Boccara, M. Daoud.– Berlin: Springer, 1985.– P. 306–316. 43. Bouteca M. J., Gueguen Y. Mechanicfl properties of rock: Pore pressure and scale effects // Oil Gas Sci. Technolo. – Rev. IFP.– 1999.– 54, N 6.– P. 703–714. 44. Bowen R. M. Compressible porous media models by use of the theory of mixture // Int. J. Engng Sci.– 1982.– 20.– P. 697–735. 45. Brown R. J. S., Korringa J. On the dependence of the elastic propertied of a porous rock on the compressibility of the pore fluid // Geophys.– 1975.– 40.– P. 608–616. 46. Carsione J. M. Wave propagation in anisotropic saturated porous media: Plane wave theory and numerical simulation // J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.– 99, N 5.– P. 2655–2666. Н. С. Городецкая 61 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 47. Chaban I. A. Sound attenuation in semidents and rock // Acous. Phys.– 1993.– 39, N 2.– P. 190–193. 48. Champoux. Y, Allard J. F. Dynamic tortuosity and bulk modulus in air-saturated porous media // J. Appl. Phys.– 1991.– 70.– P. 1975–1979. 49. Chandler R. N., Johnson D. L. The equivalence of quasistatic flow in fluid-saturated porous media and Biot’s slow wave in the limit of zero frequency // J. Appl. Phys.– 1981.– 52, N 5.– P. 3391–3395. 50. Chotiros N. P. Biot model of sound propagation in water-saturated sand // J. Acoust. Soc. Amer.– 1995.– 97, N 1.– P. 199–214. 51. Chotiros N. P., Lyons A. P., Pace N. G. Normal incidence reflection loss from sandy semident // J. Acoust. Soc. Amer.– 2002.– 112, N 5, Pt 1.– P. 1831–1840. 52. Courtney R. C.,Mayer L. Acoustical properties of fine-grained sediments from Emerald Basin: Toward an inversion for physical properties using the Biot – Stoll model // J. Acoust. Soc. Amer.– 1993.– 93, N 6.– P. 3193–3201. 53. Coussy O. Poromechanics.– New York: John Wiley & Sons, 2004.– 298 p. 54. De Boer R. Highlights in the historical development of the porous media theory: Toward a consistent macroscopic theory // Appl. Mech. Rev. ASME.– 1996.– 49, N 4.– P. 201–262. 55. De Boer R. Theory of porous media. Highlights in historical development and current state.– Berlin: Springer, 2000. 56. De la Cruz V., Spanos T. J. T Thermomechani- cal coupling during seismic wave propagation in a porous medium // J. Geophys. Resch.– 1989.– 94.– P. 637–642. 57. Dell‘Isola F., Guarascio M., Hutter K. A variati- onal approach for the deformation of a saturated porous solid. A second-gradient theory extending Terzaghi’s effective stress principle // Arch. Appl. Mech.– 2000.– 70.– P. 323–337. 58. Denneman A. I. M., Drijkoningen G. G., Smeulders D. M. J., Wapenaar K. Reflection and transmission of waves at a fluid/porous- medium interface // Geophys.– 2002.– 67, N 1.– P. 282–291. 59. Deresiewicz H. The effect of boundaries on wave propagation in a liquid-filled porous plate. I. Reflection of plane waves at a free plane boundary (no-dissipative case) // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1960.– 50, N 4.– P. 599–607. 60. Deresiewicz H. The effect of boundaries on wave propagation in a liquid-filled porous solid. IV. Surface waves in a half-space // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1962.– 52, N 3.– P. 627–638. 61. Deresiewicz H. The effect of boundaries on wave propagation in a liquid-filled porous solid. VII. Surface waves in a half-space on the presence of a liquid layer // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1964.– 54, N 1.– P. 425–430. 62. Deresiewicz H., Rice J. T. The effect of boundari- es on wave propagation in a liquid-filled porous solid. III. Reflection of plane waves at a free plane boundary (general case) // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1962.– 52, N 3.– P. 595–625. 63. Deresiewicz H., Skalak R. On uniqueness in dynamic poroelasticity // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1963.– 53, N 4.– P. 783–788. 64. Domenico S. N. Elastic properties of unconsolidated sand reservoirs // Geophys.– 1977.– 42.– P. 1339– 1368. 65. Dvorkin J.,Holen-Hoeksema R., Nur A. The squirt-flow mechanism: Macroscopic description // Geophys.– 1994.– 59.– P. 428-428. 66. Edelman I., Wilmanski K. Asymptotic analysis of surface waves at vacuum/porous medium and li- quid/porous medium interfaces // Cont. Mech. Thermodyn.– 2002.– 14 N 1.– P. 25–44. 67. Ehlers W., Kubik J. On finite dynamic equation for fluid-saturated porous media // Acta Mech.– 1994.– 105.– P. 101–117. 68. Emerson M., Foray P. Laboratory P wave measurements in dry and saturated sand // Acta Geotech.– 2006.– N 1.– P. 167–177. 69. Fatt I. The Biot-Willis elastic coefficients for a sandstone // J. Appl. Mech.– 1959.– 26, N 2.– P. 296–297. 70. Fellan Z. E. A., Depollier C. On the propagation of acoustic pulses in porous rigid media: A time- domain approach // J. Comput. Acoust.– 2001.– 96, N 3.– P. 1163–1173. 71. Feng S., Johnson D. L. High-frequency acoustic properties of a fluid/porous solid interface. I. New surface mode // J. Acoust. Soc. Amer.– 1983.– 74, N 3.– P. 906–914. 72. Fillunger P. Der Auftrieb von Talsperren, Teil I– III // Osterr. Wochenschrift fur den offentlicen Baudients.– 1913.– 7.– S. 510–532. 73. Gassmann F. Elastic waves through a parking of spheres // Geophys.– 1951.– 16.– P. 673–685. 74. Geerstma J., Smit D. C. Some aspect of elastic wave propagation in fluid-saturated porous solid // Geophys.– 1961.– 26, N 2.– P. 169–181. 75. Gist G. A. Fluid effects on velocity and attenuation in sandstones // J. Acoust. Soc. Amer.– 1994.– 96, N 2, Pt. 1.– P. 1158–1173. 76. Johnson D. L. Equaivalence between fourthsound in liquid He II at low temperature and the Biot slow wave in consolidated porous media // Appl. Phys. Lett.– 1980.– 37.– P. 1065–1067. 77. Johnson D. L., Koplin J., Dashen R. Theory of dynamic permeability and tortuosity in fluid- saturated porous media // J. Fluid Mech.– 1987.– 179.– P. 379–402. 78. Johnson D. L., Plona T. J. Acoustic slow waves and the consolidation // J. Acoust. Soc. Amer.– 1982.– 72, N 2.– P. 556–565. 79. Johnson D. L.,Plona T. J. Probing porous media with first and second sound. II. Acoustic properties of water-saturated porous media // J. Appl. Phys.– 1994.– 76, N 1.– P. 115–125. 80. Jones J. P. Rayleigh waves in a porous, elastic, saturated solid J. Acoust. Soc. Amer196133, N 7959–962 81. Jungman A., Quentin G., Adler A., Xue Q. Elastic property measurements in fluid-filled porous materi- als // J. Appl. Phys.– 1988.– 66, N 11.– P. 5179– 5184. 82. Kaczmarec M., Kochanski J., Kubik J. Ultrasonic waves in saturated porous materials. Discussion of modeling and experimental results // J. Theor. Appl. Mech.– 1998.– 36, N 3.– P. 597–618. 83. Kelder O.,Smeulders D. M. J. Observation of the Biot slow wave in water-saturated Nivelsteiner sandstone // Geophys.– 1997.– 62, N 6.– P. 1794– 1796. 62 Н. С. Городецкая ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 2. С. 43 – 63 84. King M. S., Marsden J. R., Dennis J. W. Biot di- spersion for P- and S- wave velocities in partially and fully saturated sandstones // Geophys. Resch.– 2000.– 48.– P. 1075–1089. 85. Korringa J. On the Biot – Gassmann equations for the elastic moduli of porous rocks: Comment // J. Acoust. Soc. Amer.– 1981.– 70, N 6.– P. 1752– 1753. 86. Kumpel H. J. Poroelasticity: Parameters revi- ewed // Geophys. J. Int.– 1991.– 105.– P. 783–799. 87. Lee W. M. Modified Biot – Gassmann theory for calculating elastic velocities for unconsolidated and consolidated sediments // Marine Geophys. Resch.– 2002.– 23.– P. 403–412. 88. Mayer M. J., Nagy P. B., Adler L., Bonner B. P., Streit R. Excitation of surface waves of different modes at fluid –porous solid interface // J. Acoust. Soc. Amer.– 1986.– 79, N 2.– P. 249–252. 89. Murphy W. F. III Acoustic measures og partial gas saturation in tight sandstone // J. Geophys. Resch.– 1984.– 89.– P. 11549–11559. 90. Nagy P. B.,Adler L., Bonnet B. P. Slow wave propagation in air-filled porous materials and natural rocks // Appl. Phys. Lett.– 1990.– 56, N 25.– P. 2504–2506. 91. Nikolaevskij V. N. Mechanics of porous and fractured media.– Singapore: World Scientific Publi- shers, 1990.– 472 p. 92. Nikolaevskij V. N. Biot –Frenkel poromechanics in Russia (Review) // J. Engng Mech.– 2005.– 131, N 9.– P. 888–897. 93. Oqushwitz P. R. Applicability of the Biot theory // J. Acoust. Soc. Amer.– 1985.– 77, N 2.– P. 429–464. 94. Plona T. J. Observation of second bulk compressi- onal wave in a porous medium at ultrasonic frequencies // Appl. Phys. Lett.– 1980.– 36, N 4.– P. 259–261. 95. Prevost J. H. Wave propagation in fluid- saturated porous media: An efficient finite element procedure // Soil Dyn. Earthquake Engng.– 1985.– 4, N 4.– P. 183–202. 96. Pride S. R., Garambois S. The role of Biot slow waves in electroseismic wave phenomena // J. Acoust. Soc. Amer.– 1985.– 111, N 2.– P. 697– 706. 97. Rao M. V. M. S., Prasanna Lakhmi K. J. Shear- wave propagation in rock and other lossy media: An experimental study // Current Sci.– 2003.– 8, N 8.– P. 1221–1225. 98. Rasolofosaon P. N. J. Plane acoustic waves in li- near viscoelastic porous media: Energy, particle di- splacement and physical interpretation // J. Acoust. Soc. Amer.– 1991.– 89, N 4, Pt 1.– P. 1532–1551. 99. Salem H. S. Determination of the acoustics coupling factor of Biot’s theory of elasticity, using in situ sei- smic measurements // Energy Sources.– 2001.– 23.– P. 917–936. 100. Salin D., Schon W. Acoustics of water saturated packed glass spheres // J. Phys. Lett.– 1981.– 42.– P. 477–480. 101. Schanz M., Diebels S. A comparative study of Biot’s theory and the linear theory of porous media for wave propagation problem // Acta Mech.– 2003.– 161.– P. 213–235. 102. Silin D. B., Korneev V. A., Goloshubin G. M., Patzek T. W. Low frequancy asymptotic analysis of seismic reflection from a fluid-saturated medium // Transp. Por. Media.– 2006.– 62.– P. 283–305. 103. Simmons G., Wilkens R., Caruso L., Wissler T., Mi- ller F. Physical propertied and microstructures of a set of sandstones // Ann. Rept Schlumberger –Doll Resch Center.– VI-16.– 1983. 104. Smeulders D. J. Experimental evidence for slow compressional waves // J. Engng Mech.– 2005.– 131, N 9.– P. 908–917. 105. Stinson M. R., Champoux Y. Propagation of sound and the assignment of shape factors in mode porous materials having simple pore geometries // J. Acoust. Soc. Amer.– 1992.– 91, N 2.– P. 685–695. 106. Stoll R. D., Bryan G. M. Wave attenuation in saturated sediments // J. Acoust. Soc. Amer.– 1970.– 47, N 5, Pt 2.– P. 1440–1447. 107. Stoll R. D., Kan T.-K. Reflection of acoustic waves at water-sediment interface // J. Acoust. Soc. Amer.– 1981.– 70, N 1.– P. 149–156. 108. Tajuddin M. Rayleigh waves in a poroelastic half- space // J. Acoust. Soc. Amer.– 1984.– 75, N 3.– P. 682–684. 109. Tolstoy I. Acoustics, elasticity, and thermodynamics of porous media: Twenty-one papers by M. A. Biot.– New York: AIP Press, 1992.– 272 p. 110. Von Terzaghi K. Die Berechnung der Durchlassi- gkeit des Tones aus dem Verlauf der hydromechani- schen Spannungserscheinungen // Sitzungsber. Akad.Wissensch. Math.-Naturwiss. Klasse.– 1923.– 132.– S. 125–128. 111. Walton K., Digby P. J. Wave propagation though fluid saturated porous rocks // Trans. ASME.– 1987.– 54.– P. 788–793. 112. While J. E. Computed seismic speed and attenuati- on in rocks with partial gas saturation // Geophys.– 1975.– 40.– P. 224–232. 113. Wilmanski K. A few remarks on Biot’s model and linear acoustics of poroelastic saturated materials // Solid Dynam. Earth. Engng.– 2006.– 26.– P. 509– 536. 114. Wilmanski K. Propagation of sound and surface waves in porous materials // WIAS-Preprint.– 2001.– N 684.– P. 1–12. 115. Wu K., Xue Q., Adler L. Reflection and transmissi- on of elastic waves from a fluid – saturated porous solid boundary // J. Acoust. Soc. Amer.– 1990.– 87, N 6.– P. 2349–2358. 116. Yamamoto T. Acoustic propagation in the ocean wi- th a poro-elastic bottom // J. Acoust. Soc. Amer.– 1983.– 73, N 5.– P. 1578–1596. 117. Yavari B., Bedford A. Comparison of numerical calculation of two Biot coefficients with analytical solutions // J. Acoust. Soc. Amer.– 1991.– 90, N 2, Pt 1.– P. 985–990. 118. Zhi-Jun Dai, Zhen-Bang Kuang, She-Xu Zhao Reflection and transmission of elastic waves from the interface of a fluid-saturated porous solid and a double porosity solid // Transp. Por. Media.– 2006.– 65.– P. 237–264. Н. С. Городецкая 63

Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах

Institution

Ähnliche Einträge