Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия

Определяется переходной процесс в колебательной системе при действии периодического удара в виде Фурье-сингуларисного ряда. Фурье-сингуларисное воздействие отображает последовательность периодических несинусоидальных импульсных нагрузок, обуславливающих особенности переходных процессов в системе....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Божко, А.Е.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2011
Schriftenreihe:	Проблемы машиностроения
Schlagworte:	Динамика и прочность машин
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103874
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия / А.Е. Божко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 22-25. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-103874
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1038742017-01-01T19:00:33Z Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия Божко, А.Е. Динамика и прочность машин Определяется переходной процесс в колебательной системе при действии периодического удара в виде Фурье-сингуларисного ряда. Фурье-сингуларисное воздействие отображает последовательность периодических несинусоидальных импульсных нагрузок, обуславливающих особенности переходных процессов в системе. Визначається перехідний процес у коливальній системі при дії періодичного удару у вигляді Фур'є-сингуларисного ряду. Фур'є-сингуларисний вплив відображає послідовність періодичних несинусоїдальних імпульсних навантажень, що обумовлюють особливості перехідних процесів у системі. The transitional process in oscillating system from Furie-singularisnal force is defined. Furiesingularisnal effect displays a sequence of periodic nonsinusoidal pulse loads, causing the transition process in the system. 2011 Article Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия / А.Е. Божко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 22-25. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0131-2928 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103874 531.01(0752) ru Проблемы машиностроения Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин
spellingShingle	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин Божко, А.Е. Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия Проблемы машиностроения
description	Определяется переходной процесс в колебательной системе при действии периодического удара в виде Фурье-сингуларисного ряда. Фурье-сингуларисное воздействие отображает последовательность периодических несинусоидальных импульсных нагрузок, обуславливающих особенности переходных процессов в системе.
format	Article
author	Божко, А.Е.
author_facet	Божко, А.Е.
author_sort	Божко, А.Е.
title	Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
title_short	Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
title_full	Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
title_fullStr	Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
title_full_unstemmed	Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия
title_sort	осцилляции в колебательной системе от фурье-сингуларисного воздействия
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Динамика и прочность машин
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103874
citation_txt	Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия / А.Е. Божко // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 22-25. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT božkoae oscillâciivkolebatelʹnojsistemeotfurʹesingularisnogovozdejstviâ
first_indexed	2025-07-07T14:30:24Z
last_indexed	2025-07-07T14:30:24Z
_version_	1836998853433229312
fulltext	ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 22 УДК 531.01(0752) А. Е. Божко, член-кор. НАН Украины Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины (г. Харьков, E-mail: bozhko@ipmach.kharkov.ua) ОСЦИЛЛЯЦИИ В КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТ ФУРЬЕ-СИНГУЛАРИСНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ Определяется переходной процесс в колебательной системе при действии периодиче- ского удара в виде Фурье-сингуларисного ряда. Фурье-сингуларисное воздействие ото- бражает последовательность периодических несинусоидальных импульсных нагрузок, обуславливающих особенности переходных процессов в системе. Визначається перехідний процес у коливальній системі при дії періодичного удару у ви- гляді Фур'є-сингуларисного ряду. Фур'є-сингуларисний вплив відображає послідовність періодичних несинусоїдальних імпульсних навантажень, що обумовлюють особливості перехідних процесів у системі. Введение В транспортных средствах от действия периодических полусинусоидальных ударов в узлах возникают механические колебания (вибрации), по-другому – осцилляции, способ- ствующие разрушению этих узлов и машин в целом. С целью виброзащиты от таких колеба- ний применяются пружины, демпферы различных типов. В совокупности масса узла, пру- жины и демпферы представляют собой колебательную систему (КС). Для определения па- раметров пружин, демпферов при соответствующей массе и при известных вибровоздейст- виях необходимо осуществлять расчет как переходных, так и установившихся осцилляций КС, для чего нужна разработанная теория этих колебаний. Основная часть В данной статье рассмотрим КС с одной степенью свободы, механическая схема ко- торой изображена на рис. 1, где m – масса; х – перемещение массы; Пр, D – пружина и демпфер соответственно; F – внешнее воздействие. Отмеченный ранее полусинусоидальный удар (F) изображен на рис. 2, где Fa – амплитуда; t – время; Т – период следования импуль- сов. Известно, например, из [1], что сигналы, изображенные на рис. 2, могут быть пред- ставлены разложением в ряд Фурье вида ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −ω ⋅ +ω ⋅ −ω ⋅ +ω π + π = ...6cos 75 14cos 53 12cos 31 1cos 42 12)( ttttFtF a . (1) Как видно из выражения (1), в данном разложении присутствует постоянная состав- ляющая Fa/π. При действии на КС удара в виде (1) в момент t = 0 0... 75 1 53 1 31 1 42 12)0( FFtF a =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + π + π == , то есть появляется дополнительная постоянная составляю- щая ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + π + π ... 75 1 53 1 31 1 42 12 aF , которая примерно равна aF π 24,2 . Обшая постоянная составляющая периодиче- ского полукосинусоидального удара при t = 0 равна x m Пр D F O Рис. 1. Механическая схема КС с одной степенью свободы ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 23 0 24,3 FFF aa =≈ π . Эта F0, с точки зрения воздействия на КС является скачкообразной функцией F01(t), где ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = 0 при 0 0 tпри 1 )(1 t t . Известно [2, 3], что скачкообразную функцию 1(t), а значит, и F01(t) можно представить в виде сингуларисно- го разложения ( ) ∑ ∞ = α−α− ω+−= 1 00 cos1)(1 m kak tt tUFeeFtF , (2) где α – коэффициент затухания; ,12 , , ,1 1 1 1 ≈= ω ω = π = n k UUkU a ak k a ,1 n 1k ∑ = =akU ωk – круго- вая частота k-й гармоники; Uak – амплитуда k-й гармоники. Свойства сингуларисного разложения описаны в работе [3]. Используя в (1) выраже- ние (2), получим разложение F(t), названное по моему предложению Фурье-сингуларисным, в виде ( ) ....6cos 75 14cos 53 12cos 31 1cos 4 2 cos1)( 1 00 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −ω ⋅ +ω ⋅ −ω ⋅ +ω π π + +ω+−= ∑ ∞ = α−α− ttttF tUeFeFtF a m kak tt (3) Именно выражение (3) описывает периодический полусинусоидальный удар, изо- браженный на рис. 2. Для определения реакции КС на удар в виде (3) запишем следующее дифференциальное уравнение движения КС: )(2 2 1 tFсx dt dxb dt xdm =++ , (4) где b, c – коэффициенты диссипации и жесткости соответственно. Удар в виде (3) создает свободные и вынужденные осцилляции в КС. Определение осцилляции в КС при действии данного удара будем осуществлять операционным методом, используя изображения Карсона [4]. В изображениях Карсона уравнение (4) с учетом (3) имеет вид ( ) ( ) ( ) , 36 75 1 16 53 1 4 31 1 4 2 )( 22 2 22 2 22 2 22 2 1 2200 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω+⋅ + ω+⋅ − ω+⋅ + ω+ π π + + ω+α+ α+ + α+ α =++ ∑ = p p p p p p p pF p ppF p Fcbpmppx a n k k (5) где х(р) – изображение Карсона оригинала x(t), dt dp = – оператор. Из (5) ( ) ( ) .... 36 75 1 16 53 1 4 31 1 4 2 1 )( 22 2 22 2 22 2 22 2 1 2200 1 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ω+⋅ + ω+⋅ − ω+⋅ + ω+ π π + + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ω+α+ α+ + α+ α ++ = ∑ = p p p p p p p pF p ppF p F cbpmp px a n k k (6) 2 T 0 Fa t T F Рис. 2. Полусинусоидальный удар ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 24 Оригинал x(t), соответствующий выражению (6), находим по таблицам, представ- ленным в работе [4]. Но вначале применим метод простых дробей [4], в результате которого выражение (6) представим в виде ( ) . 431 2 2 )( 22 33 2 33 22 22 2 22 22 11 2 11 1 0 2 1110 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω+ + + ++ + π⋅ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω+ + + ++ + + ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ω+α+ + + ++ + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + + α+ ≈ ∑ = p DpC m c m bpp BpA m F p DpC m c m bpp BpA m F p DPC m c m bpp BAUF m c m bpp DpB p A m Fpx aa k kkkk n k ak (7) На основе сравнения (6) и (7) получаем систему уравнений ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++++ω++ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++++ω++ α+=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++++ω+α++ α=α+++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ . 4 , , , 22 33 22 33 22 22 22 22 22 11 22 11 11 2 1 p m c m bppDpCpBpA p m c m bppDpCpBpA pp m c m bppDPCpBA pDpB m c m bppA kkkkk (8) Из уравнений (8) можно получить значения коэффициентов A1, B1, D1, A1k, B1k, C1k, D1k, A2, A3, B2, B3, C2, C3, D2, D3, приравнивая левые части уравнений при операторе «р» пра- вым частям при этих же операторах с соответствующими показателями степени. Для того чтобы не загромождать материал статьи элементарными преобразованиями в виде подстановок в (8) при определении указанных коэффициентов, предоставим читате- лю самостоятельно определить эти коэффициенты. Заметим, что на общий вид выражения осцилляций в КС величины этих коэффициентов не оказывают влияния. Потому представим выражения осцилляций, используя эти коэффициенты в своих обозначениях. По таблицам из работы [5] изображению (7) соответствует следующий оригинал: ( ) ( ) ( ),2cos1 4 31 22sin 4 31 2 sin 2 cos1 31 2sin 31 2 cos1 2 sin 2 sin 2 cos1 2 sin 2 sincos1 sin sin 2 cos1sin sin 2 cos1sin11 )( 33 0 0 0 2 30 2 0 3 2 22 0 0 0 2 20 2 0 2 22 1 1 0 0 0 2 1 0 2 1 0 10 0 0 0 2 1 0 0 2 0 1 010 tD m FtC m F t m bteB c FteA m F tD m FtC m Ft m bte B c FteA m FtteD teCt m bte c BteA m F t m bteD c FteB m FeA m Ftx aa t m b a t m b a aa t m b a t m b a k k k t k k k t k k t m b k t m bn k k t m bt m b t ω− ωπ⋅ +ω ωπ⋅ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω +ω− π⋅ +ω ωπ⋅ + +ω− ω +ω ω + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω +ω−× ×+ω ω + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω α +ω− ω+α + +ω ω + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω +ω−+ω ⎩ ⎨ ⎧ ω + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω +ω−+ω ω +− α = −− − −α− α−−− = −−α− ∑ (9) ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 25 где 22 0 2 , 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛>⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−=ω m b m c m b m c . Выражение (9) в упрощенном виде следующее: ( ) ( ) ,2cos 431 22sin 431 2cos 2 sin 2 cossincossin)( 3 3 2 22 1 00 0 0000 2 00 tD m Ft m CFt m DFt m CF tbtaU m FetBtAeexxtx aaaa n k kkkkak tt m b t ω ωπ⋅⋅ +ω ωπ⋅⋅ +ω ω −ω ω + +ω−ω+ω−ω+−= ∑ = α−−α− (10) где + π⋅ + ω ++ ω+α +++ α = ∑∑ == c BFD m F c BFDU m FUB c F c DFA m Fx aaa n k k k ak n k akk 31 2 22 3 22 2 1 22 10 1 1 01010 0 ωπ⋅⋅ + m DFa 431 2 3 , α = m AFx a 1 01 , ∑ ∑ = = + ω −− ω + ω − ω = n k n k kakkak aa BU cm bFAU m F cm bDFB m FA 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 22 0 3 0 3 2 0 2 0 3131 2 4 4 2 ωπ⋅⋅ − ωπ⋅⋅ + ω − ω + cm bBF m AFB cm bFA c F aaaa , ∑ = π⋅ ++−= n k aa kak a c BFB c FBU c FD c FB 1 3 21 0 10 31 2 2 , ( ) kk kk k D k ca ω α ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ω+α − ω = 22 11 0 , 22 1 0 k k k Db ω+α = . Как видно из (10), перемещение x(t) представляет собой сложное колебание, состоя- щее из постоянного смещения х0, затухающей экспоненты x01e–αt, затухающих колебаний с собственной частотой ω0 и коэффициентом затухания m b 2 =γ , затухающих полигармониче- ских колебаний с частотами ωk и коэффициентом затухания α и установившихся колебаний с частотами ω, 2ω. Еще раз отметим, что гармоники с частотами 4ω, 6ω и т.д. здесь не учиты- ваются из-за очень малых их амплитуд. Заметим, что при α = ∞ x01e–αt = 0 и ( ) 0cossin 0 1 0 0 =ω−ω∑ = α− tbtaU m Fe kk n k kkak t . В этом случае переходной процесс определяется коэффициентом затухания m b 2 =γ . Вывод Наличие в колебании нескольких гармоник обуславливает в выборе параметров КС, таких, чтобы на этих частотах не было резонансов. Литература 1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники / Л. А. Бессонов. – М.: Высш. шк., 1978. – 528 с. 2. Божко А. Е. Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в элек- троцепях / А. Е. Божко // Доп. НАН України. − 2007. – № 6. – С. 81–87. 3. Божко А. Е. О сингуларисном разложении скачкообразной функции / А. Е. Божко // Доп. НАН України. − 2008. – № 2. – С. 42–47. 4. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях / С. Г. Гинзбург. − М.: Сов. радио, 1959. – 404 с. Поступила в редакцию 05.01.11

Осцилляции в колебательной системе от Фурье-сингуларисного воздействия

Institution

Ähnliche Einträge