Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии

Рассматривается метод и алгоритм идентификации физических и теплофизических параметров тонкостенных систем при неоднородном внешнем воздействии. Предлагается определять неизвестные характеристики материала из решения обратной задачи термоупругости с использованием различных способов аппроксимации па...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Гук, Н.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2011
Назва видання:	Проблемы машиностроения
Теми:	Динамика и прочность машин
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103876
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии / Н.А. Гук // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 33-45. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-103876
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1038762016-06-27T03:02:07Z Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии Гук, Н.А. Динамика и прочность машин Рассматривается метод и алгоритм идентификации физических и теплофизических параметров тонкостенных систем при неоднородном внешнем воздействии. Предлагается определять неизвестные характеристики материала из решения обратной задачи термоупругости с использованием различных способов аппроксимации параметров. Декомпозиция вектора параметров приводит к необходимости решения параллельных задач существенно меньшей размерности. Предложенный подход позволяет определять указанные параметры в условиях их существенной неоднородности. Розглядається метод і алгоритм ідентифікації фізичних і теплофізичних параметрів тонкостінних систем при неоднорідній зовнішній дії. Пропонується визначати невідомі характеристики матеріалу з розв’язку оберненої задачі термопружності з використанням різних способів апроксимації параметрів. Декомпозиція вектора параметрів приводить до необхідності розв'язання паралельних задач істотно меншої розмірності. Запропонований підхід дозволяє визначати вказані параметри в умовах їх істотної неоднорідності. A method and algorithm of identification of physical and thermophysical parameters of the thinwalled systems under external influence is considered. It is suggested to determine unknown descriptions of material from the decision of inverse problem of thermoelasticity with the use of different ways of approximation of parameters. The decoupling of parameter’s vector led to the decision of parallel problems substantially to the less dimension. Offered approach allows to determine the indicated parameters in the conditions of their substantial dissimilarity. 2011 Article Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии / Н.А. Гук // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 33-45. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0131-2928 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103876 593.3 ru Проблемы машиностроения Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин
spellingShingle	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин Гук, Н.А. Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии Проблемы машиностроения
description	Рассматривается метод и алгоритм идентификации физических и теплофизических параметров тонкостенных систем при неоднородном внешнем воздействии. Предлагается определять неизвестные характеристики материала из решения обратной задачи термоупругости с использованием различных способов аппроксимации параметров. Декомпозиция вектора параметров приводит к необходимости решения параллельных задач существенно меньшей размерности. Предложенный подход позволяет определять указанные параметры в условиях их существенной неоднородности.
format	Article
author	Гук, Н.А.
author_facet	Гук, Н.А.
author_sort	Гук, Н.А.
title	Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии
title_short	Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии
title_full	Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии
title_fullStr	Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии
title_full_unstemmed	Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии
title_sort	идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Динамика и прочность машин
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103876
citation_txt	Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии / Н.А. Гук // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 33-45. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT gukna identifikaciâparametrovzadačitermouprugostitonkostennyhsistemprineodnorodnomnaprâžennodeformirovannomsostoânii
first_indexed	2025-07-07T14:30:32Z
last_indexed	2025-07-07T14:30:32Z
_version_	1836998863630630912
fulltext	ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 33 УДК 593.3 Н. А. Гук, канд. физ.-мат. наук Днепропетровский национальный университет им. О. Гончара, (E-mail: nguk@farlep.dp.ua) ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ СИСТЕМ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ Рассматривается метод и алгоритм идентификации физических и теплофизических параметров тонкостенных систем при неоднородном внешнем воздействии. Предлага- ется определять неизвестные характеристики материала из решения обратной задачи термоупругости с использованием различных способов аппроксимации параметров. Де- композиция вектора параметров приводит к необходимости решения параллельных за- дач существенно меньшей размерности. Предложенный подход позволяет определять указанные параметры в условиях их существенной неоднородности. Розглядається метод і алгоритм ідентифікації фізичних і теплофізичних параметрів тонкостінних систем при неоднорідній зовнішній дії. Пропонується визначати невідомі характеристики матеріалу з розв’язку оберненої задачі термопружності з викорис- танням різних способів апроксимації параметрів. Декомпозиція вектора параметрів приводить до необхідності розв'язання паралельних задач істотно меншої розмірності. Запропонований підхід дозволяє визначати вказані параметри в умовах їх істотної не- однорідності. Введение При исследовании тепловых процессов в энергетике, металлургии и других областях техники часто возникает проблема идентификации внутренних параметров тепловых сис- тем. Для идентификации характеристик материалов могут быть применены как эксперимен- тальные методы [1, 2], так и теоретические, основанные на решении коэффициентных об- ратных задач механики деформируемого твердого тела [3–6]. Аппарат обратных задач, в соответствии с общей стратегией экстремальных мето- дов, позволяет осуществлять идентификацию параметров в результате численного модели- рования рассматриваемого процесса и поиска минимума функционала-невязки. Главной проблемой применения такого подхода является необходимость формулирования оператор- ной связи между искомыми коэффициентами дифференциальных операторов и измеряемы- ми величинами. В работе [4] получены явные выражения градиентов функционалов-невязок для ши- рокого множества многокомпонентных распределенных систем различных параметров и параметров различных внешних воздействий, используемые в градиентных методах иден- тификации. Между тем, известные решения коэффициентных обратных задач [5, 6] вклю- чают, как правило, малое число определяемых параметров и базируются на решении ста- ционарных задач теплопроводности при однородном нагреве. Однако известно, что диа- граммы σ–ε, полученные при однородном и неоднородном нагружениях, существенно отли- чаются друг от друга. Можно предположить, что теплофизические и механические свойства материала в нестационарных неоднородных задачах являются не параметрами, а функция- ми температуры, что не позволяет определять их с помощью итерационных процессов [4] в силу их плохой обусловленности. В настоящей работе предлагается подход, позволяющий идентифицировать измене- ние термомеханических и физических свойств материала в зависимости от температуры в ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 34 задачах термоупругости, когда поле температур существенно неоднородно по объему мате- риала. Постановка задачи Пусть в трехмерной области Ω = {X \| X = (x1, x2, x3) ∈ R3, 0≤ x1 ≤ a; 0≤ x2 ≤ b; 0≤ x3 ≤ h} определена система термоупругого деформирования σij,j(α(T), T, ui) = Fi, i, j = 1, 2, 3, (1) связь между компонентами тензора напряжений σij и компонентами тензора деформаций εij задается в таком виде: , 3 2, )1(2 )(, )21)(1( )(),)((3 3 ,)])(()23([2),),(( 0 0 μ+λ= ν+ =μ ν−ν+ ν =λ−α+ σ =ε δ−αμ+λ−λε+με=ασ kTETETTT k TTTuTT kk kk ijkkijiij (2) а связь между деформациями εij и перемещениями )( 2 1 ,, ijjiij uu +=ε , здесь Fi, ui – проекции внешних сил и перемещений на оси Oxi; α(T) – коэффициент темпера- турного расширения; λ, μ – коэффициенты Ляме; k – модуль объемного расширения; ν – ко- эффициент Пуассона; E(T) – модуль Юнга; T, T0 – конечная и начальная температура тела. В области Ω изменение температуры T удовлетворяет уравнению ( ) TTCqTT iiT &)()( , =+λ , (3) где λT(T) – коэффициент теплопроводности; q – мощность теплового источника; C(T) – удельная теплоемкость. В начальный момент тело не нагрето и не деформировано. На поверхностях x1 = 0 и x1 = a заданы условия закрепления. На поверхностях x3 = 0 и x3 = h сформулированы гранич- ные условия 2-го и 3-го рода )(),()(,0),,( 33 303 21 tq x tTT x txxT hx T x = ∂ Ω∂ λ= ∂ ∂ == , (4) где Ω – область воздействия теплового потока. Будем предполагать, что тело нагрето настолько, что физические E(T) и теплофизи- ческие характеристики материала α(T), λT(T), C(T) изменяются существенно, но при этом процесс деформирования остается упругим. Считаем, что на поверхности x3 = 0 в точках Xn, n = 1, 2, …, N известны (измеряются) значения нормальных перемещений и температур u3(Xn) = u3 , (5) T(Xn) = T. (6) Решение обратной задачи предполагает восстановление вектор-функции параметров H = {E(T), α(T), λT(T), C(T)}, компонентами которого являются функции, характеризующие физические и теплофизические характеристики материала по известным следам (5), (6) ре- шения прямой задачи. Функционал-невязка будет иметь вид аналогично [4] ( ) ( ) 2 1 * 2 1 * 33 )(),()(),( ∑∑ == −+−= N n nn N n nn XTHXTXuHXuJ . (7) Метод решения Для определения компонент вектора нормальных перемещений u3(Xn, H) и темпера- тур T(Xn, H) необходимо построить решение прямой задачи (1)–(4). Совместно с заданными ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 35 (измеренными) векторами u3 (Xn), T(Xn) это позволяет сформировать вектора невязок ( ))(),(),( * 333 nn XuHXuHu in −=ε , ( ))(),(),( * nnn XTHXTHT −=ε , необходимые для формиро- вания функционала-невязки (7). Параметризация всех неизвестных функций задачи осуществляется путем их ап- проксимации с помощью метода конечных элементов (МКЭ). Для построения системы уравнений МКЭ выполняется дискретизация области Ω следующим образом: − для решения прямой задачи вводится сетка с координатами узлов Xs, где Xs = {x1s, x2s, x3s}, s = 1, 2, …, S и соответствующими узловыми значениями функции siu в виде вектора }{)( sis uXU = ; − для представления условия (7) в дискретной форме вводится сетка с координатами узлов Xn, где Xn = {x1n, x2n, x3n}, n = 1, 2, …, N, все Xn из числа Xs, и заданными значениями функ- ций }{)( * 33 nn uXu = , T(Xn) = {Tn }; При численном решении сведение поиска неизвестных функциональных зависимо- стей E(T), α(T), λT(T), C(T) к конечномерной постановке осуществляется путем их парамет- ризации. Так, для построения решения обратной задачи вводится сетка с координатами уз- лов Xk, где Xk = {x1k, x2k, x3k}, на которой неизвестные функции {E(T), α(T), λT(T), C(T)} ап- проксимируются таким образом, что вектор неизвестных параметров обратной задачи со- стоит из значений в узловых точках H = {E1, α1, λT1, C1, …, Ek, αk, λTk, Ck}, k = 1, 2, …, K. Рассматриваемая система представляется в виде ансамбля четырехузловых конечных элементов. Учитывая линейный закон изменения перемещений u1 и u2 по толщине, неизвестные функции на элементе е задаются для локальной системы координат (μ, η, ϑ) при помощи ап- проксимаций вида ,),(,),(,),( ),,(),,(,),(),,(,),(),,( )()()()( 33 33 3 202 3 101 TBTTBTuBu uuuuuuuu eeeeee && ⋅ημ=⋅ημ=ημ= ημ=ϑημ η∂ ημ∂ ϑ±=ϑημ μ∂ ημ∂ ϑ±=ϑημ где u10, u20 – перемещения координатной поверхности ϑ = 0; ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ η∂ ∂ μ∂ ∂ == 33 333 ,,}{ uuuuu r T , T = {Tr} – векторы значений функций в узлах; Be(μ, η) – функции формы. После выполнения соответствующей процедуры интегрирования и суммирования матриц элементов получаем систему уравнений в виде KU(H)U = RT (8) QTHKTHC TT =+ )()( & ; (9) где UT = {Ur} – вектор узловых перемещений; Q – вектор теплового воздействия; T – вектор, учитывающий механическое и температурное нагружение; ∑ ∫ Ω= Ωe eeeTe U dDHCDHK e )()()()( )()( )( , ∑ ∫ Ω= Ωe eee T Te T dDHCDHC e )()()()( )()( )( , ∑ ∫ Ω= Ωe eeeTe T dDHkDK e )()()()( )( )( – матрицы жесткости, теплоемкости, теплопроводности конструкции; C(e)(H), CT (e)(H), k(e)(H) – матрицы упругости, коэффициентов теплоемкости, коэффициентов теплопроводности соответственно для всего ансамбля элементов; D(e)T – мат- рица функций формы. В результате решения системы уравнений (8), (9) получаем векторы перемещений и температур u3(Xn, H), T(Xn, H), которые вместе с заданными векторами u3 (X), T(Xn) позво- ляют сформировать функционал-невязку (7). ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 36 Для выполнения численной минимизации функционала (7) будем использовать ме- тод Ньютона–Аффсона, тогда итерационный процесс отыскания вектора параметров будет иметь вид Hk+1 = Hk – hk(J''(Hk))–1J'(Hk), (10) где J''(Hk) – гессиан функционала J в точке Hk; J'(Hk) – градиент функционала J в точке Hk; hk – величина шага, которую можно регулировать. Компоненты градиента и гессиана функционала можно представить следующим об- разом: ).()(2)()(2)( ),()(2)()( 1 2 1 1 k n N i pj k n p k n N n T j k nk k n N n j k n j k k H HH H H H H HHJ H H H H HJHJ ε ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ε∂ − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ε∂ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ε∂ =′′ ε ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ε∂ = ∂ ∂ =′ ∑∑ ∑ == = Линеаризуя функцию εn(Hk) в окрестности текущего значения вектора параметров Hk в виде )()()()(~ 1 k jj HH M j T j k nk nn HH H HHH k − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ε∂ +ε=ε = = ∑ и сделав замену ее в гессиане на ли- неаризованную, получим, что второе слагаемое можно положить равным 0. Вводя матрич- ные обозначения, из (10) имеем разрешающее уравнение для определения вектора Hk неиз- вестных параметров задачи R(Hk)ΔHk = –G(Hk)ε(Hk), (11) где ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ε∂ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ε∂ = j k n T j k nk H H H HHR )()()( ; T j k nk H HHG ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ε∂ = )()( , n = 1, 2, …, N, j = 1, 2, …, M. Введем предположение о существовании наиболее информативных компонент }{ 11 jHH Δ=Δ , j = 1, 2, …, M1, M1 < M вектора параметров ΔH = {ΔHj}, j = 1, 2, …, M, таких, что выполняется условие \|\|ΔH – ΔH1\|\|2 → min, и норма определяется 2121 11 1 MM HHHHHH Δ−Δ++Δ−Δ=Δ−Δ K . Тогда неизвестный вектор приращений параметров ΔH = {ΔHj}j = 1, M можно предста- вить в виде двух независимых вектора ΔH1 и ΔH2, имеющих размерности M1 и M2 соответ- ственно (M1 + M2 = M). Зададим функции принадлежности uj p (j = 1, 2, …, M, p = 1, 2) компонент вектора ΔH векторам ΔH1 и ΔH2 в виде , };,,{,);()( };,,{,);()( 21 22 2 2 11 1 1 2122 1111 ∅=∩ =∈−δ= =∈−δ= II rrIIrXXXu rrIIrXXXu M M kkrr pprr K K (12) где )( prXX −δ – функция Дирака; M1 – заданное число ненулевых компонент вектора ΔH1. Используя функции (12), сформируем матрицы ][][][;}diag{][;,2,1;})(diag{][ 12 1 1 1 DDDuDMrXXD MMrMMrMM −===−δ= ××× K , тогда ΔH1 и ΔH2 можно представить в виде ΩΔ=ΔΩΔ=Δ ∫∫ ΩΩ HdDHHdDH 2 2 1 1 ~ , ~ или в векторной форме ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 37 ][] ~ [] ~ [; 0~ ; 0 ~ 21 1 2 2 1 1 1 HHH H HHH MM Δ=Δ+Δ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ =Δ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡Δ =Δ ×× где Т jjM Т jjM MMM HHHHHH },,{][,},,{][ 112111 1 2 1 1 ΔΔ=ΔΔΔ=Δ +×× KK . Векторы ΔH1 и ΔH2 будем определять независимо друг от друга в виде двух парал- лельных алгоритмов Ωε ∂ ε∂ =Δ ∫ ∑ Ω = dH H HXQH k n N n j k nk )()()( )( 1 1 )(1 ; (13) ∫ ∑ Ω = Ωε ∂ ε∂ =Δ dH H HXQH k n N n j k nk )()()( )( 1 2 )(2 , (14) где ],1,,1),([)( MnMmXQXQ iii mn ==δ⋅= , i = 1, 2 – матрицы, в которые входят искомые ко- эффициенты; (k)– индекс, характеризующий номер итерации процесса (11), в дальнейшем будет опущен. На каждом шаге итерационного процесса функционал для условия \|\|ΔH – ΔH1\|\|2 → min будет иметь вид min,)()( 0 )()( )()( 0 )()(),( 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 12 1 211 →Ω⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε ∂ ε∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −ε ∂ ε∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε ∂ ε∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −ε ∂ ε∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑∑ ∫ ∑∑ == Ω == dH H HQ H H H Q Q H H HQ H H H Q Q QQJ k n N n j k nk n N n j k n T k n N n j k nk n N n j k n (15) где εn(Hk) – невязка, полученная при фиксированных значениях вектора параметров Hk; εn 1(Hk) – невязка, вычисленная для вектора параметров Hk = H1, а интеграл рассматривается в смысле Т. Стилтьеса. Требуется найти вид оптимальных матриц Q1, Q2, входящих в (13), (14) и обеспечи- вающих минимизацию функционала (15), при этом по аналогии с [7], необходимо выпол- нить условия несмещенности iiii MMMMii ERQ ×× =− ]0[][ (16) и инвариантности оценивания 2,1,;;]0[ =≠= × jijiRQ ji MMji , (17) где [E] и [0] – единичная и нулевая матрицы соответствующей размерности; [ ] iMMii RR ×= – матрицы с ненулевыми элементами, образованные из матриц [R]M×M⋅[Di]M×M. Эти условия присоединяются к функционалу (15) с использованием множителей Ла- гранжа ∫∑∫∑ ΩΩ Ωη+Ωψ+=ψ dfdgQQJQQJ i i ii i i),(),,( 211212 , (18) где }{ i Т ψ=ψ , }{ i Т η=η – векторы множителей Лагранжа; gi = QiRj, fi = Ei – QiRj; i ≠ j; i ↔ j; i, j = 1, 2. Так как функции принадлежности компонент вектора ΔH векторам ΔHi (i = 1, 2) i mu ограничены 10 ≤≤ i mu , m = 1, 2, …, Mi и множество U представляется в виде },2,1,10:),,{(}{ 1 1 i i m i M i m MmuuuuU i KK =≤≤== , то функция ∑ = ′= i m M m i mu uuJuL 1 2 )()( достигает своей нижней грани на U в точке },,{ 1 i M ii i uuu K= , где ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 38 [ ])(sign1 2 1 jmj T jmjm T i T jm i RQQRu η−ψ−= . (19) Необходимые условия оптимальности для определения матриц Q1, Q2, получим, диф- ференцируя (18) по аргументам Qim, ψim, ηim 2,1, ]0[ ]0[ ]0[2 1 2 1 2 1 2 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == ψ∂ ∂ =−−= η∂ ∂ =η−ψ+= ∂ ∂ × × × ji QRJ QREJ RRPQ Q J j ii Mim T j im m Mim T iim im m Mimiimjim im m , (20) где матрица Р имеет размерность M×M и в качестве компонент содержит величины вида ))(( 1 11 1 11 n N n k n n N n k n i N n j n n N n j n HHHH ε ∂ ε∂ −ε ∂ ε∂ ε ∂ ε∂ −ε ∂ ε∂ ∑∑∑∑ ==== , расположенные в j-й строке, k-м столбце (j = 1, 2, …, M1 и k = 1, 2, …, M1) и величины вида 1 11 n N n k n n N n j n HH ε ∂ ε∂ ε ∂ ε∂ ∑∑ == , расположенные в j-й строке, k-м столбце (j = 1, 2, …, M1 и k = M1 + 1, …, M; j = M1 + 1, …, M и k = 1, 2, …, M1). Для сокращения записи дальнейших преобразований введем следующие обозначе- ния: Zi = P–1Ri; Zj = P–1Rj; Φii = Ri TP–1Ri; Φjj = Rj TP–1Rj; Φij = Ri TP–1Rj; Φji = Rj TP–1Ri, тогда из первого уравнения системы (20) находим Qim = 2–1(Ziηim – Zjψim). (21) Умножая левую и правую части формулы (21) слева на матрицу Rj T и учитывая усло- вие инвариантности оценивания (17), получаем ψim = Φjj –1Φjiηim. (22) Аналогично, умножая (21) слева на матрицу Ri T и учитывая условие несмещенности оценивания (16), имеем )2(2 11 imijimiiim E ψΦ+Φ=η −− . (23) Разрешая уравнения (22) и (23) относительно ψim, ηim получим выражения для опре- деления множителей Лагранжа в явном виде, что дает возможность произвести проверку выполнения условий (19). В случае, если эти условия не выполняются, необходимо сформи- ровать новый вектор функций принадлежности компонент вектора ΔH векторам ΔHi (i = 1, 2). Затем из (21), (22), (23) получим выражение для Qim в виде imiijijjijiiMMjijjjiim EEZZQ ii 11111 ))(( −−−− × − ΦΦΦΦΦ−ΦΦ−= (24) или, преобразуя формулу (24), используя обозначения ijjjijjji ZFZZ =ΦΦ− −1 ; 11111 )()( −−−−− × =ΦΦΦΦΦ− ijj T iiijijjijiiMM ZFRE ii ; )( 1 T jjjjNNjj RZEF − × Φ−= , imijj T iijjim EZFRZFQ 1)( −= . (25) Для искомых оптимальных матриц iQ , учитывая (25), имеем NMijj T iijji i ZFRZFQ × −= ])([ 1 , ji ≠ , 2,1, =ji . (26) Окончательные выражения для вычисления компонент вектора приращений пара- метров ΔHi, i = 1, 2 1 1 1 ][])([][ ×× − × Δ=Δ NNMijj T iijjM i ii ZFRZFH . (27) ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 39 Полученное выражение для определения вектора параметров (27) позволяет выде- лить доминирующие компоненты вектора Н при его идентификации. Анализ полученных выражений (26), (27) показывает, что, применяя предложенный подход декомпозиции век- тора параметров, при выполнении вычислений необходимо производить обращение матриц меньшей размерности в отличие от классического подхода, где происходит сведение к сис- теме нормальных уравнений и выполняется обращение матриц размера M×M. При больших размерах матриц и их плохой обусловленности предлагаемый подход является более эффек- тивным в вычислительном плане. Результаты вычислительного эксперимента Предложенный подход был применен для восстановления теплофизических α(T), λT(T), C(T) и физических E(T) характеристик деформируемой тонкостенной системы из ре- шения обратной задачи термоупругости. В качестве объекта исследования рассматривалась пластина толщины h = 0,2 м, из- готовленная из стали 65С2ВА. Для описания материала использовались таблично представ- ленные зависимости значений физических и теплофизических характеристик от температу- ры [8], для выполнения идентификации эти зависимости аппроксимированы полиномами . Ккг Дж0003,00326,05748,484)( , К 1100034,01335,12)( , Км Вт0052,07264,26)( ),ГПа(0001,00301,02091,211)( 2 6 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅+⋅+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅⋅+=α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅+=λ ⋅−⋅−= − TTTC TT TT TTTE T (28) Для формирования полей заданных перемещений )( 3 nXu и температур )(* nXT ис- пользовались решения прямых задач термоупругости при заданных в виде (28) значениях искомых параметров. Пластина испытывает неоднородный нагрев, на поверхности x3 = h задан тепловой поток q, действующий на некоторую ограниченную область Ω : q x TT hx T = ∂ Ω∂ λ =3 3 )()( ; по- верхность x3 = 0 теплоизолирована. Рассматривались варианты нагрева пластины, когда теп- ловой поток воздействует на область в центре пластины (рис. 1) и область, расположенную ближе к верхнему краю пластины (рис. 2). Рис. 1. Конечноэлементная модель пластины с областью нагрева в центре Рис. 2. Конечноэлементная модель пластины с областью нагрева смещенной относительно центра ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 40 Аппроксимация неизвестных характеристик материала выполнялась на сетке так, что компонентами вектора искомых параметров обратной задачи являются значения параметров в зафиксированных областях Ωp (области Ωp обозначены на рис. 1, рис. 2), а следовательно, вектор параметров может быть представлен в виде },,,,,,,,{ 111 1 pTppT CECEH p λαλα= K , p = 1, 2, …, P. Для каждой выделенной области можно вычислить значение температуры Tp из решения задачи теплопроводности. Далее проводилась идентификация вектора неизвестных параметров. В качестве на- чального приближения были выбраны постоянные значения теплофизических характери- стик: E = 210 ГПа; Км Вт27 ⋅ =λT ; Ккг Дж475 ⋅ =С ; K 1107,11 6−⋅=α . В табл. 1 представлены результаты выполнения процедуры декомпозиции, на первом шаге итерационного процесса разделение вектора параметров осуществлялось произвольно, далее – в соответствии с выполнением условия (19). Таблица 1. Процедура декомпозиции вектора параметров на итерациях Результат 1-й итерации Результат 2-й итерации Результат 7-й итерации вектор H1 u1 вектор H2 u2 вектор H1 u1 вектор H2 u2 вектор H1 u1 вектор H2 u2 E1 0 C4 1 E2 0 E1 1 E3 1 E1 1 α1 0 4Tλ 0 2Tλ 1 α1 1 α3 1 α1 1 C1 0 E5 0 E3 1 C1 1 C3 1 C1 1 1Tλ 0 α5 0 α3 1 1Tλ 1 3Tλ 1 1Tλ 1 E2 1 C5 1 C3 1 α2 1 E4 1 E2 1 α2 0 5Tλ 0 3Tλ 1 C2 1 α4 1 α2 1 C2 0 E6 1 E4 1 C5 0 C4 1 C2 1 2Tλ 1 α6 0 α4 0 E6 0 4Tλ 1 2Tλ 1 E3 1 C6 0 4Tλ 0 C4 0 E5 1 – – α3 1 6Tλ 0 E5 1 – – α5 1 – – C3 1 E7 0 α5 1 – – C4 1 – – 3Tλ 1 α7 0 5Tλ 1 – – 5Tλ 1 – – E4 1 C7 0 α6 1 – – E6 1 – – α4 1 7Tλ 0 C6 1 – – α6 1 – – – – 6Tλ 1 – – C6 1 – – – – E7 1 – – 6Tλ 1 – – – – α7 1 – – E7 1 – – – – C7 1 – – α7 1 – – – – 7Tλ 1 – – C7 1 – – – – – – 7Tλ 1 – – После выполнения процедуры идентификации были получены значения компонент вектора неизвестных параметров, которые представлены в табл. 2. Анализируя полученные результаты, видим, что в вектор H2 помещены параметры, значения которых практически совпадают с постоянными характеристикам материала, определенными для ненагретого те- ла. ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 41 Аналогичные результаты получены для случая, когда нагреваемая область была рас- положена ближе к краю пластины (рис. 2), здесь процесс декомпозиции был выполнен за 11 итераций. Таблица 2. Результат идентификации векторов параметров H1 и H2 Вектор H1 u1 Значение температуры в области Ωp, К Восстановленное значение параметра Вектор H2 u2 Значение температуры в области Ωp, К Восстановленное значение параметра E3 1 410 198,1827 E1 1 293 214,9684 α3 1 410 13,1371 α1 1 293 12,51638 C3 1 410 544,8348 C1 1 293 520,0917 3Tλ 1 410 28,7941 1Tλ 1 293 27,9381 E4 1 550 172,5564 E2 1 320 214,4121 α4 1 550 13,7304 α2 1 320 13,0357 C4 1 550 577,1328 C2 1 320 520,4381 4Tλ 1 550 29,1924 2Tλ 1 320 28,0083 E5 1 810 171,2324 – – – – α4 1 810 14,4811 – – – – C5 1 810 685,7409 – – – – 5Tλ 1 810 30,5931 – – – – E6 1 810 109,8971 – – – – α5 1 810 14,4906 – – – – C6 1 810 684,6951 – – – – 6Tλ 1 810 30,5380 – – – – E7 1 550 108,1422 – – – – α6 1 550 13,7074 – – – – C7 1 550 576,4981 – – – – 7Tλ 1 550 29,3046 – – – – Далее предложенный подход был применен для идентификации теплофизических α(T), λT(T), C(T) и физических E(T) характеристик этой же пластины с использованием об- щепринятой методики аппроксимации неизвестных функций, описанной в монографии [9]. Для выполнения процедуры идентификации все неизвестные функции задачи были пред- ставлены полиномами 2-й степени: ϕ(T) = a⋅T2 + b⋅T + c, а вектор параметров составлен из полиномиальных коэффициентов: };;;;;;;;;;;{ αααλλλ= cbacbacbacbaH TTTCCCEEE . В качестве начального приближения были выбраны постоянные значения теплофизических характеристик. Результат декомпозиции вектора искомых параметров представлен в табл. 3. Анализируя полученные результаты, видим, что в вектор H2 помещены параметры, которые не присутствуют в аппроксимации зависимостей характеристик материала от тем- пературы [8]. После выполнения процедуры идентификации были получены компоненты вектора параметров (коэффициенты полиномов), значения которых представлены в табл. 4. ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 42 Таблица 3. Процедура декомпозиции вектора параметров, содержащего коэффициенты полиномиальной аппроксимации неизвестных функций, на итерациях Результат 1-й итерации Результат 2-й итерации Результат 5-й итерации вектор H1 u1 вектор H2 u2 вектор H1 u1 вектор H2 u2 вектор H1 u1 вектор H2 u2 cC 1 aE 0 cC 1 bE 0 aE 1 T aλ 1 T cλ 1 aC 0 T cλ 1 T bλ 0 aC 1 aα 1 cα 1 bE 1 cα 1 T aλ 1 bE 1 – – – – bC 0 aE 1 aα 1 bC 1 – – – – T bλ 1 aC 0 – – T bλ 1 – – – – bα 0 bC 1 – – Bα 1 – – – – T aλ 1 bα 1 – – cC 1 – – – – aα 1 – – – – T cλ 1 – – – – – – – – – – cα 1 – – – – – – – – – – cE 1 – – Таблица 4. Результат идентификации векторов параметров H1 и H2, содержащих коэффициенты полиномов Вектор H1 u1 Действительное значение коэффициента Восстановленное значение коэффициента Вектор H2 U2 Действительное значение коэффициента Восстановленное значение коэффициента aE 1 –0,0001 –0,000168 T aλ 1 0 0,000000063 aE 1 0,0003 0,0003368 aα 1 0 0,000000081 bE 1 –0,0301 –0,02418 – – – – bE 1 0,0326 0,0289590 – – – – T bλ 1 0,0052 0,0052676 – – – – bα 1 0,0034 0,0041830 – – – – cC 1 484,57 469,15212 – – – – T cλ 1 26,72 26,92466 – – – – cα 1 12,13 11,783 – – – – cE 1 238,2091 241,9544 – – – – Результаты идентификации характеристик материала в зависимости от температуры для разных способов параметризации неизвестных функций представлены на рис. 3–6 (для случая идентификации с использованием аппроксимации по областям Ωp зависимости были построены с использованием интерполяционных полиномов). Для апробации предложенного подхода проводилось сравнение результатов с из- вестными решениями. Рассматривалась задача идентификации теплофизических характери- стик λT(T), C(T) стальной пластины из решения задачи обратной задачи теплопроводности, представленная в монографии [9]. На поверхностях x3 = 0 и x3 = h сформулированы гранич- ные условия 2-го и 3-го рода K1673, K 1107,11где),()(,0),( 6 303 3 33 =⋅=α−α= ∂ ∂ λ= ∂ ∂ − == cc hx T x TTT x TT x txT . ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 43 Теплофизические характеристики λT(T), C(T) заданы в виде полиномов вида a + bT. Действительные значения коэффициентов aC = 1,5⋅106; bC = 8⋅103; 45=λT a ; 02,0=λT b использовались при решении прямых задач теплопроводности и термоупруго- сти и получения поля температур T(Xi) и поля перемещений u1 (Xi) соответственно. В дальнейшем эти значения использовались при построении функционала-невязки. Компонентами вектора восстанавливаемых параметров выбраны коэффициенты по- линомов };;;{ TT baba CC λλ , которые впоследствии определялись в результате выполнения итерационной процедуры декомпозиции. В качестве начального приближения выбраны постоян- ные значения теплофизических характеристик Км Вт45 ⋅ =λT ; Км Дж103 3 6 ⋅ ⋅=С , вектор параметров представлялся в виде H0 = {3⋅106; 0; 45; 0}. Декомпозиция вектора параметров на первом шаге выполнялась произвольно, в табл. 5 представлены результаты выполнения итерационной процедуры декомпозиции и процедуры идентификации вектора параметров из решения обратной задачи теплопроводно- сти. Аналогичные результаты были получены, когда значения этих коэффициентов вос- станавливались из решения обратной задачи термоупругости и для формирования функцио- нала-невязки выбирались значения перемещений. На рис. 7 и 8 представлены результаты восстановления теплофизических характеристик λT(T), C(T), полученные из решения обрат- ных задач теплопроводности и соответствующей задачи термоупругости. 25 30 35 300 500 700 900 Т, К l(T ) действительная зависимость начальн. приближение рез. идент. с использ. аппроксимации полиномом результат идентификации с использ. аппроксим. по областям Рис. 3. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры 50 100 150 200 250 300 500 700 900 Т, К Е( T) начальное приближение действительная зависимость результат идентификации с использ. аппроксимации полиномом рез. идентификации с использ. аппроксим. по областям Рис. 4. Зависимость модуля упругости от температуры 10 12 14 16 18 20 300 500 700 900 Т, К а( T) начальное приближение действительная зависимость результат идентификации c использ. аппроксимации полиномом рез. идентификации с использованием аппроксимации по областям Рис. 5. Зависимость коэффициента линейного расширения от температуры от температуры 450 625 800 300 500 700 900 Т, К С( T) начальное приближение действительная зависимость результат идентификации с использ. аппроксимации полиномом рез. идентификации с использ. аппроксим по областям Рис. 6. Зависимость удельной теплоемкости от температуры ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 44 Таблица 5. Процедура декомпозиции вектора параметров на итерациях и результат идентификации Результат выполнения процедуры декомпозиции для идентификации значений коэффициентов полиномов Результат процедуры идентификации вектора параметров для выполненной декомпозиции Результат 1-й итерации Результат 3-й итерации Результат декомпозиции и последующей идентификации для вектора H1 H1 u1 H2 u2 H1 u1 H2 u2 H1 u1 Действительный вектор H1 Восстановленный вектор H1 aC 0 T aλ 0 Cb 1 T bλ 1 aC 1 1,5⋅106 1,434⋅106 bC 1 T bλ 1 T aλ 1 Ca 0 bC 1 8⋅103 7,648⋅103 – – – – – – – – T aλ 1 45 45,387 – – – – – – – – T bλ 1 0,02 0,01726 Выводы На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы: 1) применение декомпозиционного подхода позволяет восстановить вектор параметров систе- мы с использованием различных способов аппроксимации; 2) разработанный метод и алго- ритм идентификации параметров, характеризующих теплофизические и механические свой- ства тонкостенных систем, дает возможность определять указанные параметры в условиях их существенной неоднородности; 3)предложенный подход декомпозиции с выбором наи- более информативных компонент вектора параметров позволяет понижать порядок разре- шающих соотношений; 4) сравнительный анализ полученных с использованием различных аппроксимаций численных результатов восстановления вектора параметров с действитель- ными значениями параметров реальной системы свидетельствует об их достоверности. В перспективе предложенный подход может быть применен для идентификации ха- рактеристик материала из решения обратной задачи термопластичности. Литература 1. Измерение импульсным методом теплофизических характеристик материалов с открытой поверх- ности / Л. Д. Загребин, В. А. Сипайлов, М. Г. Камашев, Е. А. Иванова // Тез докл. 8-й всесоюз. конф. по теплофизическим свойствам веществ. – 1988. – Ч. 2. – С. 85. 2. Талуц С. Г. Измерение температуропроводности и теплоемкости динамическим методом плоских температурных волнс использованием электронного нагрева / С. Г. Талуц, Б. В. Власов, В. Ф. По- лев // Тез докл. 8-й всесоюз. конф. по теплофизическим свойствам веществ. – 1988. – Ч. 2. – С. 114–115. 3. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности: В 2-х т. т. 1 Методология. т. 2 Приложе- ния – Киев: Наук. думка, 2003. – 341 с., 392 с. 40 50 60 300 500 700 900 Т, К l(T ), В т/ (м К ) действительная зависимость начальное приближение рез-т решен ОЗ теплопроводнос ти рез-т решен. ОЗ термоупругости T, K Рис. 7. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры 1000000 4500000 8000000 300 500 700 900 Т, К С (Т ), Д ж /(м 3 К) действительная зависимость начальное приближение рез-т решен ОЗ теплопроводнос ти рез-т решен. ОЗ термоупругости T, K Рис. 8. Зависимость коэффициента удельной теплоемкости от температуры ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 2 45 4. Сергиенко И. В. Системный анализ многокомпонентных распределенных систем / И. В. Сергиенко, В. С. Дейнека. – Киев: Наук. думка, 2009. – 639 с. 5. Тихонов А. Н. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении / А. Н. Тихонов, В. Д. Кальнер, В. Б. Гласко. – М.: Машиностроение, 1990. – 263 с. 6. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела / А. О. Ватульян. – М.: Физматлит, 2007. – 222 с. 7. Булычева Е. Ю. Декомпозиционный подход к решению плохо обусловленных задач параметриче- ской идентификации / Е. Ю. Булычева, Ю. Г Булычев, И. В. Бурлай // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2004. – № 5. – С. 28–31. 8. Безухов Н. И. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / Н. И. Безухов, В. Л. Бажанов, И. И. Гольденблат. – М.: Машиностроение, 1965. – 567 с. 9. Мацевитый Ю. М. Идентификация теплофизических свойств твердых тел / Ю. М. Мацевитый, С. Ф. Лушпенко. – Киев: Наук. думка, 1990. – 213 с. Поступила в редакцию 11.01.11

Идентификация параметров задачи термоупругости тонкостенных систем при неоднородном напряженно-деформированном состоянии

Репозитарії

Схожі ресурси