Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью
Розглянуто плоску задачу і задачу про згин круглої пружної плити, що складена з двох різних циліндрично ортотропних шарів. Задача про згин розглянута на основі уточнених теорій. Прийнято гіпотезу про розподіл радіальних зміщень шарів у вигляді різних лінійних функцій вертикальної координати. Шари ум...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103923 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью / Р.М. Киракосян, С.П. Степанян // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 132-144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-103923 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1039232016-06-27T03:02:29Z Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью Киракосян, Р.М. Степанян, С.П. Розглянуто плоску задачу і задачу про згин круглої пружної плити, що складена з двох різних циліндрично ортотропних шарів. Задача про згин розглянута на основі уточнених теорій. Прийнято гіпотезу про розподіл радіальних зміщень шарів у вигляді різних лінійних функцій вертикальної координати. Шари умовно розділені, їх взаємодія описується контактними нормальними і дотичними напруженнями, які представлено степеневими многочленами з невідомими коефіцієнтами. Розглянуто числові приклади і зроблено якісні та кількісні висновки. The plane and bending problems of the plate consisting of two different cylindrically orthotropic circular layers are considered. The bending problem is solved with the help of refined theories. The hypothesis of radial displacement distribution for separate layers of plate is taking into account in the form of different linear functions of transversal coordinates. Dividing mentally the layers of the plate from each other, on the surface contact of each layer the normal and tangential contact stresses are applied and represented in the form of power polynomials with unknown coefficients. These coefficients are determined from the conditions of plate layers full contact. The specific example is considered. The quantitative and qualitative conclusions are made. 2014 Article Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью / Р.М. Киракосян, С.П. Степанян // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 132-144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103923 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглянуто плоску задачу і задачу про згин круглої пружної плити, що складена з двох різних циліндрично ортотропних шарів. Задача про згин розглянута на основі уточнених теорій. Прийнято гіпотезу про розподіл радіальних зміщень шарів у вигляді різних лінійних функцій вертикальної координати. Шари умовно розділені, їх взаємодія описується контактними нормальними і дотичними напруженнями, які представлено степеневими многочленами з невідомими коефіцієнтами. Розглянуто числові приклади і зроблено якісні та кількісні висновки. |
| format |
Article |
| author |
Киракосян, Р.М. Степанян, С.П. |
| spellingShingle |
Киракосян, Р.М. Степанян, С.П. Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью Прикладная механика |
| author_facet |
Киракосян, Р.М. Степанян, С.П. |
| author_sort |
Киракосян, Р.М. |
| title |
Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью |
| title_short |
Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью |
| title_full |
Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью |
| title_fullStr |
Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью |
| title_full_unstemmed |
Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью |
| title_sort |
напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103923 |
| citation_txt |
Напряженно-деформированное состояние двухслойной круглой ортотропной пластинки с малой сдвиговой жесткостью / Р.М. Киракосян, С.П. Степанян // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 132-144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT kirakosânrm naprâžennodeformirovannoesostoâniedvuhslojnojkruglojortotropnojplastinkismalojsdvigovojžestkostʹû AT stepanânsp naprâžennodeformirovannoesostoâniedvuhslojnojkruglojortotropnojplastinkismalojsdvigovojžestkostʹû |
| first_indexed |
2025-07-07T14:33:54Z |
| last_indexed |
2025-07-07T14:33:54Z |
| _version_ |
1836999072950517760 |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 5
132 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, №5
Р .М .К и р а к о с я н , С . П .С т е п а н я н
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ДВУХСЛОЙНОЙ КРУГЛОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ
С МАЛОЙ СДВИГОВОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ
Институт механики Национальной Академии наук Армении,
пр. М.Баграмяна 24б ,0019, Ереван, Армения e-mail:mechins@sci.am
Abstract. The plane and bending problems of the plate consisting of two different cy-
lindrically orthotropic circular layers are considered. The bending problem is solved with
the help of refined theories. The hypothesis of radial displacement distribution for separate
layers of plate is taking into account in the form of different linear functions of transversal
coordinates. Dividing mentally the layers of the plate from each other, on the surface contact
of each layer the normal and tangential contact stresses are applied and represented in the
form of power polynomials with unknown coefficients. These coefficients are determined
from the conditions of plate layers full contact. The specific example is considered. The
quantitative and qualitative conclusions are made.
Key words: orthotropic circular plate, distributions of tangential stresses over the plate
thickness, surface loads, tangential and normal tensions (stress).
Введение.
Сведения об истории развития и приложений теории пластин и оболочек имеются
в [1 – 20 и др.].
В работах, посвященных сдвиговой теории первого порядка, влияние поперечных
сдвигов учитывается только с помощью поперечных сил. Принимается, что попереч-
ные касательные напряжения по толщине пластинки меняются по законaм квадрат-
ных парабол, в некоторых работах [4, 7 и др.] в выражениях для поперечных сил вво-
дится поправочный коэффициeнт, равный 5/6. В работе [5] рассмотрен общий случай,
когда на пластинку действуют еще и касательные поверхностные нагрузки. Обобщая
понятие поправочных коэффициентов, в этой работе к значению 5/6 добавляется еще
один член, выраженный через параметры поверхностных касательных нагрузок. Это
позволяет получить поправку и в тех случаях, когда поперечные касательные напря-
жения самоуравновешенные, т.е. когда поперечные силы равны нулю. В работах [5, 6]
показано, что в случае действия только касательной поверхностной нагрузки, когда
поперечное усилие отсутствует, в рамках теории [3] деформация поперечного сдвига
поправки не дает, а теория [6] приводит к ощутимой поправке.
Например, поправка к максимальному значению прогиба шарнирно опертой по
контуру пластинки составляет[6]:
2
11 12 11
2
11 12 55
23
5 5
B B B h
B B B a
. При 12 110,2 ;B B 11B
= 5520 ;B 0,2h a [6] величина этой поправки равна 0,204 или 20. В случае же за-
щемления контура пластинки поправка к значению максимального прогиба составляет
[6]
2
11
2
55
3
5
B h
B a
; при 11 5510 , 0,2B B h величина этой поправки равна 0,24 или 24.
133
Результаты теорий [3, 6] будут значительно отличаться друг от друга и в тех слу-
чаях, когда внешняя нагрузка произвольная, но ее касательная составляющая является
доминирующей, а нормальная – весьма малая величина.
В данной статье дано применение отмеченного обобщенного понятия поправочных
коэффициентов. Роль поверхностных касательных нагрузок играют касательные контакт-
ные напряжения, действующие на соприкасающихся поверхностях слоев пластинки.
Рассмотрена плоская задача и задача изгиба пластинки, состоящей из двух раз-
личных цилиндрически ортотропных круглых слоев. Задача изгиба решена по уточ-
ненной теории [5] (учет влияния поперечных сдвигов при наличии касательных по-
верхностных нагрузок). При этом гипотеза о распределении радиальных перемещений
принимается не для всей пластинки в целом, а для ее отдельных слоев в виде различ-
ных линейных функций поперечной координаты. Взаимодействие слоев пластинки
выражается нормальными и касательными напряжениями, действующими на поверх-
ностях их контакта. Эти напряжения представляются в виде степенных многочленов с
неизвестными коэффициентами, которые определяются из условий полного контакта
слоев пластинки. Рассмотрен конкретный пример, когда на верхней лицевой поверх-
ности шарнирно опертой или защемленной по краевому сечению пластинки действует
равномерно распределенная нормальная нагрузка. На основе полученных численных
результатов даны количественные и качественные выводы.
§1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Рассмотрим круглую пластинку радиуса a , состоящую из двух различных цилин-
дрически ортотропных слоев, полюсы анизотропии материалов которых совпадают с
их центрами. Толщину и механические параметры верхнего слоя обозначим h и ijB ,
а нижнего – H и H
ijB . Слои пластинки отнесем к локальным системам цилиндриче-
ских координат , ,r z . Горизонтальные координатные плоскости ,r совместим со
срединными плоскостями слоев, а ось 0z направим вертикально вниз. Примем, что
на верхней лицевой поверхности пластинки действует только равномерно распреде-
ленная нормальная нагрузка интенсивности q , а ее нижняя лицевая поверхность сво-
бодна от нагрузок. Краевые условия произвольны.
Взаимодействие слоев пластинки заменим действием нормальных и касательных
контактных напряжений p и (рис. 1). Примем обозначения:
20
10 1r
2r
2z
1z
q
p
H
h
Рис. 1
134
3; ; ; 10 ; ;r rr a u hu u hu w hw H mh
2
11 11 11 22 11 12 12 11; ; ; ; ;q B q p B p B B k B B B
2
11 55 11 11 11; ; ; ;r r r rB B N B hN N B hN M B h M (1.1)
2
11 1 11 1 2 11 2; ; ; ; ;M B h M z hz a hl Z B Z Z B Z
1 11 1 2 11 2 11 11; ; ; ;r rR B R R B R T B hT T B hT
2 2
11 22 11; ; / .H
ij ij ijB B m k
Здесь u и ru – радиальные перемещения точек срединной плоскости и произвольной
точки, w – прогиб; ,rN N и ,rM M – поперечные усилия и изгибающие моменты
слоев пластинки, соответственно; iZ и iR имеют вид 2]
1 2 1 2; ; ; .
2 2
Z Z R R
Z Z Z Z R R R R
(1.2)
Через Z и R обозначены интенсивности нормальных и радиальных компонент
поверхностных нагрузок. При этом знак «+» относится к нижней, а знак «–» – к верх-
ней поверхности каждого слоя пластинки.
Контактные напряжения представим в виде степенных многочленов n -го порядка
0
1 1
; .
n n
i i
i i
i i
p a a b
(1.3)
Неизвестные коэффициенты 0 , ia a и ib определяем из условий полного контакта сло-
ев, т.е. из условий равенства прогибов и радиальных перемещений точек их контакт-
ных поверхностей.
§2. Плоская задача для пластинки без учета деформации поперечного сдвига.
Величины, относящиеся к верхнему слою, обозначим дополнительным индексом
«1», а к нижнему слою – индексом «2».
1) Плоская задача для верхнего слоя. С учетом (1.1) и (1.2) имеем
2
1
.
n
i
i
i
R b
(2.1)
Уравнение осесимметричной плоской задачи в усилиях примет вид 2
1 11
1
.
n
irr
i
i
T TdT
l b
d
(2.2)
Учитывая равенства
21 1 1 1
1 12 1 12
1 1
;r
du u du u
T T k
l d l d
, (2.3)
уравнение (2.2) представляем в виде
135
2
2 2 2 21 1
12
1
n
i
i
i
d u du
k u l b
dd
. (2.4)
Общее решение этого уравнения, ограниченное в центре пластинки 0 , будет
2 2
1 1 2 2
1 2
n
k ii
i
b
u C l
i k
. (2.5)
Здесь 1C – постоянная интегрирования, подлежащая определению из соответствую-
щего условия на крае слоя ( 1 ).
Подставляя (2.5) в (2.3), для безразмерных усилий получаем равенства
1 2 12 1
1 12 1 2 2
1
21
2
n
k i i
r
i
i b
T k C l
l i k
; (2.6)
2
12 121 2 1
1 12 1 2 2
1
21
2
n
k i
i
i k
T k k C l
l i k
. (2.7)
2) Плоская задача для нижнего слоя. В этом случае имеем
2
1
n
i
i
i
R b
. (2.8)
Опуская подробности, представим решение плоской задачи для этого слоя
2
2
2 1 2 2
1 2
n
ii
i
bl
u B
i
; (2.9)
12
1 11 11 12 12
2 1 11 12 12 2 2
1
2
2
in
i
r
i
i bm l
T B
l i
; (2.10)
2 12
12 12 12 12 111
2 1 11 12 12 2 2
1
2
2
in i
i
i bm l
T
l i
. (2.11)
Здесь 1B – постоянная интегрирования, определяемая из условия для края слоя ( 1 ).
§3. Задача изгиба слоев пластинки.
Эту задачу решаем в рамках уточненной теории 5. В основе этой теории лежит
допущение о линейном распределении тангенциальных перемещений по толщине
пластинки. В осесимметричном случае это допущение для однослойной пластинки
имеет вид
;r zu u z u w , (3.1)
где – угол поворота нормального элемента пластинки в плоскости 0r z . В класси-
ческой теории пластин, состоящих из слоев постоянной толщины, гипотеза о неде-
формируемых нормалях принимается для всего пакета в целом, поскольку элемент,
нормальный к срединной плоскости любого слоя, одновременно нормален к средин-
ным поверхностям всех слоев как до, так и после их деформирования. В случае же
учета поперечных сдвигов нормальный элемент после деформирования пластинки
перестает быть нормальным к срединной поверхности и составляет с ней некоторый
136
угол. Поскольку величина этого угла зависит от сдвиговых свойств материала, а ма-
териалы разных слоев обладают различными сдвиговыми свойствами, то в сдвиговой
теории первого порядка следует (для изменения тангенциальных перемещений по
толщине разных слоев пластинки) принимать различные линейные законы аппрокси-
мации. По этой причине в рассматриваемом случае допущение (3.1) принимаем не для
всей пластинки в целом, а для каждого слоя в отдельности. Далее рассмотрим задачи
изгиба слоев пластинки.
1) Задача изгиба верхнего слоя. Так как
2 0 1
1
1
; ,
2
n
i
i
i
Z q a a R
(3.2)
то уравнения задачи изгиба этого слоя примут такой вид:
1 1
0
1
n
ir r
i
i
dN N
lq la l a
d
; (3.3)
1 11
1
1
.
2
n
irr
r i
i
M MdM l
lN b
d
(3.4)
Решение уравнения (3.3), ограниченное в центре пластинки 0 , будет
10
1
12 2 2
n
ii
r
i
la aql
N l
i
.
Для компактности записи целесообразно член 0 2la ввести под знак суммы, начи-
ная суммирование от 0i . Таким образом, получим
1
1
0
.
2 2
n
ii
r
i
aql
N l
i
(3.5)
Аналогично поступим и в формулах для других расчетных величин.
С учетом (3.2) в рамках 6 имеем равенство
1
1 1
1
5 1 1
.
6 12
n
i
r i
i
dw
N b
l d
(3.6)
Из (3.6) с учетом (3.5) для 1 получим формулу
11
1
1 0
1
12 6
10 2
n n
i ii
i
i i
adw
b l ql
l d i
. (3.7)
Изгибающие моменты согласно 6 имеют безразмерные выражения
21 1 1 1
1 12 1 12
1 1
; .
12 12r
d d
M M k
l d l d
(3.8)
Учитывая (3.5), (3.7) и (3.8), уравнение (3.4) можно привести к виду
3 2 2 2
2 2 2 2 21 1 1
3 2
3
10 (1 )
5
d w d w d w ql
k l k
dd d
12
2 2 2 2 2 2 2 2
0 1
6
10 ( 2 1 ) 60 ( ) .
5 2 10
in n
ii
i
i i
al l
l i i k l i k b
i
(3.9)
137
Общее решение (3.9), ограниченное в центре пластинки 0 , имеет вид
2 2 2 2 2
1
1 2 3 2
3 5 (9 )
10 9
k ql l k
w C C
k
22 2 2
2 2
0 1
6 10
5 2 2 104 3
in n
i
i
i i
al l l
b
i ii i k
(3.10)
2 2
1
2 2
60
13 2
i l
ii i k
.
Здесь 2C и 3C – постоянные интегрирования.
Подставляя (3.10) в (3.8), для изгибающих моментов получаем формулы
2 2
3 12 121
1 2 2
1 3
12 2(9 )
k
r
C k k ql
M
l k
2
2 12 1 12
22 22
0 1
3 2
2 22 3
in n
i i
i
i i
a i il
l b
i ki i k
; (3.11)
2 2 2
3 12 1 12
1 2 2
1 (3 )
12 2(9 )
kC k k k ql k
M
l k
2 2
2 2 112 12 12 12
22 22
0 1
3 2
2 22 3
n n
i i
i i
i i
i k i kl
l a b
i ki i k
. (3.12)
С учетом (3.10) из (3.7) следует равенство
3 23 3
3 23
1 2 2 22 2
0 1
6
(1 ) 12 6 .
9 ( 2)( 2) ( 3)
i in n
k i i
i i
C a bql
k l l
l k i ki i k
(3.13)
2) Задача изгиба нижнего слоя. В этом случае имеем
2 0 1
1 1
1
; .
2
n n
i i
i i
i i
Z a a R b
(3.14)
Поступая аналогично, для решения задачи изгиба нижнего слоя с учетом (3.14) полу-
чаем такие равенства:
1
2
0 2
n
ii
r
i
a
N l
i
; (3.15)
22 2 2
1
2 2 3 2 2
0 55
6 10
5 2 24 3
in
i
i
al l
w B B
m i ii i m
138
2 2
1
2 2
1 55
60
10 13 2
n
i
i
i
l l
b
ii i m
; (3.16)
3 2
1 23 11 11 12 12
2 11 12 122 2 2
0
3
1
12 2 3
n
i
r i
i
B m iml
M a
l i i
2
1 11 11 12 12
2 2
1
2
2 2
n
i
i
i
im l
b
i
; (3.17)
3
13
2 12 12 112
1
12
B m
M
l
22
2 12 12 12 12 11
2 2
0
3
2 3
n
i
i
i
iml
a
i i
22
1 12 12 12 12 11
2 2
1
2
2 2
n
i
i
i
im l
b
i
; (3.18)
33
3
2 2 2 2
0
12
1
2 3
in
i
i
B al
l m i i
22
2 2
1
6
2
in
i
i
bl
m i
.
Здесь 2B и 3B – постоянные интегрирования.
§4. Задача для пластинки при разных условиях для слоев.
Рассмотрим случай, когда нижний слой по всему контуру 2,z H r a оперт на
подвижные шарнирные опоры. Верхний же слой по всей лицевой поверхности соеди-
нен с нижним слоем. Краевые условия имеют такой вид:
для верхнего слоя –
1 1 111 1
0r rT w M
; (4.1)
для нижнего слоя –
2 2 211 1
0r rT w M
. (4.2)
Удовлетворив этим условиям и подставив полученные значения постоянных ин-
тегрирования в соответствующие формулы, в рамках теории 6 имеем
2 2 12
1 2 2
1 12
2
2
n
i ki
i
b i
u l
ki k
; (4.3)
3
3
1 12 122
12
6
3
( )(9 )
kql
k
k k
3 3 12
2 2
0 12
3
12
( 2) ( 3)
n
i ki
i
a i
l
ki i k
(4.4)
139
2 2 12
2 2
0 12
2
6
2
n
i ki
i
b i
l
ki k
;
2 4 22
2 12 1
1 2 2
12
1 12 3
3 1
101 9 2 9
k
ll
w ql
k k k k
2
0
6
5 2
n
i
i
al
i
2 4 2
2 12 1
2 22 2
12
10 1 10 3
1 1
24 3 1 3
i
i k
l l i
ii i k k k i k
2 3 2 1
12
2 22 2
1 12
60 1 60 2 1 1
10 13 2 1 2
i i k i
n
i
i
l l il
b
ii i k k k i k
; (4.5)
2
211 11 12 12
2 2 2
1 11 12 12
2
2
n
ii
i
b il
u
i
; (4.6)
3
311 11 12 12
2 2 2 2
0 11 12 12
312
2 3
n
ii
i
a il
m i i
2
211 11 12 12
2 2
1 11 12 12
26
2
n
ii
i
b il
m i
; (4.7)
2 4 22
2 2 2
0 55
10 1 16
5 2 24 3
i i
n
i
i
lal
w
m i im i i
2
11 11 12 12 1
2 2
11 12 12
10 3
1
1 3
l i
m i
2 3 1
2 2
1 55
60 1 1
10 13 2
i i
n
i
i
ll
b
im i i
(4.8)
2
11 11 12 12 1
2 2
11 12 12
60 2
1
1 2
l i
m i
.
Отметим, что решения при 3, 3k можно получить путем предельного перехода.
§5. Задача для пластинки при полном контакте слоев.
В этом случае неизвестные коэффициенты ia и ib определяем из условий полно-
го контакта слоев пластинки, т.е. из условий равенства прогибов и радиальных пере-
мещений точек поверхностей 1 22, 2z h z H . В безразмерной форме эти условия
имеют вид
1 2w w 1 1 2 22 2u u m . (5.1)
140
Используя (4.3) – (4.8), условия (5.1) в рамках теории 6 приводим к виду
2 4
2 22 2 2
0
10 1 1 1
12
2 4 3 3
i
n
i
i
la
l
i i i k m i
2 1
122
55 2 2
55 12
1 3 1
1 10
2 1 3
i ki
m l
m i k k i k
1 2 3
11 11 12 12
22 2
111 12 12
3 1 60 1
31 3
i
n
i
i
i l
b
im i
1
552 22 2
55
11 1
1
12 2
i
ii k m i
(5.2)
1 1
12 11 11 12 122
2 22 2
12 11 12 12
2 1 2 1
60
1 2 1 2
ki i
l
k k i k m i
=
2 4 2 1 2
12
2 2
12
1 2 3 1 1
30
102 9 1 9
kl l
ql
k k k k
;
3 12
2 22 2
0 12
31 1
6
2 3 3
n
i ki
i
a i
l
i ki k m i
3 11 11 12 12
2 2
111 12 12
3 1
4
2
n
i
i
i
i
b
i k
2 212
2 2
12
2 1
2
i k ii
k i
(5.3)
311 11 12 12
12 122
11 12 12 12
2 3
3
( ) 9
ki ql
k
k k
.
Уравнения (5.2) и (5.3) образуют систему линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных коэффициентов ia и ib . Заметим, что свободный член 0a
представляет собой значение безразмерного контактного напряжения p в центре
слоев пластинки 0 . Отделив из систем уравнений члены с индексом 0i и под-
ставив в этих уравнениях 0 , можно определить значение 0a . Остальные коэффи-
141
циенты ia и ib определим решением систем соответствующих алгебраических урав-
нений при 1, 2, 3i (члены с полученным коэффициентом 0a следует перенести в
правые части уравнений). После определения значений ia и ib по соответствующим
формулам вычислим значения всех расчетных величин.
§6. Числовые результаты и их анализ.
1. Конкретные результаты представим, принимая исходные данные в таком виде:
11 12 121; 2; 0,8; 0,2; 0,5;q k 0,5; 55 1 22 2 ; 2;m 4; 8l .
Отметим, что, имея решение при 1q (физически и геометрически линейная за-
дача), получим решение для каждого конкретного случая, для чего достаточно значе-
ния расчетных величин умножить на 11q B .
Таблица 1
, ,m l
w
p
n
0 02 0,4 0,6 0,8 0,9 0,95 1,0
10 116,86 105,55 85,08 59,28 30,26 15,16 7,57 0
w
12 116,86 105,55 85,08 59,28 30,26 15,16 7,57 0
10 0,629 0,547 0,546 0,546 0,553 0,512 –0,043 –2,209
p
12 0,629 0,546 0,545 0,545 0,552 0,576 0,001 –3,809
10 0 0,364 0,727 1,091 1,454 1,638 1,779 2,091
0 , 1, 5
12 0 0,364 0,727 1,091 1,455 1,634 1,765 2,158
10 149,98 137,32 112,86 80,43 42,13 21,41 10,77 0
w
12 149,98 137,32 112,86 80,43 42,13 21,41 10,77 0
10 0,620 0,547 0,537 0,528 0,510 0,498 0,487 0,449
p
12 0,620 0,548 0,537 0,528 0,510 0,497 0,489 0,431
10 0 0,359 0,727 1,096 1,469 1,663 1,777 1,933
0, 1, 5
12 0 0,359 0,727 1,096 1,469 1,661 1,774 1,953
10 221,41 200,01 161,26 112,41 57,42 28,78 14,37 0
w
12 221,41 200,01 161,26 112,41 57,42 28,77 14,37 0
10 0,931 0,789 0,788 0,788 0,795 0,720 0,224 –1,492
p
12 0,931 0,788 0,787 0,787 0,786 0,779 0,232 –2,810
10 0 0,298 0,597 0,895 1,193 1,353 1,591 2,366
0, 2, 8
12 0 0,298 0,597 0,895 1,195 1,340 1,549 2,573
10 282,86 258,72 212,43 151,20 79,05 40,10 20,16 0
w
12 282,83 258,72 212,43 151,20 79,05 40,10 20,15 0
10 0,923 0,799 0,779 0,763 0,729 0,705 0,679 0,537
p
12 0,923 0,799 0,779 0,763 0,729 0,702 0,685 0,525
10 0 0,261 0,579 0,906 1,259 1,473 1,636 1,945
10, 2, 8
12 0 0,261 0,579 0,906 1,259 1,475 1,641 1,951
В табл. 1 представлены некоторые значения ,p и w , полученные при
10n и 12n , по классической 0 и уточненной теориям. Заметим, что без-
размерные значения расчетных величин w , ,p при числах членов их выражений
10n и 12n практически не отличаются, что свидетельствует о сходимости про-
цесса вычислений (достоверности полученных результатов).
142
По данным табл. 1 на рис. 1 – 3 представлены графики классических ( 0 ,
пунктирная линия) и уточненных ( 10 , сплошная линия) безразмерных значений
прогиба w и контактных напряжений ,p при 2m .
Таблица 2
m l 5n 6n 7n 8n 10n 12n
1 5 –0,061 –0,213 –0,701 –1,026 –2,209 –3,809
2 8 0,353 0,156 –0,113 –0,517 –1,492 –2,810
В табл. 2 приведены безразмерные значения нормального контактного напряже-
ния p на крае ( 1 ) при некоторых значениях числа членов разложений n , соот-
ветствующих классической теории пластин.
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3
Анализ данных табл. 1, 2 и рис. 1 – 3 позволяет сформулировать следующие выводы:
1) в рамках классической теории ( 0) с приближением к краю слоев пластинки
сходимость разложений (1.3) понижается. В случае, когда слои пластинки изготовле-
ны из различных ортотропных материалов, с увеличением числа членов n нормаль-
ное контактное напряжение p вблизи края 1 меняет знак и увеличивается по мо-
дулю. Это означает, что вблизи контура 1 происходит отрыв слоев друг от друга.
Резкое увеличение значения указанного напряжения свидетельствует о том, что на
контуре 1 имеет место концентрация напряжения p . Эти аномалии являются
следствием того, что классическая теория пластинок не учитывает эффекты ни плос-
кого, ни антиплоского погранслоев;
2) при учете влияния деформации поперечного сдвига ( 10) , отмеченные ано-
малии исчезают. Это объясняется тем, что учитывая поперечный сдвиг, фактически
учитываем эффект антиплоского погранслоя.
2. Числовые результаты представим для случая жесткого закрепления краевых
( 1 ) сечений слоев пластинки. Краевые условия в этом случае имеют вид
1 2 0w w , 1 2 0u u , 1 2 0 .
143
Таблица 3
, m, l
w ,
p ,
n
0 02 0,4 0,6 0,8 0,9 0,95 1
w 8 75,067 71,007 57,673 35,736 11,972 3,338 0,826 0
10 75,326 71,122 57,776 35,816 12,020 3,396 0,858 0
8 0,941 0,913 1,151 1,414 1,997 0,682 –1,640 –3,343
p
10 0,941 0,925 1,312 1,504 1,683 1,687 –2,574 –13,68
8 0 3,042 1,085 –0,764 –2,570 –3,97 –2,382 5,435
0, 2, 8
10 0 2,856 1,079 –0,696 –2,376 –4,15 –3,329 9,191
w 8 108,29 104,96 88,417 59,387 24,972 9,986 3,991 0
10 108,51 104,95 88,424 59,396 24,971 10,04 4,099 0
8 0,913 0,718 1,139 1,172 0,755 –0,01 –0,068 1,446
p
10 0,913 0,735 1,154 1,186 0,767 0,014 –0,284 1,767
8 0 2,012 0,736 –0,616 –1,488 –1,32 –0,911 –0,299
5, 2, 8
10 0 1,982 0,730 –0,615 –1,472 –1,35 –0,95 –0,30
В табл. 3 приведены безразмерные значения прогиба w и контактных напряжений
p , для различных значений механических и геометрических параметров , m , l .
На рис. 4 6 показаны графики изменения w , p и в рамках классической
теории пластин ( 0) и при учете влияния поперечного сдвига ( 5) .
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Данные табл. 3 и рис. 4 – 6 приводят к заключениям: 1) учет поперечного сдвига и
в случае закрепления приводит к увеличению прогиба пластинки; 2) в отличие от
классической теории, при учете поперечного сдвига с приближением к защемленному
краю пластинки контактные напряжения вместо резкого возрастания изменяются
умеренно, причем нормальное напряжение p мало изменяется, а касательное напря-
жение – заметно уменьшается.
144
Заключение.
Обобщение поправочных коэффициентов уточненой теории пластин при наличии
касательных поверхностных нагрузок значительно приближает результаты двумерной
теории пластин к соответствующим результатам трехмерной теории упругости. Это
наглядно иллюстрируется, например, уточнением характера изменения касательных
контактных напряжений вблизи края рассмотренной составной круглой пластинки.
Р Е ЗЮМ Е . Розглянуто плоску задачу і задачу про згин круглої пружної плити, що складена з
двох різних циліндрично ортотропних шарів. Задача про згин розглянута на основі уточнених теорій.
Прийнято гіпотезу про розподіл радіальних зміщень шарів у вигляді різних лінійних функцій верти-
кальної координати. Шари умовно розділені, їх взаємодія описується контактними нормальними і
дотичними напруженнями, які представлено степеневими многочленами з невідомими коефіцієнта-
ми. Розглянуто числові приклади і зроблено якісні та кількісні висновки.
1. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. – М.: Наука, Физмат-
лит, 1997. – 414 с.
2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. – М.: Наука, 1987. – 360 с.
3. Васильев В.В. Классическая теория пластин – история и современный анализ // Изв. РАН. Механи-
ка твердого тела. – 1998. – №3. – С. 46 – 58.
4. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. – К.: Наук. думка, 1981.
– 544 с.
5. Киракосян Р.М. К уточненной теории ортотропных пластин при наличии касательных поверхност-
ных нагрузок // Прикл. механика. – 2008. – 44, №4. – С. 107 – 119.
6. Киракосян Р.М., Степанян С.П. Задача ортотропной круглой пластинки под действием поверхно-
стных касательных нагрузок при учете поперечного сдвига // Изв. НАН РА. – 2009. – 62, №2. –
C. 3 – 9.
7. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. – М.: Мир, 1976. – 669 с.
8. Darwish F., Tashtoush G., Gharaibeh M. Stress concentration analysis for countersunk rivet holes in
orthotropic plates // Europ. J. of Mech. A/Solids. – 2013. – 37. – P. 69 – 78.
9. Galishin A. Z., Shevchenko Yu. N. Determining the Axisymmetric Thermoelastoplastic State of Thin
Shells with Allowance for the Third Invariant of the Deviatoric Stress Tensor // Int. Appl. Mech. –
2013. – 49, N6. – P. 675 – 684.
10. Grigorenko A. Ya., Loza I. A. Nonaxisymmetric Waves in Layered Hollow Cylinders with Radially
Polarized Piezoceramic Layers // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N6. – P. 641 – 649.
11. Khanna A., Sharma A.K. Vibration Analysis of Visco-Elastic Square Plate of Variable Thickness with
Thermal Gradient // Int. J. Eng. Appl. Sci. – 2011. – 3, N4. – P. 1 – 6.
12. Molchenko L. V., Loos I. I., Fedorchenko L. M. Axisymmetric magnetoelastic deformation of a flexible
orthotropic ring plate with orthotropic conductivity // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N3. –
P. 322 – 327.
13. Neves A.M.A., Ferreira A. J. M., Carrera E., Cinefra M., Roque C. M. C., Jorge R.M. N.,Soares C M.M.
Free vibration analysis of functionally graded shells by a higher-order shear deformation theory and ra-
dial basis functions collocation, accounting for through-the-thickness deformations // Europ. J. Mech.
A/Solids. – 2013. – 37. – P. 24 – 34.
14. Oktem A. S., Mantari J. L., Guedes Soares C. Static response of functionally graded plates and doubly-
curved shells based on a higher order shear deformation theory // Europ. J. Mech.-A/Solids. – 2012. –
36. – P. 163 – 172.
15. Ponnusamy P., Amuthalakshmi A. Free vibration Analysis of Double-walled Simply Supported Carbon
Nanotube // Int. J. Mech. and Appl. – 2013. – 3, N3. – P. 53 – 62.
16. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // Trans. ASME. J.
Appl. Mech. – 1945. – 67. – P. A69 – A77.
17. Saeedi N., Sab K., Caron J. F. Delaminated multilayered plates under uniaxial extension. Part I: Analyti-
cal analysis using a layerwise stress approach // Int. J. Solids and Struct. – 2012. – 49, N26. – P. 3711 –
3726.
18. Sayyad A. S., Ghugal Y. M. Bending and free vibration analysis of thick isotropic plates by using expo-
nential shear deformation theory // Appl.and Comp. Mech. – 2012. – 6, N 1. – P. 65 – 81.
19. Stanak P., Sladek V., Sladek J., Krahulec S., Sator L. Application of patch test in meshless analysis of
continuously non-homogeneous piezoelectric circular plate // Appl. and Comp. Mech. – 2013. – 7, N 1.
– P. 65 – 76.
20. Yu J., Li S. Dispersion of quided waves in initially stressed layered plates // J. Mech. Mater. and Struct. –
2013. – 8, N2. – 4. – P. 185 –198.
Поступила 05.06.2012 Утверждена в печать 03.12.2013
|