Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра

С помощью метода пробных частиц (МПЧ) решения уравнения Больцмана выполнены многопараметрические численные исследования стационарного обтекания одноатомным газом бесконечного равномерно вращающегося кругового цилиндра, расположенного перпендикулярно набегающему потоку, в переходном по числу Кнудсена...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Басс, В.П., Печерица, Л.Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2009
Назва видання:	Техническая механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103948
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра / В.П. Басс, Л.Л. Печерица // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 62-76. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-103948
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1039482016-06-28T03:02:35Z Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра Басс, В.П. Печерица, Л.Л. С помощью метода пробных частиц (МПЧ) решения уравнения Больцмана выполнены многопараметрические численные исследования стационарного обтекания одноатомным газом бесконечного равномерно вращающегося кругового цилиндра, расположенного перпендикулярно набегающему потоку, в переходном по числу Кнудсена режиме обтекания. Проведено сравнение расчетных значений силы Магнуса с данными, полученными методом Берда решения уравнения Больцмана, а также решения модельного кинетического уравнения Крука для малых чисел Маха. Выявлены механизмы перемены знака в значениях силы Магнуса. Показано, что перемена знака в силе Магнуса имеет место при переходе через некоторое критическое значение числа Кнудсена и обусловлена перераспределением давления и касательного напряжения по поверхности цилиндра. При сверхзвуковом обтекании в рассматриваемом диапазоне расчетных параметров картина обтекания меняется в силу появления отошедшей ударной волны и данный эффект отсутствует. За допомогою методу пробних часток (МПЧ) розв’язання рівняння Больцмана виконані багатопараметричні чисельні дослідження стаціонарного обтікання одноатомним газом нескінченного кругового циліндра, що рівномірно обертається і розташований перпендикулярно набігаючому потоку, у перехідному по числу Кнудсена режимі обтікання. Проведено порівняння розрахункових значень сили Магнуса з даними, отриманими методом Берда розв’язання рівняння Больцмана, а також розв’язання модельного кінетичного рівняння Крука для малих чисел Маху. Виявлено механізми зміни знака в значеннях сили Магнуса. Показано, що зміна знака в силі Магнуса має місце при переході через деяке критичне значення числа Кнудсена й обумовлена перерозподілом тиску та дотичного напруження по поверхні циліндра. При надзвуковому обтіканні в розглянутому діапазоні розрахункових параметрів картина обтікання змінюється в силу появи ударної хвилі, що відійшла, і даний ефект відсутній. Multiparametric numerical studies of a stationary subsonic flow of a monatomic gas along an infinite uniformly rotating cylinder, located perpendicularly to a free-stream flow, in a transient flow (on the Knudsen number) are made using the method of probe particles for solving the Boltsman equations. Calculated values of the Magnus force are compared with data of the solution of the same equation by the Bird method as well as the solution of the Cruck model kinetic equation for small Mach numbers. Mechanisms of a sign inversion in the Magnus force values are revealed. It is shown that the sign inversion in the Magnus force occurs in transferring through some critical value of the Knudsen number and is caused by redistribution of a pressure and a tangential stress on the cylinder surface. In the range of calculated parameters under consideration the flow pattern varies in a supersonic flow due to a deviated shock wave, and a given effect is not present. 2009 Article Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра / В.П. Басс, Л.Л. Печерица // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 62-76. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103948 629.7.015.3: 533.6.011.8 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	С помощью метода пробных частиц (МПЧ) решения уравнения Больцмана выполнены многопараметрические численные исследования стационарного обтекания одноатомным газом бесконечного равномерно вращающегося кругового цилиндра, расположенного перпендикулярно набегающему потоку, в переходном по числу Кнудсена режиме обтекания. Проведено сравнение расчетных значений силы Магнуса с данными, полученными методом Берда решения уравнения Больцмана, а также решения модельного кинетического уравнения Крука для малых чисел Маха. Выявлены механизмы перемены знака в значениях силы Магнуса. Показано, что перемена знака в силе Магнуса имеет место при переходе через некоторое критическое значение числа Кнудсена и обусловлена перераспределением давления и касательного напряжения по поверхности цилиндра. При сверхзвуковом обтекании в рассматриваемом диапазоне расчетных параметров картина обтекания меняется в силу появления отошедшей ударной волны и данный эффект отсутствует.
format	Article
author	Басс, В.П. Печерица, Л.Л.
spellingShingle	Басс, В.П. Печерица, Л.Л. Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра Техническая механика
author_facet	Басс, В.П. Печерица, Л.Л.
author_sort	Басс, В.П.
title	Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра
title_short	Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра
title_full	Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра
title_fullStr	Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра
title_full_unstemmed	Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра
title_sort	зависимость силы магнуса от числа кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103948
citation_txt	Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра / В.П. Басс, Л.Л. Печерица // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 62-76. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT bassvp zavisimostʹsilymagnusaotčislaknudsenapripoperečnomstacionarnomobtekaniivraŝaûŝegosâcilindra AT pečericall zavisimostʹsilymagnusaotčislaknudsenapripoperečnomstacionarnomobtekaniivraŝaûŝegosâcilindra
first_indexed	2025-07-07T14:35:54Z
last_indexed	2025-07-07T14:35:54Z
_version_	1836999198270029824
fulltext	62 УДК 629.7.015.3: 533.6.011.8 В.П. БАСС, Л.Л. ПЕЧЕРИЦА ЗАВИСИМОСТЬ СИЛЫ МАГНУСА ОТ ЧИСЛА КНУДСЕНА ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ СТАЦИОНАРНОМ ОБТЕКАНИИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА С помощью метода пробных частиц (МПЧ) решения уравнения Больцмана выполнены многопара- метрические численные исследования стационарного обтекания одноатомным газом бесконечного равно- мерно вращающегося кругового цилиндра, расположенного перпендикулярно набегающему потоку, в переходном по числу Кнудсена режиме обтекания. Проведено сравнение расчетных значений силы Маг- нуса с данными, полученными методом Берда решения уравнения Больцмана, а также решения модельно- го кинетического уравнения Крука для малых чисел Маха. Выявлены механизмы перемены знака в значе- ниях силы Магнуса. Показано, что перемена знака в силе Магнуса имеет место при переходе через неко- торое критическое значение числа Кнудсена и обусловлена перераспределением давления и касательного напряжения по поверхности цилиндра. При сверхзвуковом обтекании в рассматриваемом диапазоне рас- четных параметров картина обтекания меняется в силу появления отошедшей ударной волны и данный эффект отсутствует. За допомогою методу пробних часток (МПЧ) розв’язання рівняння Больцмана виконані багатопа- раметричні чисельні дослідження стаціонарного обтікання одноатомним газом нескінченного кругового циліндра, що рівномірно обертається і розташований перпендикулярно набігаючому потоку, у перехідно- му по числу Кнудсена режимі обтікання. Проведено порівняння розрахункових значень сили Магнуса з даними, отриманими методом Берда розв’язання рівняння Больцмана, а також розв’язання модельного кінетичного рівняння Крука для малих чисел Маху. Виявлено механізми зміни знака в значеннях сили Магнуса. Показано, що зміна знака в силі Магнуса має місце при переході через деяке критичне значення числа Кнудсена й обумовлена перерозподілом тиску та дотичного напруження по поверхні циліндра. При надзвуковому обтіканні в розглянутому діапазоні розрахункових параметрів картина обтікання змінюєть- ся в силу появи ударної хвилі, що відійшла, і даний ефект відсутній. Multiparametric numerical studies of a stationary subsonic flow of a monatomic gas along an infinite uni- formly rotating cylinder, located perpendicularly to a free-stream flow, in a transient flow (on the Knudsen num- ber) are made using the method of probe particles for solving the Boltsman equations. Calculated values of the Magnus force are compared with data of the solution of the same equation by the Bird method as well as the solu- tion of the Cruck model kinetic equation for small Mach numbers. Mechanisms of a sign inversion in the Magnus force values are revealed. It is shown that the sign inversion in the Magnus force occurs in transferring through some critical value of the Knudsen number and is caused by redistribution of a pressure and a tangential stress on the cylinder surface. In the range of calculated parameters under consideration the flow pattern varies in a super- sonic flow due to a deviated shock wave, and a given effect is not present. Ведение. Задача о поперечном обтекании вращающегося кругового ци- линдра потоком разреженного газа является объектом исследования многих авторов (см., например, [1 – 3]). Внимание к этой задаче вызвано существо- ванием нескольких режимов обтекания, отвечающих одним и тем же крае- вым условиям задачи. Интересны режимы обтекания кругового цилиндра, когда цилиндр совер- шает вращение вокруг своей оси. В этом случае дополнительным параметром задачи является безразмерная линейная скорость вращения поверхности ци- линдра ∞ ω ω = RT r S c 2 , где ω – угловая скорость вращения цилиндра; cr – его радиус; R – газовая постоянная; ∞T – температура набегающего потока. При поперечном стационарном обтекании кругового вращающегося ци- линдра однородным потоком газа в режиме сплошной среды возникает сила Магнуса к yC , действующая на цилиндр. Направление силы определяется по- воротом вектора скорости набегающего потока на прямой угол против на- правления циркуляции. Для кругового цилиндра направление циркуляции  В.П. Басс, Л.Л. Печерица, 2009 Техн. механика. – 2009. – № 3. 63 совпадает с направлением вращения цилиндра. Если положить, что вектор вращения цилиндра сонаправлен с осью Z , перпендикулярной плоскости рисунка 1, а, то коэффициент силы Магнуса к yC отрицателен. Этот результат справедлив и для профиля, обтекаемого потоком идеального газа [4]. При конечных и больших числах Кнудсена газ не описывается уравнени- ем сплошной среды, и в этом случае возникают другие закономерности сило- вого воздействия на тело. Так, при свободномолекулярном обтекании вра- щающегося цилиндра коэффициент силы Магнуса определяется выражением ∞ ω π= V r C cмсв y 50,.. и имеет направление, противоположное силе, действующей на цилиндр в сплошной среде [5]. Здесь ∞V – скорость невозмущенного по- тока. При фиксированной скорости вращения ωS зависимость коэффициента подъемной силы ..мсв yC от ∞∞ = RTS 2 является обратно пропорциональной. Значения ..мсв yC при малых скоростях ∞S в дозвуковом потоке на порядок превышают соответствующие значения силы Магнуса при сверхзвуковом течении. Кроме того, при свободномолекулярном обтекании сила Магнуса является знакопостоянной, а ее направление определяется векторным произ- ведением ω×∞ rr V . Это легко показать, если воспользоваться рисунком 1, а. Знак коэффициента ..мсв yC определяется исключительно направлением каса- а) τ r n r )( 0≠ω∞V r dA )( 0=ω∞V r n r τ r dA Рис. 1 б) в) лV r ω r отрF r ∞V r ..молсв yC X лV r Y τP отрF r лV r B к yC τP nP A nP ω r cr 64 тельных напряжений отраженных от поверхности цилиндра частиц. Рассмот- рим на поверхности цилиндра две зеркально симметричные относительно оси OX точки A и B и выделим в их окрестности элементарные площадки dA . При отсутствии вращения (ω = 0) индикатриса распределения отражен- ных частиц по скоростям подчиняется закону “косинуса” (рис. 1, б) и картина течения в точках A и B симметрична относительно оси OX . Вращение при- водит к искажению этого закона в связи с появлением линейной скорости лV r вращения площадки dA (рис. 1, в). В результате этого реактивный импульс отраженных частиц отрF r в точках A и B (рис. 1, а) приводит к появлению положительно направленной силы ..мсв yC . С уменьшением числа Кнудсена коэффициент yC должен переходить от положительных свободномолеку- лярных значений к отрицательным значениям, отвечающим режиму сплош- ной среды. При дальнейшем уменьшении ∞Kn стационарный режим обтека- ния является неустойчивым и коэффициент yC становится функцией време- ни. Одной из первых тестовых задач, на которой были апробированы раз- личные алгоритмы решения как модельных уравнений, так и непосредствен- но уравнения Больцмана, была задача о структуре ударного слоя при обтека- нии теплоизолированного неподвижного цилиндра в сверхзвуковом потоке разреженного газа. Задача здесь намного упрощается, поскольку рассматри- вается обтекание бесконечного цилиндра, когда ось симметрии расположена нормально набегающему потоку. В этом случае задача является двумерной (плоской). Подробное описание алгоритма метода пробных частиц (МПЧ) для не- подвижных тел изложено в [6], а результаты его апробации (исследование обтекания различных тел, в том числе и цилиндра) приведены в [6 – 10]. В настоящей работе с помощью МПЧ исследуется стационарное попе- речное обтекание однородным потоком газа бесконечного кругового цилин- дра, равномерно вращающегося вокруг своей оси. При условии, что выпук- лое тело вращается вокруг одной из своих осей симметрии с постоянной уг- ловой скоростью ω r , а взаимодействие молекул газа с поверхностью проис- ходит мгновенно, функции распределения молекул набегающего потока и молекул, отраженных от поверхности зеркально, будут такими же, как и для неподвижного тела [6]. Диффузно отраженные молекулы приобретают до- полнительную скорость, обусловленную вращением тела. Следовательно, функция распределения отраженных молекул имеет вид:         ×ω− −πσ+⋅−σ−= − ∞ w c wwccr RT rv RTnnnvvrfvrf 2 221 2 23 )( exp)())(,()(),( / rrr rrrrrrr , где ∞f – максвелловская функция распределения молекул по скоростям в равновесном набегающем потоке:         ∞ − −π= ∞− ∞∞∞ RT Vv RTnf 2 2 2 23 )( exp)( / rr ; 65 v r – вектор скорости молекулы; n r – единичный вектор нормали в точке с ра- диус-вектором cr r ; σ – коэффициент диффузности; wT – температура поверх- ности тела. Концентрация wn на поверхности тела определяется из условия непроницаемости поверхности (при условии, что поверхность тела не излу- чает и не поглощает молекул). Дальнейшая процедура определения макропа- раметров потока вращающегося тела такая же, как и для неподвижного [11, 12]. Для реализации алгоритма МПЧ вокруг вращающегося цилиндра выде- ляется расчетная область Ω в виде тонкого прямоугольного параллелепипеда (рис. 2). Задача является двумерной с расчетной областью полностью охва- тывающей круговое сечение цилиндра. В отличие от плоской задачи с непод- вижным цилиндром [10], здесь отсутствует симметрия обтекания относи- тельно плоскости, проходящей через ось цилиндра и параллельной XOZ . Старт пробных частиц происходит со всех границ области Ω . При попада- нии частицы на нижнюю грань области Ω зеркальное отражение и возврат в расчетную область (как это было для неподвижного цилиндра) не происхо- дит, а происходит вылет частицы за пределы Ω . В остальном процесс блуж- даний случайных частиц, применительно к рассматриваемой задаче, анало- гичен описанному в [10]. Дозвуковое обтекание. Было проведено сравнение результатов расчета МПЧ с численными данными, полученными на основе модельного кинетиче- ского уравнения Крука [13], а также методом Берда [14] решения уравнения Больцмана. Уравнение Крука в [13] решалось численным методом второго порядка точности. При этом функция распределения представлялась в виде суммы локально-максвелловской функции распределения и неравновесной добавки, имеющей величину порядка малого числа Кнудсена [13]. Задача решалась в цилиндрической системе координат с применением гибридной схемы, путем ввода внешней и внутренней областей. Расчеты МПЧ проводились для тех же условий обтекания, что и в [13]: ∞TTw = 1; ∞M = 0,33; ∞S = 0,3. Безразмерная линейная скорость вращения поверхности цилиндра ωS = 0,3, что соответствовало угловой скорости вра- X ∞V r Рис. 2 Z Ω xL yL Y ∆ Z ω r ϕ 66 щения ≈ω 30 оборотов в секунду. Вектор угловой скорости ω r был сонаправ- лен с осью OZ (рис. 2) Набегающий поток задавался моноскоростным с начальным полем пара- метров, соответствующим невозмущенному потоку. В качестве граничных условий на поверхности принималось диффузное отражение с коэффициен- том аккомодации, равным единице. Размеры расчетной области по осям OX и OY выбирались так, чтобы она оптимальным образом охватывала возмущения, вносимые цилиндром при всех рассматриваемых режимах обтекания. Размеры по осям OX и OY в калибрах радиуса цилиндра соответственно составляли xL =10 cr и yL =10 cr . Ось цилиндра располагалась перпендикулярно плоскости XOY и пересекала ее в точке с координатами x = 5; y = 5. Расчеты осуществлялись для линейных размеров расчетных ячеек ∆ = 0,25 cr при объеме выборки (числе траекторий с границы) ~1⋅10 6 . Даль- нейшее увеличение количества испытаний при рассматриваемых размерах расчетных ячеек не влияло на полученные результаты. При уменьшении числа Кнудсена, в расчетах в качестве исходного ис- пользовалось предыдущее поле параметров, полученное для более высокого числа ∞Kn . Благодаря этому сходимость результатов достигалась уже на второй – третьей итерациях. Время расчета одной итерации при таком объе- ме выборки зависело от рассматриваемых режимов обтекания и составляло не более 15 минут для ПЭВМ типа PENTIUM–IV 2400 MHz (BUS 533 MHz) 1000 MB (SDRAM PC–266). Как и в работе [13], в качестве характерного размера для числа Кнудсена брался радиус цилиндра: crKn 0λ=∞ , где длина свободного пробега моле- кул ∞∞ ∞ πρ µ =λ RT2 230 , . Для сравнения с [13] расчеты проводились при вы- борочных значениях числа Кнудсена: ∞Kn = 0,1; 0,5; 1; 2. Данные значения параметра ∞Kn соответствуют сильно разреженному (близкому к свободно- молекулярному) режиму обтекания ( ∞Kn = 1; ∞Kn = 2), переходному ( ∞Kn = 0,5) и близкому к течению в сплошной среде ( ∞Kn = 0,1). Для расчетных условий обтекания ..мсв yC = 1,56 . Сравнение расчетных значений безразмерной силы Магнуса ..мсв yyy CCC = , полученных методом пробных частиц, с данными работы [13] показано на рис. 3 (пунктирная ли- ния соответствует данным [13], сплошная – расчетам МПЧ). Как видно из рисунка, расчетная кривая силы Магнуса с использованием МПЧ является более пологой, чем кривая из [13]. Для ∞Kn = 0,5 и ∞Kn = 1 наблюдается достаточно хорошее соответствие результатов и перемена знака в значении yC в обоих методах происходит при достаточно близких значе- ниях чисел Кнудсена ∞Kn ≈ 0,7. С увеличением числа ∞Kn значение силы Магнуса из работы [13] быст- рее стремится к свободномолекулярному значению. Свободномолекулярный режим обтекания как неподвижного, так и вращающегося цилиндра достига- ется при ∞Kn > 10 (см., например, [13], [14]). Отличия в полученных резуль- 67 татах, очевидно, связаны с тем, что МПЧ является кинетически обоснован- ным стационарным методом решения уравнения Больцмана, а в [13] реша- лась нестационарная задача с использованием модельного кинетического уравнения Крука. Кроме того, как отмечено в работе [13], начиная с некоторого 0Kn ≈ 0,025 при ∞Kn < 0Kn возникает нестационарный режим автоколебаний пото- ка, поэтому yC становится функцией времени. В этом случае стационарный режим обтекания является неустойчивым и не реализуется. В расчетах же методом пробных частиц решается стационарная задача, так как по своей су- ти этот метод является стационарным. При ∞Kn = 0,1 расчеты по МПЧ были выполнены для двух размеров ∆ расчетных ячеек. При ∆ = 0,25 cr линейные значения местных длин свобод- ного пробега в некоторых зонах течения меньше этого размера. Уменьшение линейного размера ячейки в два раза улучшило сходимость результатов: на рис. 3 черной точкой указано расчетное значение yC , полученное при ∆ = 0,125. Результаты численного исследования силы Магнуса для различных ско- ростей вращения поперечного цилиндра приведены также в более ранней ра- боте [14]. Расчеты проводились методом Берда, подробно описанным в [15, 16]. Обтекание цилиндра осуществлялось одноатомным газом при малом числе Маха ∞M = 0,15 (скоростной параметр ∞S = 0,137) и температуре набе- гающего потока ∞T = 1000 К. Температура поверхности цилиндра соответст- вовала температуре торможения: wT = 0T . В качестве характеристики линейной скорости вращения брался безраз- мерный параметр ∞ ω ω =θ V rc , связанный с рассматриваемой ранее безразмер- ной линейной скоростью вращения поверхности цилиндра ωS соотношением ∞ωω ⋅θ= SS . В работе [14] рассматривались три расчетных значения: ωθ = 1; 3; 6. Это соответствовало ωS = 0,137; 0,411; 0,822 и угловой скорости враще- ния ≈ω 14; 42 и 84 оборотов в секунду. В качестве характерного размера числа Кнудсена в [14] брался диаметр цилиндра: )( crKn 20λ=∞ . Расчетные данные [14], демонстрирующие зави- симость силы Магнуса yC , действующей на вращающийся цилиндр при раз- Рис. 4 Рис. 3 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 yC Kn∞ -20 -15 -10 -5 0 5 10 1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 yC Kn∞ 1 2 3 68 личных скоростях вращения, от режима обтекания ( ∞Kn = 0,003; 0,03; 0,3; 3) показаны на рис. 4 тонкой линией. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют расчетам при ωθ = 1; 3; 6. Здесь же кружками показаны предельные значения ..мсв yC , полученные по формулам свободномолекулярного приближения. Как показывает рис. 4, с увеличением скорости вращения цилиндра ам- плитуда предельных значений силы Магнуса при изменении режима увели- чивается. Как следствие этого при переходе от ωθ = 1 к ωθ = 6 усиливается зависимость yC от числа Кнудсена и увеличивается крутизна кривой yC ( Kn ). Зависимость расчетных значений силы Магнуса МПЧ от режима обтека- ния при перечисленных выше значениях скоростного параметра ωθ показана на рис. 4 жирной линией. Расчетная область МПЧ и ее размеры по осям OX и OY выбирались такими же, как и для ∞M = 0,33. Объем выборки составлял 10 6 испытаний. Линейные размеры расчетных ячеек при ∞Kn = 3; 0,3; 0,03 были равны соответственно ∆ = 1 cr ; 0,8 cr ; 0,08 cr . Время счета одной итера- ции возрастало с уменьшением числа Кнудсена от 3 до 50 минут. Дальней- шее уменьшение числа ∞Kn влекло за собой резкое увеличение счетного времени. В связи с этим для ∞Kn = 0,003 расчеты по МПЧ не проводились. Согласно расчетам по методу Берда [14], сила Магнуса принимает нуле- вое значение при Kn = 0,2 для ωθ = 1 и ωθ = 6 и при Kn = 0,23 в случае ωθ = 3 (рис. 4). При расчетах МПЧ графики yC лежат немного ниже данных [14] и смена знака силы Магнуса происходит при Kn = 0,23 (для ωθ = 1 и ωθ = 6) и при Kn = 0,3 (для ωθ = 3). Из анализа представленных результатов следует, что кривые, получен- ные МПЧ при ∞Kn = 0,03; 0,3; 3,0, дают несколько заниженные значения yC по сравнению с данными работ [13, 14], но перемена знака в значениях силы Магнуса при различных скоростях вращения цилиндра в разных методах происходит приблизительно при одних и тех же значениях числа Кнудсена. Некоторые количественные расхождения могут быть объяснены тем, что хотя оба метода (МПЧ и метод Берда), имеют свою статистическую общ- ность, но расчетные алгоритмы и их программные реализации все же суще- ственно отличаются друг от друга. Кроме того, в работе [14] не указаны вре- мена выхода решения на стационарный режим, а также размеры расчетных ячеек и расчетной области. Эти замечания имеют существенное значение при оценке влияния предыстории потока на распределение газодинамических параметров в области течения, непосредственно прилегающей к цилиндру. Силу Магнуса можно рассматривать как сумму возмущений, вносимых набегающим и отраженным потоками в распределение давлений и касатель- ных напряжений по поверхности цилиндра. Так как силы давления и каса- тельного напряжения по поверхности цилиндра распределены неравномер- но, причина перемены знака yC заключается в перераспределении этих сил при переходе через критическое число Кнудсена. Покажем это на эпюрах распределения давления и касательного напряжения по цилиндру. В пред- 69 ставленных ниже результатах значения давления nP и касательного напря- жения τP отнесены к 2 2 ∞ρV . Нормаль n v задавалась внутренней, а направ- ление касательной τ r выбиралось таким образом, чтобы ее проекция на ∞V r была положительна. В случае малой скорости вращения цилиндра ( ωθ = 1) сила Магнуса при ∞Kn = 3 невелика (согласно [14] yC = 1,3) и медленно убывает при прибли- жении к сплошносредному режиму (кривые 1 на рис. 4). График зависимо- сти силы Магнуса от числа Кнудсена достаточно пологий. С увеличением скорости вращения ( ωθ = 6) при ∞Kn = 3 сила Магнуса ( yC = 8,7) почти на порядок выше ее значения при ωθ = 1. Ее резкое убывание и перемена зна- ка ( yC = –2,5) при уменьшении числа Кнудсена до ∞Kn = 0,03 (кривые 3 на рис. 4) обуславливаются смещением максимального давления nP от точки торможения в сторону, противоположную направлению вращения (рис. 5). При этом минимум давления наблюдается при ϕ= 270 0 (угол ϕотсчитывает- ся от точки, диаметрально противоположной точке торможения, рис.2). Это продемонстрировано на рис. 5, где для скорости вращения цилиндра ωθ = 6 показано распределение давления nP по угловой координате ϕ при обходе поверхности цилиндра против часовой стрелки. Распределение давления при- ведено для ∞Kn = 3 ( ∞Re = 0,081), при котором сила Магнуса положительна (расчеты обозначены точками), и для ∞Kn = 0,03 ( ∞Re = 0,081), когда она от- рицательна (расчеты обозначены треугольниками). Характер распределения касательного напряжения по цилиндру при ∞Kn = 0,03 остается тот же, что и при ∞Kn = 3, но наблюдается значительное уменьшение соответствующих значений τP по абсолютной величине (рис. 6). Из соотношения для коэффициента подъемной силы yC =∑ τ⋅+⋅ τ )( yyn PnP следует, что его знак зависит от соотношения меж- ду вкладами в yC нормального давления nP и касательного напряжения τP . Здесь yn и yτ – проекции нормали и касательной на ось OY , а суммирова- ние ведется по всей поверхности цилиндра. Распределение yC и вкладов его слагаемых по поверхности цилиндра для ∞Kn = 3 и ∞Kn = 0,03 ( ωθ = 6) пока- заны на рис. 7 и рис. 8. Соответствующие графики обозначены сплошной Рис. 5 Рис. 6 0 25 50 75 100 0 90 180 270 -50 -25 0 25 50 0 90 180 270 nP τP ϕ , град ϕ , град 70 кривой, квадратиками и ромбиками. Как видно из рисунков, при малых зна- чениях числа Маха ( ∞M = 0,15) значения давления в два – три раза превосхо- дят значения касательного напряжения на всей поверхности цилиндра, что и определяет распределение yC . При ∞Kn = 3 значение коэффициента yC > 0, так как результирующее воздействие nP и τP на верхнюю полуповерхность цилиндра (0 <ϕ< 180 0 ) меньше, чем на нижнюю (180 0 <ϕ< 360 0 ). При уменьшении числа Кнудсена до ∞Kn = 0,03 наблюдается противоположная тенденция, что приводит к перемене знака силы Магнуса, и yC становится отрицательным. Отметим, что если при фиксированном значении скоростного параметра ωθ = 6 построить эпюру распределения локальных значений yC по цилиндру для критического числа Кнудсена *Kn = 0,23, то кривая yC (ϕ ) будет лежать в коридоре между аналогичными кривыми, построенными для ∞Kn = 3 и ∞Kn = 0,03. Сумма же положительных и отрицательных площадей между рассматриваемой кривой yC (ϕ ) и осью OX будет равна нулю. Рассмотрим более детально физику возникновения эффекта перемены знака в силе Магнуса. Как отмечено в [17], при дозвуковом обтекании ци- линдра в режимах ∞Re > 7 вокруг покоящегося цилиндра возникает возврат- но-циркуляционная зона. За цилиндром при малых числах Маха наблюдают- ся два симметричных относительно плоскости OXZ минимума давления nP при ϕ = 90 0 и ϕ = 270 0 . Распределение давления 0 nn PP − по покоящемуся цилиндру при ∞M = 0,15 для ∞Kn = 0,03 продемонстрировано на рис. 9 (рас- четные данные обозначены кружочками). Здесь 0 nP – давление в точке ци- линдра при ϕ = 0. Подъ- емная сила при ωθ = 0 от- сутствует из-за симметрии обтекания и yC = 0. При увеличении ско- рости вращении цилиндра циркуляционная зона раз- рушается. С увеличением числа Рейнольдса (умень- Рис. 9 -16 -12 -8 -4 0 4 0 90 180 270 0 nn PP − ϕ , град Рис. 7 Рис. 8 -70 -35 0 35 70 0 90 180 270 360 -70 -35 0 35 70 0 90 180 270 360ϕ , град ϕ , град yC yn nP ⋅ yP ττ ⋅ yC yn nP ⋅ yP ττ ⋅ 71 шением числа Кнудсена) для разрушения возвратно-циркуляционной зоны требуется большая скорость вращения. Приводимый расчетный случай для ∞M = 0,15 является хорошей демонстрацией дозвукового обтекания цилинд- ра при малых скоростях набегающего потока. Начало разрушения возвратно- циркуляционной зоны для этого случая при ωθ = 0,1 и ∞Kn = 0,03 ( ∞Re = 8,1) хорошо видно по поведению линий тока (рис. 10). При ускорении вращения наличие вязкости влечет формирование толсто- го слоя, вращающегося вместе с цилиндром. На рис. 11 показаны линии тока при вращении цилиндра с угловой скоростью ωθ = 6 для ∞M = 0,15; ∞Kn = 0,03. Вращающийся слой имеет достаточно равномерное распределение па- раметров вдоль поверхности цилиндра. Это видно также по распределению относительной плотности ∞ρρ и модуля безразмерной скорости ∞VV во- круг тела (рис. 12, рис. 13). Вращение цилиндра приводит к нарушению симметрии распределения давления по цилиндру и возникновению максимума при ϕ~90 0 и минимума давления при ϕ~270 0 . Давление по всей поверхности цилиндра сохраняет положительное значение (рис. 5), но наличие перепада давления на верхнюю и нижнюю половины цилиндра приводит к возникновению отрицательной силы yC . Как показано в [18], величина угловой скорости вращения оказы- вает большое влияние на диапазон изменения распределенного по цилиндру давления nP . Увеличение скорости вращения влечет за собой увеличение разности значений между максимальным давлением max nP и давлением 0 nP Рис. 10 Рис. 11 Рис. 13 Рис. 12 72 и наоборот – резкое уменьшение разности ( 0 nn PP −min ), где min nP – мини- мальное давление. На рис. 9 эта тенденция показана для ∞M = 0,15; ∞Kn = 0,03 при изменении скорости вращения от ωθ = 3 до ωθ = 6 (кривые обозначены квадратиками и треугольниками). Увеличение разности перепада давления ведет к уменьшению значения силы Магнуса: от yC = –7,7 при ωθ =3 до yC = –14 при ωθ = 6 (рис. 4). На характер распределения давления по цилиндру большое влияние ока- зывает скорость набегающего потока. При увеличении числа Маха значения давления могут уменьшаться на порядок. На величину касательного напря- жения скорость набегающего потока влияет слабо. В этом можно убедиться, сравнивая распределения nP (рис. 5) и τP (рис. 6) для случая симметричного обтекания ( yC = 0) при ∞M = 0,15; ∞Re = 8,1 ( ∞Kn = 0,03) и показанных на рис. 14, 15 эпюр распределения nP и τP при ∞M = 0,8 для приблизительно таких же чисел Рейнольдса ∞Re = 7,2 ( ∞Kn = 0,18). На обоих рисунках кри- вые, соответствующие ωθ = 0, обозначены кружочками. Изменение знака в силе Магнуса наблюдается только в случае вращения цилиндра при малых числах Маха. При трансзвуковом обтекани ∞M ~ 1 от- сутствует минимум давления при ϕ = 270 0 . При этом на yC вращающегося цилиндра определяющее влияние начинают оказывать силы касательного напряжения и эффект перемены знака в силе Магнуса исчезает. Так, напри- мер, при ∞M = 0,8; ∞Kn = 0,18 ( ∞Re = 7,2) и скорости вращения цилиндра ωθ = 6 рассчитанное с помощью МПЧ значение yC = 2,07. Эпюры распреде- ления nP и τP для этого случая продемонстрированы на рис. 14 и рис. 15 и обозначены треугольничками. Таким образом, при приближении к сплошносредному режиму силы дав- ления становятся определяющими в формировании силы Магнуса при дозву- ковом обтекании с малыми скоростями. Неравномерность их распределения вызывает глубокий минимум давления в нижней части цилиндра, в результа- те чего сила Магнуса становится отрицательной ( yC < 0) при вращении про- тив часовой стрелки. Сверхзвуковое обтекание. Совсем другая картина наблюдается при об- текании цилиндра со сверхзвуковой скоростью. В режимах, близких к сплошносредным, при отсутствии вращения и малых ωθ возвратно- Рис. 14 Рис. 15 0 1 2 3 4 5 0 90 180 270 -5 -3 -1 1 3 5 0 90 180 270 nP τP ϕ , град ϕ , град 73 циркуляционная зона за телом уменьшается или совсем исчезает (см. линии тока для ωθ =0,11; ∞M =3; ∞Kn =0,03, показанные на рис. 16). При прохож- дении потока через фронт скачка сверхзвуковое течение становится дозвуко- вым, но с распределением параметров вокруг цилиндра, сильно отличаю- щимся от обтекания при ∞M <1. Перед телом формируется ударная волна, а за телом появляется зона разрежения. Действующие на заднюю поверхность цилиндра давление и касательное напряжение становятся близкими к нулю, и основное влияние на yC оказывает зона торможения. При сверхзвуковом обтекании вращающегося цилиндра возникающий вокруг него вращающийся слой достаточно тонкий На рис. 17 показаны ли- нии тока в окрестности цилиндра при ωθ =6; ∞M =3; ∞Kn =0,03. Слой враще- ния характеризуется сильной неравномерностью распределения скорости. Максимальная скорость достигается на нижней поверхности цилиндра, а в непосредственной близости к верхней правой четверти она близка к нулю. На рис. 18 в качестве иллюстрации показаны изолинии модуля безразмерной скорости ∞VV , а на рис. 19 – векторные поля скорости вблизи цилиндра при аналогичных рис. 17 параметрах обтекания. При сверхзвуковом обтекании значения nP как минимум на порядок, а τP – в несколько раз ниже соответствующих дозвуковых значений во всем рассматриваемом интервале чисел Кнудсена (см. рис. 5, 6, 20, 21).В противо- положность дозвуковому обтеканию, по всей поверхности цилиндра nP < τP . Это видно из рис. 20, 21, где показано распределение nP и τP при Рис. 16 Рис. 17 Рис. 19 Рис. 18 74 ∞Kn = 3 и ∞Kn = 0,03 ( ∞M = 3; ωθ = 6, а обозначения кривых аналогичны рис. 5 и 6). На задней поверхности цилиндра nP и τP близки к нулю. Макси- мумы значений nP и τP достигаются в зоне торможения при ϕ=180 0 . Проек- ция nP r на ось OY в зоне достижения максимума давления равна нулю. Оп- ределяющее влияние на yC оказывают силы касательного напряжения τP r . Это демонстрируют распределения вкладов давления yn nP ⋅ , касательного напряжения yP τ⋅τ и локальных значений )(ϕyC для ∞Kn = 3 и ∞Kn = 0,03, которые показаны на рис. 22 и 23 (обозначения расчетных кривых аналогич- ны обозначениям на рис. 7 и 8). Положительная проекция на ось OY вектора касательного напряжения τP r оказывает преобладающее влияние на yC практически на всей поверхно- сти цилиндра. Несмотря на то что при малых Kn в окрестности ϕ= 90 0 при- сутствует зона отрицательного вклада сил давления nP в общее распределе- ние yC по поверхности цилиндра (см. рис. 23), результирующее значение подъемной силы yC > 0 при любых числах Кнудсена и эффект Магнуса при сверхзвуковом обтекании исчезает. Отсутствие перемены знака подъемной силы при сверхзвуковом обтека- нии вращающегося цилиндра продемонстрировано на рис. 24. Здесь показана зависимость yC от режима обтекания при ∞M = 3 для скоростей вращения ωθ = 0,11; ωθ = 1,1 и ωθ = 6. Как видно из рисунка, при приближении к сплошносредному режиму yC сохраняет положительный знак при всех ско- ростях вращения цилиндра. Рис. 20 Рис. 21 0 1 2 3 0 90 180 270 nP -10 -5 0 5 10 0 90 180 270 τP ϕ , град ϕ , град Рис. 22 Рис. 23 -5 0 5 10 0 90 180 270 360 -1 0 1 2 0 90 180 270 360ϕ , град ϕ , град yC yn nP ⋅ yP ττ ⋅ yC yn nP ⋅ yP ττ ⋅ 75 Полученные результаты полностью соответствуют результатам работы [14], где показано отсутствие эффекта Магнуса при гиперзвуковом обтекании цилиндра ( ∞M = 10) и малых скоростях его вращения ( ωθ = 0,03 и ωθ = 0,1). Вышесказанное позволяет наглядно судить о физике дан- ного процесса и сделать вывод о том, что перемена знака силы Магнуса при переходе через критическое число Кнудсена наблюдается только в случае дозвукового обтекания цилинд- ра, а ее направление определяет- ся балансом между нормальным и касательным напряжениями на поверхности цилиндра. Отметим, что все рассмотренные выше закономерности качественно на- ходятся в согласии с результатами расчетов подъемной силы при трехмерном обтекании вращающейся сферы методом Берда [19] в переходном и около- континуальном режимах течения. Коэффициент силы Магнуса оставался от- рицательным при числах Маха ∞M >1,5 во всех выполненных расчетах. В указанной работе акцент был сделан на анализ закономерностей рас- пределения напряжений по поверхности сферы по мере изменения числа Кнудсена. Изменение направления силы Магнуса объясняется увеличением роли нормальных напряжений на поверхности сферы и снижением роли ка- сательных по мере уменьшения числа Кнудсена. Этот вывод касается исклю- чительно анализа поведения напряжений при переходе от свободномолеку- лярного режима к сплошносредному. Он полностью соответствует аналогич- ным результатам для цилиндра и не распространяется на проведенный в дан- ной работе анализ поведения напряжений при фиксированном режиме обте- кания и увеличении числа Маха. Заключение. Двумерное поперечное обтекание вращающегося цилиндра потоком разреженного газа в переходном и близком к околоконтинуальному режимах течения исследовано методом пробных частиц. Для указанных ре- жимов течения проведено сравнение расчетных значений коэффициента подъемной силы с известными данными других авторов. Установлено хоро- шее соответствие результатов. Показано, что при обтекании вращающегося цилиндра для рассмотренных расчетных параметров эффект перемены знака в силе Магнуса возникает только при дозвуковом обтекании и отсутствует при сверхзвуковом. Сделан анализ причин такого поведения силы Магнуса. Выявлено, что при малых числах Маха вклад давления значительно превос- ходит вклад касательного напряжения по всей поверхности цилиндра и опре- деляет направление силы Магнуса. Вращение цилиндра приводит к разруше- нию возвратно-циркуляционной зоны и нарушению симметрии распределе- ния давления по цилиндру. Рассмотрено влияние величины угловой скорости вращения на распределение давления по цилиндру. Показано, что увеличение перепада давления ведет к увеличению абсолютного значения силы Магнуса. При сверхзвуковом обтекании определяющее влияние на силу Магнуса ока- зывают касательные напряжения. В предельных по числу Кнудсена режимах Рис. 24 -5 0 5 10 1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 yC Kn∞ 76 обтекания направление силы Магнуса имеет разную физическую природу. При ∞→∞Kn сила Магнуса знакопостоянна как в дозвуковом, так и в сверх- звуковом режимах обтекания и линейно зависит от скорости вращения. При 0→∞Kn в период формирования пограничного слоя силовое воздействие на цилиндр обусловлено взаимодействием набегающего потока непосредствен- но с поверхностью цилиндра и системой формирующихся скачков уплотне- ния и зон разрежения. Проведено сравнение с поведением силы Магнуса при обтекании вращающейся сферы в переходном режиме обтекания. 1. Чжен П. Отрывные течения / П. Чжен. – М. : Мир, 1973. – Т. 1. – 299 с., Т. 2. – 280 с., Т. 3. – 333 с. 2. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О. М. Белоцерковский. – М. : Наука, 1984. – 519 с. 3. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны / П. С. Ланда.– М. : Наука. Физматлит, 1997. – 495 с. 4. Седов Л. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. – М. : Наука, 1976. – Т. 2. – 573 с. 5. Белецкий В. В. Влияние аэродинамических сил на вращательное движение искусственных спутников / В. В. Белецкий, А. М. Яншин. – Киев : Наукова думка, 1984. – 188 с. 6. Басс В. П. Об одном алгоритме реализации метода Монте-Карло для решения задач динамики разре- женного газа / В. П. Басс, Л. Л. Печерица // Техническая механика. – 2006. – №1. – С. 67 – 79 . 7. Басс В. П. Численное моделирование стационарного осесимметричного обтекания затупленного конуса в переходном режиме обтекания / В. П. Басс, Л. Л. Печерица // Вісник Дніпропетровського університету : Механіка. – 2005. – Т. 1, Вип. 9. – С. 57 – 66. 8. Басс В. П. Гиперзвуковое обтекание теплоизолированного цилиндра разреженным газом / В. П. Басс, Л. Л Печерица // Вісник Дніпропетровського університету : Механіка. – 2006. – Т. 1, Вип. 10. – С. 50 – 60. 9. Басс В. П. Верификация методов и алгоритмов решения задач аэродинамики переходной области / В. П. Басс, Л. Л.. Печерица // Техническая механика. – 2007. – №1. – С. 49 – 61. 10. Басс В. П. Расчет двумерных течений разреженного газа при поперечном обтекании плоской пластины / В. П. Басс, Л. Л. Печерица // Техническая механика. – 2008. – № 1. – С. 83 – 92. 11. Басс В. П. Расчет параметров разреженного газа, возмущенного симметрично вращающимся в нем телом / В. П. Басс, В. И. Бразинский // Аэрогазодинамика и нестационарный тепломассообмен : сб. научных трудов. – Киев : Наук. думка, 1983. – С. 58 – 62. 12. Басс В. П. Молекулярная газовая динамика и ее приложения в ракетно-космической технике / В. П. Басс. – Киев : Наук. думка, 2008. – 267 с. 13. Ларина И. Н., Рыков В. А. Исследование обтекания кругового цилиндра потоком разреженного газа в стационарном и автоколебательном режимах / И. Н. Ларина, Н. А. Рыков // Изв. РАН. Механ. жидко- сти и газа. – 2006. – № 1. – С. 166 – 175. 14. Riabov V. V. Aerodynamics of a Spinning Cylinder in Rarefied Gas Flows / V. V. Riabov // Journal of Space- craft and Rockets. – 1999. – V. 36, № 3. – P. 486 – 488. 15. Bird G. A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows lusted / G. A. Bird // Oxford: Oxford Univ. Press. – 1994. – Р. 334 – 377. 16. Bird G. A. The DS2G Program User’s Guid. Version 1.0. / G. A. Bird // G.A.B. Consulting Pty. – Killara (Australia), 1995. – P. 1 – 50. 17. Шкадова В. П. Варащающийся цилиндр в потоке вязкой жидкости / В. П. Шкадова // Изв. РАН : МЖГ. – 1982. – № 1. – С. 16 – 21. 18. Люлька В. А. Численное решение задачи о вращении цилиндра в потоке вязкой несжимаемой жидкости / В. А. Люлька // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 1977. – Т. 17, № 2. – С. 470 – 480. 19. Волков А. Н. Аэродинамические коэффициенты вращающейся сферы в потоке разреженного газа / А. Н. Волков // Изв. РАН : МЖГ. – 2009. – № 1. – С. 167 – 187. Институт Технической механики Получено 27.05.09, НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 29. 05.09 г. Днепропетровск

Зависимость силы Магнуса от числа Кнудсена при поперечном стационарном обтекании вращающегося цилиндра

Репозитарії

Схожі ресурси