Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам
С помощью автоматных методов получены аналитические решения для изгибно-продольных колебаний протяженной рамной конструкции с произвольными граничными условиями. Проведена декомпозиция автоматов на компоненты по видам колебаний, составлены таблицы переходов состояний подсистем, выполнен численный ан...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2009
|
| Schriftenreihe: | Техническая механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103956 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам / А.С. Распопов, О.О. Рубан, С.А. Чернышенко // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 141-149. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-103956 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1039562016-06-28T03:02:26Z Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам Распопов, А.С. Рубан, О.О. Чернышенко, С.А. С помощью автоматных методов получены аналитические решения для изгибно-продольных колебаний протяженной рамной конструкции с произвольными граничными условиями. Проведена декомпозиция автоматов на компоненты по видам колебаний, составлены таблицы переходов состояний подсистем, выполнен численный анализ спектра частот регулярной стержневой системы, построен графикномограмма собственных значений в зависимости от числа пролетов, номера формы колебаний и отношения жесткостей стоек и ригеля рамы. За допомогою автоматних методів отримані аналітичні рішення для згинально-поздовжніх коливань протяжної рамної конструкції з довільними граничними умовами. Проведено декомпозицію автоматів на компоненти по видах коливань, складені таблиці переходів станів підсистем, виконаний чисельний аналіз спектра частот регулярної стрижневої системи, побудований графік-номограма власних значень залежно від числа прольотів, номера форми коливань і відношення жорсткостей стійок і ригеля рами. By automaton methods analytical solutions are got for the flexurally-longitudinal vibrations of extensive frame construction with arbitrary boundary conditions. The decomposition of automata into components by the types of vibrations is conducted, the tables of jumps of the states of subsystems are made, the numerical analysis of spectrum of frequencies of the regular cored system is executed, and the nomographic chart of eigenvalues is built depending on the number of bays, mode shape number and frame leg / frame girder stiffness ratio. 2009 Article Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам / А.С. Распопов, О.О. Рубан, С.А. Чернышенко // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 141-149. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103956 624.27.7 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
С помощью автоматных методов получены аналитические решения для изгибно-продольных колебаний протяженной рамной конструкции с произвольными граничными условиями. Проведена декомпозиция автоматов на компоненты по видам колебаний, составлены таблицы переходов состояний подсистем, выполнен численный анализ спектра частот регулярной стержневой системы, построен графикномограмма собственных значений в зависимости от числа пролетов, номера формы колебаний и отношения жесткостей стоек и ригеля рамы. |
| format |
Article |
| author |
Распопов, А.С. Рубан, О.О. Чернышенко, С.А. |
| spellingShingle |
Распопов, А.С. Рубан, О.О. Чернышенко, С.А. Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам Техническая механика |
| author_facet |
Распопов, А.С. Рубан, О.О. Чернышенко, С.А. |
| author_sort |
Распопов, А.С. |
| title |
Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам |
| title_short |
Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам |
| title_full |
Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам |
| title_fullStr |
Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам |
| title_full_unstemmed |
Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам |
| title_sort |
применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103956 |
| citation_txt |
Применение автоматных методов в задаче об упругих колебаниях многопролетных стержней и рам / А.С. Распопов, О.О. Рубан, С.А. Чернышенко // Техническая механика. — 2009. — № 3. — С. 141-149. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Техническая механика |
| work_keys_str_mv |
AT raspopovas primenenieavtomatnyhmetodovvzadačeobuprugihkolebaniâhmnogoproletnyhsteržnejiram AT rubanoo primenenieavtomatnyhmetodovvzadačeobuprugihkolebaniâhmnogoproletnyhsteržnejiram AT černyšenkosa primenenieavtomatnyhmetodovvzadačeobuprugihkolebaniâhmnogoproletnyhsteržnejiram |
| first_indexed |
2025-07-07T14:36:31Z |
| last_indexed |
2025-07-07T14:36:31Z |
| _version_ |
1836999238095994880 |
| fulltext |
141
УДК 624.27.7
А. С. РАСПОПОВ, О. О. РУБАН, С. А. ЧЕРНЫШЕНКО
ПРИМЕНЕНИЕ АВТОМАТНЫХ МЕТОДОВ В ЗАДАЧЕ ОБ УПРУГИХ
КОЛЕБАНИЯХ МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТЕРЖНЕЙ И РАМ
С помощью автоматных методов получены аналитические решения для изгибно-продольных коле-
баний протяженной рамной конструкции с произвольными граничными условиями. Проведена декомпо-
зиция автоматов на компоненты по видам колебаний, составлены таблицы переходов состояний подсис-
тем, выполнен численный анализ спектра частот регулярной стержневой системы, построен график-
номограмма собственных значений в зависимости от числа пролетов, номера формы колебаний и отноше-
ния жесткостей стоек и ригеля рамы.
За допомогою автоматних методів отримані аналітичні рішення для згинально-поздовжніх коливань
протяжної рамної конструкції з довільними граничними умовами. Проведено декомпозицію автоматів на
компоненти по видах коливань, складені таблиці переходів станів підсистем, виконаний чисельний аналіз
спектра частот регулярної стрижневої системи, побудований графік-номограма власних значень залежно
від числа прольотів, номера форми коливань і відношення жорсткостей стійок і ригеля рами.
By automaton methods analytical solutions are got for the flexurally-longitudinal vibrations of extensive
frame construction with arbitrary boundary conditions. The decomposition of automata into components by the
types of vibrations is conducted, the tables of jumps of the states of subsystems are made, the numerical analysis
of spectrum of frequencies of the regular cored system is executed, and the nomographic chart of eigenvalues is
built depending on the number of bays, mode shape number and frame leg / frame girder stiffness ratio.
Рассматривается один из возможных вариантов совместных колебаний в
плоскости протяженной рамной конструкции, состоящей из прямых стерж-
ней с жесткими узловыми соединениями. В таких системах простые виды
колебаний являются зависимыми друг от друга и могут быть разложены на
два направления: поперечное и продольное, причем величины тех и других
перемещений вполне сопоставимы. Решение задачи о совместных колебани-
ях в точной постановке представляет значительные трудности, что приводит
либо к использованию приближенных методов и расчетных схем, либо к изу-
чению каждого из видов колебаний в отдельности. Как правило, при состав-
лении частотных уравнений учитывают только поперечные колебания, пред-
полагая, что стойки и ригели рамы не изменяют своей длины. Применение
автоматных методов допускает точное математическое описание совместных
колебаний в рамных системах, практически не меняя основные алгоритмы
расчета, принятые для одномерных конструкций [1] .
Разделим рамную систему на характерные блоки (подсистемы) и их от-
дельные элементы-стержни (рис.1).
Рис. 1
Представим также топологическую модель рамы в виде конечного не-
тривиального автомата AL и последовательно связанных подавтоматов 1A ,
А.С Распопов, О.О. Рубан, С.А. Чернышенко, 2009
Техн. механика. – 2009. – № 3.
142
2A , …, pA , моделирующих отдельные блоки системы при изгибно-
продольных колебаниях стержней рамы.
Совокупность значений всех выходов zf автомата A определяется вы-
ходами подавтоматов 1A , 2A , …, pA , представленными ассоциированными
матрицами 1V , 2Y , …, 1pY − , pV% каждого из p участков системы. В этом слу-
чае уравнение частот можно выразить в форме (1), в которой ассоциирован-
ные матрицы относятся не к отдельным стержням, а к выделенным на рис. 1
блокам рамной системы.
1
1
2
0,
p
k p
k
V Y V
−
=
=∏ % (1)
где 1V и pV% – матрица-строка и матрица-столбец 1-го и p-го участков.
Предположим, что ригель рамы совершает только изгибные колебания в
плоскости xz ( ;kEF →∞ 0xkλ → ), а стойки – продольные колебания вдоль
оси hx ( ;ykEI ′ →∞ 0zk
′λ → ). Такой моделью может быть представлен, на-
пример, мост с неразрезными пролетными строениями, опирающимися через
шарниры на опоры, расположенные на неподвижном основании.
Разделение графа zkG участка системы на подсистемы возможно путем
рассечения связей между граничными параметрами ригеля ,ku kq и стойки
,ku′ kq′ (рис. 2, а). Далее, с учетом соотношений [2] для связанных вершин
графа zkG можно выполнить анализ состояний I, II подграфов 1
zkG и 2
xkG
(рис. 2, б, в) и с помощью таблицы переходов автомата 1A (табл. 1) опреде-
лить коды характеристических функций zf .
а) б) в)
Рис. 2
Так как рассматривается только часть системы, то выражение для ассо-
циированной матрицы участка kY , учитывающей наличие стойки на левом
конце, можно представить в виде
( ) ( )1 2 .k zk xkY V G V G= % (2)
143
Таблица 1
I II sν
xν k 1k + k ′ k 1k + k ′
К –
a
b
1 –
0
b
0
НП
С –
c
d
0 –
c
1
1
К
a
b
– 0
0
b
– 0
КП
С
c
d
– 1
c
1
– 1
В первом состоянии подграфа 1
zkG возможные сочетания кодов НП и КП
k - го или (k+1) - го стержней формируют матрицу zM обычного участка
балки [2], а во втором – лишь две ее строки, соответствующие кодам 0101 и
0011. Поэтому для матрицы ( )1
zkV G можно записать
( ) c
Zzzk MMGV
|
|
|
=1 . (3)
Для стержня-стойки k ′ первое состояние 2
xkG характеризуется кодом
10/01, второе – 01/01. Используя кодированную матрицу [1], определяем эле-
менты матрицы-столбца ( )2
xkV G%
( )2 1
cos sin .xk kx xk
k xk
V G
′ ′= λ λ ′ ′α λ
% (4)
После подстановки (3), (4) в (2) получим:
sin
cos .c xk
k z xk z
kk xk
Y M M
′λ
′= λ +
′ ′α λ
(5)
Вектор 1V в выражении (1) определяется строкой матрицы zM с кодом
0101, соответствующим условию шарнирного опирания начала 1-го стержня
(рис.1), а вектор pV% – столбцом матрицы kY (код 0101) в зависимости от ус-
ловий закрепления конца p - го стержня рамы.
Очевидно, что при 0kl′ → приходим к ассоциированной матрице kY для
участка балки, в k - м сечении которого размещена упругая опора относи-
тельно вертикальных перемещений в плоскости xz жесткостью kc
.c
k z k zY M c M= + (6)
144
Если положить 0kl → , то матрица kY преобразуется в ассоциированную
матрицу опоры ckI , упругой относительно поперечных перемещений [3], ко-
торую представим в блочной форме
(7)
где E – единичная матрица третьего порядка, 12
0 0
0 0 .
0 0 0
k
k
c
I c=
Тогда выражение (6) можно представить в более простом виде
.k ck zY I M= (8)
Теперь рассмотрим задачу расчета изгибных колебаний ригеля и стоек
p-пролетной рамы с несмещающимися узлами, т.е. без учета продольных
колебаний. В этом случае связанными граничными параметрами в узлах ра-
мы будут значения углов поворота ,kϕ ,k
′ϕ и изгибающих моментов ,km
km′ . Состояния подграфов 1
zkG и 2
zkG представлены на рис. 3.
а) б) в)
Рис. 3
Таблица переходов автомата 2A (табл. 2) будет содержать некоторые
особенности только для сечения, в котором стыкуются стержни ригеля k,
1k + и стойки k ′ . Как обычно, в табл. 2 сопрягаемые параметры обозначены
одинаковыми буквенными символами.
[ ]
12
,
0ck
E I
I
E
=
145
Таблица 2
I II sν
xν k 1k + k ′ k 1k + k ′
К –
0
b
0
1
–
0
0
0
0
НП
С –
c
1
0
1
–
1
1
1
1
К
0
b
–
0
0
0
0
–
0
0
КП
С
c
1
–
1
1
1
1
–
1
1
Для матриц ( )1
zkV G и ( )2
zkV G , входящих в выражение, аналогичное
(2), можно записать
( )1
I II ;zkV G v v= ( ) I2
II
.zk
v
V G
v
′
=
′
% (9)
Пользуясь соотношениями кодов табл. 2 несложно составить выражения
для элементов Iv , IIv при состояниях I, II подграфа 1
zkG и элементов Iv′ , IIv′
при тех же состояниях подграфа 2
zkG (символом ' помечены параметры
стойки).
3 3
3 2
I 4 3
2 4 3( )
k z k z
y z z
k z k z
y z y z
l A l B
EI
v
l G l A
EI EI
λ λ
=
λ λ
;
4 3
2 4 2
II ( )
0 0
k z k z
y z y z
l G l A
v EI EI= λ λ .
Для элементов Iv′ и IIv′ матрицы-столбца ( )2
zkV G% можно записать
3
I 3
( )
;
( )
k z
y z
l A
v
EI
′ ′
′ =
′ ′λ
4
II 2 4
( )
.
( ) ( )
k z
y k
l G
v
EI
′ ′
′ =
′ ′λ
Очевидно, что изменение граничных условий закрепления стержней-
стоек рамы приводит только к изменениям функций Iv′ и IIv′ , которые соот-
ветствуют двум последним элементам столбцов табл. 2 и кодами НП 0101 и
0011.
Содержание матрицы-строки 1V в выражении (1) зависит от граничных
параметров начала 1-го стержня и определяется двумя первыми элементами
строк табл. 2 с кодами КП 0011 и 0101. Соответственно, элементы матрицы-
столбца pV% зависят от условий закрепления концов p-го стержня ригеля ра-
мы и ( 1)p ′− -го стержня-стойки. Определение этих элементов по табл. 2 не
представляет затруднений.
146
Аналогичным образом описываются продольные колебания ригеля и из-
гибные стоек рамы. Связи между зависимыми параметрами ku , ku′ и kq , kq′ ,
а также состояния подграфов 1
xkG и 2
zkG приведены на рис. 4.
а) б) в)
Рис. 4
Состояния k-й подсистемы и сопрягаемые входные параметры стержней
представлены в таблице переходов автомата 3A (табл. 3).
Таблица 3
I II sν
xν k 1k + k ′ k 1k + k ′
К – a
1
1
– 0
0
1
НП
С – d
0
0
– 1
0
1
К a –
0
0
0 –
0
0
КП
С d –
1
1
1 –
1
1
Выражение для ассоциированной матрицы k-го участка kY определяет-
ся произведением векторов ( )1
xkV G и ( )2
zkV G% , для которых в соответствии
с кодами табл. 3 можно записать
( ) ( )1
01
1 MMGV xzk
|
|
|
= , (10)
где xM – ассоциированная матрица для продольных колебаний обычного
участка балки [1],
(1)
01M – матрица, состоящая из первой строки матрицы
xM с функциями кодов 01 и остальными нулевыми элементами.
147
( )
3
2
3
( )
.
( )
k zk
zk zk
y zk
l A
V G E
EI
′ ′ ′=
′ ′λ
% (11)
После простых преобразований получим
3
(1)
01 3
( )
.
( )
k zk
k x zk
y zk
l A
Y M E M
EI
′ ′
′= +
′ ′λ
(12)
Таким образом, применение конечных автоматов позволяет свести рас-
чет пространственных колебаний рамно-неразрезной конструкции к много-
кратно повторяемому циклу логических операций, соответствующих перехо-
ду от одного участка системы к другому. Решение получается в точной фор-
ме в виде последовательного набора однотипных кодированных ассоцииро-
ванных матриц, эффективно реализуемых с помощью ЭВМ.
В результате расчета регулярной рамной конструкции с защемленными
концами и характеристиками пролетов 3 / 4h l= ; k k ′µ = µ на рис. 5 представ-
лен график-номограмма собственных значений λ в зависимости от числа
пролетов p , отношения жесткостей стоек и ригеля рамы 1c , 2c , 3c от 0 до
∞ и номера формы колебаний i .
Рис. 5
Как и в случае неразрезных балок с упругими связями, для нахождения
величины λ по графикам на рис. 5 необходимо интервал по оси абсцисс ме-
жду крайними границами спектра частот разделить на количество пролетов
рамы. Ординаты точек пересечения прямых линий, параллельных оси орди-
нат, с соответствующей кривой дают значения частотного параметра λ пер-
вой зоны сгущения.
λ
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
1c = ∞
10,0
3, 0
1,0
0,5
1 0c =
80,0
20,0
8,0
3, 0
1,0
0,5
2 0c =
/i p
2c = ∞
1000
500
300
170
140
3 0c =
0,1
0,3
0,5
0,7
1,0
2,0
3, 0
10, 0
3c = ∞
′λ = π
0′λ =
I
II
III
II
5, 0
4, 5
4, 0
3, 5
3, 0
2, 5
2, 0
1, 5
1, 0
0, 5
0
148
Верхняя часть графика (I) соответствует спектру частот изгибных коле-
баний ригеля и стоек рамы с несмещающимися узлами, средняя часть (II)
характеризует изгибные колебания ригеля и продольные стоек, а нижняя (III)
– продольные ригеля и изгибные стоек рамы. Отмеченные спектры частот
при изгибно-продольных свободных колебаниях регулярной рамы дополня-
ют друг друга с последующим чередованием для второй и выше зон сгуще-
ния.
Как и в случае неразрезных балок на упругих опорах [4], для регулярных
многопролетных рам можно выделить подспектры или области равных час-
тот. Например, для рассмотренной выше рамной конструкции с количеством
пролетов 40p = на рис. 6 приведены графики изменения значений λ при
различных соотношениях жесткостей ригеля и стоек рамы.
Рис. 6
Полученные графические зависимости позволяют достаточно быстро оп-
ределить подспектры равных частот, соответствующие различным формам
колебаний многопролетной рамы. Наиболее плотный частотный спектр соот-
ветствует значению λ , равному π .
Предложенный подход к расчету комбинированных колебаний рамной
конструкции позволяет провести декомпозицию автоматов на компоненты
путем рассечения связей между зависимыми граничными параметрами по
видам колебаний с последующим переходом от анализа состояний простых
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
π
4,73
λ
c
2 1i =
10
15
20
25
35
40
3 1i =
10
20
30
2 40i =
2 1i =
1 1i =10
20
30
I
II
III
30 0,05 0,1 1 5 10 25 60 100 250 500 10 ∞
149
систем к составлению матричного уравнения для всей соединенной системы.
При этом декомпозиция автоматов, как правило, приводит к достаточно про-
стым подсистемам, не требующим составление таблиц переходов с деталь-
ным описанием кодов. Очевидные преимущества этого подхода проявляются
при анализе многомерных стержневых систем с учетом нескольких видов
колебаний.
1. Распопов А. С. Применение конечных автоматов к расчету пространственных колебаний рамных мос-
тов / А. С. Распопов // Баштовi споруди : матерiали, конструкцiї, технологiї. Зб. наук. праць // Вiсн.
Донбаської нац. акад. будiвн. та архiтект. – 2007. – Вип. 6 (68). – С. 73 – 79.
2. Распопов А. С. Конечно-автоматное моделирование пространственных колебаний стержневых и балоч-
ных конструкций / А. С. Распопов // Вiсн. Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. –
2007. – Вип. 19. – С. 125 – 133.
3. Ивович В. А. Переходные матрицы в динамике упругих систем : Справочник / В. А. Ивович. – М. : Ма-
шиностроение, 1981. – 183 с.
4. Распопов А. С. Применение логических моделей к расчету колебаний неразрезных мостовых конструк-
ций / А. С. Распопов // 6th Int. Conf. «Modern Bulding Materials, Structures and Techniques» : Procs. (Vil-
nius, Lithuania. 19 – 21 May, 1999). – Vilnius Gediminas Technical University 1999. – Vol. III. – С. 223 –
228.
Днепропетровский национальный Получено 24.07.09,
университет железнодорожного в окончательном варианте 24.07.09
транспорта имени академика В. Лазаряна
|