Решение задач с фазовыми превращениями

Рассмотрены процессы фазовых превращений плавления и испарения под действием поверхностного источника высокой плотности. При этом впервые предложен метод решения краевых задач, точно удовлетворяющий уравнениям краевой задачи (температура, теплота фазовых превращений) и приближенно — условиям внутри...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Куляпин, В.М., Елисеев, И.С., Аслямов, И.М., Бовтрикова, Е.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М. Францевича НАН України 2014
Назва видання:	Электрические контакты и электроды
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104002
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Решение задач с фазовыми превращениями / В.М. Куляпин, И.С. Елисеев, И.М. Аслямов, Е.В. Бовтрикова // Электрические контакты и электроды. — К.: ИПМ НАН України, 2014. — С. 181-189. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-104002
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1040022016-06-29T03:02:17Z Решение задач с фазовыми превращениями Куляпин, В.М. Елисеев, И.С. Аслямов, И.М. Бовтрикова, Е.В. Рассмотрены процессы фазовых превращений плавления и испарения под действием поверхностного источника высокой плотности. При этом впервые предложен метод решения краевых задач, точно удовлетворяющий уравнениям краевой задачи (температура, теплота фазовых превращений) и приближенно — условиям внутри зоны фазовых превращений. Этот метод позволил получить аналитическое описание движения фазовых границ и качественно (и коли-чественно) оценить развитие процесса, в частности с точки зрения его устойчивости. Розглянуто процеси фазових перетворень плавлення і випаровування під дією поверхневого джерела високої щільності. При цьому вперше запропоновано метод розв’язання крайових задач, що точно задовольняє рівнянням крайової задачі (температура, теплота фазових перетворень) і наближено — умовам в середині зони фазових перетворень. Цей метод дозволяє отримати аналітичний опис руху фазових границь і якісно (і кількісно) оцінити розвиток процесу, зокрема з точки зору його стійкості. The article examines the processes of phase transformations of melting and evaporation under the action of high-density surface source. For the first time a method for solving boundary value problems exactly satisfy the equations of the problem (temperature, heat of phase transformations) and approximate conditions within the zone of phase transformations. This method allowed us to obtain an analytical description of the motion of the phase boundaries that allows high-quality (and quantity) to evaluate the development process, particularly in terms of its sustainability. 2014 Article Решение задач с фазовыми превращениями / В.М. Куляпин, И.С. Елисеев, И.М. Аслямов, Е.В. Бовтрикова // Электрические контакты и электроды. — К.: ИПМ НАН України, 2014. — С. 181-189. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 2311-0627 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104002 621.43.04.002.5.001 ru Электрические контакты и электроды Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М. Францевича НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрены процессы фазовых превращений плавления и испарения под действием поверхностного источника высокой плотности. При этом впервые предложен метод решения краевых задач, точно удовлетворяющий уравнениям краевой задачи (температура, теплота фазовых превращений) и приближенно — условиям внутри зоны фазовых превращений. Этот метод позволил получить аналитическое описание движения фазовых границ и качественно (и коли-чественно) оценить развитие процесса, в частности с точки зрения его устойчивости.
format	Article
author	Куляпин, В.М. Елисеев, И.С. Аслямов, И.М. Бовтрикова, Е.В.
spellingShingle	Куляпин, В.М. Елисеев, И.С. Аслямов, И.М. Бовтрикова, Е.В. Решение задач с фазовыми превращениями Электрические контакты и электроды
author_facet	Куляпин, В.М. Елисеев, И.С. Аслямов, И.М. Бовтрикова, Е.В.
author_sort	Куляпин, В.М.
title	Решение задач с фазовыми превращениями
title_short	Решение задач с фазовыми превращениями
title_full	Решение задач с фазовыми превращениями
title_fullStr	Решение задач с фазовыми превращениями
title_full_unstemmed	Решение задач с фазовыми превращениями
title_sort	решение задач с фазовыми превращениями
publisher	Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М. Францевича НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104002
citation_txt	Решение задач с фазовыми превращениями / В.М. Куляпин, И.С. Елисеев, И.М. Аслямов, Е.В. Бовтрикова // Электрические контакты и электроды. — К.: ИПМ НАН України, 2014. — С. 181-189. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Электрические контакты и электроды
work_keys_str_mv	AT kulâpinvm rešeniezadačsfazovymiprevraŝeniâmi AT eliseevis rešeniezadačsfazovymiprevraŝeniâmi AT aslâmovim rešeniezadačsfazovymiprevraŝeniâmi AT bovtrikovaev rešeniezadačsfazovymiprevraŝeniâmi
first_indexed	2025-07-07T14:39:53Z
last_indexed	2025-07-07T14:39:53Z
_version_	1836999449387204608
fulltext	181 УДК 621.43.04.002.5.001 Решение задач с фазовыми превращениями В. М. Куляпин, И. С. Елисеев, И. М. Аслямов, Е. В. Бовтрикова* ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет, РФ, e-mail: Kulyapin_vm@mail.ru *ООО “Энергопромышленные технологии”, Москва, РФ Рассмотрены процессы фазовых превращений плавления и испарения под действием поверхностного источника высокой плотности. При этом впервые предложен метод решения краевых задач, точно удовлетворяющий уравнениям краевой задачи (температура, теплота фазовых превращений) и приближенно — условиям внутри зоны фазовых превращений. Этот метод позволил получить аналитическое описание движения фазовых границ и качественно (и коли- чественно) оценить развитие процесса, в частности с точки зрения его устойчивости. Ключевые слова: процессы фазовых превращений испарения, катодные процессы, электрический разряд. Введение Разработка математического аппарата для решения самых сложных с инженерно-физической точки зрения задач имеет важное значение. Ранее для их решения использовались аналитические методы и только для относительно простых областей. Позже появились численные методы. Но у численных алгоритмов есть большой недостаток — получаемые ими решения не поддаются оценке на качество. Аналитические решения более надежны — всегда можно проверить их на удовлетворение исходным уравнениям или граничным условиям и оценить величину отклонения. То есть возможность записать общее решение той или иной задачи в замк- нутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества [1—3]. Формулировка задачи Одномерная задача нагрева тела поверхностным qi(t) и объемным qV1(t) источниками тепла с подвижной внешней границей испарения X0(t) и границей плавления X(t) представлена на рис. 1. Задача относится к классу нелинейных задач теплопроводности [1]. В этом разделе развит интегральный метод решения таких задач, который "дает в ряде случаев решение более точное, чем использование численного метода конечных разностей" [2]. С применением интегрального метода задача сводится к модели, позволяющей найти решение в замкнутой аналитической форме и провести сопряжение с газокинетическим процессом испарения. При постановке задачи приняты следующие допущения: теплофизические коэффициенты материала мишени постоянны и равны средним значениям для выбранного диапазона температур; рассматриваются процессы в пределах действия закона Фурье, то есть при плотности тепловых потоков порядка 103—1010 Вт/см2. © В. М. Куляпин, И. С. Елисеев, И. М. Аслямов, Е. В. Бовтрикова, 2014 mailto:Kulyapin_vm@mail.ru Рис. 1. Модель переход- ных процессов фазовых превращений при дей- ствии поверхностного qi и объемных qV0, qV1 источ- ников теплоты высокой плотности; индексы: 0 — пар; 1 — жидкая фаза; 2 — твердая. Т Процессы описываются дифференциальными уравнениями с частными производными и условиями на границах раздела фаз. Дифференциальные уравнения для каждой зоны имеют вид [1] ; δ ; λ 1 0 0 00 0 2 0 2 XxX q tax V ≤≤−= ∂ ∂ϑ ⋅− ∂ ϑ∂ (1) ;;01 0 1 1 2 1 2 XxX tax ≤≤= ∂ ∂ϑ ⋅− ∂ ϑ∂ (2) .;01 2 2 2 2 2 Xx tax ≥= ∂ ∂ϑ ⋅− ∂ ϑ∂ (3) Граничные условия на поверхности: ;δ)(ρ δ λ)( 0 0 0 dt dX TTc Xxx tq − δ = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ϑ + (4) на границе испарения: ;ρ)]([λλ 0 00 0 1 1 0 0 0 dt dX m TTcL XxxXxx −+= = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ϑ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ϑ (5) на изотерме: ;ρ)(λλ 2 2 1 1 dt dXTTc xx m XxXx −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ϑ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ϑ == (6) ϑ0(Xδ, t) = Tδ , ϑ0(X0, t) = T0 = ϑ1(X0 ,t); ϑ1(X, t) = Tm = ϑ2 (X, t); ϑ2(x, 0) = T; ϑ2(∞, t) = T. (7) Установившиеся значения скоростей испарения, плавления и температуры определяются соотношениями: );234,4(3026,2expρ 00 0 −−⋅== T BA T MW dt dX (8) ,)(ρλ)( 0δ δ 0 0 uTTc Xxx tq −= = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ϑ + (9) где W — скорость испарения; М — атомная масса; А, В — табулированные постоянные скорости испарения; u — химическая константа. В решении реализован принцип суперпозиции (позволяет задавать любые профили температур) с четко фиксированными границами фазовых превращений плавления, испарения [2]. 182 Предложенная система уравнений является математической моделью физических явлений с фазовыми превращениями и уносом массы испарением при действии поверхностных и объемных источников. Число единичных решений не ограничено. Линеаризация дифференциальных уравнений Известны методы решения задач с нелинейностями: вариационные и интегральные, методы итераций, методы сведения к уравнениям, отличным от исходного нелинейного уравнения нестационарной тепло- проводности (метод теории размерностей, подстановок и т. п.), методы возмущений, конечных разностей, метод прямых, методы линеаризации. При инженерных расчетах широко применяют линеаризацию, то есть замену нелинейных дифференциальных уравнений приближенными линейными, для которых существует общий метод интегрирования. Последние используются в подавляющем большинстве случаев. В работе развит новый интегральный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Задавая профили температур для жидкой ϑ1(x, t) и твердой фаз ϑ2(x, t) и вводя их в интеграл теплового баланса, получаем дифференциальное уравнение для величины расплавлен- ной зоны (X − X0) с известным начальным условием (X − X0) = 0 при t = 0. Задаем профиль температур фазы 1 в виде ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ].ψ, 2 00010 0 0 01 XxXxXXtXx XX TTTtx m −−−−+− − − +=ϑ (10) Определим коэффициент ψ1(t) из условия, что данный профиль температур удовлетворяет уравнению теплового баланса только на границах раздела фаз. Подставляя в уравнение теплового баланса значение ( ) ,;ψ2 01 12 1 2 0 dt dT t t x Xx = ∂ ϑ∂ −= ∂ ϑ∂ = имеем ( ) . 2 1 λ2 ψ 0 11 1 dt dT a qt V ⋅−= Профиль температур, удовлетворяющий уравнению теплового баланса на границах раздела фаз, имеет вид ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]. 2 1 λ2 , 2 000 0 11 0 0 0 01 XxXxXX dt dT a q Xx XX TTTtx V m −−−−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅−+ +− − − +=ϑ (11) Для второй фазы профиль температур выразим в виде [3] ϑ2(x, t) = Tm − (Tm − T){1− exp[−θ(t)(x −X)]}. (12) Решение сводится к дифференциальному уравнению c произвольными функциями y′ = f(t)yn + g(t)y + h(t), (13) где y = X − X0. Решение уравнения (13) получено только в 1925 году [2] (уравнение Chini): , 1 )( )( )( tU tf thy n ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = (14) 183 где U(t) определяется соотношением ∫ ∫=+ +− ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ .)( 1 )( )( 1γ dtthn th tfC UnU dU (15) Соответствующий выбор постоянных γ и β будет [ ].)(exp)(γβ)(exp 1 )( )( ∫ ∫ ∫−+=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = dtdttgthdttgn tf thz (16) То есть, если z есть решение линейного уравнения z′ − g(t)z = γh(t) на основе интегрального метода, задача сводится к модели, позволяющей найти решение в замкнутой аналитической форме. Решение уравнения (13) дает значение величины зоны (Х − Х0) в функции времени, из него находят законы перемещения границ фазовых переходов X(t) и X0(t). То есть решение удовлетворяет уравнению теплового баланса, а не основным уравнениям. Поскольку исходными являются условия на границах, в дифференциальное уравнение (13) входят только граничные значения. Фазовые превращения Для случая действия поверхностного теплового потока qi(t) исходная система дифференциальных уравнений и краевых условий преобразуется к следующим видам: для расплавленной зоны — ;0; 1 11 12 1 2 λ 1 XxXq tax V ≤≤ ∂ ∂ϑ ∂ ϑ∂ ±=⋅− (17) для твердой фазы — xXax t ≤=∂ ∂ϑ ∂ ϑ∂ ⋅− ;01 2 22 2 2 ; (18) ϑ1(Χ, t) = ϑ2(Χ, t). (19) На границе плавления X(t) подводимое тепло идёт на покрытие теплоты плавления и теплопередачу в твердую фазу: ;ρλλ 2 2 1 1 dt dXL xx XxXx −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ϑ∂ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ϑ∂ == (20) ϑ2(x, 0) = T; (21) ϑ2(∞, t) = T. (22) Тепловой поток, подводимый к поверхности, идет на испарение и теплопередачу внутрь: [ ] .ρ)(λ)( 0 010 0 1 1 dt dXTTcL x tq m X i x −+=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ϑ∂ + = (23) Переход вещества из одной фазы в другую описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, которые не имеют аналитического решения: [ ] ).234,4(3026,2exp)()( 00 010 0 1 1 −−−+= = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ϑ λ+ T BA T MTTcL Xx x tiq m (24) 184 Задаем профили температур жидкой и твердой фаз, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям (18), (19) на границах раздела фаз. Для жидкой фазы принимаем профиль температур вида [ ] [ ][ ].)(),( 00 0 0 01 XxXxtXx XX TT Ttx m −−ψ+− − − +=ϑ (25) Профиль температур (25) удовлетворяет соотношению (18) при . 2 1)( 0 1 dt dT a t ⋅=ψ Действительно, .),(2 0 0 2 1 2 dt dT Xxt t x ==∂ ∂ϑ ψ= ∂ ϑ∂ Подставляем в (18) и получаем . 2 1)( 0 1 dt dT a t ⋅=ψ (26) С учетом (25) имеем профиль температур жидкой фазы вида ).)(( 2 1)(),( 0 0 1 0 0 0 01 XxXx dt dT a Xx XX TT Ttx m −−⋅+− − − +=ϑ (27) Аналогично для твердой фазы задаем профиль температур [2] ϑ2(x, t) = Tm − (Tm − T){1 − exp[−θ(t)(x − X)]}. (28) Профиль температур (28) удовлетворяет уравнению баланса энергии в объеме (18) при .1 2 dt dX a ⋅=θ Тогда .)(1exp1)(),( 2 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⋅−−−−=ϑ Xx dt dX a TTTtx mm (29) Уравнения (25), (29) удовлетворяют всем перечисленным ранее условиям. Используем уравнения (21), (22) для определения остающихся неизвестных X(t) , Х0(t). Используя полученные профили температур (25), (29), определяем градиенты температур на границе плавления: .1)( );( 2 1 2 2 0 0 10 01 dt dX a TT x XX dt dT aXX TT x m Xx m Xx ⋅ − −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ϑ −⋅+ − − =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ϑ = = Вводя значения градиентов температур, из (22) получаем выражение для скорости перемещения границы плавления .)( 2 1 ))(/( 0 0 10 0 22 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⋅− − − −λ+ρ λ = XX dt dT aXX TT TTaLdt dX m m (30) Аналогично для границы испарения Х0(t) 185 .)( 2 1 ))(/( 1 );( 2 1 0 0 10 0 10 0110 0 0 0 10 0 0 1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⋅+ − − λ− −λ+ρ = −⋅− − − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ϑ = XX dt dT aXX TT q TTaLdt dX XX dt dT aXX TT x m m m Xx (31) Для величины расплавленной зоны (Х − Х0) имеем . )( )( )( 1 )( 1)( 2 )( 1 )( 1)()( 010 0 0102 0 0 1 1 01020 010 m mm mm m TTcL tq TTcLTTcL XX dt dT a TTcLTTcLXX TT dt XXd −ρ+ρ − −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −ρ+ρ + −ρ+ρ −⋅ λ − −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −ρ+ρ + −ρ+ρ− −λ = − (32) Таким образом, системы дифференциальных уравнений (18)—(23) приводятся к дифференциальному уравнению (32) относительно величины расплавленной зоны Х − Х0. Уравнение (32) представляет собой уравнение вида y′ = f(t)yn + g(t)y + h(t), (33) где у = X − X0, n = −1. ; )( 1 )( 1)()( 2010 01 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −ρ+ρ + −ρ+ρ −λ= TTcLTTcL TTtf mm (34) ; )( 1 )( 1 2 )( 2010 0 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −ρ+ρ + −ρ+ρ ⋅ λ = TTcLTTcLdt dT a tg mm (35) . )( )( )( 010 0 mTTcL tq th −ρ+ρ −= (36) Решение уравнения (33) имеет вид ).( 1 0 tUn f hyXX ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ==− (37) Используя решение для величины расплавленной зоны (37), определяют законы перемещения границ раздела фаз жидкость—металл Х(t), границы испарения Х0(t) и температуру поверхности Т0. Постоянный тепловой поток Рассчитаем переходный процесс воздействия поверхностного источника с постоянной плотностью теплового потока q0 при постоянстве температуры поверхности T0 , q(t) = q0 = const (рис. 2). Из соотношений (30), (31) задача сводится к решению уравнений ;1 )( )( 02 01 XXTTcL TT dt dX m m − ⋅ −ρ+ρ −λ = (38) 186 ; )( )( 1 0 01 0 020 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −λ − −ρ+ρ = XX TT q TTcLdt dX m m (39) . )( )( 1 )( 1)()( 010 0 01020 010 m mm m TTcL q TTcLTTcLXX TT dt XXd −ρ+ρ − −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −ρ+ + −ρ+ρ− −λ = − Или yy′ = f(t) + h(t)y; где y′ = d(X − X0)/dt; ; )( 1 )( 1)()( 2010 01 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −ρ+ρ + −ρ+ρ ⋅−λ= TTcLTTcL TTtf mm m (40) . )( )( 010 0 mTTcL q th −ρ+ρ −= (41) Величина расплавленной зоны равна ),()( 1 0 0 tU q tUn f hXXy ε −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =−= (42) где . )( )( 1)( 2 010 01 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ −+ +−λ=ε TTcL TTcL TT m m m (43) При равенстве теплоемкости в твердой и жидкой фазах с1 = с2 = с выражение для ε преобразуется к виду . )( )( 1)( 00 01 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ −+ +−λ=ε TTcL TTcL TT m m m (44) В дальнейшем используем для ε выражение (44). Функцию времени U(t) определяем из соотношения (19) ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=+ +γ− . 1 1 hdt h fC UU dU n n При t = 0, U = 0 постоянная интегрирования C = 0. При g(t) = 0, γ = 0 функция U(t) определяется трансцендентным уравнением [ ].)( )1ln( 00 2 0 m t TTcL q UU −+ρε =+− (45) qo = const 187 Рис. 2. Модель процесса фазовых превращений плавления и испарения при действии постоянного поверхностного потока q0. Tm x = 0 (x, t) (x, t) Параметр U в относительных единицах представляет ширину зоны реакции X − X0 и асимптотически приближается к −1. Безразмерный комплекс содержит в себе аргумент задачи t и составлен из известных при постановке задачи параметров. В конечном виде имеем следующее решение задачи нестационарной теплопроводности с фазовыми превращениями плавления и испарения. Введем обозначение безразмерного комплекса. [ ],)( 00 2 0 m t TTcL q t −+ρε = (46) тогда U − ln (1 + U) =⎯t. ...)1(... 432 )1ln( 1 432 +⋅−++−+−=+ + n UUUUUU n n . Для вычисления интегралов (38), (39) необходимо преобразовать трансцендентное уравнение (45) к явной форме относительно U ).(t Для малых времен⎯t используем разложение функции ln(1 + U) в ряд для области сходимости −1 ≤ U ≤ 1. Если ограничиться в разложении первыми двумя членами, то с учетом соотношения (46) получим приближенную формулу, которую можно использовать при ⎯t ≤ 0,1: ttU 2)( ≈ . (47) Выводы Разработан математический аппарат для решения сложных задач теплопроводности с фазовыми превращениями и уносом массы испарением. Получено замкнутое решение процессов с фазовыми превращениями с использованием дифференцирования и интегрирования уравнения Chini. Предложена система безразмерных параметров, позволяющих решить сложные задачи теплопроводности. 1. Куляпин В. М. Некоторые задачи теплопроводности с фазовыми превраще- ниями // Инж.-физ. журн. — 1971. — 20, № 3. — С. 497—504. 2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М. : Наука, 1971. — 576 с. 3. Шарма О. Задачи переноса тепла при наличии фазовых превращений и переменной температуре поверхности / О. Шарма, М. Ротенберг, С. Пеннер // Ракетная техника и космонавтика. — 1967. — 5, № 4. — С. 84—89. Рішення задач з фазовими перетвореннями В. М. Куляпін, І. С. Елісєєв, І. М. Аслямов, О. В. Бовтрикова Розглянуто процеси фазових перетворень плавлення і випаровування під дією поверхневого джерела високої щільності. При цьому вперше запропоновано метод розв’язання крайових задач, що точно задовольняє рівнянням крайової задачі (температура, теплота фазових перетворень) і наближено — умовам в середині зони фазових перетворень. Цей метод дозволяє отримати аналітичний 188 189 опис руху фазових границь і якісно (і кількісно) оцінити розвиток процесу, зокрема з точки зору його стійкості. Ключові слова: фазові перетворення випаровування, катодні процеси, електричний розряд. Solving problems with phase changes V. M. Kulyapin, I. S. Eliseev, I. M. Aslyamov, E. V. Bovtrikova The article examines the processes of phase transformations of melting and evaporation under the action of high-density surface source. For the first time a method for solving boundary value problems exactly satisfy the equations of the problem (temperature, heat of phase transformations) and approximate conditions within the zone of phase transformations. This method allowed us to obtain an analytical description of the motion of the phase boundaries that allows high-quality (and quantity) to evaluate the development process, particularly in terms of its sustainability. Keywords: processes of phase transformations, evaporation, cathodic processes, electric discharge.

Решение задач с фазовыми превращениями

Репозитарії

Схожі ресурси