Решение краевых задач

Предложены и реализованы алгоритмы аналитических решений краевых задач при движении фазовых границ с использованием нелинейного дифференциального уравнения Chini....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Куляпин, В.М., Елисеев, И.С., Аслямов, И.М., Бовтрикова, Е.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М. Францевича НАН України 2014
Назва видання:	Электрические контакты и электроды
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104003
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Решение краевых задач / В.М. Куляпин, И.С. Елисеев, И.М. Аслямов, Е.В. Бовтрикова // Электрические контакты и электроды. — К.: ИПМ НАН України, 2014. — С. 190-197. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-104003
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1040032016-06-29T03:02:12Z Решение краевых задач Куляпин, В.М. Елисеев, И.С. Аслямов, И.М. Бовтрикова, Е.В. Предложены и реализованы алгоритмы аналитических решений краевых задач при движении фазовых границ с использованием нелинейного дифференциального уравнения Chini. Запропоновано та реалізовано алгоритми аналітичних рішень крайових задач при русі фазових границь з використанням рішення нелінійного диференціального рівняння Chini. Proposed and implemented algorithms analytical solutions of boundary value problems for the motion of the phase boundaries using the solutions of the nonlinear differential equation Chini. 2014 Article Решение краевых задач / В.М. Куляпин, И.С. Елисеев, И.М. Аслямов, Е.В. Бовтрикова // Электрические контакты и электроды. — К.: ИПМ НАН України, 2014. — С. 190-197. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 2311-0627 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104003 621.43.04.002.5.001 ru Электрические контакты и электроды Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М. Францевича НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Предложены и реализованы алгоритмы аналитических решений краевых задач при движении фазовых границ с использованием нелинейного дифференциального уравнения Chini.
format	Article
author	Куляпин, В.М. Елисеев, И.С. Аслямов, И.М. Бовтрикова, Е.В.
spellingShingle	Куляпин, В.М. Елисеев, И.С. Аслямов, И.М. Бовтрикова, Е.В. Решение краевых задач Электрические контакты и электроды
author_facet	Куляпин, В.М. Елисеев, И.С. Аслямов, И.М. Бовтрикова, Е.В.
author_sort	Куляпин, В.М.
title	Решение краевых задач
title_short	Решение краевых задач
title_full	Решение краевых задач
title_fullStr	Решение краевых задач
title_full_unstemmed	Решение краевых задач
title_sort	решение краевых задач
publisher	Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М. Францевича НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104003
citation_txt	Решение краевых задач / В.М. Куляпин, И.С. Елисеев, И.М. Аслямов, Е.В. Бовтрикова // Электрические контакты и электроды. — К.: ИПМ НАН України, 2014. — С. 190-197. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Электрические контакты и электроды
work_keys_str_mv	AT kulâpinvm rešeniekraevyhzadač AT eliseevis rešeniekraevyhzadač AT aslâmovim rešeniekraevyhzadač AT bovtrikovaev rešeniekraevyhzadač
first_indexed	2025-07-07T14:39:58Z
last_indexed	2025-07-07T14:39:58Z
_version_	1836999454576607232
fulltext	УДК 621.43.04.002.5.001 Решение краевых задач В. М. Куляпин, И. С. Елисеев, И. М. Аслямов, Е. В. Бовтрикова* ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет, РФ, e-mail: Kulyapin_vm@mail.ru ООО “Энергопромышленные технологии”, Москва, РФ Предложены и реализованы алгоритмы аналитических решений краевых задач при движении фазовых границ с использованием нелинейного дифференциального уравнения Chini. Ключевые слова: процессы фазовых превращений испарения, катодные процессы, электрический разряд. Введение Появление сложных краевых задач теплопроводности вызвало значительные трудности в получении аналитических решений и привело к розработке численных методов. Но у численных алгоритмов есть серьезный недостаток — получаемые ими решения не поддаются оценке их качества. Аналитические решения более надежны, их можно проверить на удовлетворение исходным уравнениям и оценить величину отклонения [1, 2]. В данной статье развит один из подходов, позволяющий получить аналитические решения и соответствующую качественную оценку исследуемых процессов движения границ фазовых переходов. Выделение энергии в объеме Одномерная задача нагрева поверхностным источником плотностью qi и объемным источником плотностью qv в зоне, ограниченной внешней подвижной границей разрушения X0 и границей плавления Х, представ- лена на рис. 1. Рассмотрим только процесс плавления и испарения материала мишени. Уравнение Фурье с учетом условий на границах раздела фаз запишется в виде: для расплавленной зоны X0(t) ≤ x ≤ X(t) ;1 1 1 1 2 1 2 λ −= ∂ ϑ∂ ⋅− ∂ ϑ∂ Vq tax (1) Рис. 1. Модель переходных процессов фазовых превращений: 0 — зона паров; 1 — зона распла- ва; 2 — твердая фаза; Тδ, Т0, Тm — температуры горения, испарения и плавления соответственно; ),(0 txϑ , ),(1 txϑ , — профили температур в газообраз- ной, жидкой и твердой фазах. ),(2 txϑ Т (x, t) (x, t)(x, t) (x, t) 190 mailto:Kulyapin_vm@mail.ru © В. М. Куляпин, И. С. Елисеев, И. М. Аслямов, Е. В. Бовтрикова, 2014 для твердой зоны x ≥ X(t) .01 2 2 2 2 2 = ∂ ϑ∂ ⋅− ∂ ϑ∂ tax (2) Граничные условия: );,(),( 21 tXtX ϑ=ϑ (3) ;ρλλ 2 2 1 1 dt dXL xx XxXx −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ϑ∂ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ϑ∂ == (4) [ ] ;)( 0 00 1 10 0 dt dXTTcL x q Xx −ρ+ρ=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ϑ∂ λ+ = (5) ;)0,(2 Tx =ϑ Tt =∞ϑ ),(2 , (6) где а, L, L0 — температуропроводность, теплота плавления и испарения. Границы фазовых превращений Если задаться профилем температур как функцией ширины зоны между границами фазовых переходов, координаты абсцисс и подставить в интеграл теплового баланса, получим дифференциальное уравнение для зоны фазовых превращений с известными начальными условиями. Профиль температур жидкой фазы при одновременном воздействии поверхностного и объемного источников энергии находим с использова- нием решения [3], при этом задаем профиль в виде пластины, охлаждаемой с двух сторон: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ].[)(, 2 0000 0 0 01 XxXxXXtXx XX TTTtx m −−−−ψ+− − − +=ϑ (7) Для определения функции ψ(t) из (7) находим 2 1 2 x∂ ϑ∂ и , 0 1 Xxt =∂ ϑ∂ подставляем в (1): 2 1 2 x∂ ϑ∂ = −2ψ(t); 0 1 Xxt =∂ ϑ∂ = dt dT0 ; . 2 1 2 )( 0 11 dt dT a qt V ⋅− λ =ψ Подставляя полученное значение в (7), имеем ( ) ( )( ) ( ) ].[ ) 2 1 2 ()(, 2 000 0 11 0 0 0 01 XxXxXX dt dT a qXx XX TTTtx Vm −−−−× ×⋅− λ +− − − +=ϑ (8) Градиент температуры рассчитываем из уравнения ( ) ( ).1 2 1 )()( 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 10 01 Xx dt dT a XX dt dT a XxqXXq XX TT x VVm −+−− −− λ −− λ + − − = ∂ ϑ∂ (9) Градиент температуры на границе плавления при х = Х имеет вид 191 ( ; 2 1)( 2 0 0 1 0 10 01 XX dt dT a XXq XX TT x Vm Xx −⋅+− λ − − − = ∂ ϑ∂ = ) (10) на границе испарения при x = X0 — ( . 2 1)( 2 0 0 1 0 10 0 0 1 XX dt dT a XXq XX TT x Vm Xx −⋅−− λ + − − = ∂ ϑ∂ = ) (11) Профиль температуры твердой фазы определяется выражением [4] ( ) ( ) ( ) ,1exp1, 2 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⋅−−−−=ϑ Xx dt dX a TTTtx mm (12) градиент температуры твердой фазы на границе плавления — ( ) .1 2 2 dt dX a TT x mXx ⋅−−= ∂ ϑ∂ = (13) Заданные профили температуры удовлетворяют уравнениям Фурье. Из условия на подвижной границе испарения (5) и условия (4) на границе плавления определяем скорость изменения расплавленной зоны y = (X – X0) ( ) ( ) ( ),thytgytfy n ++=′ (14) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ;11 22 ;11 ;1 00 0 00 0 00 01 TTcL tqth TTcLTTcL q dt dTctg TTcLTTcL TTtf n m V m m −ρ+ρ −= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −ρ+ρ − −ρ+ρ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅ ρ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −ρ+ρ + −ρ+ρ −λ= −= Решение уравнения (14) имеет вид [5] ( ). 1 tU f hy n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = (15) Функция U(t) определяется из соотношения ∫∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=+ +− , 1γ 1 hdt h fC UU dU n n (16) а значение γ — из соотношения [ .γβ 1 dthee f h gdtgdt n ∫ ∫∫ −+=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ] (17) Вводим в формулу (15) значения коэффициентов, получаем выражение для ширины зоны фазовых превращений ( ),ε 0 0 tU q XX −=− (18) где ( ) ( ) ( ) .1λε 00 01 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ −+ +−= TTcL TTcLTT m m 192 Постоянная плотность тепловыделения Рассмотрим переходные процессы в зоне, ограниченной границами плавления и испарения, при .const,constconst, 00 === Tqq V Находим в явном виде выражение для γ из соотношения (17) [ ];γβ 1 dthee f h gdtgdt ∫ ∫∫ − − +=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ [ ];γβ 1 dthee f h gdtgdt n ∫ ∫∫ −+=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ [ ];γβε 0 dtheee q ktktkt ∫ −+=− ,γβε 0 k he q kt −=− (19) где ( ) ( )⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ − −+ −= TTcLTTcL qk mm V ρρ 1 ρρ 1 2 00 . При t = 0 коэффициент 0 εγβ qk h − ⋅ = . (20) Подставляя значение для коэффициента β в уравнение (19), получаем ;γεγε 00 k he qk h q kt −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=− (21) [ ] ;)(ρεεγ 2 0 00 0 q kTTcL hq k m−+ −= ⋅ = (22) ( ) ( ) . ρ ρ1 2 εγ 00 2 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ −+ −= TTcL TTcL q q m mV (23) Поскольку теплота испарения L0 намного больше теплоты плавления, коэффициент γ отрицателен. Определяем функцию U(t): [ ]∫ ∫ −+ ==⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= ++− − . )(ρε1γ 00 2 0 21 2 mTTcL tq f thhdt h f UU UdU (24) Коэффициент γ отрицателен, тогда исходный интеграл равен ∫ ∫ ++ = ++− , 1γ1γ 22 UU UdU UU UdU где 0γ,γγ >−= . ( ) ∫ ∫∫ ++γγ − ++γ ++γ γ = ++γ . 12 1 1 1 2 1 1 22 2 2 UU dU UU UUd UU UdU Первый интеграл 193 ( )∫ ∫ ++γγ −++γ γ = ++γ . 12 11ln 2 1 1 2 2 2 UU dUUU UU UdU Значение второго интеграла ∫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <γ>γ−+ −++ −−+ − >γ<γ−+ − + − = ++ ∫ .25,0;041для; γ411γ2 γ411γ2 ln γ41 1 ;25,0;041для; 1γ4 1γ2arctg 1γ4 2 1γ 2 C U U CU UU dU Исходя из этого, имеем для γ < 0,25 ∫ + −++ −−+ − −++= ++ ; γ411γ2 γ411γ2 ln γ41γ2 11γln γ2 1 1γ 2 2 C U U UU UU UdU для γ > 0,25 значение интеграла ∫ + − + − −++= ++ . 1γ4 1γ2arctg 1γ4γ 11γln γ2 1 1γ 2 2 CUUU UU UdU Постоянную интегрирования находим при условии, что в момент времени t = 0 функция U (t) = 0, тогда для γ < 0,25 ; γ411 γ411 ln γ41γ2 1 −+ −− − =C для γ > 0,25 постоянная интегрирования . 1γ4 1arctg 1γ4γ 1 −− =C Безразмерный комплекс t L tq = ρε0 2 0 представляет собой безразмерное время. Для γ < 0,25 ; γ411 γ411 ln γ411γ2 γ411γ2 ln γ41γ2 11γln γ2 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ −− − −++ −−+ − −++= U U UUt (25) для γ > 0,25 ( ) ; 14 1arctg 14 12arctg 14 11ln 2 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −γ − −γ +γ −γγ −++γ γ = UUUt (26) при γ = 0,25 .4 2 81 2 ln4 − + ++= U Ut Расчетные зависимости U (⎯t ) представлены на рис. 2. В зависимости от соотношения плотности объемного и поверхностного источников характер процессов изменяется. При малых значениях γ процессы устойчивые, ширина зоны фазовых превращений достигает установивше- гося значения. При γ = 0,25 процессы нейтрально устойчивые. Дальнейшее 194 повышение плотности объемного тепловыделения приводит к скачко- образности решения, его неоднозначности по отношению к малому изменению энергии объемного источника. Характер процесса резко изме- няется и происходит неограниченное увеличение ширины зоны реакции (рис. 3). Рис. 2. Зависимость относи- тельной глубины испарения 0X , ширины расплавленной зоны 0XX − , глубины плавления X и комплекса ς от безразмерного времени. ζ, Х, Х0 , отн. ед. t, отн. ед. Поглощение энергии в зоне реакции Дополнительное поглощение энергии в зоне фазовых превращений при действии поверхностного источника высокой плотности учитывается в дифференциальном уравнении Фурье для жидкой фазы X0(t) ≤ x ≤ X(t): .1 1 1 1 2 1 2 λ = ∂ ϑ∂ ⋅− ∂ ϑ∂ Vq tax (27) Проводя аналогичные вычисления, получаем выражение ( ) ( ) .1 2 εγ 00 2 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −+ −+ = TTcL TTcL q q m mV (28) Коэффициент γ положителен и функция U (t) равна ( )∫ + +−γ+ −++ + +++−−= ++− ∫ . 1γ241 1γ2γ41 ln γ41γ2 11γln γ2 1 1γ 2 2 C U U UU UU UdU Постоянная интегрирования 141 141ln 412 1 +γ+ −γ+ γ+γ −=C и интеграл с учетом постоянной интегрирования ( ) . 141 141 ln 1241 1241 ln 412 11ln 2 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +γ+ −γ+ − +γ−γ+ −γ+γ+ γ+γ +γ−+ γ −= U U UUt (29) Расчетные зависимости представлены на рис. 3. Как видно на графи- ках, поглощение энергии приводит к уменьшению ширины зоны, процессы всегда стабилизируются. 195 Рис. 3. Ширина зоны реакции для γ0 = 0,2; γ1 = 0,26; γ2 = 0,5; γ3 = 1; γ4 = 5. Анализ устойчивости процессов На основе интегрального метода можно проводить анализ и синтез многими методами без интегрирования дифференциальных уравнений и непосредственного исследования их решений. Анализируя дифферен- циальное уравнение распространения тепла при воздействии энергии электрического разряда и экзотермических реакций в зоне (уравнение (16)), делаем выводы: система неустойчива, если существует отрицательный вещественный корень γ > 0,25; система нейтрально устойчива при γ = 0,25; система устойчива при 0 < γ < 0,25. Заключение Для описания переходных процессов в области взаимодействия плазмы электрического разряда и топлива использованы интегральный метод и математическая модель нелинейной задачи нестационарной теплопроводности с фазовыми превращениями плавления и испарения при действии поверхностных и объемных источников высокой плотности. Модель состоит из уравнений с частными производными и краевых условий и сводится к модели, включающей дифференциальное уравнение и начальные условия. Решение удовлетворяет осредненному уравне- нию теплового баланса. Показано, что исходные уравнения баланса энергии имеют непрерыв- ные решения, но при выделении асимптотик возникает скачкообразность решений, их критичность к малому изменению параметров и характер решений резко изменяется. Предложенная модель задачи нестационарной теплопроводности с фа- зовыми превращениями испарения, плавления и кристаллизации с подводом теплоты фазового перехода, измеряемой скачком энтальпии в условиях постоянства температуры и давления, позволяет исследовать источники ионов — катодные процессы электрических разрядов и ионно- плазменные нанотехнологии в производстве энергетических и авиацион- ных систем. Исследован интегральный метод для решения плоских и осесим- метричных задач стационарной теплопроводности и фазовых превраще- ний с различным профилем температур, линейным выделением в объеме, 196 197 поглощением в объеме, который может конкурировать с пакетами на основе численных методов. Предложены и реализованы новые алгоритмы оптимизации решений, позволяющих существенно улучшить качество аналитических решений. 1. Куляпин В. М. Некоторые задачи теплопроводности с фазовыми превраще- ниями // Инж.-техн. журн. — 1971. — 20, № 3. — С. 497—504. 2. Гладкий С. Л. Аналитическая система решения краевых задач математической физики / С. Л. Гладкий, Л. Н. Ясницкий // Аэрокосмическая техника и высо- кие технологии: Материалы Всерос. науч.-техн. конф. / Под. ред. Ю. В. Со- колкина и А. А. Чекалкина. — Пермь : ПГТУ, 2002. — С. 81. 3. Фаворский О. Н. Основы теории космических электрореактивных двигатель- ных установок: Учеб. пособие для втузов / О. Н. Фаворский, В. В. Фишгойт, Е. Н. Янтовский. — М. : Высшая школа, 1978. — 387 с. 4. Шарма О. Задачи переноса тепла при наличии фазовых превращений и переменной температуре поверхности / О. Шарма, М. Ротенберг, С. Пеннер // Ракетная техника и космонавтика. — 1967. — 5, № 4. — С. 84—89. 5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М. : Наука, 1971. — 576 с. Рішення крайових задач В. М. Куляпін, І. С. Елісєєв, І. М. Аслямов, О. В. Бовтрикова Запропоновано та реалізовано алгоритми аналітичних рішень крайових задач при русі фазових границь з використанням рішення нелінійного диференціального рівняння Chini. Ключові слова: процеси фазових перетворень випаровування, катодні процеси, електричний розряд. Solving boundary value problems V. M. Kulyapin, I. S. Eliseev, I. M. Aslyamov, E. V. Bovtrikova Proposed and implemented algorithms analytical solutions of boundary value problems for the motion of the phase boundaries using the solutions of the nonlinear differential equation Chini. Keywords: processes of phase trasformations, evaporation, cathodic processes, electric discharge.tra

Решение краевых задач

Репозитарії

Схожі ресурси