К выводу уравнения Фоккера—Планка

Показано, что в общем случае диффузии передемпфированных частиц уравнение Фоккера—Планка не содержит производной по координате от силового поля, которое предполагается независящим от времени, в противоположность традиционному виду этого уравнения, где такая производная присутствует....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
1. Verfasser:	Танатаров, Л.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Металлофизика и новейшие технологии
Schlagworte:	Дефекты кристаллической решётки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104066
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	К выводу уравнения Фоккера—Планка / Л.В. Танатаров // Металлофизика и новейшие технологии. — 2013. — Т. 35, № 1. — С. 95-111. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-104066
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1040662016-07-01T03:02:10Z К выводу уравнения Фоккера—Планка Танатаров, Л.В. Дефекты кристаллической решётки Показано, что в общем случае диффузии передемпфированных частиц уравнение Фоккера—Планка не содержит производной по координате от силового поля, которое предполагается независящим от времени, в противоположность традиционному виду этого уравнения, где такая производная присутствует. Виявлено, що в загальному випадку дифузії передемпфованих частинок рівнання Фоккера—Планка не має похідної за координатою від силового поля, яке не залежіть від часу, на противагу традиційному вигляду цього рівнання, де така похідна присутня. As shown, in the general case of overdamped-particles’ diffusion, the Fokker—Planck equation does not contain the coordinate derivative of the stationary force field, as contrasted to its traditional form. 2013 Article К выводу уравнения Фоккера—Планка / Л.В. Танатаров // Металлофизика и новейшие технологии. — 2013. — Т. 35, № 1. — С. 95-111. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1024-1809 PACS numbers: 02.50.Ga, 05.10.Gg, 05.20.Dd, 05.40.Fb, 05.60.Cd, 66.30.Dn http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104066 ru Металлофизика и новейшие технологии Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Дефекты кристаллической решётки Дефекты кристаллической решётки
spellingShingle	Дефекты кристаллической решётки Дефекты кристаллической решётки Танатаров, Л.В. К выводу уравнения Фоккера—Планка Металлофизика и новейшие технологии
description	Показано, что в общем случае диффузии передемпфированных частиц уравнение Фоккера—Планка не содержит производной по координате от силового поля, которое предполагается независящим от времени, в противоположность традиционному виду этого уравнения, где такая производная присутствует.
format	Article
author	Танатаров, Л.В.
author_facet	Танатаров, Л.В.
author_sort	Танатаров, Л.В.
title	К выводу уравнения Фоккера—Планка
title_short	К выводу уравнения Фоккера—Планка
title_full	К выводу уравнения Фоккера—Планка
title_fullStr	К выводу уравнения Фоккера—Планка
title_full_unstemmed	К выводу уравнения Фоккера—Планка
title_sort	к выводу уравнения фоккера—планка
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Дефекты кристаллической решётки
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104066
citation_txt	К выводу уравнения Фоккера—Планка / Л.В. Танатаров // Металлофизика и новейшие технологии. — 2013. — Т. 35, № 1. — С. 95-111. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Металлофизика и новейшие технологии
work_keys_str_mv	AT tanatarovlv kvyvoduuravneniâfokkeraplanka
first_indexed	2025-07-07T14:48:16Z
last_indexed	2025-07-07T14:48:16Z
_version_	1836999976521039872
fulltext	95 ДЕФЕКТЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЁТКИ PACS numbers: 02.50.Ga, 05.10.Gg, 05.20.Dd, 05.40.Fb, 05.60.Cd, 66.30.Dn К выводу уравнения Фоккера—Планка Л. В. Танатаров Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт» НАН Украины, ул. Академическая, 1, 61108 Харьков, Украина Показано, что в общем случае диффузии передемпфированных частиц уравнение Фоккера—Планка не содержит производной по координате от силового поля, которое предполагается независящим от времени, в про- тивоположность традиционному виду этого уравнения, где такая произ- водная присутствует. Виявлено, що в загальному випадку дифузії передемпфованих частинок рівнання Фоккера—Планка не має похідної за координатою від силового поля, яке не залежіть від часу, на противагу традиційному вигляду цього рівнання, де така похідна присутня. As shown, in the general case of overdamped-particles’ diffusion, the Fok- ker—Planck equation does not contain the coordinate derivative of the sta- tionary force field, as contrasted to its traditional form. Ключевые слова: передемпфированная частица, диффузия, случайная сила, уравнение Ланжевена, марковский процесс. (Получено 26 ноября 2012 г.) 1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕДЕМПФИРОВАННЫХ ЧАСТИЦ Уравнение Фоккера—Планка (ФП) для передемпфированных ча- стиц в постоянном по времени силовом поле F(x) выводится обычно для случая линейной силы (осциллятора). Связано это с тем, что в этом случае можно точно решить уравнение Ланжевена и выразить решение в терминах случайной силы, действующей на частицу, что, вообще говоря, невозможно сделать для произвольной силы F(x). Однако по аналогии пишут уравнение ФП в виде [1—3]: Металлофиз. новейшие технол. / Metallofiz. Noveishie Tekhnol. 2013, т. 35, № 1, сс. 95—111 Оттиски доступны непосредственно от издателя Фотокопирование разрешено только в соответствии с лицензией © 2013 ИМФ (Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины) Напечатано в Украине. 96 Л. В. ТАНАТАРОВ [ ] 2 2 ( ) ( , ) . f f F x f x t D t x x ∂ ∂ ∂+ = ∂ ∂ ∂ В данной работе делается попытка получить одномерное уравне- ние ФП, исходя из уравнений Ланжевена и Колмогорова для частиц в произвольном постоянном по времени поле. Уравнение движения частицы в поле F(x) под действием случайной силы ( )Y t и сопро- тивления, пропорционального скорости: ( ) ( ).mx x F x Y t+ γ = +   Проинтегрируем это уравнение, формально считая правую часть известной функцией времени; получим: ( )/ 0 1 ( ) (0) (0) (1 ) [1 ][ ( ( )) ( )]. t t t t m m m x t x x e dt e F x t Y t γ ′− −−γ ′ ′ ′− = − + − + γ γ   Передемпфированному движению соответствует 0.m → В этом случае получаем для ( ) (0)x x t xΔ ≡ − : 1 1 ( ) ( ( )) , ( ) ( ). t t t t t t x Y t dt F x t dt Y t Y t +Δ +Δ ′ ′ ′ ′Δ = + ≡ γ γ   (1) Отметим, что значение начальной скорости при этом «моменталь- но» забывается, что является основанием считать процесс переме- щения такой частицы марковским. При этом фазовое пространство размерности 2 редуцируется в одномерное конфигурационное про- странство. Пусть ( , )f x t плотность функции распределения частиц в про- странстве и времени, подлежащая определению. В силу условия марковости она удовлетворяет уравнению Колмогорова: ( , ) ( , ) ( , ).tf x t t dx f x t w x x ∞ Δ −∞ ′ ′ ′+ Δ =  (2) Здесь ( , )tw x xΔ ′ – вероятность перехода из точки x′ в точку x за вре- мя Δt. Обычно нам известна функция ( , )tw x xΔ ′ в отсутствие поля, ко- гда перемещение частицы из точки x′ в x определяется только дей- ствием случайной силы ( )Y t . Если эта сила не действует, то траекто- рия частицы однозначно определяется действием силового поля F(x), а плотность вероятности перехода обращается в δ-функцию ( , ) ( ( )),tw x x x x x tΔ ′ ′= δ − − Δ где ( )x tΔ – решение уравнения движения частицы. Удобно перепи- сать уравнение (2), вводя разность x x x′Δ = − ; тогда К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА—ПЛАНКА 97 ( , ) ( , ) ( , ). t f x t t d xw x x x f x x t ∞ Δ −∞ + Δ = Δ − Δ − Δ (2а) Будем в дальнейшем считать Δt малой величиной. Первое слага- емое правой части (1) – смещение, порожденное случайной силой ( ).Y t Обозначим его через Δx′. Пусть ( )tw xΔ ′Δ – плотность вероят- ности смещения Δx′ частицы за время Δt в отсутствие поля F(x). Очевидно, что при Δ → 0t Δ ′ ( )tw x стремится к δ( Δx′). Очевидно также, что в отсутствие поля ( , ) ( ).t tw x x x w xΔ Δ− Δ = Δ Наоборот, при наличии поля в отсутствие случайной силы ( )1 ( , ) ( ) . t t t t w x x x x F x t dt +Δ Δ   ′ ′− Δ = δ Δ −  γ   ( )( ) t t t F x t dt +Δ ′ ′ – функционал, который получается, если вместо ( )x t′ подставить точное решение уравнения Ланжевена в отсутствие случайной силы. Подставляя в (2a), получаем: 1 ( , ) ( , ) ( ( ( )) ), t t t f x t t d xf x x t x F x t dt ∞ +Δ −∞ ′ ′+ Δ = Δ − Δ δ Δ − γ  или 1 ( , ) ( ( ( )) , ). t t t f x t t f x F x t dt t +Δ ′ ′+ Δ = − γ  Раскладывая левую часть по Δt, а правую – по 1 ( ( )) , t t t F x t dt +Δ ′ ′ γ  по- лучаем: 1 ( ( )) . t t t f f t F x t dt t x +Δ∂ ∂ ′ ′Δ = − ∂ ∂ γ  Но ( ( )) ( ), t t t F x t dt tF x x +Δ ′ ′ = Δ − θΔ где 0 < θ < 1. Подставляя в преды- дущее равенство и сокращая на Δt, а также учитывая, что 0xΔ → при 0,tΔ → получаем: 1 ( ) 0. f f F x t x ∂ ∂+ = ∂ γ ∂ (3) По сути дела мы получили уравнение Лиувилля, что и должно 98 Л. В. ТАНАТАРОВ быть в этом случае. Уже на этом этапе возникает вопрос, как при традиционном написании уравнения ФП производная по x может «перескочить» через силовое поле F(x) при появлении бесконечно малой случайной силы. Заметим, что мы полагали случайную силу зависящей только от времени. Если рассматривается диффузия ча- стиц в поле случайно расположенных силовых центров, то сила по- рождается их совокупным случайным полем. Оно не малó по срав- нению с полем внешней силы, но именно из-за случайного распо- ложения центров их среднее результирующее поле можно считать равным нулю; именно поэтому в уравнении (3) под F(x) понимается внешнее поле. В этом смысле выбор случайной силы как величины, зависящей только от времени, уже является некоторым приближе- нием. Если силовое поле F(x) и случайная сила действуют одновремен- но, то 1 ( ( )) t t t x x F x t dt +Δ ′ ′ ′Δ = Δ + γ  ; тогда согласно (2а) для одной опре- деленной траектории: ( , ) 1 1 ( , ) ( ( ( )) ) ( ( ( )), ). t t t t t t f x t t d xf x x t x x F x t dt f x x F x t t ∞ +Δ +Δ −∞ + Δ = ′ ′ ′ ′ ′Δ − Δ δ Δ − Δ − = − Δ − γ γ   Среднее значение этой величины – 1 ( , ) ( ( ( )) , ) . t t t f x t t f x x F x t dt t +Δ ′ ′ ′+ Δ = − Δ − γ  Здесь случайной величиной является Δx′. По ней и проводится усреднение, т.е. ( , ) ( , ) ( ) . t f x t t f x x t w x d x ∞ Δ −∞ ′ ′+ Δ = − Δ Δ Δ  (4) Уравнение (1) связывает Δx′ с Δx: 1 ( ( )) . t t t x x F x t dt +Δ ′ ′ ′Δ = Δ − γ  (5) Здесь под знаком интеграла ( ) .x x x t x′− Δ ≤ ≤ Выделим явную зави- симость интеграла ( ( )) . t t t F x t dt +Δ ′ ′ от Δx. Пользуясь (1), можем записать: К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА—ПЛАНКА 99 1 ( ) ( ) ( ( )) . t t t t x t x x Y t dt F x t dt ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′= − Δ + + γ  Раскладывая ( ( ))F x t′ в ряд Тейлора в окрестности точки x − Δx, по- лучаем: 1 ( ( )) 1 ( ) 1 ( ) [ ( ) ( ( )) ] . ! t t t t t t tn n n n t t t F x t dt F x x tF x x dt Y t dt F x t dt n x +Δ ′ ′+Δ∞ = ′ ′ = ∂ − Δ ′ ′′ ′′ ′′ ′′= Δ − Δ + + γ∂      Вследствие ограниченности ( )F x ′ ′′ ′′ < Δ γ γ 1 1 ( ( )) t t F x t dt F t и 2( ( )) ( ) , t t t t t dt F x t dt F t ′+Δ ′ ′′ ′′ < Δ  а так как мы сохраняем только слагаемые, пропорциональные Δt, вторым слагаемым в квадратных скобках можно пренебречь. Итак, ( ) 1 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ! n t t t t t n nt t t F x t dt tF x x F x x dt Y t dt n ′+Δ +Δ∞ =   ′ ′ ′ ′′ ′′= Δ − Δ + − Δ =        ( ) . t t t t t F x x Y t dt dt ′+Δ   ′′ ′′ ′= − Δ +       Вместо (5) теперь можно записать 1 ( ) . t t t t t x x F x x Y t dt dt ′+Δ   ′ ′′ ′′ ′Δ = Δ − − Δ +  γ     Введем обозначение 1 ( ) ( ) . t t t t t t F x x F x x Y t dt dt t ′+Δ Δ   ′′ ′′ ′− Δ ≡ − Δ +  Δ      Уравнение (5) теперь перепишем в виде: ( ). t x x F x x Δ′Δ = Δ − − Δ γ  (6) Заметим, что при Δ → 0t Δ − Δ → − Δ  ( ) ( ).tF x x F x x Из (6) следует со- отношение между дифференциалами x′Δ и Δx: 100 Л. В. ТАНАТАРОВ ( ).x t t d x d x d F x xΔ Δ Δ′Δ = Δ − − Δ γ  (7) Пусть ( )tW kΔ – образ Фурье функции ( ).tw xΔ ′Δ Так как при 0tΔ → ( )tw xΔ ′Δ должна стремиться к ( ),x′δ Δ Фурье-образ ( ) 1,tW kΔ → т.е. при малых Δt ( ) 1 ( ).tW k tv kΔ = − Δ  Представим ( )tw xΔ ′Δ через ( ),tW kΔ воспользовавшись (5): 1 ( ) ( ) exp{ ( )}. 2t t t ik w x dkW k ik x tF x xΔ Δ Δ′Δ = − Δ + Δ − Δ π γ   При малых Δt 1 ( ) (1 ( )) 1 ( ) . 2 ik x t t ik t w x dk tv k e F x x− Δ Δ Δ  Δ′Δ = − Δ + − Δ π γ      Согласно (6) и (7) ( ) [ ( )]{ ( )t x t t w x d x d x d F x x xΔ Δ Δ Δ′ ′Δ Δ = Δ − − Δ δ Δ + γ   ( ) ( ) } 2 2 ik x ik x t t t F x x ikdke dk k e− Δ − Δ Δ Δ Δ+ − Δ − ν πγ π    или, сохраняя члены, пропорциональные Δt: ( ) ( ) ( ) ( ) t x t t w x d x d x x x d F x xΔ Δ Δ Δ′ ′Δ Δ = Δ δ Δ − δ Δ − Δ − γ   ( ) ( ) ( ) 2 ik x t x t t F x x d x d x dk k e− Δ Δ Δ Δ Δ− − Δ δ Δ − Δ ν = γ π    ( ) [ ( ) ( )]x t t d x x d x F x xΔ Δ Δ= Δ δ Δ − δ Δ − Δ γ  ( ) . 2 ik xt d x dk k e− ΔΔ− Δ ν π   Подставляя в (2a) и пользуясь (4), получаем ( , ) ( , ) 1 ( , ) [ ( ) ( )]x f x t t f x t f x x t d F x x x t ∞ Δ −∞ + Δ − = − − Δ − Δ δ Δ − Δ γ   1 ( , ) ( ) . 2 ik xd xf x x t dkv k e ∞ − Δ −∞ − Δ − Δ π    Устремим в обеих частях этого соотношения Δt к нулю; получим: 1 ( , ) [ ( ) ( )] x f f x x t d F x x x t ∞ Δ −∞ ∂ = − − Δ − Δ δ Δ − ∂ γ  К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА—ПЛАНКА 101 1 ( , ) ( ) . 2 ik xd xf x x t dkv k e ∞ − Δ −∞ − Δ − Δ π    (8) Распишем последнее слагаемое, меняя порядок интегрирования: 1 ( ) ( , ) 2 ik xdkv k d xf x x t e ∞ − Δ −∞ − Δ − Δ = π   ∞ − −Δ − −∞ = − Δ − − Δ = π π    ( )1 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) , (9) 2 2 ikx ik x x ikxdkv k e d x x f x x t e dkv k f k t e где ( , )f k t – Фурье-образ от функции ( , ).f x t Распишем первое сла- гаемое, интегрируя по частям: 1 1 [ ( ) ( )] ( , ) ( , ) ( ) ( )xd x F x x f x x t f x x t x F x x ∞ ∞ Δ −∞ −∞ − δ Δ − Δ − Δ = − − Δ δ Δ − Δ + γ γ 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ).xx F x x d x x t F x f x t x ∞ Δ −∞ ∂+ δ Δ − Δ − Δ = − γ γ ∂ (10) Из (8), (9), (10) получаем: 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) 2 ikxf F x f x t dkv k f k t e t x ∞ − −∞ ∂ ∂+ = ∂ γ ∂ π   (11) или 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ).f F x f x t v x f x t x ∂+ = ∗ γ ∂  (12) Здесь ( )v x – оригинал ( ),v k а знак ∗ означает свертку. В случае полетов Леви ( ) exp( ), t W k D t k α Δ = − Δ откуда ( ) .v k D k α= Подставляя в (11), получаем: 1 ( ) ( , ) ( , ) 2 ikxD f F x f x t dk k f k t e x ∞ α − −∞ ∂+ = γ ∂ π    или 1 ( ) ( , ) . f f F x f x t D t x x α α ∂ ∂ ∂+ = ∂ γ ∂ ∂ (13) Отметим, что традиционная запись уравнения ФП такова: 102 Л. В. ТАНАТАРОВ 1 [ ( ) ( , )] . f f F x f x t D t x x α α ∂ ∂ ∂+ = ∂ γ ∂ ∂ (14) В приведенном выше выводе формула (13) – следствие уравне- ния (4). Если сравнить (4) с (2а), то можно было бы записать ( , ) ( ) .t tw x x x d x w x d xΔ Δ ′ ′− Δ Δ = Δ Δ (4а) Если бы мы использовали равенство плотностей переходных веро- ятностей ( , ) ( ),t tw x x x w xΔ Δ ′− Δ = Δ то получили бы формулу (14). Однако, поскольку плотности веро- ятности не имеют непосредственного смысла вероятности, нам ка- жется правильным приравнивать вероятности, то есть считать бо- лее правильным равенство (4а). Рассуждаем так: рассмотрим наря- ду с одномерным пространством Δx пространство x′Δ , связанное с первым соотношением (1). Любой интервал пространства x′Δ отоб- ражается в интервал пространства Δx с помощью (7). «Число пере- ходов» из каждого интервала d x′Δ в точку x пропорционально ( ) ( , ) ,t tw x d x w x x x d xΔ Δ′ ′Δ Δ = − Δ Δ т.е. равно «числу переходов» из интервала dΔx в точку x. Случай- ность определяется действием случайной силы, результатом кото- рого оказывается смещение .x′Δ Проанализируем еще одно предположение, сделанное вначале. Оно – об аналитичности функции ( )tW kΔ по отношению к аргумен- ту Δt. То, что при 0tΔ → ( ) 1tW kΔ → , – очевидно. Это следует из начального условия для функции ( ).tw xΔ Δ Она должна стремиться к ( ),xδ Δ как это следует из (2а). Но то, что при малых Δt отклонение ( )tW kΔ от единицы пропорционально первой степени Δt не столь очевидно. То, что это так, следует из требования независимости процесса по отношению к сдвигу по времени (марковость). Если та- кой независимости нет, т.е. ( ) 1 ( )( ) ,tW k v k t α Δ = − Δ свойство марково- сти теряется. Если чисто формально продолжить вывод уравнения ФП в предположении ( ) 1 ( )( ) , 1, t W k v k t α Δ = − Δ α < приходим к соот- ношению 0 ( , ) ( , ) lim ( ) ( , ), ( )t f x t t f x t v x f x t t αΔ → + Δ − = ∗ Δ (15) говорящему о том, что функция f удовлетворяет условию Гельдера при любом t. Действительно, в данном случае К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА—ПЛАНКА 103 1 ( ) 1 ( )( ) 1 ( ) 2 ik x t t ik t w x dk v k t e F x x ∞ α − Δ Δ Δ −∞  Δ ′Δ = − Δ + − Δ =  π γ      1 ( ) ( ) ( ) ( ), 2 ik xx t dkv k e O t ∞ α − Δ −∞ = δ Δ − Δ + Δ π   1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 ik x tw x d x x d x d x t v k e dk O t ∞ α − Δ Δ −∞ ′ ′Δ Δ = δ Δ Δ − Δ Δ + Δ π   Подставляя в (2а), получаем (15). Вывод уравнения Фоккера—Планка приводится в большом числе учебников и монографий. Так, в монографии [1] и книге [3] приве- дены два независимых вывода этого уравнения, один из которых основан на разложении выражения ( , ) ( , )tf x x t w x x xΔ− Δ − Δ Δ в ряд по случайной переменной Δx, входящей в первые аргументы обеих функций. В дальнейшем Δt устремляется к нулю. Но при этом функция ( , )tw x x xΔ − Δ Δ стремится к δ-функции, поэтому анали- тичность произведения tfwΔ вызывает некоторое сомнение. Если разложить в ряд по Δx лишь первый сомножитель, т.е. ( , ),f x x t− Δ то станет очевидным, что уравнение ФП не может содержать слага- емое, пропорциональное ( , ).f x t Будут входить только производные по x от этой функции, т.е. это уравнение имеет вид (9), а не (9а). По- следнее становится очевидным, если разложить ( , )f x x t− Δ по Δx в правой части (4): ( , ) ( , ) , f f x x t f x t x x ∂− Δ = − Δ ∂ Но согласно (5) 1 ,x x F t′Δ ≈ Δ + Δ γ где 0 ( ) , t x Y t dt Δ ′ ′ ′Δ =  а в силу сим- метрии 0,x′Δ = и мы сразу из (4) получаем уравнение (3) или (12). В приведенном выводе наименьшим параметром задачи счита- лась масса частицы. Мы ее устремили к нулю и в этом предположе- нии определили Δx как функцию Δt. При переходе к частной произ- водной по времени от функции распределения нам пришлось и Δt устремить к нулю. Точное соотношение для ( ) (0),x t x− приведенное вначале, содержит отношение t/m или, что то же, Δt/m. Но если масса равна нулю, то при любом Δt это отношение бесконечно. Ка- залось бы, что устремлять Δt к нулю в этом случае нельзя, и появля- ется сомнение в правильности вывода уравнения (3) или (14). Для того чтобы устранить эти сомнения, нужно было бы последо- вательно рассмотреть случай Δt/m << 1. При этом основную роль в выражении для ( ) (0)x t x− играет начальное условие: 104 Л. В. ТАНАТАРОВ 0 1 ( ) ( ) ( ) ( )( / ) . t x t t x t x t t t t F Y d t m Δ ′ ′+ Δ − = Δ + Δ − Δ γ + Δ  (16) Второе слагаемое пренебрежимо мало по сравнению с первым (оно пропорционально (Δt)2). Согласно уравнению движения передемп- фированной частицы ( ) / .x t F Y= γ +  Подставляя в (16), получаем: ( / ).x t F YΔ = Δ γ +  Для одной определенной траектории ( , ) ( ( / )).w x x x x t F Y− Δ = δ Δ − Δ γ +  Подставляя в (2а), находим: ( , ) ( ( / ), ).f x t t f x t F Y t+ Δ = − Δ γ +  Но .tY x′Δ = Δ Правую часть предыдущего уравнения нужно усред- нить по Δx′, т.е. ( , ) ( ) ( ) F f x t t d x w x f x t x′ ′ ′+ Δ = Δ Δ − Δ − Δ = γ  2( , ) (( ) ) F f f x t t O t x ∂= − Δ − Δ + ⋅ ⋅ ⋅ γ ∂ Точками обозначены производные высшего порядка по x. Таким образом, и в этом случае в уравнении ФП отсутствует производная от силы по координате. В книге [2] при выводе уравнения просто ошибочно сила была введена под знак дифференцирования. Эти обстоятельства в какой- то степени явились побудительным мотивом для более тщательного вывода этого уравнения. В приведенном выводе существенным образом использовалось условие марковости. Мы предполагали, что состояние системы в данный момент определяется ее состоянием в предыдущий момент. Аналитическим выражением этого является уравнение (2). В книге [1] при выводе уравнения ФП не используется марковость процесса, а решается уравнение движения частицы с использованием начального условия. Таким образом, состояние частицы в данный момент задается предысторией ее движения до этого момента. По- К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА—ПЛАНКА 105 видимому, в этом случае уравнение (2) уже не справедливо, по- скольку условие марковости не выполняется. Возможно, в этом – причина различия вида уравнения ФП при учете марковости и без такого учета. Отметим, что в цитируемой работе масса частицы не считается равной нулю, в то время как свойство марковости возни- кает как раз вследствие стремления массы к нулю. Как уже говори- лось, при этом размерность фазового пространства уменьшается вдвое, остается только конфигурационное пространство. При выво- де уравнения ФП для конечной массы можно было бы также ис- пользовать условие марковости, но уже в пространстве шести изме- рений. Формальная причина расхождения лежит в том, что усред- нение происходит не по Δx, а по Δx′, т.е. по смещениям, вызванным именно случайными силами (формула (4а)). Приведем еще одно соображение в пользу того, что в уравнении (14) сила не должна дифференцироваться по координате. При тем- пературе, равной или близкой к нулю, правые части уравнений (13) и (14) могут быть отброшены, поскольку стремится к нулю коэффи- циент диффузии. Пусть начальное распределение – одиночный «горб». Он перемещается вправо со скоростью, вообще говоря, зави- сящей от координаты. Если сила – величина постоянная, то рас- пределение – волна, бегущая вправо, что естественно. Если сила не постоянна, то все равно она перемещает «горб» вправо. При этом затухание отсутствует, ибо частицы никуда не исчезают, а диффу- зия не «размазывает» первоначальное распределение, что и следует из уравнения (13). Из уравнения же (14) вытекает, что распределение затухает со временем. Покажем это. Уравнение (14) имеет вид: 0.t x xf af fa+ + = (14а) Положим ,tf e v−λ= где λ – функция x. Отметим сразу, что уравне- ние (13) отличается от уравнения (14) отсутствием последнего сла- гаемого. Уравнение (14а) после указанной подстановки приобретает вид: 0.t x x xv v av v a v− λ + − λ + = Выбираем функцию λ(x) из условия ,x xaλ + λ = тогда для v получа- ем уравнение, идентичное уравнению (14а) без последнего слагае- мого. Его решение – 0 ( ) x dx v t a x  ′ = ϕ −  ′   ; тогда 106 Л. В. ТАНАТАРОВ ( ) 0 . ( ) x x t dx f e t a x −λ  ′ = ϕ −  ′   Здесь ( ) 0 0 ( ) ( ), x x x x x x e dx e a x ′− − − ′′ ′λ = λ +  т.е. решение (14а) отличается от решения уравнения (13) множителем .te−λ 2. ДИФФУЗИЯ ПЕРЕДЕМПФИРОВАННОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ СЛУЧАЙНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛОВЫХ ЦЕНТРОВ В ОТСУТСТВИЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ Пусть имеется случайно распределенный в пространстве набор си- ловых центров, взаимодействующих с передемпфированной части- цей. Число силовых центров N также случайная величина. Пусть ( )P N – вероятность этого числа. Уравнение движения передемп- фированной частицы – ,γ =r Y (17) где Y – случайная сила, равная сумме сил от всех силовых центров. Пусть ( , )f tr – функция распределения передемпфированных ча- стиц. В силу марковости для нее можно написать уравнение ( , ) ( , ) ( , ).tf t t d w f tΔ+ Δ = Δ − Δ − Δr r r r r r r (18) Считаем силы, действующие на частицу, центральными, т.е. вида ( ),i irψr где ir разность радиус векторов силового центра и частицы. Полная сила от всех N центров равна 1 ( ). N i i i r = = ψY r Усредненное по числу силовых центров смещение частицы за время Δt, обусловленное полной силой, согласно (17) равно 1 ( ) ( ). N i i N i t P N r = Δ= ψ γ  U r (19) Построим характеристическую функцию величины U, учитывая независимость смещений от отдельных силовых центров: 11 exp exp ( ) ( ) . N i i iN i i tP N r ∞ ==  ⋅ = Δ ⋅ ψ γ  ∏ k k U r К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА—ПЛАНКА 107 Заменяя суммирование интегрированием и вводя плотность ( )Nn r силовых центров, получаем: exp exp ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ).N N i t i d r n n P N n  Δ⋅ = ⋅ ψ ≡ γ  k U k r r r r r (20) Плотность вероятности смещения U равна 3 1 ( ) exp ( ) ( ) ( ) (2 ) i t P d i d r n  Δ= − ⋅ + ⋅ ψ ≈ γπ    U k k U k r r r 3 1 1 ( ) ( ) ( ) (2 ) i i t d e d r n− ⋅  Δ≈ + ⋅ ψ = γπ    k Uk k r r r 3 ( ) ( ) exp( ), ( ) ( ). (2 ) i t d i d r n Δ= δ + ⋅ − ⋅ ≡ ψ γ π  U k k l k U l r r r (21) Если ( )n r изотропно, т.е. является функцией только r, то .=l 0 Пе- репишем (21) в виде ( ) ( ) ( ) t P Δ= δ − ⋅ ∇ δ γ UU U l U . (22) Теперь (19) можно переписать, заменив ( , )twΔ − Δr r r на ( )P U : ( , ) ( ) 0, f d f t t Δ + ⋅ − ∇ δ = Δ γ  U l U r U U (23) ( , ) ( ) ( ( , ) ( )) ( ) ( , ),f t f t f t− ∇ δ = ∇ − δ − δ ∇ −U U Ur U U r U U U r U но ( , ) ( , ),f t f t−∇ − = ∇ −U rr U r U ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ).d f t d f t d f t− ⋅ ∇ δ = δ − + δ ⋅ ∇ −  U r U U r U U S U r U U U r U Первый интеграл правой части равен нулю, второй равен ( ).f∇r r Таким образом, устремляя к нулю Δt, уравнение (23) перепишем в виде: 0. f f t ∂ + ⋅ ∇ = ∂ γ l (24) Решение этого уравнения – плоская волна, бегущая по направле- нию l со скоростью l/γ: 1 0 ( ),f f t−= − γr l (25) 108 Л. В. ТАНАТАРОВ где f0 – функция распределения в момент t = 0. Из формул (24) и (25) следует, что при l = 0 f = f0(r). Вывод – неожиданный. Дело в том, что мы не учли температуру. Наличие температуры должно привести к появлению в правой части (24) члена, пропорционального оператору Лапласа. Тогда уравнение (24) превращается в уравнение диффузии в некотором эффективном внешнем поле. Если l зависит от r, то формула (25) не верна. Нужно искать решение уравнения (24) методом характеристик, т.е. искать общее решение системы уравнений . x y z dx dy dz dt l l l γ = = = Оно содержит три константы. В качестве таких констант берем начальные значения характеристик 0 0 0, , ,x y z т.е. 0 0 ( , ).t=r r r Тогда решением уравнения (24) будет 0 0( ( , )).f tr r В итоге распределение частиц при t → ∞ оказывается равным 0 0lim ( ( , )). t f t →∞ r r Как видно из (24), оно оказывается однородным в пространстве. При определении величины l (формула (22)) предполагалось, что начало координат находится в точке нахождения передемпфиро- ванной частицы. Очевидно, что при наличии анизотропии, т.е. не- зависимого от координат градиента n∇ ( ) (0) ( ), .n n n= + ⋅ = ∇rr r a a Выбирая в качестве оси OZ направление вектора a в интеграле для l, получим: [ ] 4 0 4 ( ) (0) ( ) ( )( ) ( ) . 3 d r n d r n r r dr ∞π= ψ + ⋅ = ψ ⋅ = ∇ ψ  rl r r r a r r r a Если l направлено от частицы, что соответствует ее притяжению к скоплению силовых центров, то частица притягивается к этому скоплению. При l, направленном в противоположную сторону (от- талкивание), частица отталкивается от скопления. Очевидно, что l = 0, если 4 ( ) 0,r dr rϕ = что возможно, когда ϕ(r) меняет знак с ростом r. Это условие можно трактовать как условие устойчивости рассматриваемой системы, исходя из соображения, что при абсолютном нуле температуры ни- какие движения в системе не должны иметь место. В приведенном рассмотрении предполагалось, что внешнее поле отсутствует. Кроме того, не учитывалось взаимодействие самих пе- К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА—ПЛАНКА 109 редемпфированных частиц. Если эти частицы распределены в про- странстве равномерно, то действующая на одну из них сила равна нулю. В противном случае эта сила пропорциональна градиенту их концентрации с обратным знаком, т.е. .f−α∇ Эту силу и внешнее поле нужно прибавить к силе Y при нахождении смещения. Урав- нение движения частицы таково: ( ),fγ = − α∇ +r Y F r где F(r) – внешнее поле, т.е. в формуле (19) в правую часть нужно добавить слагаемые ( ) /tΔ γF r и / .t f−αΔ ∇ γ При этом exp exp ( ) ( ) ( ) ( ) . i t i t i t i d r n f  Δ αΔ Δ⋅ = ⋅ ψ − ⋅ ∇ + ⋅ γ γ γ   k k U k r r r k F r Плотность вероятности смещения { }3 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (2 ) i i t P d e d r n f− ⋅  Δ= + ⋅ ψ − α ⋅ ∇ + ⋅ = γπ    k UU k r k r r k k F r 3 3 ( ) ( ) exp( ) exp( ) (2 ) (2 ) i t i t f d i d i Δ Δ α∇= δ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + γ π γ π U k k l k U kk k U 3 ( ) exp( ). (2 ) i t d i Δ+ ⋅ − ⋅ γ π  F r kk k U Подставляя это выражение вместо t wΔ в (18), получаем уравнение Фоккера—Планка в виде 2( ) 0. f f f t ∂ + α+ ⋅ ∇ − ∇ = ∂ γ γ l F При наличии температуры в правой части появляется слагаемое, про- порциональное Δf, т.е. DΔf, где D – коэффициент диффузии. Таким образом, мы видим, что при учете взаимодействия передемпфирован- ных частиц уравнение Фоккера—Планка становится нелинейным: 2( ) , . f f D f f t ∂ α ++ ⋅ ∇ − Δ = ∇ = ∂ γ γ l F A A (26) Cчитая /α γ малым параметром, решаем уравнение методом тео- рии возмущений. В качестве нулевого приближения возьмем реше- ние однородного уравнения (уравнения без правой части), удовле- творяющего начальному условию 0( ,0) ( )f f=r r : 0( , ) ( ),f t G f= ∗r r 110 Л. В. ТАНАТАРОВ где G  – функция Грина уравнения 0.f f D f+ ⋅ ∇ − Δ =A Итак, 0 ( )G f∗ r – решение уравнения (26) в нулевом приближении по α. В качестве поправки первого порядка по α берем решение уравнения (26), удовлетворяющее нулевому начальному условию: (1) 0( ( )) .f G G f α= ∗ ∗ ∇ ∗ γ 2r  Значок ∗ обозначает свертку по координатам, а ∗∗ – свертку по координатам и времени. Таким образом, в первом приближении 0 0( , ) ( ) ( ( )).f t G f G G f α= ∗ + ∗ ∗ ∇ ∗ γ r r r   Будем считать F не зависящей от координат; тогда A – постоян- ный вектор. Введем новую искомую функцию ( , )u tr по формуле 2 ( , ) ( , ) exp . 2 4 A t f t u t D D  ⋅= −    A r r r Для ( , )u tr получаем уравнение: 2 2 2 2( ( ) ) exp , . 2 4 2 u A t D u B u u u t D D D  ∂ α ⋅− Δ = + ⋅ ∇ + ∇ − = ∂ γ   A r A B B (27) Обозначая правую часть уравнения (27) через ( , )tψ r , получаем в первом приближении: 2 03/2 1 ( ) ( , ) ( ) exp 4 2(2 ) u t d f t DDt  ′ ′− ⋅′ ′= − − + π    r r A r r r r 2 (0) (0)2 (0) 2 3/2 3/2 0 ( ( ) ) (2 ) ( ) t dt d B u u u D t t ′α ′+ + ⋅ ∇ + ∇ × ′γ π −  r B 2( ) exp . ( ) 2 4 A t D t t D D  ′ ′ ′− ⋅× − + − ′−  2r r A r 4 Здесь 2 (0) 03/2 1 ( ) ( , ) ( ) exp . 4 2(2 ) u t d f Dt DDt  ′ ′− ⋅′ ′= − − π    r r A r r r r Выражение ( , )f tr получим, умножая ( , )u tr на 2 exp : 2 4 A t D D  ⋅ −    A r К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА—ПЛАНКА 111 2 4 03/2 ( ) ( ) ( , ) ( ) exp 4 2(2 ) A t De f t d f Dt DDt −  ′ ′− ⋅ −′ ′= − + + π    2r r A r r r r r ′α ′ ′ ′ ′ ′+ + ⋅ ∇ + ∇ × ′γ π −  2 (0) ( )2 (0) 2 3/2 3/2 0 ( ( , ) ( , ) ( ) ) (2 ) ( ) t dt d B u t u t u D t t 0r r B r  ′ ′ ′− ⋅ + +× − + − ′−  2( ) ( ) ( ) exp . 4 ( ) 2 4 A t t D t t D D 2r r A r r Отметим, что в книге [4] предполагалось, что силовые центры (источники) распределены равномерно в пространстве, т.е. в нашем случае это означает, что l равно нулю, в отличие от случая конечно- го, не равного нулю l. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. А. И. Ахиезер, С. В. Пелетминский, Методы статистической физики (Москва: Наука: 1977). 2. Г. Хакен, Синергетика (Москва: Мир: 1980). 3. С. Чандрасекар, Стохастические проблемы в физике и астрономии (Москва: Иностр. лит.: 1947). 4. В. М. Золотарев, Одномерные устойчивые распределения (Москва: Наука: 1983).

К выводу уравнения Фоккера—Планка

Institution

Ähnliche Einträge