Спіральні хвилі в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрішніми потоками рідини
Розглянуто задачу про вільні гармонічні коливання попередньо напруженого поздовжньою силою і крутильним моментом трубчастого стержня з внутрішніми потоками рідини, що обертається. Встановлено, що коливання у таких системах можуть бути реалізовані тільки у вигляді біжучих лівогвинтових та правогвинто...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1041 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Спiральнi хвилi в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрiшнiми потоками рiдини / О. І. Борщ, В. І. Гуляєв // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 12-18. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1041 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-10412008-10-20T18:38:41Z Спіральні хвилі в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрішніми потоками рідини Борщ, О.І. Гуляєв, В.І. Розглянуто задачу про вільні гармонічні коливання попередньо напруженого поздовжньою силою і крутильним моментом трубчастого стержня з внутрішніми потоками рідини, що обертається. Встановлено, що коливання у таких системах можуть бути реалізовані тільки у вигляді біжучих лівогвинтових та правогвинтових кругових циліндричних спіральних хвиль. Для кожного значення хвильового параметра існує чотири хвилі, дві з яких мають вигляд лівої спіралі, а дві - правої. Дисперсійний аналіз цих хвиль показав, що вони поширюються з різними швидкостями у різних напрямках. Рассмотрена задача о свободных гармонических колебаниях предварительно напряженного продольной силой и крутящим моментом вращающегося трубчатого стержня с внутренними потоками жидкости. Установлено, что колебания в таких системах могут быть реализованы только в виде бегущих левовинтовых и правовинтовых круговых цилиндрических спиральных волн. Для каждого значения волнового параметра существуют четыре волны, две из которых имеют вид левой спирали, а две - правой. Дисперсионный анализ этих волн показал, что они распространяются с разными скоростями в различных направлениях. The paper deals with the problem of free harmonic vibration of a rotating tube rod prestressed by a longitudinal force and torque and containing the internal liquid flows. It is found that vibration in such systems can be performed only as propagating cylindrical spiral waves. Four waves exist for every value of the wave parameter. Two of them are the right-hand spiral waves and two others are the left-hand ones. The dispersion analysis of these waves shows that they have different velocities for different propagation directions. 2007 Article Спiральнi хвилi в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрiшнiми потоками рiдини / О. І. Борщ, В. І. Гуляєв // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 12-18. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1041 539.3 uk Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто задачу про вільні гармонічні коливання попередньо напруженого поздовжньою силою і крутильним моментом трубчастого стержня з внутрішніми потоками рідини, що обертається. Встановлено, що коливання у таких системах можуть бути реалізовані тільки у вигляді біжучих лівогвинтових та правогвинтових кругових циліндричних спіральних хвиль. Для кожного значення хвильового параметра існує чотири хвилі, дві з яких мають вигляд лівої спіралі, а дві - правої. Дисперсійний аналіз цих хвиль показав, що вони поширюються з різними швидкостями у різних напрямках. |
| format |
Article |
| author |
Борщ, О.І. Гуляєв, В.І. |
| spellingShingle |
Борщ, О.І. Гуляєв, В.І. Спіральні хвилі в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрішніми потоками рідини |
| author_facet |
Борщ, О.І. Гуляєв, В.І. |
| author_sort |
Борщ, О.І. |
| title |
Спіральні хвилі в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрішніми потоками рідини |
| title_short |
Спіральні хвилі в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрішніми потоками рідини |
| title_full |
Спіральні хвилі в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрішніми потоками рідини |
| title_fullStr |
Спіральні хвилі в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрішніми потоками рідини |
| title_full_unstemmed |
Спіральні хвилі в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрішніми потоками рідини |
| title_sort |
спіральні хвилі в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрішніми потоками рідини |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1041 |
| citation_txt |
Спiральнi хвилi в закручених пружних трубчастих стержнях, що обертаються, з внутрiшнiми потоками рiдини / О. І. Борщ, В. І. Гуляєв // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 12-18. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT borŝoí spíralʹníhvilívzakručenihpružnihtrubčastihsteržnâhŝoobertaûtʹsâzvnutríšnímipotokamirídini AT gulâêvví spíralʹníhvilívzakručenihpružnihtrubčastihsteržnâhŝoobertaûtʹsâzvnutríšnímipotokamirídini |
| first_indexed |
2025-07-02T04:35:14Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:35:14Z |
| _version_ |
1836508423139622912 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 12 – 18
УДК 539.3
СПIРАЛЬНI ХВИЛI В ЗАКРУЧЕНИХ ПРУЖНИХ
ТРУБЧАСТИХ СТЕРЖНЯХ, ЩО ОБЕРТАЮТЬСЯ,
З ВНУТРIШНIМИ ПОТОКАМИ РIДИНИ
О. I. БО Р Щ, В. I. Г УЛ Я Є В
Нацiональний транспортний унiверситет, Київ
Отримано 16.04.2007
Розглянуто задачу про вiльнi гармонiчнi коливання попередньо напруженого поздовжньою силою i крутильним мо-
ментом трубчастого стержня з внутрiшнiми потоками рiдини, що обертається. Встановлено, що коливання у таких
системах можуть бути реалiзованi тiльки у виглядi бiжучих лiвогвинтових та правогвинтових кругових цилiндри-
чних спiральних хвиль. Для кожного значення хвильового параметра iснує чотири хвилi, двi з яких мають вигляд
лiвої спiралi, а двi – правої. Дисперсiйний аналiз цих хвиль показав, що вони поширюються з рiзними швидкостями
у рiзних напрямках.
Рассмотрена задача о свободных гармонических колебаниях предварительно напряженного продольной силой и
крутящим моментом вращающегося трубчатого стержня с внутренними потоками жидкости. Установлено, что ко-
лебания в таких системах могут быть реализованы только в виде бегущих левовинтовых и правовинтовых круговых
цилиндрических спиральных волн. Для каждого значения волнового параметра существуют четыре волны, две из
которых имеют вид левой спирали, а две – правой. Дисперсионный анализ этих волн показал, что они распростра-
няются с разными скоростями в различных направлениях.
The paper deals with the problem of free harmonic vibration of a rotating tube rod prestressed by a longitudinal force
and torque and containing the internal liquid flows. It is found that vibration in such systems can be performed only
as propagating cylindrical spiral waves. Four waves exist for every value of the wave parameter. Two of them are the
right-hand spiral waves and two others are the left-hand ones. The dispersion analysis of these waves shows that they
have different velocities for different propagation directions.
ВСТУП
У теорiї коливань пружних тiл, зазвичай, роз-
глядаються так званi замкненi (геометриччно
обмеженi) системи [1], вiльнi коливання яких мо-
жна представити суперпозицiєю стоячих хвиль,
характер яких визначається граничними умовами.
Однак, якщо розмiри пружної системи достатньо
великi, то в рядi випадкiв впливом граничних умов
на коливальний процес можна знехтувати. Тодi
систему вважають вiдкритою (необмеженою) i в
нiй можуть бути збудженi як стоячi, так i бiжучi
хвилi. Якщо прикладене зовнiшнє навантаження
є гармонiчним, гармонiчними будуть i згенерованi
хвилi.
Один з прикладiв систем, якi можна наближе-
но вважати вiдкритими, – колона глибинного бу-
рiння. На теперiшнiй час глибини вертикальних
свердловин, якi проходяться роторним способом за
допомогою трубчатих колон, досягають 10 км. У
процесi функцiонування вони пiдлягають впливу
ряду статичних i динамiчних факторiв, що iсто-
тно впливають на їхню механiчну поведiнку [2 – 5].
Зокрема, колони попередньо напруженi поздов-
жньою силою гравiтацiї; на них дiє крутильний
момент, необхiдний для руйнування долотом гiр-
ської породи в її нижнiй частинi. Особливу спе-
цифiку у форму коливань вносить обертання ко-
лони, яке породжує вiдцентровi й гiроскопiчнi си-
ли iнерцiї [6, 7]. Окрiм того, поперечнi коливання
бурильних колон iстотно пiдсилюються наявнiстю
внутрiшнiх потокiв промивної рiдини.
Вiдомо, що характер вiдхилення орiєнтацiї збу-
рення у хвилi вiд напрямку її поширення в су-
цiльному середовищi визначається її поляризацi-
єю. Коливання збурення в середовищi, якi вiдбу-
ваються в одному напрямку, вiдповiдають найпро-
стiшому випадку – лiнiйно поляризованiй хвилi.
У середовищах, якi пропускають поперечнi хви-
лi, можливi бiльш складнi типи поляризацiї. На-
приклад, якщо кiнець вектора, яким зображенi
збурення, описує коло або елiпс у площинi коли-
вань, говорять про кругову або елiптичну поля-
ризацiю. Таку поляризацiю можуть мати, напри-
клад, пружнi хвилi зсуву або електромагнiтнi хви-
лi [8]. Якщо ж двi пружнi гармонiчнi поперечнi
хвилi однакової довжини розмiщенi у взаємно пер-
пендикулярних площинах i поширюються в пру-
жному стержнi, то за рахунок зсуву їхнiх фаз на
π/2 можна досягнути того, що бiжуча хвиля ма-
тиме вигляд спiралi.
Ситуацiя iстотно змiнюється, якщо стержень, в
якому поширюється гармонiчна хвиля, попередньо
напружений крутильним моментом. Розгляд хви-
12 c© О. I. Борщ, В. I. Гуляєв, 2007
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 12 – 18
y
x0
2A
а
y
x0
б
Рис. 1. Траєкторiї руху елемента стержня у правiй (а) i лiвiй (б) спiралях
левiдних властивостей такої системи за допомогою
дисперсiйного аналiзу i є предметом даної статтi.
Як буде показано нижче, у цьому випадку нiякi
хвилi, окрiм спiральних, неможливi. Для кожної
довжини (параметра поширення) iснує чотири та-
кi хвилi, двi з яких мають вигляд лiвої спiралi, а
двi – правої.
1. АНАЛIЗ ОСНОВНИХ РIВНЯНЬ
Розглянемо задачi про коливання нескiнченно-
го пружного трубчастого стержня, попередньо на-
пруженого поздовжньою силою T и крутильним
моментом Mz. Нехай стержень обертається навко-
ло своєї осi зi сталою кутовою швидкiстю ~ω. Всере-
динi труби зi швидкiстю V рухається рiдина з гу-
стиною ρl. Сформулюємо рiвняння руху стержня.
Для цього введемо iнерцiйну систему координат
OXY Z та систему координат Oxyz з ортами ~i, ~j,
~k, яка обертається разом зi стержнем. Осi OZ i Oz
збiгаються з поздовжньою вiссю стержня i мають
спiльний початок. Спектри частот i форм власних
коливань стержня, який обертається, залежать вiд
вибору системи координат. З точки зору оцiнки де-
формованого стану динамiчну поведiнку зручнiше
розглядати в системi координат Oxyz, яка оберта-
ється.
Приймемо, що при коливаннях пружнi перемi-
щення елементiв стержня вздовж осей Ox i Oy
становлять u i v, а змiщеннями вздовж осi Oz бу-
демо нехтувати. Розглянемо лiнiйнi коливальнi й
хвильовi процеси, для яких характерний адитив-
ний вiдгук на адитивнi впливи, тобто виконується
принцип суперпозицiї. При коливаннях стержня
на нього дiють зовнiшнi та внутрiшнi сили, а та-
кож сили iнерцiї. Для виведення рiвнянь його ди-
намiки використано принцип Даламбера, вiдповiд-
но до якого в будь-який момент часу сума всiх
активних сил ~qa i сил iнерцiї ~qu, прикладених до
кожного елемента стержня, дорiвнює нулю [2,3].
У нашому випадку роль активних сил ~qa вiдi-
грають сили, викликанi попереднiм гравiтацiйним
напруженням i крутильним моментом, а також си-
ли пружностi.
Для обчислення складових ~qu
x i ~qu
y поперечного
розподiленого навантаження вiд сил iнерцiї необ-
хiдно враховувати iнерцiйнi сили двох типiв – ви-
кликанi обертанням стержня i його пружних коли-
вань (~qt), а також тi, що дiють на рухому рiдину
в ньому (~ql).
При визначеннi величини ~qt враховано, що ме-
ханiчна поведiнка трубчастого стержня розгляда-
ється в системi координат Oxyz, яка обертається.
У зв’язку з цим рух кожного елемента стержня є
складним i його абсолютне прискорення ~at пiдра-
ховується за формулою Корiолiса [9, 10]. При ро-
ботi трубчастих бурильних колон всерединi них зi
швидкiстю ~V перемiщується промивна рiдина. Її
рух також є складним, а на її елементи, окрiм сил
iнерцiї, спричинених коливаннями стержня, дiють
додатковi сили iнерцiї руху всерединi труби.
Пiсля переходу вiд звичайних похiдних до ча-
стинних у працях [2,3] виведенi рiвняння коливань
трубчастого стержня з внутрiшнiм потоком рiди-
О. I. Борщ, В. I. Гуляєв 13
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 12 – 18
ни, що обертається, попередньо напруженого по-
здовжньою силою T i крутильним моментом Mz:
EI
∂4u
∂z4
− ∂
∂z
(
T
∂u
∂z
)
− ∂2
∂z2
(
Mz
∂v
∂z
)
−
−(ρF + ρlFl)ω
2u − 2(ρF + ρlFl)ω
∂v
∂t
+
+V 2ρlFl
d2u
dz2
+ 2V ρlFl
d2u
dzdt
+ ρF
d2u
dt2
= 0,
EI
∂4v
∂z4
− ∂
∂z
(
T
∂v
∂z
)
+
∂2
∂z2
(
Mz
∂u
∂z
)
−
−(ρF + ρlFl)ω
2v + 2(ρF + ρlFl)ω
∂u
∂t
+
+V 2ρlFl
d2v
dz2
+ 2V ρlFl
d2v
dzdt
+ ρF
d2v
dt2
= 0.
(1)
Зазначимо, що незважаючи на лiнiйнiсть рiв-
нянь (1), вони мають досить складну структуру,
обумовлену доданками типу
− ∂2
∂z2
(
Mz
∂v
∂z
)
,
∂2
∂z2
(
Mz
∂u
∂z
)
,
−2ρFω
∂v
∂t
, 2ρFω
∂u
∂t
.
Так, завдяки присутностi перших двох членiв, сис-
тема не допускає розв’язкiв у формi плоскої кри-
вої, а пружна лiнiя вигнутого стержня може бу-
ти тiльки тривимiрною кривою (у даному випад-
ку – спiраллю). Наявнiсть же членiв з ω визначає
бiльш складний закон змiни форми коливання як
у просторi, так i за часом, виключаючи можли-
вiсть синфазного руху елементiв стержня. Зазна-
чене ускладнення пов’язане з тим, що вказанi до-
данки мiстять непарнi похiднi по z i t, а коефiцiєн-
ти перед ними утворюють кососиметричнi матри-
цi. Вiдповiднi сили дестабiлiзують урiвноважений
стан системи [11]. Зазначимо, що сили iнерцiї Ко-
рiолiса
2V ρlFl
∂2u
∂z∂t
, 2V ρlFl
∂2v
∂z∂t
входять в рiвняння (1) з однаковими знаками, а
роль коефiцiєнтiв тут вiдiграє швидкiсть V у пер-
шому степенi. Їхнiй вплив на форми руху є менш
суттєвим, але вiн все ж унеможливлює коливання
у виглядi стоячих хвиль навiть при ω=0, Mz =0.
2. ФОРМИ ВIЛЬНИХ КОЛИВАНЬ СИСТЕ-
МИ
Поставлена задача є суттєво багатопараметри-
чною, що ускладнює її аналiз. Тому для видiлення
явища поширення вiльних спiральних хвиль роз-
глянемо спрощений випадок T =const, Mz =const.
Виконавши пiдстановки
u(z, t) = A cos kz sin ct,
v(z, t) = B sin kz cos ct,
(2)
або
u(z, t) = A cos kz sin ct,
v(z, t) = B cos kz cos ct,
(3)
переконуємось, що вихiдна система не допускає
розв’язкiв у формi стоячих хвиль чи бiжучих
хвиль iз вузловими точками. Тому розв’язок слiд
будувати у виглядi цилiндричних спiральних бi-
жучих хвиль:
u(z, t) = A cos (kz − ct),
v(z, t) = B sin (kz − ct).
(4)
Пiдставивши вирази (4) у зредуковану систе-
му (1) i виконавши скорочення на вiдповiднi гар-
монiчнi спiвмножники, одержимо однорiдну сис-
тему алгебраїчних рiвнянь вiдносно амплiтудних
коефiцiєнтiв A i B:
[EIk4 + (T − V 2ρlFl)k
2 − (ρF + ρlFl)ω
2+
+2V ρlFlkc − (ρF + ρlFl)c
2]A+
+[Mzk
3 + 2(ρF + ρlFl)ωc]B = 0,
[Mzk
3 + 2(ρF + ρlFl)ωc]A+
+[EIk4 + (T − V 2ρlFl)k
2 − (ρF + ρlFl)ω
2+
+2V ρlFlkc − (ρF + ρlFl)c
2]B = 0.
(5)
Прирiвнявши до нуля визначник матрицi коефi-
цiєнтiв системи (5), одержимо дисперсiйне рiвнян-
ня
[EIk4 + (T − V 2ρlFl)k
2 − (ρF + ρlFl)ω
2+
+2V ρlFlkc − (ρF + ρlFl)c
2]2−
−[Mzk
3 + 2(ρF + ρlFl)ωc]2 = 0.
(6)
яке пов’язує хвильове число k з круговою часто-
тою c. Хвильове число входить у цей вираз у во-
сьмому степенi, а кругова частота – в четвертому.
Помiчаємо, однак, що лiва частина рiвняння являє
собою рiзницю квадратiв. Тому його можна замi-
нити еквiвалентною системою двох рiвнянь. Вико-
навши цi перетворення, знайдемо два коренi для
14 О. I. Борщ, В. I. Гуляєв
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 12 – 18
кругових частот
c1,2 =
V ρlFlk
ρF + ρlFl
− ω ± D1
ρF + ρlFl
, (7)
що вiдповiдають хвилi у формi правої спiралi
(A/B>0), i два коренi для хвилi у формi лiвої спi-
ралi (A/B<0) –
c3,4 =
V ρlFlk
ρF + ρlFl
− ω ± D2
ρF + ρlFl
. (8)
У рiвностях (7), (8) введенi позначення
D1 =
√
V 2ρ2
pF
2
p k2 + (ρF + ρpFp)×
×
√
2V ρpFpkω + k2(EIk2 + Mzk + T − V 2ρpFp),
D2 =
√
V 2ρ2
pF
2
p k2 − (ρF + ρpFp)×
×
√
2V ρpFpkω − k2(EIk2 − Mzk + T − V 2ρpFp).
Для того, щоб пiдтвердити цi висновки, пiдста-
вимо знайденi значення ci у систему (5) i пiдрахує-
мо вiдношення Ai/Bi. Так, A1/B1 =A2/B2 =1. От-
же, при коливаннях з цiєю частотою всi елементи
стержня рухаються по кругових траєкторiях за го-
динниковою стрiлкою з фазами, лiнiйно змiщени-
ми в напрямку проти руху годинникової стрiлки,
якщо дивитися з кiнця осi Oz (див. рис. 1, а). Як
результат хвиля утворює цилiндричну правогвин-
тову спiраль кругового профiлю, що сумiщається
в додатному напрямку осi Oz.
Аналогiчно, A3/B3 =A4/B4 =−1 i утворюється
лiвогвинтова спiральна хвиля (див. рис. 1, б). Цi
хвилi перемiщуються в додатному напрямку осi
Oz для частот c3 >0 i у вiд’ємному напрямку для
частоти c4, оскiльки вона завжди вiд’ємна.
Наведенi мiркування дозволяють зробити ва-
жливi висновки. По-перше, в закручених стер-
жнях, якi обертаються, можуть поширюватися
тiльки спiральнi хвилi. По-друге, при тому само-
му кроцi спiралi i вибраних напрямках обертання
й крутильного моменту поширюються гармонiчнi
хвилi у формi лiвої i правої спiралей з чотирма рi-
зними круговими частотами ci. Для кожної з цих
хвиль характер дисперсiйних кривих ci =ci(k) ви-
значається спiввiдношеннями мiж згинною жорс-
ткiстю EI, величиною крутильного моменту Mz,
а також значенням i знаком поздовжньої сили T .
Вигляд спiввiдношень (7), (8) для кругових ча-
стот ci свiдчить про те, що при малих k хвильо-
вi рухи трубчастого стержня iстотно залежать вiд
k, M
-1
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25
c,
C
-1
0
250
500
750
1000
c1
c3
k1
* k2
*
Рис. 2. Дисперсiйнi кривi при ω=0, ρl =0,
Mz =4.2·107 Н·м, T =2·10
6 Н
k, M
-1
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25
v,
M
/C
-1000
-500
0
500
1000
v1
v3
k1
* k2
*
v2
v4
v3
v4
Рис. 3. Залежностi фазових швидкостей спiральних
хвиль вiд хвильвого числа k при ω=0, ρl =0,
Mz =4.2·107 Н·м, T =2·10
6 Н
знака поздовжньої сили T (а при наявностi по-
току рiдини – вiд його швидкостi V ). Так, якщо
T >0 додатна (стержень розтягнений, потоку не-
має), то частоти c1 i c2 є дiйсними величинами i
хвилi у виглядi правих спiралей завжди iснують.
Хвилi у виглядi лiвих спiралей у цьому випадку
iснують при малих i великих значеннях k. Для па-
раметрiв k, якi лежать мiж додатними коренями
k∗
3,4 =(Mz±
√
M2
z −4EIT )/(2EI), пiдкореневий ви-
раз у рiвностi для D2 стає вiд’ємний. Тодi частоти
c3 i c4 стають комплексними i хвилi у виглядi лiвих
спiралей не можуть поширюватись.
Для прикладу розглянемо трубчастий стале-
вий стержень iз зовнiшнiм дiаметром D=35.5 см,
товщиною h=1.4 см при EI =4.586·107 Пa·м4,
ρF =117 кг/м, Mz =4.2·107 Н·м, T =2·106 Н.
Враховуючи, що поставлена задача є багато па-
О. I. Борщ, В. I. Гуляєв 15
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 12 – 18
k, M
-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
c,
C
-1
-1000
-500
0
500
1000
c1
c3
k1
*
c2
c4
Рис. 4. Дисперсiйнi кривi при ω=0, V =10 м/с,
Mz =4.2·107 Н·м, T =2·10
6 Н
k, M
-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
v,
M
/C
-750
-500
-250
0
250
500
750
v1
v3
v2
v4
Рис. 5. Залежностi фазових швидкостей спiральних
хвиль вiд хвильвого числа k при ω=0, V =10 м/с,
Mz =4.2·107 Н·м, T =2·10
6 Н
раметричною, проаналiзуємо спецiальнi випадки,
прирiвнюючи до нуля деякi з характерних вели-
чин. Спочатку вважатимемо ω=0, ρl =0. Тодi рiв-
ностi (7), (8) набувають вигляду
c1,2 = ± k√
ρF
√
EIk2 + Mzk + T ,
c3,4 = ± k√
ρF
√
EIk2 − Mzk + T .
(9)
На рис. 2 наведенi вiдповiднi залежностi частот c1
i c3 вiд хвильового числа k. Частоти c2 i c4 не пока-
занi, тому що вони вiдрiзняються вiд c1 i c3 лише
знаком. З графiка видно, що функцiя c1(k) є глад-
кою неперервною кривою, у той час як функцiя
c3(k) не має дiйсних значень у дiапазонi k∗
1 <k<k∗
2
(k∗
1 =0.05 м−1, k∗
2 =0.865 м−1).
k, M
-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
c,
C
-1
-1000
-500
0
500
1000
c1
c3
k1
* k2
*
c2
c4
Рис. 6. Дисперсiйнi кривi при ω=0, V =10 м/с,
Mz =4.2·107 Н·м, T =−2·10
6 Н
Фазовi швидкостi vi поширення хвиль у систе-
мi координат Oxyz, що обертається, визначаються
рiвностями
v1,2 =
c1,2
k
= ±
√
EIk2 + Mzk + T
ρF
,
v3,4 =
c3,4
k
= ±
√
EIk2 − Mzk + T
ρF
.
(10)
Графiки vi(k) представленi на рис. 3. Зазначимо,
що при k=0 всi швидкостi однаковi. Зi збiльшен-
ням k вони починають вiдрiзнятись, причому в дi-
апазонi k∗
1 <k<k∗
2 v3, v4 стають комплексними. То-
му хвилi у формi лiвих спiралей у цьому дiапазо-
нi поширюватися не можуть. Усi кривi симетричнi
вiдносно осi абсцис. Це означає, що i лiвi, i правi
спiралi не змiнюють значень швидкостей при змiнi
напрямку руху.
Якщо всерединi труби в додатному напрямку осi
Oz рухається рiдина зi швидкiстю V =10 м/с, то
дисперсiйнi кривi ci(k) набувають форм, зображе-
них на рис. 4: при k<k∗
1 частоти c3 i c4 не мають
дiйсних значень, тому в цiй областi хвилi з фа-
зовими швидкостями v3, v4 не можуть поширю-
ватись. Залежностi швидкостей vi вiд хвильового
числа представленi на рис. 5.
Як показали обчислення, залежностi ci(k) та
vi(k) не зазнають суттєвих змiн при зняттi по-
здовжньої сили T i наданнi трубi обертального
руху зi швидкiстю ω=4 рад/c. Однак, якщо тру-
бу стиснути поздовжньою силою T =−2·106 Н, то
циклiчнi частоти c1, c2 набувають комплексних
значень при k<k∗
1 =0.0401 м−1, а c3, c4 – при
k<k∗
2 =0.96156 м−1 (рис. 6). Звiдси випливає, що
при k<k∗
1 у стержнi не можуть поширюватись нi
16 О. I. Борщ, В. I. Гуляєв
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 12 – 18
k, M
-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
c,
C
-1
-500
-250
0
250
500
c1
c3
c2
c4
k, M
-1
0 0.15 0.3 0.45 0.6
c,
C
-1
-50
-25
0
25
50
c1 c3
c2
c4
а б
Рис. 7. Дисперсiйнi кривi при ω=4 рад/c, V =10 м/с, Mz =0, T =−2·10
6 Н
k, M
-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
v,
M
/C
-400
-200
0
200
400
v1
v3
v2
v4
k, M
-1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
v,
M
/C
-150
-100
-50
0
50
100
150
v1
v3
v2
v4
а б
Рис. 8. Залежностi фазових швидкостей спiральних хвиль вiд хвильвого числа k
при ω=4 рад/c, V =10 м/с, Mz =0, T =−2·10
6 Н
право-, нi лiвогвинтовi спiральнi хвилi.
Рис. 7 iлюструє випадок, коли крутильний мо-
мент вiдсутнiй (Mz =0) i трубчастий стержень сти-
снутий (T =−2·106 Н). Видно, що при таких зна-
ченнях характерних параметрiв рiзниця мiж ча-
стотами c1, c3 i c2, c4 зменшилась, i кривi c1(k),
c3(k) та c2(k), c4(k) попарно не зливаються при
k→∞ (рис. 7, а). На рис. 7, б цi ж залежностi по-
данi в бiльш крупному масштабi при невеликих
значеннях k. Представленi на рис. 8 вiдповiднi за-
лежностi vi(k) також мають однаковий характер,
а при великих значеннях k кривi для v1 i v3 (v2 i
v4) попарно асимптотично наближаються одна до
одної.
ВИСНОВКИ
1. Розглянуто задачу про вiльнi гармонiчнi коли-
вання нескiнченного попередньо напруженого
поздовжньою силою i крутильним моментом
трубчастого стержня з внутрiшнiми потоками
рiдини, що обертається.
2. Встановлено, що коливальнi рухи такої систе-
ми можуть бути реалiзованi тiльки у формi
бiжучої спiральної хвилi.
3. Дисперсiйний аналiз рiвнянь руху стержня
показав, що для кожного значення хвильово-
го параметра iснує чотири хвилi, двi з яких
О. I. Борщ, В. I. Гуляєв 17
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 12 – 18
мають вигляд лiвої спiралi, а двi – правої. Цi
хвилi поширюються з рiзними швидкостями в
рiзних напрямках. Побудованi аналiтичнi ви-
рази для визначення фазових швидкостей.
4. Отриманi розв’язки можуть бути використанi
для оцiнювання динамiчної поведiнки колон
глибокого бурiння.
ПОДЯКИ
Робота виконана в рамках держбюджетної те-
ми N 59 “Теоретичне дослiдження мiцностi та ко-
ливань трубчастих колон глибокого бурiння”, яка
фiнансується Мiнiстерством освiти i науки Украї-
ни.
1. Крауфорд Ф. Волны.– М.: Наука, 1976.– 528 с.
2. Гуляев В. И., Гайдайчук В. В., Соловьев И. Л.,
Горбунович И. В. Квазистатические критические
состояния колонн глубокого бурения // Пробл.
прочн.– 2006.– N 5.– С. 109–119.
3. Гуляев В. И., Гайдайчук В. В., Соловьев И. Л.,
Горбунович И. В. Квазистатические и динамиче-
ские критические состояния колонн глубокого бу-
рения // Автоматизация, телемеханизация и связь
в нефтяной промышленности.– 2006.– N 10.– С. 25–
32.
4. Tucker W. R., Wang C. An integrated model for drill-
string dynamics // J. Sound Vib.– 1999, 224, N 1.–
P. 123–165.
5. Vaz M. A., Patel M. H. Analysis of drill strings in
vertical and deviated holes using the Galerkin techni-
que // Engng Struct.– 1995, 17, N 6.– P. 437–442.
6. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы
по сопротивлению материалов.– М.: Наука, 1967.–
237 с.
7. Циглер Г. Основы теории устойчивости
конструкций.– М.: Мир, 1971.– 192 с.
8. Рабинович М. К., Трубецков Д. И. Введение в те-
орию колебаний и волн.– М.: Наука, 1984.– 432 с.
9. Лурье А. И. Аналитическая механика.– М.: Фи-
зматгиз, 1961.– 824 с.
10. Гуляев В. И., Гайдайчук В. В., Кошкин В. Л.
Упругое деформирование, устойчивость и колеба-
ния гибких криволинейных стержней.– К.: Наук.
думка, 1992.– 344 с.
11. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости
движения.– М.: Наука, 1976.– 320 с.
18 О. I. Борщ, В. I. Гуляєв
|