Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя

Проведен анализ особенностей распределения вносимой энергии между различными распространяющимися модами в упругом полуслое при его антисимметричных колебаниях. Рассмотрены как вынужденные колебания, так и процесс отражения первой и второй мод от свободного торца. Показано существование существенной...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
Hauptverfasser:	Городецкая, Н.С., Гринченко, В.Т., Старовойт, И.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2007
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1045
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя / Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 42-54. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-1045
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-10452008-10-20T18:40:56Z Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя Городецкая, Н.С. Гринченко, В.Т. Старовойт, И.В. Проведен анализ особенностей распределения вносимой энергии между различными распространяющимися модами в упругом полуслое при его антисимметричных колебаниях. Рассмотрены как вынужденные колебания, так и процесс отражения первой и второй мод от свободного торца. Показано существование существенной частотной зависимости энергии, которую переносит данная мода. Энергоемкость конкретной волны зависит от частоты и вида нагрузки. Проведено аналіз особливостей розподілу внесеної енергії між різними нормальними хвилями, які поширюються у пружному півшарі при його антисиметричних коливаннях. Розглянуто як вимушені коливання, так і відбиття першої та другої мод від вільного краю півшару. Показане існування істотної частотної залежності енергії, яку переносить певна хвиля, що поширюється. Енергоємність конкретної моди залежить від частоти й типу навантаження. The paper deals with analyzing the features of the input energy distribution among different propagating modes in the elastic semi-layer at its antisymmetric vibration. Both the forced oscillation, and reflection of the first and second waves from the free end are considered. The significant frequency dependence of the energy transferred by a certain propagating wave is shown. Power consumption of the particular mode depends on frequency and type of loading. 2007 Article Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя / Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 42-54. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1045 539.3 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Проведен анализ особенностей распределения вносимой энергии между различными распространяющимися модами в упругом полуслое при его антисимметричных колебаниях. Рассмотрены как вынужденные колебания, так и процесс отражения первой и второй мод от свободного торца. Показано существование существенной частотной зависимости энергии, которую переносит данная мода. Энергоемкость конкретной волны зависит от частоты и вида нагрузки.
format	Article
author	Городецкая, Н.С. Гринченко, В.Т. Старовойт, И.В.
spellingShingle	Городецкая, Н.С. Гринченко, В.Т. Старовойт, И.В. Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя
author_facet	Городецкая, Н.С. Гринченко, В.Т. Старовойт, И.В.
author_sort	Городецкая, Н.С.
title	Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя
title_short	Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя
title_full	Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя
title_fullStr	Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя
title_full_unstemmed	Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя
title_sort	особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2007
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1045
citation_txt	Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя / Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 42-54. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gorodeckaâns osobennostivozbuždeniânormalʹnyhvolnpriizgibnyhkolebaniâhpolusloâ AT grinčenkovt osobennostivozbuždeniânormalʹnyhvolnpriizgibnyhkolebaniâhpolusloâ AT starovojtiv osobennostivozbuždeniânormalʹnyhvolnpriizgibnyhkolebaniâhpolusloâ
first_indexed	2025-07-02T04:35:26Z
last_indexed	2025-07-02T04:35:26Z
_version_	1836508435313590272
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 УДК 539.3 ОСОБЕННОСТИ ВОЗБУЖДЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН ПРИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПОЛУСЛОЯ Н. С. Г О РО Д ЕЦ К А Я, В. Т. Г РИ Н Ч Е Н К О, И. В. СТА РО В ОЙ Т Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 20.06.2007 Проведен анализ особенностей распределения вносимой энергии между различными распространяющимися мода- ми в упругом полуслое при его антисимметричных колебаниях. Рассмотрены как вынужденные колебания, так и процесс отражения первой и второй мод от свободного торца. Показано существование существенной частотной зависимости энергии, которую переносит данная мода. Энергоемкость конкретной волны зависит от частоты и вида нагрузки. Проведено аналiз особливостей розподiлу внесеної енергiї мiж рiзними нормальними хвилями, якi поширюються у пружному пiвшарi при його антисиметричних коливаннях. Розглянуто як вимушенi коливання, так i вiдбиття першої та другої мод вiд вiльного краю пiвшару. Показане iснування iстотної частотної залежностi енергiї, яку переносить певна хвиля, що поширюється. Енергоємнiсть конкретної моди залежить вiд частоти й типу навантаження. The paper deals with analyzing the features of the input energy distribution among different propagating modes in the elastic half-layer at its antisymmetric vibration. Both the forced oscillation, and reflection of the first and second waves from the free end are considered. The significant frequency dependence of the energy transferred by a certain propagating wave is shown. Power consumption of the particular mode depends on frequency and type of loading. ВВЕДЕНИЕ Широкое использование ультразвуковых мето- дов неразрушающего контроля стимулирует ис- следования, направленные на углубление пони- мания свойств волн Лэмба в упругих волново- дах, которыми переносятся возмущения во мно- гих элементах конструкций. Этого можно достичь, проводя тщательный сравнительный анализ ко- личественных данных, полученных при решении сложных граничных задач динамической теории упругости для различных типов нагружения, и устанавливая связи между энергетическими и ки- нематическими характеристиками мод. Сложность граничных задач динамической тео- рии упругости для конечного волновода стимули- ровала развитие различных подходов к построе- нию их решений. Отметим, что последние работы в этой области посвящены разработке комбиниро- ванных численно-аналитических методов, обеспе- чивающих уменьшение объема и повышение то- чности вычислений и, главное, упрощающих каче- ственный анализ результатов. Это направление ис- следований представлено, например, комбиниро- ванными методами граничных элементов и одно- родных решений [1], конечных элементов и одноро- дных решений [2], “mode-exciting method” [3]. При этом основой рассмотрения динамических процес- сов является представление о модовой структуре волнового поля и данные об особенностях обмена энергией между продольными и сдвиговыми вол- нами при отражении их от свободной или защем- ленной границы. Особо следует выделить класс задач, связанных с рассмотрением упругих волн в полуограничен- ных телах типа полуслоя и полуцилиндра, ведь на такой простейшей геометрии удается устано- вить специфические особенности распространения упругих волн, не имеющие аналога в акустических волноводах. Большинство ранних работ, посвященных этой тематике, связано с исследованием явления кра- евого резонанса – эффекта локализации волно- вых движений вблизи свободного торца [4 – 7]. В упругом полуслое краевой резонанс изучался при симметричных относительно срединной поверхно- сти колебаниях в области частот, когда существу- ет только одна распространяющаяся волна. Это дало возможность сформировать довольно строй- ную картину характера движения у торца полу- слоя и дать достаточно полное физическое объя- снение причин возникновения краевого резонан- са [8 – 10]. Знание модовой структуры волнового поля по- зволяет анализировать характер движения у тор- ца полуслоя для двух типичных случаев возбужде- ния волн – с помощью падающей из бесконечности нормальной волны и внешней гармонической на- грузки на торце. Для упругого волновода, в отли- чие от акустического, отражение падающей нор- мальной волны от торца является сложным про- цессом, при котором энергия падающей нормаль- 42 c© Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт, 2007 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 ной волны перераспределяется между неодноро- дными (реактивная составляющая) и бегущими (активная составляющая) волнами. Заметим, что в большинстве работ рассматривались только сим- метричные колебания для фиксированного значе- ния коэффициента Пуассона. На частотах, где в волноводе существует не- сколько бегущих волн, распределение энергии пер- вой падающей волны между ними при отражении рассматривалось методом вариаций [11], методом проекций [12] и методом граничных элементов [1]. Для случая полуслоя с защемленным торцом энер- гетика этого процесса изучалась в работах [12,13]. При вынужденных колебаниях под действием нормальной равномерной нагрузки на торце рас- пределение энергии, поступающей в полуслой, ме- жду различными распространяющимися модами рассматривалось в [14]. Такая граничная задача исследовалась в [15] методом суперпозиции при изучении краевого резонанса, а в [16] – с точки зре- ния изучения возможности сформулировать дина- мический аналог принципа Сен-Венана при выну- жденных колебаниях под действием самоуравно- вешенной и несамоуравновешенной нагрузок. Количественный анализ распределения энергии между различными распространяющимися волна- ми для обоих типов возбуждения колебаний и обоих типов идеальных граничных условий на тор- це показал наличие существенной частотной зави- симости энергетических вкладов разных распро- страняющихся волн. При этом в диапазоне, ле- жащем ниже частоты запирания четвертой рас- пространяющейся волны, практически вся энер- гия уносится от торца только одной распростра- няющейся волной. Однако на разных частотах мо- гут доминировать разные моды. Так, первая нор- мальная волна переносит всю энергию вплоть до частоты Ω∗, на которой первый комплексный ко- рень вырождается в действительный, и в отра- женном поле появляются три бегущие волны. В области между Ω∗ и Ω2k (Ω2k – частота запира- ния для второй распространяющейся моды) вклад первой нормальной волны падает, а энергоемкость второй и третьей волн возрастает как при выну- жденных колебаниях, так и при отражении падаю- щей волны от торца. Более того, и при свободном, и при защемленном торцах энергоемкость первой нормальной волны падает при появлении распро- страняющихся мод высших порядков. Если часто- та становится больше частоты запирания для тре- тьей нормальной волны, доминирующий тип моды определяется типом возбуждения и граничными условиями на торце. Впервые некоторое объяснение причин разли- чного возбуждения бегущих волн при фиксиро- ванной нормальной нагрузке на торце, было пред- ставлено в работе Торвика [14], который устано- вил, что степень возбуждения моды связана с со- гласованностью распределения нагрузки и распре- деления нормального напряжения в распростра- няющейся волне по высоте. Для случая антисимметричных колебаний по- луслоя распределение энергии по бегущим мо- дам практически не анализировалось, хотя коли- чественные данные приводились в ряде работ в связи с разработкой методов решения граничных задач [1,3,17 –19]. Изгибные деформации полуслоя при отражении первой нормальной волны от тор- ца в связи с поиском аналога краевого резонанса изучались в [20]. Статьи [18, 19] следует отметить особо, так как в них содержатся обширные экспе- риментальные сведения об амплитудах возбужде- ния нормальных волн. В этой работе изучаются особенности распре- деления энергии по распространяющимся модам при отражении нормальных волн, а также при вынужденных антисимметричных колебаниях по- луслоя. Основное внимание сосредоточено на ана- лизе физических причин, вызывающих перерас- пределение вносимой в волновод энергии между различными распространяющимися модами. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим плоскую задачу определения волно- вого поля в изотропном при плоской деформации полубесконечного упругого слоя (\|Y \|≤H, Z≥0, −∞>X >∞) с заданными модулем сдвига µ, ко- эффициентом Пуассона ν и плотностью ρ. Выбор системы координат и геометрия области показаны на рис. 1. Волны предполагаются гармоническими с круговой положительной вещественной частотой ω; зависимость от времени кинематических и си- ловых характеристик поля задается множителем e−iωt, который опускается в последующих выклад- ках. Рассматривается антисимметричное относи- тельно плоскости Y =0 волновое поле. При постро- ении решения вводятся безразмерные координаты y=Y/H , z=Z/H . Рассмотрим два случая возбуждения волново- го поля в волноводе. Для начала изучим процесс отражения приходящих из бесконечности распро- страняющихся нормальных волн u (0)(y, z) от сво- бодного от напряжений торца (рис. 1). Для нахож- дения характеристик отраженных волн u (1)(y, z) необходимо решить следующую граничную зада- Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт 43 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 1 -1 y z yy=0 yz=0 yy=0 yz=0 zz =2 f( y) zy =0 Рис. 1. Геометрия задачи чу для уравнений движения Ламе [21]: σzz(y, 0)+σ(0) zz (y, 0)=0, z=0, \|y\|≤1, τzy(y, 0)+τ (0) zy (y, 0)=0, z=0, \|y\|≤1, σyy(±1, z)=τyz(±1, z)=0, y=±1, z≥0. (1) Индекс 0 соответствует падающей волне, напря- жения в которой задаются в форме σ (0) zz 2µ = iC0 ( (ξ2 + α2 2) 2α1 (ξ2 + Ω2 0)α1 sh α1y sh α1 − −ξ2α2 sh α2y ch α2 − ) e−iξz, τ (0) zz 2µ = C0ξ ξ2 + α2 2 2 ( ch α2y ch α2 − ch α1y ch α1 ) e−iξz. (2) Постоянная распространения ξ соответствует дей- ствительному корню дисперсионного уравнения, которое для антисимметричных колебаний изо- тропного бесконечного слоя со свободными по- верхностями имеет вид ∆(ξ) = ξ2α2th α2 − (2ξ2 − Ω2) 2 th α1 4α1 = 0. (3) Здесь αj =      √ ξ2 − Ω2 j , \|ξ\| ≥ Ωj , −i √ Ω2 j − ξ2, \|ξ\| < Ωj ; (4) Ω1 =ωh/cl; Ω2 =ωh/cs; cl и cs – скорости продоль- ной и поперечной волн соответственно. В случае вынужденных колебаний для опреде- ления характеристик генерируемого волнового по- ля u(y, z) следует решить задачу с граничными условиями σzz 2µ = f(z), τzz 2µ = φ(z). (5) Заметим, что везде поверхности y=±1 счита- ются свободными от напряжений. Дополнитель- но к граничным условиям (1) должны выполня- ться условия излучения, заключающиеся в том, что каждая распространяющаяся нормальная вол- на уносит энергию от торца полуполосы на беско- нечность. В дальнейшем количественные характеристики волновых полей будут нормироваться на амплиту- ду падающей волны C0 или на величину внешней нагрузки на торце S0. 2. МЕТОД РЕШЕНИЯ Применим метод суперпозиции [21], в рамках ко- торого построим решение граничной задачи для антисимметричных колебаний волновода. Следуя общей схеме метода [17], компоненты вектора сме- щений (z ≥ 0) представим в виде u(1) y = − ∞ ∑ k=1 ( Akβke−q1z + Bkq2e −q2z ) × × cos βky + 1 2π ∞ ∫ −∞ x(τ )Uy(τ, y)eiτzdτ, u(1) z = − ∞ ∑ k=1 ( Akq1e −q1z + Bkβke−q2z ) × × sin βky − i 2π ∞ ∫ −∞ x(τ )Uz(τ, y)eiτzdτ (6) с неизвестными постоянными Ak, Bk (k=1, 2, . . .) и функцией x(τ ). Кроме того, здесь положено Uy(τ, y)=τ2 ch p2y ch p2 − (τ2 + p2 2) 2 ch p1y ch p1 ; Uz(τ, y)=−τ ( p2 sh p2y ch p2 − (τ2+p2 2) 2 sh p1y ch p1 ) , (7) 44 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 pj =      √ τ2 − Ω2 j , \|τ \| ≥ Ωj, −i √ Ω2 j − τ2, \|τ \| < Ωj; qj =        √ β2 k − Ω2 j , \|βk\| ≥ Ωj , −i √ Ω2 j − β2 k , \|βk\| < Ωj ; βk = 2k − 1 2 π. Представление (6) выбрано таким образом, чтобы условие отсутствия касательных напря- жений на поверхностях y=±1 удовлетворялось автоматически. Выполнение оставшихся грани- чных условия приводит к системе интегро- алгебраических уравнений относительно неизвест- ных yk =(−1)kβkBk, k=1, 2, . . . и функции x(τ ), причем Ak = −Bk β2 k + q2 2 2βkq1 − (−1)k φk βkq1 . Указанная система имеет следующий вид: x(τ )∆(τ )− ∞ ∑ k=1 ykck(τ )= ∞ ∑ k=1 φk 2(β2 k +Ω2 0) βk(τ2+q2 1) , ykRk− 1 2π ∞ ∫ −∞ x(τ )dk(τ )dτ =fk, k=1, 2, . . . (8) Здесь введены обозначения ck = (β2 k + Ω2 0)(β 2 k + q2 2) β2 k(β2 k + p2 1) − 2q2 2 β2 k + p2 2 ; dk = (τ2 + Ω2 0)(τ 2 + p2 2) β2 k + p2 1 − 2τ2p2 2 β2 k + p2 2 ; Rk = q2 − (β2 k + q2 2) 2 4β2 kq1 ; (9) ∆(τ ) – определитель Рэлея – Лэмба (3). Для вынужденных колебаний нагрузка раскла- дывается в ряд Фурье: f(z) = ∞ ∑ k=1 (−1)kfk sin βkz , φ(z) = ∞ ∑ k=1 (−1)kφk cos βkz. В случае возбуждения волнового поля падающей волной справедливо φk = −ξ(2ξ2 − Ω2 2)βk ( 1 β2 k + p2 2 − 1 β2 k + p2 1 ); fk = −2i ( (ξ2 + p2 2)(ξ 2 + Ω2 0) 2(β2 k + p2 1) − ξ2p2 2 β2 k + p2 2 . Алгоритм решения системы (8) аналогичен при- веденному в [8, 17]. Отметим только, что при ее редуцировании использовались асимптотики lim k→∞ yk = a0, lim τ→∞ x(τ )t2 = a0. Для замыкания конечной системы использовались соотношения yK = a0. (10) Решение граничной задачи, полученное по ме- тоду суперпозиции, можно следующим образом представить через нормальные волны: u(y, z) = ∞ ∑ j=1 Cju(ξj, y)eiξj z, (11) где u(ξj , y)={Uy(ξj , y), Uz(ξj , z)}, а ξj – корни уравнения Рэлея – Лэмба (3). Коэффициенты воз- буждения нормальных волн находятся с учетом соотношений Cj = 1 ∆′(ξj) × × ( ∞ ∑ k=1 ykak(ξj) + ∞ ∑ k=1 φk 2(β2 k + Ω2 0) βk(ξ2 j + q2 1) ) . (12) Главным критерием качества решения, получен- ного в результате редукции системы, являлся кон- троль за точностью выполнения граничных усло- вий. При k=1, . . . , 15 и ограничении верхнего пре- дела в интегралах до T =150 (для τ >150 исполь- зовались асимптотические представления для по- дынтегральных функций) граничные условия на торце выполнялись с точностью до 1.0% заданных напряжений, а на поверхностях y=±1 – до 0.2%. Дополнительным критерием достоверности ре- зультатов был контроль за выполнением закона со- хранения энергии, согласно которому энергия, по- ступающая в волновод, равна энергии, уносимой распространяющимися волнами. В случае выну- жденных колебаний средний за период поток мощ- ности, поступающий в полуслой, определяется со- Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт 45 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 Re -3 -2 -1 0 Im -6-5-4 -3-2-1 0 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4* Рис. 2. Дисперсионные кривые изгибных мод Лэмба для ν = 0.3 21 2 3 4 E 0 0.5 1 1.5 2 Рис. 3. Частотная зависимость подведенной за период к полубесконечному слою энергии для нагрузки σzz(y, 0)=2µ sin(πy/2), τzy(y, 0)=0 отношением W 0 = −µω ( − Ω2 2 2 ∞ ∑ k=1 fk Im yk β2 k + ∞ ∑ k=1 φk× × [ Im ( yk( q2 βk − β2 k + q2 2 2β1 ) ) − φkIm 1 q1 ] + + 1 2π 1 ∫ −1 ∞ ∑ k=1 (−1)kφkcosβky× ×Im [ ∞ ∫ −∞ x(τ )Uy(τ, y)dτ ] ) . (13) Средний за период поток мощности, уносимый распространяющимися волнами, будет W = J ∑ j=1 Wj , Wj = µω Ω2 2 2 \|Cj\| 2∆′(ξj). (14) Здесь J – количество распространяющихся волн, которые могут существовать на данной частоте; Wj – поток мощности, переносимый j-ой волной. Закон сохранения энергия при расчетах выполнял- ся с точностью до 99.91 % величины W 0. 3. АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ДАННЫХ Перейдем к анализу результатов вычислений, характеризующих волновое поле при антисимме- тричных колебаниях полуслоя. На рис. 2 пред- ставлены дисперсионные кривые для антисимме- тричных волн в бесконечном слое для ν =0.3. Ци- фры возле кривых обозначают порядковые номе- ра нормальных волн (мод). Рассматривается диа- пазон частот, в котором могут существовать три нормальные распространяющиеся волны – в него входит участок 4∗ с “обратной” волной. 3.1. Вынужденные колебания Выбирая характер возбуждения волнового поля в полуслое (5), прежде всего остановимся на нор- мальной нагрузке вида σzz(y, 0) = 2µ sin πy 2 , τzy(y, 0) = 0. По сути, полуслой нагружается изгибающим мо- ментом на торце. На рис. 3 представлена частотная зависимость безразмерной величины E =W/(2µω), которая ха- рактеризует энергию, подведенную к полуслою за период. Прежде всего, отметим сильное измене- ние потребляемой системой энергии с частотой, что при фиксированной амплитуде нагрузки свя- зано с изменением скоростей точек на торце по- луслоя. На рис. 3 четко выражены два пика по- требляемой энергии – при Ω2 =π/2 (частота запи- рания для второй распространяющейся волны) и при Ω2 =4.27. На первый взгляд, эти данные можно интерпре- тировать как указание на существование в рас- сматриваемом частотном диапазоне двух резонан- сных ситуаций. Следует, однако, иметь в виду, что рост энергии, потребляемой системой с рас- пределенными параметрами, может быть обуслов- лен двумя разнородными факторами. Так, увели- чение потребляемой энергии может быть следстви- ем повышения степени согласованности нагрузки 46 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 20 1 2 3 4 Ej/E 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 Рис. 4. Частотная зависимость процентного распределения энергии по нормальным модам (номера кривых соответствуют номерам мод) и формы колебаний. Именно такая ситуация во- зможна в данном случае, поскольку распределе- ние смещений (скоростей) в нормальных волнах существенно зависит от частоты. Кроме того, за- качиваемая энергия может возрастать, если часто- та внешней нагрузки близка к некоторой собствен- ной частоте системы (в случае симметричного вол- нового поля – к частоте краевого резонанса). Роль согласованности нагрузки и формы коле- баний наглядно иллюстрируется данными о ра- спределении энергии между бегущими волнами (рис. 4). В отличие от продольных колебаний по- луслоя [14], в данном случае не удается разделить исследуемую частотную полосу на диапазоны, в которых превалировала бы только одна распро- страняющаяся мода. Каждая из волн на разных частотах может оказаться доминирующей, слабо возбуждаемой или переносящей энергию, сопоста- вимую с другими распространяющимися волна- ми. Например, вторая мода переносит более 90% энергии, поступающей в полуслой, в диапазоне 3.3≤Ω2≤3.7 и более 80% – при 4.6 ≤ Ω2 ≤ 4.72. Вблизи своих частот запирания нормальные моды не всегда являются наиболее энергетически выра- женными. Так, третья мода переносит здесь не бо- лее 40% энергии, поступающей в полуслой. Для трактовки наблюдаемой энергетической картины рассмотрим распределения напряжений по высоте полуслоя на различных частотах, хара- ктерные для разных мод (рис. 5). Рис. 5, а и б со- ответствуют нормальному и касательному напря- жениям для первой нормальной волны, а рис. 5, в и г – для второй. Кривые 1 соответствуют частоте Ω2 =1.0, кривые 2 – Ω2 =1.5, кривые 3 – Ω2 =1.6, кривые 4 – Ω2 =2.0, кривые 5 – Ω2 =3.0, кривые 6 – Ω2 =4.0. Вычисления проведены при фиксиро- ванной амплитуде нагрузки. Следовательно, вели- чины напряжений существенно зависят от степени ее согласованности с распределением напряжений в соответствующих модах. Поэтому для представ- ления данных на одном рисунке приходилось вво- дить масштабирующие множители. В частности, на порядок уменьшены следующие напряжения: на рис. 5, а для кривой 6, на рис. 5, б – для кри- вых 4 и 5, на рис. 5, в и г – для кривых 5 и 6. Для кривой 6 на рис. 5, б представленные значения уменьшены на два порядка. Следует также отме- тить, что кривые 1, 2 для второй моды на рис. 5, в и г дают распределение напряжений ниже часто- ты ее запирания. Сравнение формы приложенной нагрузки σzz(y, 0)=2µ sin π(y/2) и распределения напряже- ний по высоте слоя показывает, что напряжение во второй моде на частотах Ω2 = 1.6 (кривая 3 на рис. 5, в), Ω2 =2.0 (кривая 4 рис. 5, в) и Ω2 =3.0 (кривая 5 на рис. 5, в) больше соответствует ему, чем в первой. Действительно, в первой моде нор- мальное напряжение находится в противофазе к приложенной нагрузке (кривые 1 – 5 на рис. 5, а). В то же время, на частоте Ω2 =4.0 распределение напряжения в первой моде приближается к форме приложенной нагрузки. Как видно из рис. 4, переносимая второй модой энергия превышает энергию первой моды в диапазоне Ω2 =1.9÷4.1. В узкой частотной полосе Ω2 =3.7÷4.6 энергоем- кость первой моды увеличивается, однако и здесь она не становится доминирующей. Несмотря на хорошее согласование формы на- грузки и нормальной компоненты напряжений во второй моде, следует помнить, что граничные условия (5) необходимо выполнить как по нор- мальным, так и по касательным напряжениям. Оценим степень влияния нормальных и касатель- ных составляющих на энергию нормальной волны. Общее выражение для среднего за период пото- ка мощности E через поперечное сечение z=const определяется как [21] W =− iω 4 1 ∫ −1 ( σzzu ∗ z−σ∗ zzuz+τzyu∗ y−τ∗ zyuy ) dy. (15) Поскольку для распространяющейся волны σ∗ zz =−σzz, u∗ z =uz, τ∗ zy =τzy, u∗ y =−uy, то выраже- Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 y0 0.2 0.4 0.6 0.8 zz (1)/2 -6 -4 -2 0 2 1 2 3 4 5 6 y0 0.2 0.4 0.6 0.8 zy (1)/2 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 а б y0 0.2 0.4 0.6 0.8 zz (2)/2 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 y0 0.2 0.4 0.6 0.8 zy (2)/2 0 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 в г Рис. 5. Распределение напряжений по высоте слоя для мод Лэмба: а – нормальное напряжение для первой моды, б – касательное напряжение для первой моды, в – нормальное напряжение для второй моды, г – касательное напряжение для второй моды ние (15) можно переписать в виде W = − ω 2 1 ∫ −1 ( σzzuz − τzyuy ) dy. Нормальное выражение определяется составляю- щей потока мощности Js, а касательное – Jt: Js = 1 ∫ −1 σzzuzdy, Jt = 1 ∫ −1 τzyuydy. На рис. 6 представлены частотные зависимо- сти Jis и Jit. Номера кривых соответствуют но- мерам нормальных мод, индексы s и t относятся к нормальной и касательной составляющим энер- гии. Звездочками обозначена доля полной энер- гии, переносимая первой, а кружочками – второй волной. Как видно из графиков, общая энергия второй моды определяется нормальной составля- ющей. При этом нормальное напряжение в ней по форме наиболее соответствует приложенной на- грузке. Очевидно, именно по этой причине данная мода наиболее энергетически выражена в диапа- зоне π/2≤Ω2≤3.8. При дальнейшем росте часто- ты формы нагрузки и напряжений во второй моде уже существенно разнятся (кривая 6 на рис. 5, в) 48 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 22 3 4 Js,t -300 -200 -100 0 2s 2t 1s 1t 22 3 4 Js,t -40 -20 0 20 2s 2t 1s 1t а б Рис. 6. Составляющие потока мощности для различных мод Лэмба Js = 1 R −1 σzzuzdy, Jt = 1 R −1 τzyuydy (номера кривых соответствуют номерам мод) и первая нормальная волна набирает энергетиче- ский вес. Форма приложенной нагрузки вблизи частоты Ω2 =4.0 оказывается ближе к распреде- лению напряжения в первой волне. Однако в об- щей ее энергии определяющими являются состав- ляющие, связанные с касательными напряжения- ми (см. рис. 6). Поэтому первая мода не становится доминирующей. Рассогласование формы приложенной нагрузки и распределений напряжений в распространяющи- хся модах вблизи частоты Ω2 =4.0 приводит к зна- чительному возбуждению волн с комплексными постоянными распространения. Хотя эти моды не переносят энергию, однако их возбуждение значи- тельно перестраивает волновое поле вблизи торца, что способствует увеличению энергии, поступаю- щей в волновод (см. рис. 3). При дальнейшем росте частоты распределение энергии между распространяющимися волнами еще больше усложняется. На частоте Ω2 =4.72 по- являются “обратная” волна и третья распростра- няющаяся мода. Для ν =0.3 диапазон существова- ния “обратной” волны очень узок, 4.71≤Ω2≤4.712, и в приведенном на графике масштабе он не виден. В отличие от случая симметричных вынужден- ных колебаний [14], “обратная” волна возбуждает- ся слабо. Выше частоты запирания третьей моды ее энергоемкость увеличивается, однако в диапазо- не 3π/2≤Ω2≤5.4 доминирующей остается вторая мода. Более глубокое представление об особенностях 21 2 3 4 5 E 0 1 2 3 4 5 Рис. 7. Частотная зависимость энергии, подведенной за период к полубесконечному слою, для нагрузки σzz(y, 0)=0, τzy(y, 0)=2µ cos(πy/2) изгибного деформирования полуслоя можно полу- чить при рассмотрении нагружения типа перере- зывающей силы. В данном случае оно реализуется заданием распределения касательных напряжений на торце: σzz(y, 0) = 0, τzy(y, 0) = 2µ cos πy 2 . На рис. 7 представлена частотная зависи- мость полной потребляемой полуслоем энергии Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт 49 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 22 3 4 5 Ej/E 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 Рис. 8. Зависимость от частоты процентного распределения энергии по нормальным модам (номера кривых соответствуют номерам мод) E=W/(2µω). При сравнении данных с рис. 3 и 7 в первую очередь обращает на себя внимание то, что энергетическая восприимчивость полуслоя в области низких частот при нагружении перере- зывающей силой оказывается значительно выше, чем при нагружении изгибающим моментом. Еще одним принципиально важным фактом является то, что при изменении типа нагрузки относительный максимум энергопотребления, наблюдавшийся на частоте запирания второй моды (см. рис. 3), исчезает. Таким образом, подтверждается предположение о том, что этот максимум обусловлен высокой степенью со- гласованности характера внешней нагрузки и распределения напряжений в нормальной волне. В то же время, второй относительный максимум на частоте Ω2 =4.5 сохранился. Следовательно, рост энергопотребления колебательной системы здесь обусловлен близостью частоты внешней нагрузки к некоторой характерной (собственной) частоте, которую целесообразно определить как собственную частоту краевой моды для случая антисимметричных колебаний полуслоя. Различие в характере вынуждающей нагрузки сказывается и при рассмотрении энергетической эффективности бегущих волн. На рис. 8 приведе- ны данные о процентном распределении подводи- мой энергии по различным распространяющимся модам. Отличительной особенностью этого графи- ка является резкое увеличение энергии, перено- симой второй модой вблизи своей частоты запи- рания. При дальнейшем росте частоты энергоем- кость этой моды падает и доминировать начинает первая мода. Вблизи частоты Ω2 =4.0 энергия вто- рой моды вновь резко возрастает (в узком часто- тном диапазоне 3.8≤Ω2≤4.4). Третья мода нигде не становится доминирующей и переносит не более 20 % энергии, поступающей в волновод. Для рассматриваемого вида нагрузки (τzy(y, 0)=2µ cos(πy/2), σzz(y, 0)=0) не удае- тся объяснить резкое возрастание переносимой второй модой энергии только за счет согласова- ния ее формы и формы нагрузки. Как видно из рис. 5, б и г (кривые 3, Ω2 =1.6) при появлении второй распространяющейся волны распреде- ление касательных напряжений и в первой, и во второй модах близко к форме приложенной нагрузки. Однако обусловленная касательной составляющей энергия, которую переносит вторая нормальная волна, в J2t/J1t =3.75 раз больше, чем энергия, переносимая касательной составляющей первой волны (см. рис. 6, б). Кроме того, основная часть энергии второй моды сосредоточена в ее нормальной составляющей J2s. Хотя нормальные напряжения для обеих мод на частоте Ω2 =1.6 находятся в противофазе (что соответствует выполнению граничных условий (5)), однако J2s/J1s =49.1, т. е. энергия, переносимая нор- мальной составляющей второй моды, значительно больше, чем первой. При дальнейшем росте часто- ты это отношение монотонно падает. В диапазоне 2.0≤Ω2≤3.8 основная часть энергии переноси- тся первой модой, в которой здесь преобладает касательная составляющая J1t. Проведенный анализ позволяет качественно объяснить перераспределение поступающей в по- луслой энергии между распространяющимися мо- дами, наблюдаемое в определенных частотных ин- тервалах. Однако при рассмотрении количествен- ных данных возникает ряд неясностей. В особен- ности это касается окрестности частоты Ω2 =4.0. Некоторые дополнительные сведения о динамиче- ских свойствах полуслоя можно получить, иссле- дуя “свободные” колебания, т. е. рассматривая про- цесс отражения от торца падающей из бесконечно- сти нормальной волны. 3.2. Отражение распространяющихся мод от свободного торца Рассмотрим отражение первой и второй рас- пространяющихся нормальных волн от свободного торца полуслоя. Прежде всего отметим, что такой вид возбуждения волн качественно отличается от случая вынужденных колебаний. При отражении нормальной волны от свободного торца форма на- 50 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 грузки, которую нужно приложить на торце при формировании отраженного волнового поля (рас- пределение напряжений в падающей волне), зави- сит от частоты. Кроме того, в напряжения в па- дающей волне входят как нормальные, так и каса- тельные составляющие. Рассмотрим вначале отражение первой анти- симметричной распространяющейся волны от сво- бодного торца. На рис. 9 представлено распре- деление потока мощности E=W/(2µω) в падаю- щей волне между распространяющимися отражен- ными волнами. Потоки мощности нормированы на мощность падающей волны. Кривые 1 – 3 описыва- ют частотные зависимости энергии, которую пе- реносит распространяющаяся волна соответству- ющего номера. Кривая 4∗ (см. рис. 9, б, то же для окрестности Ω2 =4.71) описывает частотную зависимость потока мощности в “обратной” волне. В качестве подтверждения достоверности рассма- триваемых оценок отметим, что приведенные дан- ные в соответствующих частотных интервалах хо- рошо согласуются с результатами работы [22] (в ней аналогичная граничная задача решена мето- дом однородных решений) и некоторыми другими количественными оценками [1, 3]. Как видно из графика, наблюдается силь- ная частотная зависимость энергоемкости различ- ных распространяющихся мод в отраженном по- ле. Вторая волна доминирует выше своей ча- стоты запирания в полосе 1.61≤Ω2≤2.95. Пер- вая же нормальная волна, кроме естественного диапазона 0≤Ω2≤π/2, где она является един- ственной распространяющейся, превалирует при 3.15≤Ω2≤4.72. Верхняя граница этого диапазона определяется частотой, при которой начинают ра- спространятся волны более высоких порядков. В отличие от случая продольных колебаний, “обра- тная волна” не становится доминирующей в обла- сти частот своего существования (см. рис. 9, а). При этом вплоть до частоты запирания четвер- той моды Ω2 =5.9 доминирующая волна не выде- ляется, а энергии, переносимые первой и третьей волнами, отличаются не более, чем на 13 %. Сравнивая данные о распределении энергии для вынужденных и “свободных” колебаний (см. рис. 4, 8, 9), следует отметить, что во всех случа- ях после появления второй распространяющейся волны эта мода становится наиболее энергетиче- ски выраженной. Вблизи своей критической ча- стоты Ω2 =π/2 она резко увеличивает энергосо- держание как при отражении волн от свободно- го торца (см. рис. 9), так и в случае вынужден- ных колебаний под действием перевязывающей си- лы. Заметим, что при возбуждении волнового поля нормальными напряжениями на торце нарастание энергии во второй волне с ростом частоты прои- сходит значительно медленнее (см. рис. 4). При падении на торец первой нормальной вол- ны одним из интересных эффектов является то, что в определенном частотном диапазоне в отра- женном поле доминирует вторая волна. Это об- стоятельство заставляет более тщательно рассмо- треть вопрос о согласовании типа нагрузки с про- странственным распределением смещений и ско- ростей в нормальной волне. По-видимому, причи- на перекачки энергии первой волны во вторую со- стоит в том, что в упругом волноводе невозмо- жно одновременно выполнить граничные условия по нормальным и касательным напряжениям на торце за счет простого наложения отраженной волны того же типа с измененной фазой. Особое внимание привлекает существование в рассматри- ваемом диапазоне частот, для которых происхо- дит полное превращение энергии падающей волны одного типа в энергию отраженной волны друго- го типа (например, при Ω2 =1.85, (см. рис. 9, а). Отметим, что, согласно результатам, приведенным в [12], при отражении первой симметричной вол- ны от свободного торца также существует часто- та, на которой она полностью отсутствует в отра- женном поле. Это – важная характерная черта процесса отражения волн в упругих волноводах, отличающая их от акустических. Вновь обратив- шись к рис. 6, замечаем, что подобная структура отраженного поля формируется в тех случаях, ко- гда в падающей волне составляющие потока энер- гии, переносимой нормальными и касательными напряжениями, имеют один порядок. Рис. 6 также указывает на существование часто- тных диапазонов, в которых энергия в нормальной волне переносится преимущественно только нор- мальными или только касательными напряжени- ями. В этом случае следует ожидать, что в отра- женном поле энергетически доминировать будет волна того же типа, что и падающая. Так, в диа- пазоне частот 3.0≤Ω2≤3.8, для которого в первой нормальной волне энергия переносится касатель- ными напряжениями (см. рис. 6), она доминирует и в отраженном поле (см. рис. 9, а). Рассмотрение данных об отражении второй нор- мальной волны в значительной мере подтвержда- ет сделанные выводы. Эта волна становится рас- пространяющейся, начиная с частоты Ω2 =π/2. На рис. 10 представлена частотная зависимость со- ответствующего среднего за период потока мощ- ности Ej =W/(2µω) для различных отраженных распространяющихся мод (использовалась норми- ровка на мощность падающей волны). Как и в Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт 51 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 21 2 3 4 5 Ej/E0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 24.71 4.715 Ej/E0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 4* а б Рис. 9. Частотная зависимость процентного распределения энергии по нормальным модам при отражении первой нормальной волны от торца (номера кривых соответствуют номерам мод) 22 3 4 Ej 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 Рис. 10. Частотная зависимость процентного распределения энергии по нормальным модам при отражении второй нормальной волны от свободного торца (номера кривых соответствуют номерам мод) падения на торец первой антисимметричной вол- ны, при возбуждении полуполосы высшими мо- дами наблюдается ярко выраженная зависимость энергоемкости отраженной моды от частоты. Отличительной особенностью отражения вто- рой антисимметричной моды от свободного торца является то, что вблизи частоты запирания вто- рой моды, последняя быстро теряет свою интен- сивность и в диапазоне частот 1.59≤Ω2≤2.9 боль- шая часть энергии, поступающей в полуслой, пе- реносится первой модой (см. рис. 10). Аналогич- ная картина наблюдается и при отражении первой волны. Вблизи частоты запирания второй волны в отраженном поле вторая волна становится доми- нирующей почти сразу после возникновения. К со- жалению, в настоящее время трудно предложить качественное объяснение обоим эффектам. Как и при отражении от свободного торца пер- вой волны, в системе существуют частоты, на ко- торых падающая волна вырождается полностью – Ω2 =1.85. Отметим, что при отражении первой мо- ды на этой же частоте в отраженном поле полно- стью исчезает первая мода. При отражении второй моды от свободного торца первая мода не возбуж- дается на частотах Ω2 =3.9 и 4.4. Отметим еще один интересный результат, сле- дующий из сравнения рис. 9, а и 10. В диапазоне частот, когда в полуполосе существуют только две бегущие антисимметричные волны, оба графика практически повторяют друг друга с точностью до замены номера кривой (так, кривая 1 на рис. 9, а соответствует кривой 2 на рис. 10). Это замеча- тельное подобие позволяет сформулировать некое правило взаимности. Будем характеризовать про- цесс отражения первой нормальной волны от сво- бодного торца волновода зависящим от частоты коэффициентом трансформации энергии во вто- рую нормальную волну λ12 (т. е. W2 =λ12(Ω2)W1). По сути, для этого частотного диапазона кривая 2 на рис. 9, а представляет величину λ12. Здесь она с графической точностью совпадает с кривой 1 на 52 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 рис. 10, которая дает коэффициент трансформа- ции энергии из второй моды в первую λ21. Тогда можно считать, что λ12 =λ21. Это равенство тем более интересно, что оно не имеет аналога в случае симметричных волновых движений в полуполосе. Для более высокочастотной области, когда суще- ствуют три бегущие волны, установленное правило взаимности нарушается и проявляются иные спе- цифические особенности процесса отражения вто- рой нормальной волны от свободного торца. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Рассмотрены частотные зависимости энергии, которую переносят различные распространяющи- еся моды при антисимметричных колебаниях по- луслоя. Изучены вынужденные колебания систе- мы под воздействием нормальной нагрузки ви- да σzz =2µ sin(πy/2) и касательной нагрузки вида τzy =2µ cos(πy/2) на торце. Кроме того, исследо- ван более сложный в физическом плане процесс возбуждения волнового поля – отражение первой и второй нормальных волн от свободного торца. В этом случае характер нагрузки изменяется с частотой. Установлено, что независимо от вида нагрузки наблюдается значительная зависимость энергии, переносимой различными распространя- ющимися модами, от частоты. При этом часто- тные интервалы, в которых данная мода наиболее энергетически выражена, определяются видом на- грузки. В отличие от возбуждения симметричных волн равномерной нагрузкой на торце полуслоя [14], при вынужденных антисимметричных колебаниях простой связи между распределением напряжений в наиболее энергоемкой моде и характером внеш- ней нагрузки не наблюдалось. Предложен иной критерий определения энергетического веса мо- ды – согласованность между нормальной (Jjs) и касательной (Jjt) компонентами энергии отражен- ной волны и нагрузкой. Показано, что использо- вание критерия согласованности не дает полного качественного объяснения структуры отраженно- го волнового поля вблизи частоты запирания вто- рой моды и собственной частоты системы. При изучении отражения нормальных волн от свободного торца найдены частоты, на которых в отраженном поле полностью отсутствует вол- на типа падающей. Примечательно, что при отра- жении как первой, так и второй моды значение этой частоты одно и то же: Ω2 =1.85. Сравнение энергетических характеристик процесса отраже- ния для обоих случаев позволило установить пра- вило взаимности для диапазона частот, в котором существуют только две распространяющиеся мо- ды. Для полного понимания процессов обмена энер- гией между различными нормальными волнами следует провести более тщательный анализ кине- матики частиц вблизи торца поуслоя. 1. Cho Y. H., Rose J. L. A boundary element solution for a mode conversion study on the edge reflection of Lamb waves // J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.– 99, N 4, Pt.1.– С. 2097–2109. 2. Koshiba M., Karakida S., Suzuki M. Finite-element analysis of Lamb waves scattering in an elastic plate waveguide // IEEE Trans. SU.– 1984.– 31.– С. 18– 25. 3. Gunawan A., Hirose S. Mode-exciting method for Lamb wave-scattering analysis // J. Acoust. Soc. Amer.– 2004.– 115, N 3.– С. 996–1005. 4. Shaw E. A. G. On the resonant vibration of thi- ng barium titanate disks // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.– 20, N 1.– С. 38–50. 5. Gazis D. C., Mindlin R. D. Extentional vibration and waves in a circular disk and semi-infinite plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 1960.– 27, N 3.– С. 541–547. 6. Гринченко В. Т.,Мелешко В. В. О резонансе в полубесконечной упругой полосе // Прикл. мех.– 1980.– 16, N 2.– С. 58–63. 7. Auld B. A.,Tsao E.J. A variational analysis of edge resonance in semi-infinite plate // IEEE Trans. SU.– 1977.– 24, N 5.– С. 317–326. 8. Городецкая Н. С. Еще раз о краевом резонансе // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, N 4.– С. 35–44. 9. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С. Анализ физи- ческих особенностей явления краевого резонанса в упругих телах // Акуст. вiсн.– 2004.– 7, N 1.– С. 30–43. 10. Гринченко В. Т. Эффекты локализации волновых движений в упругих волноводах // Прикл. мех.– 2006.– 41, N 9.– С. 38–45. 11. Torvic P. J. Reflection of wave trains in semiinfinite plates // J. Acoust. Soc. Amer.– 1967.– 41, N 2.– С. 346–353. 12. Gregory R. D., Gladwell I. The reflection of a symmetric Rayleigh-Lamb wave at fixed or free edge of a plate // J. of Elasticity.– 1984.– 20, N 9.– С. 12– 16. 13. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С. Трансформа- ция энергии падающей волны при отражении от защемленного торца полуполосы // Прикл. мех.– 1991.– 27, N 5.– С. 77–82. 14. Torvic P. J., McClatchey J. J. Response of an elastic plate to a cyclic longitudinal force // J. Acoust. Soc. Amer.– 1968.– 44, N 1.– С. 59–64. 15. Гомилко А. М., Городецкая Н. С., Мелешко В. В. Продольные волны Лэмба в полубесконечном упругом слое // Прикл. мех.– 1991.– 27, N 6.– С. 53–59. 16. Гринченко В.Т., Городецкая Н. С., Мелешко В. В. О принципе Сен-Венана для гармонических коле- баний упругого полуслоя // Акуст. вiсн.– 2006.– 9, N 1.– С. 21–33. 17. Мелешко В. В., Татуян В. Б. Возбуждение гармо- нических волн Лэмба в полубесконечном упругом слое // Акуст. ж.– 1987.– 33, N 5.– С. 919–926. Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт 53 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 42 – 54 18. Morvan B., Wilkie-Chancellier N., Duflo H., Tinel A., Duclos J. Lamb wave reflaction at the free edge of a plate // J. Acoust. Soc. Amer.– 2003.– 113, N 3.– С. 1417–1425. 19. Dilligent O., Lowe M. J. D., Clezio E., Le Casta- ings M., Hosten B. Prediction and measurement of nonpropagating Lamb modes at the free end of a plate when fundamental antisymmetric mode A0 is incident // J. Acoust. Soc. Amer.– 2003.– 113, N 6.– С. 3032–3042. 20. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С. Краевой ре- зонанс при изгибных колебаниях полуполосы // Докл. АН УССР, сер. А.– 1985.– N 4.– С. 20–23. 21. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко- лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. дум- ка, 1981.– 284 с. 22. Гринченко В. Т., Городецкая Н. С. Отражение вол- ны Рэлея от свободного торца волновода // Прикл. мех.– 1984.– 20, N 9.– С. 12–16. 54 Н. С. Городецкая, В. Т. Гринченко, И. В. Старовойт

Особенности возбуждения нормальных волн при изгибных колебаниях полуслоя

Institution

Ähnliche Einträge