Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой
В рамках нестационарной задачи гидроэлектроупругости исследовано возбуждение тонкостенной сферической пьезокерамической оболочки, полностью охваченной через слой жидкости упругой оболочкой, с помощью плоской нестационарной волны давления. При этом использован подход, состоящий в удовлетворении грани...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1047 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой / И. О. Моргун, В. Г. Савин // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 60-69. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1047 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-10472008-10-20T18:42:06Z Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой Моргун, И.О. Савин, В.Г. В рамках нестационарной задачи гидроэлектроупругости исследовано возбуждение тонкостенной сферической пьезокерамической оболочки, полностью охваченной через слой жидкости упругой оболочкой, с помощью плоской нестационарной волны давления. При этом использован подход, состоящий в удовлетворении граничных условий в области оригиналов и сведении задачи к решению интегральных уравнений. Для выбранной конфигурации экранированной оболочки изучен ее электрический отклик на падающие акустические импульсы разной формы. Выявлен ряд физических особенностей поведения системы. У рамках нестаціонарної задачі гідроелектропружності досліджено збудження тонкостінної сферичної п'єзокерамічної оболонки, повністю охопленої через шар рідини пружною оболонкою, за допомогою плоскої нестаціонарної хвилі тиску. При цьому використовувався підхід, який полягає у задоволенні граничних умов у області оригіналів та зведенні задачі до розв'язування інтегральних рівнянь. Для вибраної конфігурації екранованої оболонки досліджений її електричний відгук на акустичні імпульси різної форми. Виявлено ряд фізичних особливостей поведінки системи. The thin-walled spherical piezoceramic shell enveloped with an elastic shell through a liquid layer and excited by plane non-stationary pressure wave has been studied within the framework of a non-stationary problem of hydroelectroelasticity. The used approach is based on satisfying the boundary conditions in space of originals and on reducing the problem to solving the integral equations. For chosen configuration of the baffled shell, its electric response to acoustic pulses of various shape has been studied. Numerous physical features of the system behavior have been revealed. 2007 Article Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой / И. О. Моргун, В. Г. Савин // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 60-69. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1047 533.6.013.42 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В рамках нестационарной задачи гидроэлектроупругости исследовано возбуждение тонкостенной сферической пьезокерамической оболочки, полностью охваченной через слой жидкости упругой оболочкой, с помощью плоской нестационарной волны давления. При этом использован подход, состоящий в удовлетворении граничных условий в области оригиналов и сведении задачи к решению интегральных уравнений. Для выбранной конфигурации экранированной оболочки изучен ее электрический отклик на падающие акустические импульсы разной формы. Выявлен ряд физических особенностей поведения системы. |
| format |
Article |
| author |
Моргун, И.О. Савин, В.Г. |
| spellingShingle |
Моргун, И.О. Савин, В.Г. Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой |
| author_facet |
Моргун, И.О. Савин, В.Г. |
| author_sort |
Моргун, И.О. |
| title |
Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой |
| title_short |
Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой |
| title_full |
Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой |
| title_fullStr |
Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой |
| title_full_unstemmed |
Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой |
| title_sort |
преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1047 |
| citation_txt |
Преобразование акустических импульсов в электрические сферической пьезокерамической оболочкой, экранированной снаружи упругой оболочкой / И. О. Моргун, В. Г. Савин // Акуст. вісн. — 2007. — Т. 10, N 3. — С. 60-69. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT morgunio preobrazovanieakustičeskihimpulʹsovvélektričeskiesferičeskojpʹezokeramičeskojoboločkojékranirovannojsnaružiuprugojoboločkoj AT savinvg preobrazovanieakustičeskihimpulʹsovvélektričeskiesferičeskojpʹezokeramičeskojoboločkojékranirovannojsnaružiuprugojoboločkoj |
| first_indexed |
2025-07-02T04:35:31Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:35:31Z |
| _version_ |
1836508440778768384 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 60 – 69
УДК 533.6.013.42
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ
ИМПУЛЬСОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ
ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКОЙ,
ЭКРАНИРОВАННОЙ СНАРУЖИ
УПРУГОЙ ОБОЛОЧКОЙ
И. О. МО Р Г УН, В. Г. СА В И Н
Национальный технический университет Украины “КПИ”, Киев
Получено 02.02.2007 � Пересмотрено 17.10.2007
В рамках нестационарной задачи гидроэлектроупругости исследовано возбуждение тонкостенной сферической пье-
зокерамической оболочки, полностью охваченной через слой жидкости упругой оболочкой, с помощью плоской
нестационарной волны давления. При этом использован подход, состоящий в удовлетворении граничных условий в
области оригиналов и сведении задачи к решению интегральных уравнений. Для выбранной конфигурации экрани-
рованной оболочки изучен ее электрический отклик на падающие акустические импульсы разной формы. Выявлен
ряд физических особенностей поведения системы.
У рамках нестацiонарної задачi гiдроелектропружностi дослiджено збудження тонкостiнної сферичної п’єзокера-
мiчної оболонки, повнiстю охопленої через шар рiдини пружною оболонкою, за допомогою плоскої нестацiонарної
хвилi тиску. При цьому використовувався пiдхiд, який полягає у задоволеннi граничних умов у областi оригiналiв
та зведеннi задачi до розв’язування iнтегральних рiвнянь. Для вибраної конфiгурацiї екранованої оболонки дослi-
джений її електричний вiдгук на акустичнi iмпульси рiзної форми. Виявлено ряд фiзичних особливостей поведiнки
системи.
The thin-walled spherical piezoceramic shell enveloped with an elastic shell through a liquid layer and excited by plane
non-stationary pressure wave has been studied within the framework of a non-stationary problem of hydroelectroelasticity.
The used approach is based on satisfying the boundary conditions in space of originals and on reducing the problem to
solving the integral equations. For chosen configuration of the baffled shell, its electric response to acoustic pulses of
various shape has been studied. Numerous physical features of the system behavior have been revealed.
ВВЕДЕНИЕ
Подавляющее большинство исследований, по-
священных действию акустических нестационар-
ных волн на пьезокерамические оболочки, выпол-
нено для цилиндрической конфигурации оболоч-
ки. Перечень отечественных и зарубежных на-
учных публикаций по этой тематике содержится
в обзоре [1]. Среди последних работ следует также
отметить статью [2], в которой рассмотрено дей-
ствие плоской нестационарной акустической вол-
ны на тонкостенную сферическую пьезокерамиче-
скую оболочку.
Цель данной статьи – развить линейную теорию
нестационарной гидроэлектроупругости для си-
стем коаксиальных тонкостенных упругих и пье-
зокерамических сферических оболочек при во-
здействии импульсных акустических нагрузок.
Работа включает в себя математическую постанов-
ку задачи, ее формальное и численное решение,
физический анализ результатов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим взаимодействие плоской акустиче-
ской нестационарной волны с системой, состоя-
щей из концентрически расположенных сфериче-
ских оболочек: наружной упругой и внутренней
электроупругой (рис. 1). Предполагается, что по-
следняя имеет электродированные поверхности и
поляризована в радиальном направлении. Оболоч-
ки являются тонкостенными, т. е. допускается мо-
делирование их движения уравнениями, записан-
ными с привлечением гипотез Кирхгофа – Лява.
Распространение возмущений в жидких средах,
заполняющих внешнее пространство, а также ме-
жоболочечный объем, описывается в рамках аку-
стического приближения.
В момент времени t=0 на наружную оболочку
набегает плоская нестационарная волна, потенци-
ал скорости которой обозначим через ϕ(0). Взаимо-
действуя с системой, падающая волна порождает
поле дифрагированных волн во внешней среде, а
60 c© И. О. Моргун, В. Г. Савин, 2007
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 60 – 69
также поле прошедших и многократно отражен-
ных волн во внутреннем объеме. Указанные поля
вызывают колебания электроупругой оболочки и
определяют параметры электрического напряже-
ния U(t), возникающего на ее электродах.
При решении задачи система координат выби-
рается так, что фронт падающей волны перпенди-
кулярен оси z (z=r cos θ, где r – радиальная коор-
дината).
При сделанных допущениях задача сводится к
совместному интегрированию безразмерных урав-
нений движения пьезокерамической [2] и упру-
гой [3] оболочек, а также уравнений движения аку-
стических сред [4]. Обезразмеривание проводилось
путем нормировки линейных величин к радиусу
электроупрогой оболочки R1, времени t – к R1/c1
(c1 – скорость распространения звука во внеш-
ней среде), волновых потенциалов ϕ(i) – к R1c1,
акустических давлений pi и гидродинамических
нагрузок q(k,c) – к γkc2
1 (γk – плотность керами-
ки), радиальной компоненты вектора электриче-
ской напряженности пьезокерамики E
(0)
r – к 1/d33.
Уравнения движения пьезокерамической обо-
лочки имеют вид
D1uk + D2wk =
R2
1γkc2
1
CE
11
∂2uk
∂t2
,
D3uk + D4wk = −2
e31R1d33
CE
11
E(0)
r +
+
R2
1γkc2
1
CE
11
∂2wk
∂t2
− R2
1γkc2
1
CE
11h1
qk,
(1)
а уравнения движения упругой оболочки –
D5uc + D6wc =
R2
2γcc
2
1(1 − ν2)
EU
∂2uc
∂t2
,
D7uc + D8wc =
R2
2γcc
2
1(1 − ν2)
EU
∂2wc
∂t2
−
−R2
2γcc
2
1(1 − ν2)
EUh2
qc.
(2)
Здесь Dm (m=1, 2, . . .8) – следующие дифферен-
p0z
r
θ
h2 h1
U(t)
0 R1
R2
x
y
c1, ρ1
c2, ρ2
Рис. 1. Сферическая пьезокерамическая оболочка,
полностью охваченная через слой жидкости
упругой оболочкой
циальные операторы:
D1 = (1 + ε1)
[
∂2
∂θ2
+
∂
∂θ
ctg θ − (ctg 2θ + ξ)
]
;
D2 = −ε1
[
∂3
∂θ3
+
∂2
∂θ2
ctg θ − ∂
∂θ
(ctg 2θ + ξ)
]
+
+(1 + ξ)
∂
∂θ
;
D3 = ε1
[
∂3
∂θ3
+ 2
∂2
∂θ2
ctg θ − ∂
∂θ
(1 + ctg 2θ + ξ)+
+(2 + ctg 2θ − ξ)ctg θ
]
− (1 + ξ)
[
∂
∂θ
+ ctg θ
]
;
D4 = −ε1
[
∂4
∂θ4
+ 2
∂3
∂θ3
ctg θ − ∂2
∂θ2
(1 + ctg 2θ + ξ)+
+(2 + ctg 2θ − ξ)
∂
∂θ
ctg θ
]
− 2(1 + ξ);
И. О. Моргун, В. Г. Савин 61
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 60 – 69
D5 = (1 + ε2)
[
∂2
∂θ2
+
∂
∂θ
ctg θ − (ctg 2θ + ν)
]
;
D6 = −ε2
[
∂3
∂θ3
+
∂2
∂θ2
ctg θ − ∂
∂θ
(ctg 2θ + ν)
]
+
+(1 + ν)
∂
∂θ
;
D7 = ε2
[
∂3
∂θ3
+ 2
∂2
∂θ2
ctg θ − ∂
∂θ
(1 + ctg 2θ + ν)+
+(2 + ctg 2θ − ν)ctg θ
]
− (1 + ν)
[
∂
∂θ
+ ctg θ
]
;
D8 = −ε2
[
∂4
∂θ4
+ 2
∂3
∂θ3
ctg θ − ∂2
∂θ2
(1 + ctg 2θ + ν)+
+(2 + ctg 2θ − ν)
∂
∂θ
ctg θ
]
− 2(1 + ν);
ε1 =
h2
1
12R2
1
; ε2 =
h2
2
12R2
2
; ξ =
CE
12
CE
11
.
Уравнения движения внешней и внутренней аку-
стических сред, записанные относительно волно-
вых потенциалов
∂2ϕ(1)
∂r2
+
2
r
∂ϕ(1)
∂r
+
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂ϕ(1)
∂θ
)
=
c2
1
c2
1
∂2ϕ(1)
∂t2
,
r ≥ R2;
(3)
∂2ϕ(2)
∂r2
+
2
r
∂ϕ(2)
∂r
+
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂ϕ(2)
∂θ
)
=
c2
1
c2
2
∂2ϕ(2)
∂t2
,
R1 ≤ r < R2,
(4)
связаны с акустическими давлениями равенства-
ми
p1 = −ρ1
γk
(
∂ϕ(1)
∂t
+
∂ϕ(0)
∂t
)
,
p2 = −ρ2
γk
∂ϕ(2)
∂t
.
(5)
Гидродинамические нагрузки, действующие на
оболочки, задаются соотношениями
qc = [p2 − p1]|r=R2
, qk = −p2|r=R1
. (6)
Давление в падающей плоской волне изменяется
по закону
p(0) = −∂ϕ(0)
∂t
= Q(t)H(τ − t). (7)
Здесь CE
11, CE
12, e31 – модули упругости и пьезо-
модуль керамики соответственно; γc – плотность
материала упругой оболочки; εs
33 – диэлектриче-
ская проницаемость керамики; ci, ρi – скорости ра-
спространения звука в акустических средах и их
плотности; r и θ – полярные координаты; ν – ко-
эффициент Пуассона; EU – модуль Юнга; Q(t) –
функция, описывающая давление за фронтом па-
дающей волны; H(τ−t) – единичная функция Хе-
висайда; τ – длительность акустического импуль-
са.
На границах контакта оболочек с жидкостями
r=R1 и r=R2 принимаются условия безотрывного
движения:
[
∂ϕ(1)
∂r
+
∂ϕ(0)
∂r
]
∣
∣
∣
∣
r=R2
=
∂wc
∂t
,
∂ϕ(2)
∂r
∣
∣
∣
∣
r=R1
=
∂wk
∂t
,
∂ϕ(2)
∂r
∣
∣
∣
∣
r=R2
=
∂wc
∂t
.
(8)
В задачах приема, где искомой величиной яв-
ляется электрическая напряженность, необходимо
в уравнениях движения пьезокерамической обо-
лочки избавиться от E
(0)
r . С этой целью исхо-
дные уравнения дополняются электрическим гра-
ничным условием. Будем считать, что электроды
пьезокерамической оболочки разомкнуты. Тогда
протекающий через пьезокерамическое тело ток
равен нулю:
Iсм =
∂
∂t
2π
∫
0
D(0)
r Rdθ = 0, (9)
где Iсм – ток смещения в пьезокерамике; D
(0)
r –
электрическая индукция [5]
D(0)
r = εs
33E
(0)
r + e31
(
1
r
∂u
∂θ
+ 2
w
r
+
u
r
ctg θ
)
. (10)
62 И. О. Моргун, В. Г. Савин
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 60 – 69
Начальные условия – однородные (до прихода
падающей волны гидрэлектроупругая система на-
ходится в состоянии покоя):
ϕ(1)|t=0 =
∂ϕ(1)
∂t
∣
∣
∣
∣
t=0
= ϕ(2)|t=0 =
∂ϕ(2)
∂t
∣
∣
∣
∣
t=0
= 0,
wk|t=0 =
∂wk
∂t
∣
∣
∣
∣
t=0
= uk|t=0 =
∂uk
∂t
∣
∣
∣
∣
t=0
= 0,
wc|t=0 =
∂wc
∂t
∣
∣
∣
∣
t=0
= uc|t=0 =
∂uc
∂t
∣
∣
∣
∣
t=0
= 0.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
При решении задачи применяется интегральное
преобразование Лапласа по времени. В пространс-
тве изображений неизвестные ищутся в виде рядов
по собственным формам колебаний:
uL
(k,c) =
∞
∑
n=1
uL
(k,c)n
dPn(cos θ)
dθ
,
wL
(k,c) =
∞
∑
n=0
wL
(k,c)nPn(cos θ),
qL
(k,c) =
∞
∑
n=0
qL
(k,c)nPn(cos θ),
ϕ(i)L =
∞
∑
n=0
ϕ(i)L
n Pn(cos θ),
p(i)L =
∞
∑
n=0
p(i)L
n Pn(cos θ),
i = (1, 2).
(11)
Исходные соотношения (1) – (6) в области изо-
бражений запишутся в виде
(
λ1 −
γkR2
1c
2
1
CE
11
s2
)
uL
kn + λ2w
L
kn = 0,
λ3u
L
kn +
(
λ4 −
γkR2
1c
2
1
CE
11
s2
)
wL
kn =
= 4χwL
k0 −
γkR2
1c
2
1
h1CE
11
qL
kn,
(12)
(
λ5 −
γcR
2
2c
2
1(1 − ν2)
EU
s2
)
uL
cn + λ6w
L
cn = 0,
λ7u
L
cn +
(
λ8 −
γcR
2
2c
2
1(1 − ν2)
EU
s2
)
wL
cn =
= −γcR
2
2c
2
1(1 − ν2)
h2EU
qL
cn,
(13)
∂2ϕ
(1)L
n
∂r2
+
2
r
∂ϕ
(1)L
n
∂r
−
−
(
n(n + 1)
r2
+ α2
1s
2
)
ϕ(1)L
n = 0,
r ≥ R2,
(14)
∂2ϕ
(2)L
n
∂r2
+
2
r
∂ϕ
(2)L
n
∂r
−
−
(
n(n + 1)
r2
+ α2
2s
2
)
ϕ(2)L
n = 0,
R1 ≤ r < R2
(15)
qL
cn(pL
2n − pL
1n)|r=R2
=
= −β2sϕ
(2)L
n + β1s[ϕ
(1)L
n + ϕ
(0)L
n ],
(16)
qL
kn = −pL
2n|r=R1
= β2sϕ
(2)L
n . (17)
Здесь s – параметр преобразования; L – индекс,
обозначающий соответствующие трансформанты;
λ1 = −(1 + ε1)(n
2 + n − 1 + ξ);
λ2 = ε1(n
2 + n − 1 + ξ) + 1 + ξ;
λ3 = (n2 + n)[ε1(n
2 + n − 1 + ξ) + 1 + ξ];
λ4 = −ε1(n
2 + n)(n2 + n − 1 + ξ) − 2(1 + ξ);
λ5 = −(1 + ε2)(n
2 + n − 1 + ν);
λ6 = ε2(n
2 + n − 1 + ν) + 1 + ν ;
λ7 = (n2 + n)[ε2(n
2 + n − 1 + ν) + 1 + ν ];
λ8 = −ε2(n
2 + n)(n2 + n − 1 + ν) − 2(1 + ν).
И. О. Моргун, В. Г. Савин 63
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 60 – 69
Постоянные коэффициенты, входящие в соотно-
шения (10), (12) – (15), определяются по формулам
χ =
e2
31
εs
33C
E
11
; β1 =
ρ1
γk
; β2 =
ρ2
γk
;
α1 = 1; α2 =
c1
c2
.
Граничные условия трансформируются следую-
щим образом:
[
∂ϕ
(1)L
n
∂r
+
∂ϕ
(0)L
n
∂r
]
∣
∣
∣
∣
∣
r=R2
= swL
cn,
∂ϕ
(2)L
n
∂r
∣
∣
∣
∣
∣
r=R1
= swL
kn,
∂ϕ
(2)L
n
∂r
∣
∣
∣
∣
∣
r=R2
= swL
cn.
(18)
Общие решения преобразованных по Лапласу
волновых уравнений (14), (15) с учетом разложе-
ний (11) имеют вид
ϕ(1)L
n = AL
1n(s)
1√
sr
esα1R2Kn+1/2(sα1r),
ϕ(2)L
n = AL
2n(s)
1√
sr
esα2R1Kn+1/2(sα2r)+
+BL
2n(s)
1√
sr
e−sα2R2In+1/2(sα2r),
где Kn+1/2 и In+1/2 – модифицированные функции
Бесселя первого рода полуцелого индекса; AL
1n(s);
AL
2n(s); BL
2n(s) – функции параметра s, которые
находятся из граничных условий.
Потенциал ϕ(0)L, описывающий плоскую неста-
ционарную волну, также допускает разложение,
аналогичное рядам (11):
ϕ(0)L = −QL(s)
√
π
2
1
s
√
sr
e−sR2×
×
∞
∑
n=0
In+1/2(sr)(2n + 1)Pn(cos θ).
Функция QL(s) определяет характер изменения
давления за фронтом волны.
Выполнив интегрирование соотношений (9), с
учетом формулы (10), а также принятых разло-
жений (11), получаем соотношение, связывающее
электрическую напряженность с прогибами пье-
зокерамической оболочки:
E(0)
r = −2
e31d33
R1εs
33
wk0. (19)
Здесь wk0 – перемещения в радиальном направ-
лении, соответствующие нулевой (пульсирующей)
моде колебаний серединной поверхности оболочки.
Как видно из соотношения (19), электрическая
напряженность не зависит от изгибных форм коле-
баний. Если в процессе выполнения расчетов необ-
ходимо определить разность потенциалов на эле-
ктродах пьезокерамической оболочки, математи-
ческую постановку задачи (12) – (16) можно огра-
ничить только пульсирующей модой (n=0). Тогда
упрощенные соотношения примут вид:
(s2 + a1)w
L
k0 = b1q
L
k0, (20)
(s2 + a2)w
L
c0 = b2q
L
c0, (21)
ϕ
(1)L
0 = AL
1 (s)
1√
sr
esα1R2K1/2(sα1r), (22)
ϕ
(2)
0
L = AL
2 (s)
1√
sr
esα2R1K1/2(sα2r)+
+BL
2 (s)
1√
sr
e−sα2R2I1/2(sα2r),
(23)
ϕ
(0)L
0 = −QL(s)
√
π
2
1
s
√
sr
e−sR2I1/2(sr), (24)
qL
c0 = [pL
20 − pL
10]|r=R2
=
= −β2sϕ
(2)L
0 + β1s[ϕ
(1)L
0 + ϕ
(0)L
0 ],
(25)
qL
k0 = −pL
20|r=R1
= β2sϕ
(2)L
0 , (26)
где
a1 = (4χ − λ4)
CE
11
R2
1c
2
1γk
=
=
2
R2
1c
2
1γk
(
2
e2
31
εs
33
+ CE
11 + CE
12
)
;
a2 = λ8
EU
γcR2
2c
2
1(1 − ν2)
=
2EU
γcc2
1R
2
2(1 − ν)
;
b1 =
1
h1
; b2 =
γk
h2γc
.
Граничные условия запишутся следующим
образом:
[
∂ϕ
(1)L
0
∂r
+
∂ϕ
(0)L
0
∂r
]
∣
∣
∣
∣
∣
r=R2
= swL
c0,
∂ϕ
(2)L
0
∂r
∣
∣
∣
∣
∣
r=R1
= swL
k0,
∂ϕ
(2)L
0
∂r
∣
∣
∣
∣
∣
r=R2
= swL
c0.
(27)
64 И. О. Моргун, В. Г. Савин
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 60 – 69
Далее, подставляя формулы (20) – (26) в грани-
чные условия (27), получаем следующую систему
уравнений относительно AL
1 (s), AL
2 (s) и BL
2 (s):
AL
1 (s)[1 + F
(1)L
1 (s)]−
−AL
2 (s)e−α2(R2−R1)sF
(2)L
1 (s)−
−BL
2 (s)F
(3)L
1 (s)+
+BL
2 (s)e−2α2R2sF
(3)L
1 (s) =
= −QL(s)ΦL
1 (s) − QL(s)ΦL
2 (s)e−2R2s,
AL
1 (s)F
(1)L
2 (s) − BL
2 (s)[1 + F
(3)L
2 (s)]
1
π
+
+AL
2 (s)e−α2(R2−R1)s[1 + F
(2)L
2 (s)]−
−BL
2 (s)e−2α2R2s[1 + F
(2)L
2 (s)]
1
π
=
= QL(s)ΦL
3 (s) − QL(s)ΦL
3 (s)e−2R2s,
−BL
2 (s)e−α2(R2−R1)s[1 + F
(2)L
3 ]
1
π
−
−BL
2 (s)[1 + F
(1)L
3 ]e−α2(R1+R2)s
1
π
+
+AL
2 (s)[1 + F
(1)L
3 (s)] = 0.
(28)
Здесь
F
(2)L
1 (s) =
b2β2√
α1
√
α2
1
s
; F
(3)L
1 (s) =
b2β2
π
√
α1
√
α2
1
s
;
F
(1)L
2 (s) =
b2β1√
α1
√
α2
1
s
;
F
(1)L
1 (s) =
(
β1b2
α1
+
1
R2α1
)
1
s
+
+a2
1
s2
+
a2
R2α1
1
s3
;
F
(2)L
2 (s) =
(
−β2b2
α2
+
1
R2α2
)
1
s
+
+a2
1
s2
+
a2
R2α2
1
s3
;
F
(3)L
2 (s) =
(
β2b2
α2
− 1
R2α2
)
1
s
+
+a2
1
s2
− a2
R2α2
1
s3
;
F
(1)L
3 (s) =
(
β2b1
α2
+
1
R1α2
)
1
s
+
+a1
1
s2
+
a1
R1α2
1
s3
;
F
(2)L
3 (s) = −
(
β2b1
α2
+
1
R1α2
)
1
s
+
+a1
1
s2
− a1
R1α2
1
s3
;
ΦL
1 (s) =
1√
2πα1
×
×
(
1 −
(
b2β1 +
1
R2
)
1
s
+ a2
1
s2
− a2
R2
1
s3
)
1
s
;
ΦL
2 (s) =
1√
2πα1
×
×
(
1 +
(
b2β1 +
1
R2
)
1
s
+ a2
1
s2
+
a2
R2
1
s3
)
1
s
;
ΦL
3 (s) =
b2β1√
2πα2
1
s2
.
В результате решения системы (28) в явном виде
могут быть получены формулы для неизвестных
AL
1 (s), AL
2 (s) и BL
2 (s). Однако, они являются весь-
ма громоздкими и содержат многократные прои-
зведения функций Бесселя, что приводит к прин-
ципиальным трудностям при обратном преобра-
зовании Лапласа. Воспользуемся подходом, согла-
сно которому удовлетворение граничным услови-
ям осуществляется в области оригиналов. Для это-
го проводится инверсия равенств (28) и [6], а неиз-
вестные A1(t), B2(t), A2(t) находятся из системы
интегральных уравнений Вольтерра с запаздыва-
ющими аргументами:
И. О. Моргун, В. Г. Савин 65
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 60 – 69
A1(t) +
t
∫
0
A1(t − x)F
(1)
1 (x)dx− F
(3)
1
t
∫
0
B2(t − x)dx = F
(2)
1
t
∫
α2(R2−R1)
A2[t − α2(R2 − R1) − x]dx−
−F
(3)
1
t
∫
2α2R2
B2(t − 2α2R2 − x)dx−
t
∫
0
Q(t − x)Φ1(x)dx −
t
∫
2R2
Q(t − 2R2 − x)Φ2(x)dx,
F
(1)
2
t
∫
0
A1(t − x)dx − B2(t)
1
π
− 1
π
t
∫
0
B2(t − x)F
(3)
2 (x)dx =
= −
t
∫
α2(R2−R1)
A2[t− α2(R2 − R1) − x]F
(2)
2 (x)dx +
1
π
B2(t − 2α2R2) − A2(t − α2(R2 − R1))+
+
1
π
t
∫
2α2R2
B2(t − 2α2R2 − x)F
(2)
2 (x)dx +
t
∫
0
Q(t − x)Φ3(x)dx−
t
∫
2R2
Q(t − 2R2 − x)Φ3(x)dx,
A2(t) +
t
∫
0
A2(t − x)F
(1)
3 (x)dx =
1
π
B2 [t− α2(R1 + R2)]+
+
1
π
t
∫
α2(R1+R2)
B2[t − α2(R1 + R2) − x]F
(1)
3 (x)dx +
1
π
B2 [t− α2(R2 − R1)]+
+
1
π
t
∫
α2(R2−R1)
B2[t− α2(R2 − R1) − x]F
(2)
3 (x)dx,
(29)
где
F
(1)
1 (t) =
(
β1b2
α1
+
1
R2α1
)
+ a2t +
a2
R2α1
t2
2
;
F
(2)
2 (t) =
(
−β2b2
α2
+
1
R2α2
)
+ a2t +
a2
R2α2
t2
2
; F
(3)
2 (t) =
(
β2b2
α2
− 1
R2α2
)
+ a2t −
a2
R2α2
t2
2
;
F
(1)
3 (t) =
(
β2b1
α2
+
1
R1α2
)
+ a1t +
a1
R1α2
t2
2
; F
(2)
3 (t) = −
(
β2b1
α2
+
1
R1α2
)
+ a1t −
a1
R1α2
t2
2
;
F
(2)
1 =
b2β2√
α1
√
α2
; F
(1)
2 =
b2β1√
α1
√
α2
; F
(3)
1 =
b2β2
π
√
α1
√
α2
;
Φ1 =
1√
2πα1
(
1 −
(
b2β1 +
1
R2
)
t + a2
t2
2
− a2
R2
t3
6
)
;
Φ2 =
1√
2πα1
(
1 +
(
b2β1 +
1
R2
)
t + a2
t2
2
+
a2
R2
t3
6
)
;
Φ3 =
b2β1√
2πα2
t.
66 И. О. Моргун, В. Г. Савин
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 60 – 69
Система интегральных уравнений (29) реша-
лась численно методом квадратурных формул.
При этом наличие запаздывающих аргументов у
входящих в правые части неизвестных позволя-
ет решать интегральные уравнения, соответству-
ющие граничным условиям на поверхностях ка-
ждой из оболочек, независимо. До момента вре-
мени t=α2(R2−R1) все коэффициенты, содержа-
щие неизвестные функции с запаздывающими ар-
гументами, равны нулю. Это позволяет вычислить
A1(t) и B2(t) из первых двух уравнений. В по-
следующие временные интервалы (t>α2(R2−R1),
t>α2(R1+R2) и t>2α2R2) найденные значения
A1(t), B2(t), A2(t) со сдвигом во времени фи-
гурируют в правых частях трех уравнений как
известные величины. Таким образом удается по-
строить рекуррентные формулы для их отыска-
ния.
После определения A1(t), B2(t), A2(t) находя-
тся физические характеристики переходного про-
цесса. Ниже приведена формула для расчета ра-
зности электрических потенциалов U(t), возника-
ющих на электродах пьезокерамической оболочки:
U(t) =
E
(0)
r (t)
h1
=
= −2
e31d33
h1R1εs
33
(
−π
t
∫
0
A2(t − x)F1(x)dx+
+
t
∫
α2(R2−R1)
B2(t − α2(R2 − R1) − x)F2(x)dx+
+
t
∫
2α2R2
B2(t − 2α2R2 − x)F1(x)dx
)
,
(30)
где
F1(t) =
1
R1
√
2π
(√
α2 +
1
R1
√
α2
t
)
;
F2(t) =
1
R1
√
2π
(√
α2 −
1
R1
√
α2
t
)
.
Равенство (30) записано с использованием фор-
мулы (17) после подстановки представления (23)
во второе соотношение (27) с последующей ин-
версией полученного выражения. Входящие сюда
интегралы также вычислялись с использованием
квадратурных формул.
3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Расчеты проводились для гидроэлектроупругой
системы, состоящей из внешней стальной и вло-
женной в нее пьезокерамической оболочки (ма-
териал марки ЦТБС-3 [7]). Внешнее пространс-
тво и межоболочечный объем заполнены водой.
Расчеты на рис. 2 – 5 выполнены при следующих
параметрах системы: h1/R1=0.04; h2/R1 =0.016;
R2/R1 =0.4. На графиках напряжения на электро-
дах пьезокерамической оболочки (кривые 1) отне-
сены к статическому напряжению, возникающе-
му при гидростатическом обжатии одиночной пье-
зооболочки единичным акустическим давлением.
Для сравнения кривыми 2 везде нанесены зна-
чения U(t) при отсутствии упругого экрана. Во
всех случаях длительность акустического импуль-
са выбиралась равной τ =15.
Форма падающего акустического импульса за-
давалась следующей:
• p(0)(t)=H(τ−t) – прямоугольный акустиче-
ский импульс (рис. 2);
• p(0)(t)=H(τ−t) sin ωkt – акустический им-
пульс с одночастотным заполнением (рис. 3),
где ωk – частота пульсирующих колебаний
пьезокерамической оболочки в вакууме;
• p(0)(t)=H(τ−t) sin ωct – акустический им-
пульс с одночастотным заполнением (рис. 4),
где ωc – частота пульсирующих колебаний
упругой оболочки в вакууме;
• p(0)(t)=H(τ−t) sin(ω0+εt)t – акустический
линейно частотно модулированный (ЛЧМ)
импульс (рис. 5), где ω0 =0.8ωk – начальная
частота возбуждения; ε=0.08 – девиация ча-
стоты.
При отыскании неизвестных функций A1(t),
B2(t), A2(t) интегральные уравнения (29) числен-
но решались путем разбиения временного интер-
вала на равные отрезки. Варьируя длительностью
временных отрезков, расчеты были проведены с
контролируемой точностью (не хуже 2 % в экстре-
мальных точках). Для всех случаев шаг временно-
го интервала составлял 0.01.
Проанализируем полученные результаты. Пре-
жде всего отметим, что падающая плоская вол-
на давления вызывает возникновение переходного
процесса, длительность которого зависит от кон-
фигурации акустического импульса. Как и следо-
вало ожидать, на всех осциллограммах электри-
ческого напряжения наблюдается нулевой началь-
ный участок, когда пьезокерамическая оболочка
И. О. Моргун, В. Г. Савин 67
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 60 – 69
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
10 t
U
1
2
Рис. 2. Электрическое напряжение на электродах
пьезокерамической оболочки при действии
акустического импульса прямоугольной формы
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
10 t
U
0
1
2
Рис. 3. Электрическое напряжение на электродах
пьезокерамической оболочки при действии
акустического импульса с одночастотным
заполнением ω=ωk
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
U
0 10 t
1 2
Рис. 4. Электрическое напряжение на электродах
пьезокерамической оболочки при действии
акустического импульса с одночастотным
заполнением ω=ωc
находится в состоянии покоя. Длительность этого
интервала равна времени, необходимому акусти-
ческой волне для прохождения расстояния между
оболочками.
На рис. 2 – 4 осциллограммы электрических на-
пряжений качественно повторяют характер изме-
нения давления за фронтом падающей волны.
Отличия на переднем и заднем фронтах импуль-
сов (прямоугольного и имеющего одночастотное
заполнение) объясняются наличием переходного
процесса, вызванного инерциальностью системы.
При этом большая инерциальность системы с
упругой оболочкой приводит к большей длитель-
ности переходных процессов в ней. При этом уров-
ни электрических напряжений оказываются ниже,
чем для одиночной пьезокерамической оболочки
для прямоугольного акустического импульса без
заполнения и для случая, когда частота его запол-
нения равна ωk.
Если частота заполнения импульса равна ωc
(см. рис. 4), уровни электрических напряжений
на экранированной и неэкранированной оболочках
практически совпадают. Отмечено наличие вспле-
сков напряжения для одиночной пьезокерамиче-
ской оболочки в начале действия импульса, при-
чем для системы оболочек они отсутствуют (см.
рис. 3 и 4). Наоборот, при возбуждении системы
импульсом с одночастотным заполнением ω=ωc в
начальной стадии возбуждения электрическое на-
пряжение оказывается ниже, чем для всего интер-
вала возмущения. Это объясняется инерционно-
стью внешней оболочки и жидкости в межоболоче-
чном пространстве. В целом уменьшение частоты
заполнения акустического импульса ведет к тому,
что электрическое напряжение возрастает. Конфи-
гурация центральной части осциллограмм, пред-
ставленных на рис. 2 – 4, свидетельствует о том,
что система для этого временного интервала ко-
леблется с практически постоянными амплитудой
и частотой в установившемся режиме.
При возбуждении системы акустическим ЛЧМ
импульсом (рис. 5) электрическое напряжение,
снимаемое с электродов, ведет себя несколько по-
иному. В случае одиночной пьезокерамической
оболочки максимальное значение U(t) наблюда-
ется в начальной стадии возбуждения с последу-
ющим монотонным спаданием. Для системы обо-
лочек в начальной стадии возбуждения напряже-
ние возрастает, затем монотонно спадает до того
момента, когда частота возбуждения становится
близкой к резонансной частоте пьезокерамической
оболочки. Затем электрическое напряжение выхо-
дит на практически установившийся режим коле-
бания.
68 И. О. Моргун, В. Г. Савин
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 3. С. 60 – 69
Во всех случаях при окончании действия аку-
стических импульсов электрическое напряжение
на электродах начинает уменьшаться. При этом
для одиночной пьезокерамической оболочки сни-
жение уровня электрического сигнала происходит
быстрее, чем для системы оболочек.
ВЫВОДЫ
Как следует из материалов статьи, математиче-
ская постановка задачи и полученные результа-
ты справедливы для системы пьезокерамической и
упругой сферических оболочек, которая в первом
приближении может моделировать такой физиче-
ский объект как экранированный сферический ги-
дрофон. Наружный металлический экран являе-
тся конструктивным элементом, предназначенным
для защиты пьезоприемника от агрессивных фак-
торов внешней среды или возможных механиче-
ских повреждений. Следует отметить, что реаль-
ные сферические пьзопреобразователи имеют ли-
бо круглое отверстие, либо цилиндрическую юб-
ку, сопряженную со сферой, а защитный экран
оснащен элементами крепления и отверстием для
вывода электрических проводов. Указанные кон-
структивные особенности могут привести к не-
которому несовпадению экспериментальных дан-
ных с изложенными теоретическими результата-
ми. Однако, поскольку конфигурация электриче-
ского сигнала зависит лишь от нулевой моды ко-
лебаний оболочек, можно предположить, что эти
отличия не будут искажать качественную картину
процесса.
При возбуждении электроупругой системы
акустическими импульсами простой формы
(прямоугольный и с одночастотным заполне-
нием), электрическое напряжение позволяет
ориентировочно судить о временной эволю-
ции давления за фронтом падающей волны. В
случае действия на электроупругую систему сло-
жных акустических импульсов (например, ЛЧМ
импульса) инерционность системы оболочек и
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
10 t
U
0
1
2
Рис. 5. Электрическое напряжение на электродах
пьезокерамической оболочки при действии
акустического ЛЧМ импульса
жидкостей приводит к существенным различиям
между характером изменения электрического на-
пряжения и конфигурацией акустического сигна-
ла. Это может затруднить оценку изменения дав-
ления за фронтом падающей волны по электриче-
скому напряжению на приемнике.
1. Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Бабаев А. Э. Динами-
ка систем оболочек взаимодействующих с жидко-
стью // Прикл. мех.– 2002.– 38, N 3.– С. 13–58.
2. Савин В. Г., Моргун И. О. Преобразование акусти-
ческих импульсов в электрические сферической
пьезокерамической оболочкой // Электроника и
связь.– 2006.– N 6.– С. 36–42.
3. Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Бабаев А. Э. Ги-
дроупругость систем оболочек.– К.: Вища школа,
1984.– 208 с.
4. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.– М.:
Наука, 1978.– 736 с.
5. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А.
Электроупругость / Механика связанных полей в
элементах конструкций: том 5.– К.: Наук. думка,
1989.– 280 с.
6. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по
операционному исчислению.– М.: Высш. школа,
1965.– 466 с.
7. Пьезокерамические преобразователи / Под ред.
С. И. Пугачева.– Л.: Судостроение, 1984.– 256 с.
И. О. Моргун, В. Г. Савин 69
|