Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу

Для широкого класу iнтегро-диференцiальних операторiв ми доводимо, що C∞(R^n)-замикання кожного з таких операторiв є генератором напiвгрупи, що вiдповiдає феллеровому процесу Маркова. Для щiльностi ймовiрностi переходу такого процесу отримано зображення у виглядi ряду та наведено верхню та нижню оц...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автори:	Кнопова, В.П., Кулик, О.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2016
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Інформатика та кібернетика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104754
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу / В.П. Кнопова, О.М. Кулик // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 5. — С. 22-29. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-104754
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1047542017-11-02T13:19:58Z Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу Кнопова, В.П. Кулик, О.М. Інформатика та кібернетика Для широкого класу iнтегро-диференцiальних операторiв ми доводимо, що C∞(R^n)-замикання кожного з таких операторiв є генератором напiвгрупи, що вiдповiдає феллеровому процесу Маркова. Для щiльностi ймовiрностi переходу такого процесу отримано зображення у виглядi ряду та наведено верхню та нижню оцiнки. Метод доведення iстотним чином базується на узагальненнi методу параметрикса для параболiчної задачi Кошi з псевдодиференцiальними операторами. Для широкого класса интегро-дифференциальных операторов доказано, что C∞(R^n)-замыкание каждого из таких операторов является генератором полугруппы, которая соответствует феллеровскому процессу Маркова. Для плотности переходной вероятности найдено представление в виде ряда, а также найдены верхние и нижние оценки. Метод доказательства существенным образом базируется на обобщении метода параметрикса для задачи Коши с псевдодифференциальным оператором. For a wide class of integro-differential operators, it is proved that the C∞(R^n)-closure of each of such operators is the generator of a semigroup corresponding to a Feller Markov process. The transition probability density of the process is expressed in the form of a convergent series, and the estimates from above and below are provided. The proof is based essentially on a generalization of the parametrix method for the Cauchy problem for pseudodifferential operators. 2016 Article Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу / В.П. Кнопова, О.М. Кулик // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 5. — С. 22-29. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104754 517.9,519.2 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Кнопова, В.П. Кулик, О.М. Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу Доповіді НАН України
description	Для широкого класу iнтегро-диференцiальних операторiв ми доводимо, що C∞(R^n)-замикання кожного з таких операторiв є генератором напiвгрупи, що вiдповiдає феллеровому процесу Маркова. Для щiльностi ймовiрностi переходу такого процесу отримано зображення у виглядi ряду та наведено верхню та нижню оцiнки. Метод доведення iстотним чином базується на узагальненнi методу параметрикса для параболiчної задачi Кошi з псевдодиференцiальними операторами.
format	Article
author	Кнопова, В.П. Кулик, О.М.
author_facet	Кнопова, В.П. Кулик, О.М.
author_sort	Кнопова, В.П.
title	Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу
title_short	Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу
title_full	Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу
title_fullStr	Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу
title_full_unstemmed	Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу
title_sort	побудова процесу типу левi за допомогою методу параметриксу
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104754
citation_txt	Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу / В.П. Кнопова, О.М. Кулик // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2016. — № 5. — С. 22-29. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT knopovavp pobudovaprocesutipulevizadopomogoûmetoduparametriksu AT kulikom pobudovaprocesutipulevizadopomogoûmetoduparametriksu
first_indexed	2025-07-07T15:46:50Z
last_indexed	2025-07-07T15:46:50Z
_version_	1837003661356564480
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 5 • 2016 IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.05.022 УДК 517.9,519.2 В.П. Кнопова1, О. М. Кулик2 1Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова НАН України, Київ 2Iнститут математики НАН України, Київ E-mail: vic_knopova@gmx.de, kulik.alex.m@gmail.com Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу (Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком) Для широкого класу iнтегро-диференцiальних операторiв ми доводимо, що C∞(Rn)-за- микання кожного з таких операторiв є генератором напiвгрупи, що вiдповiдає феллеро- вому процесу Маркова. Для щiльностi ймовiрностi переходу такого процесу отримано зображення у виглядi ряду та наведено верхню та нижню оцiнки. Метод доведення iстотним чином базується на узагальненнi методу параметрикса для параболiчної за- дачi Кошi з псевдодиференцiальними операторами. Ключовi слова: щiльнiсть перехiдної iмовiрностi, процеси типу Левi, псевдодифферен- цiальний оператор, метод параметрикса Левi. Процес Маркова X = (Xt)t>0 зi значеннями в Rn називається процесом типу Левi, якщо генератор A його C∞(Rn)-напiвгрупи є коректно визначеним на просторi C2 ∞(Rn) двiчi непе- рервно диференцiйовних функцiй, що спадають на нескiнченностi разом з похiдними пер- шого та другого порядкiв, та на цьому просторi A збiгається з псевдодиференцiальним оператором типу Левi Lf(x) = a(x) · ∇f(x) + n∑ j,k=1 Qjk(x) ∂2f(x) ∂xj∂xk + + ∫ Rn\{0} (f(x+ u)− f(x)−∇f(x) · u1{∥u∥61})µ(x, du). (1) © В.П. Кнопова, О. М. Кулик, 2016 22 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №5 Тут a(x) ∈ Rn, Q(x) ≡ (Qjk(x)) n j,k=1 є симетричною додатно напiввизначеною матрицею, та µ(x, ·) є додатною борелевою мiрою, що задовольняє умовi∫ Rn\{0} (1 ∧ ∥u∥2)µ(x, du) < ∞ для всiх x ∈ Rn. У випадку, коли функцiї a, Q та ядро µ не залежать вiд x, (1) є зображенням генератора напiвгрупи, що вiдповiдає процесу Левi. Таким чином, процеси типу Левi мають природню iнтерпретацiю як “процеси з локально незалежними приростами”, характеристичний три- плет яких залежить вiд просторової змiнної. Цей факт пояснює назви процес типу Левi та оператор типу Левi. Зауважимо, що зв’язок мiж процесами Левi та процесами типу Левi є подiбним до зв’язку мiж броуновим рухом та дифузiйними процесами. З iншого бо- ку, теорема Курежа–Вальденфельса (Courrége–von Waldenfels, див. Jacob [1, теор. 4.5.21]) стверджує, що довiльний феллерiв процес, генератор C∞(Rn)-напiвгрупи якого є коректно визначеним на C∞ c (Rn) (просторi нескiнченно диференцiйовних функцiй з компактним но- сiєм), є процесом типу Левi. Таким чином, процеси типу Левi є найбiльш типовою формою феллерових процесiв в Rn, а iнтегро-дифференцiальнi оператори виду (1) природним чи- ном пов’язанi з генераторами таких процесiв. Дана стаття мотивована природною та складною задачею про побудову процесу типу Левi за заданим iнтегро-дифференцiальним оператором (1). Iснує кiлька способiв побудови процесу Маркова за заданим оператором типу Левi (1). Одним iз таких способiв є доведення iснування єдиного розв’язку мартингальної задачi для оператору (L,C2 ∞(Rn)). Складна частина цього пiдходу полягає в тому, щоб довести, що мартингальна задача є коректно поставленою, тобто що сiмейство ймовiрнiсних мiр Px, x ∈ Rn є єдиним. Такий пiдхiд було розвинуто в роботах [2–7], див. також оглядову статтю Bass [8] та монографiю Jacob [9]. Але, хоча пiдхiд доведення єдиностi розв’язку мартингальної задачi є ефективним у конструктивному планi, вiн не дає жодної iнформацiї щодо властивостей розподiлу побудованого процесу. Iнший пiдхiд, який розвивається у данiй статтi, є узагальненням класичного методу побудови дифузiйного процесу, основнi кроки якого ми коротко описуємо далi. У випадку параболiчного оператора, тобто коли iнтегральна частина в (1) вiдсутня, класичний метод параметриксу дозволяє побудувати фундаментальний розв’язок pt(x, y) задачi Коши для оператора ∂t − L. (2) Метод параметриксу було вперше запропоновано в роботi [10] та використано у роботi [11] для побудови дифузiйного, чисто розривного, та комбiнованих процесiв; див. також моно- графiю [12], в якiй цей метод детально описаний. Iдея, що лежить в основi методу, полягає в тому, щоб обрати “нульову апроксимацiю” p0t (x, y) та за допомогою цiєї апроксимацiї побу- дувати зображення функцiї pt(x, y) у виглядi ряду. В дифузiйнiй ситуацiї вдається показати, що побудована функцiя дiйсно є фундаментальним розв’язком задачi Коши для (2). Оскiль- ки оператор L задовольняє принцип максимуму, це дозволяє стандартним чином (див. [13, с. 165] або Jacob [1, заув. 4.5.14]) показати, що pt(x, y) є перехiдною ймовiрнiсною щiльнi- стю феллерового процесу, звуження генератора напiвгрупи якого дорiвнює L на функцiях класу C2 ∞(Rn). ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №5 23 Опишемо основнi кроки у нашому методi побудови процесу типу Левi. Першу частину методу присвячено побудовi “кандидата на фундаментальний розв’язок” задачi Кошi для оператора ∂t − L, тобто такої функцiї pt(x, y), що pt(x, ·) → δx при t → 0+, x ∈ Rn (3) та (∂t − L)pt(x, y) = 0, t > 0, x, y ∈ Rn. (4) Наведемо конструкцiю, що лежить в основi класичного методу параметрикса, див. [12, с. 310–311] та [14 с.144–145]. Розглянемо деяку апроксимацiю нульового порядку p0t (x, y) функцiї pt(x, y) та позначимо через rt(x, y) залишковий доданок, отриманий при такiй апроксимацiї, тобто pt(x, y) = p0t (x, y) + rt(x, y). (5) Покладемо Φt(x, y) := (L− ∂t)p 0 t (x, y), t > 0, x, y ∈ Rn. (6) Оскiльки ми припустили, що pt(x, y) є фундаментальним розв’язком задачi Кошi для опе- ратора ∂t − L, то (∂t − L)rt(x, y) = Φt(x, y). Отже, rt(x, y) = (p ⋆ Φ)t(x, y), де ⋆ позначає операцiю згортки (f ⋆ g)(t, x, y) := t∫ 0 n∫ R f(t− τ, x, z)g(τ, z, y) dzdτ, що дозволяє за допомогою (5) записати рiвняння для rt(x, y): rt(x, y) = (p0 ⋆ Φ)t(x, y) + (r ⋆ Φ)t(x, y). Формально розв’язком цього рiвняння є вираз r = p0 ⋆Ψ, (7) де Ψt(x, y) = ∞∑ k=1 Φ⋆k t (x, y). (8) При правильному виборi апроксимацiї нульового порядку p0t (x, y) ми доводимо, що ряд (8) збiгається абсолютно при t > 0 x, y ∈ Rn i вираз (5) має сенс. Технiчно найбiльш складним є питання про адекватнiсть наведеної вище конструкцiї. На вiдмiну вiд дифузiйного випадку функцiя pt(x, y), що побудована вище, не є класичним фундаментальним розв’язком для (2), що не дозволяє вiдтворити описаний вище метод 24 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №5 доведення напiвгрупових властивостей. Ми долаємо цю принципову перешкоду за допомо- гою пiдходу, що базується на використаннi допомiжного об’єкта, а саме апроксимативного фундаментального розв’язку, що являє собою апроксимацiю pt,ϵ(x, y) побудованого ядра pt(x, y). Позначимо Tt,ϵf(x) = n∫ R f(y)pt,ϵ(x, y) dy, t, ϵ > 0, (9) Ttf(x) = n∫ R f(y)pt(x, y) dy, t, ϵ > 0, (10) Використовуючи зображення для pt(x, y) та оцiнки на Φt(x, y) та Ψt(x, y), ми покажемо, що для довiльної f ∈ C∞(Rn) a) сiмейство функцiй Tt,ϵf(x), ϵ > 0 апроксимує Ttf(x) при ϵ → 0 рiвномiрно на компа- ктних пiдмножинах (0,∞) × Rn; b) при t, ϵ → 0 функцiя Qt,ϵf(x) := (∂t − L)Tt,ϵf(x), прямує до нуля, рiвномiрно на компактних пiдмножинах (0,∞) × Rn; тобто функцiї виду Tt,ϵf(x), ϵ > 0, перетворює рiвнiсть (4) у “апроксимативну рiвнiсть”. Такий “апроксимативний” аналог властивостей (3), (4) є значно простiшим у доведеннi нiж самi цi властивостi. З iншого боку, вiн є достатньо потужним для того, щоб гаранту- вати шуканi напiвгруповi властивостi функцiї pt(x, y): ми показуємо, що класичний пiдхiд, який використовує принцип максимуму, може бути ефективно адаптованим до застосува- ння у такiй “апроксимативнiй” ситуацiї. Сформулюємо основнi результати дослiдження. Надалi ми припускаємо, що ядро µ(x, du) має вигляд µ(x, du) = m(x, u)µ(du), де m(x, u) — деяка функцiя, умови на яку буде накладено нижче, а µ — мiра Левi, тобто борельова мiра, така, що∫ Rn\{0} (∥u∥2 ∧ 1)µ(du) < ∞. Позначимо q(ξ) := ∫ Rn\{0} (1− cos(ξ · u))µ(du) (11) та qU (ξ) := ∫ Rn\{0} [(ξ · u)2 ∧ 1]µ(du), qL(ξ) := ∫ \|u·ξ\|61 (ξ · u)2µ(du). (12) Неважко показати, що має мiсце нерiвнiсть (1− cos 1)qL(ξ) 6 q(ξ) 6 2qU (ξ). (13) ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №5 25 Крiм того, функцiя q(ξ) є характеристичною експонентою процесу Левi. Припустимо, що мiра µ задовольняє наступнiй умовi. A1. Iснує β > 1 таке, що sup l∈Sn qU (rl) 6 β inf l∈Sn qL(rl) для всiх достатньо великих r. Позначимо також α := 2 β . (14) Таке позначення мотивоване частковим прикладом симетричної α-стiйкої мiри Левi µ(du) := = c(α)∥u∥−n−αdu, α ∈ (0, 2). А саме, безпосередньо перевiряється, що для цiєї мiри Левi умова A1 має мiсце з β = 2/α. Також можна показати, що з умови A1 випливає, що вiдповiдна характеристична експонента q має полiномiальну нижню оцiнку при великих значеннях ∥ξ∥, яка для симетричного α-стiйкого процесу перетворюється на рiвнiсть: q(ξ) > c0∥ξ∥α, ∥ξ∥ > 1. (15) Ми припускаємо, що функцiя m(x, u) та коефiцiєнт зсуву a(x) задовольняють наступним припущенням. A2. Функцiї m(x, u) та a(x) є вимiрними, та для деяких сталих b1, b2, b3 > 0 мають мiсце нерiвностi b1 6 m(x, u) 6 b2, \|a(x)\| 6 b3, x, u ∈ Rn. A3. Iснують сталi γ ∈ (0, 1] та b4 > 0 такi, що \|m(x, u)−m(y, u)\|+ ∥a(x)− a(y)∥ 6 b4(∥x− y∥γ ∧ 1), u, x, y ∈ Rn. (16) A4. У випадку α ∈ (0, 1] припустимо, що a(x) = 0 та ядро µ(x, du) є симетричним за u для всiх x ∈ Rn. Теорема 1. Припустимо, що виконано одне з наступних припущень. Тодi функцiя pt(x, y), яку введено в (5)–(8), є коректно визначеною (а саме, iснують iнтеграли Φ⋆k, p0 ⋆ Φ⋆k, та ряд ∑ k>0 Φ⋆k збiгається абсолютно), та неперервною на (0,∞)× Rn × Rn. Пояснимо зв’язок мiж функцiєю pt(x, y), процесом Маркова, ймовiрнiсною щiльнiстю якого є pt(x, y), та оператором L. Теорема 2. Припустимо, що виконано умови теореми 1. Тодi сiмейство операто- рiв (Tt)t>0, що визначене в (10), є сильно неперервною консервативною напiвгрупою на C∞(Rn), що вiдповiдає процесу Маркова X. При цьому множина функцiй класу C2 ∞(Rn) належить областi визначення D(A) генератора A цiєї напiвгрупи та (A,D(A)) є продов- женням (L,C2 ∞(Rn)), тобто Af(x) = Lf(x), f ∈ C2 ∞(Rn). Теорема 3. (i) Оператор (A,D(A)) є замиканням (L,C2 ∞(Rn)). (ii) Функцiя pt(·, y) належить областi визначення D(A) оператора A, та є фундамен- тальним розв’язком задачi Кошi для оператора ∂t − A. 26 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №5 Доведення теореми використовує наступну властивiсть похiдних pt,ϵ(x, y): (c) функцiя ∂tpt,ϵ(x, y), ϵ > 0 апроксимує ∂tpt(x, y) при ϵ → 0, рiвномiрно на компактних пiдмножинах (0,∞) × Rn × Rn. Ця властивiсть разом з (b) дозволяє контролювати L на функцiях виду Tt,ϵf , f ∈ D(A), та показати, що A є замиканням L в C∞. Перше твердження теореми 3 дає змогу довести єдинiсть розв’язку мартингальної задачi для оператора (L,C2 ∞(Rn)), тобто iснування єдиної ймовiрнiсної мiри Px, x ∈ Rn, P(X0 = = x) = 1, такої, що процес f(Xt)− t∫ 0 Lf(Xs)ds, f ∈ C2 ∞(Rn) є мартингалом. Теорема 4. Процес Маркова X, побудований в теоремi 3, є єдиним розв’язком мар- тингальної задачi для (L,C2 ∞(Rn)). Метод параметрикса також дає можливiсть побудувати верхню та нижню оцiнки на ймовiрнiсну щiльнiсть pt(x, y). Позначимо через fup та flow функцiї виду fup(x) := b1e −b2∥x∥, flow(x) := b3(1− b4∥x∥)+, x ∈ Rn, (17) де bi > 0, 1 6 i 6 4, є сталими. Теорема 5. Для довiльного t0 > 0 iснують сталi bi > 0, 1 6 i 6 4, та сiмейство субймовiрнiсних мiр {Qt, t > 0}, таке, що ρnt flow(ρt(y − x)) 6 pt(x, y) 6 ρnt (fup(ρt·) ∗Qt)(y − x), t ∈ (0, t0], x, y ∈ Rn. (18) де fup, flow є функцiями типу (17) зi сталими bi вiдповiдно, а операцiя ∗ означає згортку за просторовими змiнними. Цитована лiтература 1. Jacob N. Pseudo-differential operators and Markov processes, I: Fourier analysis and Semigroups. – London: Imperial College Press, 2001. – 493 p. 2. Bass R. F. Uniqueness in law for pure jump Markov processes // Probab. Th. Rel. Fields. – 1988. – 79, No 2. – P. 271–287. 3. Hoh W. The martingale problem for a class of pseudo-differential operators // Math. Ann. – 1994. – 300, No 1. – P. 121–147. 4. Hoh W. Pseudo-differential operators with negative definite symbols and the martingale problem // Stoch. Stoch. Rep. – 1995. – 55, No 3–4. – P. 225–252. 5. Komatsu T. On the martingale problem for generators of stable processes with perturbations // Osaka J. Math. – 1984. – 21, No 1. – P. 113–132. 6. Tsuchiya M. On a small drift of Cauchy process // J. Math. Kyoto Univ. – 1970. – No 10. – P. 475–492. 7. Tsuchiya M. On some perturbations of stable processes // Proc. “Second Japan-USSR Symposium on Probability Theory”. Eds. G. Maruyama, Yu. V. Prokhorov Yu. – Berlin: Springer, 1972. – P. 490–497. 8. Bass R. F. Stochastic differential equations with jumps // Probability Surveys. – 2004. – No 1. – P. 1–19. 9. Jacob N. Pseudo-differential operators and Markov processes, III: Markov Processes and Applications. – London: Imperial College Press, 2005. – 474 p. 10. Levi E. E. Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali // Rend. del. Circ. Mat. Palermo. – 1907. – 24. – P. 275–317. ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №5 27 11. Feller W. Zur Theorie der stochastischen Prozesse. (Existenz – und Eindeutigkeitssätze) // Math. Ann. – 1936. – 113. – P. 113–160. 12. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. – New York: Prentice-Hall, 1964. – 427 p. 13. Ethier S.N., Kurtz, T.G. Markov Processes: Characterization and Convergence. – New York: Wiley, 1986. – 470 p. 14. Jacob N. Pseudo differential operators and Markov processes, II: Generators and their potential theory. – London: Imperial College Press, 2002. – 453 p. References 1. Jacob N. Pseudo-differential operators and Markov processes, I: Fourier analysis and Semigroups, Imperial College Press, 2001. 2. Bass R. F. Probab. Th. Rel. Fields., 1988, 79, No 2: 271–287. 3. Hoh W. Math. Ann., 1994, 300, No 1: 121–147. 4. Hoh, W. Stoch. Stoch. Rep., 1995, 55, No 3–4: 225–252. 5. Komatsu, T. Osaka J. Math., 1984, 21, No 1: 113–132. 6. Tsuchiya M. J. Math. Kyoto Univ., 1970, No 10: 475–492. 7. Tsuchiya M. Proc. “Second Japan-USSR Symposium on Probability Theory”. Eds. G. Maruyama, Yu. V. Prokhorov Yu., Berlin: Springer, 1972: 490–497. 8. Bass R. F. Probability Surveys., 2004, No 1: 1–19. 9. Jacob N. Pseudo differential operators and Markov processes, III: Markov Processes and Applications, London: Imperial College Press, 2005. 10. Levi E. E. Rend. del. Circ. Mat. Palermo., 1907, 24: 275–317. 11. Feller W. Math. Ann., 1936, 113: 113–160. 12. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type, New-York: Prentice-Hall, 1964. 13. Ethier S.N., Kurtz, T.G. Markov Processes: Characterization and Convergence, New York: Wiley, 1986. 14. Jacob N. Pseudo differential operators and Markov processes, II: Generators and their potential theory, London: Imperial College Press, 2002. Надiйшло до редакцiї 04.12.2015 В.П. Кнопова1, А. М. Кулик2 1Институт кибернетики им. В. М. Глушкова НАН Украины, Киев 2Институт математики НАН Украины, Киев E-mail: vic_knopova@gmx.de, kulik.alex.m@gmail.com Построение процесса типа Леви при помощи метода параметрикса Для широкого класса интегро-дифференциальных операторов доказано, что C∞(Rn)-замыка- ние каждого из таких операторов является генератором полугруппы, которая соответст- вует феллеровскому процессу Маркова. Для плотности переходной вероятности найдено представление в виде ряда, а также найдены верхние и нижние оценки. Метод доказа- тельства существенным образом базируется на обобщении метода параметрикса для за- дачи Коши с псевдодифференциальным оператором. Ключевые слова: плотность переходной вероятности, процессы типа Леви, псевдодиффе- ренциальный оператор, метод параметрикса Леви. 28 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №5 V.P. Knopova1, A. M. Kulik2 1V. M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine, Kiev 2Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev E-mail: vic_knopova@gmx.de, kulik.alex.m@gmail.com Construction of a Lévy-type process by means of the parametrix method For a wide class of integro-differential operators, it is proved that the C∞(Rn)-closure of each of such operators is the generator of a semigroup corresponding to a Feller Markov process. The transition probability density of the process is expressed in the form of a convergent series, and the estimates from above and below are provided. The proof is based essentially on a generalization of the parametrix method for the Cauchy problem for pseudodifferential operators. Keywords: transition probability density, Lévy-type processes, pseudodifferential operator, gene- rator, Levi’s parametrix method. ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №5 29

Побудова процесу типу Левi за допомогою методу параметриксу

Репозитарії

Схожі ресурси