Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних
Дослiджуються асимптотичнi властивостi Σ-класифiкатора, що не вимагає попередньої iнформацiї про розподiл або форму роздiлової кривої. Побудовано математичний апарат для розв’язання багатокласових задач розпiзнавання з неелiптичним розподiлом даних на основi методу мажоритарного голосування. Дослi...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104774 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних / О.А. Галкін // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 6. — С. 25-30. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-104774 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1047742017-11-27T09:19:08Z Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних Галкін, О.А. Інформатика та кібернетика Дослiджуються асимптотичнi властивостi Σ-класифiкатора, що не вимагає попередньої iнформацiї про розподiл або форму роздiлової кривої. Побудовано математичний апарат для розв’язання багатокласових задач розпiзнавання з неелiптичним розподiлом даних на основi методу мажоритарного голосування. Дослiджено процедуру визначення форм роздiлових кривих Σ-класифiкатора по геометричнiй структурi даних, що лежать в основi Σ-схеми. Визначено умови, при яких Σ-класифiкатор є асимптотично еквiвалентним правилу Байєса. Исследуются асимптотические свойства Σ-классификатора, который не требует предварительной информации о распределении или форме разделительной кривой. Построен математический аппарат для решения многоклассовых задач распознавания с неэллиптическим распределением данных на основе метода мажоритарного голосования. Исследована процедура определения форм разделительных кривых Σ-классификатора по геометрической структуре данных, лежащих в основе Σ-схемы. Определены условия, при которых Σ-классификатор является асимптотически эквивалентным правилу Байеса. The asymptotic properties of a Σ-classifier that does not require a priori information about the distribution or shape of a dividing curve are studied. A mathematical apparatus is built to solve multiclass recognition problems with a non-elliptic distribution of data on the basis of the majority voting method. The procedure is studied to determine the shapes of dividing curves of a Σ-classifier by the geometric structure of data that are the basis of the Σ-scheme. The conditions, under which the Σ-classifier is asymptotically equivalent to the Bayes rule, are defined. 2016 Article Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних / О.А. Галкін // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 6. — С. 25-30. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104774 519.7 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Галкін, О.А. Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних Доповіді НАН України |
| description |
Дослiджуються асимптотичнi властивостi Σ-класифiкатора, що не вимагає попередньої iнформацiї про розподiл або форму роздiлової кривої. Побудовано математичний
апарат для розв’язання багатокласових задач розпiзнавання з неелiптичним розподiлом
даних на основi методу мажоритарного голосування. Дослiджено процедуру визначення форм роздiлових кривих Σ-класифiкатора по геометричнiй структурi даних, що лежать в основi Σ-схеми. Визначено умови, при яких Σ-класифiкатор є асимптотично
еквiвалентним правилу Байєса. |
| format |
Article |
| author |
Галкін, О.А. |
| author_facet |
Галкін, О.А. |
| author_sort |
Галкін, О.А. |
| title |
Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних |
| title_short |
Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних |
| title_full |
Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних |
| title_fullStr |
Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних |
| title_sort |
асимптотичні властивості σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/104774 |
| citation_txt |
Асимптотичні властивості Σ-класифікатора для багатокласових задач розпізнавання з нееліптичним розподілом даних / О.А. Галкін // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 6. — С. 25-30. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT galkínoa asimptotičnívlastivostísklasifíkatoradlâbagatoklasovihzadačrozpíznavannâzneelíptičnimrozpodílomdanih |
| first_indexed |
2025-07-07T15:51:37Z |
| last_indexed |
2025-07-07T15:51:37Z |
| _version_ |
1837003962466697216 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
6 • 2016
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.06.025
УДК 519.7
О.А. Галкiн
Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка
E-mail: galkin.o.a@gmail.com
Асимптотичнi властивостi Σ-класифiкатора
для багатокласових задач розпiзнавання
з неелiптичним розподiлом даних
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А.В. Анiсiмовим)
Дослiджуються асимптотичнi властивостi Σ-класифiкатора, що не вимагає попере-
дньої iнформацiї про розподiл або форму роздiлової кривої. Побудовано математичний
апарат для розв’язання багатокласових задач розпiзнавання з неелiптичним розподiлом
даних на основi методу мажоритарного голосування. Дослiджено процедуру визначе-
ння форм роздiлових кривих Σ-класифiкатора по геометричнiй структурi даних, що
лежать в основi Σ-схеми. Визначено умови, при яких Σ-класифiкатор є асимптотично
еквiвалентним правилу Байєса.
Ключовi слова: правило Байеса, Σ-класифiкатор, асимптотична збiжнiсть.
Постановка задачi. Дана робота присвячена дослiдженню результатiв узгодженостi Σ-
класифiкатора, який описано в [1], а також визначенню умов, при яких запропоноване пра-
вило класифiкацiї буде асимптотично еквiвалентним правилу Байєса. Враховуючи той факт,
що дослiджуванi функцiї глибини є обмеженими, будемо вважати, що вони обмеженi. Ви-
значимо Vτ (r1, r2) = 1, якщо r2 > dτ (r1) та Vτ (r1, r2) = 0, якщо r2 6 dτ (r1) при r1, r2 ∈ [0, 1]
та τ ∈ R∆0 . Вирази Vτ (EH(z), EU (z)) та VτM (EHn(z), EUm(z)) вiдповiдають Σ-класифiкато-
ру та його емпiричному аналогу, що має таку форму при τM = argmin{ΨM (τ)}: a) якщо
EUm(z) > dτM (EHn(z)), тодi z ∈ U ; б) якщо EUm(z) < dτM (EHn(z)), тодi z ∈ H.
Коефiцiєнти помилкової класифiкацiї для Vτ (EH(z), EU (z)) та VτM (EHn(z), EUm(z)) мож-
на визначити таким чином:
Ψ(Vτ ) = p1PH{x : Vτ (EH(x), EU (x)) = 1}+ p2PU{x : Vτ (EH(x), EU (x)) = 0} (1)
© О.А. Галкiн, 2016
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №6 25
та
ΨM (VM ) = p1PH{x : VτM (EHn(x), EUm(x)) = 1}+
+ p2PU{x : VτM (EHn(x), EUm(x)) = 0}, (2)
де ΨM (VM ) є умовною ймовiрнiстю помилкової класифiкацiї, коли EUm(X) та dτM (EHn(X))
використовуються для класифiкацiї елемента X.
Властивостi Σ-класифiкатора. Розглянемо функцiю Vω(r1, r2) = ω(r1), де змiнну ω
будемо використовувати у якостi показника скiнченного об’єднання iнтервалiв [2]. Пiсля за-
стосування даної функцiї до (EH(x), EU (x)), класифiкацiя точки x вiдбуватиметься виклю-
чно на основi її глибини вiдносно H. Крiм того, пов’язана iз функцiєю ω помилка невiрної
класифiкацiї може бути визначена таким чином:
Ψ(Vω) = p1PH{x : Vω(EH(x), EU (x)) = 1}+ p2PU{x : Vω(EH(x), EU (x)) = 0}. (3)
Далi припустимо, що для a ∈ R та ∀τ ∈ R∆0
PH{x : EU (x) = dτ (EH(x))} = PU{x : EU (x) = dτ (EH(x))} = 0, (4)
PH{x : EH(x) = a} = PU{x : EH(x) = a} = 0. (5)
Твердження 1 . ∃V0 ∈ G, що Ψ(V0) = inf
V ∈G
Ψ(V ) при умовi, якщо H та U задоволь-
няють (4) та (5).
Теорема 1. Нехай EH(·) та EU (·) задовольняють асимптотичнiй збiжностi
sup
z
|EHn(z) − EH(z)| → 0 та sup
z
|EUm(z) − EU (z)| → 0 при min(n,m) → ∞, а також є
неперервними. Крiм того припустимо, що H та U задовольняють (4) та (5). Тодi ΨM (V )
асимптотично сходиться до Ψ(V )приmin(n,m) → ∞для∀ V ∈ G.
Доведення. Розглядаючи майже напевну збiжнiсть послiдовностей, ми використаємо
теорему Скорохода в сенсi розподiльної збiжностi для побудови вiдповiдного представлення
емпiричних розподiлiв [3]. Припустимо, що випадковi вибiрки {Zn} та {Xm} визначенi на
ймовiрнiсному просторi (E, η, ε), а випадковiсть введених величин залежить вiд e ∈ E.
Таким чином, ми приймаємо {Zn(e)} та {Xm(e)} для послiдовностей, а такожHe
n та U e
m для
емпiричних розподiлiв, що базуються на {Z1(e), . . . , Zn(e)} та {X1(e), . . . , Xm(e)} вiдповiдно.
Для спрощення запису введемо позначення Ψe
M та V e
M .
Можна стверджувати, що ∃ множина E0 ∈ η, яка ε(E0) = 1 та для ∀ε ∈ E0 послiдовностi
функцiй розподiлу {He
n} та {U e
m} сходяться до H та U вiдповiдно. Даний висновок слiдує
з r-вимiрної теореми Гливенко–Кантеллi, оскiльки min(n,m) → ∞. Тодi ∃ такий ймовiр-
нiсний простiр (I, ηI, εI), що якщо e ∈ E0, тодi ∃ такi послiдовностi випадкових величин
{Xe,H
n }n>0 та {Xe,U
m }m>0, що
а) розподiлом Xe,H
n є He
n, а розподiлом Xe,U
m –U e
m для ∀n, m = 1, . . .. Також розподiлом
Xe,H
0 є H, а розподiлом Xe,U
0 –U .
б) послiдовностi {Xe,H
n }n>1 та {Xe,U
m }m>1 сходяться майже напевно до випадкових ве-
личин Xe,H
0 та Xe,U
0 вiдповiдно.
Наступнi результати мають мiсце при застосуваннi доданих послiдовностей теореми Ско-
рохода.
26 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №6
Зазначимо, що множина E∗ = E0
∩
E1 має ймовiрнiсть 1, оскiльки E1 є множиною
одиничної ймовiрностi, в якiй збiжностi sup
z
|EHn(z)−EH(z)| → 0 та sup
z
|EUm(z)−EU (z)| → 0
задоволенi. Отже ми маємо
Ψe
M (V ) = p1PHe
n
{z : V (EHe
n
(z), EUe
m
(z)) = 1}+ p2PUe
m
{z : V (EHe
n
(z), EUe
m
(z)) = 0} =
= p1εI{V (EHe
n
(Xe,H
n ), EUe
m
(Xe,H
n )) = 1}+ p2εI{V (EHe
n
(Xe,U
m ), EUe
m
(Xe,U
m )) = 0} =
=W e
n +Qe
m. (6)
де e ∈ E∗.
Крiм того, має мiсце така рiвнiсть:
|EHe
n
(Xe,H
n )− EH(Xe,H
0 )| = |EHe
n
(Xe,H
n )− EH(Xe,H
n )|+ |EH(Xe,H
n )−EH(Xe,H
0 )| =
=W e
n,1 +W e
n,2.
(7)
Оскiльки точка e розглядається як така, що належить до E1, то {W e
n,1}n → 0. Однак,
оскiльки e ∈ E0, εI
ас.→Xe,H
0 , де Xe,H
n є випадковими величинами, що визначенi на I.
Отже, W e
n,2εI
ас.→ 0, оскiльки EH є неперервною функцiєю. Використовуючи аналогiчний
пiдхiд до EUe
m
(Xe,H
n ), ми отримуємо
(EHe
n
(Xe,H
n ), EUe
m
(Xe,H
n ))
ас.→(EH(Xe,H
0 ), EU (X
e,H
0 ))
вiдносно ймовiрностi εI. У даному випадку межею множини {(t, b) : V (t, b) = 0} є {(t, b) : t =
= d(b)}, коли V = Vd (d є многочленом) та множиною вигляду {{ai}× [0, 1] : i = 1, . . . , f+1},
коли V є показником об’єднання f iнтервалiв.
Тому, як слiдує з (4) та (5),
W e
n → p1εI{V (EH(Xe,H
0 ), EU (X
e,H
0 )) = 1} = p1PH(z : V (EH(z), EU (z)) = 1}, (8)
оскiльки розподiлом Xe,H
0 є H. Отже, результат має мiсце, оскiльки (8) виконується для
∀e ∈ E∗, що є множиною одиничної ймовiрностi. Теорему доведено.
Далi наведено лему 1, з якої слiдує, що VM
ас.→V0, де VM мiнiмiзує емпiричний коефiцiєнт
помилкової класифiкацiї, а V0 — множинний коефiцiєнт помилкової класифiкацiї.
Лема 1. Нехай VM = arg min
V ∈G
{ΨM (V )} та V0 = arg min
V ∈G
{Ψ(V )}. Крiм того, нехай
асимптотична збiжнiсть розглядається, як
PH{x : VM (EH(x), EU (x)) → V0(EH(x), EU (x))} = 1 (9)
та
PU{x : VM (EH(x), EU (x)) → V0(EH(x), EU (x))} = 1. (10)
Тодi, якщо V0 є унiкальним, то VM
ас.→V0 при min(n,m) → ∞.
Доведення. Як слiдує з теореми 1, ∃ така множина одиничної ймовiрностi E∗, що
Ψe
M (V0)
ас.→Ψ(V0) для ∀e ∈ E∗. Крiм того, E∗ мiстить множину E0, в якiй виконується асим-
птотична збiжнiсть sup
z
|EHn(z) − EH(z)| → 0 та sup
z
|EUm(z) − EU (z)| → 0, а також має
мiсце теорема Скорохода [4].
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №6 27
Розглянемо послiдовнiсть {V e
M}M , де e ∈ E∗ є фiксованою точкою. Для доведення да-
ної леми необхiдно показати, що вся послiдовнiсть сходиться до E0. Дана збiжнiсть буде
мати мiсце, якщо кожна пiдпослiдовнiсть {V e
M}M буде мiстити додаткову пiдпослiдовнiсть,
що сходиться до E0. Отже, розглянемо пiдпослiдовнiсть {V e
M}M . Зазначимо, що дана пiд-
послiдовнiсть мiстить асимптотично збiжну пiдпослiдовнiсть. Позначимо границю збiжної
пiдпослiдовностi послiдовностi {V e
M}M , як V e.
Розглядаючи послiдовнiсть {Ψe
M (V e
M )}M , ми маємо
Ψe
M (V e
M ) = p1εI{V e
M (EHe
n
(Xe,H
n ), EUe
m
(Xe,H
n )) = 1}+
+ p2εI{V e
M (EHe
n
(Xe,U
m ), EUe
m
(Xe,U
m )) = 0}, (11)
як i в доведеннi теореми 1.
Аналогiчним чином ми отримуємо, що
(EHe
n
(Xe,H
n ), EUe
m
(Xe,H
n ))
ас.→(EH(Xe,H
0 ), EU (X
e,H
0 )). (12)
Зазначимо, що збiжнiсть V e
M → V e означає, що V e
M (EH(z), EU (z)) = 1 при умовi, якщо
V e(EH(z), EU (z)) = 1, а (EH(z), EU (z)) не належить межi множини {V e = 1}.
Розглядаючи асимптотичну збiжнiсть вiдносно ймовiрностi εI, ми отримуємо такi асим-
птотичнi збiжностi:
Λ{V e
M (EHe
n
(Xe,H
n ),EUe
m
(Xe,H
n ))=1} → Λ{V e(EH(Xe,H
0 ),EU (Xe,H
0 ))=1} (13)
та
Λ{V e
M (EHe
n
(Xe,H
n ),EUe
m
(Xe,H
n ))=0} → Λ{V e(EH(Xe,H
0 ),EU (Xe,H
0 ))=0}, (14)
оскiльки ймовiрнiсть того, що Xe,H
0 належить межi {V e = 1} дорiвнює нулю.
З рiвностi (11) та теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть слiдує, що Ψe
M (V e
M ) →
→ Ψ(V e) для точки e, оскiльки всi випадковi величини є додатними та обмеженими 1 [5].
Крiм того, в данiй точцi e має мiсце збiжнiсть Ψe
M (V0)
ас.→Ψ(V0), та як e ∈ E∗.
Таким чином, Ψ(V e) = Ψ(V0), оскiльки
Ψ(V0) = limΨe
M (V0) > limΨe
M (V e
M ) = Ψ(V e) > Ψ(V0), (15)
що слiдує з визначення V0 та V e
M . Отже, V e = V0, враховуючи унiкальнiсть V0. Лему до-
ведено.
Далi наведемо основний результат роботи.
Теорема 2. Припустимо, що p1 = p2, а функцiї щiльностi h1(·) та h2(·) з H та
U вiдповiдно мають вигляд hi(z) = vi|Ξi|−1/2fi((z − εi)
′Ξ−1
i (z − εi)) з h1(·) = h2(·) та
Ξ1 = Ξ2, де i = 1, 2. Якщо τ1 = (1, 0, . . . , 0), а функцiя глибини, що використовується
в алгоритмi класифiкацiї є глибиною Махаланобiса, напiвпросторовою глибиною, симплi-
цiальною глибиною, або проекцiйною глибиною, тодi ми маємо, що Ω(ΨM (VM )) → Ψ(Vτ1)
при min(n,m) → ∞.
Доведення. З леми 1 слiдує, що VM
ас.→Vτ1 при min(n,m) → ∞. Крiм того, V0 = Vτ1 .
Зазначимо також, що
|ΨM (VM )−Ψ(Vτ1)| 6 p1
∫
|Λ{V M (EHn (x),EUm (x))=1} − Λ{Vτ1 (EH(x),EU (x))=1}|h1(x) dx+
28 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №6
+ p2
∫
|Λ{V M (EHn (x),EUm (x))=0} − Λ{Vτ1 (EH(x),EU (x))=0}|h2(x) dx. (16)
З теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть маємо
|ΨM (VM )−Ψ(Vτ1)|
ас.→ 0 (17)
при min(n,m) → ∞. Даний результат має мiсце при об’єднаннi емпiричних функцiй глибини
з множинними функцiями глибини з майже напевною поточковою збiжнiстю. Остаточний
результат маємо при повторному застосуваннi теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть.
Теорему доведено.
Враховуючи припущення теореми 2, можна стверджувати, що правило Байєса еквiва-
лентно такiй схемi: 1) якщо EU (z) > EH(z), тодi z належатиме U ; 2) якщо EU (z) < EH(z),
тодi z належатимеH. Таким чином, Ψ(Vτ1) вiдповiдає байєсiвському ризику. Отже, на основi
заданих припущень можна стверджувати, що запропонований Σ-класифiкатор еквiвален-
тний правилу Байєса.
Цитована лiтература
1. Галкiн О.А. Непараметричний метод класифiкацiї для задач з неелiптичним розподiлом даних на
основi глибиннозалежної Σ-схеми // Вiсн. Київ. нац. ун-ту iм. Тараса Шевченка. Сер. фiз.-мат. нау-
ки. – 2015. – № 3. – С. 60–65.
2. Lange T., Mosler K, Mozharovskyi P. Fast nonparametric classification based on data depth // Statist.
Papers. – 2014. – 55. – P. 53–67.
3. Cuesta-Albertos J. A., Nieto-Reyes A. The random Tukey depth // Computational Statistics & Data
Analysis. – 2008. – 52. – P. 4980–4987.
4. Li J., ZuoR. Y. New nonparametric tests of multivariate locations and scales using data depth // Statistical
Sci. – 2004. – 19. – P. 687–694.
5. Zuo Y. J. Projection-based depth functions and associated medians // The Annals of Statistics. – 2003. –
31. – P. 1463–1484.
References
1. Galkin О. А. Bull. of Taras Shevchenko National University of Kiev. Ser. Phys. & Math., 2015, No 3: 60–65
(in Ukrainian).
2. Lange T., Mosler K, Mozharovskyi P. Statist. Papers, 2014, 55: 53–67.
3. Cuesta-Albertos J. A., Nieto-Reyes A. Computational Statistics & Data Analysis, 2008, 52: 4980–4987.
4. Li J., Zuo R.Y. Statistical Sci., 2004, 19: 687–694.
5. Zuo Y. J. The Annals of Statistics, 2003, 31: 1463–1484.
Надiйшло до редакцiї 14.09.2015
А.А. Галкин
Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко
E-mail: galkin.o.a@gmail.com
Асимптотические свойства Σ-классификатора для многоклассовых
задач распознавания с неэллиптическим распределением данных
Исследуются асимптотические свойства Σ-классификатора, который не требует предва-
рительной информации о распределении или форме разделительной кривой. Построен ма-
тематический аппарат для решения многоклассовых задач распознавания с неэллиптиче-
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №6 29
ским распределением данных на основе метода мажоритарного голосования. Исследована
процедура определения форм разделительных кривых Σ-классификатора по геометрической
структуре данных, лежащих в основе Σ-схемы. Определены условия, при которых Σ-клас-
сификатор является асимптотически эквивалентным правилу Байеса.
Ключевые слова: правило Байеса, Σ-классификатор, асимптотическая сходимость.
O.A. Galkin
Taras Shevchenko National University of Kiev
E-mail: galkin.o.a@gmail.com
The asymptotic properties of a Σ-classifier for multiclass recognition
problems with non-elliptic distribution of data
The asymptotic properties of a Σ-classifier that does not require a priori information about the
distribution or shape of a dividing curve are studied. A mathematical apparatus is built to solve
multiclass recognition problems with a non-elliptic distribution of data on the basis of the majority
voting method. The procedure is studied to determine the shapes of dividing curves of a Σ-classifier
by the geometric structure of data that are the basis of the Σ-scheme. The conditions, under which
the Σ-classifier is asymptotically equivalent to the Bayes rule, are defined.
Keywords: Bayes rule, Σ-classifier, asymptotic convergence.
30 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №6
|