Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом
Приводятся теоретические основы линейной теории внутренних волн Кельвина в стратифицированном море под ледяным покровом. Лед полагается тонкой упругой пластиной постоянной толщины с постоянными значениями модуля Юнга, коэффициентов Пуассона и сжатия. Считается, что нормальная скорость на дне равна н...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Морський гідрофізичний інститут НАН України
2013
|
| Назва видання: | Морской гидрофизический журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105097 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом / С.В. Музылев, Т.Б. Цыбанева // Морской гидрофизический журнал. — 2013. — № 5. — С. 36-43. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-105097 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1050972016-08-07T03:02:29Z Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом Музылев, С.В. Цыбанева, Т.Б. Термогидродинамика океана Приводятся теоретические основы линейной теории внутренних волн Кельвина в стратифицированном море под ледяным покровом. Лед полагается тонкой упругой пластиной постоянной толщины с постоянными значениями модуля Юнга, коэффициентов Пуассона и сжатия. Считается, что нормальная скорость на дне равна нулю, на нижней границе льда выполнены линеаризованные кинематическое и динамическое условия. Найдены явные решения для внутренних волн Кельвина, а также соответствующие им дисперсионные уравнения. Задача рассматривается в рамках единой теории волн под ледяным покровом без использования приближения гидростатики. Наводяться теоретичні основи лінійної теорії внутрішніх хвиль Кельвіна в стратифікованому морі під крижаним покривом. Крига вважається тонкою пружною пластиною постійної товщини з постійними значеннями модуля Юнга, коефіцієнтів Пуассона і стиснення. Вважається, що нормальна швидкість на дні рівна нулю, на нижній межі криги виконані лінеарізовані кінематична та динамічна умови. Знайдені явні рішення для внутрішніх хвиль Кельвіна, а також відповідні їм дисперсійні рівняння. Задача розглядається в рамках єдиної теорії хвиль під крижаним покривом без використання наближення гідростатики. Theoretical foundation of the linear theory of the Kelvin internal waves in a stratified sea under the ice cover is represented. The ice is assumed to be a thin elastic plate with constant thickness and constant values of the Yung module, the Poisson coefficients and compression. Normal velocity on the bottom is assumed to equal zero; on the lower ice boundary the linearized kinematic and dynamic conditions are fulfilled. Evident solutions for the Kelvin internal waves and the corresponding dispersion equations are found. The problem is considered within the framework of the unified theory of waves under the ice cover without application of hydrostatics approximation. 2013 Article Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом / С.В. Музылев, Т.Б. Цыбанева // Морской гидрофизический журнал. — 2013. — № 5. — С. 36-43. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0233-7584 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105097 551.466:551.467 ru Морской гидрофизический журнал Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана |
| spellingShingle |
Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана Музылев, С.В. Цыбанева, Т.Б. Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом Морской гидрофизический журнал |
| description |
Приводятся теоретические основы линейной теории внутренних волн Кельвина в стратифицированном море под ледяным покровом. Лед полагается тонкой упругой пластиной постоянной толщины с постоянными значениями модуля Юнга, коэффициентов Пуассона и сжатия. Считается, что нормальная скорость на дне равна нулю, на нижней границе льда выполнены линеаризованные кинематическое и динамическое условия. Найдены явные решения для внутренних волн Кельвина, а также соответствующие им дисперсионные уравнения. Задача рассматривается в рамках единой теории волн под ледяным покровом без использования приближения гидростатики. |
| format |
Article |
| author |
Музылев, С.В. Цыбанева, Т.Б. |
| author_facet |
Музылев, С.В. Цыбанева, Т.Б. |
| author_sort |
Музылев, С.В. |
| title |
Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом |
| title_short |
Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом |
| title_full |
Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом |
| title_fullStr |
Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом |
| title_full_unstemmed |
Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом |
| title_sort |
внутренние волны кельвина в море под ледяным покровом |
| publisher |
Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Термогидродинамика океана |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105097 |
| citation_txt |
Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом / С.В. Музылев, Т.Б. Цыбанева // Морской гидрофизический журнал. — 2013. — № 5. — С. 36-43. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Морской гидрофизический журнал |
| work_keys_str_mv |
AT muzylevsv vnutrennievolnykelʹvinavmorepodledânympokrovom AT cybanevatb vnutrennievolnykelʹvinavmorepodledânympokrovom |
| first_indexed |
2025-07-07T16:19:05Z |
| last_indexed |
2025-07-07T16:19:05Z |
| _version_ |
1837005690488487936 |
| fulltext |
© С.В. Музылев, Т.Б. Цыбанева, 2013
УДК 551.466:551.467
Посвящается светлой памяти
Александра Исаевича Фельзенбаума –
учителя, наставника и друга
С.В. Музылев, Т.Б. Цыбанева
Внутренние волны Кельвина в море под ледяным покровом
Приводятся теоретические основы линейной теории внутренних волн Кельвина в страти-
фицированном море под ледяным покровом. Лед полагается тонкой упругой пластиной посто-
янной толщины с постоянными значениями модуля Юнга, коэффициентов Пуассона и сжатия.
Считается, что нормальная скорость на дне равна нулю, на нижней границе льда выполнены
линеаризованные кинематическое и динамическое условия. Найдены явные решения для внут-
ренних волн Кельвина, а также соответствующие им дисперсионные уравнения. Задача рас-
сматривается в рамках единой теории волн под ледяным покровом без использования прибли-
жения гидростатики.
Ключевые слова: волны Кельвина, внутренние волны, ледяной покров, параметр Корио-
лиса.
Введение. Теоретическое описание волновых движений в океане с уче-
том рельефа дна, береговых границ, вращения Земли и стратификации вод
является классической проблемой геофизической гидродинамики. Среди та-
ких движений важную роль в динамике атмосферы и океана играют крупно-
масштабные береговые волны Кельвина. Специфика таких гравитационных
волн состоит в том, что они возникают из-за влияния вращения Земли на
волны, захваченные береговой границей. Эти волны, движущиеся в одном
направлении, в Северном полушарии обегают контур бассейна против часо-
вой стрелки, нормальная к берегу составляющая их скорости тождественно
равна нулю, амплитуда волн максимальна на береговой границе и экспонен-
циально убывает в сторону открытого моря. Волны Кельвина подразделяются
на поверхностные, или баротропные, и внутренние, или бароклинные. По-
верхностные волны Кельвина охватывают всю толщу жидкости от свободной
поверхности моря до дна, а внутренние волны Кельвина обычно наблюдают-
ся в слоях морской воды с большими градиентами плотности (например в
окрестности океанического термоклина).
В большинстве широко известных монографий по волнам в океане [1 – 4]
нет никакого упоминания о возможном влиянии ледяного покрова на волны в
океане, и волны Кельвина в частности. Вероятно, это связано с тем, что для
корректного учета ледяного покрова требуется привлечение не только гидро-
динамических подходов, но и методов теории упругости, что существенно
затрудняет исследования.
Постановка задачи и основные уравнения теории. Сплошной ледяной
покров при достаточно естественных условиях можно рассматривать как
тонкую упругую пластину, плавающую на поверхности моря. Если не инте-
ресоваться процессами, происходящими в толще льда, то основные уравне-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 5 36
ния и граничные условия при учете ледяного покрова не должны отличаться
от аналогичных уравнений и условий в случае отсутствия льда на поверхно-
сти моря. Исключением является динамическое условие на границе вода –
лед, в котором появляются дополнительные слагаемые, обусловленные упру-
гими свойствами льда, силами инерции и сжатия – растяжения, действующи-
ми на ледяной покров.
Пусть в состоянии гидростатического равновесия при отсутствии фоно-
вых течений жидкость характеризуется плотностью 0 ( )zρ и давлением
0 0
0
( ) ( )
z
P z g z dzρ≡ − ∫ (ось z направлена вертикально вверх). Рассмотрим вол-
новые движения, представляющие собой малые отклонения от такого состоя-
ния равновесия с плотностью 0 ( ) ( , , , )wz x y z tρ ρ+ ( ( , , , )w x y z tρ << 0 ( )zρ ) и
давлением 0 ( ) ( , , , )P z P x y z t+ ( ( , , , )P x y z t <<P0(z)). Отклонение давления от
гидростатического ( , , , )P x y z t будем называть возмущением давления. Когда
это не будет вызывать недоразумений, мы будем говорить о давлении, подра-
зумевая возмущенное давление P .
Рассмотрим на вращающейся Земле заполненный стратифицированной
жидкостью бассейн постоянной глубины constz H= − = , ограниченный
прямолинейным берегом. Будем считать, что сверху бассейн покрыт ледяным
покровом постоянной толщины h. Ось z направлена вертикально вверх, ось
x совпадает с линией берега ( 0y = ), ось y направлена по нормали к берегу
в сторону открытого моря.
Исходная линеаризованная система уравнений в приближении идеальной
жидкости имеет вид [5]:
0
0
1
1
u Pf v
t x
v Pf u
t y
ρ
ρ
∂ ∂
− = −
∂ ∂
∂ ∂
+ = −
∂ ∂
,
,
(1)
0
1
w
w P g
t z
ρ
ρ
∂ ∂
= − + ∂ ∂
, (2)
0u v w
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
, (3)
2
0
1 0w N w
t g
ρ
ρ
∂
− =
∂
. (4)
Здесь ,u v – компоненты горизонтальной скорости вдоль осей x и y соответ-
ственно; w – вертикальная скорость; t – время; g – ускорение свободного па-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 5 37
дения; constf = – параметр Кориолиса; 0
0
( )( )
( )
d zgN z
z d z
ρ
ρ
= − – частота
Брента – Вяйсяля.
Уравнения (1) – (4) стандартной процедурой [5, 6] в приближении Бусси-
неска и в предположении постоянства частоты Брента – Вяйсяля сводятся к
одному уравнению для возмущенного давления P :
2 2 2
2 2
2 2 2 0PN P f
t t z
∂ ∂ ∂
+ ∆ + + = ∂ ∂ ∂
. (5)
Поставленную задачу следует дополнить граничными условиями на бе-
регах (которые будем полагать отвесными), дне и нижней поверхности ледя-
ного покрова. На берегах нормальная составляющая скорости равна нулю,
т. е.
0
0
y
v
=
= . (6)
На дне выполняется условие непротекания жидкости, которое в рассматри-
ваемом случае постоянной глубины океана имеет вид
0
z H
w
=−
= . (7)
На нижней кромке льда ( 0z = ) выполняются линеаризованные кинема-
тическое
w
t
η∂
=
∂
(8)
и динамическое
0 aP g Pρ η− = (9)
условия, где ( , , )x y tη η= – прогиб ледяной поверхности, ( , , )a aP P x y t= –
давление непосредственно на границе вода – лед.
Выражение для прогиба ( , , )x y tη через давление
0z
P
=
на нижней гра-
нице льда найдем из уравнения (3) и кинематического условия (8):
2
2
2
0 0
1
z
PN
t z
η
ρ
=
∂ ∂
+ = ∂ ∂
− . (10)
Будем моделировать лед лежащей в горизонтальной плоскости тонкой
упругой пластиной постоянной толщины h. Это предположение хорошо под-
тверждается экспериментальными данными [7, 8]. Из уравнений для свобод-
ных колебаний такой пластины находим давление aP на нижней границе
льда [9, 10]:
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 5 38
1
a
w
P η
ρ
= P , (11)
где 2 2 2/B Q M t= ∆ + ∆ + ∂ ∂P , 2 2 2 2/ /x y∆ = ∂ ∂ + ∂ ∂ и
3
2
0 0 0
, ,
12(1 )
I hE h K hB Q M
s
ρ
ρ ρ ρ
= = =
−
. (12)
Здесь B – коэффициент цилиндрической жесткости (или жесткости при изги-
бе) льда, E – модуль Юнга, s – коэффициент Пуассона, K – коэффициент сжа-
тия льда, constIρ = – плотность льда. Слагаемые, пропорциональные B, M и
Q, возникают соответственно из-за упругих свойств льда, сил инерции и сжа-
тия – растяжения, действующих на ледяной покров.
Нужно отметить, что числовые значения механических характеристик
морского льда – модуля упругости льда∗ (модуля Юнга) E и коэффициента
сжатия K – известны с очень небольшой точностью. Приведем характерные
значения этих величин для льда. Так, средний многолетний динамический
модуль упругости для однолетнего льда средней толщины в Баренцевом море
в декабре – апреле составляет около 8 ГПа [11]. Согласно работе [10],
E = 6·109 Н/м2 = 6 ГПа; s = 0,3; K = 106 Н/м2 = 10-3 ГПа; 0ρ = 1025 кг/м3;
00.9Iρ ρ= . При толщине льда 1h = м для коэффициентов (12) получаем:
55 10B ≈ ⋅ м5/с2, 310Q ≈ м3/с2, 0.9M = м.
Из уравнения (11) и динамического условия (9) имеем
( )00z
P gρ η
=
= +P . (13)
Отсюда в силу соотношения (10) находим граничное условие на нижней по-
верхности льда
( )
2
2
2
0
0
z
PN P g
t z
=
∂ ∂
+ + + = ∂ ∂
P . (14)
Условия на берегах (6) и дне (7) следующим образом выражаются через от-
клонение P давления от гидростатического:
∗ В дальнейшем под модулем упругости льда будем понимать его динамическое (а не
статическое) значение, определяемое, например, по данным о скоростях продольных и
поперечных изгибно-гравитационных волн в ледяном покрове. Динамический модуль
упругости является фундаментальной физической характеристикой льда, он необходим
для численной оценки механического поведения морского ледяного покрова при дина-
мических нагрузках, время воздействия которых значительно меньше 1 с.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 5 39
2
0
0
y
P Pf
y t x
=
∂ ∂
− = ∂ ∂ ∂
, (15)
0
z H
P
z
=−
∂
=
∂
. (16)
Таким образом, нужно решить уравнение (5) при граничных условиях (14) –
(16).
Будем искать решение задачи (5), (14) – (16) в виде плоской волны, рас-
пространяющейся вдоль оси x :
( )( , , , ) e ( , )i k x tP x y z t p y zω−= ,
где k – волновое число, ω – частота волны, ( , )p y z – амплитудная функция.
Тогда для ( , )p y z получим уравнение
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2 0p pf N k p
z y
ω ω
∂ ∂
− + − − = ∂ ∂
(17)
и следующие граничные условия:
( )
22 2
2 2 2 2 2
2 2
0
0
z
p
zg B k Q k M N p
y y
ω ω
=
∂
∂
∂ ∂ + − + − − − − ∂ ∂
= , (18)
0
z H
p
z
=−
∂
=
∂
, (19)
0
0
y
p k f p
y
ω
=
∂
+ = ∂
. (20)
Волны Кельвина в полуплоскости. Ограничимся рассмотрением наи-
более простого случая волн Кельвина в полуплоскости 0 y≤ < ∞ . Разделяя
переменные в уравнении (17) и учитывая условие на дне (19), получим
[ ]( , ) e cos ( )yp y z a H zµ λ−= + , (21)
где consta = – амплитуда волны Кельвина. Постоянные 0µ > и λ соглас-
но уравнению (17) связаны соотношением
( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 0f N kω λ ω µ− + − − = . (22)
Из условия на берегу (20) и соотношения (22) находим
/f kµ ω= ;
2 2
2 2
2
Nk ωλ
ω
−
= . (23)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 5 40
Следовательно, ( )/ 2 2( , ) e cos ( )f k y k
p y z a N H zω ω
ω
−
= − +
. Из гра-
ничного условия (18) получим дисперсионное уравнение для волн Кельвина в
полуплоскости с учетом ледяного покрова
( )
2
2tg
( , )K
H
k k
ωλ λ
ω
= g , (24)
где
22 2 2 2
4 2 2
2 2( , )K
f fk g B k Q k Mω ωω ω
ω ω
− −
= + − −
g – (25)
аналог ускорения свободного падения с поправками, обусловленными меха-
ническими свойствами ледяного покрова для волн Кельвина (поэтому в вы-
ражениях (24), (25) использован нижний индекс K).
Влияние ледяного покрова в дисперсионном уравнении (24) для волн
Кельвина описывается тремя слагаемыми, стоящими в квадратных скобках в
выражении (25). При отсутствии льда, т. е. при 0h = (тогда 0B Q M= = = ),
дисперсионное уравнение (24) переходит в дисперсионное уравнение для
волн Кельвина в стратифицированном океане [1, 2, 4]. Когда Nω > , пара-
метр λ становится чисто мнимым, в этом случае уравнение (24) имеет един-
ственный вещественный корень 0 ( )kω , соответствующий баротропной волне
Кельвина. Этот случай для однородной жидкости был изучен ранее [12]. В
дальнейшем будем рассматривать только внутренние волны и считать
Nω < .
Уравнение (24) выражает неявную зависимость частоты ( ),n k hω ,
1, 2,...n = , от волнового числа k для различных мод внутренних волн Кель-
вина под ледяным покровом постоянной толщины h . Эти зависимости пока-
заны на рисунке.
Детальный анализ дисперсионного уравнения (24) показывает, что для
реальных значений числовых параметров правая часть этого уравнения мала,
поэтому в первом приближении tg λH ≈ 0, откуда λH ≈ nπ, n = 1, 2, … , и
...,2,1,
2222
=
+
≈ n
Hkn
kNH
n
π
ω .
Зависимость частоты внутренних волн Кельвина от толщины ледяного по-
крова и вращения Земли появляется только в следующих приближениях. За-
метим, что из формул (21) и (22) следует равенство нулю нормальной к бере-
гу скорости v(x, y, z, t) всюду в рассматриваемой области, что совпадает с
аналогичным результатом для классических волн Кельвина.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 5 41
Дисперсионные кривые для внутренних волн Кельвина под ледяным покровом постоянной
толщины 2h = м (n – номер моды; глубина океана H = 3000 м; частота Брента – Вяйсяля
N = 0,001 с–1)
Выводы. Таким образом, характеристики внутренних волн Кельвина
практически не зависят от толщины ледяного покрова. Это отличает их от
баротропных волн Кельвина, которые в коротковолновом диапазоне сущест-
венно зависят от толщины льда [12]. В то же время они обладают всеми стан-
дартными свойствами внутренних волн Кельвина: распространяются вдоль
границы, причем только в одном направлении (к полюсу вдоль восточной
границы и к экватору вдоль западной границы); их амплитуда, максимальная
на границе, экспоненциально затухает при удалении от берега в сторону от-
крытого океана с коэффициентом затухания, равным внутреннему радиусу
деформации Россби.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного
проекта № 12-05-00889.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Т. 1. – М.: Мир, 1981. – 480 с.
2. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 2. – М.: Мир, 1986. – 416 с.
3. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. – М.: Мир, 1981. – 600 с.
4. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. – М.: Мир, 1984. – 816 с.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 5 42
5. Pedlosky J. Waves in the Ocean and Atmosphere. – Springer, 2003. – 264 p.
6. Музылев С.В. Волны в океане под ледяным покровом: основы теории и модельные за-
дачи // Современные проблемы динамики океана и атмосферы. – М.: Триада ЛТД,
2010. – С. 315 – 345.
7. Тимохов Л.А., Хейсин Д.Е. Динамика морских льдов (математические модели). – Л.:
Гидрометеоиздат, 1987. – 272 с.
8. Хейсин Д.Е. Динамика ледяного покрова. – Л.: Гидрометеоиздат, 1967. – 216 с.
9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. – М.: Наука, 1965. – 204 с.
10. Liu A.K., Mollo-Christensen E. Wave propagation in a solid ice pack // J. Phys. Oceanogr. –
1988. – 18, № 11. – P. 1702 – 1712.
11. Гаврило В.П., Ковалев С.М., Недошивин О.А. Расчетные среднемноголетние характери-
стики механических свойств однолетнего льда Баренцева и Карского морей. Справоч-
ник. – СПб.: Гидрометеоиздат, 1996. – 42 с.
12. Музылев С.В., Цыбанева Т.Б. Теория волн Кельвина в море под ледяным покровом //
Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. – 2012. – Спецвыпуск
№ 4. – С. 149 – 157.
Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН, Материал поступил
Москва в редакцию 14.08.12
E-mail: smuzylev@mail.ru,
tbt47@mail.ru
АНОТАЦІЯ Наводяться теоретичні основи лінійної теорії внутрішніх хвиль Кельвіна в стра-
тифікованому морі під крижаним покривом. Крига вважається тонкою пружною пластиною
постійної товщини з постійними значеннями модуля Юнга, коефіцієнтів Пуассона і стиснення.
Вважається, що нормальна швидкість на дні рівна нулю, на нижній межі криги виконані лінеа-
різовані кінематична та динамічна умови. Знайдені явні рішення для внутрішніх хвиль Кельві-
на, а також відповідні їм дисперсійні рівняння. Задача розглядається в рамках єдиної теорії
хвиль під крижаним покривом без використання наближення гідростатики.
Ключові слова: хвилі Кельвіна, внутрішні хвилі, крижаний покрив, параметр Коріоліса.
ABSTRACT Theoretical foundation of the linear theory of the Kelvin internal waves in a stratified
sea under the ice cover is represented. The ice is assumed to be a thin elastic plate with constant
thickness and constant values of the Yung module, the Poisson coefficients and compression. Normal
velocity on the bottom is assumed to equal zero; on the lower ice boundary the linearized kinematic
and dynamic conditions are fulfilled. Evident solutions for the Kelvin internal waves and the corre-
sponding dispersion equations are found. The problem is considered within the framework of the
unified theory of waves under the ice cover without application of hydrostatics approximation.
Keywords: Kelvin waves, internal waves, ice cover, Coriolis parameter.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 5 43
mailto:smuzylev@mail.ru
|