Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента

Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента

Показано, что общепринятая теория электронного газа металла в магнитном поле приводит к ряду противоречий, как в теории, так и в сопоставлении с результатами эксперимента. Предлагаемое объяснение, почему магнитный момент газа равен нулю в классической теории и в квантовой теории при замене суммирова...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2016
Автор: Дубровский, И.М.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2016
Назва видання:Успехи физики металлов
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105516
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента / И.М. Дубровский // Успехи физики металлов. — 2016. — Т. 17, № 1. — С. 53-81. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-105516
record_format dspace
spelling irk-123456789-1055162016-08-14T03:03:00Z Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента Дубровский, И.М. Показано, что общепринятая теория электронного газа металла в магнитном поле приводит к ряду противоречий, как в теории, так и в сопоставлении с результатами эксперимента. Предлагаемое объяснение, почему магнитный момент газа равен нулю в классической теории и в квантовой теории при замене суммирования интегрированием, хотя движение по орбите классической частицы или заполненное квантовое состояние обладают средним отрицательным магнитным моментом, неубедительно. Формула Ландау для диамагнитной восприимчивости не удовлетворяет принципиальным требованиям и не согласуется с экспериментом. Энергетический спектр 2D-электрона в магнитном поле в теории Ландау — это эквидистантные пики с одинаковой кратностью вырождения (уровни Ландау). Такой спектр противоречит математическим теоремам о собственных значениях уравнения Шрёдингера с нулевым граничным условием. В общепринятой теории самосогласованно предполагают, что электронный газ однородно заполняет весь объём металла и вместе с однородно заряженной решёткой в среднем не создаёт электрического поля. Известно, что магнитное поле препятствует однородному распределению газа в плоскости, перпендикулярной полю. Эти противоречия устранены в новой теории, обзор принципов и полученных в настоящее время результатов которой изложен в данной статье. Теория исходит из обоснования статистической механики, предложенного А. Я. Хинчиным. В рассматриваемом случае это приводит к требованию, чтобы пространство осуществимых состояний системы было определено не только собственным значением энергии, но также собственным значением углового импульса относительно оси, параллельной магнитному полю. Гамильтониан электронного газа содержит энергию взаимодействия полного углового импульса с магнитным полем. Соответствующее слагаемое коммутирует с гамильтонианом. Если газ не вращается, его собственное значение должно быть равно нулю; поэтому его можно опустить. Тогда гамильтониан газа будет идентичен гамильтониану газа взаимодействующих электронов в потенциальном поле. Эта задача рассмотрена методом функционала плотности. Гамильтониан, определяющий статистический оператор, описывает газ невзаимодействующих квазичастиц в остаточном потенциальном поле. Показано также, что уровни Ландау — следствие математической ошибки. Показано, що загальноприйнята теорія електронного газу металу в магнетному полі призводить до деяких протиріч, як у теорії, так і у співставленні з результатами експерименту. Пропоноване пояснення, чому магнетний момент газу дорівнює нулю в класичній теорії і в квантовій теорії при заміні сумування інтеґруванням, при тому що рух по орбіті класичної частинки або заповнений квантовий стан мають середній від’ємний магнетний момент, непереконливе. Формула Ландау для діямагнетної сприйнятливости не задовольняє принциповим вимогам і не узгоджується з експериментом. Енергетичний спектр 2D-електрона в магнетному полі у теорії Ландау — це еквідистантні піки з однаковою кратністю виродження (рівні Ландау). Такий спектер суперечить математичним теоремам про власні значення Шрединґерового рівняння з нульовою крайовою умовою. У загальноприйнятій теорії самоузгоджено припускають, що електронний газ однорідно заповнює увесь об’єм металу і разом з однорідно зарядженою ґратницею в середньому не створює електричне поле. Відомо, що магнетне поле протидіє однорідному розподілу газу у площині, яка перпендикулярна полю. Нова теорія, огляд принципів і одержаних наразі результатів, яких викладено у даній статті, позбавлені цих протиріч. Теорія виходить із обґрунтування статистичної механіки, запропонованого О. Я. Хінчиним. У розглядуваному випадку це приводить до вимоги, щоб простір можливих станів системи було визначено не тільки за власним значенням енергії, а й за власним значенням кутового імпульсу відносно осі, паралельної магнетному полю. Одним із доданків у Гамільтоніяні електронного газу є енергія взаємодії повного кутового імпульсу з магнетним полем. Цей доданок комутує з Гамільтоніяном. Якщо газ не обертається, його власне значення має дорівнювати нулю; тому його можна не брати до уваги. Тоді Гамільтоніян газу буде ідентичним Гамільтоніяну газу взаємодійних електронів у потенціяльному полі. Цю задачу розглянуто методою функціоналу густини. Гамільтоніян, що визначає статистичний оператор, описує газ невзаємодійних квазичастинок у залишковому потенціяльному полі. Також показано, що рівні Ландау є наслідком математичної помилки. As shown, the conventional theory for an electron gas of metal in a magnetic field (based on Landau’s work) leads to some contradictions in both the theory and the comparison to experiments. The contradictions, which cannot be eliminated in the Landau theory, are considered. The magnetic moment of gas equals to zero in the conventional theory just as in a classical statistical mechanics as well as in a quantum statistical mechanics, when the summation over the occupied states is replaced by the integration. However, a classical charged particle in a magnetic field moves in its circular orbit and creates the diamagnetic moment. In the quantum theory, an eigenstate of particle in a magnetic field has always the average diamagnetic moment. The sum of equally directed magnetic moments cannot be equal to zero. The amendment to replacing summation by integration is taken into account in the Landau theory. Then, the magnetic moment is proved proportional to the volume, and the specific magnetic susceptibility of an electron gas is obtained. The Schrödinger equation of a system in a magnetic field has the complex coefficients. Therefore, an eigenstate has the nonzero field of average current density, all lines of which are closed in the considered area. The sum of these fields over all occupied states generates a non-uniform magnetization. Therefore, the specific magnetic susceptibility is meaningless. The energy spectrum of 2D-electron in a magnetic field in the Landau theory is equidistant peaks (Landau levels). The degeneracy multiplicities of these peaks are equal in magnitude. This spectrum is in contradiction with the mathematical theorems about the eigenvalues of Schrödinger equation with zero boundary condition. In the conventional theory, the homogeneous filling of whole area by the electron gas in a magnetic field is assumed. A crystal lattice, which is charged positively, is replaced by homogeneous background. Only under these assumptions, the average electric field that exerts on an electron is zero. However, as known, a magnetic field hinders homogeneously spreading of the electron gas in the plane perpendicular to it. These contradictions are eliminated in the new theory. The review of its principles and results obtained so far is presented in this paper. A. Ya. Khinchin has suggested the radically new method of theoretical justification of statistical mechanics. In the case under study, it requires that the space of system feasible states has to be defined not only by the energy eigenvalue, but also by the eigenvalue of angular momentum relative to axis that is parallel to the magnetic field. The Hamiltonian of electron gas in magnetic field contains energy of interaction between the total angular momentum and the magnetic field. This term is commutative with Hamiltonian gas, and its eigenvalue has to be equal to zero. Therefore, it can be eliminated. Then, the gas Hamiltonian will be identical with those of gas of interacting electrons in potential field. This problem is considered by means of the density functional method. As shown, the Landau levels are a result of mathematical mistake. 2016 Article Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента / И.М. Дубровский // Успехи физики металлов. — 2016. — Т. 17, № 1. — С. 53-81. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1608-1021 PACS: 05.20.Gg, 05.30.Ch, 05.30.Fk, 51.60.+a, 71.10.Ca, 71.70.Di, 75.20.-g DOI: http://dx.doi.org/10.15407/ufm.17.01.053 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105516 ru Успехи физики металлов Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Показано, что общепринятая теория электронного газа металла в магнитном поле приводит к ряду противоречий, как в теории, так и в сопоставлении с результатами эксперимента. Предлагаемое объяснение, почему магнитный момент газа равен нулю в классической теории и в квантовой теории при замене суммирования интегрированием, хотя движение по орбите классической частицы или заполненное квантовое состояние обладают средним отрицательным магнитным моментом, неубедительно. Формула Ландау для диамагнитной восприимчивости не удовлетворяет принципиальным требованиям и не согласуется с экспериментом. Энергетический спектр 2D-электрона в магнитном поле в теории Ландау — это эквидистантные пики с одинаковой кратностью вырождения (уровни Ландау). Такой спектр противоречит математическим теоремам о собственных значениях уравнения Шрёдингера с нулевым граничным условием. В общепринятой теории самосогласованно предполагают, что электронный газ однородно заполняет весь объём металла и вместе с однородно заряженной решёткой в среднем не создаёт электрического поля. Известно, что магнитное поле препятствует однородному распределению газа в плоскости, перпендикулярной полю. Эти противоречия устранены в новой теории, обзор принципов и полученных в настоящее время результатов которой изложен в данной статье. Теория исходит из обоснования статистической механики, предложенного А. Я. Хинчиным. В рассматриваемом случае это приводит к требованию, чтобы пространство осуществимых состояний системы было определено не только собственным значением энергии, но также собственным значением углового импульса относительно оси, параллельной магнитному полю. Гамильтониан электронного газа содержит энергию взаимодействия полного углового импульса с магнитным полем. Соответствующее слагаемое коммутирует с гамильтонианом. Если газ не вращается, его собственное значение должно быть равно нулю; поэтому его можно опустить. Тогда гамильтониан газа будет идентичен гамильтониану газа взаимодействующих электронов в потенциальном поле. Эта задача рассмотрена методом функционала плотности. Гамильтониан, определяющий статистический оператор, описывает газ невзаимодействующих квазичастиц в остаточном потенциальном поле. Показано также, что уровни Ландау — следствие математической ошибки.
format Article
author Дубровский, И.М.
spellingShingle Дубровский, И.М.
Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента
Успехи физики металлов
author_facet Дубровский, И.М.
author_sort Дубровский, И.М.
title Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента
title_short Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента
title_full Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента
title_fullStr Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента
title_full_unstemmed Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента
title_sort новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента
publisher Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate 2016
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105516
citation_txt Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента / И.М. Дубровский // Успехи физики металлов. — 2016. — Т. 17, № 1. — С. 53-81. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
series Успехи физики металлов
work_keys_str_mv AT dubrovskijim novaâteoriâélektronnogogazavmagnitnompoleizadačidlâteoriiiéksperimenta
first_indexed 2025-07-07T16:58:05Z
last_indexed 2025-07-07T16:58:05Z
_version_ 1837008144346120192
fulltext 53 PACS numbers: 05.20.Gg, 05.30.Ch, 05.30.Fk, 51.60.+a, 71.10.Ca, 71.70.Di, 75.20.-g Новая теория электронного газа в магнитном поле и задачи для теории и эксперимента И. М. Дубровский *Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины, бульв. Акад. Вернадского, 36, 03680, ГСП, Киев-142, Украина Показано, что общепринятая теория электронного газа металла в маг- нитном поле приводит к ряду противоречий, как в теории, так и в со- поставлении с результатами эксперимента. Предлагаемое объяснение, почему магнитный момент газа равен нулю в классической теории и в квантовой теории при замене суммирования интегрированием, хотя движение по орбите классической частицы или заполненное квантовое состояние обладают средним отрицательным магнитным моментом, не- убедительно. Формула Ландау для диамагнитной восприимчивости не удовлетворяет принципиальным требованиям и не согласуется с экспе- риментом. Энергетический спектр 2D-электрона в магнитном поле в теории Ландау — это эквидистантные пики с одинаковой кратностью вырождения (уровни Ландау). Такой спектр противоречит математиче- ским теоремам о собственных значениях уравнения Шрёдингера с ну- левым граничным условием. В общепринятой теории самосогласованно предполагают, что электронный газ однородно заполняет весь объём металла и вместе с однородно заряженной решёткой в среднем не соз- даёт электрического поля. Известно, что магнитное поле препятствует однородному распределению газа в плоскости, перпендикулярной полю. Эти противоречия устранены в новой теории, обзор принципов и полу- ченных в настоящее время результатов которой изложен в данной ста- тье. Теория исходит из обоснования статистической механики, пред- ложенного А. Я. Хинчиным. В рассматриваемом случае это приводит к требованию, чтобы пространство осуществимых состояний системы бы- ло определено не только собственным значением энергии, но также собственным значением углового импульса относительно оси, парал- лельной магнитному полю. Гамильтониан электронного газа содержит энергию взаимодействия полного углового импульса с магнитным по- лем. Соответствующее слагаемое коммутирует с гамильтонианом. Если газ не вращается, его собственное значение должно быть равно нулю; поэтому его можно опустить. Тогда гамильтониан газа будет идентичен Успехи физ. мет. / Usp. Fiz. Met. 2016, т. 17, сс. 53–81 DOI: http://dx.doi.org/10.15407/ufm.17.01.053 Îòòèñêè äîñòóïíû íåïîñðåäñòâåííî îò èçäàòåëÿ Ôîòîêîïèðîâàíèå ðàçðåøåíî òîëüêî â ñîîòâåòñòâèè ñ ëèöåíçèåé 2016 ÈÌÔ (Èíñòèòóò ìåòàëëîôèçèêè èì. Ã. Â. Êóðäþìîâà ÍÀÍ Óêðàèíû) Íàïå÷àòàíî â Óêðàèíå. http://dx.doi.org/10.15407/ufm.17.01 54 И. М. ДУБРОВСКИЙ гамильтониану газа взаимодействующих электронов в потенциальном поле. Эта задача рассмотрена методом функционала плотности. Га- мильтониан, определяющий статистический оператор, описывает газ невзаимодействующих квазичастиц в остаточном потенциальном поле. Показано также, что уровни Ландау — следствие математической ошибки. Показано, що загальноприйнята теорія електронного газу металу в ма- гнетному полі призводить до деяких протиріч, як у теорії, так і у спів- ставленні з результатами експерименту. Пропоноване пояснення, чому магнетний момент газу дорівнює нулю в класичній теорії і в квантовій теорії при заміні сумування інтеґруванням, при тому що рух по орбіті класичної частинки або заповнений квантовий стан мають середній від’ємний магнетний момент, непереконливе. Формула Ландау для ді- ямагнетної сприйнятливости не задовольняє принциповим вимогам і не узгоджується з експериментом. Енергетичний спектр 2D-електрона в магнетному полі у теорії Ландау — це еквідистантні піки з однаковою кратністю виродження (рівні Ландау). Такий спектер суперечить мате- матичним теоремам про власні значення Шрединґерового рівняння з нульовою крайовою умовою. У загальноприйнятій теорії самоузгоджено припускають, що електронний газ однорідно заповнює увесь об’єм ме- талу і разом з однорідно зарядженою ґратницею в середньому не ство- рює електричне поле. Відомо, що магнетне поле протидіє однорідному розподілу газу у площині, яка перпендикулярна полю. Нова теорія, огляд принципів і одержаних наразі результатів, яких викладено у да- ній статті, позбавлені цих протиріч. Теорія виходить із обґрунтування статистичної механіки, запропонованого О. Я. Хінчиним. У розгляду- ваному випадку це приводить до вимоги, щоб простір можливих станів системи було визначено не тільки за власним значенням енергії, а й за власним значенням кутового імпульсу відносно осі, паралельної магне- тному полю. Одним із доданків у Гамільтоніяні електронного газу є енергія взаємодії повного кутового імпульсу з магнетним полем. Цей доданок комутує з Гамільтоніяном. Якщо газ не обертається, його вла- сне значення має дорівнювати нулю; тому його можна не брати до ува- ги. Тоді Гамільтоніян газу буде ідентичним Гамільтоніяну газу взаємо- дійних електронів у потенціяльному полі. Цю задачу розглянуто мето- дою функціоналу густини. Гамільтоніян, що визначає статистичний оператор, описує газ невзаємодійних квазичастинок у залишковому потенціяльному полі. Також показано, що рівні Ландау є наслідком математичної помилки. As shown, the conventional theory for an electron gas of metal in a mag- netic field (based on Landau’s work) leads to some contradictions in both the theory and the comparison to experiments. The contradictions, which cannot be eliminated in the Landau theory, are considered. The magnetic moment of gas equals to zero in the conventional theory just as in a clas- sical statistical mechanics as well as in a quantum statistical mechanics, when the summation over the occupied states is replaced by the integra- tion. However, a classical charged particle in a magnetic field moves in its НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 55 circular orbit and creates the diamagnetic moment. In the quantum the- ory, an eigenstate of particle in a magnetic field has always the average diamagnetic moment. The sum of equally directed magnetic moments can- not be equal to zero. The amendment to replacing summation by integra- tion is taken into account in the Landau theory. Then, the magnetic mo- ment is proved proportional to the volume, and the specific magnetic sus- ceptibility of an electron gas is obtained. The Schrödinger equation of a system in a magnetic field has the complex coefficients. Therefore, an ei- genstate has the nonzero field of average current density, all lines of which are closed in the considered area. The sum of these fields over all occupied states generates a non-uniform magnetization. Therefore, the specific magnetic susceptibility is meaningless. The energy spectrum of 2D-electron in a magnetic field in the Landau theory is equidistant peaks (Landau levels). The degeneracy multiplicities of these peaks are equal in magnitude. This spectrum is in contradiction with the mathematical theo- rems about the eigenvalues of Schrödinger equation with zero boundary condition. In the conventional theory, the homogeneous filling of whole area by the electron gas in a magnetic field is assumed. A crystal lattice, which is charged positively, is replaced by homogeneous background. Only under these assumptions, the average electric field that exerts on an elec- tron is zero. However, as known, a magnetic field hinders homogeneously spreading of the electron gas in the plane perpendicular to it. These con- tradictions are eliminated in the new theory. The review of its principles and results obtained so far is presented in this paper. A. Ya. Khinchin has suggested the radically new method of theoretical justification of statisti- cal mechanics. In the case under study, it requires that the space of sys- tem feasible states has to be defined not only by the energy eigenvalue, but also by the eigenvalue of angular momentum relative to axis that is parallel to the magnetic field. The Hamiltonian of electron gas in mag- netic field contains energy of interaction between the total angular mo- mentum and the magnetic field. This term is commutative with Hamilto- nian gas, and its eigenvalue has to be equal to zero. Therefore, it can be eliminated. Then, the gas Hamiltonian will be identical with those of gas of interacting electrons in potential field. This problem is considered by means of the density functional method. As shown, the Landau levels are a result of mathematical mistake. Ключевые слова: электронный газ, магнитное поле, угловой импульс, статистический оператор, магнитный момент, плотность газа, плот- ность состояний. Ключові слова: електронний газ, магнетне поле, кутовий імпульс, ста- тистичний оператор, магнетний момент, густина газу, густина станів. Keywords: electron gas, magnetic field, angular momentum, statistical operator, magnetic moment, density of gas, density of states. (Получено 22 сентября 2015 г.) 56 И. М. ДУБРОВСКИЙ 1. ЗАЧЕМ НУЖНА НОВАЯ ТЕОРИЯ 1.1. Общепринятая теория. История и успехи Эта теория имеет столетнюю историю. Начало положил Нильс Бор, который в своей докторской диссертации, защищённой в 1911 году, рассмотрел электронный газ, в том числе и в магнитном поле, мето- дом статистической физики Больцмана–Гиббса, который тогда ещё был в стадии становления. Для магнитного момента газа Бор полу- чил странный результат. Вот как представил его он сам в краткой заметке о защите диссертации в журнале ‘Nature’ [1] (полностью диссертация опубликована не была): ‘Finally, it is shown that the presence of free electrons, contrary to the generally adopted opinion, will not give rise to any magnetic properties of the metals’. Общепринятое мнение было основано на известном решении за- дачи о движении заряженной частицы в однородном магнитном по- ле. Было показано, что в плоскости, перпендикулярной полю, час- тица движется по фиксированной круговой орбите. При этом на- правление движения таково, что независимо от знака заряда дви- жение создаёт магнитный момент, направленный против поля и равный: E B      , (1) где E — кинетическая энергия движения по орбите, B —магнитная индукция. Поэтому нулевое значение среднестатистического маг- нитного момента электронного газа выглядело парадоксально. Это противоречило и эксперименту, так как многие металлы создают диамагнитный момент, который больше, чем создаваемый теми же ионами в непроводящих соединениях. Но это было такое время в физике, когда обнаружилось много парадоксальных результатов. Сам Бор не возвращался больше к этому вопросу. В 1912 году он опубликовал свою полуклассическую теорию атома. Другие физики подробно исследовали его, но результат остался неизменным. В 1921 году такое исследование опубликовала van Leeuwen [2], и с тех пор он носит название «Теорема Бора–ван Леувен». Многие теоре- тические и экспериментальные парадоксы того времени были раз- решены с появлением в 1925 году квантовой механики. В 1930 году Ландау опубликовал работу [3], в которой получил диамагнетизм электронного газа как чисто квантовое явление. В ходе решения этой задачи был найден также спектр энергии состояний электрона в магнитном поле. Ниже будет показано, что с современной точки зрения в работе Ландау много теоретических ошибок. Но она была признана и послужила основой для построения обширной и успеш- ной области науки. Теория была обобщена с учётом периодического НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 57 потенциала кристаллической решётки. Были рассмотрены кинети- ческие явления в магнитном поле. Оказалось, что электронный газ в магнитном поле проявляет, кроме диамагнетизма, много других эффектов. Эти эффекты исследовались экспериментально и успеш- но объяснялись на основе теории Ландау. Например, эксперимен- тальные исследования осцилляций магнитного момента висмута при увеличении магнитной индукции однородного поля были вы- полнены de Haas and van Alphen [4] и Shoenberg [5]. Для других ме- таллов этот эффект был исследован Веркиным, Лазаревым и Руден- ко [6]. Другие эффекты описаны в монографии D. Shoenberg [7]. Квантовая теория этих эффектов была развита в работах Peierls [8] и Onsager [9]. Следует отметить особенно большой вклад в теорети- ческие и экспериментальные исследования свойств электронного газа, внесённый физиками Харькова. Результаты этих исследова- ний изложены в монографии И. М. Лифшица и др. «Электронная теория металлов» [10], где было отмечено, что большая часть ин- формации об электронном строении металлов получена из экспери- ментов по эффектам в магнитном поле. Теория квантового эффекта Холла, отмеченная Нобелевскими премиями, основывается на энергетическом спектре, полученном Ландау. Теория Ландау во- шла в такие классические монографии, как: J. H. van Vleck ‘Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities’ [11], Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц «Теоретическая физика», т. 3, т. 5 [12, 13], А. А. Абрико- сов «Основы теории металлов» [14]. 1.2. Противоречия в общепринятой теории При всех успехах общепринятая теория с самого начала содер- жала некоторые противоречия, как теоретические, так и в сопос- тавлении с экспериментом. 1.2.1. Парадокс теоремы Бора–ван Леувен Хотя в квантовой теории Ландау и был, как будто, объяснён экспе- риментально наблюдаемый диамагнетизм металлов, но это не раз- решило парадокса теоремы Бора–ван Леувен. Было много попыток объяснить исчезновение суммарного магнитного момента, созда- ваемого орбитальным движением электронов в газе (см. [11]). В конце концов, общепринятым оказалось следующее объяснение. Этот суммарный диамагнитный момент однородно распределённых орбит полностью компенсируется парамагнитным моментом при- граничного тока, который создаётся неполными орбитами, отра- жающимися от поверхности (рис. 1). Это объяснение вызывает со- мнение. Казалось бы, приграничный ток должен зависеть от формы 58 И. М. ДУБРОВСКИЙ границы и условий отражения, а внутренние электроны этих усло- вий не чувствуют. Р. Пайерлс [15], вычисляя стандартным образом свободную энергию электронного газа с гамильтонианом заряжен- ных частиц в магнитном поле, доказывает, что точная компенсация всегда происходит. Оказывается, что эта свободная энергия не зави- сит от магнитного поля, и поэтому средний магнитный момент газа M F B    равен нулю. Но при этом вычислении пренебрегают всеми особенностями приграничных траекторий, потому что они составляют малую, порядка N 1/3 (N — число частиц), долю всех траекторий. Поэтому оно не учитывает эффекта приграничного то- ка. Для вычисления магнитного момента это неправильно. Пригра- ничный ток в плоскости создаёт момент, пропорциональный охва- тываемой им площади. Если объёмный магнитный момент равен нулю, то учёт приграничного тока должен привести к парамагнит- ному моменту газа. Этот парадокс сохраняется и при квантовостатистическом рас- смотрении. В m-м стационарном состоянии электрона в магнит- ном поле формула, которая связывает среднее значение магнит- ного момента, энергию состояния и магнитное поле, имеет тот же вид, что и в классической механике (см. формулу (1)):     ( ) m m E B . Эта величина отрицательна для всех состояний электрона в магнитном поле, кроме, быть может, приповерхност- ных. Тогда квантовостатистическое среднее значение полного магнитного момента газа определяется как сумма по всем состоя- ниям произведений квантового среднего значения момента и чис- ла заполнения для каждого состояния: ( , ) 0 mm m M n T B = . (2) Проблема статистического усреднения — в том, чтобы найти числа заполнения, которые зависят от кратности вырождения со- Рис. 1. «Объяснение» парадокса теоремы Бора–ван Леувен.1 НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 59 стояний, температуры, а в теории Ландау также и от величины магнитного поля. Но очевидно, что число заполнения всегда не- отрицательно, а поэтому и магнитный момент должен быть отри- цательной и немалой величиной даже при замене суммирования интегрированием. А в теории Ландау при замене суммирования интегрированием термодинамический потенциал не зависит от магнитного поля; следовательно, магнитный момент равен нулю. 1.2.2. Одночастичная задача. Решение Ландау В системе «электрон в однородном магнитном поле» есть только одно физически выделенное направление: направление магнитно- го поля B. Поэтому волновые функции электрона в стационарных состояниях должны быть аксиально симметричными. Гамильто- ниан электрона в отсутствие других полей тоже должен быть ак- сиально симметричным. Его собственные функции должны быть также собственными функциями оператора углового импульса относительно любой оси, параллельной магнитному полю. (Угло- вой импульс — это дословный перевод принятого в англоязычной литературе названия для момента количества движения ‘angular momentum’). В системе координат, ось Z которой направлена па- раллельно магнитному полю, волновая функция должна быть собственной функцией операторов    ˆ ( ) z p i z и ˆ ˆ ˆ z y x l xp yp  . Какое-либо добавочное внешнее поле, в частности граничное ус- ловие, может нарушить эту симметрию, но не может создать но- вую симметрию. Гамильтониан электрона в магнитном поле зависит не от ин- дукции магнитного поля, которая входит в уравнения Ньютона и Лагранжа, а от векторного потенциала A(r), который определяет- ся уравнением rot( ) A B . (3) Это векторное неоднородное дифференциальное уравнение (сис- тема трёх уравнений) имеет решения в виде суммы необходимого решения неоднородного уравнения и произвольного решения од- нородного уравнения rot(A)  0. Общим решением однородного уравнения является градиент произвольной дифференцируемой функции. Принято считать (см. [16]), что в качестве выражения для векторного потенциала можно использовать любое решение уравнения (4). Стремясь свести задачу к уравнению Шрёдингера для линейного осциллятора, Ландау рассматривал электрон в прямоугольной призме (см. [3, 12]). Рёбра призмы hx, hy, hz па- раллельны координатным осям. Ось Z параллельна магнитному полю. На гранях, перпендикулярных осям Z и X, приняты пе- 60 И. М. ДУБРОВСКИЙ риодические граничные условия: , , , , 2 2 x xh h y z y z                , , , , , 2 2 z zh h x y x y                . (4) На гранях, перпендикулярных оси Y, граничное условие не на- кладывается, а требуется только нормируемость волновой функ- ции, то есть достаточно быстрое убывание её модуля с расстояни- ем от координатной плоскости XZ. Чтобы решить уравнение Шрёдингера при этих граничных условиях, Ландау (см. [12]) вы- бирает векторный потенциал однородного магнитного поля B  (0, 0, B) в виде: A  (By, 0, 0). (5) Соответственно, гамильтониан электрона в магнитном поле без учёта спина имеет вид: 2 2 21ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 L x y z e H p eBy p p m       . (6) Этот гамильтониан не удовлетворяет требованию аксиальной симметрии. Это проявляется в том, что оператор углового им- пульса относительно оси Z не коммутирует с гамильтонианом, то есть эта компонента углового импульса не является интегралом движения. Вместо неё интегралом движения является компонен- та импульса px. Такую же симметрию имеет и модуль собствен- ной функции этого гамильтониана. Это доказывает, что выбор векторного потенциала в виде (5) приводит к неправильному опи- санию рассматриваемой системы. Собственные значения энергии имеют вид: 2 1 2 2z z np e p E E E n m             ,   eB/me, n  0, (7) где  — циклотронная частота, me — масса электрона. Координа- та центра классической орбиты 0 ˆ ˆ x y p eB (см. [12]; здесь учте- но, что заряд электрона отрицательный), от которой зависит вол- новая функция, пропорциональна компоненте импульса px, кото- рая при периодических граничных условиях может принимать счётно-бесконечное множество положительных и отрицательных значений. Так как энергия не зависит от px, каждое значение энергии вырождено с бесконечной кратностью. Это физически бессмысленно. Собственные значения и кратность их вырождения должны определяться из решения соответствующей задачи, в по- становку которой входят граничные условия. Неправильная НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 61 кратность вырождения означает, что граничные условия опреде- лены неудовлетворительно. Чтобы исправить бесконечное выро- ждение уровней в E, Ландау из соображений квазиклассической теории вводит дополнительное условие: центр классической элек- тронной орбиты должен находиться внутри рассматриваемой об- ласти. Это непоследовательно: все граничные условия должны учитываться сразу, при решении дифференциального уравнения. Координата 0 ˆ ˆ y x x p eB  не может иметь определённого значе- ния одновременно с 0 ŷ , так как коммутатор соответствующих операторов равен числу, хотя оба они коммутируют с гамильто- нианом ˆ L H . Поэтому требование локализации центра классиче- ской орбиты внутри области не только нарушает граничные усло- вия, при которых решалось уравнение, но и не может быть хо- рошо определено при периодическом граничном условии для за- висимости от координаты x. Эти ошибки частично были устранены в работе [17]. Уравнение Шрёдингера рассматривалось в цилиндрических координатах.† Для этого векторный потенциал A был выбран авторами в виде: A  (1/2)(By, Bx, 0). Граничные условия: на торцах цилиндра — периодические, а в плоскости перпендикулярной магнитному по- лю — нормируемость, так же, как и в решении Ландау. При этом переменные разделяются, и собственные функции имеют следующий вид: , ( , , ) ( ) exp( ) j l z r z r ik z il      . (8) Как и должно быть вследствие симметрии, интегралами дви- жения являются, кроме энергии, компонента углового импульса ˆ z l и компонента импульса ˆ zz p . Их собственные значения соот- ветственно ħl и 2ħkz/L, где квантовые числа l и kz могут прини- мать любые целочисленные значения. Сомножитель j,l(r) зависит от радиального квантового числа j, которое может принимать любые неотрицательные целые значения. Собственные значения энергии имеют вид (7), где n  j  (l  l)/2. При l  0 энергия не зависит от значения квантового числа l, от которого существенно зависит вид функции (r, , z). Следовательно, все собственные значения энергии вырождены с бесконечной кратностью. Спектр энергии полностью совпадает со спектром, полученным Ландау [3, 12]. Чтобы ограничить положение центра классической орби- ты площадью сечения цилиндра радиуса R, рассмотрим коорди- наты центра классической орбиты. Они в этом представлении имеют симметричный вид: 0 ˆ ˆ2 y x x p eB  , 0 ˆ ˆ2 x y y p eB  и, † В [12] такое рассмотрение приведено в качестве «Задачи» к параграфу, в котором излагают решение Ландау. 62 И. М. ДУБРОВСКИЙ как и в решении Ландау, сохраняются, но не коммутируют меж- ду собой. Определим квадрат расстояния центра классической орбиты от оси (см. [18]): 2 2 2 2 1 0 0 0 0 ˆ ˆˆ ˆ ˆ 2 ( ) z r x y H l        ,  2  ħ/eB. (9) Здесь  — магнитная длина, характерный масштаб теории. Ради- ус классической орбиты электрона   (E/ħ)12. Собственные значения оператора 2 0̂ r имеют вид:                   2 2 2 0 | | 1 1 2 2 2 2 l l r j l k , | | 0, 1, 2,... 2 l l k j     . (10) При l  0 орбита охватывает ось, а при l  0 ось находится вне площади, ограниченной орбитой. Поэтому при отрицательных значениях углового импульса расстояние от оси центра орбиты с определённой энергией E, определяемое квантовым числом k, может принимать счётно-бесконечное число значений. Такую картину квазиклассических состояний электрона в магнитном поле можно получить и в последовательно квазиклассической теории, не прибегая к квантовой механике (см. монографию [19]). Но квазиклассическая теория не определяет вырождения уровня требованием ограничения расстояния центра орбиты от оси, так как азимут центра остаётся неопределённым. В кванто- вой механике пара квантовых чисел (n, k) полностью определяет квантовое состояние, так же как и пара (j, l). Модуль волновой функции аксиально симметричен и его максимальное значение лежит в кольце с радиусом r0(k) и шириной 2(n). Независимо от энергии состояния радиус кольца может быть порядка размера рассматриваемого образца. Поэтому представление о локальной однородности по отношению к классической орбите других внешних полей, например деформации, или параметров закона дисперсии (см. [20], а также [10, 19]) неверно. Ограничивая вырождение условием r0(k)  R, получим спектр Ландау для энергии E: бесконечную последовательность одина- ковых равноотстоящих пиков. Наименьшая энергия — ħ/2, рас- стояние между пиками — ħ, кратность вырождения состояния с квантовым числом энергии n:           1 2 1 2 2 n eBS D . (11) Здесь S — площадь поперечного сечения цилиндра, скобки [a] обозначают целую часть заключённого в них числа, удвоение — спиновое вырождение. Обычно формулу (11) представляют в виде Dn  eBS/ħ, пренебрегая тем, что кратность вырождения должна НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 63 быть натуральным числом. На самом деле ступенчатый вид функции Dn(B) может быть одной из причин магнитных осцил- ляций (см. работу [21]). Плотность состояний этого спектра схе- матически представлена на рис. 2. Из-за неправильного наложе- ния граничных условий кратность вырождения собственных зна- чений определена неправильно. Известно (см. монографию [22]), что наименьшее собственное значение двумерного уравнения вто- рого порядка при граничном условии обращения решений в нуль на границе области не вырождено. Далее кратность вырождения возрастает с увеличением собственных значений и стремится к постоянной величине асимптотически. Неправдоподобно также то, что любое по интенсивности поле качественно изменяет плот- ность одночастичных состояний при как угодно больших значе- ниях энергии. Вырождение по квантовому числу k обусловлено тем, что любые отрицательные значения квантового числа углового импульса l не изменяют значения энергии. Тогда оказывается, что электронный газ в основном состоянии, когда все состояния ниже уровня Ферми заполнены, имеет очень большой отрицательный угловой импульс. Это совершенно необъяснимо с точки зрения физики. Кроме выро- ждения по k, существует ещё один тип вырождения при неотрица- тельных значениях l. Квантовое число энергии E (см. формулу (7)) в этом случае является суммой двух неотрицательных чисел: n  j  l. Очевидно, что кратность такого вырождения каждого зна- чения энергии E(n) равна n  1. Обычно это вырождение не учиты- вают, хотя, как будет показано ниже, существует только это выро- ждение. Состояния с одинаковыми пространственными волновыми функциями, но противоположно направленными спинами в маг- нитном поле имеют разные энергии. Это приводит к парамагнетиз- Рис. 2. Плотность состояний 2D-электронного газа в магнитном поле — уровни Ландау.2 64 И. М. ДУБРОВСКИЙ му Паули и снимает вырождение по спину. При рассмотрении орби- тального диамагнетизма можно для простоты этого не учитывать (см. монографию [14]). В работе [23] показано, что векторный потенциал, соответст- вующий магнитному полю B однозначно определён необходимым решением уравнения (3). В случае однородного поля векторный потенциал и соответствующий ему гамильтониан имеют вид: 0 1 1 [ ] ( , ,0) 2 2 By Bx   A B r , 2 2 2 2 0 1ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 x y z e eBy eBx H p p p m                     . (12) Произвол в выборе вида векторного потенциала, называемый ка- либровочной инвариантностью, недопустим. В работе [3] уравне- ние Шрёдингера первоначально имеет аксиально симметричный вид с гамильтонианом 0 Ĥ . Переход к гамильтониану ˆ L H осуще- ствляется подстановкой ( ) exp( 2 ) ( )ieBxy   r r . Далее находят функцию (r) как собственную функцию гамильтониана ˆ L H при описанных выше граничных условиях (см. формулу (3) и после- дующее описание). Но функция (r) удовлетворяет тем же гра- ничным условиям, что и (r), только тогда, когда это условия обращения функции в нуль на границах области. 1.2.3. Диамагнитная восприимчивость В трёхмерном случае E  E  E, а плотность состояний   3 ( )E         2 1 0 ( ) ( )E d . Термодинамический потенциал электронного газа в теории Ландау при T  0 К имеет вид (см. монографию [14]):   3 2 2 0 28 1 3 22 n e n VeB m n                    , 1 2 n      . (13) Здесь V  SL — объём цилиндра,  — энергия Ферми. В формуле (13) интегрирование по pz произведено. Суммирование по n про- изводят путём замены его интегрированием. При этом оказывает- ся, что результат не зависит от магнитного поля, то есть в соот- ветствии с теоремой Бора–ван Леувен магнитный момент M  /B  0. Это интерпретируют как результат пренебре- жения квантовым свойством системы — дискретностью энергети- ческих уровней. Если учесть поправку к замене суммирования НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 65 интегрированием по формуле Эйлера–Маклорена, то получается магнитный момент, пропорциональный объёму. Тогда можно вве- сти удельную диамагнитную восприимчивость электронного газа: 1 22 3 dm 2 4 3 (3 )1 12 el e n e V B m          , el N n V  . (14) Из общих соображений очевидно, что эта формула не может быть правильной. Она не зависит от постоянной Планка, то есть не может описывать квантовый эффект, который должен исчезать при ħ  0. Парамагнитная восприимчивость электронного газа pm  3dm обусловлена существованием у электрона спина и маг- нитного момента, которые обращаются в нуль при ħ  0. Пропор- циональность парамагнитной восприимчивости 1 3 el n объясняется тем, что некомпенсированные спины могут иметь только элек- троны в состояниях, энергии которых близки к энергии Ферми. Орбитальные магнитные моменты во всех состояниях направлены против магнитного поля, и поэтому диамагнитная восприимчи- вость должна быть пропорциональна nel. Если тем же методом вычислять термодинамический потенциал двумерного газа, то суммирование при низких температурах можно произвести, не прибегая к приближённой формуле Эйлера–Маклорена. При этом результат также состоит из двух слагаемых. Основное не зависит от магнитного поля. Второе слагаемое мало, пропорционально квадрату магнитного поля, но не зависит от концентрации элек- тронов, что, очевидно, бессмысленно. Не соответствует формула Ландау и эксперименту. Из неё следует, что свободный электрон- ный газ должен быть парамагнитным. Обычно диамагнетизм электронного газа в металлах объясняют малостью эффективной массы по сравнению с массой свободного электрона (см. моногра- фию [14]). Но сопоставление с другими эффектами, зависящими от эффективной массы электронов проводимости, не проведено. Коли- чественно сравнивать формулу (14) с результатами измерений маг- нитной восприимчивости невозможно, так как эти результаты сильно различаются у разных авторов (см. таблицы [24]). 1.2.4. Диамагнитный ток Чтобы понять является ли намагниченность электронного газа однородной, то есть имеет ли смысл введение удельной магнит- ной восприимчивости, нужно рассмотреть ток, генерирующий намагниченность. Намагниченность газов рассматривалась в мо- нографиях [13, 25]. В теории намагниченности сред (см. моно- графию [25]) намагниченность определяют уравнением: 66 И. М. ДУБРОВСКИЙ rot( )  M v . (15) Здесь  — плотность движущегося заряда, v — его скорость. Черта сверху обозначает усреднение по объёму, приходящемуся на одну частицу. Так как электроны не обладают внутренней структурой, то диамагнетизм может быть связан только с током орбитального движения. В квазиклассической теории радиус минимальной орби- ты ( 0)n eB     . В поле 0,1 Тл эта величина порядка 10 7 м, что намного больше, чем среднее расстояние между центрами орбит при однородном распределении обычной для металлов плотности электронов. Поэтому усреднение не играет роли и уравнение (15) можно переписать в виде rot(M)  j, где j — плотность электрическо- го тока. Граничным условием для этих уравнений является обра- щение намагниченности в нуль вне границы области, содержащей электронный газ. Определить поле плотности тока в квазикласси- ческой модели представляется невозможным. Последовательный квантово-механический подход позволяет выявить многие сущест- венные свойства этого поля, но это не было сделано. В любом состоянии электрона в магнитном поле средняя плот- ность электрического тока не равна нулю тождественно. Дейст- вительно, средняя плотность тока описывается формулой (см. монографию [12]):   2 ( ) grad ( ) ( ) e e e m          j r r A r . (16) Здесь (r) — модуль волновой функции состояния, и (r) — её фаза, A(r) — векторный потенциал магнитного поля. Если маг- нитное поле не равно нулю, то векторный потенциал не может быть пропорционален градиенту дифференцируемой функции, следовательно, j(r) не может быть равна нулю тождественно. Ес- ли состояние является стационарным, то все линии тока должны замыкаться в рассматриваемой области. Тогда ток не приводит к изменению распределения плотности заряда и не совершает рабо- ты. Единственным его наблюдаемым проявлением является соз- дание среднего магнитного момента рассматриваемого состояния. В решении Ландау с гамильтонианом ˆ L H (см. монографию [12]) линии тока параллельны оси X и замыкаются на бесконечности. Наряду с энергией, сохраняющейся величиной является импульс в направлении оси X, направление которой определено гранич- ными условиями. Отсюда и получается прямолинейный ток. Уг- ловой импульс при этом не сохраняется. Это неправильно. Если граничные условия нарушают симметрию системы, они разру- шают соответствующий интеграл движения, но не могут создать новый закон сохранения. Это также показывает, что задача по- НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 67 ставлена и решена неверно. Так как токи не замыкаются в рас- сматриваемой площади, то нельзя определить и магнитный мо- мент. Если дополнить постановку задачи в работе [17] граничным условием обращения волновой функции в нуль на боковой по- верхности цилиндра, то аксиальная симметрия приведёт к тому, что линии тока будут окружностями. Ток в направлении оси Z равен нулю, так как энергия не зависит от знака kz, волновая функция в поперечной плоскости не зависит от kz (см. формулы (7, 8)), и exp( ) z ik z можно заменить функциями sin(kzz), cos(kzz), удовлетворяющими нулевому граничному условию на торцах ци- линдра. Сумма токов различных заполненных состояний не мо- жет быть тождественно равна нулю и тоже имеет аксиальную симметрию. Следовательно, даже в рамках общепринятой теории поле намагниченности неоднородно, аксиально симметрично и имеет только z-компоненту. Удельная магнитная восприимчи- вость имеет смысл только тогда, когда намагниченность создаёт- ся внутриатомными токами и в среднем однородна. 1.2.5. Неоднородность плотности электронов В общепринятой модели плотность электронного газа полагают однородной. Только при таком предположении, считая ионную решётку в среднем однородным положительно заряженным фо- ном, можно считать среднее электрическое поле, действующее на электрон, равным нулю, то есть пренебрегать кулоновским взаи- модействием электронов. Это предположение самосогласованно, но противоречит известному экспериментальному факту. Удержание (confinement) — так называют хорошо изученный экспериментально и качественно объяснимый эффект ограниче- ния расширения газа заряженных частиц магнитным полем. В однородном магнитном поле электронный газ в однородно поло- жительно заряженном цилиндре должен в плоскости перпенди- кулярной полю в состоянии равновесия иметь неоднородную, убывающую с расстоянием от оси, плотность. На этом эффекте основаны методы удержания горячей плазмы от контакта со стенками сосуда при управляемом термоядерном синтезе. Но и в классической теории Бора, и в квантовой статистической теории Ландау газ однородно заполняет весь отведённый объём. 2. НОВАЯ ТЕОРИЯ 2.1. Принципы новой теории Главная идея, которая легла в основу новой теории, была высказана 68 И. М. ДУБРОВСКИЙ А. Я. Хинчиным в монографии [26]. В этом исследовании состояние газа, состоящего из N одинаковых частиц, описывается движением точки в фазовом пространстве импульсов и координат. Это про- странство бесконечно по всем координатам и импульсам и имеет 6N измерений для 3D-газа. Свободная, то есть не подверженная дейст- вию внешних полей, 3D-система в общем случае имеет семь инте- гралов движения, то есть функций импульсов и координат состав- ляющих её частиц, значения которых не изменяются при движении фазовой точки в соответствии с уравнениями Гамильтона. Это — энергия, три компоненты полного импульса и три компоненты пол- ного углового импульса относительно центра масс. Как известно (теорема Нётер), они связаны с симметриями: однородность време- ни, однородность пространства и изотропность пространства. Соот- ветствующие семь уравнений:   0 { }H E  p , 0    P p P , 0 ( , )     L l p x L , (17) определяют гиперповерхность, то есть пространство 6N  7 изме- рений в фазовом пространстве. Уравнение сохранения энергии ограничивает объём в импульсном подпространстве, так как для свободного газа оно имеет вид:      2 0 [| | /(2 )] ({ }) N m U Ep r . Здесь U({r}) — потенциальная энергия взаимодействия частиц между собой. Предположим, что частицы не имеют внутренних степеней свободы и взаимодействуют центральными силами. Тогда все семь законов сохранения выполняются в орбитальном движении частиц. Если система находится во внешнем поле, то некоторые или все компоненты импульса и углового импульса не сохраня- ются. Статистическая механика равновесных систем рассматри- вает системы, для которых объём координатного подпространства тоже ограничен. Обычно это обусловлено внешним потенциаль- ным полем, в котором потенциальная энергия частицы неограни- ченно растёт при удалении от некоторой центральной области. Тогда уравнение сохранения энергии определяет гиперповерх- ность фазового пространства, объём которой ограничен. Эту ги- перповерхность Хинчин называет инвариантным (относительно преобразований, описываемых уравнениями Гамильтона) множе- ством. Вся траектория системы лежит на этой гиперповерхности, то есть внутри этого (6N  1)-мерного пространства ограниченного объёма. Задача вывода термодинамики системы сводится к вы- числению этого объёма  в зависимости от термодинамических параметров: энергии, числа частиц, параметров удерживающего потенциала (например, в случае «ящика» — его объёма V) и внешнего поля. Хинчин указал, что не только закон сохранения энергии, но все имеющиеся в системе интегралы движения НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 69 должны учитываться при вычислении объёма инвариантного множества; но это обычно не приводит к существенным поправ- кам. Каждое уравнение закона сохранения понижает на единицу размерность гиперповерхности, но это несущественно изменяет её объём при очень большом числе частиц N. Внешнее поле, огра- ничивающее пространственные размеры системы, нарушает од- нородность пространства. Поэтому полный импульс системы уже не является интегралом движения. Даже если он и является ин- тегралом движения для системы газ  ящик, он не может быть существенным, так как значение полного импульса может быть изменено переходом к другой инерциальной системе отсчёта (принцип относительности). Закон сохранения углового импульса может соблюдаться полностью или частично, например, в сфери- ческом или цилиндрическом ящике с гладкими стенками при от- сутствии или соответствующей симметрии другого внешнего по- ля. Если ящик имеет неидеальную форму или поверхность, то закон соблюдается для системы «ящик с газом». Обмен угловыми импульсами между ящиком и газом происходит при столкнове- нии частиц со стенками. Это, очевидно, приведёт к малым сим- метричным флуктуациям углового импульса газа при сохранении среднего значения. Вопрос о роли закона сохранения углового импульса в статистической механике исследован в работе [27]. Показано, что закон сохранения нулевого значения углового им- пульса не изменяет существенно объёма гиперповерхности в большинстве случаев, когда гамильтониан частицы имеет стан- дартный вид: кинетическая энергия, описывающая гиперсферу в импульсном пространстве, и потенциальная энергия. Но если уг- ловой импульс газа не равен нулю, то корреляция движения час- тиц, сохраняющая его значение, проявляется как коллективное взаимодействие, которое не позволяет использовать известные методы для вычисления фазового объёма. В квантовой статистической механике роль фазового простран- ства играет бесконечномерное функциональное гильбертово про- странство состояний, а роль инвариантного множества — конеч- номерное линейное многообразие, определяемое собственными значениями энергии и других интегралов движения, коммути- рующих с гамильтонианом и между собой. Вместо фазового объ- ёма инвариантного множества в квантовой статистике выступает кратность вырождения этого набора собственных значений. Соб- ственные состояния, соответствующие этому набору собственных значений, образуют репер инвариантного множества. Вычисление размерности инвариантного множества подробно изложено в ра- боте [28]. Оно сводится к вычислению шпура:     0 0 ˆ ˆˆ ˆSp { , } { , } E L z z H E L L                p r p r . (18) 70 И. М. ДУБРОВСКИЙ Здесь направление углового импульса L0 принято за ось Z. Если функциональное пространство включает только дифференцируе- мые функции, удовлетворяющие нулевому граничному условию на границе области определения и нормируемые в этой области, то в качестве базиса для вычисления можно выбрать собственные функции гамильтониана Ĥ , которые одновременно являются собственными функциями углового импульса ˆ z L . Собственные значения гамильтониана образуют дискретный спектр, и, выби- рая единицу измерения энергии, всегда можно сделать их цело- численными. Единицей измерения углового импульса является постоянная Планка. Функция целочисленного аргумента (k), ко- торая получается при вычислении диагонального матричного элемента операторной функции  ˆ( )A a на собственной функции оператора  , равна единице при k  0 и равна нулю при k  0. Тогда диагональные матричные элементы будут равны 1 только при    0 Ĥ E и    0 ˆ z z L L , и формула (18) определяет кратность вырождения этой пары собственных значений. В классической статистической механике операторные функции заменяют соот- ветствующими функциями числовых переменных, функции це- лочисленного аргумента — дельта-функциями Дирака, вычисле- ние шпура — интегрированием по фазовому пространству. Это произведение дельта-функций соответствует микроканоническому распределению для изолированной системы, введённому в моно- графии [13]. Но далее в работе [13] утверждают, что заключение в «ящик» исключает сохранение углового импульса, и поэтому оно несущественно. Это неправильно. Неверно также утвержде- ние, что логарифм функции распределения должен быть линей- ной функцией энергии, потому что логарифм (k) не имеет смыс- ла. В работе [28] среднее значение наблюдаемой величины, опи- сываемой оператором  , в изолированной системе представляет- ся в виде 1 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆSp{ [ ({ , }) ] [ ({ , }) ]} E L z A A H E L L            p r p r , то есть          1 0 0 ˆ ˆˆ ˆ[ ({ , }) ] [ ({ , }) ] E L z H E L Lp r p r — статистический оператор (см. монографию [29]). Покажем, что в случае, когда газ заряженных частиц находит- ся в магнитном поле, вычисление фазового объёма существенно изменяется и при учёте сохранения нулевого значения углового импульса. Для электронного газа в магнитном поле гамильтони- ан           01 ˆ ˆˆ ˆ{ , } ( , ) { } N C H H eUp r p r r , где последнее слагаемое — потенциальная энергия электростатического взаимодействия всех электронов между собой и с решёткой ионов, которую мож- НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 71 но заменить однородным положительно заряженным фоном при общей нейтральности системы. Гамильтониан 0 ˆ ˆ( , )H   p r (см. фор- мулу (12)) можно представить в виде 0 0 0 ˆ ˆ ˆH H H    , и далее для простоты рассматривать двухмерную задачу в плоскости XY, опуская значок . Преобразуем 0 Ĥ к виду: 2 2 0 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ 2 2 2 2 x y z e eBy eBx H p p H l m                       , (19) где 1 Ĥ — гамильтониан 2D-частицы в гармоническом потенциале:     2 2 2 2 2 2 1 1 ( )ˆ ˆ ˆ( ) 2 8 x y e e e B x y H p p m m . (20) Подставляя эти выражения в формулу (18), получим:  1, , 0 , 1 1 1 ˆ ˆ ˆSp { } 2 N N N E z C L z H l eU E l                               r . (21) Здесь отличны от нуля только те матричные элементы, для кото- рых    0 0 N z z l L , и поэтому второе слагаемое гамильтониана нужно опустить. В этом и состоит влияние закона сохранения угло- вого импульса при нулевом значении. Статистическая механика электронного газа в магнитном поле сводится к статистической ме- ханике газа взаимодействующих электронов в потенциале, кото- рый слагается из гармонического квазиэлектростатического потен- циала, пропорционального квадрату магнитной индукции, и по- тенциала, образуемого однородным положительным фоном. 2.2. Полученные результаты 2.2.1. Неоднородность плотности электронов Задача об электронном газе в потенциальном поле хорошо изуче- на. Суть её решения сводится к тому, что электронная плотность (r) распределяется так, чтобы создаваемый ею электростатиче- ский потенциал максимально компенсировал неоднородность внешнего затравочного потенциала. Полная компенсация невоз- можна. Если бы она возникла, и потенциальное поле исчезло, она сразу стала бы разрушаться диффузионным током. Равновес- ная плотность должна быть такая, чтобы электрический и диф- 72 И. М. ДУБРОВСКИЙ фузионный токи компенсировали один другого, то есть градиен- ты концентрации и суммарного электростатического потенциала с соответствующими коэффициентами были равны по модулю и противоположно направлены. На более строгом языке это форму- лируется как пространственная однородность электрохимическо- го потенциала, а в квантовой физике — уровня Ферми. Для вы- числения этого распределения плотности заряда электронного га- за существует метод функционала плотности (см. монографию [30]). В этом методе записывают энергию основного состояния в виде функционала от плотности заряда. В функционале учиты- вают кинетическую энергию, потенциальную энергию плотности заряда во внешнем затравочном поле и поле однородного поло- жительно заряженного фона и энергию самодействия электрон- ной плотности. Это означает, что избыточный заряд в соответст- вии с уравнением Пуассона создаёт электростатический потенци- ал, и в функционал энергии включается энергия плотности заря- да электронов в этом потенциале. Искомое распределение плотно- сти доставляет минимум этого функционала. Естественно, что избыточный заряд при этом распределении плотности создаёт электростатический потенциал, который уменьшает затравочный квазиэлектростатический гармонический потенциал. В результа- те инвариантное множество определяется эффективным гамиль- тонианом, который описывает газ невзаимодействующих квази- частиц в потенциальном поле, образованном суммой гармониче- ского квазиэлектростатического потенциала и электростатическо- го потенциала неоднородного избыточного заряда. Очевидно, что для экранировки плотность газа должна убывать от центра к границе, то есть сохранение нулевого значения углового импуль- са газа приводит к эффекту удержания. Распределение плотности для двухмерного электронного газа в однородном магнитном поле рассмотрено в работе [28], но недостаточно точно. Можно пока- зать, что потенциал избыточного заряда выражается в виде раз- ложения по чётным степеням r/R, где R — радиус рассматривае- мой области. Разность квазиэлектростатического потенциала и гармонического члена разложения очень мала, порядка отноше- ния Боровского радиуса к R. При этом необходимо учитывать бо- лее высокие степени разложения потенциала, создаваемого избы- точным зарядом. Это изменит приведённые ниже результаты, ко- торые нужно рассматривать как качественные. 2.2.2. Одночастичная задача Корреляция электронов газа при сохранении нулевого значения полного углового импульса приводит к тому, что гамильтониан элементарного возбуждения становится гамильтонианом частицы НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 73 в потенциальном поле. Поле, которое получается в результате экранировки внешних полей, действует одинаково на каждую частицу, а частицы нужно рассматривать как невзаимодейст- вующие. Если ограничиться гармоническим приближением, то это поле будет пропорционально квадрату магнитной индукции. Тогда гамильтониан элементарного возбуждения двухмерного электронного газа в магнитном поле можно представить в виде:          2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ele 1 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )( ) ( )ˆ ˆ . 2 8 2 8 x y x yr e r x e e e p p p pe B x y m x y H H m m m (22) где r  erB/me, а (er) — перенормированный заряд электрона. Чтобы найти энергетический спектр элементарных возбуждений нужно решить задачу на собственные значения для гамильтониа- на ele ˆ x H при граничном условии обращения волновой функции в нуль на окружности радиуса R. Это было сделано в работах [18, 28], а плотность соответствующих состояний описана в работе [21]. Чтобы пояснить, почему такая последовательно поставлен- ная задача не была рассмотрена для гамильтониана 0 Ĥ в обще- принятой теории, нужно исследовать решения этих задач до на- ложения граничных условий. Переменные разделяются, и реше- ния имеют одинаковый вид (см. формулу (8)). Множитель, зави- сящий от r, также имеет одинаковый вид:                           | | 2 2 2 2 ( , ; ) exp ,| | 1; 4 22 l r r rr A r r r l r l . (23) Здесь A — нормировочный множитель, r — перенормированная магнитная длина, l — квантовое число углового импульса, (, l  1; z) — вырожденная гипергеометрическая функция (ВГФ). Зависимость энергии поперечного движения E от пара- метров  и l разная: для 0 Ĥ это E  ħ[  (l  l  1)/2], а для элементарного возбуждения — E  ħr[  (l  1)/2]. Из фор- мулы (23) следует, что удовлетворить граничному условию собст- венная функция может только, если 2 2 2 r R  будет нулём ВГФ (, l  1; z). Свойства этой функции хорошо известны (см. мо- нографию [31]), но в описании её нулей допущена ошибка. При   j ВГФ — полином Лагерра ( ) l j L z степени j. Полином | | ( ) l j L z имеет j простых действительных положительных нулей. Наи- больший нуль при больших значениях j приблизительно равен 2(2j  l)/8. Нули ВГФ являются непрерывными убывающими функциями параметра , при   j  , 0    1 j нулей, распо- ложенных в порядке возрастания, будут меньше соответствую- щих нулей полинома | | ( ) l j L z , будут убывать с ростом  и при   1 станут нулями полинома  | | 1 ( ) l j L z . В монографии [31] и других ма- 74 И. М. ДУБРОВСКИЙ тематических руководствах ограничивались описанием только этих нулей. Но при   0 и   j  , 0    1 ВГФ при z   пропорциональна   (| | 1 ) exp( ) lz z , и тогда (, l; r) стремится к бесконечности. Если   j, то при z   полином Лагерра растёт не быстрее, чем zj. При этом функция (, l; r) убывает и являет- ся нормируемой. Для того чтобы граничное условие удовлетворя- лось хотя бы наибольшим нулём полинома Лагерра, необходимо    2 2 2 (2 | |) 8 2 . r j l R При большом радиусе круга это требует больших значений квантовых чисел j и l. Количество значений энергии, при которых функция (j, l; r) удовлетворяет нулевому граничному условию, равно j, и они не могут образовывать спектр, соответствующий общим теоремам о спектре подобных уравнений (см. монографию [23]). Поэтому и вынуждены были при решении этой задачи на собственные значения применять граничное условие убывания функции на бесконечности, а не об- ращения в нуль на границе. На самом деле полином  | | 1 ( ) l j L z имеет j  1 нуль. Его наибольший нуль не может быть получен умень- шением какого-либо нуля полинома | | ( ) l j L z , он может только «прийти из бесконечности». В работе [18] (см. также [21, 28]) выведена формула для (j, l; R)  1, которая позволяет удовле- творить нулевому граничному условию для всех значений j при значениях l, ограниченных величиной lm  j,   2 2 | | ( 2 ) m r l R    ( 1)( 2). r j R При этом (j, l; R) остаётся очень малой вели- чиной, то есть вырождение снимается, но уширение пика очень малое. При lm  l  lm  j и l  0 граничное условие удовлетво- ряют j нулей меньших, чем нули полинома ( )ml j L z , но больших, чем нули полинома 1 ( )ml j L z  , а   1, но не мало. Это соответствует приграничным состояниям. 2.2.3. Плотность состояний элементарных возбуждений Исправление этой математической ошибки позволило определить плотность состояний элементарных возбуждений, удовлетворяю- щую общим теоремам об этой функции (см. работу [21]). В урав- нении задачи на собственные значения для гамильтониана ele ˆ x H (формула (22)) переменные разделяются не только в цилиндриче- ских, но и в декартовых прямоугольных координатах. Это позво- лило в работе [21] рассматривать плотность состояний в попереч- ной плоскости при нулевом условии на границе квадрата. В декартовых координатах уравнение в плоскости XY разделя- ется на два одинаковых уравнения линейного осциллятора с час- тотой 0  r/2 и ограничивающими стенками, координаты кото- рых s. Решение этой задачи приведено в приложении к работе [21]. Если энергия классического осциллятора такова, что его амплитуда меньше s, то он не достигает стенок, а если его энер- НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 75 гия больше чем 2 2 2 o m s , то он колеблется, отражаясь от стенок при положительной кинетической энергии. Тогда из квазиклас- сических соображений следует, что при условии 2 2 2 o m s   соб- ственные значения энергии квантового осциллятора квантуются:   ħ(n  1/2). При больших энергиях спектр становится квази- дискретным (непрерывным), то есть промежуток между собст- венными значениями обратно пропорционален размеру области, в которой определяется собственная функция. Последовательное квантово-механическое рассмотрение с учётом свойств нулей ВГФ приводит к тому, что в формуле энергии перехода от квантован- ного спектра к непрерывному коэффициент 1/2 заменяется на 8/2  0,8. Собственные функции оператора ele ˆ x H (22) в квадрат- ной области плоскости перпендикулярной полю являются произ- ведениями двух собственных функций одного измерения, а соот- ветствующие собственные значения равны сумме их собственных значений. Плотность состояний 2D-элементарного возбуждения схематически представлена на рис. 3. По характеру плотности состояний спектр разбивается на три зоны. Вначале значения энергии описываются формулой En   (ħr/2)(nx  ny  1)  (n  1), n  0, 1, 2…. Спектр дискретный, начинается со значения ħr/2  , все промежутки также равны , каждое значение вырождено с кратностью n  1. Назовём эту зону «магнитной». Её граница Em  (n0  1), n0  [merS/2ħ]. Здесь S  (2s)2 — площадь ограниченной области — квадрата. Граничное значение n0 при замене r   с точностью до коэф- фициента совпадает с кратностью вырождения уровней Ландау (см. формулу (11)). Далее в интервале значений энергии Em  E  (2n0  1) («промежуточная зона») плотность состояний является суммой кусочно-непрерывной функции, которая на рис. Рис. 3. Плотность состояний элементарных возбуждений 2D-электронного газа в магнитном поле в новой теории (схематически).3 76 И. М. ДУБРОВСКИЙ 3 изображена ступенчатой функцией с горизонтальными ступе- нями, и дискретного спектра. Пики дискретного спектра нахо- дятся в точках разрыва кусочно-непрерывной функции. Их высо- та, то есть кратность вырождения, уменьшается согласно форму- ле 2n0  n  1. При E  (2n0  1) плотность состояний асимпто- тически стремится к постоянному значению mS/2ħ2. Эта область на рис. 3 изображена горизонтальной линией. При учёте спино- вого вырождения плотность состояний удваивается. Подобное описание плотности состояний в круге получено и в работе [28], но в этом случае не удалось описать тонкую структуру промежу- точной зоны. Выражения для плотности состояний в работах [21, 28] получены при стандартном наложении граничных условий и соответствуют всем общим свойствам этой функции, доказанным математически (см. монографию [22]). В работе [21] показано, что выявленная тонкая структура спектра приводит к тому, что энергия Ферми и энергия основно- го состояния 2D-газа в слабых полях, когда энергия Ферми больше верхней границы промежуточной зоны, осциллируют при изменении магнитного поля. Спектр определяется двумя пара- метрами, зависящими от магнитного поля по-разному. Расстоя- ние между дискретными уровнями   ħerB/2m — непрерывная функция, которая может принимать любые значения. Производ- ная EF/  0. Граничное значение n0  [erBS/2ħ], определяющее границы между зонами, может принимать только целочисленные значения. При увеличении n0 на единицу энергия Ферми скач- ком уменьшается. Аналогичные изменения происходят и с энер- гией основного состояния. Эти колебания могут быть причиной магнитных осцилляций. Как указано выше (см. 1.2.3), плотность состояний в трёх измерениях — свёртка 2D- и 1D-плотностей. Поэтому сглаженные колебания должны присутствовать и в плотности 3(E). Количество состояний в магнитной зоне с учётом спинового вы- рождения: 2 0 0 ( ) mb N B n n  . Суммарная энергия элементарных воз- буждений, заполняющих магнитную зону,     0 0 ( 1) . n mb r n E n n Если количество электронов N в рассматриваемом 2D-газе находит- ся в промежутке 2 2 0 0 0 0N N N N n n N n n    , то энергия Ферми равна ħrn0N/2. При этом все заполненные состояния элементарных воз- буждений находятся в магнитной зоне. Последний уровень n0N мо- жет быть не полон. Индукция магнитного поля, при которой дости- гается такое состояние 2 N r B N e S  . В сильном поле, когда B  BN, энергия Ферми остаётся закреплённой на уровне с номером n0N, хотя он уже не является граничным. В сильном поле и энергия НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 77 Ферми, и полная энергия газа пропорциональны индукции маг- нитного поля. При этом магнитный момент 2D-электронного газа не изменяется при изменении магнитного поля (см. работу [28]). Итак, коллективные взаимодействия — сохранение нулевого значения суммарного углового импульса и дальнодействующее электростатическое взаимодействие — приводят к тому, что ус- реднение нужно производить с плотностью распределения для идеального газа элементарных возбуждений. Это общая идея фи- зики конденсированных сред. 2.2.4. Плотность диамагнитного тока, намагниченность и магнитный момент В уравнении Шрёдингера для гамильтониана, в котором опущено слагаемое, описывающее энергию углового импульса в магнитном поле, все коэффициенты вещественны. Поэтому и собственные функции могут быть выбраны вещественными, то есть фаза вол- новой функции газа в выражении для плотности тока тождест- венно равна нулю. Квантово-механическое среднее поля плотно- сти тока имеет вид: 2 2 2 r e e Br m    j i , 2 ( )r   . (24) Этот ток создаёт неоднородную намагниченность. Поле намагни- ченности аксиально симметрично. Интеграл от намагниченности — магнитный момент электронного газа в магнитном поле:    2 ( ) ( ) 2 R r z e r e B r s sds m M ,      2 0 ( ) R R r e r e B M rdr s sds m . (25) Эти формулы одинаковы для газа классических или квантовых частиц. Разница только в выражении для плотности газа, кото- рая в обоих случаях убывает от центра к краям. 2.3. Задачи теории и эксперимента В новой теории нет тех противоречий общепринятой теории, о которых говорилось выше. Магнитный момент электронного газа в магнитном поле не нуль, а отрицательная величина, пропор- циональная количеству электронов. Механический угловой им- пульс электронного газа остаётся равным нулю. Плотность элек- тронного газа и намагниченность неоднородны. Это не квантовые эффекты, учёт квантовых поправок может привести только к ос- 78 И. М. ДУБРОВСКИЙ цилляциям в зависимости величины намагниченности от магнит- ного поля. Но формулы, описывающие эти эффекты, справедли- вы только качественно, так как выведены только для 2D-газа и в грубом приближении. Для сопоставления с экспериментальными результатами необходимо более строго подойти к выбору пробной функции для нахождения минимума функционала плотности, а также учесть энергию свободного движения вдоль направления магнитного поля. Необходимо также рассмотреть спиновый па- рамагнетизм и роль спин-орбитальной связи. В общепринятой теории спиновый парамагнитный момент пропорционален спино- вому угловому импульсу газа, который, следовательно, не равен нулю. Далее необходимо развить новую теорию для сложного за- кона дисперсии электронов проводимости в реальных металлах. С новой точки зрения нужно рассмотреть магнитные осцилляции в металлах, различные кинетические и резонансные явления, ин- терпретировать известные экспериментальные результаты. Необходимо также поставить ряд экспериментов, проверяющих новую теорию. Нужно измерять полный магнитный момент об- разца и его зависимость от магнитной индукции, а также от раз- меров и формы. Очевидно, что магнитный момент диска перпен- дикулярного полю будет отличаться от момента тонкого цилинд- ра того же объёма, расположенного вдоль поля, и удельной вос- приимчивости не существует. Другой эффект, также легко объяснимый в новой теории, был замечен В. К. Сульженко (частное сообщение). Металлический диск, подвешенный между полюсами магнита, устанавливался не перпендикулярно полю, как должно было бы быть при однород- ной намагниченности, а под некоторым углом. С точки зрения новой теории это понятно. Для простоты заменим диск проволоч- ным кольцом. Когда его плоскость перпендикулярна полю, в нём должен протекать бездиссипативный диамагнитный ток. Такое положение неустойчиво: при малом отклонении плоскости коль- ца от перпендикулярности полю, составляющая поля, параллель- ная плоскости кольца, создаёт силу Лоренца, увеличивающую отклонение. Когда ток создаётся внешним источником, эта сила приводит к повороту кольца на угол , и магнитный момент кольца становится параллельным полю. Но в случае диамагнит- ного тока, он исчезает, когда кольцо поворачивается на /2. Воз- можно, что детальное теоретическое и экспериментальное изуче- ние этого эффекта позволит получать ценную информацию об электронном строении металлов. Неоднородная плотность заряда электронного газа создаёт электрическое поле, которое не генерирует электрический ток в самом электронном газе, но может создавать ток заряженных примесей и вакансий в решётке, влиять на их диффузию. Оно НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 79 также деформирует кристаллическую решётку, создаёт напряже- ния. Эти эффекты также необходимо исследовать. Возможно, что они позволят разработать технологии обработки материалов маг- нитным полем. В заключение призываю коллег (теоретиков и экспериментато- ров) работать над решением этих задач. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. N. Bohr, Nature (London), 88: 200 (1911). 2. J. H. van Leeuwen, J. de Phys., 2: 361 (1921). 3. Л. Д. Ландау, Zs. Phys., 64: 629 (1930). 4. W. J. de Haas and P. M. van Alphen, Proc. Netherlands Roy. Acad. Sci., 33: 680 (1930); ibid., 33: 1106 (1930); ibid., 35: 454 (1932). 5. D. Shoenberg, Proc. Roy. Soc. A, 170: 341 (1939). 6. Б. И. Веркин, Б. Г. Лазарев, Н. С. Руденко, ЖЭТФ, 20: 995 (1950). 7. D. Shoenberg, Magnetic Oscillations in Metals (Cambridge: Cambridge Uni- versity Press: 1984). 8. R. Peierls, Zs. Phys., 80: 763 (1933); idem., Zs. Phys., 81: 186 (1933). 9. L. Onsager, Phil. Mag., 43: 1006 (1952). 10. И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов, Электронная теория металлов (Москва: Наука: 1971). 11. J. H. van Vleck, Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities (Oxford: Oxford University Press: 1965). 12. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (Москва: ГИЗ физ.-мат. литературы: 1963). 13. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика (Москва: Наука: 1976). 14. А. А. Абрикосов, Основы теории металлов (Москва: Наука: 1987). 15. Р. Пайерлс, Квантовая теория твёрдых тел (Москва: ИЛ: 1956). 16. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля (Москва: ГИЗ физ.-мат. литературы: 1960). 17. M. H. Johnson and B. A. Lippmann, Phys. Rev., 76: 828 (1949). 18. I. M. Dubrovskii, Cond. Matt. Phys., 9: 645 (2006). 19. И. М. Дубровский, Теория электронных явлений в деформированных кристаллах (Киев: РИО ИМФ: 1999). 20. А. И. Гутников, Э. П. Фельдман, ЖЭТФ, 63: 1054 (1972). 21. I. M. Dubrovskyi, Cond. Matt. Phys., 16: 1 (2013). 22. R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. Vol. 1 (New York: Interscience: 1953). 23. I. Dubrovskyi, J. Phys. Sci. Appl., 4: 328 (2014). 24. Таблицы физических величин (Ред. И. К. Кикоин) (Москва: Атомиздат: 1976). 25. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. 7. Электродинамика сплошных сред (Москва: ГИТТЛ: 1957). 26. А. Я. Хинчин, Математические принципы статистической механики (Москва–Ленинград: ГИТТЛ: 1943). 27. I. M. Dubrovskii, Cond. Matt. Phys., 11: 585 (2008). 80 И. М. ДУБРОВСКИЙ 28. I. Dubrovskyi, Thermodynamics–Interaction Studies—Solids, Liquids and Gases (Ed. Juan Carlos Moreno-Pirajan), Сh. 17: 445–468 (ISBN: 978-953-307-563-1: InTech: 2011); http://dx.doi.org/10.5772/19645. 29. Д. Н. Зубарев, Неравновесная статистическая термодинамика (Москва: Наука: 1971). 30. Theory of the Inhomogeneous Electron Gas (Eds. S. Lundqvist and N. H. March) (New York–London: Plenum Press: 1983). 31. A. Erdélyi, Higher Transcendental Functions, Based, in Part, on Notes Left by Harry Bateman. Vol. 1 (New York–Toronto–London: McGraw-Hill Book Company INC: 1953). REFERENCES 1. N. Bohr, Nature (London), 88: 200 (1911). 2. J. H. van Leeuwen, J. de Phys., 2: 361 (1921). 3. L. D. Landau, Zs. Phys., 64: 629 (1930). 4. W. J. de Haas and P. M. van Alphen, Proc. Netherlands Roy. Acad. Sci., 33: 680 (1930); ibid., 33: 1106 (1930); ibid., 35: 454 (1932). 5. D. Shoenberg, Proc. Roy. Soc. A, 170: 341 (1939). 6. B. I. Verkin, B. G. Lazarev, and N. S. Rudenko, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 20: 995 (1950) (in Russian). 7. D. Shoenberg, Magnetic Oscillations in Metals (Cambridge: Cambridge University Press: 1984). 8. R. Peierls, Zs. Phys., 80: 763 (1933); idem., Zs. Phys., 81: 186 (1933). 9. L. Onsager, Phil. Mag., 43: 1006 (1952). 10. I. M. Lifshitz, М. Ya. Аzbel’, and М. I. Kаgаnоv, Elektronnaya Teoriya Metallov [Electronic Theory of Metals] (Moscow: Nauka: 1971) (in Russian). 11. J. H. van Vleck, Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities (Oxford: Oxford University Press: 1965). 12. L. D. Landau and Е. М. Lifshitz, Teoreticheskaya Fizika. Vol. 3. Kvantovaya Mekhanika [Theoretical Physics. Vol. 3. Quantum Mechanics] (Моscow: GIZ Fiz.-Mаt. Literatury: 1963) (in Russian). 13. L. D. Landau and Е. М. Lifshitz, Teoreticheskaya Fizika. Vol. 5. Statisticheskaya Fizika [Theoretical Physics. Vol. 5. Statistical Physics] (Моscow: Nauka: 1976) (in Russian). 14. А. А. Abrikosov, Osnovy Teorii Metallov [Fundamentals of the Theory of Metals] (Moscow: Nauka: 1987) (in Russian). 15. R. Peierls, Kvantovaya Teoriya Tverdykh Tel [Quantum Theory of Solids] (Moscow: IL: 1956) (Russian translation). 16. L. D. Landau and Е. М. Lifshitz, Teoreticheskaya Fizika. Vol. 2. Teoriya Polya [Theoretical Physics. Vol. 2. Field Theory] (Моscow: GIZ Fiz.-Mаt. Literatury: 1960) (in Russian). 17. M. H. Johnson and B. A. Lippmann, Phys. Rev., 76: 828 (1949). 18. I. M. Dubrovskii, Cond. Matt. Phys., 9: 645 (2006). 19. I. M. Dubrovskii, Teoriya Elektronnykh Yavleniy v Deformirovannykh Kristallakh [Theory of Electronic Phenomena in Strained Crystals] (Kiev: RIO IMF: 1999) (in Russian). 20. А. I. Gutnikov and E. P. Feldman, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 63: 1054 (1972) (in НОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 81 Russian). 21. I. M. Dubrovskyi, Cond. Matt. Phys., 16: 1 (2013). 22. R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. Vol. 1 (New York: Interscience: 1953). 23. I. Dubrovskyi, J. Phys. Sci. Appl., 4: 328 (2014). 24. Tablitsy Fizicheskikh Velichin [Tables of Physical Quantities] (Ed. I. K. Kikoin) (Moscow: Atomizdat: 1976) (in Russian). 25. L. D. Landau and Е. М. Lifshitz, Teoreticheskaya Fizika. Vol. 7. Elektrodinamika Sploshnykh Sred [Theoretical Physics. Vol. 7. Electrodynamics of Continuous Media] (Moscow: GITTL: 1957) (in Russian). 26. А. Ya. Khinchin, Matematicheskie Printsipy Statisticheskoy Mekhaniki [Mathematical Principles of Statistical Mechanics] (Моscow–Leningrad: GITTL: 1943) (in Russian). 27. I. M. Dubrovskii, Cond. Matt. Phys., 11: 585 (2008). 28. I. Dubrovskyi, Thermodynamics–Interaction Studies—Solids, Liquids and Gases (Ed. Juan Carlos Moreno-Pirajan), Сh. 17: 445–468 (ISBN: 978-953-307-563-1: InTech: 2011); http://dx.doi.org/10.5772/19645. 29. D. N. Zubarev, Neravnovesnaya Statisticheskaya Termodinamika [Nonequilibrium Statistical Thermodynamics] (Моscow: Nauka: 1971) (in Russian). 30. Theory of the Inhomogeneous Electron Gas (Eds. S. Lundqvist and N. H. March) (New York–London: Plenum Press: 1983). 31. A. Erdélyi, Higher Transcendental Functions, Based, in Part, on Notes Left by Harry Bateman. Vol. 1 (New York–Toronto–London: McGraw-Hill Book Company INC: 1953). *G. V. Kurdyumov Institute for Metal Physics, N.A.S. of Ukraine, 36, Acad. Vernadsky Blvd., UA-03680 Kyiv-142, Ukraine 1 Fig. 1. ‘Explanation’ of the paradox of the Bohr–van Leeuwen theorem. 2 Fig. 2. Density of states for 2D-electron gas in a magnetic field—Landau levels. 3 Fig. 3. Density of states for elementary excitations of the 2D-electron gas in a magnetic field within the new theory (schematically).

Схожі ресурси