Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре

Для моделирования дифракции плоской электромагнитной волны на прямом круговом цилиндре использовано классическое решение. Построено пространственное распределение электрического поля для четырех характерных частот: две нижние частоты отвечают первым максимуму и минимуму полного поля в точке позади р...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Величко, Е.А., Николаенко, А.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2009
Назва видання:	Радіофізика та електроніка
Теми:	Электродинамика СВЧ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105720
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре / Е.А. Величко, А.П. Николаенко // Радіофізика та електроніка. — 2009. — Т. 14, № 1. — С. 11-18. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-105720
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1057202016-09-08T03:02:33Z Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре Величко, Е.А. Николаенко, А.П. Электродинамика СВЧ Для моделирования дифракции плоской электромагнитной волны на прямом круговом цилиндре использовано классическое решение. Построено пространственное распределение электрического поля для четырех характерных частот: две нижние частоты отвечают первым максимуму и минимуму полного поля в точке позади рассеивающего цилиндра, две верхние частоты порядка 100 ГГц соответствуют минимуму и максимуму поля в той же точке. Построены угловые диаграммы рассеянного и полного полей. Обсуждается явление, аналогичное явлению Гиббса, характерное для фурье-разложения одномерной «прямоугольной» волны. В двумерной задаче этот эффект исчезает, когда число членов, используемых в разложении поля, превышает порог, определяемый отношением длины падающей волны к радиусу рассеивателя. Для моделювання дифракції плоскої електромагнітної хвилі на прямому круговому циліндрі використовується класичний розв’язок. Побудовано просторовий розподіл електричного поля для чотирьох характерних частот: дві нижні частоти відповідають першим мінімуму та максимуму повного поля в точці позаду циліндра, дві верхні частоти порядку 100 ГГц відповідають мінімуму та максимуму поля в тій самій точці. Побудовано кутові діаграми розсіяного та повного полів. Обмірковується явище, аналогічне явищу Гіббса, що спостерігають у фур’є-розкладі одновимірної «прямокутної» хвилі. У двовимірному випадку ефект зникає, коли кількість членів, використаних у розкладі поля, перевищує поріг, що визначається відношенням довжини падаючої хвилі до радіуса розсіювача. The classic solution is used of the plane wave diffraction by a circular metallic cylinder. The spatial field distribution was constructed for four characteristic frequencies. The lower couple of them corresponds to the first maximum and minimum in the complete field observed at the back of the cylinder. Two higher frequencies around 100 GHz are related to the field maximum and minimum at the same point. Angular patterns of the scattered and full field are constructed. The phenomenon is discussed similar to the Gibbs phenomenon arising in the Fourier expansion of a «square» wave. In the 2D case, the effect vanishes when the number of terms in the expansion exceeds a threshold that depends on the relation between the radius of the scatterer and the incident wave length. 2009 Article Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре / Е.А. Величко, А.П. Николаенко // Радіофізика та електроніка. — 2009. — Т. 14, № 1. — С. 11-18. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1028-821X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105720 537.874.4:621.371.334 ru Радіофізика та електроніка Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Электродинамика СВЧ Электродинамика СВЧ
spellingShingle	Электродинамика СВЧ Электродинамика СВЧ Величко, Е.А. Николаенко, А.П. Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре Радіофізика та електроніка
description	Для моделирования дифракции плоской электромагнитной волны на прямом круговом цилиндре использовано классическое решение. Построено пространственное распределение электрического поля для четырех характерных частот: две нижние частоты отвечают первым максимуму и минимуму полного поля в точке позади рассеивающего цилиндра, две верхние частоты порядка 100 ГГц соответствуют минимуму и максимуму поля в той же точке. Построены угловые диаграммы рассеянного и полного полей. Обсуждается явление, аналогичное явлению Гиббса, характерное для фурье-разложения одномерной «прямоугольной» волны. В двумерной задаче этот эффект исчезает, когда число членов, используемых в разложении поля, превышает порог, определяемый отношением длины падающей волны к радиусу рассеивателя.
format	Article
author	Величко, Е.А. Николаенко, А.П.
author_facet	Величко, Е.А. Николаенко, А.П.
author_sort	Величко, Е.А.
title	Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре
title_short	Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре
title_full	Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре
title_fullStr	Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре
title_full_unstemmed	Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре
title_sort	моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Электродинамика СВЧ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105720
citation_txt	Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре / Е.А. Величко, А.П. Николаенко // Радіофізика та електроніка. — 2009. — Т. 14, № 1. — С. 11-18. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Радіофізика та електроніка
work_keys_str_mv	AT veličkoea modelirovanierasseâniâploskojélektromagnitnojvolnynametalličeskomcilindre AT nikolaenkoap modelirovanierasseâniâploskojélektromagnitnojvolnynametalličeskomcilindre
first_indexed	2025-07-07T17:17:21Z
last_indexed	2025-07-07T17:17:21Z
_version_	1837009356968689664
fulltext	__________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 14, № 1, 2009, с. 11-18 ИРЭ НАН Украины, 2009 УДК 537.874.4:621.371.334 МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА МЕТАЛЛИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ Е. А. Величко, А. П. Николаенко Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: sasha@ire.kharkov.ua Для моделирования дифракции плоской электромагнитной волны на прямом круговом цилиндре использовано классиче- ское решение. Построено пространственное распределение электрического поля для четырех характерных частот: две нижние час- тоты отвечают первым максимуму и минимуму полного поля в точке позади рассеивающего цилиндра, две верхние частоты поряд- ка 100 ГГц соответствуют минимуму и максимуму поля в той же точке. Построены угловые диаграммы рассеянного и полного полей. Обсуждается явление, аналогичное явлению Гиббса, характерное для фурье-разложения одномерной «прямоугольной» вол- ны. В двумерной задаче этот эффект исчезает, когда число членов, используемых в разложении поля, превышает порог, определяе- мый отношением длины падающей волны к радиусу рассеивателя. Ил. 6. Библиогр.: 5 назв. Ключевые слова: радиоволна, рассеяние, дифракция, круговой цилиндр. При исследовании электрических свойств различных материалов в сантиметровом и мил- лиметровом диапазонах радиоволн используются различные методики. Как правило, сам исследуе- мый материал или кювета, содержащая его, слу- жат «пробным телом», помещаемым в измери- тельный тракт. При увеличении частоты такой объект становится хорошим рассеивателем, и его диэлектрические свойства можно определить, изучая отраженное и/или дифрагированное поле. Рассматривается задача рассеяния пло- ской электромагнитной волны на прямом круго- вом металлическом цилиндре. Такая задача отно- сится к классическим, ее общее решение хорошо известно (см., например, [1–3]). Тем не менее, построение конкретных численных решений и обсуждение их свойств оправдываются следую- щими соображениями: − при подготовке эксперимента необходимо предварительное численное моделирование, кото- рое позволило бы оценить необходимые парамет- ры эксперимента и ожидаемые при этом эффекты. Для этой цели требуется надежное программное обеспечение. Рассматриваемая задача служит тес- том при разработке такого обеспечения; − в измерениях приходится калибровать ап- паратуру. Простейшей калибровкой, к которой относятся приводимые расчеты, может служить рассеяние волн на проводящем цилиндре задан- ного диаметра; − полученное решение обнаруживает инте- ресную особенность, которую, как нам представ- ляется, можно связать с известным явлением Гиббса, наблюдаемым при разложении «прямо- угольной» волны в ряд Фурье. Мы используем известное формальное решение задачи в виде разложения по цилиндри- ческим функциям и оценим скорость сходимости этого решения. Затем выберем характерные час- тоты, на которых будет проведен расчет поля, и получим пространственные распределения рассе- янного и полного полей на этих частотах. Особое внимание будет уделено «высокочастотным» ра- диоволнам, когда вдоль окружности металличе- ского цилиндра укладывается много длин волн падающего поля (целое и полуцелое число). В заключение мы обсудим модельные результаты, полученные при недостаточно большом числе членов ряда, которые использовались в формаль- ных разложениях, что позволяет обнаружить ана- логию с известным явлением Гиббса. 1. Постановка задачи. Рассмотрим рас- сеяние плоской электромагнитной волны на од- нородном идеально проводящем цилиндре беско- нечной длины. Используем цилиндрическую сис- тему координат {ρ, ϕ, z}. Рассеиватель находится в вакууме, где проводимость среды σ = 0, а отно- сительные диэлектрическая и магнитная постоян- ные равны ε = 1, μ = 1 (в абсолютных величинах ε0 = 8,8542 ⋅10−12 Ф/м и μ0 = 4π ⋅10−7 Гн/м). Рассмотрим цилиндр радиусом а = 1 см с центром в начале системы координат и осью ци- линдра, направленной вдоль оси z. Вдоль оси х справа налево падает плоская монохроматическая волна частоты ω единичной амплитуды. Времен- ную зависимость определяем экспонентой ,tie ω тогда падающую волну можно записать в виде ,)( tkxie ω+ где k = 2π/λ – волновое число. Предполагаем, что вектор электрического поля падающей волны параллелен оси цилиндра ( )ϕ,rEE z inc z = и все компоненты поля не зависят от z (∂/∂z = 0), тогда у магнитного поля отличны от нуля компоненты Hρ и Hϕ. С учетом сказанно- го из уравнений Максвелла получаем ϕρ ωμ ρ ∂ ∂ ⋅−= zEHi 1 ; (1) Е. А. Величко, А. П. Николаенко / Моделирование рассеяния плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 12 ρ ωμ ϕ ∂ ∂ = zEHi ; (2) ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ =+ ϕρ ρ ρ εωσ ρϕ HH Ei z 1 . (3) Исключая магнитные компоненты, полу- чим волновое уравнение для рассеянного поля sc zE 0)( 2 =−Δ sc zEγ , (4) где Δ – оператор Лапласа, а ( )ωεσωμγ ii +=2 – квадрат постоянной распространения. В работе используется чисто мнимая постоянная распро- странения ikii c === λ πωγ 2 . Решение уравнения (4) имеет вид ,cosϕγργ ee x = т. е. падающая волна )( tkxie ω+ пред- ставляется в виде tixinc z eE ωγ += или в цилиндриче- ских координатах .cos tiinc z eE ωϕργ += В дальней- шем временной экспоненциальный множитель нами опускается. Уравнение (4) решается методом разде- ления переменных ( ) ( )ϕρ Φ= RAEz [1–5]. Реше- нием для азимутальной функции Ф(φ) служат либо синусы и косинусы, либо экспонента ϕime . Тогда для радиальной функции ( )ρR имеет место уравнение Бесселя ( ) 0222 2 2 2 =+−+ Rm d Rd d Rd ργ ρ ρ ρ ρ , (5) линейно независимыми решениями которого яв- ляются функции ( )ργmI и ( )ργmK . Общее решение уравнения (5) имеет вид ( ) ( )[ ] ϕργργ mi mmmmz eKAICE += . Согласно принципу излучения должно выполняться условие Зоммерфельда [3] 0lim =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ∞→ Eik R ER R . (6) Для рассеянного поля следует выбрать решение в виде расходящейся волны ργω ργ −tie1 . Таким решением является функция Km(γρ), ко- торая при \|γρ\| → ∞ убывает как ( ) 0 2 21 →⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≈ − ργ ργ πργ eKm . Общее решение для рассеянного поля при условии, что плоская волна падает на металлический цилиндр справа, можно представить в следующем виде: ( ) ( )ϕργ mKAE m mm sc z cos 0 ∑ ∞ = = , (7) где Am – амплитуды отдельных типов (мод) рассе- янного поля, а суммирование ведется по положи- тельным индексам от m = 0, так как Km = K−m. С помощью производящей функции ком- плексного переменного t падающую волну ϕργ cose тоже можно представить в виде ряда, коэффициентами разложения которого будут функции Бесселя ( )∑ ∞ ∞−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = m m mt tu uJte 1 2 1 . (8) Полагая t = ieiϕ и u = γρ и учитывая, что Im(u) = i−mJm(iu), получим ( ) ( ) ( )ϕργργ mIIE m m inc z cos2 1 0 ∑ ∞ = += . (9) Таким образом, падающую волну можно записать как ( ) ( )ϕργε mIE m mm inc z cosˆ 0 ∑ ∞ = = , (10) где 1ˆ0 =ε и 2ˆ =mε для ,...3,2,1=m Полное поле отлично от нуля вне цилин- дра (при a>ρ ) и равно ( ) ( )[ ] ( ),cosˆ 0 ϕργργε mKDI EEE m mmmm sc z inc zz ∑ ∞ = += =+= (11) где mmm AD ε̂= – безразмерный коэффициент. Внутри идеального проводника все ком- поненты поля обращаются в нуль, поэтому на границе цилиндра a=ρ поле 0=zE . Тогда из (11) следует ( ) ( ) 0=+ aKDaI mmm γγ , откуда ( ) ( )aK aID m m m γ γ −= . (12) Из формулы (11) с учетом (12) получаем электрическую компоненту рассеянного и полно- го полей в виде ( ) ( )ϕργε mKBE m m mm sc z cosˆ 0 ∑ ∞ = −= ; (13) ( ) ( )[ ] ( )ϕργργε mKBIE m mmmmz cosˆ 0 ∑ ∞ = −= , (14) где ( ) ( )aK aIB m m m γ γ = . Выражения для компонент магнитного поля находим с помощью (1) и (2) ( ) ( )[ ] ( )ϕργργε ωμ γ ϕ mKBI i H m mmmm cosˆ 0 ∑ ∞ = ′−′= ; (15) ( ) ( )[ ] ( ).sin ˆ11 0 ϕ ργργε ρωμρ m KBIm i H m mmmm × ×−= ∑ ∞ = (16) Е. А. Величко, А. П. Николаенко / Моделирование рассеяния плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 13 В дальнейшем приводятся результаты расчетов компоненты поля Ez. 2. Результаты численного моделирова- ния. Ряды (13) и (14) сходятся, если коэффициен- ты mB достаточно быстро убывают с номером m. Проверка сходимости производилась численно: мы рассчитали \|Bm\| как функцию индекса m при нескольких фиксированных значениях аргумен- та γa. Результаты расчета показаны на рис. 1. Рис. 1. Зависимость амплитуды коэффициентов разложения Bm от индекса m: 1 – γα = 1; 2 – γα = 10; 3 – γα = 50; 4 – γα = 80; 5 – γα = 100 Графики позволяют оценить количество членов, которые необходимо учитывать в разло- жении. Как видно, значения \|Bm\| при фиксирован- ном значении аргумента γa имеют одинаковый порядок, пока индекс m не превышает значения аргумента. При дальнейшем увеличении индекса они начинают быстро убывать, и при m ≈ 2γ а ко- эффициенты оказываются порядка 10−10. Таким образом, в суммах, описывающих рассеянное поле, достаточно учесть слагаемые с индексом меньше 2γ а. На рис. 2 для диапазона частот 1–100 ГГц представлены амплитуды рассеянного и полно- го поля в точке с координатами x = −1,1 и y = 0, т. е. позади цилиндрического проводника (радиус цилиндра 1 см, амплитуда падающей плоской волны 1=inc zE ). По оси абсцисс отложена частота в гигагерцах, по вертикальной оси показана ам- плитуда электрического поля. Графики рис. 2 по- казывают, что при уменьшении частоты до нуля амплитуда рассеянного поля растет до амплитуды падающего, а амплитуда полного поля при этом стремится к нулю. Этот результат можно получить и аналитически, воспользовавшись разложением (13). Так, для малых аргументов \|х\| → 0 бесселевы функции удовлетворяют соотношениям ( ) ( ) ; 2! m mm m xxI ≈ (17) ( ) ( ) ( )m m m x mxK 12!1 −− ≈ . (18) Тогда разложение (13) можно переписать в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).cos2 1 0 0 0 0 0 ∑ ∞ = − −−= m m m m sc z mK aK aIE K aK aIEE ϕργ γ γ ργ γ γ (19) При m = 0 получаем, что ( ) 10 ≈ργI , а ( ) ( )[ ]CK +−≈ 2ln0 ργργ , где C = 0,5772... – по- стоянная Эйлера. Рис. 2. Амплитуда рассеянного и полного полей как функция частоты при диаметре рассеивающегот цилиндра 2 см: f1 = 8,65 ГГц; f2 = 16,35 ГГц; f3 = 91,6 ГГц и f4 = 99,15 ГГц Подставив эти соотношения в (19), полу- чим, что при малых значениях аргумента первый член равен ( ) ( ) ( ) .12ln 2ln 1 −→ − − −= a a Esc γ γ (20) Члены с m ≥ 1 в рассеянном поле убыва- ют, как ( ) .0→−= m sc aE γ (21) Таким образом, при малых аргументах (на низких частотах) амплитуда полного поля убывает до нуля Ez → 0. Из рис. 2 видно, что рассеяние плоской волны на цилиндре носит явно выраженный ре- зонансный характер. Первый максимум амплиту- ды рассеянного поля приходится на частоту 18,28 ГГц, однако фаза рассеянного поля отлична от нуля, поэтому первый минимум полного поля Ez наблюдается на частоте f2 = 16,35 ГГц. Верти- кальными стрелками показаны характерные час- тоты, используемые в дальнейших расчетах. Пер- вая их них соответствует первому максимуму полного поля на f1 = 8,65 ГГц, вторая – уже упо- минавшемуся первому минимуму на частоте 16,35 ГГц. Кроме того, использованы две «высо- ⎪Е⎪, отн. ед Е. А. Величко, А. П. Николаенко / Моделирование рассеяния плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 14 кие» частоты: f3 = 91,6 ГГц – минимум поля и f4 = 99,15 ГГц – максимум поля. Результаты расчетов амплитуды полного поля в окрестности проводящего цилиндра пока- заны на рис. 3. Здесь координаты х и y изменяют- ся в интервале от −3 до 3 см. Двумерное распре- деление амплитуды поля в пространстве показано как «карта» с черной заливкой, шкала амплитуд показана справа. Расчет проводился при учете 100 членов (m ≤ 100) в разложении (14). ___________________________________________ Полное поле Рис. 3. Пространственное распределение полного поля для различных частот: а) – f1 = 8,65 ГГц; б) – f2 = 16,35 ГГц; в) – f3 = 91,6 ГГц; г) – f4 = 99,15 ГГц ___________________________________________ Как видно из рис. 3, позади проводящего цилиндра образуется область минимума полного поля. Из-за дифракции волн на низких частотах эта область прижата к цилиндру, а при удалении от него экранирующие свойства проводника бы- стро ослабевают. Иными словами, длинные волны легко огибают препятствие. Справа от цилиндра видно стоячее поле, обусловленное интерферен- цией падающей и отраженной от препятствия радиоволн. При переходе от графика рис. 3, а к рис. 3, б, т. е. с ростом частоты, расстояние между минимумами поля (темные области) сокращается, а область минимума полного поля позади препят- ствия расширяется. Такое поведение расчетных данных мож- но ожидать из физических соображений. На гра- в) г) а) б) Е. А. Величко, А. П. Николаенко / Моделирование рассеяния плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 15 фиках рис. 3, в и рис. 3, г представлены простран- ственные распределения амплитуды поля, полу- ченные на высоких частотах. Как видно, с ростом частоты формируется область «геометрической» тени, а период интерференции в области отраже- ний уменьшается. Графики рис. 3 демонстрируют соответ- ствие результатов моделирования принципам дифракции. Они позволяют оценить пространст- венный шаг, необходимый в эксперименте на тех или иных частотах. 3. Диаграмма направленности рассе- янного и полного полей. На рис. 4 в полярных координатах построены угловые диаграммы пол- ного и рассеянного полей. Расчеты проводились при фиксированном расстоянии от центра цилин- дра, равном r = 10 см. Использовались те же час- тоты f1 – f4. Графики рис. 4, а, в показывают ам- плитуду рассеянного поля, а рис. 4, б, г – полно- го. Графики рис. 4, а, б отвечают частотам, когда в полном поле на рис. 2 наблюдается максимум: f1 – кривая 1 и f4 – кривая 2. Графики рис. 4, в, г рассчитаны для частот минимума в полном поле: f2 – кривая 1 и f3 – кривая 2. Как видно, угловые диаграммы рассеянного поля (рис. 4, а, в) почти не изменяют своей структуры при переходе от частоты минимума к частоте максимума полного поля позади цилиндра. ___________________________________________ Рассеянное поле Полное поле а) б) в) г) Рис. 4. Диаграмма направленности для различных частот: a, б) – 1 – f1 = 8,65 ГГц; 2 – f4 = 99,15 ГГц; в, г) – 1 – f2 = 16,35 ГГц; 2 – f3 = 91,6 ГГц ___________________________________________ Из рис. 4 видно, что на самой низкой час- тоте (f1 = 8,65 ГГц), когда длина волны падающе- го поля близка к длине окружности цилиндра, угловая диаграмма рассеяния похожа на широкий овал, вытянутый вдоль полуоси ϕ = π (в область тени). Соответствующее полное поле, рассчитан- ное на большом расстоянии от препятствия, ха- рактеризуется сильно изрезанной диаграммой направленности, осцилляции которой определя- ются разностью хода прямой и отраженной волн. Е. А. Величко, А. П. Николаенко / Моделирование рассеяния плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 16 Аналогичная картина наблюдается и на частоте f2 = 16,35 ГГц, где диаграмма рассеяния почти не изменяется, тогда как число лепестков в диа- грамме полного поля увеличивается из-за умень- шения длины волны. На высоких частотах (f3 и f4) вдоль ок- ружности рассеивающего цилиндра укладывается много длин волн, поэтому диаграммы рассеянно- го поля становятся узкими и сильно вытянутыми влево, на них также видны лепестки (кривые 2 на графиках рис. 4, а, в). При этом амплитуда полно- го поля быстро осциллирует, что объясняется малой длиной радиоволны. В целом, графики рис. 4 предсказывают осцилляции, обнаружить которые можно только при использовании детальных измерений. 4. Явление Гиббса. Явление Гиббса свя- зано со свойствами рядов Фурье при разложении разрывной периодической функции. Хорошо из- вестно, что сам ряд в точке разрыва дает полу- сумму значений функции справа и слева от раз- рыва, а во всех остальных точках равномерно и абсолютно приближает эту функцию. На практи- ке используется конечное число членов, и при этом возникает явление Гиббса [4, 5]. Рассмотрим фурье-разложение периоди- ческой «прямоугольной» волны (меандра). Ис- ходная зависимость задается ступенчатой функ- цией f(x) = 1 при 0 < x < π и f(x) = −1 при π < x < 2π, она периодически продолжается впра- во и влево на всю ось х. Соответствующий ряд Фурье хорошо известен ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++= … 5 5sin 3 3sinsin4 xxxxf π . (22) На рис. 5 показана функция f(x) и ее при- ближение рядом (22) при различном числе чле- нов. В расчетах мы ограничились 1 (кривая 1), 7 (кривая 7), 51 (кривая 51) и 125 (кривая 125) членами ряда (22). Из графиков видно, что неза- висимо от числа членов ряда вблизи точки раз- рыва частичная сумма ряда Фурье всегда имеет изолированный выброс [4, 5]. При увеличении числа членов ряда этот ложный пик не уменьша- ется, а смещается к точке разрыва; амплитуды осцилляций на горизонтальных участках функ- ции убывают. Амплитуда первого выброса дос- тигает 18 %, а вслед за ним следуют минимумы и максимумы убывающей величины. Явление было обнаружено и описано Гиббсом и с тех пор носит его имя. Главная особенность эффекта состоит в том, что независимо от числа членов частичной суммы ряд (22) всегда будет содержать ложные осцилляции, тем более быстрые, чем больше членов учтено в разложении. Уместно задаться следующим вопросом: возможно ли наблюдать нечто подобное явлению Гиббса в рассматриваемом нами двумерном слу- чае, когда амплитуда электромагнитного поля обращается в нуль внутри цилиндрической об- ласти? Конечно, полной аналогии ожидать не приходится хотя бы потому, что рассматриваемая нами амплитуда не может быть продолжена пе- риодически на всю область изменений радиуса ρ. Тем не менее, мы попытаемся обнару- жить ложные осцилляции в расчетном поле на заданной частоте при малом числе членов ряда – таком, когда индекс m еще не достиг значений, при которых коэффициент \|Bm\| начинает резко убывать. Заранее очевидно, что наше «явление Гиббса» если и возникнет, то только при сравни- тельно небольшом количестве суммируемых гармоник. Рис. 5. Периодическая прямоугольная волна и ее представле- ние рядом Фурье (числа означают количество просуммиро- ванных членов) На рис. 6 представлены пространствен- ные распределения полного и рассеянного полей вокруг цилиндра при учете 10, 15, 25 и 100 чле- нов ряда. Частота падающей волны выбрана равной f3 = 91,6 ГГц. Из представленных дву- мерных распределений поля видно, что при не- большом количестве членов m ≤ 10 и m ≤ 15 кар- тина распределения рассеянного и полного по- лей отличается от распределения, получаемого при корректных значениях [ ]am γ2;0∈ . Отли- чия состоят в тонкой, лучеподобной структуре поля, как бы прижатой к границе раздела. Мож- но даже говорить о появлении волны типа шеп- чущей галереи, которая осциллирует вдоль ази- мута. В каком-то смысле такие азимутальные колебания поля похожи на явление Гиббса. При учете достаточно большого числа членов разложения осцилляции исчезают. Таким образом, классическое решение задачи дифракции плоской волны на металличе- ском цилиндре оказывается обусловленным лучше, чем разложение меандра в ряд Фурье, S(X) Е. А. Величко, А. П. Николаенко / Моделирование рассеяния плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 17 поскольку последнее всегда содержит осцилля- ции вблизи точки разрыва при произвольном конечном числе членов разложения. В задаче дифракции подобные осцилляции исчезают, как только используется достаточное количество членов разложения. ___________________________________________ Рассеянное поле Полное поле 10 членов в разложении 15 членов в разложении 25 членов в разложении 100 членов в разложении Рис. 6. Пространственное распределение рассеянного и полного полей при различных m на частоте f3 = 91,6 ГГц Е. А. Величко, А. П. Николаенко / Моделирование рассеяния плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 18 Выводы. При численном моделировании мы использовали решение задачи о дифракции плоской волны на прямом круговом металличе- ском цилиндре. В расчетах было использовано несколько характерных частот. Две нижние из них соответствовали первому максимуму и пер- вому минимуму полного электрического поля в точке, расположенной позади цилиндра. Две верхние частоты отвечали максимуму и миниму- му поля в этой же точке на частотах чуть ниже 100 ГГц. Мы рассчитали пространственные рас- пределения рассеянного и полного полей в окрест- ности цилиндра, а также угловые диаграммы этих полей. Полученные модельные результаты хоро- шо согласуются с общими представлениями и корректно описывают дифракцию радиоволн во- круг препятствия. Рассмотрение аналога явления Гиббса показало, что при малом количестве простран- ственных гармоник в решении возникает про- странственная структура поля, напоминающая «поверхностные» волны, привязанные к границе металл – вакуум. На самом деле такие структуры являются артефактом, они исчезают при увеличе- нии числа членов разложения. В этом состоит отличие наблюдаемого на двумерном объекте эффекта от классического явления Гиббса, свя- занного с разложением меандра в гармонический ряд Фурье. Эффект Гиббса сохраняется при лю- бом конечном числе членов ряда, тогда как волны типа шепчущей галереи исчезают, как только число учитываемых членов ряда превысит неко- торое пороговое значение, которое зависит от соотношения радиуса рассеивающего цилиндра и длины волны падающего излучения. Перечислим основные результаты работы: − с помощью решения задачи дифракции плоской электромагнитной волны на металли- ческом цилиндре построена численная модель, позволяющая рассчитать как полное, так и рассе- янное поле в пространстве вокруг цилиндра; − рассчитано пространственное распределе- ние амплитуды рассеянного и полного полей на характерных частотах, когда длина падающей волны сопоставима с длиной окружности цилинд- ра и когда вдоль этой окружности укладывается большое целое и полуцелое число длин волн; − для этих же случаев построены угловые диаграммы рассеянного и полного полей. Пока- зано, что проводящий цилиндр рассеивает поле преимущественно вперед, в направлении распро- странения падающей волны; − демонстрируется двумерный аналог одно- мерного явления Гиббса, который возникает при учете ограниченного числа членов разложения. 1. Смирнов В. И. Курс высшей математики. – М.: Наука, 1969. – Т. 3. – Ч. 2. – 672 с. 2. Wait J. R. Introduction to antennas and propagation. – Lon- don: Peter Peregrinus Ltd, 1986. – 256 p. 3. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. – М.: Радио и связь, 1988. – 440 с. 4. Марпл С. Л. (мл.) Цифровой спектральный анализ и его приложения / Пер. с англ. О. И. Хабарова, Г. А. Сидоровой под ред. И. С. Рыжака. – М.: Мир, 1990. – 584 с. 5. Арфкен Г. Математические методы в физике / Пер. с англ. под ред. В. В. Чепкунова. – М.: Атомиздат, 1970. – 712 с. MODELING OF PLANE ELECTROMAGNETIC WAVE SCATTERING BY A METALLIC CYLINDER E. A. Velichko, A. P. Nickolaenko The classic solution is used of the plane wave diffrac- tion by a circular metallic cylinder. The spatial field distribution was constructed for four characteristic frequencies. The lower couple of them corresponds to the first maximum and minimum in the complete field observed at the back of the cylinder. Two higher frequencies around 100 GHz are related to the field maximum and minimum at the same point. Angular patterns of the scattered and full field are constructed. The phenomenon is discussed similar to the Gibbs phenomenon arising in the Fourier expansion of a «square» wave. In the 2D case, the effect vanishes when the num- ber of terms in the expansion exceeds a threshold that depends on the relation between the radius of the scatterer and the incident wave length. Key words: scatter of radio waves, wave diffraction by a circular cylinder. МОДЕЛЮВАННЯ РОЗСІЮВАННЯ ПЛОСКОЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ ХВИЛІ НА МЕТАЛЕВОМУ ЦИЛІНДРІ О. А. Величко, О. П. Ніколаєнко Для моделювання дифракції плоскої електромагніт- ної хвилі на прямому круговому циліндрі використовується класичний розв’язок. Побудовано просторовий розподіл елект- ричного поля для чотирьох характерних частот: дві нижні частоти відповідають першим мінімуму та максимуму повно- го поля в точці позаду циліндра, дві верхні частоти порядку 100 ГГц відповідають мінімуму та максимуму поля в тій самій точці. Побудовано кутові діаграми розсіяного та повного полів. Обмірковується явище, аналогічне явищу Гіббса, що спостерігають у фур’є-розкладі одновимірної «прямокутної» хвилі. У двовимірному випадку ефект зникає, коли кількість членів, використаних у розкладі поля, перевищує поріг, що визначається відношенням довжини падаючої хвилі до радіуса розсіювача. Ключові слова: радіохвиля, розсіювання, дифрак- ція, круговий циліндр. Рукопись поступила 21 января 2009 г.

Моделирование рассеяния плоской электромагнитной волны на металлическом цилиндре

Репозитарії

Схожі ресурси