Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом

Получено аналитическое представление для электрического поля, которое создается распределением плотности заряда, наведенным нерелятивистским движущимся зарядом, на стенке заземленной идеально проводящей цилиндрической камеры дрейфа. Интегрирование по угловой переменной в исходном представлении своди...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Ильенко, К., Яценко, Т.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2009
Schriftenreihe:	Радіофізика та електроніка
Schlagworte:	Вакуумная и твердотельная электроника
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105771
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом / К. Ильенко, Т.Ю. Яценко // Радіофізика та електроніка. — 2009. — Т. 14, № 3. — С. 366-370. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-105771
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1057712016-09-09T03:02:17Z Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом Ильенко, К. Яценко, Т.Ю. Вакуумная и твердотельная электроника Получено аналитическое представление для электрического поля, которое создается распределением плотности заряда, наведенным нерелятивистским движущимся зарядом, на стенке заземленной идеально проводящей цилиндрической камеры дрейфа. Интегрирование по угловой переменной в исходном представлении сводится к двум известным квадратурам (полным эллиптическим интегралам первого и второго рода) и вычислению двух конечных сумм с коэффициентами, являющимися функциями от одной универсальной переменной. Доказывается рекуррентное соотношение, позволяющее выполнить интегрирование по угловой переменной. Вычисление конечных сумм, проводимое предварительно на известной сетке разбиения пространства дрейфа, позволяет резко сократить время, затрачиваемое на полностью трехмерный расчет транспортировки заряженного пучка в методе крупных частиц. В качестве примера найдено аналитическое представление для электрического поля на оси системы, создаваемого таким распределением плотности заряда, содержащее только быстро сходящиеся ряды. Отримано аналітичне уявлення для електричного поля, що утворюється розподілом густини заряду на стінці заземленої ідеально провідної циліндричної камери дрейфу, який утворюється зарядом, котрий рухається нерелятивістськи. Інтегрування за кутовою змінною у вихідному уявленні зводиться до двох відомих квадратур (повних еліптичних інтегралів першого та другого роду) та обчисленню двох скінчених сум з коефіцієнтами, які є функціями від однієї універсальної змінної. Доводиться рекурентне співвідношення, що дозволяє виконати інтегрування за кутовою змінною. Підрахування скінчених сум, якщо виконувати його на відомій сітці розбиття простору дрейфу, дозволяє різко скоротити час повністю тривимірного розрахунку транспортування зарядженого пучка в методі крупних частинок. Як приклад знайдено аналітичне уявлення для електричного поля на вісі системи, що утворюється таким розподілом, яке містить тільки швидкозбіжні ряди. We obtain an analytic representation of the electric field, which is created by the charge density induced on the grounded ideally conducting cylindrical drift tube wall by a nonrelativistically moving charge. The angle variable integration in the initial formulation is reduced to two known quadratures (complete elliptic integrals of the first and second kind) and to calculation of two finite sums with the coefficients that are functions of a single uniform variable. A recurrence relation, which allows one to perform the angle integration, is proved. The sums calculation, accomplished beforehand on the known space mesh of drift tube, can substantially reduce the computation time required for an essentially 3D calculation of transport of a charged beam by the particle-in-cell method. As an example of the proposed technique, we find a representation of electric field on the system axis induced by such a charge density distribution, which contains only fast convergent series. 2009 Article Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом / К. Ильенко, Т.Ю. Яценко // Радіофізика та електроніка. — 2009. — Т. 14, № 3. — С. 366-370. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1028-821X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105771 537.533.3:535.231.2 ru Радіофізика та електроніка Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Вакуумная и твердотельная электроника Вакуумная и твердотельная электроника
spellingShingle	Вакуумная и твердотельная электроника Вакуумная и твердотельная электроника Ильенко, К. Яценко, Т.Ю. Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом Радіофізика та електроніка
description	Получено аналитическое представление для электрического поля, которое создается распределением плотности заряда, наведенным нерелятивистским движущимся зарядом, на стенке заземленной идеально проводящей цилиндрической камеры дрейфа. Интегрирование по угловой переменной в исходном представлении сводится к двум известным квадратурам (полным эллиптическим интегралам первого и второго рода) и вычислению двух конечных сумм с коэффициентами, являющимися функциями от одной универсальной переменной. Доказывается рекуррентное соотношение, позволяющее выполнить интегрирование по угловой переменной. Вычисление конечных сумм, проводимое предварительно на известной сетке разбиения пространства дрейфа, позволяет резко сократить время, затрачиваемое на полностью трехмерный расчет транспортировки заряженного пучка в методе крупных частиц. В качестве примера найдено аналитическое представление для электрического поля на оси системы, создаваемого таким распределением плотности заряда, содержащее только быстро сходящиеся ряды.
format	Article
author	Ильенко, К. Яценко, Т.Ю.
author_facet	Ильенко, К. Яценко, Т.Ю.
author_sort	Ильенко, К.
title	Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом
title_short	Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом
title_full	Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом
title_fullStr	Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом
title_full_unstemmed	Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом
title_sort	об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Вакуумная и твердотельная электроника
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105771
citation_txt	Об аналитическом представлении электрического поля, которое создается зарядами, наводимыми на стенке цилиндрической камеры дрейфа нерелятивистским движущимся зарядом / К. Ильенко, Т.Ю. Яценко // Радіофізика та електроніка. — 2009. — Т. 14, № 3. — С. 366-370. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Радіофізика та електроніка
work_keys_str_mv	AT ilʹenkok obanalitičeskompredstavleniiélektričeskogopolâkotoroesozdaetsâzarâdaminavodimyminastenkecilindričeskojkamerydrejfanerelâtivistskimdvižuŝimsâzarâdom AT âcenkotû obanalitičeskompredstavleniiélektričeskogopolâkotoroesozdaetsâzarâdaminavodimyminastenkecilindričeskojkamerydrejfanerelâtivistskimdvižuŝimsâzarâdom
first_indexed	2025-07-07T17:21:42Z
last_indexed	2025-07-07T17:21:42Z
_version_	1837009630299947008
fulltext	__________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 14, № 3, 2009, с. 366-370 ИРЭ НАН Украины, 2009 УДК 537.533.3:535.231.2 ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ, КОТОРОЕ СОЗДАЕТСЯ ЗАРЯДАМИ, НАВОДИМЫМИ НА СТЕНКЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КАМЕРЫ ДРЕЙФА НЕРЕЛЯТИВИСТСКИМ ДВИЖУЩИМСЯ ЗАРЯДОМ К. Ильенко, Т. Ю. Яценко Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: kost@ire.kharkov.ua Получено аналитическое представление для электрического поля, которое создается распределением плотности заряда, наведенным нерелятивистским движущимся зарядом, на стенке заземленной идеально проводящей цилиндрической камеры дрей- фа. Интегрирование по угловой переменной в исходном представлении сводится к двум известным квадратурам (полным эллипти- ческим интегралам первого и второго рода) и вычислению двух конечных сумм с коэффициентами, являющимися функциями от одной универсальной переменной. Доказывается рекуррентное соотношение, позволяющее выполнить интегрирование по угловой переменной. Вычисление конечных сумм, проводимое предварительно на известной сетке разбиения пространства дрейфа, позво- ляет резко сократить время, затрачиваемое на полностью трехмерный расчет транспортировки заряженного пучка в методе круп- ных частиц. В качестве примера найдено аналитическое представление для электрического поля на оси системы, создаваемого таким распределением плотности заряда, содержащее только быстро сходящиеся ряды. Ил. 2. Библиогр.: 8 назв. Ключевые слова: скалярная формула Кирхгофа, метод функций Грина, аналитическое представление. В электронно-вакуумных приборах типа виркатор, генератор с магнитной изоляцией (MILO), лазер/мазер на свободных электронах (ЛСЭ/МСЭ) в режиме, близком к магниторезо- нансному и др., когда динамика электронного пучка происходит в собственных электрических и магнитных поля без воздействия внешних полей и/или, в некоторых условиях, даже при наличии внешних полей, определенную роль может играть заряд, наведенный движущимся электронным по- током на стенках камеры дрейфа (см., напри- мер, [1]). В работе [2] показано, что учет плотно- сти зарядов, наведенных на стенке цилиндриче- ской заземленной камеры дрейфа движущимися в камере зарядами, может оказывать существенное влияние («самовоздействие») на время падения этих зарядов на стенку в условиях отсутствия (ве- дущего) внешнего магнитного поля (ситуация типичная для приборов типа виркатор). При нали- чии ведущего магнитного поля в приборах типа ЛСЭ/МСЭ в режиме, близком к магниторезонанс- ному, на некотором участке камеры дрейфа сред- няя скорость продольного движения электронов в камере дрейфа может становиться близкой к ну- лю [3]. Для более корректного описания динамики электронов тогда также следует учитывать такое «самовоздействие». Таким образом, можно сделать вывод, что при теоретическом изучении, асимпто- тическом оценивании и компьютерном моделиро- вании для получения более точных результатов необходимо учитывать эффекты «самовоздейст- вия», которые определяются плотностью заряда, наводимой на стенках заземленной камеры дрейфа. Целью данной работы является получе- ние аналитического представления для электриче- ского поля, создаваемого зарядами, наводимыми нерелятивистски движущимся зарядом, на стенке заземленной цилиндрической камеры дрейфа, которое было бы удобным для проведения чис- ленных расчетов и асимптотических оценок. 1. Постановка задачи. Используя ска- лярную формулу Кирхгофа [4, с. 289], можно по- казать, что в кулоновской калибровке ( 0divA  ) скалярный потенциал, создаваемый нерелятивист- ским движущимся зарядом в заземленной цилин- дрической камере дрейфа, имеет вид ,),( \|\| 1 4 1 \|\| ),( ),(),(),( 3 S Sxx V scin Sdxt nxx xd xx xt xtxtxt        (1) где ))(~(),( txxqxt  – плотность заряда, соз- даваемая точечным зарядом ,q имеющим мгно- венную координату );(~ tx  V – объем камеры дрей- фа; S – поверхность цилиндрической камеры дрейфа; ),( xtin  – потенциал, создаваемый дви- жущимся зарядом в свободном пространстве, а ),( xtsc  – потенциал, создаваемый зарядами, на- веденными этим зарядом на стенке камеры дрей- фа. Соотношение (1) является интегральным уравнением на ),,( xt  но если из каких-либо со- ображений ),( xt  известно, то его можно исполь- зовать для нахождения ).,( xtsc  В нерелятивистском приближении сила взаимодействия между движущимися точечными зарядами (на которые обычно разбивается элект- ронный поток при компьютерном моделировании) может быть вычислена, если известно выражение для скалярного потенциала );,( xt  последний mailto:kost@ire.kharkov.ua К. Ильенко, Т. Ю. Яценко / Об аналитическом представлении… _________________________________________________________________________________________________________________ 367 можно получить, например, методом функции Грина при помощи свертки: .);(),(),( 3 V xdxxGxtxt  Здесь );( xxG  – функция Грина уравнения Пуас- сона ),,(4 xt  0\|S и ,0\| \|~\| zz имеющая для неограниченной цилиндрической заземленной камеры дрейфа следующий вид: ___________________________________________ ,)](cos[ )( )()( )(2 )()(4 ),( 1, 2 1 \|\| 1 0 2 10 0000\|\|0 n J JJ e J JJ e a xxG qn nqnnq nqnnqn q qq qq nqq  (2) ___________________________________________ где nq – q -й корень уравнения ;0)(xJn a – ра- диус камеры дрейфа; ;22 yxr ,/ ar )/(arcsin ry и az / – безразмерные ци- линдрические координаты (см., например, [5, с. 70; 6]). Зная функцию Грина (2), мы можем вы- числить электрическое поле ),,( xtE sc  создавае- мое зарядами, наведенными на стенке камеры дрейфа: .),( \|\|4 1 ),(),( 3 S Sxx scsc Sdxt nxx xx xtxtE      (3) Это поле и определяет силу со стороны заряда, наведенного на стенке камеры дрейфа нереляти- вистски движущимся зарядом. Следует отметить, что именно формула Кирхгофа (1) позволяет по- следовательно учесть эту составляющую силы, действующую на нерелятивистски движущийся заряд в заземленной камере дрейфа [2]. В численных расчетах удобнее перейти к безразмерным величинам: ,)/( 2 scsc Eqa  ./ act Это позволяет переписать (3) с учетом (2) в виде . ])(]cos[21[ )],sin[],cos[( ),( 2 1 );,,( 2/322 ddsc (4) Здесь ) ~ , ~ ,~;,(),( – нормированная поверхностная плотность заряда, наведенного движущимся зарядом с мгновенными координа- тами )),( ~ ),( ~ ),(~( на стенке неограниченной цилиндрической заземленной камеры дрейфа, найденная в работе [6]: )]. ~ (cos[)]()([ )( )~( )( )~( ),( \| ~ \| 11 1, 2 11 \| ~ \| 01 00 0 neJJ J J e J J n q q nqnnqn qn nqn nqn q q q В монографии [1, с. 123] получено выра- жение для потенциала поверхностного заряда, наведенного бесконечно тонким соосным заря- женным кольцом, движущимся в неограниченной цилиндрической заземленной камере дрейфа. Чтобы ускорить расчет динамики осесимметрич- ного пучка заряженных частиц, это выражение было аналитически проинтегрировано по углу. Для неосесимметричных задач о полностью трехмерной динамике заряженных частиц также имеет смысл получить проинтегрированное по углу представление для выражения (4). 2. Преобразования интегралов. Ис- пользуя очевидные замены переменных интегри- рования, тождество )()( 11 nqnnqn JJ и пе- риодичность подынтегральной функции по уг- лу , преобразуем выражение (4) к виду ____________________________________________ .)] ~ (cos[ )cos21( ),sin,cos( 2 1 )( ,)( )( )~( 2)( )( )~( );,,( 2/322 \| ~ \| 1, 11 0 \| ~ \| 01 00 0 dn de J J e J J n sc n sc qn nqn nqn q sc q qsc n qq   (5) ___________________________________________ Заметим, что )], ~ (cos[)]()( )(2[ 8 )( 11 2/3 3 ngWgW gW g nn nn sc r где)], ~ (cos[)( 4 )( )], ~ (sin[)]()([ 8 )( 2/3 3 112/3 3 ngW g ngWgW g nn sc z nnn sc К. Ильенко, Т. Ю. Яценко / Об аналитическом представлении… _________________________________________________________________________________________________________________ 368 , )sin1( ]2cos[ )( 2/ 0 2/322 d g n gWn а ;]))1/[(4( 2/122g ).()( gWgW nn Не- сложно убедиться, что )()( 00 gIgW и )(2)()( 201 gIgIgW , где 2/ 0 2/322 2 2 )sin1( sin )( d g gI l l , ,...;2,1,0l причем )(0 gI и )(2 gI выражаются через пол- ные эллиптические интегралы первого, ),,2/()( kFkK и второго, ),,2/()( kEkE ро- да по формулам: . 1 )1/()1/( )( , 1 )1/( )( 22 22 2 2 2 0 gg ggEggK gI g ggE gI (6) Оказывается, что )(gWn и в общем случае при 1n выражается через :)(2 gI l )()( )!2( 2)1( )()( 22 1 0 1 2 2 0 mngI l gIgW l m n l l ll n (при выводе используется формула Муавра и из- вестное представление из справочника [7, с. 600]), а )(2 gI l при 2l можно выразить через )(0 gI и )(2 gI при помощи рекуррентных соотношений. 3. Рекуррентные соотношения. Пред- ставим )(2 gI l при 2l в виде ,)( )1( )( )1( )( 1 )(22022 l p plp p l l l gI g gI g gI (7) , )sin1( sin )( 2/ 0 2/122 2 2 d g gI l l ,...,2,1,0l при 1l и учете (8) получается тождество ).()( 22 gIgI Используя известные соотношения для эллиптических интегралов [7, с. 200-201], имеем ).()()( ),()()( 202 2 2 00 gIgIgI gIggIgI (8) При 2,...,3,2,1 lp верно представление (срав- ните с [7, с. 201]) )()()( )1(22)2(21)(2 gIAgIAgI pl pl pl pl pl , где .21 , 1 12 )1(2 )(, 1 12 1)1(2 )( 2 2 221 sl g g s s gA gs s gA ss Отсюда следует, что )()(2 gI pl можно выразить через )(0 gI и :)(2 gI 12),()()( 20)(2 plgIDgICgI plpl pl с коэффициентами )(gC pl и ),(gD pl получае- мыми из рекуррентных соотношений 12, )( )( )( )( )( )( )( )( 1 1 2 2 2 1 pl gD gC gA gD gC gA gD gC pl pl pl pl pl pl pl pl (9) с начальными значениями ,1)(0 gC 0)(1 gC и ,0)(0 gD .1)(1 gD Тогда, используя (6), (7) и (8), окончательно получаем ___________________________________________ .1,)( )1(1 )( )1( 1 )1/( )( )1()1()1( 1 )1/( )( 1 22 1 22 2 1 22 2 22 2 2 lgD gg gC gg ggK gD gg g gg ggE gI l p pl p pl p pl p p l p pl p p l l l (10) ___________________________________________ Результат (10) сводит задачу об аналити- ческом интегрировании по углу в (4) к известным квадратурам и вычислению двух конечных сумм l p plpp gCg 1 2 )()1( и l p plpp gDg 1 2 )()1( с коэффициентами, задаваемыми рекуррентными соотношениями (9). 4. Представление электрического поля на оси системы. Следует отметить, что в (10) содержатся отрицательные степени параметра ,g который обращается в нуль на оси системы (при 0). Однако можно показать, что для вычисляе- мого с помощью (10) электрического поля ,sc создаваемого зарядами, наведенными на стенке камеры дрейфа, особенность при 0 является устранимой. Единственными величинами, отлич- ными от нуля в представлении (5), оказываются . )1(2 )( , )1(2 ] ~ sin[ )(, )1(2 ] ~ cos[ )( 2/320 2/3212/321 sc z scsc r (11) К. Ильенко, Т. Ю. Яценко / Об аналитическом представлении… _________________________________________________________________________________________________________________ 369 Это гарантирует, что при ,0~ ~ и ~ сила, действующая на нерелятивистски движу- щийся заряд со стороны наведенных ним самим зарядов на стенке неограниченной цилиндриче- ской заземленной камеры дрейфа, обращается в нуль, как и ожидается в силу цилиндрической симметрии. В общем случае на оси системы ( 0 ) поперечные компоненты вектора электри- ческого поля, создаваемого распределением заря- да, наведенным нерелятивистским движущимся зарядом, представлены графически на рис. 1 (по- казано сечение ;~zz компонента sc z смотрит из плоскости рисунка в положительном направлении оси ;z проекция мгновенного положения ),(~(a ))( ~ ),( ~ a движущегося заряда 0q на рас- сматриваемое сечение обозначена звездочкой ). Рис. 1. Поперечные компоненты электрического поля, созда- ваемого распределением заряда, наведенным нерелятивистски движущимся зарядом, на оси системы. Проекция мгновенного положения движущегося заряда на рассматриваемое сечение обозначена звездочкой На рис. 2 представлена зависимость аб- солютной величины z-компоненты электриче- ского поля на оси системы, ),,,0(sc z в функ- ции мгновенного расстояния, \|, ~ \| от сече- ния, в котором находится заряд, наводящий рас- пределение поверхностной плотности заряда, создающей соответствующее поле см. (12); ~ – мгновенная радиальная координата движущего- ся заряда. Рис. 2. График абсолютной величины z-компоненты электри- ческого поля на оси системы в функции мгновенного расстоя- ния от сечения, в котором находится заряд, наводящий рас- пределение поверхностной плотности заряда, создающей соответствующее поле, см. (12): 1 – ;9,0~ 2 – ;7,0~ 3 – ;5,0~ 4 – ;3,0~ 5 – ;0~ ~ – мгновенная радиальная координата движущегося заряда Подставляя (11) в (5), преобразуя инте- гралы по и интегрируя по частям (сравните с монографией [1, с. 123]), окончательно получаем: ___________________________________________ . ]\| ) ~ \|(1[ \| ) ~ \|(21 ]\| ) ~ \|(1[ \| ) ~ \|(21 )( )~( )\| ~ \|1( \| ~ \| ] ~ [sgn 2 1 ),,0( , ]\| ) ~ \|(1[ \| ~ \| ]\| ) ~ \|(1[ \| ~ \| )( )~( 3 )\| ~ \|1( ~ ] ~ sin[),,0( , ]\| ) ~ \|(1[ \| ~ \| ]\| ) ~ \|(1[ \| ~ \| )( )~( 3 )\| ~ \|1( ~ ] ~ cos[),,0( 2/52 2 2/52 2 0 1 010 00 2/32 2/522/52 0 1 121 11 2/32 2/522/52 0 1 121 11 2/32 0 1 1 d e J J d e J J d e J J q qq qsc z q qq qsc q qq qsc r q q q (12) К. Ильенко, Т. Ю. Яценко / Об аналитическом представлении… _________________________________________________________________________________________________________________ 370 Здесь принято во внимание известное значение для суммы ряда, [8, с. 610], . 2)( )( 1 1q n nqnnq nqn z J zJ Следует отметить, что выражения (12) содержат только быстро сходящиеся ряды, а использование замены wln позволяет эффективно выпол- нить интегрирование (см. [1, с. 124]). Выводы. Таким образом, нами получены выражения, обобщающие известное представле- ние из монографии [1, с. 123] на аксиально- несимметричный случай. Особый интерес пред- ставляет учет силы со стороны наведенного на стенке камеры дрейфа заряда на породивший его движущийся заряд («самовоздействие»), возмож- ный при использовании представлений (1) и (3) (см., например, [2, 6]). Для бесконечно тонкого заряженного кольца, движущегося соосно в ци- линдрической камере дрейфа, представление (5) следует усреднить по углу , ~ а для учета «само- воздействия» также положить ~ и . ~ Тог- да из (5) сохраняется только первое слагаемое, содержащее )~4/()]()(~[)( 2/3 10 3 0 gWgWgsc r )1~)(([ 0 3 gIg ),~4/()](2 2/3 2 gI которое, как несложно проверить непосредственно, получается дифференцированием потенциала ),(rP получен- ного в монографии [1, с. 123], по r (в принятых обозначениях :)~ar 0)( sc r )./()(2 drrdPa 1. Кураев А. А. Теория и оптимизация электронных прибо- ров СВЧ. – Минск: Наука и техника, 1979. – 336 с. 2. Яценко Т., Ильенко К., Коваленко А. Г. Расчет динамики нерелятивистских заряженных частиц, движущихся в ци- линдрической камере дрейфа / 18th. Int. Crimean Confe- rence “Microwave & Telecommunication Technology”: Book of Abstracts. – Sebastopol, 2008. – P. 175–176. 3. Горяшко В. О., Ільєнко К. В. Мазер на вільних електронах: режим магнітостатичного резонансу // Наук. вісн. Ужго- родського ун-ту. Сер. Фізика. – 2007. – Вип. 21. – С. 145– 150. 4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математиче- ской физики. – М.: Наука, 1972. – 376 с. 5. Джексон Дж. Классическая электродинамика. – М.: Мир, 1965. – 704 с. 6. Горбик Г. М., Ильенко К. В., Яценко Т. Ю. К расчету силы, действующей на движущийся заряд в цилиндрической камере дрейфа // Радиофизика и электроника. – Харьков: Ин-т радиофизики и электрон. НАН Украины. – 2004. – 9, № 3. – С. 556–561. 7. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегра- лы и ряды. В 2-х т. Т. 1. Элементарные функции. – М.: Физматлит, 2002. – 632 с. 8. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегра- лы и ряды. В 2-х т. Т. 2. Специальные функции. – М.: Физматлит, 2003. – 664 с. ON ANALYTIC REPRESENTATION OF ELECTRIC FIELD CREATED BY CHARGES INDUCED BY NON-RELATIVISTICALLY MOVING CHAR- GES ON CYLINDRICAL WAVEGUIDE WALL K. Ilyenko, T. Yu. Yatsenko We obtain an analytic representation of the electric field, which is created by the charge density induced on the grounded ideally con- ducting cylindrical drift tube wall by a non-relativistically moving charge. The angle variable integration in the initial formulation is reduced to two known quadratures (complete elliptic integrals of the first and second kind) and to calculation of two finite sums with the coefficients that are functions of a single uniform variable. A recur- rence relation, which allows one to perform the angle integration, is proved. The sums calculation, accomplished beforehand on the known space mesh of drift tube, can substantially reduce the compu- tation time required for an essentially 3D calculation of transport of a charged beam by the particle-in-cell method. As an example of the proposed technique, we find a representation of electric field on the system axis induced by such a charge density distribution, which contains only fast convergent series. Key words: the scalar Kirchhoff formula, Green’s fun- ction method, an analytical representation. ПРО АНАЛІТИЧНЕ УЯВЛЕННЯ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ, СТВОРЕНОГО ЗАРЯДАМИ, ЯКІ НАВОДЯТЬСЯ НА СТІНЦІ ЦИЛІНДРИЧНОЇ КАМЕРИ ДРЕЙФУ НЕРЕЛЯТИВІСТСЬКИМ ЗАРЯДОМ, ЩО РУХАЄТЬСЯ К. Ільєнко, Т. Ю. Яценко Отримано аналітичне уявлення для електричного по- ля, що утворюється розподілом густини заряду на стінці зазем- леної ідеально провідної циліндричної камери дрейфу, який утворюється зарядом, котрий рухається нерелятивістськи. Інте- грування за кутовою змінною у вихідному уявленні зводиться до двох відомих квадратур (повних еліптичних інтегралів пер- шого та другого роду) та обчисленню двох скінчених сум з коефіцієнтами, які є функціями від однієї універсальної змінної. Доводиться рекурентне співвідношення, що дозволяє виконати інтегрування за кутовою змінною. Підрахування скінчених сум, якщо виконувати його на відомій сітці розбиття простору дрей- фу, дозволяє різко скоротити час повністю тривимірного розра- хунку транспортування зарядженого пучка в методі крупних частинок. Як приклад знайдено аналітичне уявлення для елект- ричного поля на вісі системи, що утворюється таким розподі- лом, яке містить тільки швидкозбіжні ряди. Ключові слова: скалярна формула Кірхгофа, метод функції Гріна, аналітичне уявлення. Рукопись поступила 28 июля 2009 г.

Institution

Ähnliche Einträge