Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке

Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке

Представлены аналитические результаты, описывающие ряд важных свойств импульсных и монохроматических электромагнитных волн, распространяющихся в регулярных частях прямоугольного канала Флоке – в зонах отражения и прохождения двумерно-периодических структур. Эти результаты связаны в основном с матема...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автори: Величко, Л.Г., Кривчикова, А.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2012
Назва видання:Радіофізика та електроніка
Теми:
Микроволновая электродинамика
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105875
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке / Л.Г. Величко, А.А. Кривчикова // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 2. — С. 10-19. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-105875
record_format dspace
spelling irk-123456789-1058752016-09-13T03:02:29Z Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке Величко, Л.Г. Кривчикова, А.А. Микроволновая электродинамика Представлены аналитические результаты, описывающие ряд важных свойств импульсных и монохроматических электромагнитных волн, распространяющихся в регулярных частях прямоугольного канала Флоке – в зонах отражения и прохождения двумерно-периодических структур. Эти результаты связаны в основном с математической формулировкой и физической трактовкой соотношений закона сохранения энергии и соотношений взаимности. Наведено аналітичні результати, що описують низку важливих властивостей імпульсних і монохроматичних електромагнітних хвиль, які поширюються в регулярних частинах прямокутного каналу Флоке – в зонах відбиття та проходження двовимірно-періодичних структур. Ці результати пов’язані значною мірою з математичним формулюванням і фізичним трактуванням співвідношень закону збереження енергії та співвідношень взаємності. The analytical results describing some important characteristics of the pulsed and monochromatic waves propagating in regular regions of the rectangular Floquet channel (in the reflection and transmission zones of two-dimensionally periodic structures) are presented in the paper. These results are associated basically with mathematical formulation and physical interpretation of the energy conservation law and the reciprocity relations. 2012 Article Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке / Л.Г. Величко, А.А. Кривчикова // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 2. — С. 10-19. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1028-821X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105875 517.954:537.874 ru Радіофізика та електроніка Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Микроволновая электродинамика
Микроволновая электродинамика
spellingShingle Микроволновая электродинамика
Микроволновая электродинамика
Величко, Л.Г.
Кривчикова, А.А.
Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке
Радіофізика та електроніка
description Представлены аналитические результаты, описывающие ряд важных свойств импульсных и монохроматических электромагнитных волн, распространяющихся в регулярных частях прямоугольного канала Флоке – в зонах отражения и прохождения двумерно-периодических структур. Эти результаты связаны в основном с математической формулировкой и физической трактовкой соотношений закона сохранения энергии и соотношений взаимности.
format Article
author Величко, Л.Г.
Кривчикова, А.А.
author_facet Величко, Л.Г.
Кривчикова, А.А.
author_sort Величко, Л.Г.
title Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке
title_short Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке
title_full Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке
title_fullStr Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке
title_full_unstemmed Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке
title_sort двумерно-периодические решетки. часть ii. некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале флоке
publisher Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
publishDate 2012
topic_facet Микроволновая электродинамика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105875
citation_txt Двумерно-периодические решетки. Часть II. Некоторые закономерности в поведении нестационарных и установившихся полей в прямоугольном канале Флоке / Л.Г. Величко, А.А. Кривчикова // Радіофізика та електроніка. — 2012. — Т. 3(17), № 2. — С. 10-19. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series Радіофізика та електроніка
work_keys_str_mv AT veličkolg dvumernoperiodičeskierešetkičastʹiinekotoryezakonomernostivpovedeniinestacionarnyhiustanovivšihsâpolejvprâmougolʹnomkanalefloke
AT krivčikovaaa dvumernoperiodičeskierešetkičastʹiinekotoryezakonomernostivpovedeniinestacionarnyhiustanovivšihsâpolejvprâmougolʹnomkanalefloke
first_indexed 2025-07-07T17:34:38Z
last_indexed 2025-07-07T17:34:38Z
_version_ 1837010443434983424
fulltext ММИИККРРООВВООЛЛННООВВААЯЯ ЭЭЛЛЕЕККТТРРООДДИИННААММИИККАА _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028821X Радиофизика и электроника. 2012. Т. 3(17). № 2 © ИРЭ НАН Украины, 2012 УДК 517.954:537.874 Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: lgv@ire.kharkov.ua; kryvchikova@ire.kharkov.ua ДВУМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ЧАСТЬ II. НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В ПОВЕДЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ И УСТАНОВИВШИХСЯ ПОЛЕЙ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ КАНАЛЕ ФЛОКЕ Представлены аналитические результаты, описывающие ряд важных свойств импульсных и монохроматических электро- магнитных волн, распространяющихся в регулярных частях прямоугольного канала Флоке – в зонах отражения и прохождения двумерно-периодических структур. Эти результаты связаны в основном с математической формулировкой и физической трактов- кой соотношений закона сохранения энергии и соотношений взаимности. Ил. 1. Библиогр.: 12 назв. Ключевые слова: двумерно-периодическая решетка, канал Флоке, нестационарные и стационарные поля, закон сохра- нения энергии, соотношения взаимности. В работе [1] мы привели математически строгую формулировку начально-краевых задач относительно векторов напряженности электро- магнитного поля, формируемого двумерно- периодическими структурами. В продолжение начатой работы [1] мы выводим ряд важных со- отношений, характеризующих все трехмерные периодические структуры – уравнение баланса энергии, связывающего коэффициенты отраже- ния и прохождения, а также соотношения, опре- деляющие связь коэффициентов преобразования различных волн друг в друга – так называемые соотношения взаимности. Аналоги этих соотно- шений в теории двухмерных периодических ре- шеток широко используются при тестировании алгоритмов решения различных модельных задач, а также для верной физической трактовки резуль- татов соответствующих численных эксперимен- тов [2–7]. Все обозначения, использованные в настоящей статье, подробно описаны в работе [1]. 1. О некоторых свойствах нестационар- ных полей в прямоугольном канале Флоке R. Для реализации вычислительных схем, к которым приводит использование условия (19) или усло- вия (20) работы [1], необходима информация о значениях функции  tgU i ,   );0( Tt и ее про- изводной по нормали на виртуальной границе L (см. рисунок из [1]). В случае, когда волна  tgU i ,  порождается заданной системой источ- ников  ,,tgJ A   gA E  и  ,gA H  получение такой информации сводится к решению следующих начально-краевых задач о распространении воз- мущения в регулярном полом канале Флоке R [1]: ___________________________________________                                                                                                                                    .tlxxHEDelxHED lyyHEDeylHED Rg gEttgH gHttgE gH gE tRzyxg F F j tJ H E t x iii y ii y iii x ii A H A E i t i i t i A H A E i i A H A E A AA i i y x 0,0,0,, ,0,,0, ,, 0,rot, 0,rot, , ,0 0, ,0,,, , rot grad Φ2 2 1 0 0 0 0 2 2 2                          (1) ___________________________________________ Здесь функция  tgA ,2 отвечает объемной плот- ности сторонних электрических зарядов. Определим сначала продольные компо- ненты i zE и i zH поля  ii HE  , во всех точках g области R и для всех моментов времени наблю- дения .0t Для этого рассмотрим следующие скалярные начально-краевые задачи, вытекающие из (1): mailto:lgv@ire.kharkov.ua mailto:kryvchikova@ire.kharkov.ua Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова / Двумерно-периодические решетки… _________________________________________________________________________________________________________________ 11                                                                                                                       .tlxxHEDe lxHED lyyHEDe ylHED Rg ttgH ttgE gH gE tRg F F H E t x i z i z i y i z i z y i z i z i x i z i z A Hz A Ez t i z t i z A Hz A Ez i z i z A Hz A Ez i z i z y x 0,0,0, , ,0,,0 , ,, , , , 0, 0, ,0, , Φ2 2 , , 0 0 , , , , 2 2       (2) Отделим в задачах (2) поперечные переменные x и y и представим их решение в виде            ., , , , , , , ,                   mn nm Hznm Eznm i z i z yx tzv tzv tgH tgE  (3) Определение скалярных функций   tzv Eznm ,, и   tzv Hznm ,, сводится к обращению следующих задач Коши для одномерных уравнений Клейна- Гордона:                                                                                                                  ....,2,1,0,, , , , , 0, 0, ,,0, , , z, z, 0, , , , , , , , , , 2 2 2 2 mnz tzv tzv t zv zv zt F F tzv tzv zt A Enm A Enm tHznm Eznm A Hznm A Eznm Hznm Eznm A Hznm A Eznm Hznm Eznm nm      (4) Здесь  ,, A EznmF   A Eznm , ,   A Eznm , и   A HznmF , ,   A Hznm , ,   A Hznm , – амплитуды разложений Фурье функций A EzF , , A Ez, , A Ez, и ,, A HzF ,A z,H A Hz, в базисе   ., yxnm Продолжим функции   ,,, tzv Eznm   tzv Hznm ,, и   A EznmF , ,   A HznmF , нулем на полуоси 0t и перейдем к обобщенной формулировке задач Коши (4) [8]:                                    ....,3,2,1,,, , , , , , , , , , , ,1 , , , ,2 2 2 2 2 , ,                                                                 mntz f f t t F F tzv tzv zt tzv tzv B Hznm Eznm A Hznm A Eznm A Hznm A Eznm A Hznm A Eznm Hznm Eznm nm Hznm Eznm nm         (5) Решения   tzv Eznm ,, и   tzv Hznm ,, уравнений (5) построим, опираясь на свойства фундаментального решения             22 021,, ztJzttzG  оператора )(B (см., например, [9] и [10]):                                  ....3,2,1,,,0, , 2 1 ,, , , , , , ,1 , , 22 0 , , , ,                                                                        mntz ddt t F F ztJ f f tzG tzv tzv A Hznm A Eznm A Hznm A Eznm A Hznm A Eznm zt nm Hznm Eznm nm Hznm Eznm           (6) Соотношения (3), (6) полностью определяют про- дольные компоненты поля  ii HE  , . Здесь   tm – производная порядка m дельта-функции Дирака  ,t  t – ступенчатая функция Хеви- сайда,  xJ0 – функция Бесселя. Выйдем теперь за пределы ограниченной области в канале Флоке R, в которой сосредото- чены все источники, в область ,RG где волны, которые порождаются этими источниками, рас- пространяются свободно. Здесь справедливы [9, 10] представления                                                                                                      , , 2 2 2 222 22 0 2 2 2 222 22 z t U z U y zy U tx U x zx U ty U H z t U z U y tx U zy U x ty U zx U E HHHE HE i EEHE HE i      (7) Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова / Двумерно-периодические решетки… _________________________________________________________________________________________________________________ 12 в которых          mn nm HE nm HE yxtzutgU , ,, ,,,  (8) – скалярные функции Боргниса такие, что      .0,,22  ttgUt HE Соотношения (3), (6)–(8) определяют поле  ,i iE H во всех точках g области G и для всех моментов времени наблю- дения .0t Действительно, поскольку в момент времени 0t  область G не была возмущена, то   0,22  HEUt ,( Gg ).0t Отсюда из (7), (8) следует, что , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 nm E nm mn nm EE EE z u y U x U t U z U E                          nm mn H nmnm HH HH z u y U x U t U z U H                            , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 и (см. представление (3))              .,, ,,, ,0 , 2 2 tzvtzu tzvtzu Hznmnm H n Eznmnm E nm       (9) Функции  tgU HE ,, определены, а вместе с ними соотношениями (7) и поперечные компоненты векторов напряженности поля  ., ii HE  Еще один важный вывод позволяет сде- лать проведенный анализ: все поля, возникающие в зоне отражения (область A) и прохождения (об- ласть B) периодической структуры, однозначно определяются своими продольными (направлен- ными вдоль оси z) компонентами, которые могут быть представлены в следующем виде (см. также формулы (14) из [1] и (3)). В поле падающей вол- ны –             .tAg yx tzv tzv tgH tgE mn nm Hznm Eznm i z i z 0, ,, , , , , , , ,                     (10) В поле отраженной волны  ,,tgU s  которое сов- падает с полным полем  ,U g t в случае   ,0, tgU i  –                 .tAg yx tzu tzu tgHtgH tgEtgE mn nm Hznm Eznm z s z z s z 0, ,, , , ,или, ,или, , , ,                          (11) В поле прошедшей волны, которое совпадает с полным полем  ,U g t , –             .tBg yx tzu tzu tgH tgE mn nm Hznm Eznm z z 0, ,, , , , , , , ,                       (12) При изучении физики процессов, реали- зуемых в решетках, и при решении различных прикладных задач чаще всего рассматриваются ситуации, в которых периодическая структура возбуждается одной из парциальных составляю- щих ТЕ-   )0,( tgEi z или ТМ-волны (  , 0i zH g t  )  ,iU g t [7]. Пусть этой составля- ющей отвечают номера p и q. Тогда            yxtzvtgHtgU tgU pqHzpq i z i Hpq i ,,,:, , ,     или            .yxtzvtgEtgU tgU pqEzpq i z i Epq i ,,,:, , ,     Возбуждение такого рода реализуется в наших моделях следующим образом. На границе L задается временная функция   tLv Hzpq ,, (   tLv Ezpq ,, ), определяющая полосу частот 2k , занятую импульсом  ,iU g t , – интер- вал  1 10 ;K K   такой, что для всех  1 1;k K K относительная величина        kLv kLv EHzpq KKk EHzpq ,~max ,~ или, ; или, 21  модулей спектральных амплитуд   kLv EHzpq ,~ или, импульса   tLv EHzpq ,или, не опускается ниже какого-то определенного уровня .0  Здесь  – длина волны в свободном Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова / Двумерно-периодические решетки… _________________________________________________________________________________________________________________ 13 пространстве, а все спектральные характеристики  f k мы получаем из временных характеристик  f t , используя интегральное преобразование Лапласа    f k f t .0Im,)( ~ 2 1 )( ,)()( ~ 0             kdkekftf dtetfkf i i ikt ikt (13) Для реализации условий (19) и (20) из [1] и для расчета пространственно-временных ам- плитуд поперечных компонент поля волны  ,iU g t в сечении z L канала Флоке (см. фор- мулы (7), (9)) нам необходимо определить функ- цию     , или ,pq z H Ev L t  . Сделать это, не нарушая принцип причинности, можно, используя соот- ношение [7]            0,, , 0 или0 или      tdtLvtJ tLv t EHpqpq EHpq    (14) (см. также формулу (16) из [1]), справедливое для всех амплитуд импульсной волны  ,,tgU i  ухо- дящей в направлении .z 2. Некоторые свойства стационарных полей в прямоугольном канале Флоке R. Возбуждение ТМ-волной. Пусть решетка возбуж- дается из области A импульсной ТМ-волной         tgEtgUtgU i z i Epq i ,:,,      yxμtzv pqEzpq ,,, и источники  ,J g t ,  gE  и  gH  в области LQ отсутствуют. Возникающее в областях A и B вторичное поле полностью определяется своими продольными компонента- ми. Их мы представим в виде (11), (12). Устано- вившиеся поля     , , ,E g k H g k (см. преобра- зование (13); Im 0k  ), отвечающие импульсным полям  ,i iE H ,  ,s sE H в области A и импуль- сному полю  ,E H в области B, зададим их про- дольными компонентами            ;,, 0 ~ , ~ , ~ , Agyxe kv kgH kgE pq LziEzpq i z i z pq                    (15)               ;,, ~ ~ , ~ , ~ , , , Agyxe ku ku kgH kgE mn nm Lzi Hznm Eznm s z s z nm                           (16)               .,, ~ ~ , ~ , ~ , , , Bgyxe ku ku kgH kgE mn nm Lzi Hznm Eznm z z nm                         (17) Здесь        , , ,pq z E pq z Ev k v L t ,        , или , или ,nm z E H nm z E Hu k u L t   и   ,Γ 2122 nmnm k  ,0ReRe  kn Im 0n  [7]. Амплитуды   ku HEznm  или, ~ формируют систему так называемых коэффициентов рассея- ния решетки: коэффициентов отражения                     ...,,2,1,0,, ~ ~ , ~ ~ , , , ,     mn kv ku R kv ku R Ezpq EznmEnm Epq Ezpq HznmHnm Epq (18) которые характеризуют эффективность преобра- зования pq-й гармоники монохроматической ТМ-волны в nm-е гармоники вторичного поля  ,s sE H в зоне отражения решетки, и коэффи- циентов прохождения                     ...,,2,1,0,, ~ ~ , ~ ~ , , , ,     mn kv ku T kv ku T Ezpq EznmEnm Epq Ezpq HznmHnm Epq (19) определяющие эффективность возбуждения гар- моник вторичного поля в области B. Эти коэффициенты связаны соотноше- ниями баланса энергии                         ;,2,1,0,, 1 ImRe2Im ImIm2Re1 Im Re 1 2 1 0 2 222 0 , 22 2                                                qp W W R R TR TR Epq Epqpqpq Epq Epqpqpq pq nm nmHnm Epq Hnm Epq mn Enm Epq Enm Epq nm     (20) Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова / Двумерно-периодические решетки… _________________________________________________________________________________________________________________ 14             ,, ~ , , ~ , ,, ~ , 2 0 2 02 2 0 1 dgkgEkg kgHkgW dgkgEkg k W L L Q Q                   (21) которые следуют из интегральной формы теоре- мы о комплексной мощности (теоремы Пойнтин- га) [11, 12] dg.EdgE ik dgHik dgHEdivdsHE LL L LL QQ Q QS                         2 0 2 0 2 0 ~~ ~ ~~~~       (22) Здесь      tgkgkg ,,~1,    ,   1,kg    tgkg ,,~    ,      ,,,~, tgkgkg     ds – векторный элемент поверхности LS , ограни- чивающей область LQ , и при выводе (20)–(22) мы исходили из следующей краевой задачи, опреде- ляющей дифракционные характеристики решет- ки, помещенной в поле плоской ТМ-волны          yxLzikgEkgU pqpq i z i Epq ,exp, ~ :, ~   :                                                                                        ;0, ~ ,0, ~ ,,0,0, ~~ ~~ ,0,,0 ~~ , ~~ ,,, ~ ,, ~ rot ,, ~ ,, ~ rot 2 2 0 0 SgnrSgtg x i y y i x L kgHkgΕ LzlxxHEDe x,lHED lyyHEDe ylHED QgkgHkgikkgE kgEkgikkgH y x           (23) ___________________________________________                                             .,, , ~ , ~ ,,,, 0 1 , ~ , ~ , , Bgyxe kT kT kgH kgE Agyxe kR kR yxe kgH kgE mn nm Lzi Hnm Epq Enm Epq z z mn nm Lzi Hnm Epq Enm Epq pq Lzi z z nm nmpq                                                      (24) ___________________________________________ При построении (20), (21) были исполь- зованы также следующие легко проверяемые со- отношения, связывающие поперечные компонен- ты поля  ,E H собственной монохроматической волны канала Флоке          yxBekgH yxAekgEkgU zi z zi z ,, ~ и,, ~ :, ~        (25) (индексы nm мы здесь опускаем) с его продоль- ными компонентами: . ~~Γ~ , ~~Γ~ , ~~~ , ~Γ~~ 2 0 2 2 0 2 22 0 22 0 zzy zzx zzy zzx E k HH E k HH EH k E EH k E                          (26) Здесь       kkgikgkg ,,,   и   yx,      ,expexp 21 yixill / yx      ,Γ 2122 λk  .222   Поля     1 1 ,E H и     , ~ , ~ 22 HE  порож- даемые решеткой и двумя плоскими ТМ-волнами               yxpqyxpq i z i Epq yxLzi kgEkgU Φ,Φ,,Φ,Φexp , ~ :, ~ 11    и               yxsr yxsr i z i Esr yx Lzi kgEkgU       ,,, ,exp , ~ :, ~ , , 22 ,   согласно лемме Лоренца [11], удовлетворяют уравнению         .0 ~~~~ 1221                       LS dsHEHE  (27) Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова / Двумерно-периодические решетки… _________________________________________________________________________________________________________________ 15 Из (27), используя представления (24) и (26), по- лучаем                     ...2,1,0,,,, , , ,, , ,, , 2 , , , 2 ,            srqp R R yxsr yxsryx Eqp Esr yxpq yxqpyx Ers Epq   (28) – соотношения взаимности, играющие важную роль при физическом анализе рассеяния электро- магнитных волн периодическими структурами, при тестировании алгоритмов численного реше- ния краевых задач (23), (24). Пусть теперь так же, как и в рассмотрен- ном выше случае,                     AkgU yxμLzi kgEkgU i Epq yxpqyxpq i z i Epq ,, ~ Φ,Φ,,Φ,ΦΓexp , ~ :, ~ 1 11      (решетка возбуждается из области A), а волна               yxsr yxsr i z i Esr yx Lzi BkgEkgU       ,,, ,exp ,, ~ :, ~ , , 22 ,   приходит на решетку из области B. Эти две волны также удовлетворяют уравнению (27), откуда, с учетом (24), получаем                     ....,2,1,0,,, , , ,,, , ,,, , 2, , 2            srqp BT AT yxsr yxsr,yx Eqp Esr yxpq yxp,qyx Ers Epq   (29) Возбуждение ТЕ-волной. Пусть теперь решетка возбуждается из области A импульсной ТЕ-волной          yxtzvtgHtgU pqHzpq i z i Hpq ,,,:, ,   и источники  ,, tgJ   gE  и  gH  в области LQ отсутствуют. Возникающее в областях A и B вторичное поле полностью определяется своими продольными компонентами. Их мы представим в виде (11), (12). Установившиеся поля     , , ,E g k H g k , отвечающие импульсным по- лям  ,i iE H ,  ,s sE H в области A и импульс- ному полю  ,E H в области B, зададим их про- дольными компонентами так же, как мы это сде- лали в случае ТМ-волн (см. формулы (15)–(17)). Коэффициенты рассеяния    ,Enm Hpq R    ,Hnm Hpq R    nm E pq H T и    nm H pq H T ведем соотношениями типа (18). Эти коэффициенты определяются из задач                                                                                       ;0, ~ ,0, ~ ,,0,0, ~~ , ~~ ,0,,0 ~~ , ~~ ,,, ~ ,, ~ rot ,, ~ ,, ~ rot 2 2 0 0 SgnrSgtg x i y y i x L kgHkgΕ LzlxxHEDe lxHED lyyHEDe ylHED QgkgHkgikkgE kgEkgikkgH y x           (30)                                         Bg yxe kT kT kgH kgE Ag yxe kR kR yxe kgH kgE mn nm Lzi Hnm Hpq Enm Hpq z z mn nm Lzi Hnm Hpq Enm Hpq pq Lzi z z nm nm pq                                                        , , ,, , ~ , ~ , ,, , 1 0 , ~ , ~    (31) и удовлетворяют следующим соотношениям, яв- ляющимся следствиями теоремы Пойнтинга и леммы Лоренца:                         2,1,0,,, 1 ImRe2Im ImIm2Re1 Im Re1 1 2 1 0 2 22 2 0 , 22 2                                                  qp W W R R TR TR Hpq Hpqpqpq Hpq Hpqpqpq pq nm nmEnm Hpq Enm Hpq mn Hnm Hpq Hnm Hpq nm     (32) Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова / Двумерно-периодические решетки… _________________________________________________________________________________________________________________ 16 и                     ....,2,1,0,,, , , ,, , ,, , 2, , 2            srqp R R yxsr yxsr,yx Hqp Hsr yxpq yxp,qyx Hrs Hpq   (33) Соотношения типа (19) в этом случае принимают форму                    ....,2,1,0,,, , , ,,, , ,,, , 2, , 2            srqp BT AT yxsr yxsr,yx Hqp Hsr yxpq yxp,qyx Hrs Hpq   (34) Общие свойства вторичного поля ре- шетки. Пусть k – вещественный и положитель- ный частотный параметр, а произвольная полу- прозрачная решетка (см. рисунок в [1]) возбужда- ется из области A однородной ТМ- или ТЕ-волной             .qpyxe= =kgHkgEkgU pqpq Lzi i z i z i HEpq pq 0Im:,,, , ~ или, ~ :, ~ или     (35) К определению дифракционных пространственных гармоник вторичного поля решеток Слагаемые с бесконечными рядами в (24) и (31) представляют z-компоненту nm-х дифракционных пространственных гармоник вторичного (рассе- янного) поля для областей A и B. Комплексные амплитуды     , или Enm HEpq R     или nm H pq E H R и так далее являются сложными функциями параметров k, yx  , и других геометрических и материальных параметров решетки. Каждая гармоника, для ко- торой 0Im nm и ,0Re nm представляет со- бой однородную плоскую волну, распространя- ющуюся от решетки в направлении вектора :nmk  ,nxk  ,myk  nmzk Γ (в области A; см. рисунок) или nmzk  (в области B). Часто- ты   0:  kk nm )( nmnmkk   , на которых затухающие пространственные гармоники )0Im:( nmnm превращаются в распространя- ющиеся однородные плоские волны, называют обычно пороговыми точками или точками сколь- жения [2–7, 11]. Очевидно, что направления векторов nmk (направления распространения однородных гар- моник вторичного поля) зависят от их номеров nm и от значений k и :i pqk  ,p i xk  ,q i yk  pq i zk  – направляющего вектора возбуж- дающей волны. Согласно (20) и (32) величины                                            Hnp Epq Enp Epq pq pq nm nmHnm Epq Enm Epq np pq Hnm Epq Enm Epq pq pq nm nmHnm Epq Enm Epq nm pq WTWT TT WT WRWR RR WR                       2 2 22 0 2 2 2 22 0 2 Re ; Re       (36) (в случае возбуждения ТМ-волной) и                                            Enm Hpq Hnm Hpq pq pq nm nmEnm Hpq Hnm Hpq np pq Enm Hpq Hnm Hpq pq pq nm nmEnm Hpq Hnm Hpq nm pq WTWT TT WT WRWR RR WR                             2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 Re1 ; Re1     (37) z nm m n nmk  y x nm nm nmk  Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова / Двумерно-периодические решетки… _________________________________________________________________________________________________________________ 17 (в случае возбуждения ТЕ-волной) определяют энергетическое наполнение гармоник, т. е. отно- сительную часть энергии, которая направляется структурой в соответствующий пространствен- ный канал излучения. Канал, соответствующий nm-й гармонике, будем называть открытым, если .0Im nm Режим, при котором открыт только один канал для распространения пространствен- ных гармоник (nm pq ), будем называть одно- модовым. Поскольку i pq nmk k k  , то направить nm-ю гармонику вторичного поля в зоне отраже- ния решетки навстречу падающей волне можно только в том случае, когда pn   и .qm   Или, что то же самое, в случае, когда 2 xn p    и .2 qm y  (38) Появление такого режима незеркального отраже- ния называется автоколлимацией. Не все амплитуды     , или Enm HEpq R     или nm H pq E H R и так далее одинаково важны для фи- зического анализа – в дальней зоне вторичное поле формируется только распространяющимися гармониками с номерами nm такими, что .0Re nm Однако анализ поля излучения в непосредственной близости от решетки требует учета вкладов и затухающих волн ).0Im:( nmnm Более того, в ряде ситуаций (например, в режиме резонанса) этот вклад доми- нирует [5, 6]. Простейшие следствия соотношений взаимности и закона сохранения энергии. Оста- новимся на некоторых следствиях, вытекающих из соотношений (20), (28), (29) и (32)–(34). Их использование позволяет контролировать ре- зультаты численных экспериментов и облегчает их физическую интерпретацию. В некоторых случаях использование этих следствий может существенно сократить объем вычислений или же свести исходную задачу к некоторой другой зада- че, решение которой либо известно, либо может быть весьма легко получено. Ниже мы формули- руем некоторые из них исходя из результатов, полученных в [3] для двухмерного случая, и по- лагая, что   ,0, kg   0, kg и   .0, kg  Верхние строки в соотношениях (20) и (32) представляют собой закон сохранения энергии для распространяющихся гармоник. В случае когда Im 0pq  энергия рассеянного поля оче- видным образом связана с энергией падающей волны. Энергия волны    или ,i pq E HU g k частич- но поглощается решеткой (если только 1 0W  ), а оставшаяся ее часть распределяется между пространственными ТМ- и ТЕ-гармониками, рас- пространяющимися в областях A и B (она пере излучается в направлениях z  ). В случае па- дения плоской неоднородной волны )0(Im pq общая энергия (переизлученная и поглощенная) определяется мнимой частью коэффициента от- ражения    или или pq E H pq E H R , который в данном случае не может быть отрицательным.  Соотношения в нижних строках (20) и (52) ограничивают величины     ,Im , 22      mn nmnm Enm Epq R          mn nmnm Enm Epq T , 22 Im и т. д., а также определяют тем самым класс бесконеч- ных последовательностей                    mn nm mnnm mn a aa l , 22 2 , 2 : (39) или энергетическое пространство, которому должны принадлежать амплитуды гармоник рас- сеянного поля    ,Enm Epq R    nm E pq E T и т. д.  Из (28), (29), (33) и (34) следует, что для всех полупрозрачных и отражающих решеток справедливы равенства                            .,, ,, ;, , или00 или00 или00 или00 или00 или00 или00 или00 BWT AWT WR WR yx HE HE yx HE HE yx HE HE yx HE HE     (40) Первое из этих соотношений доказывает, что эф- фективность преобразования ТМ- или ТЕ-волны в зеркально отраженную волну той же поляризации не изменится, если решетку развернуть в плоскос- ти 0x y вокруг оси z на 180. Не изменится и эф- фективность преобразования в основную про- шедшую волну той же поляризации, если решет- ку перевернуть, вращая ее вокруг оси, лежащей в плоскости 0x y и перпендикулярной вектору 00k (см. рисунок).  Если 0r s p q    , то из (28), (29), (33) и (34) также можем получить: Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова / Двумерно-периодические решетки… _________________________________________________________________________________________________________________ 18                    .,, ,, ;, , или00 или00 или00 или00 или00 или00 или00 или00 BT AT R R yx HE HE yx HE HE yx HE HE yx HE HE     (41) Это означает, что даже если полупрозрачная или отражающая решетка не обладает симметрией относительно какой-либо плоскости, коэффици- енты отражения и прохождения, входящие в (41), не будут зависеть от соответствующих изменений угла падения возбуждающей волны.  Соотношения (20) и (28) позволяют сформулировать следующие закономерности для теории идеальных   )0,( kg асиммет- ричных отражающих решеток. Пусть парамет- ры k, x и y таковы, что   0,Re 00  yx и   ,0,Re  yxnm .0, mn Если падающая вол- на является неоднородной плоской волной    , , , ,i x yp q EU g k    , то                           . , ,Im ,Im2 , ,Re , , 2 , , , , 2 00 00 200 , 2 0 200 , yxqp yxqp yx Eqp Eqp yx yx yx H Eqp yx E Eqp R R R                         (42) Учитывая, что            , , , , pq E p q E x y x ypq E p q E R R          , из (42) получим                         ., , ,, 200 , 2 0 200 , 200 , 2 0 200 , yx H Eqp yx E Eqp yx H Eqpyx E Eqp R R RR        (43) Легко увидеть физическую суть соотношения (43) и аналогичного равенства для ТЕ-случая, весьма интересную для дифракционной электроники. Эффективность преобразования в единственную распространяющуюся гармонику пространст- венного спектра при возбуждении решетки одной из затухающих гармоник не изменится, если структуру развернуть в плоскости 0x y вокруг оси z на 180. Выводы. Таким образом, представлены аналитические результаты, описывающие ряд важных свойств импульсных и монохроматиче- ских электромагнитных волн, распространяю- щихся в регулярных частях прямоугольного ка- нала Флоке – в зонах отражения и прохождения двумерно-периодических структур. Это, прежде всего, соотношения закона сохранения энергии, соотношения взаимности и простейшие следствия из них, которым в обязательном порядке удовле- творяют амплитуды монохроматических волн, формируемых решетками. Определены поля произвольных ком- пактных мгновенных и токовых источников в регулярном прямоугольном канале Флоке. Дока- зано, что все импульсные поля, возникающие в зоне отражения и прохождения периодической структуры, однозначно определяются своими продольными (направленными вдоль оси z) ком- понентами. Библиографический список 1. Величко Л. Г. Двумерно-периодические решетки: I. Начально- краевые задачи и точные поглощающие условия для прямо- угольного канала Флоке / Л. Г. Величко, А. А. Кривчи- кова, Ю. К. Сиренко // Радиофизика и элект-рон. – 2012. – 3(17), № 2. – С. хх–хх. 2. Дифракция волн на решетках / В. П. Шестопалов, Л. Н. Литвиненко, С. А. Масалов, В. Г. Сологуб. – Х.: Изд-во Харьков. ун-та, 1973. – 288 с. 3. Шестопалов В. П. Принцип взаимности и некоторые физические закономерности рассеяния волн на дифрак- ционных решетках / В. П. Шестопалов, А. А. Кириленко, С. А. Масалов // Вестн. АН УССР. – 1975. – № 3. – С. 8–18. 4. Petit R. Electromagnetic theory of gratings / R. Petit (ed.). – Berlin, N. Y.: Springer-Verlag, 1980. – 284 p. 5. Резонансное рассеяние волн: в 2 т. Т. 1. Дифракционные решетки / В. П. Шестопалов, А. А. Кириленко, С. А. Маса- лов, Ю. К. Сиренко. – К.: Наук. думка, 1986. – 232 с. 6. Шестопалов В. П. Динамическая теория решеток / В. П. Шестопалов, Ю. К. Сиренко. – К.: Наук. думка, 1989. – 216 с. 7. Sirenko Y. K. Modern theory of gratings. Resonant scattering: analysis techniques and phenomena / Y. K. Sirenko, S. Strom (eds). – N. Y.: Springer, 2010. – 390 p. 8. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. – М.: Наука, 1988. – 512 с. 9. Sirenko Y. K. Modeling and analysis of transient processes in open resonant structures. New methods and techniques / Y. K. Sirenko, S. Strom, N. P. Yashina. – N. Y.: Springer, 2007. – 362 p. 10. Сиренко К. Ю. Точные «поглощающие» условия в начально-краевых задачах теории открытых волноводных резонаторов / К. Ю. Сиренко, Ю. К. Сиренко // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 2005. – 45, № 3. – С. 509–525. 11. Rothwell E. J. Electromagnetics / E. J. Rothwell, M. J. Cloud. – Boca Raton: CRC Press, 2001. – 540 p. 12. Neviere M. Light Propagation in Periodic Media: Differential Theory and Design / M. Neviere, E. Popov. – N. Y.: Marcel Dekker, 2003. – 410 p. Рукопись поступила 10.11.2011 Л. Г. Величко, А. А. Кривчикова / Двумерно-периодические решетки… _________________________________________________________________________________________________________________ 19 L. G. Velychko, A. A.Kryvchikova TWO-DIMENSIONALLY PERIODIC GRATINGS. PART II. SOME REGULARITIES IN THE BEHAVIOR OF NONSTATIONARY AND STEADY-STATE FIELDS IN THE RECTANGULAR FLOQUET CHANNEL The analytical results describing some important char- acteristics of the pulsed and monochromatic waves propagating in regular regions of the rectangular Floquet channel (in the reflection and transmission zones of two-dimensionally periodic structures) are presented in the paper. These results are associated basically with mathematical formula- tion and physical interpretation of the energy conservation law and the reciprocity relations. Key words: two-dimensionally diffraction grating, Floquet channel, nonstationary and steady-state fields, energy conservation law, reciprocity relations. Л. Г. Величко, Г. О. Кривчікова ДВОВИМІРНО-ПЕРІОДИЧНІ ҐРАТКИ. ЧАСТИНА ІІ. ПЕВНІ ЗАКОНОМІРНОСТІ У ПОВЕДІНЦІ НЕСТАЦІОНАРНИХ І УСТАЛЕНИХ ПОЛІВ У ПРЯМОКУТНОМУ КАНАЛІ ФЛОКЕ Наведено аналітичні результати, що описують низ- ку важливих властивостей імпульсних і монохроматичних електромагнітних хвиль, які поширюються в регулярних час- тинах прямокутного каналу Флоке – в зонах відбиття та про- ходження двовимірно-періодичних структур. Ці результати пов’язані значною мірою з математичним формулюванням і фізичним трактуванням співвідношень закону збереження енергії та співвідношень взаємності. Ключові слова: двовимірно-періодична ґратка, канал Флоке, нестаціонарні та стаціонарні поля, закон збере- ження енергії, співвідношення взаємності.

Схожі ресурси